universidad central de venezuela facultad de ciencias maestría en

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE CIENCIAS

MAESTRIA EN MODELOS ALEATORIOS

MODELO ESTOCASTICO DE EQUILIBRIO GENERAL (MEEG)

PARA LA CONSTRUCCION DE DENSIDADES A PRIORI DE VAR

BAYESIANOS: UNA APLICACION A LA ECONOMIA VENEZOLANA

Trabajo de Grado de Maestrıa presentado ante

la ilustre Universidad Central de Venezuela

por la Prof. Mariela Perdomo Leon,

para optar al Tıtulo de Magister Scientiarium

Mencion Modelos Aleatorios.

TUTOR: Dr. Daniel Barraez

Caracas, noviembre de 2008

Resumen del Trabajo de grado presentado para optar al tıtulo de

Magister Scientiarum Mencion Modelos Aleatorios

Modelo estocastico de equilibrio general (MEEG)

para la construccion de densidades a priori de VAR bayesianos:

una aplicacion a la economıa Venezolana

Prof. Mariela Perdomo Leon

Universidad Central de Venezuela

Caracas, noviembre de 2008

En este trabajo se estudia y se implementa en el computador el metodo de Negro y Schorfheide

para construir densidades “a priori” de un VAR. Las densidades a priori definidas, permiten

estimar la densidad a posterior usando conjugados naturales. Se implementa esta tecnica con

el fin de efectuar predicciones para la produccion, inflacion y tasas de interes. Se realizan las

predicciones y se comparan con un VAR frecuentista y un BVAR de Litterman. Las estimaciones

y predicciones se efectuaran para las economıas de EEUU y Venezuela.

Palabras claves : MEEG, VAR, BVAR, predicciones.

Agradecimientos

En primer lugar agradezco a Dios, porque el me ha permitido realizar todas mis metas a

pesar de los obstaculos que se han presentado en el camino.

A mis padres porque ellos son mi luz y fortaleza, son los que siempre me dan animos para

seguir adelante y triunfar.

A mis hermanos, porque siempre me han apoyado en todo lo que he realizado.

Quiero agradecer a mi tutor el Dr. Daniel Barraez, por su colaboracion y disposicion en la

realizacion de este trabajo de grado, por sus sabios consejos, por la confianza depositada en

mı y sobre todo por su apreciada amistad.

A los profesores del Postgrado en Modelos Aleatorios en especial, la Dra. Glaysar Castro y

el Dr. Jose Rafael Leon por darme las herramientas fundamentales en mis estudios de Maestrıa.

Al Dr. Harold Zavarce por darme la oportunidad de desarrollar mi Trabajo de Grado en la

Oficina de Investigaciones Economicas del Banco Central de Venezuela.

Al personal de la Oficina de Investigaciones Economicas y el Departamento Modelos Economi-

cos del BCV en especial a Jeison Perez, Roberto Ferrer, Giovanni Guedez y Wendy Bolıvar.

Al Fondo Nacional de Ciencia, Tecnologıa e Investigacion (Fonacit) por financiar mis estudios

de Maestrıa.

A mis companeros y amigos del Postgrado en Modelos Aleatorios en especial a Rafael Abreu,

Claudia de la Hoz y Begui Ovando por darme animos para continuar y por su apreciada amistad.

Y en general, a todos que de alguna u otra forma me ayudaron en la realizacion de mi trabajo

de grado.

A mis padres, por ser mis mejores amigos.

Indice

Introduccion 1

1. Vectores Autoregresivos (VAR) 3

1.1. Representacion reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Representacion estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Representacion en medias moviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Estimacion Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2. Funcion de Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Modelo estocastico de equilibrio general (MEEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. BVAR de Del Negro y Schorfheide 11

2.1. Densidad a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Densidad a Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Algoritmo de Metropolis Hasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. El algoritmo combinado de Metropolis - Hasting y Sims . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Algoritmo de estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Calculo de los momentos poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7. Medias Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Resultados Empıricos 28

3.1. Implementacion de los modelos VAR y BVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

3.1.2. Data de EEUU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2.1. Implementacion del Modelo VAR reducido . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2.2. Implementacion del Modelo BVAR Litterman . . . . . . . . . . 32

3.1.2.3. Implementacion del Modelo BVAR Schorfheide . . . . . . . . . 35

3.1.2.4. Desempeno predictivo de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3. Data Venezolana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.3.1. Implementacion del Modelo VAR reducido . . . . . . . . . . . . 48

3.1.3.2. Implementacion del Modelo BVAR Litterman . . . . . . . . . . 51

3.1.3.3. Implementacion del Modelo BVAR Schorfheide . . . . . . . . . 54

3.1.3.4. Desempeno predictivo de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . 57

Consideraciones Finales 67

Referencias 68

Apendices 69

A. Algoritmo de C. Sims 70

B. Programas en matlab 73

C. Graficos de las Simulaciones 75

C.1. Data EEUU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.2. Data Venezolana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ii

Indice de figuras

C.1. Simulaciones de los parametros 1 (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.2. Simulaciones de los parametros 2 (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

C.3. Simulaciones de las autocorrelaciones (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . 77

C.4. Simulaciones de los shocks (data EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

C.5. Simulaciones de los parametros 1(data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . . . 79

C.6. Simulaciones de los parametros 2 (data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . . . 80

C.7. Simulaciones de las autocorrelaciones (data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . 80

C.8. Simulaciones de los shocks (data Venezolana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

iii

Introduccion

Los modelos estocasticos de equilibrio general (MEEG), son una herramienta ampliamente

utilizada en el modelaje macroeconomico moderno, desde el punto de vista teorico, especıfica-

mente en el medio academico (investigacion) y por las instituciones disenadoras y ejecutoras de

polıticas macroeconomicas, como por ejemplo, los Bancos Centrales.

Los MEEG, se basan en la nocion basica de la economıa de precios de equilibrio de mercado.

Ademas, modelan varios mercados de forma simultanea tomando en cuenta las interacciones

entre ellos, en lugar de un unico mercado aislado o equilibrios parciales.

Las ventajas de los modelos estocasticos de equilibrio general, en primer lugar, se funda-

mentan en la Teorıa Economica, es decir, “estan microfundamentados” por lo que permiten

comprender el funcionamiento de una economıa y tienen la capacidad para modelar complejas

interrelaciones entre las diversas variables economicas. Sin embargo, los MEEG, tienen ciertas

desventajas, dentro las cuales se pueden mencionar las siguientes, poca capacidad predictiva, se

calibran (no se estiman) o son de difıcil y costosa estimacion, ademas son complejos y requieren

sofisticados programas para ayudar a encontrar soluciones numericas (Metropolis - Hastings,

Filtros de Kalman y resolucion de sistemas con expectativas).

Por otra parte, los Vectores Autoregresivos fueron introducidos por Sims [11], han sido de

gran utilidad para el modelaje de variables economicas, ademas, son considerados atractivos pun-

tos de partida para la modelizacion econometrica. Por su parte Litterman [8] propuso el modelo

VAR bayesiano con el objetivo de ofrecer una solucion al problema de la sobreparametrizacion

de los VAR reducidos. Ademas de Litterman, se han desarrollado otras investigaciones sobre

1

los VAR bayesianos dentro de los cuales se puede destacar, Doan, Litterman y Sims [5], con un

modelo BVAR con coeficientes variables en el tiempo, Ballabriga, Alvarez y Jareno [1], con un

modelo BVAR para la economıa espanola y para Venezuela una referencia actual es el trabajo

de Bolıvar [2], [3] sobre predicciones de variables macroeconomicas mediante VAR bayesianos:

una aplicacion al caso venezolano.

El objetivo de este trabajo de grado, es estudiar e implementar en el computador el metodo

del Negro y Schorfheide [4], para construir las densidades a priori de los predictores. Para ello, se

plantea un metodo para construir densidades a priori de un proceso autoregresivo multivariado

(VAR), a partir de las densidades a priori de los MEEG. Las densidades a priori construidas con

este metodo, permiten calcular la densidad a posteriori conjunta de los parametros del VAR y

los parametros del modelo macroeconomico.

El trabajo de grado tiene la siguiente estructura: en el capıtulo uno se presenta los Vectores

Autoregresivos (VAR) y sus diferentes tipos de representaciones, ademas, se explican los Vec-

tores Autoregresivos Bayesianos (BVAR), la funcion de verosimilitud y se presenta el modelo

estocastico de equilibrio general (MEEG), especıficamente se muestra el sistema de ecuaciones

el cual esta determinado por las variables: produccion, inflacion y tasas de interes.

En el capıtulo dos se presenta el BVAR de Del Negro y Schorfheide, la densidad a priori,

densidad a posteriori, el algoritmo de estimacion y el calculo de los momentos poblacionales.

En el ultimo capıtulo se encuentra la implementacion en el programa Matlab de los modelos

VAR y BVAR tanto para la data de EEUU, como para la data de Venezuela. Finalmente,

se efectua la comparacion de los modelos en base a su desempeno predictivo, tomando como

medida el error medio cuadratico (emc).

2

Capıtulo 1

Vectores Autoregresivos (VAR)

En este capıtulo se presentara las definiciones y notaciones que seran utilizadas en los capıtu-

los siguientes, para ello seguimos la exposicion de Lutkepohl [9].

1.1. Representacion reducida

Los Vectores Autoregresivos son una generalizacion de un AR(p) para el caso multivariado.

Un proceso es un VAR de orden p si,

yt = ν + φ1yt−1 + · · ·+ φpyt−p + ut t = 0,±1,±2, ... (1.1)

con,

yt = (y1t , ..., y

Kt )′ es una v.a. de dimension (K × 1).

φi es una matriz de dimension (K ×K).

ν = (ν1, ..., νK)′ es un vector constante de dimension (K × 1).

ut = (u1t , ..., u

Kt )′ es un vector aleatorio de dimension (K × 1).

p es el numero de retardos.

ut es llamado ruido blanco, donde,

E(ut) = 0 y E[utu′s] =

Σu si s = t

0 si s 6= t

3

La matriz de covarianza Σu es asumida como no singular.

En la representacion reducida cada variable a tiempo t se escribe como combinacion lineal de

sus retardos y los retardos de las demas variables, no se contemplan los efectos contemporaneos

de las variables.

1.2. Representacion estructural

La representacion estructural de un VAR de orden p esta dada por,

B0yt = α +B1yt−1 +B2yt−2 + · · ·+Bpyt−p + ξt, (1.2)

donde,

B0 es una matriz invertible de dimension (K ×K) cuya diagonal es unitaria.

α es un vector constante de dimension (K × 1).

Bi con i = 1, . . . , p es la matriz de coeficientes de dimension (K ×K).

ξt se le denominan los shocks estructurales.

ξt es un ruido blanco, tal que,

E(ξt) = 0 y E[ξtξ′s] =

Γ si s = t

0 si s 6= t

donde Γ es una matriz diagonal positiva definida.

En el VAR estructural se estudia el efecto contemporaneo que ejercen las variables entre si.

1.3. Representacion en medias moviles

La representacion de un VAR(p) esta dada por:

Yt = ν + A1Yt−1 + Ut. (1.3)

4

la representacion MA de Yt es:

Yt = µ+∞∑i=0

AiUt−i. (1.4)

Yt es expresada en terminos del pasado y el presente del error Ut y la media µ.

Ventajas y Desventajas de los VAR

En la siguiente tabla se presentaran algunas de las ventajas y desventajas de los VAR.

