universidad autónoma san franciscorepositorio.uasf.edu.pe/bitstream/uasf/119/1/tu aimn-mrh.pdf ·...
TRANSCRIPT
Universidad Autónoma San Francisco
Autor:
Missey Riveros Huamán
Arequipa – Perú
2018
ASPECTOS IMPORTANTES DE
LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Editor: Universidad Autónoma de San Francisco
Av. Parra N.º 219, Cercado – Arequipa
Arequipa, abril del 2018
1
RESUMEN
• Comprende las actividades involucrados en los procesos y aprende a abstraerlos
a un modelo matemático y Conoce la teoría de errores, raíces de ecuaciones.
• Se modela diversos problemas de aplicativos, analizando y proponiendo
alternativas de solución. Resuelve ecuaciones algebraicas lineales.
• Se resuelven problemas de optimización y ajustes de curvas utilizando diferentes
herramientas y modelos matemáticos y se desarrolla la capacidad de análisis y
representación de mediante expresiones matemáticas.
• Se desarrolla métodos de Integración numéricos y se comprende las actividades
involucrados en los procesos y aprende a abstraerlos a un modelo matemático.
• Se desarrolla métodos numéricos para solucionar ecuaciones diferenciales
ordinarias y parciales.
• Comprende las actividades involucrados en los procesos y aprende a abstraerlos
a un modelo matemático.
2
INTRODUCCIÓN
Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a
menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta
y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los
métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de
resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir
esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y
usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra
habilidad para el uso de computadoras, sino que también amplia la pericia matemática y
la comprensión de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de diseñar
métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas
expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar
soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más
simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y
lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Hoy en día, gran parte de la tecnología actual depende de la solución de modelos
matemáticos, desde la programación empotrada de una calculadora científica y el cálculo
estructural de un edificio multinivel con estructuras de acero, hasta el diseño y simulación
de aeronaves y vuelos espaciales. La solución de un modelo matemático relativamente
sencillo puede obtenerse de manera analítica.
En ocasiones, para la gran mayoría de los modelos matemáticos del mundo real, las
soluciones analíticas pueden no existir o ser extremadamente complejas, por lo cual se
recurre a métodos numéricos que aproximen las soluciones dentro de ciertos márgenes
de tolerancia.
3
ÍNDICE
Pág.
RESUMEN ...................................................................................................................... 1
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 2
CAPÍTULO I: MODELOS, COMPUTADORAS, ANÁLISIS DE ERROR Y RAÍCES DE
ECUACIONES ................................................................................................................ 6
A. Fuentes de Error y Error Final ................................................................................. 6
B. Definiciones ............................................................................................................. 7
C. Importancia de los Métodos Numéricos .................................................................. 8
D. Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo 9
E. Tipos de errores ...................................................................................................... 9
1. Error por redondeo ............................................................................................. 10
a. Método común ................................................................................................ 11
2. Error por truncamiento. ...................................................................................... 12
3. Error numérico total ............................................................................................ 13
F. Errores ................................................................................................................... 15
1. Propagación del error en las operaciones elementales ..................................... 15
a. Suma y resta .................................................................................................. 15
b. Producto ......................................................................................................... 15
c. División ........................................................................................................... 15
d. Raíz cuadrada ................................................................................................ 16
2. Representación de números .............................................................................. 16
a. Sistemas de numeración ................................................................................ 16
b. Representación en sistemas de punto fijo ...................................................... 17
4
c. Representación en sistemas de punto flotante ............................................... 17
d. Corte o truncamiento ...................................................................................... 18
e. Redondeo o redondeo simétrico ..................................................................... 19
3. Notación Decimal ............................................................................................... 21
4. Notación Binaria ................................................................................................. 21
G. Raíces De Ecuaciones .......................................................................................... 25
1. Método de Graficación ....................................................................................... 25
2. Método de bisección .......................................................................................... 28
3. Método de las cuerdas ....................................................................................... 31
4. Método de Newton ............................................................................................. 33
5. Método de la Secante ........................................................................................ 35
6. Método punto fijo ................................................................................................ 38
a. Teorema 1 ...................................................................................................... 38
b. Teorema 2 ...................................................................................................... 38
H. Tipos de convergencia .......................................................................................... 39
1. Convergencia monótona .................................................................................... 39
2. Convergencia Oscilatoria ................................................................................... 39
3. Divergencia Monótona ....................................................................................... 40
4. Divergencia oscilatoria ....................................................................................... 40
CAPÍTULO II: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES ......................................... 41
A. Matrices ................................................................................................................. 41
1. Matriz cuadrada ................................................................................................. 41
B. Determinantes ....................................................................................................... 41
1. Determinante de 3er. Orden .............................................................................. 42
2. Determinante de una matriz 3x3 por cofactores ................................................ 43
5
3. Teorema de expansión de determinantes .......................................................... 44
4. Teorema sobre una fila o columna de ceros ...................................................... 45
5. Regla de cramer para dos variables .................................................................. 47
6. Regla de cramer (FORMA GENERAL) .............................................................. 48
C. Método de Gauss .................................................................................................. 49
D. Descomposición LU .............................................................................................. 52
1. Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [U]) .......................... 53
2. Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [L])............................. 53
E. Método de Gauss-Seidel ....................................................................................... 60
CAPÍTULO III: OPTIMIZACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS ........................................... 69
A. Ajuste Por Mínimos Cuadrados ............................................................................. 69
CAPÍTULO IV: DIFERENCIACION E INTEGRACIÓN NUMÉRICA ............................. 73
A. Diferenciación Numérica ....................................................................................... 73
1. Fórmulas de alta exactitud ................................................................................. 73
B. La Integración Numérica ....................................................................................... 80
1. Método de Newton – Cotes ................................................................................ 82
2. Método Trapezoidal ........................................................................................... 83
C. Método De Simpson .............................................................................................. 86
D. Métodos Compuestos de Integración .................................................................... 90
1. Método Trapezoidal Compuesto ........................................................................ 90
2. Método Compuesto de Simpson ........................................................................ 92
3. Errores de truncamiento en la aproximación trapezoidal .................................. 95
CUESTIONARIO ........................................................................................................... 96
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 118
6
CAPÍTULO I: MODELOS, COMPUTADORAS, ANÁLISIS DE ERROR Y RAÍCES DE
ECUACIONES
A. Fuentes de Error y Error Final
Fuentes de error
Errores inherentes: (EI)
Son los errores que afectan a los datos del problema
numérico y pueden tener distintos orígenes. Por
ejemplo, pueden ser el resultado de la incertidumbre
en cualquier medición, o por ejemplo cuando
queremos ingresar en una calculadora los valores
de, ya que usaremos solo una cantidad finita de
dígitos para representarlos.
Errores de redondeo: (ER)
Son los posibles errores de representación que se
produzcan al realizar cada cálculo de nuestro
algoritmo.
Errores de discretización o truncamiento: (ED)
Son los que se producen al pasar del problema
matemático al numérico, por ejemplo, cuando se
desprecia el término complementario, suplantando
una suma infinita por una finita.
7
B. Definiciones
• Problema Matemático: Es una descripción clara de la conexión funcional entre
los datos de entrada y de salida.
• Problema Numérico: Es una descripción clara de la conexión funcional entre los
datos numéricos de entrada y de salida. Debe implicar una cantidad finita de
operaciones elementales realizables por computadora
• Método Numérico: Es un procedimiento para aproximar un problema matemático
con un problema numérico.
• Algoritmo: Es una descripción completa y bien definida de una cantidad finita de
operaciones elementales a través de las cuales es posible transformar los datos
de entrada en los datos de salida.
• Error absoluto, Error relativo y cota del error
Sea b el valor de una cierta magnitud y sea b el valor medido o calculado:
Error final
Error inherente propagado: La forma en que se
propaguen los errores inherentes quedara definida
por el problema numérico.
Error de redondeo propagado: El error de redondeo
final será el producto de la propagación de los
errores de redondeo en los cálculos y dependerá del
algoritmo que elijamos.
Errores de discretización o truncamiento: Es
cualitativa y cuantitativamente el que definimos para
la fuente de error.
8
𝑒𝑏 = 𝑏 − �̅�
𝑒𝑟𝑏 =𝑒𝑏
𝑏
𝑒𝑟𝑏 ≅𝑒𝑏
�̅� 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑖 |𝑒𝑏| ≪ |𝑏|
• Decimales significativos
10t
a tiene t decimales significativos a a k
(k puede tomar el valor 1 o 0.5). Tomaremos k=0.5.
Cuando el resultado de una operación tenga más de t decimales, escribiremos
este valor con t decimales solamente siguiendo la regla: si el decimal que está en
el lugar t+1 es menor que 5 dejamos los t decimales del número como están; si el
decimal de la posición t+1 es igual o mayor que 5 entonces le sumamos a nuestro
valor y tomamos los primeros t decimales que quedan. Cuando realizamos este
proceso decimos que nuestro resultado está escrito exactamente con sus
decimales significativos.
C. Importancia de los Métodos Numéricos
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas.
Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas
complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver
analíticamente. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver
problemas.
En el transcurso de la carrera tengamos la ocasión de usar software disponible
comercialmente que tenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas
depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos.
Hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas “hechos”. Si
esta versado en los métodos numéricos y es un adepto de la programación de
computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para
resolver los problemas, sin tener que comprar un software costosos.
9
D. Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y
sesgo
• Cifra significativa. - Las cifras significativas de un numero son aquellas que
pueden ser usadas en forma confiable.
• Exactitud. - Se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el
valor verdadero.
• Precisión. - Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o
calculado con respecto a los otros.
• Incertidumbre. - Se refiere a la magnitud en la dispersión de los valores.
• Sesgo. - Se define como una desviación sistemática del valor verdadero.
E. Tipos de errores
Error de concepto: inexactitud o equivocación al producir en la mente una idea sobre
algo.
Error de apreciación: es una inexactitud o equivocación al percibir con los sentidos y la
mente un determinado fenómeno o evaluar determinada situación o problema.
Error de medición: la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una
magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida
empleada, y tiene un límite.
Los errores de medición se clasifican en distintas clases (accidentales, aleatorios,
sistemáticos, etc.).
Sea A un número exacto y a, su valor aproximado. Si a < A, se aproxima por
defecto, sí a > A, es un valor aproximado por exceso.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la
resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error
absoluto es la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del
10
aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que
resultaron. El error absoluto indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad
de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.
Comúnmente los seres humanos, realizamos los cálculos aritméticos usando el sistema
numérico decimal (base 10); las computadoras hacen los cálculos aritméticos usando el
sistema numérico binario (base 2).
Al traducir los tipos numéricos existentes a notación binaria queda claro que las
operaciones realizadas no necesariamente son exactas por lo tanto van acumulado
diferencias (errores) en cada una de las operaciones.
Ea=imprecisión=incertidumbre
La diferencia entre el número exacto A y su valor aproximado a se llama error.
Como normalmente no se conoce A entonces es preferible hablar del valor absoluto de
la diferencia entre A y a o sea |𝐴 − 𝑎|
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto
puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por
exceso o por defecto. no tiene unidades.
Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error
absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética). Se puede dar
en % de error relativo.
1. Error por redondeo
Errores de redondeo: Se producen cuando los números tienen un límite de cifras
significativas que se usan para representar números exactos.
Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto
decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último
dígito que se toma en cuenta.
11
Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son
exactos.
a. Método común
Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número
de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales
y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:
Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.
Ejemplo 1: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer
decimal: 12,612=12,61.
Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se
incrementa en una unidad.
Ejemplo 2: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer
decimal:
12,618= 12,62.
Ejemplo 3: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer
decimal:
12,615= 12,62.
Ejemplo 4:
Redondear los siguientes números: 12.7852; 394.261; 6.265001; 147.5; 158.5 hasta tres
cifras.
12.7852 la cifra a omitir es 8 > 5 entonces se suma 1 a 7 o sea queda 12.8
12
394.261 la cifra a omitir es 2 < 5 entonces se deja igual o sea queda 394
6.265001 la cifra a omitir es 5 ≥ 5 entonces se suma 1 a 6 o sea queda 6.27
147.5 la cifra a omitir es 5 ≥ 5 entonces se suma 1 a 7 o sea queda 148
Esto genera errores de redondeo
En ambos casos tenemos que:
Valor verdadero = valor aproximado + error
Definición. Definimos el error absoluto como:
Error absoluto = valor verdadero - valor aproximado
2. Error por truncamiento.
Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores
ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a
cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto, la serie tendrá que ser truncada.
Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del
punto decimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo
Dados los números reales:
3,14159265358979…
32,438191288
6,3444444444444
Para truncar estos números a dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la
derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
13
6,3444
En algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el
truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en
el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo
que se puede tener usando redondeo.
Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento
matemático exacto.
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará
ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número
de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la seria completa
(que se supone es exacta).
En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir
aproximándose a la solución. en un intervalo que se subdivide para realizar una serie de
cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo “n” veces.
3. Error numérico total
El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y
truncamiento
introducidos en el cálculo.
Pero aquí surge un problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener
un
resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero, por otro lado, el error de
truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso
a proseguir la iteración (es decir mayor número de cálculos y seguramente mayor error
de redondeo):
14
Por eso al trabajar con números aproximados es necesario saber resolver los problemas
siguientes:
1) Dar las características matemáticamente de la exactitud de los números aproximados
2) Conociendo el grado de precisión de los datos iniciales, estimar el grado de precisión
del resultado.
3) Elegir los datos iniciales con el grado de precisión que asegure la precisión prefijada
del resultado;
4) Construir del modo óptimo el proceso de cálculo para no efectuar cómputo que no
influyan sobre las cifras exactas del resultado.
15
F. Errores
1. Propagación del error en las operaciones elementales
a. Suma y resta
1 2 1 2
1 2 1 2
1 21 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
,
, ,
x x
y x x x x
x x x x
y x x
Y x x x x
Y Ye e x x e x x e
x x
e e e
y el error relativo es
x xer er er er
x x x x
b. Producto
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
. 2 1
, .
y x x x x
y x x
Y x x x x
e e x e x e
er er er
c. División
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 2 2
2
1
/ 2
2 2
/
, 0
1y x x x x
y x x x x
xY x x x
x
xe e e e
x x
er er er er
16
d. Raíz cuadrada
0
1
2
0.5
y xx
y xx
Y x x x
e e ex
er er er
Diremos que una operación elemental es estable, si dada una cota para los errores
inherentes relativos, los errores propagados relativos se mantienen acotados por un valor
independiente de los datos de entrada.
2. Representación de números
a. Sistemas de numeración
Nuestro sistema de numeración es posicional. Un sistema de numeración posicional
queda caracterizado por la base (B) que debe ser un numero natural mayor o igual a 2 y
por un conjunto de B símbolos que determinan el” alfabeto” del sistema de numeración,
debiendo representar los mismos los enteros de 0 a B-1.
En nuestro sistema decimal: B=10, y los dígitos son: 0, 1, 2, …,9 la representación de un
numero racional es como sigue:
1 0 1 1... , ... 0 9
10
M M N i i
Mn
n
n N
x a a a a a a a a N
x a
Las computadoras representan internamente los números en sistema binario. Aquí los
‘bits’ juegan el papel de los factores de las sucesivas potencias de 2 en la
descomposición de un numero:
17
1 0 1 1... , ... 2 0 1M
n
M M N n n n
n N
x a a a a a a a a a
Ejemplos
0 1 2
2
1 0 1
0 1 2 3
101 1.2 0.2 1.2 5
11,1 1.2 1.2 1.2 3.5
1011 1.2 1.2 0.2 1.2 11
b. Representación en sistemas de punto fijo
Se toman dos números fijos 1 2n y n tales que 1 2n n n asignándose 1n
lugares a los dígitos enteros y 2n lugares a los dígitos decimales.
Ejemplos
Si n=10, 1n=4 y 2n =6
25.543 se representara 0025 543000
0.0673 se representara 0000 067300
En este tipo de representación el numero 16537 no se representa a pesar de tener solo
5 dígitos.
c. Representación en sistemas de punto flotante
En este sistema cada número real puede ser representado en la forma:
.10 , 1,bx a con a b Z
Donde el exponente: b indica la posición del punto decimal con respecto al primer digito
de la mantisa: a.
Se dice que un sistema es de punto flotante normalizado si imponemos a la mantisa la
condición que su primer digito después del punto decimal sea distinto de cero, o sea:
18
0.1 1a
Una computadora asigna una cantidad finita de t cifras para la mantisa y otra de e cifras
para el exponente de modo que:
N =t + e
Ejemplos
Si n=6, t=4 y e=2
6385 se representara 6385 04
25.5 se representara 2550 02
Nosotros consideraremos solamente sistemas de representación de punto flotante
normalizado y la correspondiente aritmética de punto flotante.
d. Corte o truncamiento
Dado un número real dentro del rango de la máquina, procedemos a escribirlo en punto
flotante normalizado:
1 2 1
1 2
10 0. ...
0. ...
10
b
t t
t
b
x a con a a a a a
Definimos
a signo a a a a
x a
Será almacenado exactamente en la maquina como aproximación de x por
truncamiento.
19
e. Redondeo o redondeo simétrico
1 2 1
1 2 1
1 2 1
10 0. ...
0. ... 0 4
0. ... 10 5
10
b
t t
t t
t
t t
b
x a con a a a a a
Definimos
a a a si aa signo a
a a a si a
x a
Será almacenado exactamente en la maquina como aproximación de x por redondeo.
Error relativo máximo de representación
Si x pertenece al rango de la máquina, de las dos formas de almacenamiento vistas
anteriormente deducimos que:
1
1
10
10
0.510
10 10
0.110 0.510
b
t
t
b t
x b t
x a y
truncamientoa a
redondeo
de donde
x x a a a a corteer
x a redondeo
20
PRACTICA
1) Sean 𝑥 =5
7 𝑒 𝑦 =
1
3 y se usa truncamiento a 5 cifras para los cálculos
aritméticos donde intervienen 𝑥 𝑒 𝑦. Complete la siguiente tabla considerando
como valor verdadero el valor de x e y que ofrece su calculadora.
resultado Valor real Error
absoluto
Error relativo
x+y
x-y
x.y
x/y
2) Evaluar 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6.1𝑥2 + 3.2𝑥 + 1.5 en 𝑥 = 4.71 con aritmética de tres
cifras, considere valor exacto el numero que le da la calculadora con todos los
decimales. Calcule los errores relativos usando truncamiento y redondeo.
𝑥 𝑥2 𝑥3 6.1𝑥2 3.2𝑥 𝑓(4.71)
exacto
truncamiento
redondeo
3) Repetir el procedimiento, pero considerando que:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6.1𝑥2 + 3.2𝑥 + 1.5 = ((𝑥 − 6.1)𝑥 + 3.2)𝑥 + 1.5
Observar que usando la última expresión los errores disminuyen.
21
3. Notación Decimal
La expresión 1563 en base 10 se puede escribir
Todo número en base 10 tiene la siguiente notación
4. Notación Binaria
NOTACION DECIMAL NOTACION BINARIA
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
En el nivel superior se encuentra los números complejos, un ejemplo podría ser 3 + 4 𝑖,
donde la parte real es 3 y la parte imaginaria es 4.
Todo número real se puede clasificar en un número racional e irracional, un número
racional es de la forma 𝑚
𝑛, 𝒎, 𝒏 ∈ 𝒁 y un número es irracional cuando no se puede
escribir de la forma 𝑚
𝑛, ejemplo 𝜋 = 3.141516 ….
22
23
Ejemplo 1
Transformar el número de base 2 a un número en base 10
Solución:
Ejemplo 2
Transformar el número de base 10 a un número en base 2
Solución:
24
25
Ejemplo 5
Ejemplo 6
G. Raíces De Ecuaciones
1. Método de Graficación
Es el proceso es de simple tabulación y, donde se halle un cambio de signo en los valores
de f (x), ahí se puede ir encajonando la raíz, pero sólo de forma de ubicación, con mucha
imprecisión por su puesto.
26
Ejemplo:
Hallar las raíces de
Solución
2x)x3cos(85)x(f
x y = f(x)
-3.5 -3.445705
-3.0 3.289042
-2.5 -4.023083
-2.0 -6.68136
-1.5 4.436366
-1.0 11.919940
-0.5 4.184102
0.0 -3.000000
0.5 4.184102
1.0 11.919940
1.5 4.436366
2.0 -6.68136
2.5 -4.023083
3.0 3.289042
3.5 -3.445705
???RAÍZ]5.3;0.3[
???RAÍZ]0.3;5.2[
???RAÍZ]0.2;5.1[
???RAÍZ]5.0;0.0[
???RAÍZ]0.0;5.0[
???RAÍZ]5.1;0.2[
???RAÍZ]5.2;0.3[
???RAÍZ]0.3;5.3[
27
x y = f(x)
-3.5 -3.445705
-3.0 3.289042
-2.5 -4.023083
-2.0 -6.68136
-1.5 4.436366
-1.0 11.919940
-0.5 4.184102
0.0 -3.000000
0.5 4.184102
1.0 11.919940
1.5 4.436366
2.0 -6.68136
2.5 -4.023083
3.0 3.289042
3.5 -3.445705
2x)x3cos(85)x(f
28
En la figura anterior y esta se
han indicado los cambios de
signo en la figura con un círculo
y además con una flecha.
2. Método de bisección
El proceso es de encajonamiento:
El proceso es de encajonamiento continuará hasta cumplir la tolerancia:
29
Si se tiene que fC[a,b], o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si f (a)
f (b)<0 entonces se tiene () un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue
usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
ALGORITMO:
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar a, b, error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }
Paso5: en otro caso { a=t ; }
Paso6: if (abs(a - b )>error) ir a (3)
Paso7: Publicar [a, b]; // Intervalo final
Paso8: Parar.
