“La imaginación es más importante que el conocimiento.”

Albert Einstein

Unidad 6Suma y resta d e monomios y polinomios

Objetivos

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243

Introducción

C uando estábamos en primaria la maestra nos decía que sumar dos veces una cantidad era

lo mismo que multiplicar por dos: 5 + 5 = 2 x 5, 8 + 8 = 2 x 8. ¿Esto es siempre

verdadero? ¿Podemos escribir que para cualquier número “a” , a + a = 2 a?

En esta unidad estudiaremos las relaciones entre las cantidades sin importar si se trata

de un cinco o un ocho. Revisaremos afirmaciones del estilo de las que inferimos junto con nuestros

maestros de primaria y secundaria y cobrarán un sentido diferente en función de las relaciones que

se establecen entre las cantidades.

6.1. Suma y resta de monomios

Antes de comenzar el estudio mismo de la suma y resta de monomios,

que es nuestro objetivo central en esta unidad, es conveniente volver sobre,

quizás, el concepto más simple y más importante de las matemáticas: la

igualdad.

Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta

de un coeficiente y de una parte literal al estilo de 3 x2 y5. ¿Cuándo son

iguales dos monomios?

Establecemos que dos monomios son iguales si tienen el mismo coeficiente y la misma

parte literal.

Ejemplos :

1. Los monomios (2 x3) y (5 x3) no son iguales ya que difieren en su coeficiente.

2. Los monomios (2 a3) y (2 b3) no son iguales ya que difieren en su parte literal.

3. Los monomios (2 x3) y (2 x4) no son iguales ya que difieren en su parte literal (exponente).

4. Los monomios (2 x3) y (–2 x3) no son iguales ya que difieren en su coeficiente (signo).

En cambio:

5. Los monomios h y (0.5 h5) sí son iguales. Recuerda que = 0.5

6. Los monomios (3 x5 y7) y (3 y7 x5) sí son iguales. Fíjate que sus coeficientes son iguales

y recuerda que la multiplicación es conmutativa por lo que x5 y7 = y7 x5. Pero:

¿Cuándo son iguales dos monomios?

Unidad 6

244

¿Puede decir se que dos monomios iguales representan una identidad?

Si los valores numér icos de dos monomios coinciden en uno o más valores de sus literales, ¿es

los monomios sean iguales?

7. L os monomios (5x2y3) y (5x3y2) no son iguales. Fíjate

que 5 x2 y3 = 5 x x y y y mientras que 5x3y2 = 5xxxyy, que

evidentemente no son iguales.

Muchas veces ocurre que lo que es evidente para una persona no lo

es para otra. En álgebra es muy habitual que cuando una persona

comprende la lógica que subyace detrás de determinada relación, ésta aparece como evidente, pero

mientras dicha lógica no es construida, las relaciones no parecen establecerse en forma lógica o

consecuente. En el caso anterior podemos reforzar la diferencia entre los dos monomios hallando

su valor numérico para valores arbitrarios de x y de y.

8. Calcula los valores numéricos de (5x2y3) y (5x3y2) para x = 2, y = 3.

Solución :

5 x2 y3 = 5 (2)2 (3)3 = 5 (4) (27) = 540

5 x3 y2 = 5 (2)3 (3)2 = 5 (8) (9) = 360

¡Que, ahora sí, son evidentemente diferentes! El hallar el valor numérico de una expresión

algebraica es una forma fácil y rápida de establecer si una relación es falsa, pero lamentablemente

no asegura que sea verdadera. Con referencia al caso anterior, analiza los siguientes ejemplos :

9. Calcula los valores numéricos de (5 x2 y3) y (5 x3 y2) para x = 2, y = 0.

Solución :

5x2 y3 = 5 (2)2 (0)3 = 5 (4) (0) = 0

5x3 y2 = 5 (2)3 (0)2 = 5 (8) (0) = 0

Que son evidentemente iguales, pero ¡las expresiones no son iguales!

10. Calcula los valores numéricos de (5 x2 y3) y (5 x2 y2) para x = 4,

y = 1.

Solución :

5x2 y3 = 5 (4)2 (1)3 = 5 (16) (1) = 80

5x2 y2 = 5 (4)2 (1)2 = 5 (16) (1) = 80

Que son evidentemente iguales, aunque en este caso las expresiones

tampoco son iguales.

Como viste en los capítulos anteriores, existen dos números que tienen propiedades

específicas: el cero y el uno. El primero, por ser el neutro de la adición: a + 0 = a. Para cualquier

número “a” que se tome. Y además posee la propiedad por la cual si se multiplica por cualquier

número, se obtiene el propio cero, es decir a 0 = 0.

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245

El segundo (el uno), por ser el neutro de la multiplicación:

a 1 = a, para cualquier número “a” que se tome.

Por ello, cuando uses el valor numérico para analizar si una

expresión algebraica es igual o no a otra, no uses ninguno de estos

dos números, ya que sus propiedades particulares pueden “esconder”

la relación general de la expresión.

Ejercicio 1

Contesta V si es verdadera o F si es falsa cada una de las siguientes proposiciones:

1. 0.3 x2 = x2 Verdadero Falso

2. 7 x2 y = 7 y x2 Verdadero Falso

3. 7 x2 y = –7 y x2 Verdadero Falso

4. 0.7 x2 y = y x2 Verdadero Falso

6.1.1. La adición y la suma; la sustracción y la resta o diferencia

El lenguaje es un bien preciado que no debemos perder, ya que cuando una persona es capaz

de expresar un concepto claramente es porque lo ha comprendido realmente (al revés no siempre

es cierto, ¿verdad?).