Ventajas Desventajas

Los VAR reducidos son faciles de estimar Los Modelos estructurales son complejos

Buen desempeno predictivo No son explicativos, en cuanto al

funcionamiento de una economıa

Cualquier modelo econometrico de ecuaciones El problema de la sobreparametrizacion y

simultaneas puede ser expresado disponibilidad de los datos macroeconomicos

a traves de un var reducido

El nombre de Vector Autoregresivo, resulta natural cuando se observa que relaciona un

vector de variables con su propio pasado. Es importante destacar que los modelos VAR, son

considerados atractivos puntos de partida para la modelizacion econometrica [1]. Por otra parte

los VAR reducidos permiten realizar predicciones y los VAR estructurales permiten estudiar las

relaciones estructurales.

1.4. Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR)

El modelo VAR bayesiano fue propuesto por Litterman [8], con el objetivo de ofrecer una

solucion al problema del sobreajuste de los VAR reducidos. Se pretende evitar la influencia de la

variabilidad aleatoria en la estimacion, sin tener que confrontar la disyuntiva de incluir o excluir

retardos de las distintas variables, de forma que el modelo resultante mantenga la generalidad

de la representacion autoregresiva.

5

1.4.1. Estimacion Bayesiana

Sea Ψ el vector de parametros a estimar de un modelo. En la estadıstica bayesiana Ψ es una

v.a. con una densidad a priori p(Ψ) y el objetivo es estimar la densidad a posteriori p(Ψ|Y ), es

decir, la densidad de Ψ dada la muestra.

Para ello se hace uso de la formula de Bayes,

p(Ψ|Y ) =p(Y |Ψ)p(Ψ)

p(Y ),

p(Ψ) la densidad a priori de los parametros.

p(Y |Ψ) la funcion de verosimilitud.

p(Y ) la densidad conjunta de la muestra.

p(Ψ|Y ) la densidad a posteriori de los parametros.

Como p(Y ) es una constante, se puede escribir de la siguiente forma,

p(Ψ|Y ) ∝ p(Y |Ψ)p(Ψ),

en este caso,

Ψ = (φi, i = 1, ..., p,Σu).

La inferencia bayesiana se basa en el uso de una distribucion de probabilidad para describir

todas las cantidades desconocidas relevantes a un problema de estimacion. Cabe senalar que en

la estadıstica clasica Ψ es una constante desconocida.

El enfoque bayesiano permite expresar de forma mas realista la informacion que se dispone,

mediante la asignacion de distribuciones de probabilidad a los distintos coeficientes del modelo.

Litterman [8], propuso complementar la representacion autoregresiva con la especificacion

de una distribucion a priori sobre los coeficientes. El modelo resultante de esta combinacion se

denomina Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR).

1.4.2. Funcion de Verosimilitud

Para la funcion de verosimilitud se asume que las innovaciones ut en la representacion au-

toregresiva del modelo yt = φ0 + φ1yt−1 + · · · + φpyt−p + ut tienen una distribucion Normal

6

multivariada N (0,Σu) condicional al pasado de las observaciones de yt, con yt un vector de

dimension n× 1.

Sea Y una matriz de dimension T × n es decir,

Y =

y1

1 y21 . . . yn1

y12 y2

2 . . . yn2...

.... . .

...

y1T y2

T . . . ynT

.

Sea k = 1 +np y X una matriz de dimension T × k con filas x′t = [1, y′t−1, . . . , y′t−p], es decir,

X =

1 y1

t−1 . . . ynt−p...

.... . .

...

1 y1t−1 . . . ynt−p

T×(1+np)

U es una matriz de dimension T × n y φ es de dimension (1 + np)× n, es decir,

U =

u1

1 u21 . . . un1

u12 u2

2 . . . un2...

.... . .

...

u1T u2

T . . . unT

,

φ =

φ1

0 φ20 . . . φn0

φ11 φ2

1 . . . φn1...

.... . .

...

φ1p φ2

p . . . φnp

.

El VAR puede ser expresado como Y = Xφ+ U con la funcion de verosimilitud,

p(Y |φ,Σu) =1

(2π)nT/2|Σu|−T/2exp

−1

2tr[Σ−1

u (Y ′Y − φ′X ′Y − Y ′Xφ+ φ′X ′Xφ)]

, (1.5)

condicional a las observaciones y1−p, . . . , y0.

7

1.5. Modelo estocastico de equilibrio general (MEEG)

El modelo consiste en un hogar representativo, empresas competitivas y una autoridad mon-

etaria que ajusta las tasas de interes nominal, en respuesta a las desviaciones de la inflacion.

Los hogares maximizan su funcion de utilidad,

Et

[∞∑s=t

βs−t(

(Cs/As)1−τ − 1

1− τ+ χlog

Ms

Ps− hs

)], (1.6)

donde Et denota el operador de expectativas, β es el factor de descuento, τ es el parametro de

aversion al riesgo, Cs es el consumo a tiempo s, As factor de productividad a tiempo s, χ es el

factor de escala, h son las horas trabajadas y Ps es el nivel de precios nominal.

Ademas, la tasa de inflacion se define como,

πt =PtPt−1

. (1.7)

La restriccion presupuestaria de los hogares, esta dado por,

Ct +Bt

Pt+Mt

Pt+TtPt

= Wtht +Mt−1

Pt+Rt−1

Bt−1

Pt+Dt, (1.8)

donde Ct es el consumo a tiempo t, Bt/Pt son los bonos a tiempo t, Mt/Pt son los balances

reales a tiempo t, Tt/Pt es el impuesto a tiempo t, Wt es el salario a tiempo t, ht son las horas

trabajadas a tiempo t, Rt−1 son las tasas de interes a tiempo t− 1 y Dt son los beneficios de las

empresas a tiempo t.

La funcion de produccion esta dada por,

Xt(j) = Atht(j), (1.9)

donde el factor de productividadAt es exogeno, ademas, es un proceso autoregresivo en logaritmos

de raız unitaria

lnAt = lnγ + lnAt−1 + zt, (1.10)

8

donde zt es un AR(1),

zt = ρz zt−1 + εz,t, (1.11)

y εz,t puede interpretarse como el shock a la tecnologıa.

El banco central, sigue una tasa de interes nominal para ajustar sus instrumentos en

respuestas a las desviaciones de la inflacion y produccion de sus respectivos niveles, es decir,

Rt

R∗=

(Rt−1

R∗

)ρR [( πtπ∗

)ψ1(Xt

X∗t

)ψ2](1−ρR)

eεR,t , (1.12)

donde R∗ tasa de interes nominal, Xt es la produccion potencial, X∗t = At y εR,t es el shock a

las tasas de interes. El parametro 0 ≤ ρR < 1 determina el grado de las tasas de interes.

El gobierno consume una fraccion ζt de cada bien j. Se define gt = 1(1−ζt) y se asume

que gt = ln(gtg∗

)es un proceso AR(1) estacionario,

gt = ρggt−1 + εg,t, (1.13)

donde εg,t es el shock de los gastos del gobierno.

Presupuesto del gobierno

ζtXt +Rt−1Bt−1

Pt+Mt−1

Pt=TtPt

+Mt

Pt+Bt

Pt, (1.14)

donde Xt es la produccion, Rt−1 es las tasas de interes a tiempo t− 1, Bt−1/Pt son los bonos a

tiempo t− 1, Mt−1/Pt son los balances reales a tiempo t− 1 y Tt/Pt es el impuesto a tiempo t.

El sistema se reduce a tres ecuaciones, produccion, inflacion y tasas de interes nominal:

xt = E[xt+1]− τ−1(Rt − E[πt+1]) + (1− ρg)gt + ρz1

τzt, (1.15)

πt =γ

r∗E[πt+1] + κ[xt − gt], (1.16)

Rt = ρRRt−1 + (1− ρR)(ψ1πt + ψ2xt) + εR,t, (1.17)

9

donde xt es la produccion, πt es la inflacion, Rt tasas de interes, gt gastos del gobierno, zt es el

shock a la tecnologıa, r∗ = γβ

es el estado estacionario de las tasas de interes reales, τ factor de

aversion, κ es una funcion de ajuste de los precios y elasticidad de la demanda y ρR determina

el grado de las tasas de interes.

El sistema de expectativas racionales esta dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15)

- (1.17) y son resueltas por el algoritmo de Sims [12] (ver apendice A).

Las relaciones entre las desviaciones del espacio de estado, el crecimiento de la produccion,

inflacion y tasas de interes estan dadas por las siguientes ecuaciones de medida:

∆lnXt = lnγ + ∆xt + zt, (1.18)

∆lnPt = lnπ∗ + πt,

lnRat = 4[(lnr∗ + lnπ∗) + Rt].

Por otra parte, el MEEG tiene tres shocks estructurales ε′t = [εR,t, εg,t, εz,t]. Se supone que

los shocks son normales independientes, identicamente distribuidos.

El vector de los parametros del modelos esta definido de la siguiente forma,

θ′ = [lnγ, lnπ∗, lnr∗, κ, τ, ψ1, ψ2, ρR, ρg, ρz, σR, σg, σz].

10

Capıtulo 2

BVAR de Del Negro y Schorfheide

En este capıtulo se estudia el metodo de Del Negro y Schorfheide [4], para ello se muestra

la densidad a priori, la densidad a posteriori y el algoritmo de estimacion.

2.1. Densidad a Priori

Sea Y la muestra observada, T el numero de observaciones y X la matriz de rezagos de Y. La

muestra observada es aumentada con observaciones sinteticas T ∗ = λT , (Y ∗, X∗) (para λ fijo),

generadas del MEEG, (cuyo vector de parametro es θ). La funcion de verosimilitud combina la

data observada y la sintetica, obtenida de ( 1.5) y ( 2.1),

p(Y ∗(θ)|φ,Σu) =1

(2π)nT/2|Σu|−T/2exp

−1

2tr[Σ−1

u (Y ∗′Y ∗ − φ′X∗′Y ∗ − Y ∗′X∗φ+ φ′X∗

′X∗φ)]

.

(2.1)

Factorizando obtenemos,

p(Y ∗(θ), Y |φ,Σu) = p(Y ∗(θ)|φ,Σu)p(Y |φ,Σu),

el termino p(Y ∗(θ)|φ,Σu) puede ser interpretado como una densidad a priori de (φ, Σu). La

informacion acerca de los parametros del VAR esta contenida en la data simulada a partir del

MEEG.

11

En la expresion ( 2.1) si se sustituyen los momentos muestrales por los momentos pobla-

cionales (λTΓ∗yy(θ), λTΓ∗yx(θ) y λTΓ∗xx(θ)) se tiene la siguiente definicion,

p(φ,Σu|θ) , c−1|Σu|−λT+n+1

2 exp

−1

2tr[λTΣ−1

u (Γ∗yy(θ)− φ′Γ∗xy(θ)− Γ∗yx(θ)φ+ φ′Γ∗xx(θ)φ)]

(2.2)

con c(θ) el factor de normalizacion, es decir,

c(θ) = (2π)nk2 |λTΓ∗xx(θ)|−

n2 |λTΣ∗u(θ)|−

λT−k2 × 2

n(λT−k)2 π

n(n−1)4

n∏i=1

Γ[(λT − k + 1− i)/2]

En 2.2 tenemos una densidad a priori de φ y Σu condicionada por los parametros del MEEG.