Ejemplo de Bisección:
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo [a, b] = [4, 5], donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues
rEba
3)3x()x(f 2
2
abt
30
(f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
Resultados
Teorema
Sea fC[a,b] y supongamos que f(a)f(b)<0. El procedimiento de bisección genera una
sucesión {tn} que se aproxima a t con la propiedad
n a t b f(a) f(t) f(b) error 1 4.00 4.50 5.00 -2.000 -0.750 1.000 0.5
2 4.50 4.75 5.00 -0.750 0.063 1.000 0.25
3 4.50 4.63 4.75 -0.750 -0.359 0.063 0.125
4 4.63 4.69 4.75 -0.359 -0.152 0.063 0.0625
5 4.69 4.72 4.75 -0.152 -0.046 0.063 0.03125
6 4.72 4.73 4.75 -0.046 0.008 0.063 0.01563
7 4.72 4.73 4.73 -0.046 -0.019 0.008 0.00782
.1 ,2
nab
ttnn
31
3. Método de las cuerdas
El proceso es muy parecido al anterior. La diferencia está en que este por construcción
camina proporcionalmente hacia la raíz a la vez que va encajonándola:
El proceso acercamiento a la Raíz:
rEttnn
1
32
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b],
y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t
se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
Algoritmo
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar a, b, error; r=a;// tolerancia
Paso3:
Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }
Paso5: en otro caso { a=t ; }
Paso6: if abs(r - t )>error r=t; ir a 3
Paso7: Publicar t ; // como raíz
Paso8: Parar.
Ejemplo de Cuerdas
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo [a, b] = [3, 5],
donde claramente se tiene que f(a)*f(b)<0 pues ( f(4) = - 3)*( f(5) = 1) = - 3<0
Resultados
)b(f)a(f
ba)b(fbt
]b,a[Cf
0)b(f)a(f
3)3x()x(f 2
a t b f (a) f (t) f (b) 1 nn tt
3.00 4.500 5.00 -3.000 -0.7500 1.00 1.5
4.50 4.714 5.00 -0.750 -0.0612 1.00 0.21429
4.71 4.730 5.00 -0.061 -0.0044 1.00 0.01649
4.73 4.732 5.00 -0.004 -0.0003 1.00 0.00119
33
4. Método de Newton
El proceso es que toma la dirección de la recta tangente en un punto de la función f hasta
la intersección con eje x. Este último punto es muy cercano al de la raíz. Si el método se
repite se llega a la raíz:
34
El proceso acercamiento a la Raíz continuará hasta cumplir la tolerancia:
Es decir, cuando
Si se tiene que, o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y
si entonces se tiene un punto
t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto
en las figuras anteriores:
Algoritmo
Paso1: Definir f (x), f ’ (x),
// función continua en [a,b]
Paso2: Entrar x0 , error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if abs(x0 - t )>error; x0 = t
ir al Paso3;
Paso5: Publicar t ; // como raíz
Paso6: Parar.
0)b(f)a(f
)x('f
)x(fxt
0
0
0
rEttnn
1
]b,a[Cf 2
35
Ejemplo de Newton
Si fuera el caso de la función y la estudiamos en el intervalo [a, b]
= [4, 5], donde claramente se tiene que f(a)*f(b)<0 pues
( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
Resultado
5. Método de la Secante
El proceso es tomar dos puntos muy cercanos para las x y sus correspondientes
ordenadas; es de estas, de donde se traza un secante en la f, esta secante es la que se
acerca a la raíz en la intersección con eje x.
n x0 f (x0) f ’ (x0) t 1 nn tt
1 5.0000 1.0000 4.0000 4.7500 0.2500
2 4.7500 0.0625 3.5000 4.7321 0.01786
3 4.7321 0.0003189 3.4643 4.7321 0.000093
3)3x()x(f 2
36
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si
entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando
un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
rExxnn
1
]b,a[Cf
]b,a[Cf
37
Algoritmo
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar x0, x1, error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if abs(x1 - t )>error; x0 = x1
x1 = t, ir al Paso3;
Paso5: Publicar t ; // como raíz
Paso6: Parar.
Ejemplo de la Secante
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo [a, b] = [4, 5], donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues ( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
Solución:
)x(f)x(f
)xx)(x(fxt
01
011
1
3)3x()x(f 2
38
6. Método punto fijo
a. Teorema 1
Si gC[a,b] y g(x)[a,b] para toda x[a,b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b]. Si,
además, g’(x) existe en ]a, b[ y |g’(x)|≤k<1 para toda x]a,b[, (*)
entonces, g tiene un punto fijo único t en [a, b].
b. Teorema 2
Sea gC[a,b] y supongamos que g(t)[a,b] para todo t[a,b]. Además, supongamos que
g’ existe en ]a, b[ con |g’(t)|≤k<1 para toda t]a,b[. (1)
Si t0 es cualquier número en [a, b], entonces la sucesión definida por
tn=g(tn), n1,
converge al único punto fijo t en [a, b].
x0 x1 f(x0) f (x1) t 1xt
5.0000 4.9000 1.0000 0.6100 4.7436 0.1565
4.9000 4.7436 0.6100 0.04011 4.7326 0.01101
4.7436 4.7326 0.04011 0.001843 4.7321 0.0005302
39
Corolario
Si g satisface las hipótesis del teorema, una cota para el error involucrado al usar tn para
aproximarnos a t está dada por:
para cada n1
H. Tipos de convergencia
1. Convergencia monótona
2. Convergencia Oscilatoria
00
n
ntb ;at Máxktt
40
3. Divergencia Monótona
4. Divergencia oscilatoria
41
CAPÍTULO II: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
A. Matrices
485
276
953Filas
Columnas
1. Matriz cuadrada
Es cuando tiene el mismo número de filas y columnas.
Ejemplo:
53
42
963
852
741
2x2 Matriz de orden 2 3x3 Matriz de orden 3
B. Determinantes
Cada matriz tiene un valor al cual se le llama determinante.
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.
Determinante de A se puede escribir de dos formas:
• |A| determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un
número real).
• Det (A) Esta se utiliza a veces en lugar de |A| para evitar la confusión.
Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y 11aA y
definimos la determinante de A como 11aA
Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de
2 x 2 de modo que
3x3ColumnaxFila
42
2221
1211
aa
aaA
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
Ejemplo:
1. Determinante de 3er. Orden
Para su cálculo usaremos la REGLA DE SARRUS
• Se repite las dos primeras filas a continuación de las existentes, después de lo
cual:
• Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal y las
dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo DP.
• Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y
las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo DS.
• El valor del determinante estará dado por:
= DP – DS
es una matriz cuadrada de segundo orden
43
Ejemplo:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Entonces:
Aplicando: = DP - DS
= 225 – 225 = 0
2. Determinante de una matriz 3x3 por cofactores
Definición: el determinante de |A| de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su
cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar |A|. A este proceso se le conoce
como expandir |A| por primera fila, pero podemos expandir |A| por cualquier fila o
columna.
44
3. Teorema de expansión de determinantes
El determinante de una matriz A de orden puede evaluarse multiplicando cada entrada
en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos resultantes.
Ejemplo:
Hallar el determinante de |A |
321
542
356
A
Primero hallamos los cofactores de la primera fila
Cofactor de 11A 616166211
Cofactor de 12A 515155321
Cofactor de 13A 313133431
Luego hallamos los menores de la primera fila
32
54 M
321
542
356
11A
31
52 M
321
542
356
12A
45
21
42 M
321
542
356
13A
Ahora lo colocamos como la definición
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
21
423
31
525
32
546
321
542
356
A
Ahora operamos
412231532525346
7755132
03115226
4. Teorema sobre una fila o columna de ceros
Si todo elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada A es cero, entonces
.0A
Ejemplo:
Calcule el determinante de
523
405
301
A
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda
columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el
determinante por la segunda columna.
46
2215420045
312
53
310
53
450A
523
405
301
A
Ejemplo 2:
Calcule el determinante de:
6251
0032
4010
3001
A
Desarrollamos A
43
43332313
4343333323231313
2
2000
A
AAAA
AaAaAaAaA
6251
0032
4010
3001
A
032
410
301
22 43A
32
103
02
400
03
411122
34
43A
12626122301212
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera
columna tiene varias entradas a cero. Por lo que
hallaremos el determinante por la tercera columna.
Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de
A43 así
47
5. Regla de cramer para dos variables
Regla de Cramer para dos variables.
D
Dx
x
D
Dy
y
Aplicación de la regla de Cramer en la solución de sistemas de dos ecuaciones lineales.
Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:
175
432
yx
yx
Primero coloca las variables X y Y tomando los coeficientes de las variables así:
1 7 5
4 3 2
yx
yx
75
32D
291514357275
32
D
Segundo coloca los números que se encuentran después del igual ( en azul) y los
coeficientes de las variables de y para encontrar xD
1 7 5
4 3 2
yx
yx
71
34xD
25328317471
34
xD
Tercero coloca los coeficientes de las variables de x luego los números que se
encuentran después del igual ( en azul) yD
1 7 5
4 3 2
yx
yx
Hallar el determinante D
Hallar el determinante xD
48
15
42yD
22202451215
42
yD
Colocamos nuestras respuestas en el orden indicado así =
Mis respuestas son:
22
25
29
y
x
D
D
D
29
25
D
Dx
x
29
22
D
Dy
y
6. Regla de cramer (FORMA GENERAL)
D
Dx
D
Dx
D
Dx
xn
n
xx ...,
2
2
1
1
Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.
052
13
32
zx
zy
zx
Hallar la determinante D
94512251152
211
502
310
201
D
Hallar la determinante xD
1501512053150
231
500
311
203
xD
Hallar el determinante yD
49
Hallar la determinante yD
27225292051
213323051131
232
50
311
502
310
231
yD
Hallar la determinante zD
66013201102
311
002
110
301
zD
Solución:
3
2
9
6,3
9
27,
3
5
9
15
D
Dz
D
Dy
D
Dx
zyx
C. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro
equivalente de forma que éste sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que
pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados
por una recta).
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
50
Ejemplo 1
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1
Ejemplo 2
Clasificar y resolver el sistema:
51
Ejemplo 3
Clasificar y resolver el sistema:
52
D. Descomposición LU
53
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se
traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la
descomposición LU es posible comprender el porqué de este nombre, analizando cómo
una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra
inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A],
proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas
de álgebra lineal.
Primeramente, se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz
diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber
números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz
triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
1. Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [U])
1.Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2.Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir
a cero los valores abajo del pivote.
3.Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4.Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le
suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se
convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
2. Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de
cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de
"factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal
según corresponda en cada uno.
54
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
Originalmente se tenía:
Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la
ecuación y se tiene lo siguiente:
Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.
PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE
DESCOMPOSICIÓN LU
• Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
• Resolver Ly = b (para encontrar y).
• El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
• Realizar Ux = y (para encontrar x).
• El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la
cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
Ejemplo 1
Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
55
Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4,
3 iteraciones; y así sucesivamente.
SOLUCIÓN:
4 - 2 - 1
9
[A] = 5 1 - 1
[B] = 7
1 2 - 4
12
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
4 - 2 - 1
56
[U] = 0 3.5 0.25
0 2.5 - 0.75
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 0 0
0.25 0 0
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1
57
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el
siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras, es como
que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de
x1, x2 y x3:
La solución del sistema es:
Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la
descomposición LU.