¿Qué diferencia existe entre la adición y la suma? Volvamos a los viejos tiempos de la adición

elemental. 12 sumandos + 15 27 suma

La operación que acabamos de realizar se llama adición . Los elementos involucrados en la

adición se llaman sumandos y el resultado se llama suma. Esto quiere decir que cuando hablamos

de la suma de 12 y 15 no estamos hablando de la operación sino del 27, que es la suma (el resultado)

de 12 y 15.

La sustracción , como ya habrás descubierto, es el nombre de la operación que se acostumbra

llamar resta, mientras que la resta o diferencia es el resultado. Pero existe una diferencia importante

Si dos monomios son iguales, ¿sus

valores numér icos coincidirán para todos los valores de sus literales?

Unidad 6

246

entre la adición y la sustracción. En la primera operación a los elementos involucrados los llamamos

sumandos independientemente de cuál de ellos hablemos. En la sustracción no sucede esto. El primer

elemento (al que se le resta el otro) se llama minuendo y el segundo (el que resta) sustraendo.

54 minuendo – 31 sustraendo 23 resta o diferencia

¿A qué se debe esta diferencia de términos? Posiblemente ya lo hayas inferido. Una

característica importante que posee la adición y que no posee la sustracción es que la suma es

conmutativa . Por ello es irrelevante cuál de los dos números es sumado al otro.

En la sustracción en cambio existe una sutileza que cobra mucha importancia en el álgebra.

Cuando decimos 54 – 31 = 23, es el 31 el que resta al 54, por ello es importante distinguir el

minuendo del sustraendo. ¿Es lo mismo –54+ 31?

También es importante comentar que para efectuar la adición se sigue un procedimiento

llamado algoritmo .

Por algoritmo entendemos un procedimiento que conduce a un resultado.

Existen algoritmos para efectuar las diferentes operaciones; por ejemplo , cuando estábamos en

primaria la maestra nos explicó que para sumar dos o más números, debemos colocarlos en una columna

y sumar unidades con unidades, decenas con decenas, etc. ¿Recuerdas cuánto te costó “aprender” cuando

debías “llevarte” una unidad a las decenas? El problema fundamental es que confundíamos el procedimiento

para sumar (algoritmo) con la operación misma. La suma de 14 + 27 es 41, independientemente de

si hacemos la operación en forma vertical, como nos enseñaron en primaria, en una calculadora o de

cualquier otra forma. ¿Recuerdas el algoritmo de la división tratado en este mismo libro?

A modo de ejemplo lee el algoritmo geométrico para multiplicar dos números dado al

final de esta unidad.

6.1.2. Supuestos implícitos o la complejidad de un número cualquiera

El lenguaje matemático es muy “compacto”. Con este adjetivo queremos decir que cada símbolo

tiene detrás muchas implicaciones que hacen a veces oscura su comprensión. Tomemos por ejemplo

el número 2. Cuando comenzaste a aprender matemáticas, el 2 te servía para contar primero tus años

y luego la cardinalidad de cualquier conjunto que se correspondiera con tus dedos índice y mayor.

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247

Luego aprendimos a sumar y a restar. Al conocer el algoritmo de la sustracción vimos que

existían números negativos. Esto supone que los otros, los conocidos hasta entonces, tenían una

característica en la cual no reparamos: eran positivos. Es decir, que cuando escribimos el número

2, en realidad queremos escribir el + 2.

Pero aquí no termina la historia. ¿Recuerdas cómo haces para sumar una fracción a un

número entero? Le “agregas” un uno “abajo” :

¿Por qué puedes “agregar” un 1 abajo del 2? Sencillamente porque, al igual que el signo +

que tiene el 2 en forma implícita, también “ tiene” un 1 abajo que quiere decir que “al entero lo

partí en 1 parte y tomé 2” . Por ello, los enteros entraban dentro de las fracciones (racionales):

Z QEntonces, cuando escribimos el 2, en realidad queremos escribir +

Pero aún más. ¿Recuerdas cómo hacías para sumar decimales con un entero? Al entero le

“agregabas” un punto decimal y tantos ceros a su derecha como necesitaras para igualar el número

de decimales del otro sumando:

2 2.000

+ 0.532 + 0.532

Y ¿por qué puedes “agregar esos ceros”? ¡Claro!, porque esos ceros están implícitos en el

concepto de número entero. Cuando escribimos el número 0.532 queremos hablar del número que

tiene 0 unidades, 5 décimas, 3 centésimas y 2 milésimas. De la misma manera, cuando queremos

hablar del número que tiene 2 unidades, 0 décimas, 0 centésimas, 0 milésimas, etc., escribimos

sencillamente 2, pero recuperamos su significado cuando lo necesitamos.

¿H as escuchado decir “ vale menos que un cero a la izquierda”? Un cero a la izquierda de un

número entero no tiene valor. Cuando escribimos el número 547, queremos hablar de aquel que

tiene 7 unidades, 4 decenas y 5 centenas. El número 2 es aquel que tiene 2 unidades, 0 decenas,

0 centenas, etcétera. Y esto lo usas cuando sumas un número entero que tiene menos cifras que

otro. Por ejemplo :

547 547

+ 2 + 002

Aunque la costumbre hace que no escribamos esos ceros, cuando escribimos el número 2,

queremos escribir:

Unidad 6

248

Donde los puntos suspensivos quieren decir que hay una cantidad infinita de ceros.

Por otro lado, sabemos que un exponente significa las veces que se multiplica la base por

sí misma.

Así 53 quiere decir 5 x 5 x 5.

Cuando escribimos un número sin ningún exponente significa que ese número está una sola vez.