La densidad a priori condicionada puede ser expresada como producto de densidades conju-

gadas naturales, lo cual simplifica su computo.

Si definimos,

φ∗(θ) = Γ∗−1xx (θ)Γ∗xy(θ), (2.3)

Σ∗u = Γ∗yy(θ)− Γ∗yx(θ)Γ∗−1xx (θ)Γ∗xy(θ) (2.4)

entonces,

Σu|θ ∼ Inv −Wishart(λTΣ∗u(θ), λT − k, n), (2.5)

φ|Σu, θ ∼ N (φ∗(θ),Σu ⊗ (λTΓ∗xx(θ))−1), (2.6)

Σu, φ|θ ∼ Inv −Wishart−N . (2.7)

Por Zellner [13], p(Σu, φ|θ) tiene una distribucion Inversa Wishart-Normal.

La densidad conjunta de los parametros del VAR y los parametros del MEEG se obtiene como,

p(φ,Σu, θ) = p(φ,Σu|θ)p(θ) (2.8)

Por otra parte, como φ∗(θ) ( 2.3) es el estimador de mınimos cuadrados ordinarios (mco) (en

el caso de una regresion lineal el estimador de maxima verosimilitud (emv) es igual al estimador

de mco) φ∗(θ) minimiza el emc a un paso.

12

2.2. Densidad a Posteriori

p(φ,Σu, θ|Y ) = p(φ,Σu|Y, θ)p(θ|Y ), (2.9)

p(φ,Σu, θ|Y ) es la densidad posterior de todos los parametros.

p(φ,Σu|Y, θ) es la densidad posterior de los parametros del VAR dado los parametros del

MEEG.

p(θ|Y ) es la densidad a posteriori de los parametros del MEEG, es generada por Metropolis

- Hasting y empleando el Algoritmo de Sims [12] .

Ademas,

p(φ,Σu|Y, θ) = p(Σu|Y, θ)p(φ|Y, θ,Σu).

Como la densidad a priori tiene una distribucion Inversa Wishart - Normal y la funcion

de verosimilitud tiene una distribucion Normal, se tiene que son conjugados naturales, Zellner

[13], muestra que la “densidad a posterior” de φ y Σu es Inversa Wishart-Normal, es decir,

Σu|Y, θ ∼ Inv −Wishart((λ+ 1)T Σu(θ), (1 + λ)T − k, n),

φ|Y,Σu, θ ∼ N (φ,Σu ⊗ (λTΓ∗xx(θ) +X ′X)−1),

donde φ(θ) y Σu(θ) son los estimadores de MV de φ y Σu, es decir,

φ(θ) = (λTΓ∗xx(θ) +X ′X)−1(λTΓ∗xy(θ) +X ′Y ),

Σu(θ) = 1(λ+1)T

[(λTΓ∗yy(θ) + Y ′Y )− (λTΓ∗yx(θ) + Y ′X)(λTΓ∗xx(θ) +X ′X)−1(λTΓ∗xy(θ) +X ′Y )].

Por otra parte se demostrara dos proposiciones relacionadas con la densidad a posteriori y la

verosimilitud.

Proposicion 1. La densidad posterior conjunta de los parametros del VAR y el MEEG puede

ser escrita como,

p(φ,Σu, θ|Y ) = p(φ,Σu|Y )p(θ|φ,Σu).

13

Luego,

p(Y )p(φΣ|θ)p(θ|y)

p(θΣφ),

Finalmente,

p(Y )p(φΣθ)p(θY )

p(φΣθ)p(θ)p(Y )= p(Y |θ).

2.3. Algoritmo de Metropolis Hasting

Dada la funcion de densidad f , la densidad objetivo, el algoritmo de Metropolis - Hasting

construye un conjunto de simulaciones de f . Este algoritmo es especialmente util cuando se

puede evaluar la densidad (salvo por una constante multiplicativa), pero no se puede calcular

de manera explıcita los momentos de la densidad. Es un algoritmo de simulacion del tipo MCMC

(Monte Carlo Markov Chain), denominados ası, porque esta familia de algoritmos generan una

cadena de Markov ergodica, cuya distribucion lımite es f , es decir, en la t-esima iteracion el

algoritmo genera un valor aleatorio νt tal que, para t suficientemente grande, su densidad se

puede aproximar por f , es decir, el lımt→∞ νt = ν con ν una v.a. cuya densidad es f .

La referencia al algoritmo de Metropolis - Hasting corresponde a un termino general que

se utiliza para una familia de metodos de simulacion de cadenas de Markov que se derivan del

algoritmo propuesto por [10]. El algoritmo consiste en los siguientes pasos:

Algoritmo de Metropolis- Hasting

1. Generar un iterado inicial θ0

2. Desde t = 1 hasta n,

a. Generar θ∗t a partir de una distribucion de salto

3. Asignar

θt+1 =

θ∗t con probabilidad ρ(θt, θ∗t )

θt con probabilidad 1− ρ(θt, θ∗t )

con,

ρ(θt, θ∗t ) = min

p(θ∗t )p(θt)

, 1

16

ρ se denomina la probabilidad de aceptacion de Metropolis - Hasting.

La regla de aceptacion y rechazo del algoritmo anterior se puede interpretar de la siguiente

forma, si el salto produce un valor para el que se aumenta la densidad posterior, hacer θt+1 = θ∗t ,

si el salto no aumenta la densidad a posteriori, con cierta probabilidad se acepta o se rechaza.

2.4. El algoritmo combinado de Metropolis - Hasting y

Sims

Se quiere simular la densidad a posteriori p(θ|Y ) de los parametros del modelo. Las simu-

laciones se obtendran mediante el Algoritmo de Metropolis - Hastings considerando la funcion

objetivo p(Y |θ)p(θ) como funcion de θ, que es calculable salvo por una constante multiplicativa.

El calculo de la funcion de verosimilitud se efectuara empleando la ecuacion ( 2.15), la cual

para poder ser determinada se necesitan los momentos muestrales y poblaciones de la data. En

particular los momentos poblacionales son obtenidos mediante la representacion de espacios de

estado ( 2.16) y ( 2.17) (ver Algoritmo de estimacion).

El algoritmo combinado esta dado por los siguientes pasos.

Algoritmo de Estimacion

1. Generar un iterado inicial θ0

2. Desde t = 1 hasta n,

a. Generar θ∗t = θt−1 +N(0,Σ)

b. Calcular la representacion en espacios de estados con el Algoritmo de Sims

c. Calcular p(Y |θt) por medio de la ecuacion (2.15)

d. Asignar

θt+1 =

θ∗t con probabilidad ρ(θt, θ∗t )

θt con probabilidad 1− ρ(θt, θ∗t )

con,

ρ(θt, θ∗t ) = min

p(θ∗t )p(θt)

, 1

17

2.5. Algoritmo de estimacion

Se asume que el espacio de parametros de λ es finito, es decir, Λ = l1, . . . , lq. λ se estima y

se genera la distribucion a posteriori conjunta de los parametros del MEEG y del VAR usando

el siguiente algoritmo:

1. Para λ ∈ Λ se usa el algoritmo de Metropolis Hasting, para generar las simulaciones de

pλ(θ|Y ) ∝ pλ(Y |θ)p(θ). Los pasos necesarios para evaluar pλ(θ|Y ) se basan en la siguiente

ecuacion:

p(Y |θ) =p(Y |φ,Σ)p(φ,Σ|θ)

p(φ,Σ|Y )(2.15)

=|λTΓ∗xx(θ) +X ′X|−n2 |(λ+ 1)TΣu(θ)|−

(λ+1)T−k2

|λTΓ∗xx(θ)|−n2 |λTΣu(θ)|−

λT−k2

×(2π)−nT2 2

n((λ+1)T−k)2

∏ni=1 Γ[((λ+ 1)T − k + 1− i)/2]

2n(λT−k)

2

∏ni=1 Γ[(λT − k + 1− i)/2]

.

Para cada θ:

a) Se resuelve el MEEG dado por las ecuaciones (1.11), (1.13), (1.15) - (1.17), con

el algoritmo que describe Sims [12]. Esto conduce a una ecuacion de transicion de la

forma,

st = T (θ)st−1 +R(θ)εt. (2.16)

Las ecuaciones (1.18) pueden escribirse en forma apilada como:

yt = Z(θ)st +D(θ) + νt. (2.17)

En la implementacion se elegira st tal que νt = 0. Se define la matriz de covarianza

de los shocks como:

E[νtν′t] = 0, E[εtε

′t] = Σεε(θ), E[εtν

′t] = Σεν(θ).

18

b) Se calculan los momentos poblacionales Γ∗yy(θ), Γ∗yx(θ) y Γ∗xx(θ) desde la representacion

de estados de (2.16) y (2.17). Note que,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + ZRΣεν + (ZRΣεν)−1 + Σνν +DD′,

E[yty′t−h] = ZT h(ΩssZ

′ +RΣεν) +DD′.

donde Ωss = E[sts′t] el cual puede ser obtenido por la ecuacion de Lyapunov

Ωss = TΩssT′ +RΣεεR

′.

2. Basado en las simulaciones se modifica el estimador de la media armonica para obtener

las aproximaciones numericas de la data pλ(Y ), de acuerdo con Geweke [7].

2.6. Calculo de los momentos poblacionales

Como se senalo en la seccion anterior se calcularan los momentos poblacionales a partir de

la representacion de estados de (2.16) y (2.17). Las dimensiones st, T , R, yt, Zt, D y νt estan

dadas por,

dim(yt) = n× 1 dim(st) = h× 1 dim(νt) = n× 1 dim(R) = n× l

dim(Z) = n× h dim(D) = n× 1 dim(T ) = h× h dim(εt) = l × 1

Es importante senalar que st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero; εt y νt son

dos ruidos blancos. En la definicion usual de representacion de espacios de estados se supone

que εt y νt no estan correlacionados.

Se supondra, siguiendo a Del Negro y Schorfheide [4] que,

E[νt1εt1 ] =

Σεν t1 = t2

0 si t1 6= t2.

Se denota la matriz de covarianza de los shocks y sus correlaciones mediante,

Σνν(θ) = E[νtν′t], Σεε(θ) = E[εtε

′t], Σεν(θ) = E[εtν

′t]. (2.18)

En el modelo considerado en este trabajo (como en gran parte de los modelos estudiados en

el area), νt y D(θ) son nulos. Daremos las demostraciones para el caso general, es decir, donde

19

νt y D(θ) no necesariamente son nulos.

Se denota la covarianza de st mediante Ωss, es decir, Ωss = E[sts′t] .

En las siguientes proposiciones, (siguiendo a Del Negro y Schorfheide [4]) se presentan iden-

tidades para el calculo de los momentos poblacionales.

Proposicion 3. Ωss satisface la siguiente ecuacion de Lyapunov,


′.

Demostracion

De (2.16) se tiene que st = T (θ)st−1+R(θ)εt; vamos a calcular la siguiente funcion de covarianza,

E[sts′t] = E[(Tst−1 +Rεt)(Tst−1 +Rεt)

′].

Por propiedad de matrices transpuestas,

E[sts′t] = E[(Tst−1 +Rεt)(s

′t−1T

′ + ε′tR′)].

Aplicando propiedad distributiva obtenemos,

E[sts′t] = E[Tst−1s

′t−1T

′ + Tst−1ε′tR′ +Rεts

′t−1T

′ +Rεtε′tR′].