EJEMPLO 2
58
Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
SOLUCIÓN:
11 - 3 - 2
18
[A] = 5 - 2 - 8
[B] = 13
4 - 7 2
2
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545
factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0
a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365
a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919
a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0
a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909
a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272
11 -3 -2
[U] = 0 - 0.6363636365 - 7.0909090919
59
0 - 5.909090909 2.7272727272
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 0.45454545 0 0
0.36363636 0 0
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0
a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0
a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857
11 - 3 - 2
[U] = 0 - 0.6363636365
-
7.0909090919
0 0 68.57142857
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 0.4545454545 1 0
0.3636363636 9.285714284 1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
60
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el
siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras, es como
que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de
x1, x2 y x3:
La solución del sistema es:
Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la
descomposición LU.
E. Método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante
eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:
61
De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar
xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las
que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de
cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se
tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen
teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:
Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn
siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.
Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual
conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se
simbolizará de esta forma:
62
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de
ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las
incógnitas, lo cual se simbolizará así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada
una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde se debe prefijar convenientemente.
EJEMPLO 1
Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
hasta que
SOLUCIÓN:
63
Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3
respectivamente. Se tiene:
Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera
ecuación, para calcular el valor de x1:
Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:
Ahora se sustituye y en la tercera ecuación para obtener x3:
Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:
Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso
pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:
Sustituyendo y en la ecuación 1 se
obtiene Sustituyendo y en la ecuación 2 se
obtiene finalmente, sustituyendo y en la
ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de
aproximación a la solución del sistema:
Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:
64
Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos
valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que, aunque el error
aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres
errores aproximados. Por lo tanto, se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos
intermedios, se obtiene:
En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores
aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:
Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse
si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones
y también es lógico esperar que la respuesta es NO.
Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del
método.
65
Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple
la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente
dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:
La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los
elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores
absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Nótese que en el ejemplo anterior,
la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí
converge a la solución del sistema.
Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una
condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no
cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de
ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución.
Finalmente, obsérvese que, aunque un sistema no cumpla con la condición de ser
diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que sí se cumpla con esta condición
mediante un intercambio de renglones:
EJEMPLO 2
Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
hasta que
SOLUCIÓN:
En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual
se comprueba con los siguientes cálculos:
Primera fila:
|a11| > (|a12| + |a13|)
5 > (1.4 + 2.7)
5 > 4.1; es cierto.
66
La condición se cumple para la primera fila.
Segunda fila:
|a22| > (|a21| + |a23|)
2.5 > (0.7 + 15)
2.5 > 15.7; no es cierto.
La condición no se cumple para la segunda fila.
|a33| > (|a31| + |a32|)
4.4 > (3.3 + 11)
4.4 > 14.3; no es cierto.
La condición no se cumple para la tercera fila.
Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para
todas las filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante.
NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuesta por a11, a22 y a33.
Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3, se tiene el siguiente
sistema:
En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente dominante, lo cual
se comprueba con los siguientes cálculos:
Primera fila:
|a11| > (|a12| + |a13|)
5 > (1.4 + 2.7)
5 > 4.1; es cierto.
La condición se cumple para la primera fila.
Segunda fila:
|a22| > (|a21| + |a23|)
11 > (3.3 + 4.4)
11 > 7.7; es cierto.
La condición se cumple para la segunda fila.
|a33| > (|a31| + |a32|)
67
15 > (0.7 + 2.5)
15 > 3.2; es cierto.
La condición se cumple para la tercera fila.
Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para
todas las filas. En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas,
por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante. Por lo tanto, se procede a
despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuación
1 para obtener x1:
Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2:
Por lo tanto, los valores obtenidos en la primera iteración son:
Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema, se debe
seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la
ecuación 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en
la ecuación 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en
la ecuación 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:
Ahora se pueden calcular los errores aproximados para cada una de las incógnitas:
68
Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso
iterativo. Se resumen los resultados de esta manera:
Tercera iteración:
Cuarta iteración:
Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y se tiene que los valores
aproximados de la solución del sistema son:
69
CAPÍTULO III: OPTIMIZACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS
A. Ajuste Por Mínimos Cuadrados
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x
e y se relacionan a través de una ecuación lineal y = ax + b
donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de
sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.
EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta
éste están ligadas a través de una ley lineal:
l = (1/K)F
con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una
característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.
El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de
mínimos cuadrados.
70
CONSISTE EN SOMETER EL SISTEMA A DIFERENTES CONDICIONES, FIJANDO
PARA ELLO DISTINTOS VALORES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE X, Y
)2(
n
ΣxaΣyb
(1)ΣxΣxn
ΣyΣxyΣxna
ii
2
i
2
i
iiii
donde n es el número de medidas y representa la suma de todos los datos que se
indican.
Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se
describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método
de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi
de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no
es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de
la variable x, irán afectadas de sus errores correspondientes, si es el valor máximo de
todos estos errores, entonces se tiene:
n
εΔb
(3)
xΣxΣn
εnΔa
2
i
n
1
2
i
n
1
La pendiente de la recta se escribirá aa , y la ordenada en el origen Δbb .
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución
bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El
coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:
)4(
ΣyΣynxΣΣxn
ΣyΣxyΣxnr
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
71
Su valor puede variar entre 1 y -1.
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta e inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta y directa.
Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con
diferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos
(l variable dependiente o x)
Cargas
sucesivas F(yi)
gramos
Lecturas
sucesivas (xi)
L
mm
200 60
400 120
500 150
700 210
900 260
1000 290
n 6
xi 1090
xi2 236300
yi 3700
yi2 2750000
xiyi 806000
0,2
72
con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4]
b = -18,4153; a =3,4959 ; b =0,08164966; a =0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp
No se debe olvidar que se persigue el valor de la constante elástica del muelle:
l
FaK
73
CAPÍTULO IV: DIFERENCIACION E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
A. Diferenciación Numérica
1. Fórmulas de alta exactitud
Supongamos que la aproximación es polinomial, entonces la diferenciación numérica
consiste en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se utilizó
)()()( xRxPxf nn , la aproximación de la primera derivada estará dado por
dx
xdP
dx
xdf n )()( ,
En general n
nn
n
n
dx
xPd
dx
xfd )()(
Al diferenciar la formula fundamental de Newton se tiene,
n
nn
n
nn
n
n
dx
xRd
dx
xPd
dx
xfd )()()(
Donde: n
nn
dx
xRd )( es el error que se comete al aproximar
n
n
dx
xfd )( por
n
nn
dx
xPd )(.
Si suponemos que nXXXX ,,,, 210 son los valores de las x que son espaciados
igualmente luego Pn(x) se puede escribir en términos de diferencias finitas
002
000!
11
!2
1)()( xf
n
nsssxf
ssxfsxfshxPxP n
nn
Donde:
xfhxfxfxf
xfhxfxf
2
0
xfhxfhxf 22
En nuestro caso:
n
n
nnhn
xfxxxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
!)())()((
!2))(()()( 0
12102
02
100
00
Luego diferenciando
2
02
100
00!2
))(()()()(
h
xfxxxx
dx
d
h
xfxx
dx
dxf
dx
d
dx
xdP
dx
xdf n
74
n
n
nhn
xfxxxxxxxx
dx
d
!)())()(( 0
1210
2
0
2
10
0
!2)2(
)()(
h
xfxxx
h
xf
dx
xdP
dx
xdf n
Consideremos para:
n =1: Esto quiere decir que la aproximación P1(x) es una recta, i.e.
h
xfxxxfxPPn
0001 )()(
Es decir, la primera derivada de f(x) queda aproximada por
01
0110
01 )()(,
)()(
xx
xfxfxxf
h
xf
dx
xdP
dx
xdf
h
xfxf
dx
xdf
h
xxf
xx
xfxf
dx
xdf )()()()()()()()( 0101
01
01
Y como se esperaba cualquier otra derivada de orden superior de f(x) quedara
aproximada a cero. 0)()(
2
12
2
2
dx
xPd
dx
xfd
OBSERVACIÓN:
En general equivale a tomar como primera derivada a la pendiente de la recta que pasa
por 00 , xfx y 11, xfx .
La primera derivada de f(x) en [x0, x1] queda aproximada por el valor constante
h
xfxf )()1( 0
(1) El valor de h
xfxf )()1( 0 es muy diferente al de
dx
xdf )(
Gráficamente:
f(x0)
X0
f(x1)
75
Analicemos para n = 2; es decir aproximaremos f(x) por un polinomio P2(x) de grado 2.
2
02
100
002!2
))(()()(h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
2
02
1002
!2)2(
)()(
h
xfxxx
h
xf
dx
xdP
dx
xdf
Desarrollando las diferencias:
)()(2)()()(2)2(
)()()()(
0120002
0100
xfxfxfxfhxfhxfxf
h
xfxf
h
xfhxfxf
)(2
2)(
2
2242)(
2
22)(22
1012
1002
10 xfh
xxxxf
h
hxxxxf
h
hxxx
dx
xdf
(*)
La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a x esto
es,
)(1
)(2
)(1)(
,,2)()(
2212022
2
2102
02
2
22
2
2
xfh
xfh
xfhdx
xfd
xxxfh
xf
dx
xPd
dx
xfd
De la misma manera se puede calcular derivando para n2.
El error cometido al aproximar n
n
dx
xfd )( por
n
nn
dx
xPd )( esta dado por
n
nn
dx
xRd )( donde Rn(x)
es:
n
x
n
iin xxxxxfxxxR ,,,,,)( 210
)(
0
nn xxxxxfxxR ,,,,,)()( 210
Observemos que existe una estrecha relación entre las diferencias divididas y las
derivadas en general esta relación está dada por:
76
,!
)(,...,, 21,1 n
n
ndxn
fdxxxxf
Con perteneciente a (min. xi, máx. xi) con ni 0 , esto quiere
decir que es un valor de x desconocido del cual solo se sabe que se encuentra entre
los valores menor y mayor del argumento.