En otras palabras, cuando no colocamos ningún exponente, asumimos que tiene el exponente 1. (Una

confusión habitual es asumir un exponente cero cuando no colocamos ninguno. Éste es un buen momento

para que repases las definiciones de exponentes de las unidades pasadas y veamos que a0 = 1 si a 0)

Cuando escribimos el número 2, en realidad estamos escribiendo:

Por último, y esta parte es importante para la comprensión de la escritura de monomios,

debemos recordar que el igual quiere decir igual. Por ello son válidas las expresiones como:

5 + 3 = 8 o

Y en particular dos que son verdaderas para cualquier número y que implican las propiedades

de los neutros para la adición y la multiplicación:

a = 0 + a y a = 1 a

Donde intencionalmente usamos la propiedad de simetría de la igualdad escribiendo estas

relaciones al revés de como las habíamos visto con anterioridad, porque es de esa manera como

las usaremos en los monomios y más tarde en las ecuaciones. Por ello, cuando escribimos el 2,

estamos suponiendo:

0 + 1

Entonces, cuando escribimos un número natural como el 2, estamos suponiendo que:

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249

6.1.3. Suma algebraica de monomios

Desde hace mucho tiempo sabemos que si hemos caminado 8 metros y luego caminamos

otros 4 metros, en total hemos caminado 12 metros.*

A los científicos les gusta simplificar las cosas (aunque a veces parezca lo contrario). Por ello

una convención estableció el Sistema Internacional de Unidades que expone

que en lugar de escribir toda la palabra “metros” , escribamos solamente el

símbolo “m” que tú ya usas desde primaria. Entonces en lugar de escribir 8

metros, escribiremos 8 m.

Si te fijas bien, 8 m es un monomio cuyo coeficiente es la cantidad

de unidades medida y la parte literal la unidad elegida. Esta parte literal (m)

está elevada a la potencia 1, es decir, que en lugar de escribir 8 m1, escribimos

simplemente 8 m.

Entonces podemos simplificar la notación de lo caminado en el ejemplo anterior, traduciéndolo

al lenguaje algebraico como:8 m + 4 m = 12 m

Lo que hicimos fue sumar dos monomios semejantes: 8 m y 4 m. ¿Cómo se suman entonces

los monomios semejantes?

La suma de dos monomios semejantes es otro monomio con la misma parte literal y

cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de los monomios sumandos, esto es,

entendemos como suma algebraica la suma o resta de monomios.

Ejemplos:

11. 13 m + 6 m = 19 m

12. 2.5 x2 + 3.8 x2 = 6.3 x2

* Aunque esta propiedad nos resulta tan natural, es de gran importancia e implica la aditividad de las magnitudes involucradas en la operación. Para entender mejor lo que estamos diciendo veamos alguna magnitud que no sea aditiva. Si un comercio anuncia que sobre un artículo aplicará 50% de descuento más 25%, no está anunciando 75% de descuento sino uno de sólo 62.5%, ¡verifícalo!

¿Cómo repor tas

la medida de una

Unidad 6

250

13. a3 + a3 = a3

14. a3 b + a3 b = 1 a3 b

Cuando el coeficiente sea 1, vamos a convenir en no escribirlo como parte de los supuestos

que vimos para cualquier número, por lo tanto:

a3 b + a3 b = a3 b

15. 13 m – 6 m = 7 m

16. 2.5 x2 – 3.8 x2 = –1.3 x2

17. a a a

18.

Cuando el coeficiente sea –1, vamos a convenir en no escribir el 1, pero el signo sí

debe escribirse para no confundirse con el coeficiente 1; por lo tanto:

Pero, en general, podemos sumar y restar más de dos monomios semejantes. Vamos a mostrar

cómo y luego a ejercitarnos.

Verifica que las siguientes operaciones estén correctamente resueltas:

19. (3 m) + (8 m) + (5 m) – (4 m) = 12 m

Solución :

Si usamos la propiedad distributiva “al revés” , vemos que:

(3 m) + (8 m) + (5 m) – (4 m) = (3 + 8 + 5 – 4) m = 12 m

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251

20. (–4 x2) + (–5 x2) = – 9 x2

Solución :

Por la “ ley de los signos” , vemos que:

x x x x x

Recuerda que cuando las dos cantidades son negativas, el resultado es negativo.

21. (–5.4 x y3) – (5.4 x y3) = –10.8 x y3

Solución :

(–5.4 x y3) – (5.4 x y3) = (–5.4 – 5.4) x y3 = –10.8 x y3

22. (–5.4 x y3) – (–5.4 x y3) = 0 x y3 = 0

Solución :

Si usamos la propiedad distributiva y la ley de los signos, vemos que:

(–5.4 x y3) – (–5.4 x y3) = [ (–5.4) – (–5.4)] x y3 = (–5.4 + 5.4) x y3 = 0 x y3 = 0

ya que –(–5.4 x y3) = + 5.4 x y3 = 5.4 x y3

Ejercicio 2

Realiza las siguientes sumas algebraicas de monomios:

1. 3 m + 6.7 m =

2. 0.5 x2 + 14.75 x2 =

3. a3 + 0.5 a3 =

4. a3 b + ba3 =

Unidad 6

252

5. 3 m – 6.7 m =

6. 0.5 x2 – 14.75 x2 =

7. a3 – 0.5 a3 =

8. a3 b – ba 3 =

9. (4 a b2) + (–3 a b2) =

10. (0.5 h j3 k2) – (h j3 k2) + (0.35 h j3 k2) =

11. + (0.3 x3 y2) =

12. (2 x2 y) – (3 x y2) =

Fíjate que para reducir monomios, éstos deben ser semejantes.