Por la linealidad de la esperanza,

E[sts′t] = TE[st−1s

′t−1]T

′ + TE[st−1ε′t]R′ +RE[εts

′t−1]T

′ +RE[εtε′t]R′.

Como st−1 = T hst−h−1 +h−1∑j=1

T j−1Rεt−j y εt no esta correlacionado con los εt−j, entonces, st−1 y

εt no estan correlacionados, luego,

E[sts′t] = TE[st−1s

′t−1]T

′ +RE[εtε′t]R′.

Luego, Ωss = E(sts′t) y Σεε(θ) = E[εtε

′t], entonces,


′(2.19)

20

Proposicion 4. E[yty′t] = ZΩssZ

′ + ZRΣεν + (ZRΣεν)′ + Σνν +DD′.

Demostracion

Vamos a calcular la siguiente funcion de covarianza,

E[yty′t] = E[(Zst +D + νt)(Zst +D + νt)

′].


E[yty′t] = E[(Zst +D + νt)(s

′tZ′ +D′ + ν ′t)].


E[yty′t] = E[Zsts

′tZ′ + ZstD

′ + Zstν′t +Ds′tZ

′ +DD′ +Dν ′t + νts′tZ′ + νtD

′ + νtν′t].

Por propiedad de esperanza, la esperanza de la suma, es la suma de las esperanzas, entonces,

E[yty′t] = ZE(sts

′t)Z

′ + E(ZstD′) + E(Zstν

′t) + E(Ds′tZ

′) + E(DD′) + E(Dν ′t) + E(νts′tZ′)

+E(νtD′) + E(νtν

′t).

Luego, Ωss = E(sts′t), st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero y νt = 0,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + E(Zstν′t) + E(νts

′tZ′) + E(νtν

′t) + E(DD′).

Sustituyendo (2.16) y teniendo en cuenta que la E(DD′) = DD′ y por (2.18) Σνν(θ) = E[νtν′t],

entonces,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + E[Z(Tst−1 +Rεt)ν′t] + E[νt(Tst−1 +Rεt)

′Z ′] + Σνν +DD′.


E[yty′t] = ZΩssZ

′ + E[ZTst−1ν′t + ZRεtν

′t] + E[νt(s

′t−1T

′ + ε′tR′)Z ′] + Σνν +DD′.

La esperanza de la suma, es la suma de las esperanzas, tenemos

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + E[ZTst−1ν′t] + E[ZRεtν

′t] + E[νts

′t−1T

′Z ′] + E[νtε′tR′Z ′] + Σνν +DD′,

st es un proceso autoregresivo (AR) con media cero y sabiendo que E[νt−hst−i] = 0 con h, i =

1, 2, . . . y h 6= i, tenemos,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + ZRE[εtν′t] + E[νtε

′t]R′Z ′ + Σνν +DD′.

21

Por (2.18) Σεν(θ) = E[εtν′t], luego,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + ZRΣεν + Σ′ενR′Z ′ + Σνν +DD′.

Finalmente, por propiedad de matrices transpuestas, tenemos,

E[yty′t] = ZΩssZ

′ + ZRΣεν + (ZRΣεν)′ + Σνν +DD′

(2.20)

En el caso de la definicion de una representacion de espacios de estados ordinaria (con ε y

ν no correlacionados), las expresiones anteriores Σεν = 0, en consecuencia ZRΣεν = 0.

Como, νt = 0 y εt y νt no estan correlacionados, tendremos lo siguiente,

Γ∗yy(θ) = Eθ[yty′t] = ZΩssZ

′ +DD′

Proposicion 5. E[yty′t−h] = ZT h(ΩssZ

′ +RΣεν) +DD′

Demostracion

Iterando hacia atras en (2.16),

st = Tst−1 +Rεt

= T (Tst−2 +Rεt−1) +Rεt

= T 2st−2 + TRεt−1 +Rεt

= T 2(Tst−3 +Rεt−2) + TRεt−1 +Rεt

= T 3st−3 + T 2Rεt−2 + TRεt−1 +Rεt...

= T hst−h +h−1∑j=0

T jRεt−j (2.21)

Ademas,

yt−h = Zst−h +D + νt−h,

yt = Zst +D + νt. (2.22)

22

Sustituyendo (2.21) en la ecuacion (2.22), nos queda,

yt = Z

(T hst−h +

h−1∑j=0

T jRεt−j

)+D + νt.

Ahora bien,

E[yty′t−h] = E

[(ZT hst−h + Z

h−1∑j=0

T jRεt−j +D + νt

)(Zst−h +D + νt−h)

′

].


E[yty′t−h] = E

[(ZT hst−h + Z

h−1∑j=0

T jRεt−j +D + νt

)(s′t−hZ

′ +D′ + ν ′t−h)].

Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la esperanza obtenemos,

E[yty′t−h] = ZT hE[st−hs

′t−h]Z

′ + ZT hE[st−h]D′ + ZT hE[st−hν

′t−h] + Z

h−1∑j=0

T jRE[εt−js′t−h]Z

′

+Zh−1∑j=0

T jRE[εt−j]D′ + Z

h−1∑j=0

T jRE[εt−jν′t−h] +DE[s′t−h]Z

′ + E[DD′] +DE[ν ′t−h]

+E[νts′t−h]Z

′ + E[νt]D′ + E[νtν

′t−h].

Por hipotesis st es un proceso centrado, εt y νt son ruidos blancos, la E[DD′] = DD′,

E[sts′t] = Ωss y como st−h = Tst−h−1 + Rεt−h, entonces, st−h y εt−j no estan correlacionados,

luego,

E[yty′t−h] = ZT hΩssZ

′ + ZT hE[st−hν′t−h] +DD′.

Iterando hacia atras st−h,


′ + ZT hE[(Tst−h−1 + εt−h)ν′t−h] +DD′.

Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la esperanza, resulta,


′ + ZT h[E(Tst−h−1ν′t−h) + E(εt−hν

′t−h)] +DD′.

23

Por (2.18) Σεν = E[εtνt], ademas, como st−h−1 = Tst−h−2 + εt−h−1, entonces, st−h−1 y νt−h no

estan correlacionados, luego,


′ + ZT hΣεν +DD′.

Finalmente,

E[yty′t−h] = ZT h(ΩssZ

′ +RΣεν) +DD′(2.23)

y Ωss puede ser obtenido por la ecuacion de Lyapunov Ωss = TΩssT′ +RΣεεR

′ (demostrada en

la proposicion 1).

En la representacion de espacios de estado usual, Σεν = 0, entonces, RΣεν = 0.

En este caso,


′ +DD′

Para determinar el momento poblacional Γ∗xx se debe definir las entradas de la matriz, E[yty′t−h].

Vamos a definir yt y yt−h.

y′t = (y1t , . . . , y

nt ),

y′t−h =(y1t−h, y2

t−h , . . . , ynt−h

), (2.24)

Tenemos,

E[yty′t−h] = E

y1t y

1t−h y1

t y2t−h . . . y1

t ynt−h

y2t y

1t−h y2

t y2t−h . . . y2

t ynt−h

......

. . ....

ynt y1t−h ynt y

2t−h . . . ynt y

nt−h

.

Luego las entradas (i, j) de la matriz anterior esta dada por,

Eθ[yty′t−h](i, j) = E[yity

jt−h] (2.25)

con i, j = 1, . . . , n

El momento poblacional Γ∗xx(θ) se denota ası,

Γ∗xx(θ) = E[xtx′t].

24

Veamos como son las entradas de la matriz Γ∗xx(θ). Para ellos se define xt,

x′t = (1, y1t−1, y

2t−1, . . . , y

nt−1, . . . , y

1t−l, y

2t−l, . . . , y

nt−l, . . . , y

1t−p, . . . , y

nt−p).

Luego,

E(xtx′t) =

E

1 y1t−1 y2t−1 . . . ynt−1 . . . y1t−l y2t−l . . . ynt−l . . . y1t−p . . . ynt−p

y1t−1 y1t−1y1t−1 y1t−1y

2t−1 . . . y1t−1y

nt−1 . . . y1t−1y

1t−l y1t−1y

2t−l . . . y1t−1y

nt−l . . . y1t−1y

1t−p . . . y1t−1y

nt−p

y2t−1 y2t−1y1t−1 y2t−1y

2t−1 . . . y2t−1y

nt−1 . . . y2t−1y

1t−l y2t−1y

2t−l . . . y2t−1y

nt−l . . . y2t−1y

1t−p . . . y2t−1y

nt−p

......

......

......

......

...

ynt−1 ynt−1y1t−1 ynt−1y

2t−1 . . . ynt−1y

nt−1 . . . ynt−1y

1t−l ynt−1y

2t−l . . . ynt−1y

nt−l . . . ynt−1y

1t−p . . . ynt−1y

nt−p

......

......

......

......

...

y1t−l y1t−ly1t−1 y1t−ly

2t−1 . . . y1t−ly

nt−1 . . . y1t−ly

1t−l y1t−ly

2t−l . . . y1t−ly

nt−l . . . y1t−ly

1t−p . . . y1t−ly

nt−p

y2t−l y2t−ly1t−1 y2t−ly

2t−1 . . . y2t−ly

nt−1 . . . y2t−ly

1t−l y2t−ly

2t−l . . . y2t−ly

nt−l . . . y2t−ly

1t−p . . . y2t−ly

nt−p

......

......

......

......

...

ynt−l ynt−ly1t−1 ynt−ly

2t−1 . . . ynt−ly

nt−1 . . . ynt−ly

1t−l ynt−ly

2t−l . . . ynt−ly

nt−l . . . ynt−ly

1t−p . . . ynt−ly

nt−p

......

......

......

......

...

y1t−p y1t−py1t−1 y1t−py

2t−1 . . . y1t−py

nt−1 . . . y1t−py

1t−l y1t−py

2t−l . . . y1t−py

nt−l . . . y1t−py

1t−p . . . y1t−py

nt−p

......

......

......

......

...

ynt−p ynt−py1t−1 ynt−py

2t−1 . . . ynt−py

nt−1 . . . ynt−py

1t−l ynt−py

2t−l . . . ynt−py

nt−l . . . ynt−py

1t−p . . . ynt−py

nt−p

.

Se observa que la matriz E[xtx′t] esta compuesta en la primera columna por el vector xt y

en la primera fila por el vector x′t y las otras entradas de la matriz estan dadas por la matriz

E[yty′t−h] con h = 1, . . . , p (la covarianza es estacionaria).

Por otra parte, el momento poblacional Γ∗yx(θ) se denota ası,

Γ∗yx(θ) = E[ytx′t].

Veamos como son las entradas de la matriz Γ∗yx(θ).

y′t = (y1t , . . . , y

nt ), (2.26)

x′t = (1, y1t−1, y

2t−1, . . . , y

nt−1, . . . , y

1t−l, y

2t−l, . . . , y

nt−l, . . . , y

1t−p, . . . , y

nt−p). (2.27)

25

Ahora bien,

E(ytx′t) =

E

y1t y1

t y1t−1 y1

t y2t−1 . . . y1

t ynt−1 . . . y1

t y1t−l y1

t y2t−l . . . y1

t ynt−l . . . y1

t y1t−p . . . y1

t ynt−p

y2t y2

t y1t−1 y2

t y2t−1 . . . y2

t ynt−1 . . . y2

t y1t−l y2

t y2t−l . . . y2

t ynt−l . . . y1

t y2t−p . . . y2

t ynt−p

......