La Ecuación (*) se puede escribir en términos del error de la siguiente manera,
3
3
2010
22
1012
1002
10
!3
)())((
)(2
2)(
2
2242)(
2
22)(
dx
xfdxxxx
xfh
xxxxf
h
hxxxxf
h
hxxx
dx
xdf
, o simplemente
por
ix
xcondx
xfdhxfxfxf
hdx
xdf.max, xmin.en
)(
!3)()(4)(3
2
1)(i3
32
210
0
También para x1
ix
xcondx
xfdhxfxf
hdx
xdf.max, xmin.en
)(
!3)()(
2
1)(i3
32
02
1
Para x2
ix
xcondx
xfdhxfxfxf
hdx
xdf.max, xmin.en
)(
!3)(3)(4)(
2
1)(i3
32
210
2
EJEMPLOS DE APLICACIÓN RESUELTOS
1) Dada la ecuación RTbxx
ay ))((
2 Donde
KgmolcmatmR
gnolcmb
gmolxa
../..1.82
/8.42
/cm atm106.3
3
3
265
si T =350 K, se
obtiene la siguiente tabla:
puntos 0 1 2 3
y(atm) 13.782 12.577 11.565 10.704
x(cm3) 2000 2200 2400 2600
Calcular la derivada de y con respecto a x cuando x = 2300 cm3, y compárelo con el valor
de las derivadas analíticas
Solución
77
Aplicando
)(2
2)(
2
2242)(
2
22)(22
1012
1002
10 xfh
xxxxf
h
hxxxxf
h
hxxx
dx
xdf
en los
puntos x = 0; 1; y 2, tenemos x = 2300cm3
Con h = 200
)2400()200(2
2200)2000()2300(2
)2200()200(2
)200(2)2200(2)300,2(4)2200(2)2000(
)200(2
)200(222002000)2300(2)(
2
22
f
ffdx
xdf
00506.0565.11)200(2
2200)2000()2300(2
577.12)200(2
)200(2)2200(2)300,2(4)2200(2782.13
)200(2
)200(222002000)2300(2)(
2
22
dx
xdf
La derivada analítica es
005048.0)2300(
)106.3(2
)8.422300(
)350(1.822
)( 3
6
232
x
x
a
bx
RT
dx
df
Debemos destacar que la aproximación es muy buena puesto que el error relativo es de
-0.24%,
Obtener la Primera derivada del polinomio de LaGrange.
𝑃𝑛(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖) ∏𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛𝑖=1
Derivando el polinomio de LaGrange con respecto a x
𝑑𝑃𝑛(𝑥)
𝑑𝑥= ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑑
𝑑𝑥∏
𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛𝑖=1 ,
Si hacemos
𝑦 = ∏𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
, y linealizamos
𝑙𝑛𝑦 = ln (∏𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
) = ∑ 𝑙𝑛𝑥−𝑥𝑖
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑖≠𝑖
,
Derivando tenemos
𝑑
𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑦) =
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= ∑
𝑑
𝑑𝑥(𝑙𝑛
𝑥−𝑥𝑖
𝑥𝑖−𝑥𝑗) =𝑛
𝑗=0𝑗≠𝑖
∑1
𝑥−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
,
78
Consecuentemente
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦. ∑
𝑑
𝑑𝑥(𝑙𝑛
𝑥−𝑥𝑖
𝑥𝑖−𝑥𝑗) = ∏
𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
∑1
𝑥−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
,
Finalmente tenemos
𝑑𝑃𝑛(𝑥)
𝑑𝑥= ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛𝑖=0 [∏
𝑥−𝑥𝑗
𝑥𝑖−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
∑1
𝑥−𝑥𝑗
𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
],
Observemos que esta relación tiene una falencia en el caso que se quiera dividir por
una abscisa cero, pero esto se salva con la siguiente expresión que es equivalente,
𝑑𝑃𝑛(𝑥)
𝑑𝑥= ∑ [
𝑓(𝑥𝑖)
∏ (𝑥𝑖−𝑥𝑗)𝑛𝑗=0𝑗≠𝑖
∑ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)𝑛𝑗=0
𝑗≠𝑘,𝑖
𝑛𝑘=0𝑘≠𝑖
]𝑛𝑖=0 ,
2) Calcular la derivada de f(x) = cos x en 4
x
y con h = 0.01 cual es la respuesta y
cual es su grado de precisión
Solución
71063051.001.0
707106781.0700000476.0
01.0
)cos()01.0cos()()()(
xx
h
xfhxfxf
005.0)cos(005.0)(2
fh
Se puede obtener una cota más precisa usando el hecho de
que h44
lo que induce a que
707107.0)cos( no proporcione una cota superior
de 0.0035355.
4) En una reacción química A +B, k productos la concentración del reactante A es una función de la presión P y la temperatura T. la siguiente tabla presenta la concentración de A en gmol /litro como función de estas dos variables
5)
79
P(kg/cm2)
T(K)
273 300 325 360
1 0.99 0.97 0.96 0.93
2 0.88 0.82 0.79 077
8 0.62 0.51 0.48 0.45
15 0.56 0.49 0.46 0.42
20 0.52 0.44 0.41 0.37
Calcular la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg./cm2 y T =
300K, usando un polinomio de segundo grado.
Solución
Lo que se pide es la derivada de la concentración con respecto a la temperatura T
valorado en T = 300 y p = 8 esto se puede evaluar usando la siguiente relación, que es
resultado de la derivada del polinomio de LaGrange.
n
ijoj ji
jn
iin
xx
xxxfxp
0
)()( , se sugiere
aplicar derivación logarítmica y se llegará a la relación siguiente.
n
i
n
ikk
n
ikjj
jn
ijj
ji
in
ijj
n
ijj jji
jn
ii
n xx
xx
xf
xxxx
xxxf
dx
xdp
0 0,
0
0
0 00
)(
)(
)(1)(
)(
En nuestro caso se tiene
))((
)()2(
))((
)()2(
))((
)()2()(
1202
210
2101
120
2010
0212
xxxx
xfxxx
xxxx
xfxxx
xxxx
xfxxx
dx
xdp
, en esta relación
debemos tener en consideración que f(x) representa la concentración de A y x a T de
tal manera que al sustituir los tres puntos que se obtiene de la tabla tenemos,
K
gml
pT
A
dt
dC
dx
xdp
1
8300
2
0026.0)300325)(273325(
)48.0)(300273)300(2(
)325300)(273300(
)51.0)(325273)300(2(
)325273)(300273(
)62.0)(325300)300(2()(
4) Obtenga la primera y segunda derivada evaluadas en x = 1, para la siguiente tabulación
80
I 0 1 2 3 4
x -1 0 2 5 10
f(x) 11 3 23 143 583
Solución
La tabulación siguiente representa las diferencias divididas
i
x
f(x)
Diferencias Divididas
Primeras Segundas
0 -1 11 -8
1 0 3 10 6
2 2 23 40 6
3 5 143 88 6
4 10 583
Debemos observar que un polinomio de según do grado puede representar exactamente
la función, puesto que la segunda diferencia dividida es constante.
Podemos aplicar el Polinomio de Newton de segundo grado en diferencias divididas
))((,,)(,)( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxp
326)0))(1((6))1((811)( 22 xxxxxxp
12)2(d
derivada segunda la ,10212)1( 22
2
2 pdx
xpdx
d
Observemos que se podía también derivar directamente del polinomio antes de sustituir
los valores de x0 y x1 esto es
10)2(,,,)1( 10210102 xxxxxxfxxfpdx
d, para la segunda derivada se obtiene
12,,2)2(,,,)2( 210102101022
2
xxxfxxxxxxfxxfdx
dp
dx
d
B. La Integración Numérica
Es utilizada para funciones analíticas o tabulaciones dadas.
En el caso de las funciones tabulares dados se ha determinado un polinomio de
aproximación Pn (x) en un intervalo de interés, que aproxima la curva que representa a
la función f(x), pero su diferenciación e integración presentan discrepancias
81
1. El proceso de integración esta dado por el área bajo la curva de f (x)
nx
xdxxf
0
)(
2. La integral aproximada está dado por el área bajo la curva Pn (x)
∫ 𝑃𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛
𝑥0,
3. Los errores que se cometen al integrar los diferentes segmentos, tienden a
cancelarse entre si o reducirlo lo que permite afirmar que el error total al
integrar Pn (x) desde x0 a xn puede ser muy pequeño; aun cuando Pn (x) no
sea una buena aproximación de f (x).
nx
xn
n
dxxP
xP
0
)(
:)(
82
4. Por otro lado
)(xPd
dn
x que proporciona la pendiente de la recta tangente
a Pn (x) en un punto; puede variar en magnitud respecto a
)(xfd
d
x en el
mismo punto aunque Pn (x) sea una buena aproximación
Los métodos de integración usadas pueden clasificarse en dos grupos:
i) Fórmulas de Newton Cotes: Los que usan valores dados de la función f (x) en
abscisas equidistantes.
ii) Fórmulas de Cuadratura Gaussiana: Los que usan valores de f (x) en abscisas
desigualmente espaciadas determinadas por ciertas propiedades de familias
de polinomio ortogonales.
1. Método de Newton – Cotes
Son los tipos de integración numérica más comunes, su estrategia es remplazar a la
función complicada o de datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil
de integrar.
Es decir, supongamos que nos interesa determinar b
adxxfI )( ; entonces, tenemos:
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) ≅ ∫ 𝑝𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎,
En donde pn(x) es el polinomio aproximación,
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑥2 + 𝑎2𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛,
Donde n es el grado del polinomio el método en estudio lo realiza en general en dos
pasos.
Observemos que cuando el polinomio de aproximación es lineal se trata de una línea
recta como observamos en el caso (a) y cuando se trata de un polinomio de segundo
orden tenemos el caso (b)
83
Figura N0 caso (a) Caso (b)
En otros términos:
Primero: Dividir el intervalo [a, b] en “n” intervalos de igual magnitud en donde sus
valores extremos son:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎
𝑛) , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛, siendo 𝑥0 = 𝑎; 𝑥𝑛 = 𝑏, (1)
Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado “n”, Pn (x) y se integra para obtener
la aproximación de f(x).
2. Método Trapezoidal
1. Este método de integración numérica se fundamenta en la integración de la
fórmula de interpolación lineal.
2. Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b, entonces la aproximación polinomial
de f (x) es una línea recta, i.e., P1 (x)
3. La aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo la línea recta.
h h h h h . . . x x x x xi xi + 1
a b
f(x)
a b
x
f(x)
a b
…
84
)()()(1
0
xdxPdxxfx
xi
b
a Área del trapecio con vértices )(),(,, 1010 xfxfxx
4. Para realizar la integración
1
0
)(1
x
xdxxP
, se requiere usar una de las
representaciones del polinomio P1 (x).
5. Pero f (x) está dado para valores equidistantes de x con distancia h, la relación
lógica es una de las fórmulas en diferencias divididas finitas (hacia delante, hacia
atrás)
6. Supongamos que elegimos las diferencias divididas finita hacia delante tendremos.
0
03
02
000
!