Ahora bien, si los monomios no son semejantes, ¡no tiene sentido sumar 5 metros con 6

kilogramos o 3 metros con 7 metros cuadrados! Y entonces, ¿a qué es igual 3 a + 5 b?

Éste es un binomio (dos monomios, ¿recuerdas la unidad anterior?) y no se puede expresar

de otra manera. Por lo tanto 3 a + 5 b = 3 a + 5 b.

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253

6.2. Suma y resta de polinomiosComo habrás notado en el problema 12 del ejercicio 2, si dos monomios no son semejantes

la suma o la resta es expresable solamente en forma implícita. ¿Qué sucede, entonces, al sumar dos polinomios?

6.2.1. Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se reducen los monomios semejantes y se expresan implícitamente los demás.

Con todo lo dicho hasta ahora podemos sumar polinomios y sobre los ejemplos aclarar dudas.

Ejemplos :

Realiza las siguientes sumas de polinomios:

23. (3 x2 + 5 x + 4) + (2 x2 + x + 7) =Existen dos formas habituales para realizar esta suma. Una, imitando el algoritmo aprendido

para números, consiste en colocar un polinomio debajo del otro de tal suerte que cada término se encuentre debajo del monomio semejante correspondiente al otro polinomio, de esta manera:

3 x2 + 5 x + 4

+ 2 x2 + x + 7

5 x2 + 6 x + 11

La otra forma es realizar la suma “horizontalmente” asociando mentalmente los monomios semejantes. Al principio la primera forma aparece como más clara y sencilla, pero habitualmente uno termina acostumbrándose a la segunda forma porque ahorra escritura. La segunda forma es:

(3 x2 + 5 x + 4) + (2 x2 + x + 7) = 5 x2 + 6 x + 11

Donde el monomio 5 x2 se obtuvo de la suma de 3 x2 + 2 x2 . El monomio 6 x de la suma

de 5 x + x (fíjate que “x” tiene un coeficiente 1 aunque no se escriba y por

lo tanto 5x + x = 6x. Por último, el 11 se obtuvo de 4 + 7.

En otras palabras, cuando operamos horizontalmente usamos

explícitamente la propiedad asociativa, agrupando los monomios semejantes,

es decir:

(3 x2 + 5 x + 4) + (2 x2 + x + 7) = (3x2 + 2x2) + ( 5 x + x)+ (4 + 7)

= (3 + 2) x2 + (5 + 1) x + (4 + 7)

= 5 x2 + 6 x + 11

¿La suma de dos polinomios

de igual número de

términos es otro polinomio

con ese número de términos?

Unidad 6

254

24. (–8 x2 – 2 x – 4) + (5 x2 + 7 x – 9) =

H agámosla de la primera forma para ir acostumbrándonos.

–8 x2 – 2 x – 4

+ 5 x2 + 7 x – 9

–3 x2 + 5 x – 13

25. (4 x2 – 5 x – 4) + (–5 x2 + 5 x + 1) =

4 x2 – 5 x – 4

+ –5 x2 + 5 x + 1

–x2 – 0 x – 3

O sencillamente (4 x2 – 5 x – 4) + (–5 x2 + 5 x + 1) = –x2 – 3

26. (8 a + 5 b + c) + ( 4 a – 3b + 2c) =

8a + 5b + c

+ 4a – 3b + 2c

12a + 2b + 3c

27. (2 x2 + 7 x – 1) + (3 x2 + 2 x + 9) + (3 x2 – 2 x + 4) =

2 x2 + 7 x – 1

+ 3 x2 + 2 x + 9

3 x2 – 2 x + 4

8 x2 + 7 x + 12

Es decir (2 x2 + 7 x – 1) + (3 x2 + 2 x + 9) + (3 x2 – 2 x + 4) = 8 x2 + 7 x + 12

28. (5 x2 + 1) + (3 x2 – 3 x) + (7 x + 5) =

Fíjate que para poder realizar la suma, debemos ubicar en las mismas columnas los términos

semejantes para lo cual es preciso dejar “huecos” como se ve en este ejemplo :

5 x2 + 1

+ 3 x2 – 3 x

7 x + 5

8 x2 + 4 x + 6

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255

O bien:

(5 x2 + 1) + (3 x2 – 3 x) + (7 x + 5) = (5 + 3) x2 + (–3 + 7) x + (1 + 5) = 8 x2 + 4 x + 6

29. (3 x2 + a) + ( 5 y – b) =

Como en este caso no existen monomios semejantes, no existe otra forma de expresar la

suma que en forma implícita, es decir:

(3 x2 + a) + ( 5 y – b) = 3 x2 + a + 5 y – b

30. (4 x2 + 3 x + 2 y2) + (y2 + 7 y + 6 x2) =

En este caso los polinomios no están ordenados de la misma forma. Para poder sumarlos en

forma vertical debemos colocar los monomios semejantes en la misma columna.

4 x2 + 3 x + 2 y2

+ 6 x2 + y2 + 7 y

10 x2 + 3 x + 3 y2 + 7 y

Donde no es el único orden posible. También son verdaderas las respuestas:

10 x2 + 7 y + 3 x + 3 y2 o 3 y2 + 3 x + 10 x2 + 7 y

Ejercicio 3

Realiza las siguientes sumas de polinomios:

1. (4 x2 + 5 x – 7) + (4 x2 + 5 x – 7) =

2. (4 x2 – 5 x – 7) + (– 4 x2 + 5 x + 7) =

3. (4 x2 – 5 x – 7) + (– 4 x2 + 5 x – 7) =

4. (12 x2 + 9 x – 2) + (3 x2 + x + 8) + (7 x2 + 6 x + 2) =

5. (4 y + 4) + (3 x + 5 y –3) =

6. (a – b) + (b – c) + (c – d) + (d – e) =

7. (8 x2 + 5 xy + 2 y2) + (3 x2 + 7 xy + 9 y2) =

H asta aquí, para aprender a sumar polinomios intencionalmente hemos evitado una

dificultad: la operación de los coeficientes siempre estaba dada sobre el conjunto de los números

enteros. Pero decíamos que un monomio es una expresión que consta de un coeficiente y este

Unidad 6

256

número puede ser una fracción o un número real cualquiera. Veamos algunos ejemplos donde los

coeficientes no sean sólo enteros.