......

......

...

ynt ynt y1t−1 ynt y

2t−1 . . . ynt y

nt−1 . . . ynt y

1t−l ynt y

2t−l . . . ynt y

nt−l . . . ynt y

1t−p . . . ynt y

nt−p

.

Se observa que la matriz E[ytx′t], esta compuesta en la primera fila por el vector x′t y en

la primera columna por el vector xt y las demas entradas estan dadas por la matriz E[yty′t−h]

con h = 1, . . . , p

Finalmente, el momento poblacional Γ∗xy(θ), lo denotaremos ası,

Γ∗xy(θ) = E[xty′t],

donde Γ∗xy(θ) = [Γ∗yx(θ)]′.

2.7. Medias Armonicas

Basado en las simulaciones aplicamos el metodo Geweke [7] (modificacion de las Medias

Armonicas) para obtener las aproximaciones numericas de la densidad de la data pλ(Y ). Para

el calculo de la verosimilitud marginal usamos el metodo propuesto por Gelfand y Dey [6].

Teorema. El Metodo de Gelfand - Dey para el calculo de la verosimilitud Marginal

Sean p(θ|Mi), p(y|θ,Mi) y p(θ|y,Mi) la densidad a priori, la verosimilitud y la densidad

a posteriori respectivamente, para el modelo Mi definicion en Θ. Si f es una funcion de densi-

dad con soporte en Θ, entonces,

E[

f(θ)

p(θ|Mi)p(y|θ,Mi)|y,Mi

]=

1

p(y|Mi).

26

Este teorema es muy importante porque para cualquier funcion de densidad podemos establecer

g(θ) =f(θ)

p(θ|Mi)p(y|θ,Mi)y usar las simulaciones de la densidad a posterior para estimar

E[g(θ)|y,Mi].

La teorıa asintotica subyacente del metodo de Gelfang-Dey[6] implica quef(θ)

p(θ|Mi)p(y|θ,Mi)debe ser finito para todo valor de θ. Este metodo requiere que se elija cuidadosamente f(θ).

Geweke [7], recomienda la siguiente estrategia para la eleccion de f(θ). La estrategia con-

siste en que f(θ) sea una densidad Normal truncada (es decir, no tomamos en cuenta las colas).

El motivo que la densidad normal este truncada es difıcil de comprobar porque la expresionf(θ)

p(θ|Mi)p(y|θ,Mi)es finita en la colas para la densidad normal. Formalmente, sea θ y Σ los

estimadores de E(θ|y,Mi) y var(θ|y,Mi) obtenidas de la simulacion de la densidad a posterior.

Ademas, p ∈ (0, 1) y sea θ el soporte de f(θ), el cual es definido por,

θ = θ : (θ − θ)′Σ−1(θ − θ) ≤ χ21−p(k),

donde χ21−p(k) es el percentil (1-p) de la distribucion Chi Cuadrado con k grados de libertad.

Geweke recomienda dejar f(θ) como una densidad Normal Multivariada truncada en la

region de θ, es decir,

f(θ) =1

p(2π)k/2|Σ|−1/2exp

[−1

2(θ − θ)′Σ−1(θ − θ)

]I(θ ∈ θ),

donde I() es la funcion indicadora.

27

Capıtulo 3

Resultados Empıricos

En este capıtulo se realiza la implementacion de los modelos VAR y BVAR para la economıa

de EEUU y la de Venezuela.

3.1. Implementacion de los modelos VAR y BVAR

En esta seccion se presenta el planteamiento de los modelos para las siguientes variables:

producto (PIB), inflacion y tasas de interes, se hara el estudio para los datos de la economıa

de EEUU y de Venezuela. Se realizan predicciones y se compara el modelo BVAR del Negro y

Schorfheide [4] (en las secciones siguientes se denotara como BVAR Schorfheide) con un VAR

frecuentista y un BVAR con una densidad a priori de Minnesota [8]. Se emplea el emc para

determinar el desempeno predictivo de los modelos.

3.1.1. Modelo

El modelo que se plantea es un VAR con tres variables (Produccion, Inflacion y Tasas de

Interes). Se estudiaran dos casos, la data de EEUU1 y la data de Venezuela2.

1Fuente: Frank Shorfheide http://www.econ.upenn.edu/ schorf/research.htm2Fuente: Banco Central de Venezuela

28

Variable Notacion

Produccion y

Inflacion p

Tasas de Interes r

Las dos primeras variables mostradas en la tabla anterior se les aplica la primera diferencia

y el logaritmo y para las tasas se les aplica solamente el logaritmo.

3.1.2. Data de EEUU

En la data de EEUU se dispone de observaciones trimestrales especıficamente desde el cuarto

trimestre de 1959, hasta el tercer trimestre del ano 2001, el total de observaciones son 168. Los

modelos seran estimados tomando en consideracion los datos hasta el ano 1999 (trimestre tres)

y se realizaran las predicciones hasta el ano 2001.

3.1.2.1. Implementacion del Modelo VAR reducido

En esta seccion se muestran los resultados de un VAR reducido para las variables men-

cionadas anteriormente.

Las ecuaciones que se estimaran tienen la siguiente forma:

yt = φ1,1yt−1 + φ1,2yt−2 + φ1,3yt−3 + φ1,4yt−4 + φ1,5pt−1 + φ1,6pt−2 + φ1,7pt−3 + φ1,8pt−4

+ φ1,9rt−1 + φ1,10rt−2 + φ1,11rt−3 + φ1,12rt−4 + c1t,

pt = φ2,1pt−1 + φ2,2pt−2 + φ2,3pt−3 + φ2,4pt−4 + φ2,5yt−1 + φ2,6yt−2 + φ2,7yt−3 + φ2,8yt−4

+ φ2,9rt−1 + φ2,10rt−2 + φ2,11rt−3 + φ2,12rt−4 + c2t,

rt = φ3,1rt−1 + φ3,2rt−2 + φ3,3rt−3 + φ3,4rt−4 + φ3,5yt−1 + φ3,6yt−2 + φ3,7yt−3 + φ3,8yt−4

+ φ3,9pt−1 + φ3,10pt−2 + φ3,11pt−3 + φ3,12pt−4 + c3t,

donde c1, c2 y c3 son los componentes determinısticos para cada ecuacion.

Veamos la estimacion del modelo:

29

variable dependiente Producto

R2 0.2845

N de variables 13

N de observaciones 156

Variable Rezago coef. t-estadıstico p-valor

Producto 1 0.166931 1.991643 0.048315

Producto 2 0.223533 2.604036 0.010186

Producto 3 -0.032296 -0.365696 0.715133

Producto 4 0.013707 0.169660 0.865517

Inflacion 1 -0.154003 -0.823580 0.411550

Inflacion 2 0.103370 0.520092 0.603804

Inflacion 3 0.004798 0.024553 0.980446

Inflacion 4 -0.047226 -0.247294 0.805035

Tasas 1 -0.160121 -2.688266 0.008035

Tasas 2 -0.027483 -0.405743 0.685538

Tasas 3 0.148895 2.226139 0.027569

Tasas 4 -0.019611 -0.323541 0.746758

Constante - 1.025761 4.076965 0.000075

30

variable dependiente Inflacion

R2 0.7827

N de variables 13



Producto 1 0.070544 1.7498 0.082294

Producto 2 -0.0091802 -0.22234 0.82437

Producto 3 0.048633 1.1449 0.25417

Producto 4 0.062166 1.5997 0.11187

Inflacion 1 0.61972 6.8901 1.64E-06

Inflacion 2 -0.026213 -0.27419 0.78433

Inflacion 3 0.51968 5.5294 1.48E-03

Inflacion 4 -0.10528 -1.1461 0.25367

Tasas 1 0.0086332 0.30134 0.7636

Tasas 2 0.0077493 0.23785 0.81234

Tasas 3 -0.074614 -2.3193 0.021798

Tasas 4 0.041632 1.428 0.15549

Constante - -0.036345 -0.30033 0.76436

31

variable dependiente Tasas de Interes

R2 0.8831

N de variables 13



Producto 1 0.4885 3.837 0.00018629

Producto 2 0.30524 2.341 0.020613

Producto 3 0.14318 10.673 0.28761

Producto 4 -0.063415 -0.51676 0.60612

Inflacion 1 0.76081 26.786 0.0082595

Inflacion 2 -0.43048 -14.259 0.15607

Inflacion 3 0.92135 31.043 0.0022995

Inflacion 4 -0.4633 -15.972 0.11244

Tasas 1 0.58307 64.447 0.000016584

Tasas 2 0.16888 16.414 0.10292

Tasas 3 0.18118 17.834 0.076649

Tasas 4 -0.048209 -0.52362 0.60135

Constante - -0.82043 -21.468 0.033496

3.1.2.2. Implementacion del Modelo BVAR Litterman

En esta seccion se muestran los resultados del modelo BVAR de Litterman para las variables

mencionadas anteriormente . Los hiperparametros con los cuales se realizo la estimacion del

modelo son los siguientes: θ0 = 0.1

θ1 = 1

θ2 = 0.5

En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuacion del modelo.

32


R2 0.2830

N de variables 13



Producto 1 0.169287911 2.129352 0.034804751

Producto 2 0.207574264 2.563508 0.011313315

Producto 3 -0.033173196 -0.409332142 0.682861014

Producto 4 0.01758838 0.239145687 0.811308536

Inflacion 1 -0.155738778 -0.910439121 0.364004619

Inflacion 2 0.074559188 0.419950433 0.675103208

Inflacion 3 0.027802637 0.169859963 0.865341765

Inflacion 4 -0.040026245 -0.261198267 0.794286347

Tasas 1 -0.15352044 -2.796673 0.005817542

Tasas 2 -0.013485572 -0.227761 0.820132139

Tasas 3 0.112642601 2.0923470 0.03803724

Tasas 4 -0.005342191 -0.114467165 0.909015617

Constante - 1.0441880 4.43349 1.74715E-05

33


R2 0.7813

N de variables 13



Producto 1 0.073975641 1.9487060 0.053136431

Producto 2 -0.003000652 -0.0792358 0.936947285

Producto 3 0.03828155 1.0460220 0.297179291

Producto 4 0.044432858 1.3744540 0.171284668

Inflacion 1 0.613342154 7.2521160 1.8327E-11

Inflacion 2 -0.009420816 -0.1053719 0.916216927

Inflacion 3 0.473322799 5.5068480 1.48505E-07

Inflacion 4 -0.081123103 -0.9804275 0.328402956

Tasas 1 0.009548738 0.3619820 0.717858496

Tasas 2 0.005545492 0.1938269 0.846565219

Tasas 3 -0.050737258 -1.9490000 0.053100936

Tasas 4 0.01944537 0.8666415 0.387478026

Constante - -0.010798256 -0.0971437 0.922737748

34

variable dependiente Tasas

R2 0.8825

N de variables 13



Producto 1 0.491911242 4.0880380 6.96485E-05

Producto 2 0.276999112 2.3099770 0.022208769

Producto 3 0.121195369 1.0379300 0.300918972

Producto 4 -0.03454904 -0.3364595 0.736979439

Inflacion 1 0.693362923 2.6469060 0.008961934

Inflacion 2 -0.323774458 -1.1938320 0.234367546

Inflacion 3 0.718588143 2.8642950 0.004759064

Inflacion 4 -0.302286151 -1.2870100 0.200009433

Tasas 1 0.591049614 6.9284780 1.07103E-10

Tasas 2 0.169353203 1.7685850 0.078930137

Tasas 3 0.180171717 1.9607170 0.051704494

Tasas 4 -0.059744121 -0.7435526 0.458272806

Constante - -0.775957626 -2.1902290 0.030001786

3.1.2.3. Implementacion del Modelo BVAR Schorfheide

En esta seccion se muestran los resultados del BVAR Schorfheide. En las siguientes tablas

se presenta el ajuste realizado para cada ecuacion del modelo.