))1()....(3)(2)(1(
...!3
)2)(1(
!2
)1()(
xfn
nsssss
xfsss
xfss
xfsxfshxP
n
n
En nuestro caso:
)()( 1 xPxf , luego
00011 )()( xfsxfshxPxP
Tenemos la integral
1
000)(
x
x
b
adxxfsxfdxxf
(2)
La integral de lado derecho debe estar en función de s, i.e.,
hdsdx
shxx
;0
Para los límites de integración x0 y x1:
shxx
tesconssonhxsdondedeshxx
01
000 tan,;0
Luego:
85
)()(
)()()(:
2
)()(
)(2
)(
)()()()(
01
000
0
0
1
0
0
2
0
1
00000
1
0
xfxf
xfhxfxfPero
xfxfh
xfs
sxfh
dsxfsxfhdxxfsxfx
x
Luego tenemos:
2
)()()( 01
0
xfxfxfh
2
)()( 01 xfxfh
b
axfxf
hdxxf )()(
2)( 01 , (3)
Ejemplo: Usar el método trapezoidal
a) Aproximar el área A1 bajo la curva de la función dada por la tabla siguiente, en el
intervalo a = 500, b = 1800
Puntos 0 1 2 3 4 5
f (x) 9 13 18 25 25 27
x 500 900 1400 1800 2000 2200
b) Aproximar: 6
02 )1( xA ; c) Aproximar:
4
2
2
3 )432( dxxxA
d) Aproximar: 2
04
senxdxA ; e) Aproximar: 2
05 cos
xdxA
Solución:
a) h = 1800 – 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800
20800161300)923(2
13001 A
86
b) h = 6 – 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6
2
22 2424713)6()0(2
6uAfffA
c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2
22
3 270078123)4(4122)4(4622
6uA
d) senxxfxxhh )(,2
,0,2
02
10
2
44442
04
uAsensenA
e) xxfxxh cos)(,2
,0;2
10
2
54
uA
C. Método De Simpson
Supongamos que el intervalo de integración ba, es dividido en n subintervalos con
longitudes iguales,
Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] se le divide en dos subintervalos
entonces tendremos:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎
𝑛) , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛,
, 𝑥0 = 𝑎; 𝑥1 = 𝑎 + (𝑏−𝑎
2) , 𝑥2 = 𝑏
Se aproxima f(x) por una parábola
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑝2(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛
𝑥0
𝑏
𝑎,
Usemos la formula de Newton en diferencias finitas hacia delante
87
)(
!2
1)()()()( 0
2
00022 xfss
xfsxfshxPxP
En consecuencia
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑝2(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛
𝑥0
𝑏
𝑎= ℎ
)(
!2
1)()()()( 0
2
00022 xfss
xfsxfshxPxP
∫ 𝑝2(𝑥0 + 𝑠ℎ)𝑑𝑠2
0,
ℎ ∫ 𝑝2(𝑥0 + 𝑠ℎ)𝑑𝑠2
0= ℎ ∫ [𝑓(𝑥0) + 𝑠∆𝑓(𝑥0) +
𝑠(𝑠−1)
2!∆2𝑓(𝑥0)]
2
0𝑑𝑠;
= ℎ [𝑠𝑓(𝑥0) +𝑠2
2∆𝑓(𝑥0) +
𝑠3
3! ∆2𝑓(𝑥0) −
𝑠2
4∆2𝑓(𝑥0)] |0
2
= ℎ [2(𝑥0) +22
2∆𝑓(𝑥0) +
23
3! ∆2𝑓(𝑥0) −
22
4∆2𝑓(𝑥0)]
= ℎ [2𝑓(𝑥0) + 2∆𝑓(𝑥0) +1
3 ∆2𝑓(𝑥0)];
Considerando la primera y segunda diferencia hacia delante tenemos
∆𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0);
∆2𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) − 2𝑓(𝑥0 + ℎ) + 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥2) − 2𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥0),
Considerando estas relaciones en la relación ℎ [2𝑓(𝑥0) + 2∆𝑓(𝑥0) +1
3 ∆2𝑓(𝑥0)],
tenemos
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈𝑏
𝑎=
ℎ
3[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)],.........(4)
Ejemplos usando los datos anteriores aplicar el algoritmo de Simpson
1800;1150650500;500;6502
5001800210
XXXh
)1800()1150(4)500(3
6501 fffA f(X1) se encuentra interpolando
33.2086923)08.16(493
6501 A
(2) Aproximar 5
02 32 dxxA
88
5.4717)5.9(423
5.2
))5(32())5.2(32(423
5.2
)()(4)(3
5.2
5;5.25.20;0;5.22
05
2
2
2102
210
A
A
XfXfXfA
XXXh
(3) Aproximar dxxxA
4
2
23 321
9057)6(493
3
57)4(3)4(21)4(
6)1(3)1(21)1(
9)2(3)2(21)2(
4;132;2;32
)2(4
3
2
2
2
210
A
f
f
f
XXXh
Generalizando
Consideremos el intervalo [a,b] dividido en n subintervalos proporcionando n+1
puntos equidistantes 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 en donde x0=a; xn=b, en esta oportunidad el
polinomio de interpolación es de n-esimo grado, luego la aproximación de la integral
...)(
!3
)2)(1()(
!2
1)()()()( 0
30
2000 xf
sssxf
ssxfsxfshxPxP nn
)(!
))1()...(2)(1(0xf
n
nssss n
Entonces la aproximación de la integral b
a
dxxf )( estará dado por:
dsshxPhdxxPdxxfnx
x
n
nn
b
a
0 00 )()()(
dsxf
n
nssssxf
sssxf
ssxfsxfh
nn
000
30
200 )(
!
))1()...(2)(1(...)(
!3
)2)(1(
!2
1)()(
Que ocurre si integramos los cinco primeros términos
nb
a
xfssss
xfsss
xfss
xfs
xsfhdxxf
0
04
2345
03
234
02
23
0
2
0 )(872
11
16120)(
6624)(
46)(
!2)()(
89
b
a
xfnnnn
xfnnn
xfnn
xfn
xnfhdxxf )(872
11
16120)(
6624)(
46)(
!2)()( 0
42345
03
234
02
23
0
2
0
Que ocurre si n = 1
)()(2
)( 10
1
0
xfxfh
dxxfx
x
Trapezoidal
Pues:
)()(2
)()()(22
)()(22
)(2
)()( 100100000
1
0
xfxfh
xfxfxfh
xfxfh
xfxfhdxxfx
x
Que ocurre para n = 2
2
0
02
2
0
)(2
)(x
x
x
x
dsshxPh
dxxf
2
002 )( dsshxPh
dsxf
ssxfsxfh
2
00
200
!2
1)()(
2
0
02
23
0
2
0 )(46
)(!2
)(
xf
ssxf
sxsfh
)(
3
1)(2)(2 0
200 xfxfxfh
Pero:
)()()()()( 01000 xfxfxfhxfxf
)()(2)()()(2)2()( 01200002 xfxfxfxfhxfhxfxf
)()(4)(3
)( 210
2
0
xfxfxfh
dxxfx
x
Simpson 1/3
Si n = 3
)()(3)(3)(8
3)( 3210
3
0
xfxfxfxfh
dxxfx
x
Simpson 3/8
f (X0)
f (X1)
f (X2)
90
2
2
;90
5
abh
baX
Xfh IV
D. Métodos Compuestos de Integración
En ocasiones el intervalo de integración tiene una longitud grande, entonces resulta
conveniente dividirlo en subintervalos y aproximar cada una por medio de un polinomio.
1. Método Trapezoidal Compuesto
Figura. Representación del Método de Trapecio Compuesto
En vez de aproximar la integral de f(x) en [a,b] por una recta. Conviene dividir [a, b] en n
subintervalos y aproximar la integral de f(x) en cada subintervalo por un polinomio de
primer grado como muestra la figura.
Aplicamos la fórmula Trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el área del trapezoide
de tal manera que la curva de todos ellos nos proporciona el área aproximada bajo la
curva f(x).
dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfbnx
nxn
x
x
x
x
b
a
x
xa
)()()()()(
1
3
2
3
2
1
2
1
0
1
Donde:
Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta que pasa por (Xi-1, f(Xi-1)), (Xi, f(Xi)).
Aplicando el método del trapezoide en cada subintervalo:
X X0 x1
a b
f(x0)
f(x1)
f(X)
f(x0)
f(x1)
f(X)
f(x2) f(xn- f(xn)
f(x)
X0 x1 x2 xn-1
xn
91
)()(2
)()(2
)()(2
11
2112
1001
nnnn xfxf
xxxfxf
xxxfxf
xxI
Que ocurre si todos los intervalos tienen la misma longitud h, i.e., Xi+1 - Xi = hi; i=0,
1,2,…,(n-1).
)()(2)(2
)()(2)(2)(2)(2
1
10
1210
n
n
ii
nn
xfxfxfh
I
xfxfxfxfxfh
I
(5)
EJERCICIOS RESUELTOS1
1) Usar el método trapezoidal compuesto para aproximar el área bajo la curva de la
función dada por tabulación en x = -1 y x = 4
Solución 239238)76201010(282
1A
Observación:
Se aplicó cinco veces el método del trapezoide. h=1
2) Aplicar el método en análisis si f(x)=x4 – 2x2 + x + 10; x0= -1 xn =4; h = 1
1 Ver Métodos Numericos aplicados a Ingenieria de Nieves y Domínguez
92
239238)76201010(282
1
)()(2)(2
15
4
10
A
xfxfxfAi
i
2. Método Compuesto de Simpson
Recordemos que para aplicar el método de Simpson se necesita dos subintervalos y
como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir el intervalo [a, b] en un
número de subintervalos igual a 2n.
Veamos gráficamente esto:
Figura. Representación del Método de Simpson Compuesto
Observamos que cada par de subintervalos sucesivos aproximamos f(x) por medio de
un polinomio de segundo orden (parábola) y se integra usando el método de Simpson de
tal manera que la suma de las áreas parciales proporcione el área total, es decir:
dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfIbnx
nxn
x
x
x
x
b
a
x
xa
)()()()()(
2
6
4
3
4
2
2
2
0
1
Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dos que pasa por tres puntos consecutivos
usando el método del Trapezoide.
)()(4)(3
)()(4)(3
)()(4)(3
124322
2101
nnnn xfxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
hI
Donde:
121
34232
12011
nnnnn xxxxh
xxxxh
xxxxh
93
Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos:
)()(4)(3
)()(4)(3
)()(4)(3
12432210 nnn xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfh
I
Luego:
1
1 20 )()(2)(4)(
3
n
i inii xfxfxfxf
hI
(6)
Ejemplos:
3) Usando el método de Simpson compuesto, aproximar el área bajo la curva
considerando los datos anteriores
Aplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4
)()(2))()((4)(3
1322101 xfxfxfxfxfA
666.7476)10(2)2010(483
1
*) Aplico el método trapezoidal X4, X5
157238762
12 A
Luego:
666.231157666.74 I
4) Hallar la integral aproximada de 2
2
2
1)(
x
exf
entre -1 y 1
Usar el método trapezoidal compuesto compare el resultado con 0.682 obtenido de
tablas.
Solución:
Con n = 1 21
)1(1
h
484.0)606.0606.0(2
1))()((
22
210
xfxfI
El error relativo considerando el valor de la tabla 29.0682.0
682.0484.01
nE ó 29%
94
Si n = 2 12
)1(1
h
64.0)606.0)1(2606.0(22
1))()(2)((
22
2210
xfxfxfI
0587.0682.0
682.064.02
E ó 5.87%
Si n = 4 5.04
)1(1
h
672.0)606.0)882.0(2)1(2)882.0(2606.0(22
5.0
))()(2)(2)(2)((22
5.043210
xfxfxfxfxfI
0147.0682.0
682.0672.04
E Ó 1.47%
5) Usar el método de Simpson varias veces y comparar el resultado con 0.682 valor
obtenido por tabla considerando el ejercicio anterior.