Ejemplos:

Realiza las siguientes sumas de polinomios.

31. (0.5 a + 2.3 b) + (4.1 a – 1.8 b) =

Realicemos esta suma horizontalmente.

(0.5 a + 2.3 b) + (4.1 a – 1.8 b) = (0.5 + 4.1) a + [2.3 + (–1.8)] b

= 4.6 a + (2.3 – 1.8) b

= 4.6 a + 0.5 b

32.

33. (0.5 x + 2 y – 1.75 z) + =

La dificultad en este ejemplo estriba en que unos coeficientes están expresados en forma

decimal y otros en forma de fracción. Para poder operar deben ser llevados a la misma forma por

lo que debemos hacer transformaciones.

En este caso es totalmente equivalente convertir los decimales a fracción o las fracciones a

decimales, por ello lo haremos de las dos formas para practicar. Sin embargo, esto no siempre es

válido, por ello lo analizaremos en el ejemplo siguiente.

Como:

= 1.5 = 0.4 y = 0.25

mat emát ic as 1

257

Entonces:

(0.5x + 2y – 1.75z)+ = (0.5x + 2y – 1.75 z) + (1.5 x + 0.4 y + 0.25 z)=

= (0.5 + 1.5) x + (2 + 0.4) y + (–1.75 + 0.25) z

= 2 x + 2.4 y – 1.5 z

O bien como,

y

Entonces, (0.5x + 2y – 1.75z)+ =

Verifica que las dos expresiones, la dada en forma decimal y la de la forma fraccionaria, son

equivalentes.

34. (0.5 x + 2 y – 1.75 z + 3.2) + =

Generalmente en principio uno prefiere optar por la forma decimal ya que puede ser operada

fácilmente por calculadora; sin embargo, esta forma tiene algunas dificultades como veremos en

este ejemplo.

Si quisiéramos convertir 1/3 a decimal, observaremos que obtenemos una expresión periódica

infinita:

= 0.3333333....

Donde los puntos suspensivos quieren decir que se repite la secuencia, en este caso el 3 y

que habitualmente expresamos:

Fíjate que no es posible expresar a esta fracción con una expresión decimal finita ya que

(recuerda que en matemáticas “ igual” quiere decir “ igual” )

Unidad 6

258

, ,

Por más que pongas “muchos” 3.

Lo mismo sucede con las fracciones ya que

2/7 = 0.285714285714... = 0.285714

4/9 = 0.444444.... = 0.4

Por ello, cualquier expresión finita que usemos de estos números va a ser necesariamente

incompleta y, por lo tanto, no dará una igualdad. En estos casos no queda otra alternativa que

operar con fracciones.

(0.5 x + 2 y – 1.75 z + 3.2) + =

H ay otros casos interesantes: cuando los números involucrados contienen raíces no exactas:

35. ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) =

Como vimos en las unidades anteriores, la expresión decimal de 2 no es finita. Las primeras

cifras son: 2 = 1.414213562...

Pero por ser un número irracional no vamos a encontrar ningún periodo en su expresión

decimal. Lo mismo sucede con otros números irracionales como

3 = 1.732050808...

5 = 2.236067977...

= 3.141592654...

Para operar en estos casos debemos recuperar la propiedad asociativa de la suma de la

siguiente forma ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) = ( 2 + 4) x + (3 + 5) y.

mat emát ic as 1

259

Pero mientras que el segundo término (3 + 5) puede ser operado explícitamente, no hay forma

de obtener una igualdad diferente para el primer término, debiendo dejar la suma implícita. Claro

está que en algunos casos será necesario obtener una expresión aunque sea aproximada (no igual)

para lo cual podremos tomar dos, cuatro o los decimales que sean necesarios para la aproximación

deseada del irracional involucrado. Esto es lo que hacemos cuando

calculamos perímetros o áreas de circunferencias o círculos donde

tomamos a como 3.14 (como hacíamos en primaria) o como 3.1416

(que de cualquier manera no deja de ser una aproximación).

Por todo esto ( 2 x + 3 y) + (4 x + 5 y) = ( 2 + 4) x + 8 y.

Ahora practica los criterios anteriores:

Ejercicio 4

1. (3.05 a + 22.7 b) + (–2.1 a – 18.8 b) =

2.

3.

4.

5. ( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) =

Considera la siguiente resta de polinomios:

(9 x2 + 3 x + 2) – (4 x2 + 5 x + 7) =

Para realizar esta resta existen dos formas. Una de ellas supone colocar un polinomio debajo del otro de tal suerte que coincidan los monomios semejantes. Sin embargo, hay que tener presente que el signo menos está afectando a todo el polinomio 4 x2 + 5 x + 7, lo cual significa que cada término debe restar a su correspondiente. Esto es equivalente a cambiar el signo de cada monomio. Es decir que: – (4 x2 + 5 x + 7) = – 4 x2 – 5 x – 7.

Ahora la resta de polinomios se convierte en la suma del polinomio minuendo más el sustraendo con los signos cambiados.

¿Cuáles denominadores

de una sola ci fra pueden producir

una expresión decimal per iódica?