35


R2 0.20591

N de variables 13



Producto 1 0.28439 3.2207 0.0015831

Producto 2 0.26701 2.9526 0.0036849

Producto 3 0.083175 0.89399 0.37283

Producto 4 0.099294 1.1666 0.24531

Inflacion 1 -0.0067634 -0.034333 0.97266

Inflacion 2 0.16704 0.79776 0.42633

Inflacion 3 -0.16625 -0.80766 0.42063

Inflacion 4 -0.022333 -0.11101 0.91177

Tasas 1 -0.18724 -2.984 0.0033472

Tasas 2 -0.026329 -0.36896 0.71271

Tasas 3 0.1695 2.4054 0.017431

Tasas 4 0.056211 0.88027 0.38019

Constante - 0.10929 0.41234 0.68071

36


R2 0.70872

N de variables 13



Producto 1 0.093263 1.9978 0.04763

Producto 2 -0.035997 -0.7529 0.45273

Producto 3 0.086346 1.7555 0.081318

Producto 4 0.053897 1.1978 0.23298

Inflacion 1 0.19802 1.9014 0.059267

Inflacion 2 0.44744 4.0421 8.62E-01

Inflacion 3 0.1614 1.4831 0.14024

Inflacion 4 0.060141 0.5654 0.57266

Tasas 1 0.073704 2.2218 0.027871

Tasas 2 -0.058485 -1.5503 0.12329

Tasas 3 -0.015989 -0.4292 0.66841

Tasas 4 0.014494 0.4293 0.66833

Constante - -0.12292 -0.8772 0.38184

37


R2 0.87065

N de variables 13



Producto 1 0.46014 3.43640 0.00077212

Producto 2 0.043298 0.31573 0.75267

Producto 3 0.12222 0.86625 0.3878

Producto 4 0.1396 1.08150 0.28128

Inflacion 1 0.12544 0.41991 0.67518

Inflacion 2 0.040989 0.12909 0.89747

Inflacion 3 0.66641 2.13480 0.034481

Inflacion 4 -0.036702 -0.12030 0.90442

Tasas 1 0.65945 6.93010 1.33E-06

Tasas 2 0.11258 1.04040 0.29993

Tasas 3 0.11677 1.09280 0.27633

Tasas 4 -0.076063 -0.78549 0.43347

Constante - -0.19926 -0.49572 0.62085

Al comparar los coeficientes estimados mediante el BVAR de Litterman, BVAR Schorfhei-

de con los coeficientes del VAR, se observa que son similares, ademas, los coeficientes de las

variables diferentes a la variable dependiente son cercanos a cero. Por otra parte, el coeficiente

de determinacion R2 siempre es mayor en el modelo VAR.

3.1.2.4. Desempeno predictivo de los modelos

En esta seccion se presenta la comparacion del desempeno predictivo de los modelos VAR

frecuentista, BVAR de Del Negro y Schorfheide y el BVAR de Litterman, a diferentes horizontes

para el producto, inflacion y tasas de interes, para el caso de la data de EEUU usando el error

38

medio cuadratico (emc). Por otra parte, es importante destacar cual es el valor de λ que se

emplea, para ello, veamos la siguiente tabla,

Modelos λ Media Armonica

Modelo 1 0.2 2.8267 × 10−28

Modelo 2 0.4 5.7061 × 10−21

Modelo 3 0.3 1.167 × 10−22

Modelo 4 0.25 1.8307 × 10−23

Modelo 5 0.45 3.9373 × 10−24

Modelo 6 0.5 1.4738 × 10−24

Al aplicar la media armonica a los seis modelos mostrados anteriormente se obtuvo que el λ

con mayor densidad en la data es λ = 0.4.

Produccion (PIB)

Antes de presentar las predicciones, veamos el grafico de los datos reales de la variable produccion.

39

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas al producto.

En la grafica anterior se observa que:

1. El comportamiento del VAR frecuentista es similar al BVAR de Litterman.

2. Los tres modelos no logran capturar la tendencia de la serie observada, sin embargo, el

modelo BVAR Schorfheide se aproxima a la observacion a dos pasos.

En la siguiente tabla se presenta los emc a diferentes horizontes de prediccion para el BVAR

de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista.

40

Pasos BVAR Schorfheide BVAR Litterman VAR Frecuentista

1 0.734399 0.567623587 0.591989082

2 0.014556 0.12058251 0.125575827

3 0.062555 0.006014977 0.005155639

4 0.090359 0.19631715 0.191371402

5 0.037547 0.107933904 0.107561869

6 0.119836 0.221489736 0.221988793

7 0.170848 0.270977765 0.271498994

8 0.071334 0.134388875 0.134376422

En las siguientes tablas se presentan una comparacion, especıficamente en el porcentaje de

mejora a cada paso entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR

frecuentista.

BVAR Schorfheide BVAR Litterman Mejoras

0.7344 0.5676 -29 %

0.0146 0.1206 88 %

0.0626 0.0060 -940 %

0.0904 0.1963 54 %

0.0375 0.1079 65 %

0.1198 0.2215 46 %

0.1708 0.2710 37 %

0.0713 0.1344 47 %

41

BVAR Schorfheide VAR Frecuentista Mejoras

0.73439942 0.591989082 -24 %

0.014555998 0.125575827 88 %

0.062555456 0.005155639 -1113 %

0.090359311 0.191371402 53 %

0.037547393 0.107561869 65 %

0.119835507 0.221988793 46 %

0.170847629 0.271498994 37 %

0.071334315 0.134376422 47 %

Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el emc es el BVAR de

Schorfheide, especificamente seis pasos mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR Fre-

cuentista.

Precios

El grafico muestra los datos reales para los precios.

42

Inflacion

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas a la inflacion versus las observa-

ciones.

Con respecto al grafico anterior es importante senalar varios aspectos.

1. Al igual que en el grafico de la produccion el comportamiento del VAR frecuentista es

similar al BVAR bayesiano.

2. El modelo BVAR Schofheide se aproxima a las observaciones, especificamente a uno, tres

y cinco pasos.



43


1 0.000662 0.003341218 0.002023071

2 0.079766 0.050937133 0.051826581

3 0.000333 0.002429984 0.00173032

4 0.004529 0.000161226 0.000052

5 0.000099 0.003068368 0.00293295

6 0.016443 0.002464544 0.002837716

7 0.000087 0.006535544 0.006866534

8 0.035284 0.08130212 0.08098023

En la tabla anterior observamos el modelo BVAR Schorfheide en cinco pasos minimiza el

emc, por su parte el BVAR Litterman lo minimiza en dos pasos, sin embargo, de manera global

el BVAR Schorfheide es el modelo que minimiza el emc.

En las siguientes tablas se presentan una comparacion especıficamente en el porcentaje de

mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - VAR Frecuentista.


0.0007 0.0033 80 %

0.0798 0.0509 -57 %

0.0003 0.0024 86 %

0.0045 0.0002 -2709 %

0.0001 0.0031 97 %

0.0164 0.0025 -567 %

0.0001 0.0065 99 %

0.0353 0.0813 57 %

44


0.0007 0.0020 67 %

0.0798 0.0518 -54 %

0.0003 0.0017 81 %

0.0045 0.0001 -8679 %

0.0001 0.0029 97 %

0.0164 0.0028 -479 %

0.0001 0.0069 99 %

0.0353 0.0810 56 %


Schorfheide, especificamente cinco pasos mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR

Frecuentista.

Tasas de Interes

Antes de presentar las predicciones, veamos el grafico de los datos reales de la variable tasas

de interes.

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas a las tasas de interes, versus las

45

observaciones.

Con referencia al grafico anterior es importante senalar varios puntos.

1. Al igual que en el grafico de la produccion el comportamiento del var frecuentista es similar

al BVAR bayesiano

2. El modelo de BVAR Schofheide se aproxima a las observaciones especificamente los dos

primeros pasos.


de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista

46


1 0.031465 0.212584102 0.270593176

2 0.082361 0.149846416 0.149795456

3 0.272058 0.282520389 0.278946746

4 0.461856 0.49866035 0.504386599

5 0.391461 0.30846908 0.304454886

6 0.127662 0.061641076 0.065554345

7 0.010969 0.067143841 0.067411344

8 0.198480 0.418770352 0.418999574

En la tabla anterior observamos el modelo BVAR Schorfheide en seis pasos minimiza el emc,

por su parte el BVAR Litterman lo minimiza en un paso al igual que el var frecuentista, sin

embargo, de manera global el BVAR Schorfheide es el modelo que minimiza el emc.




0.0315 0.2126 85 %

0.0824 0.1498 45 %

0.2721 0.2825 4 %

0.4619 0.4987 7 %

0.3915 0.3085 -27 %

0.1277 0.0616 -107 %

0.0110 0.0671 84 %

0.1985 0.4188 53 %

47


0.0315 0.2706 88 %

0.0824 0.1498 45 %

0.2721 0.2789 2 %

0.4619 0.5044 8 %

0.3915 0.3045 -29 %

0.1277 0.0656 -95 %

0.0110 0.0674 84 %

0.1985 0.4190 53 %


Schorfheide, especificamente seis pasos de mejora con respecto al BVAR Litterman y el VAR

Frecuentista.

En general, al realizar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se

observa que el modelo que minimiza el emc es el BVAR Schorfheide, es decir, tiene un buen

desempeno predictivo.

3.1.3. Data Venezolana

Para la data de Venezuela, se disponen de datos trimestrales desde el segundo trimestre

del ano 1985 hasta junio del ano 2008, con un total de 93 observaciones. Los modelos seran

estimados tomando en consideracion los datos hasta el ano 2006 y se realizaran predicciones

hasta el ano 2008.

3.1.3.1. Implementacion del Modelo VAR reducido

Veamos la estimacion del modelo para el caso Venezolano.