Solución:
Si n=2 12
)1(1
h
693.0)606.0)1(4606.0(23
1))()(4)((
23
1210
xfxfxfI
0162.0682.0
682.0693.02
E Ó 1.62%
Si n =4 5.04
)1(1
h
683.0)606.0)882.0(4)1(2)882.0(4606.0(23
5.0
))()(4)(2)(4)((23
5.043210
xfxfxfxfxfI
0015.0682.0
682.0683.04
E Ó 0.15%
95
3. Errores de truncamiento en la aproximación trapezoidal
En esta oportunidad analizamos el error en una integración trapezoidal compuesta
iniciemos por tener en cuenta el i–esimo trapezoide, consideremos los puntos xi-1 y xi
con una distancia de h=(b-a)/n, además supongamos que F(x) es la primitiva del
integrando f(x) luego entonces podemos integrar f(x) en el intervalo [xi-1, xi ] es decir:
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖−1)𝑥𝑖
𝑥𝑖−1, (7)
Por otro lado la aproximación numérica de la integral usando el método del Trapezoide
es:
𝑇𝑖 =ℎ
2[𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖)], (8)
Suponiendo que no existe errores en el cálculo entonces se puede suponer que:
𝐸𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝐼𝑖, (9)
Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= xi en f(x) de tal manera que obtenemos f(xi-
1).
𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑓(𝑥𝑖) + (𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖)𝑓′(𝑥𝑖) +(𝑥𝑖−1−𝑥𝑖)2
2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯,
Como h=xi-xi-1.
𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑓(𝑥𝑖) − ℎ𝑓′(𝑥𝑖) +(ℎ)2
2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯, (10)
𝑇𝑖 =ℎ
2[2𝑓(𝑥𝑖) − ℎ𝑓′(𝑥𝑖) +
(ℎ)2
2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯ ],
𝑇𝑖 = [ℎ𝑓(𝑥𝑖) −ℎ2
2𝑓′(𝑥𝑖) +
(ℎ)3
2∗2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯ ], (11)
De manera análoga tenemos para F(xi-1 )
𝐹(𝑥𝑖−1) = 𝐹(𝑥𝑖) − ℎ𝐹′(𝑥𝑖) +(ℎ)2
2!𝐹′′(𝑥𝑖) −
ℎ3
3!𝐹′′′(𝑥𝑖) … ], (11)
Entonces consideramos en (7) se tiene,
𝐼𝑖 = ℎ𝐹′(𝑥𝑖) −ℎ2
2 𝐹′′(𝑥𝑖) +
(ℎ)3
3!𝐹′′′(𝑥𝑖) + ⋯ ],
Pero se tiene que 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥); 𝑓′(𝑥) = 𝐹′′(𝑥); 𝑓′′(𝑥) = 𝐹′′′(𝑥); …
𝐼𝑖 = ℎ𝑓(𝑥𝑖) −ℎ2
2 𝑓′(𝑥𝑖) +
(ℎ)3
3!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯, (12)
Considerando (12) y (11) en (10) se tiene,
96
𝐸𝑖 = [ℎ𝑓(𝑥𝑖) −ℎ2
2 𝑓′(𝑥𝑖) +
(ℎ)3
3!𝑓′′(𝑥𝑖)] − [ℎ𝑓(𝑥𝑖) −
ℎ2
2 𝑓′(𝑥𝑖) +
(ℎ)3
3!𝑓′′(𝑥𝑖)],
𝐸𝑖 = [1
4−
1
6] ℎ3𝑓′′(𝑥𝑖) + 𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 ℎ4, … ],
Considerando que h<<1 los términos h4, h5,... pueden despreciarse de tal manera que
el error de truncamiento del i-esimo trapezoide es dado por.
𝐸𝑖 ≈ℎ3
12𝑓′′(𝑥𝑖), (13)
Si además |𝑓′′(𝑥)| ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces,
|𝐸𝑖| ≤ℎ3
12𝑀 , de donde se tiene para n trapezoides
|𝐸𝑖| ≤𝑛ℎ3
12𝑀 = 𝑛ℎ
ℎ2
12𝑀 = (𝑏 − 𝑎)
ℎ2
12𝑀, (14)
Consecuentemente para fines de análisis el error de truncamiento en el método
trapezoidal se expresa así.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =ℎ
2[𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)𝑛−1
𝑖=1 ] + 𝑜(ℎ2)𝑏
𝑎, (15)
CUESTIONARIO
1. Las cifras significativas de un numero son aquellas que pueden ser usadas en forma
confiable se llama
a) Cifra significativa
b) Exactitud
c) Precisión
d) Incertidumbre
e) Sesgo
2. Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a
los otros
a) Cifra significativa
b) Exactitud
c) Precisión
d) Incertidumbre
e) Sesgo
97
3. Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero.
a) Cifra significativa
b) Exactitud
c) Precisión
d) Incertidumbre
e) Sesgo
4. Se define como una desviación sistemática del valor verdadero.
a) Cifra significativa
b) Exactitud
c) Precisión
d) Incertidumbre
e) Sesgo
5. Se refiere a la magnitud en la dispersión de los valores.
a) Cifra significativa
b) Exactitud
c) Precisión
d) Incertidumbre
e) Sesgo
6. Inexactitud o equivocación al producir en la mente una idea sobre algo.
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error relativo
7. La inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de
medida.
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error relativo
98
8. Es una inexactitud o equivocación al percibir con los sentidos y la mente un determinado
fenómeno o evaluar determinada situación o problema
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error relativo
9. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error relativo
10. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error relativo
11. Se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para
representar números exactos
a) Error de concepto
b) Error de apreciación
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error por redondeo
12. Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el
cálculo.
a) Error de concepto
b) Error numérico total
99
c) Error de medición
d) Error absoluto
e) Error por redondeo
13. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado
a) el error de redondeo se irá incrementando
b) el error de redondeo se acortará
c) el error absoluto será preciso
d) el error relativo incrementará
e) el error absoluto se incrementará
14. La notación binaria del número 9 es
a) 1000
b) 1011
c) 1001
d) 1010
e) 1111
15. La notación binaria del número 8 es
a) 1000
b) 1011
c) 1001
d) 1010
e) 1111
16. La notación binaria del número 10 es
a) 1000
b) 1011
c) 1001
d) 1010
e) 1111
17. Transformar el número es base binaria 1002 a base decimal
a) 4
b) 5
c) 6
100
d) 7
e) 8
18. Transformar el número es base binaria 1102 a base decimal
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
19. Transformar el número es base binaria 1112 a base decimal
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
20. Transformar 0,25 a base binaria
a) 0,012
b) 0,112
c) 0,102
d) 0,0012
e) 0,0112
21. Transformar 0,5 a base binaria
a) 0,012
b) 0,12
c) 0,102
d) 0,0012
e) 0,0112
22. Transformar 0,125 a base binaria
a) 0,012
b) 0,12
c) 0,102
d) 0,0012
101
e) 0,0112
23. En el proceso de resolución de problemas nos vemos obligados a tratar diferentes
números que pueden ser
a) exactos o aproximados.
b) Decimales
c) Enteros
d) Racionales
e) Periódicos
24. La diferencia entre el número exacto A y su valor aproximado a se llama
a) error.
b) Valor
c) Exceso
d) Defecto
e) Diferencia
25. (E) Es la cota superior de desviación del número exacto A respecto al aproximado:
a) Error absoluto
b) Error relativo
c) Error de concepto
d) Error de apreciación
e) Error de medición
26. (C) Un valor exacto A se encuentra en el intervalo [23.07; 23.10]. Determinar
su valor aproximado,
a) 23,085
b) 23,095
c) 23.075
d) 23.045
e) 23.025
27. (C) Un valor exacto A se encuentra en el intervalo [23.17; 23.20]. Determinar
su valor aproximado,
102
a) 23,085
b) 23,095
c) 23.185
d) 23.145
e) 23.125
28. (C) Un valor exacto A se encuentra en el intervalo [23.27; 23.30]. Determinar
su valor aproximado,
a) 23,175
b) 23,195
c) 23.285
d) 23.185
e) 23.225
29. (C) Encontrar el error absoluto si se encuentra en el intervalo [23.17; 23.20].
a) 0.015
b) 0.15
c) 1.5
d) 0.0015
e) 0.00015
30. (C) Encontrar el error absoluto si se encuentra en el intervalo [23.27; 23.30].
a) 0.15
b) 0.015
c) 1.5
d) 0.0015
e) 0.00015
31. (C) Encontrar el error relativo si se encuentra en el intervalo [23.07; 23.10].
a) 0.015
b) 0.15
c) 1.5
103
d) 0.0015
e) 0.00015
32. (E) Si a < A, se aproxima por
a) error.
b) Valor
c) Exceso
d) Defecto
e) Diferencia
33. (E) sí a > A, es un valor aproximado por
a) error.
b) Valor
c) Exceso
d) Defecto
e) Diferencia
34. (E) Se denomina un número aproximado 𝒂 la magnitud 𝛿𝑎
a) Error absoluto
b) Error relativo
c) Error de concepto
d) Error de apreciación
e) Error de medición
35. (A)Determinar en tanto por ciento el error del número aproximado a=35.148, sí
𝐴 = 35,148 ± 0.00074
a) 0.0022%
b) 0.000022%
c) 0.022%
d) 0.22%
e) 0.32%
104
36. (A)Determinar en tanto por ciento el error del número aproximado a=35.148, sí
𝐴 = 35,148 ± 0.004
a) 0.0001138%
b) 0.00001138%
c) 0.001138%
d) 0.01138%
e) 1.38%
37. (A) Determinar en tanto por ciento el error del número aproximado a=32.148, sí
𝐴 = 32,148 ± 0.004
a) 0.00012%
b) 0.000012%
c) 0.0012%
d) 0.012%
e) 1.24%
38. (A) Determinar el valor absoluto del número aproximado 𝑎 = 4,123 , sí 𝛿𝑎 = 0.01%
a) 0.0004
b) 0.004
c) 0.04
d) 0.4
e) 0.00004
39. (A) Determinar el valor absoluto del número aproximado 𝑎 = 4,123 , sí 𝛿𝑎 = 0.02%
a) 0.0008
b) 0.008
c) 0.08
d) 0.8
e) 0.00008
40. (A) Determinar el valor absoluto del número aproximado 𝑎 = 4,103 , sí 𝛿𝑎 = 0.04%
a) 0.0002
105
b) 0.002
c) 0.08
d) 0.8
e) 0.00008
41. (E) Representa sólo el aspecto cuantitativo del error sin reflejar el aspecto cualitativo, es
decir,sin mostrar como hemos realizado la medición o el cálculo.