Unidad 6

260

9 x2 + 3 x + 2 9 x2 + 3 x + 2 – 4 x2 + 5 x + 7 + – 4 x2 – 5 x – 7

5 x2 – 2 x – 5

Ejemplos :36. (9 x2 + 3 x + 2) – (4 x2 – 5 x + 7) = Solución : 9 x2 + 3 x + 2 9 x2 + 3 x + 2 – 4 x2 – 5 x + 7 o bien + –4 x2 + 5 x – 7

5 x2 + 8 x – 5 5 x2 + 8 x – 5

Fíjate que un signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos de los términos

que se encuentren dentro de él, mientras que un signo más (explícito o implícito) no lo hace. Esto

hace falta remarcarlo porque es muy importante.

Un signo de agrupación (paréntesis, corchete o llave) precedido de un signo “más” puede

ser quitado dejando cada término con los signos que tenía.

En símbolos:

+ (a + b – c) = a + b – c signo explícito

O simplemente

(a + b – c) = a + b – c signo implícito

Pero

Un signo de agrupación (paréntesis, corchete o llave) precedido de un signo “menos”,

para ser quitado es necesario cambiar los signos de cada término.

En símbolos:

– (a + b – c) = –a – b + c el signo “–” siempre debe ser explícito

mat emát ic as 1

261

La otra forma consiste en colocar los polinomios que se van a restar entre signos de agrupación

para diferenciar el minuendo del sustraendo; eliminar los signos de agrupación y reducir los términos

semejantes.

Ejemplos :

37. (9 x2 + 3 x + 2) – (4 x2 + 5 x + 7)

Eliminando los signos de agrupación tenemos

9 x2 + 3 x + 2 – 4 x2 – 5 x – 7

Reduciendo términos semejantes

5x2 – 2x – 5

38. (5a + 2b – 3c) – (–2a + b + 4c)

= 5a + 2b – 3c + 2a – b – 4c

= 7a + b – 7c

Ejercicio 5

1. (3a + 2b – c) – (4a – b + 2c) =

2. (–2a – 3b + c) – (–6a + 2b)=

3. (3a + 4b + 5c) – (2a + 3b – c)=

4. (7 x2 + 5 x + 2.75) – (4 x2 + 5 x – 2.75) =

5. (2 x2 + x + 0.6) – (4 x2 – 5 x + ) =

Ahora podemos generalizar todo lo visto en el capítulo, sumando y restando todo tipo de

polinomios.

Unidad 6

262

Ejemplos :

Verifica que los siguientes ejercicios estén bien resueltos:

39. (6 a + 7 b – 4 c – 5 d) + (3 a – 4 b – 4 c + 2 d) = 9 a + 3 b –8 c – 3 d

40. (6 a + 7 b – 4 c – 5 d) – (–3 a + 4 b + 4 c – 2 d) = 9 a + 3 b –8 c– 3 d

41. (x2 + xy) + (yx + y2) = x2 + 2 xy + y2

42. (x2 – xy) + (– yx + y2) = x2 – 2 xy + y2

43. (x2 – xy) + (yx – y2) = x2 – y2

44. (3 a – 5 b + 7 c) + (8 a – 4 b – 5 c) – (12 a + 3 b – 3 d) = – a – 12 b + 2 c + 3 d

45. (3 x + 2 y) – { (4 x – 5 y) – [ (2 x – 5 y) – ( 4 y – 3 x)] – (5 x – 2 y)} + (4 x + 3 y) =

En este último caso tenemos varios signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ]

y llaves { } . Para poder operar correctamente debemos quitarlos operando de “adentro” hacia

“afuera” , es decir, que no podemos quitar la llave si no hemos quitado primero los corchetes y

los paréntesis. Sin embargo, el primer y último paréntesis sí pueden ser quitados ya que no se

ven afectados por otros.

Entonces:

(3 x + 2 y) – { (4 x – 5 y) – [ (2 x – 5 y) – ( 4 y – 3 x)] – (5 x – 2 y)} + (4 x + 3 y) =

= 3 x + 2 y – { (4 x – 5 y) – [2 x – 5 y – 4 y + 3 x] – (5 x – 2 y)} + 4 x + 3 y =

= 3 x + 2 y – { 4 x – 5 y – 2 x + 5 y + 4 y – 3 x – 5 x + 2 y} + 4 x + 3 y =

= 3 x + 2 y – 4 x + 5 y + 2 x – 5 y – 4 y + 3 x + 5 x – 2 y + 4 x + 3 y =

= (3 – 4 + 2 + 3 + 5 + 4) x + (2 + 5 – 5 – 4 – 2 + 3) y

= 13 x – y

46. ¿Cuál es la expresión que sumada a (x2 + 3 x – 5 y) da (4 x2 – 2 x + 4 xy)?

Encontrar una expresión que sumada a otra que está dada dé como resultado una tercera

expresión, es equivalente a restar las expresiones datos. Entonces a la expresión que es el resultado

(4 x2 – 2 x + 4 xy) debemos restar la primera, es decir:

4 x2 – 2 x + 4 xy 4 x2 – 2 x + 4 xy

– x2 + 3 x – 5 y + – x2 – 3 x + 5 y

3 x2 – 5 x + 4 xy + 5 y

La expresión buscada es el cuatrinomio 3 x2 – 5 x + 4 xy + 5 y.