48


R2 0.4559

N de variables 13



Producto 1 -0.345324301 -3.287647 0.001601151

Producto 2 -0.237521972 -2.079006 0.041391476

Producto 3 -0.140157595 -1.223920 0.225206339

Producto 4 0.479515514 4.387339 4.09294E-05

Inflacion 1 -0.160124003 -0.878792 0.382608952

Inflacion 2 -0.099381456 -0.452355 0.652453252

Inflacion 3 0.163314324 0.746654 0.457846201

Inflacion 4 0.140571857 0.791323 0.431506914

Tasas 1 -0.031436504 -1.254754 0.213863594

Tasas 2 0.016679081 0.492220 0.624149387

Tasas 3 -0.036612555 -1.082001 0.283074164

Tasas 4 0.037937437 1.527385 0.131303573

Constante - 0.044432976 1.132315 0.26147901

49


R2 0.5655

N de variables 13



Producto 1 -0.052385691 -0.7363578 0.464045752

Producto 2 0.089125515 1.1517870 0.253442143

Producto 3 0.051830948 0.6682572 0.506231497

Producto 4 0.014115307 0.1906808 0.849343795

Inflacion 1 0.773191831 6.2652010 2.90808E-08

Inflacion 2 0.067687438 0.4548833 0.650642122

Inflacion 3 -0.337402002 -2.2775140 0.025904889

Inflacion 4 0.214706355 1.7845090 0.078801769

Tasas 1 -0.006739948 -0.3971907 0.692470829

Tasas 2 0.015730152 0.6853905 0.495427508

Tasas 3 -0.007355114 -0.3209262 0.749250536

Tasas 4 0.002812446 0.1671795 0.867724996

Constante - 0.007549391 0.2840481 0.777236619

50


R2 0.8031

N de variables 13



Producto 1 0.67736638 1.2817460 0.204284944

Producto 2 0.491058405 0.8542900 0.395943973

Producto 3 0.526337766 0.9135264 0.364193494

Producto 4 0.621808369 1.1307730 0.262123182

Inflacion 1 0.75129045 0.8195165 0.415354957

Inflacion 2 -0.199844244 -0.1807947 0.85706649

Inflacion 3 -0.279196644 -0.2537030 0.800490534

Inflacion 4 0.142560255 0.1595050 0.873743851

Tasas 1 0.894987695 7.1000540 9.36516E-10

Tasas 2 0.170577342 1.0005260 0.320602942

Tasas 3 -0.171163425 -1.0053770 0.318279638

Tasas 4 -0.030113533 -0.2409698 0.810303605

Constante - 0.365450717 1.8510190 0.068510093

3.1.3.2. Implementacion del Modelo BVAR Litterman

Al igual que en la seccion 1.3 los hiperparametros con los cuales se realizo la estimacion del

modelo son los siguientes: θ0 = 0.1

θ1 = 1

θ2 = 0.5

En las siguientes tablas se presenta el ajuste realizado para cada ecuacion del modelo.

51

variable dependiente Produccion

R2 0.4413

N de variables 13



Producto 1 -0.342109241 -3.597651 0.000554435

Producto 2 -0.229369457 -2.288275 0.024760798

Producto 3 -0.137735751 -1.425104 0.158017126

Producto 4 0.392721966 4.401738 3.28731E-05

Inflacion 1 -0.162423969 -1.056361 0.29398302

Inflacion 2 -0.018592859 -0.114112 0.909435248

Inflacion 3 0.075671465 0.554384 0.580862769

Inflacion 4 0.108192671 0.983451 0.328350461

Tasas 1 -0.031645483 -1.546841 0.12584854

Tasas 2 0.007569638 0.315719 0.753038118

Tasas 3 -0.006790929 -0.351990 0.725771591

Tasas 4 0.015794021 1.087369 0.280138821

Constante - 0.052927033 1.501483 0.137167671

52


R2 0.5618

N de variables 13



Producto 1 -0.06381846 -1.053049 0.295488808

Producto 2 0.065695993 1.089970 0.278998832

Producto 3 0.030191235 0.556111 0.579686768

Producto 4 0.0047815 0.100567 0.92014585

Inflacion 1 0.759526448 6.950432 8.83405E-10

Inflacion 2 0.048365742 0.385262 0.701065993

Inflacion 3 -0.265480548 -2.287563 0.024804291

Inflacion 4 0.157041876 1.647267 0.1034258

Tasas 1 -0.004060343 -0.295156 0.768639398

Tasas 2 0.009262123 0.574209 0.567437465

Tasas 3 -0.003300319 -0.253873 0.800245004

Tasas 4 0.002159503 0.220419 0.826106205

Constante - 0.010498942 0.451940 0.652535264

53


R2 0.8014

N de variables 13



Producto 1 0.484539905 1.0755170 0.285376181

Producto 2 0.24702824 0.5501002 0.583783312

Producto 3 0.251031137 0.6236147 0.534654722

Producto 4 0.283855745 0.8058494 0.422718602

Inflacion 1 0.636589807 0.8271389 0.41061874

Inflacion 2 -0.16273467 -0.1995899 0.842307753

Inflacion 3 -0.239982234 -0.3518998 0.725838669

Inflacion 4 0.053412309 0.0970557 0.922924888

Tasas 1 0.911513476 8.1853300 3.503E-12

Tasas 2 0.122797018 0.8590709 0.392868257

Tasas 3 -0.141019026 -1.0901780 0.278907509

Tasas 4 -0.037382014 -0.3905061 0.697200238

Constante - 0.40626412 2.3218120 0.022787594

3.1.3.3. Implementacion del Modelo BVAR Schorfheide

En esta seccion se implementa un BVAR Schorfheide. En las siguientes tablas se presenta el

ajuste realizado para cada ecuacion del modelo.

54


R2 0.080074

N de variables 13



Producto 1 0.095605 0.7000 0.48631

Producto 2 0.12175 0.8196 0.41531

Producto 3 -0.21602 -1.4507 0.15145

Producto 4 0.22481 1.5819 0.11832

Inflacion 1 0.034204 0.1444 0.88564

Inflacion 2 -0.1579 -0.5528 0.58224

Inflacion 3 -0.058073 -0.2042 0.83882

Inflacion 4 0.026018 0.1126 0.91065

Tasas 1 -0.027573 -0.8464 0.40029

Tasas 2 0.016019 0.3636 0.7173

Tasas 3 0.012302 0.2796 0.78063

Tasas 4 0.0055497 0.1718 0.86408

Constante - -0.003175 -0.0622 0.95057

55


R2 0.24824

N de variables 13



Producto 1 -0.038998 -0.4167 0.67818

Producto 2 -0.021113 -0.2074 0.83629

Producto 3 0.2849 2.7925 6.78E-03

Producto 4 0.10388 1.0668 0.28982

Inflacion 1 0.041723 0.2570 0.79794

Inflacion 2 0.37832 1.9329 5.74E-02

Inflacion 3 -0.023907 -0.1227 0.90272

Inflacion 4 0.0045967 0.0290 0.97691

Tasas 1 0.021189 0.9493 0.34584

Tasas 2 -0.012216 -0.4047 0.687

Tasas 3 -0.0030485 -0.1011 0.91975

Tasas 4 0.0097966 0.4427 0.65938

Constante - -0.0036968 -0.1057 0.9161

56


R2 .72495

N de variables 13



Producto 1 1.1156 1.78620 0.07853

Producto 2 -0.019916 -0.02932 0.9767

Producto 3 10,533 1.54680 0.12656

Producto 4 0.60615 0.93267 0.35429

Inflacion 1 -0.048844 -0.04508 0.96417

Inflacion 2 -0.34139 -0.26132 0.79463

Inflacion 3 -0.13005 -0.09999 0.92065

Inflacion 4 0.010546 0.00998 0.99206

Tasas 1 0.76784 5.15400 2.38E-02

Tasas 2 0.052529 0.26070 0.79511

Tasas 3 0.070731 0.35153 0.72628

Tasas 4 0.11791 0.79835 0.42745

Constante - -0.054948 -0.23549 0.81454

Al efectuar la comparacion de los coeficientes estimados mediante el BVAR de Litterman,

BVAR Shorfheide, con los coeficientes del VAR, se observa que son similares, ademas, los coefi-

cientes de las variables diferentes a la variable dependiente son cercanos a cero. Por otra parte,

el coeficiente de determinacion R2 siempre es mayor en el modelo VAR.

3.1.3.4. Desempeno predictivo de los modelos

En esta seccion se presentara las diferencias en cuanto al desempeno predictivo de los modelos

var frecuentistas, BVAR y BVAR (Litterman), a diferentes horizontes para el producto, inflacion

y tasas de interes, para la de Venezuela. Esta comparacion se hara haciendo enfasis en el error

cuadratico medio (ecm).

57

Por otra parte, es importante senalar los valores de λ que se emplean para cada variable

estudiada produccion, inflacion y tasas, especıficamente λ = 0.09, λ = 0.024 y λ = 2.8 respecti-

vamente.

Produccion (PIB)

Antes de presentar las predicciones, veamos el grafico de los datos reales de la variable pro-

duccion.

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas al producto versus las observa-

ciones.

58

Con respecto a la grafica anterior se senalara varias cosas.

1. Las prediccion de los tres modelos captura la tendencia de la serie observada, sin embargo,

no logran capturar la magnitud de los picos, salvo la prediccion a cuatro pasos en la que

los tres modelos se aproximan a la observacion.




1 0.002790683 0.000822775 0.000815536

2 0.000532552 0.001387553 0.001287144

3 0.001579257 0.001338943 0.000881544

4 0.000130717 6.00641E-05 3.07644E-05

5 0.001093866 0.000563709 0.000580148

6 0.000443967 0.000774388 0.000759604

7 0.002330535 0.002245457 0.001805203

8 0.000390152 0.000312869 0.000215717

59


mejora entre el BVAR Schorfheide - BVAR Litterman y BVAR Schorfheide - Var Frecuentista.


0.002790683 0.000822775 -239 %

0.000532552 0.001387553 62 %

0.001579257 0.001338943 -18 %

0.000130717 0.000060064096435 -118 %

0.001093866 0.000563709 -94 %

0.000443967 0.000774388 43 %

0.002330535 0.002245457 -4 %

0.000390152 0.000312869 -25 %


0.002790683 0.000815536 -242 %

0.000532552 0.001287144 59 %

0.001579257 0.000881544 -79 %

0.000130717 0.000030764362710 -325 %

0.001093866 0.000580148 -89 %

0.000443967 0.000759604 42 %

0.002330535 0.001805203 -29 %

0.000390152 0.000215717 -81 %

Observamos en las tablas anteriores que el modelo que minimiza el EMC es el VAR Fre-

cuentista. El modelo BVAR Schorfheide no tiene un buen desempeno predictivo.

60

Precios

El grafico muestra los datos reales para los precios.

Inflacion

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas a la inflacion versus las observa-

ciones.

Con respecto a la grafica anterior se senalara varias cosas.

61

1. El comportamiento del VAR frecuentista tiene un comportamiento analogo al BVAR

bayesiano.

2. El modelo BVAR Schorfheide se aproxima a las observaciones especificamente a uno y a

dos pasos.




1 0.000132466 0.000511253 0.000556081

2 1.12312E-05 0.000119504 0.00010753

3 0.000280285 0.00029206 0.000258868

4 4.41302E-05 8.27899E-05 8.50407E-05

5 0.000298335 0.000210023 0.000178373

6 0.000254682 0.000193322 0.000218064

7 2.98326E-05 2.50044E-05 3.70985E-05

8 7.48786E-06 1.11808E-07 2.05384E-07



62


0.000132466 0.000511253 74 %

0.00001123116482 0.000119504 91 %

0.000280285 0.00029206 4 %

0.000044130196188 0.000082789927093 47 %

0.000298335 0.000210023 -42 %

0.000254682 0.000193322 -32 %

0.00002983258903 0.000025004437030 -19 %

0.00000748786005 0.00000011180835 -6597 %


0.000132466 0.000556081 76.18 %

0.000011231164821 0.00010753 89.56 %

0.000280285 0.000258868 -8.27 %

0.000044130196188 0.000085040744917 48.11 %

0.000298335 0.000178373 -67.25 %

0.000254682 0.000218064 -16.79 %

0.00002983258903 0.000037098509114 19.59 %

0.00000748786005 0.000000205384118 -3545.78 %

En las tablas anteriores observamos que el modelo BVAR Schorfheide al igual que el VAR

frecuentista minimiza el emc en cuatro pasos.