a) Error absoluto
b) Error relativo
c) Error de concepto
d) Error de apreciación
e) Error de medición
42. (E) Es el proceso es de encajonamiento
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
43. (E) El proceso es de simple tabulación y, donde se halle un cambio de signo en los
valores de f(x)
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
44. (E) La siguiente gráfica corresponde a
a) Método de Bisección
106
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
45. (E) La siguiente figura corresponde
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
46. (E) En que Método hallamos
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
47. (E) El proceso es muy parecido al anterior. La diferencia está en que este por
construcción camina proporcionalmente hacia la raíz
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
48. (E) La siguiente figura corresponde a
2
abt
107
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
49. (E) El proceso acercamiento a la Raíz continuará hasta cumplir la tolerancia
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
50. (E) En que método el valor de t se halla
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
51. (E) El proceso es que toma la dirección de la recta tangente en un punto de la función f
hasta la intersección con eje x
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
)b(f)a(f
ba)b(fbt
108
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
52. (E) La siguiente figura corresponde
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
53. (E) En que método el valor de t se calcula
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
54. (E) El proceso es tomar dos puntos muy cercanos para las x y sus correspondientes
ordenadas
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
)x('f
)x(fxt
0
00
109
55. (E)La siguiente figura corresponde
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
56. (E) En qué método el valor de t se calcula
a) Método de Bisección
b) Método de Graficación
c) Método de Newton
d) Método de Cuerdas
e) Método de la Secante
57. (E) Se determina por el número de cifras del resultado que son fiables.
a) La exactitud de cálculo
b) La inexactitud de cálculo
c) Cifras significativas
d) Error absoluto
e) Error Relativo
58. (E) Los ceros puestos al final de un número son siempre
a) cifras significativas
b) errores
c) cifras cualtativas
d) cifras cuantitativas
110
e) cifras insignicativas
59. (E) Los números exactos presentan
a) El valor aproximado del numero
b) El valor verdadero del número
c) El valor significativo del número
d) El valor no significativo del número
e) Cifras cualitativas
60. (E) Un valor próximo al verdadero con la particularidad que el grado de proximidad se
determina
a) el error de cálculo.
b) cifras cualtativas
c) cifras cuantitativas
d) cifras insignicativas
e) el error relativo
61.Los sistemas de ecuaciones compatibles son
a) Los que no tienen solución
b) Los que tienen infinitas soluciones
c) Los que tienen solución indeterminada
d) los que tienen solución
e) Los que tienen soluciones infinitas
62.Un sistema compatible determinado es
a) Los que no tienen solución
b) Los que tienen infinitas soluciones
c) Los que tienen solución indeterminada
d) los que tienen solución
e) Los que tienen una única solución
63.Un sistema compatible indeterminado
a) Los que no tienen solución
b) Los que tienen infinitas soluciones
c) Los que tienen solución indeterminada
111
d) los que tienen solución
e) Los que tienen una única solución
64.Un sistema incompatible es
a) Los que no tienen solución
b) Los que tienen infinitas soluciones
c) Los que tienen solución indeterminada
d) los que tienen solución
e) Los que tienen una única solución
65.El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en
otro equivalente de forma que este sea
a) escalonado
b) progresivo
c) sucesivo
d) continuo
e) graduado
66.Para facilitar el cálculo se transforma el sistema en una matriz, en la
que pondremos
a) los coeficientes de las variables
b) los términos independientes
c) los coeficientes de las variables y los términos independientes
d) las variables
e) los términos dependientes
67.Como se colocaría El sistema de ecuaciones en una matriz
3x + 2y + z = 1
5x + 3y + 4z = 2
112
x + y − z = 1
a)[3 2 15 −3 41 1 −1
⋮ 1⋮ 2
⋮ −1]
b) [3 2 15 3 41 1 −1
⋮ 1⋮ 2⋮ 1
]
c) [3 2 15 3 11 −1 −1
⋮ −1⋮ 2⋮ 1
]
d) [3 −2 15 3 11 1 −1
⋮ 1⋮ −2⋮ 1
]
e) [3 2 15 −3 11 1 −1
⋮ 1⋮ 2⋮ 1
]
68. Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos
magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal
y = ax + b
a) las constantes b (abcisa en el origen)
b) la variable b (pendiente)
c) las constantes b (ordenada en el origen)
d) la variable a depende de y
e) la variable a es la ordenada
69. El método más efectivo para determinar los parámetros “a” y “b” en
y = ax + b se conoce como
113
a) técnica de mínimos cuadrados.
b) Técnica de máximos cuadrados
c) Técnica de parametros cuadrados
d) Técnica de minimos lineales
e) Técnica de minimos cuadráticos
70. La fórmula para halla el término “a” en el método de mínimos cuadrados es
a)
2
i
2
i
iiii
ΣxΣx
ΣyΣxyΣxna
b) 2i
2
i
iiii
ΣxΣxn
ΣyΣxyΣxna
c)
2
i
2
i
iiii
ΣxnΣx
ΣyΣxyΣxna
d)
2
i
2
i
iiii
ΣxΣxn
ΣyΣxnyΣxa
e)
2
i
2
i
iiii
ΣxnΣxn
ΣyΣxyΣxna
71. La fórmula para halla el término “b” en el método de mínimos cuadrados es
a)
n
ΣxaΣyb ii
b)
n
ΣxnΣyb ii
c)
n
ΣxΣyb ii
d)
a
Σxa2Σyb ii
e)
n
ΣxaΣyb ii
72. El coeficiente de correlación es
a) un parámetro para el estudio de una distribución dimensional
b) nos indica el grado de independencia entre las variables x e y
114
c) nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y
d) un parámetro para el estudio de una distribución tridimensional
e) nos indica el grado de dependencia entre las variables x
73. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:
a)
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
ΣyΣynxΣΣxn
ΣyΣxyΣxr
b)
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
ΣyΣynxΣΣxn
ΣyΣxyΣxnr
c)
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
ΣyΣynxΣΣxn
ΣyΣxnyΣxnr
d)
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
ΣyΣynxΣΣxn
ΣyΣxnyΣxr
e)
2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
ΣyΣynxΣΣx
ΣyΣxyΣxr
74. El coeficiente de correlación si r = -1
a) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e
inversa.
b) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es imperfecta
e inversa
c) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es imperfecta
d) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es inversa
e) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y
directa
75. El coeficiente de correlación si r = 0
a) existe relación entre las variables
b) no existe ninguna relación entre las variables.
c) existe una relación constante entre las variables
d) existe una relación perfecta
e) existe una relación constante
76. El coeficiente de correlación si r = 1
115
a) todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y
directa.
b) existe una relación perfecta
c) existe una relación directa
d) existe una relación constante entre las variables
e) no existe ninguna relación entre las variables.
77. Para poder calcular el valor de la pendiente en el método de mínimos cuadrados , la fórmula
en Excel es:
a) =PENDIENTE(conocido_y;conocido_x)
b) =PENDIENTE(conocido_x;conocido_y)
c) =PENDIENT(conocido_y;conocido_x)
d) =PENDIENT(conocido_x;conocido_y)
e) =PENDIEN(conocido_x;conocido_y)
78. Para poder calcular el valor de la ordenada en el origen en el método de mínimos cuadrados
, la fórmula en Excel es:
a) = INTERSECCIÓN. EJE(conocido_y;conocido_x),
b) = INTERSECCIÓNEJE(conocido_y;conocido_x),
c) = INTERSECC. EJE(conocido_x;conocido_y),
d) =INTERSECCIÓNEJE(conocido_x;conocido_y),
e) INTERSECCIÓNEJE(conocido_x;conocido_y),
79. Para poder calcular el coeficiente de correlación en el método de mínimos cuadrados, la
fórmula en Excel es
a) =COEF.DE.CORREL(B6:B11;A6:A11)
b) =COEF.DE.CORREL(conocido_y;conocido_x)
c) =COEF.DE.CORREL(conocido_x;conocido_y)
d) =COEF.de.CORRELACION(conocido_x;conocido_y)
e) =COEF.de.CORRELACION(conocido_y;conocido_x)
80. Una de las más útiles y bien conocidas clases de funciones reales variables reales es la
clase de
a) Polinomios algebraicos
b) Polinomios especiales
116
c) Polinomios aritméticos
d) Polinomios sintéticos
e) Polinomios
81. El Polinomio de Taylor aproxima
a) en varios puntos
b) un solo punto
c) en dos puntos
d) en tres puntos
e) en múltiples puntos
82. La construcción de los polinomios interpoladores sobre una red uniforme, utilizan las
magnitudes llamadas
a) Diferencias infinitas
b) Polinomios de Taylor
c) Diferencias de polinomios
d) diferencias finitas
e) diferencias divididas
83. Se llama diferencia finita de primer orden a
a) las diferencias entre los valores de la función en el nodo dado y en el nodo precedente
b) las diferencias entre los valores de la función en el punto y en el nodo precedente
c) las diferencias entre los valores de la función en el punto y en el nodo dado
d) las diferencias entre los valores de la función en el punto final y en el nodo precedente
e) las diferencias entre los valores de la función en el punto y en el nodo precedente
84. Las diferencias finitas
a) son cuadráticas
b) son polinomiales
c) son elípticas
d) son hiperbólicas
e) son lineales
85. La integración numérica es utilizada para
a) Funciones polinomicas
b) funciones analíticas
117
c) tabulaciones
d) Funciones lineales
e) Funciones elípticas
86. El proceso de integración está dado por el
a) área bajo la curva de f (x)
b) área bajo la recta f(x)
c) volumen bajo la curva de f (x)
d) volumen bajo la recta
e) la integral definida
87. La integral aproximada está dado por el
a) área bajo la curva Pn (x)
b) área bajo la recta Pn(x)
c) volumen bajo la curva de Pn(x)
d) volumen bajo la recta
e) la inetgral definida
88. El método de newton – cotes, son los tipos de integración numérica mas comunes, su
estrategia es
a) reemplazar a la función complicada o de datos tabulados por un polinomio de
aproximación .
b) reemplazar a la función complicada o de datos tabulados por un polinomio .
c) reemplazar a la función complicada o de datos tabulados por una función cuadrática
d) reemplazar a la función complicada o de datos tabulados por una función lineal
e) reemplazar a la función complicada o de datos tabulados por una constante
89. El método trapezoidal es un método de integración numérica
a) se fundamenta en la integración de la fórmula de interpolación
b) se fundamenta en la integración de la fórmula de interpolación lineal.
c) se fundamenta en la integración de la fórmula de interpolación cuadratica
d) se fundamenta en la integración lineal
e) se fundamenta en la integración cuadratica
90. Los métodos compuestos de integración
a) tiene una longitud grande, entonces resulta conveniente dividirlo en subintervalos
118
b) tiene una longitud pequeña, entonces resulta conveniente dividirlo en subintervalos
c) tiene una longitud mediana, entonces resulta conveniente dividirlo en subintervalos
d) tiene una longitud pequeña, entonces resulta conveniente dividirlo en intervalos
e) tiene una longitud grande, entonces resulta conveniente dividirlo en intervalos
BIBLIOGRAFIA
• “METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS”
• Chapra, Steven C.;Canale, Raymond P., McGraw-Hill Interamericana,2007.
• ANÁLISIS NUMÉRICO
• Richard L. Burden, J, Douglas Faires
• Séptima Edición 2009, Editorial Thomson Learning
• METODOS NUMÉRICOS APLICADOS CON SOFTWARD
• Shoichiro Nakamura, Pearson Preantice Hall,1999
• es.scribd.com/document/356563673/apuntes-metodos-numericos-integracion-y-
diferenciacion-doc
119