mat emát ic as 1

263

Ejercicio 6

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. (a2 + ab) + (ba + b2) =

2. (a2 – ab) + (– ba + b2) =

3. (a2 + ab) + (– ba – b2) =

4. (– a2 – ab) – (ba + b2) =

5. (4 x2 + 3 x) + (3 x + 9) =

6. (x3 + 2 x2y) + (x2y + xy2) + (2 xy2 + y3) =

7. (x3 – 2 x2y) – (x2y – xy2) – (–2 xy2 – y3) =

8. (2.3 x – 4.01 y + 5.2 x) + (4 x – 4 y – 5 z) – (1.2 x – 2.3 y – 3 y) =

9. (2a + 5b) – { (–5a + 3b) – [ (2a –3b) – ( 4b – 3a)] – (5b – 2a)} – (4b + 3b) =

mat emát ic as 1

265

Respuestas a los ejercicios

1. F2. V

3. F

4. V

1. 3 m + 6.7 m = (3 + 6.7) m = 9.7 m

2. 0.5 x2 + 14.75 x2 = (0.5 + 14.75) x2 = 15.25 x2

3. a3 + 0.5 a3 = (0.6 + 0.5) a3 = 1.1 a3 o bien

a3 + 0.5 a3 = a3 + a3 = a3

4. a3 b + ba3 = a3 b ya que = 1 y a3 b = ba3

Y entre los supuestos que vimos, el factor 1 no lo vamos a escribir (aunque si lo escribiste

no está mal ya que sí es igual).

5. 3 m – 6.7 m = (3 – 6.7) m = –3.7 m

6. 0.5 x2 – 14.75 x2 = (0.5 – 14.75) x2 = –14.25 x2

7. a3 – 0.5 a3 = (0.6 – 0.5) a3 = 0.1 a3 o bien a3 – 0.5a3 = a3 – a3 = a3

8. a3 b – ba3 = a3 b = a3 b

9. (4 a b2) + (–3 a b2) = [4 + (–3)] a b2 = (4 – 3) a b2 = a b2

Ej. 1

Ej. 2

Unidad 6

266

10. (0.5 h j3 k2) – (h j3 k2) + (0.35 h j3 k2) = (0.5 – 1 + 0.35) h j3 k2 = –0.15 h j3 k2

11. + (0.3x3 y2) = = x3 y2

12. (2 x2 y) – (3 x y2) = 2 x2 y – 3 x y2 es un binomio que no puede ser expresado de

otra forma ya que los términos involucrados no son semejantes.

1. (4 x2 + 5 x – 7) + (4 x2 + 5 x – 7) = (4 + 4) x2 + (5 + 5) x + (–7 –7) =

8 x2 + 10 x –14

2. (4 x2 – 5 x – 7) + (– 4 x2 + 5 x + 7) = [4 + (– 4)] x2 + (–5 + 5) x + (–7 + 7) =

0x2 + 0 x + 0 = 0

3. (4 x2 – 5 x – 7) + (– 4 x2 + 5 x – 7) = [4 + (– 4)] x2 + (–5 + 5) x + [–7 + (– 7)]

= 0x2 + 0x – 14 = –14

4. (12 x2 + 9 x – 2) + (3 x2 + x + 8) + (7 x2 + 6 x + 2) =

= (12 + 3 + 7) x2 + (9 + 1 + 6) x + (–2 + 8 + 2) =

= 22 x2 + 16 x + 8

O bien:

12 x2 + 9 x – 2

+ 3 x2 + x + 8

7 x2 + 6 x + 2

22 x2 + 16 x + 8

5. (4 y + 4) + (3 x + 5 y –3) = (4 + 5) y + 3 x + (4 –3) = 9 y + 3 x + 1

Nota que el término en “x” no tiene otro semejante por lo que queda tal como estaba.

Por otra parte, el 1 no se escribe cuando está multiplicando una parte literal

6. (a – b) + (b – c) + (c – d) + (d – e) = a – b + b – c + c – d + d – e = a – e

Como delante de los paréntesis hay signos positivos, los paréntesis pueden quitarse

manteniendo los signos de cada término.

Ej. 3

mat emát ic as 1

267

7. (8 x2 + 5 xy + 2 y2) + (3 x2 + 7 xy + 9 y2) = (8 + 3) x2 + (5 + 7) xy + (2 + 9) y2

= 11 x2 + 12 xy + 11 y2

Recuerda que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, no si tienen

el mismo coeficiente. Por ello 11 x2 no se puede sumar a 11 y2.

1. (3.05 a + 22.7 b) + (–2.1 a – 18.8 b) = 3.05a – 2.1a + 22.7b – 18.8b = 0.95 a + 3.9 b.

2.

¿Te diste cuenta de las simplificaciones que hicimos? Siempre que trabajes con fracciones

trata de llegar a la irreductible, es decir, a aquella que no se pueda simplificar más.

3. (2.5 x + z – 0.75 y) + =

2.5 x + 0.6 z – 0.75 y

+ 0.5 x + 0.5 z + 0.40 y

3 x + 1.1 z – 0.35 y

4. (0.5 x + 3 y – 0.75 y + 1.4 z) + =

Observa que 3 + 3 es igual a 2 3 , de la misma forma que 5 + 5 = 2 . 5, o a + a = 2a,

pero no se puede expresar de otra manera la suma 2 3 – 0.75.

Ej. 4

Unidad 6

268

5. ( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) = ( 2 + 8 ) x + (3 + ) y

Entonces:

Ya que 1 “cosa” más 2 “cosas” (de la misma especie) son 3 de esas “cosas” . Entonces:

( 2 x + 3 y) + ( 8 x + y) = 3 2 x + (3 + ) y

Fíjate que en este contexto no es una incógnita o una variable, sino que representa el

número irracional que es la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia,

es decir, = 3.141592654...