63

Tasas de Interes

Antes de presentar las predicciones, veamos el grafico de los datos reales de la variable tasas

de interes.

El siguiente grafico se muestran las predicciones realizadas a las tasas de interes versus las

observaciones.

64

Con respecto al grafico es importante senalar varios aspectos.

1. Al igual que la variable inflacion el comportamiento del var frecuentista tiene un compor-

tamiento analogo al BVAR bayesiano.

2. El modelo BVAR Schorfheide se aproxima a las observaciones especificamente a dos, a

tres y cuatro pasos.




1 0.014753551 0.009776647 0.011169841

2 0.019278642 0.023830927 0.025326173

3 0.022126834 0.031663189 0.029906861

4 0.024469374 0.037530727 0.036952769

5 0.019174829 0.030041389 0.028888061

6 0.018270548 0.031139086 0.028944256

7 0.00235321 0.008028705 0.005971765

8 0.000949434 0.000150039 1.20069E-06

En la tabla anterior observamos que que el modelo BVAR Schorfheide minimiza el emc en

seis pasos.



65


0.014753551 0.009776647 -51 %

0.019278642 0.023830927 19 %

0.022126834 0.031663189 30 %

0.024469374 0.037530727 35 %

0.019174829 0.030041389 36 %

0.018270548 0.031139086 41 %

0.00235321 0.008028705 71 %

0.000949434 0.000150039 -533 %


0.014753551 0.011169841 -32 %

0.019278642 0.025326173 24 %

0.022126834 0.029906861 26 %

0.024469374 0.036952769 34 %

0.019174829 0.028888061 34 %

0.018270548 0.028944256 37 %

0.00235321 0.005971765 61 %

0.000949434 0.000001200687627 -78974 %

Observamos en las dos tablas anteriores que el modelo BVAR Schorfheide tiene una mejora

en seis pasos con respecto al BVAR Litterman y el VAR Frecuentista.

En general, al realizar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se

observa que el modelo BVAR Schorfheide no tiene un buen desempeno predictivo en comparacion

a los otros modelos y esto se evidencia en los errores medio cuadratico.

66

Consideraciones Finales

En los resultados de la implementacion de los tres modelos, se tiene que para el caso de la

data de EEUU, el modelo BVAR Schorfheide tiene un buen desempeno predictivo en contraste

con el BVAR de Litterman y el VAR frecuentista. Sin embargo, para la data Venezolana no

ocurre de forma similar y esto se evidencio cuando se determino el error medio cuadratico (emc)

a diferentes pasos para cada modelo estudiado.

El modelo estocastico de equilibro general (MEEG) considerado en este trabajo no es adecua-

do para la economıa Venezolana, una de las posibles causas, es porque se trabaja con un modelo

pequeno (tiene tres variables, con tres shocks), ademas, al observar los graficos de las variables

reales, se puede evidenciar que el comportamiento de la economıa en Venezuela es muy diferente

a la economıa de EEUU. Por ello el MEEG que se debe implementar debe estar adaptado a

las caracterısticas propias de la economıa de Venezuela, en este sentido para explicar mejor la

economıa sera necesario incluir mas variables que no han sido estudiadas en este trabajo.

67

Referencias

[1] F.C. Ballabriga, A. Gonzalez, L. Julian, and J. Jareno Morago. Un modelo macroeconomico

Bvar para la economıa espanola: metodologıa y resultados. Estudios economicos, ISSN

0213, 2699(64):1–125, 1998.

[2] D. Barraez, Bolıvar W., and Cartaya V. Metodos Bayesianos para la prediccion de variables

macroeconomicas en Venezuela. Revista BCV, XXII(2):146–168, 2008.

[3] W. Bolıvar. Prediccion de variables macroeconomicas mediante VAR bayesianos: una apli-

cacion al caso venezolano. Tesis de Maestrıa, Postgrado en Modelos Aleatorios,Universidad

Central de Venezuela, 2007.

[4] M. Del Negro and F. Schorfheide. Priors from General Equilibrium Models for VARS.

International Economic Review, 45(2):643–673, 2004.

[5] T. Doan, R. Litterman, and C. Sims. Forecasting and conditional projection using realistic

prior distributions. Federal Reserve Bank of Minneapolis, report 93, 1986.

[6] A. Gelfand and D. Dey. Bayesian Model Choice: Asymptotics and Exact Calculations.

Journal of the Royal Statistical Society Series B, 5(56):501–514, 1994.

[7] J. Geweke. Using simulation methods for bayesian econometric models: inference, develop-

ment, and communication. Technical report, 1998.

[8] R.B. Litterman. Techniques of Forecasting Using Vector Autoregressions. 1981.

[9] H. Lutkepohl. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, 2005.

68

[10] N. Metropolis and S. Ulam. The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical

Association, 44(247):335–41, 1949.

[11] C. Sims. Macroeconomics and Reality. Econometrica, 48(1), 1980.

[12] C. Sims. Solving Linear Rational Expectations Models. Computational Economics, 20(1):1–

20, 2002.

[13] A. Zellner. An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. New York, John Wiley

y Sons, 1971.

69

Apendice A

Algoritmo de C. Sims

El algoritmo de Sims [12] presenta una solucion robusta en terminos computacionales para los

modelos lineales con expectativas racionales, basados en la descomposicion de Schur. Cualquier

modelo con expectativas racionales, sea discreto o continuo puede ser resuelto empleando este

algoritmo. El modelo tiene la siguiente forma,

Γ0y(t) = Γ1y(t− 1) + C + Ψz(t) + Πη(t),

con t = 1, ..., T , C es un vector de constantes, z(t) es la variable exogena, η(t) es el error de

expectativas que sastisface Et[η(t+ 1)] = 0

En el caso de este trabajo el sistema de expectativas racionales esta dado por las ecuaciones

(1.11), (1.13), (1.15) - (1.17) (presentadas en el capıtulo I). Este sistema de ecuaciones puede

ser reescrito como,

Γ0(θ)st = Γ1(θ)st−1 + C + Ψ(θ)zt + Π(θ)ηt,

donde,

s′t = (xt, πt, Rt, R∗, gt, zt,E[xt+1],E[πt+1]).

ε′t = (εR,t, εg,t, εz,t).

η′t = (xt − Et−1(xt), πt − Et−1(πt)).

Las matrices estan dadas por,

70

Γ0 =

1 0 1/τ 0 −(1− ρg) −ρz/τ −1 −1/τ

−κ 1 0 0 κ 0 0 −β

0 0 1 −(1− ρR) 0 0 0 0

−ψ2 −ψ1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

,

Γ1 =

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 ρR 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ρg 0 0 0

0 0 0 0 0 ρz 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

, C =

0

0

0

0

0

0

0

0

, Ψ =

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

, Π =

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

.

Al resolver el sistema por medio del algoritmo de Sims, nos conduce a la ecuacion de transicion

(2.16) expuesta en el capıtulo III,

st = T (θ)st−1 +R(θ)εt, (A.1)

La ecuacion de medida de (2.17) puede escribirse de forma apilada de la siguiente forma,

yt = Z(θ)st +D(θ) + νt. (A.2)

En la implementacion νt es cero. Las matrices T y R son obtenidas por medio del algoritmo

de Sims, el vector de espacios de estados es aumentado con “xt−1”, es decir,

s′t = (xt, πt, Rt, R∗, gt, zt,E[xt+1],E[πt+1], xt−1).

71

y las matrices Z, D son de la siguiente forma,

Z =

1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 4 0 0 0 0 0 0

, D =

lnγ

lnπ∗

4lnR∗

,

donde, lnR∗ = lnr∗ + lnπ∗

Verifiquemos que yt = Z(θ)st +D(θ) es igual a las ecuaciones (1.18).

∆lnXt

∆lnPt

lnRat

=

1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 4 0 0 0 0 0 0

×

xt

πt

Rt

R∗

gt

zt

E[xt+1]

E[πt+1]

xt−1

+

lnγ

lnπ∗

4lnR∗

∆lnXt

∆lnPt

lnRat

=

lnγ + ∆xt + zt

lnπ∗ + πt

4[Rt + lnr∗ + lnπ∗]

. (A.3)

Observamos que la ecuacion (A.3), es igual a la ecuacion (1.18).

72

Apendice B

Programas en matlab

Para implementar el modelo BVAR del Negro y Shorfheide [4], se realizaron un conjunto de

programas en MATLAB1 version 7.0. Estos programas realizan lo siguiente: procesamiento de

los datos, implementacion del modelo, densidad a priori, calculo de la verosimilitud y la densidad

a posteriori. Ademas, se realizan predicciones y se comparan el desempeno de los modelos.

Se describira a continuacion los programas.

1. procesamiento data.m Lee los datos desde Excel (con el comando “xslread”) y los

procesa para introducirlos en el modelo. Las salidas estan dadas de la siguiente manera:

Salida de la funcion

∆lnXt Primera diferencia del Producto

∆lnPt Primera diferencia de los Precios

lnRat Logaritmo de las Tasas Anualizadas

2. modelo.m Funcion donde esta el vector de parametros del MEEG y las matrices prove-

nientes del sistema de expectativas racionales dado por las ecuaciones (1.11), (1.13),

(1.15) - (1.17)

3. priori.m Donde esta la densidad a priori de los parametros

4. verosimilitud.m Calcula la funcion de verosimilitud

1Matlab c©1984-2008 es marca registrada de MathWorks, Inc.

73

5. posterior.m Calcula la densidad posterior de los parametros.

6. fgeweke.m funcion propuesta por Geweke [7] para calcular la funcion de verosimilitud

marginal.

7. marginalmodificado.m Calcula el tamano de λ para el cual tiene la mayor densidad de

los datos. Para ello utilizamos fgeweke.m

8. prediccionpib.m Realiza la prediccion del producto para los tres modelos (BVAR Schorfhei-

de, BVAR Litterman, VAR frecuentista)

9. prediccioninflacion.m Realiza la prediccion de la inflacion para los tres modelos

10. predicciontasas.m Realiza la prediccion de las tasas para los tres modelos

Para las funciones prediccionpib, prediccioninflacion y predicciontasas sus entradas y salidas

son las siguientes:

Entrada de la funcion

datos Observaciones con las cuales se estima el modelo

nfor Horizonte de prediccion

nlag Numero de rezagos del modelo

lambda El valor de λ

nobs Numero de observaciones del modelo

Salida de la funcion

fcasts Prediccion

emc El Error Medio Cuadratico

74

Apendice C

Graficos de las Simulaciones

C.1. Data EEUU

Figura C.1: Simulaciones de los parametros 1 (data EEUU)

75

Figura C.2: Simulaciones de los parametros 2 (data EEUU)

76

Figura C.3: Simulaciones de las autocorrelaciones (data EEUU)

77

Figura C.4: Simulaciones de los shocks (data EEUU)

C.2. Data Venezolana

78

Figura C.5: Simulaciones de los parametros 1(data Venezolana)

79

Figura C.6: Simulaciones de los parametros 2 (data Venezolana)

Figura C.7: Simulaciones de las autocorrelaciones (data Venezolana)

80

Figura C.8: Simulaciones de los shocks (data Venezolana)

81

universidad central de venezuela facultad de ciencias maestría en

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