1. (3a + 2b – c) – (4a – b + 2c)= – a + 3b – 3c

2. (–2a – 3b + c) – (–6a + 2b) = 4a – 5b + c

3. (3a + 4b + 5c) – (2a + 3b – c) = a + b + 6c

4. (7 x2 + 5 x + 2.75) – (4 x2 + 5 x – 2.75) = 3 x2 + 5.5

5. (2 x2 + x + 0.6) – (4 x2 – 5 x + ) = –2 x2 + x + 0.2

Ej. 5

mat emát ic as 1

269

1. (a2 + ab) + (ba + b2) = a2 + 2 ab + b2

2. (a2 – ab) + (– ba + b2) = a2 – 2 ab + b2

3. (a2 + ab) + (– ba – b2) = a2 – b2

4. (– a2 – ab) – (ba + b2) = – a2 – 2 ab – b2 = –( a2 + 2 ab + b2)

5. (4 x2 + 3 x) + (3 x + 9) = 4 x2 + 6 x + 9

6. (x3 + 2 x2 y) + (x2 y + xy2) + (2 xy2 + y3) = x3 + 3 x2 y + 3 xy2 + y3

7. (x3 – 2 x2 y) – (x2 y – xy2) – (–2 xy2 – y3) = x3 – 3 x2 y + 3 xy2 + y3

8. (2.3 x – 4.01 y + 5.2 x) + (4 x – 4 y – 5 z) – (1.2 x – 2.3 y – 3 y) = 10.3 x – 2.71 y – 5 z

9. (2 a + 5 b) – { (–5 a + 3 b) – [ (2 a –3 b) – ( 4 b – 3 a)] – (5 b – 2 a)} – (4 b + 3 b)

= 10 a – 7 b

Ej. 6

Unidad 6

270

Anexo: algoritmo geométrico para multiplicar dos número s

Imagínate que tienes un sistema de ejes coordenados como el de la figura 6.1. Para multiplicar,

Luego unimos el 2 con el 1 (que es el neutro multiplicativo) ubicado en el eje de las ordenadas. Si

ahora trazamos una paralela al segmento que une el primer factor (el 2) con el 1, y que pase por

el segundo factor (el 3), este segmento cortará al eje de las abscisas en el producto de 2 y 3 (el 6)

como lo muestra la figura.

Figura 6.1.

el algoritmo? Veamos.

Figura 6.2.

mat emát ic as 1

271

Figura 6.3.

Si lo analizas bien, verás que hemos encontrado un algoritmo que multiplica correctamente.

La operación de multiplicación, sin embargo, no es ni este algoritmo, ni el babilónico comentado en

otro capítulo, ni siquiera el que nos enseñaron en primaria. No existe un algoritmo más verdadero

que otro. Pese a ello, sí podemos afirmar que el que utilizamos habitualmente es más eficiente que

el geométrico, y quizás pienses con toda validez que el uso de la calculadora es todavía más eficiente

que el que acostumbramos a usar.

A modo de juego podrías utilizar este algoritmo para hallar otras multiplicaciones interesantes.

Calcula:

a) 3 2 (¿Es importante cuál de los dos factores colocas en el eje de la abscisas? ¿Por qué?)

b) 0 a (siendo a cualquier número).

c) ¿Cómo podrías usar este algoritmo para dividir dos números? Piensa que dividir 6 entre

2 es lo mismo que hallar el número que multiplicado por 2 te da 6.

d) El inverso multiplicativo de 2. El inverso multiplicativo de 2 es un nombre pomposo de

1/2, sin embargo fíjate que esto significa dividir 1 entre 2.

e) El inverso multiplicativo de 7.

f) El inverso multiplicativo de 0 (cero) (¿Existe? ¿qué sucede cuando intentas usar el algoritmo

para dividir uno entre cero?)

Autoevaluación

1. Decimos que dos monomios son iguales si tienen iguales:

a) Coeficientes.

b) Partes literales.

c) Coeficientes y partes literales.

d) Coeficientes, partes literales y exponentes.

2. Decimos que dos monomios son semejantes si tienen iguales:

a) Coeficientes.

b) Partes literales, con el mismo exponente.

c) Coeficientes y partes literales.

d) Coeficientes, partes literales y exponentes.

3. (7 x2 + 5 x + 2.75) – (4 x2 + 5 x – 2.75) =

a) 3 x2 + 11/2

b) 11 x2 + 10 x + 5.5

c) 3 x2 + 10 x + 5.5

d) 3 x2 + 5

4. (– a2 – ab) – (ba + b2) =

a) – a2 – 2 ab + b2

b) a2 + 2 ab + b2

c) –(a2 + 2 ab + b2)

d) a2 + b2

5. ( 2 x + 3 y) – ( 8 x + y) =

a) 3 2 x + (3 – ) y

b) – 2 x + (3 – ) y

c) ( 2 + 8 ) x + (3 + ) y

d) ( 2 + 8 ) x + (3 – ) y

Matemáticas 1 (Álgebra 1) Unidad 6. Suma y resta de monomios y polinomios

Nombre:

Grupo: Número de cuenta:

Profesor: Campus:

273

6.

a) 2 x3 y – x3 yz4 + 7 xy2 +

b) 2 x3 y – x3 yz4 + 5 xy2 +

c) 2 x3 y – x3 yz4 – 7 xy2 +

d) 2 x3 y – x3 yz4 + 3 xy2 +

7. (3 x2 + 5 x – 7) + (4 x2 – 8 x + 6) – (5 x2 – 9 x + 3) =

a) x2 – 6 x – 2

b) 2 x2 – 12 x – 4

c) 12 x2 – 12 x + 2

d) 2 x2 + 6 x – 4

8. (x4 – 2 x3 y2) – (x3 y3 – xy2) – (–2 xy2 – y3) =

a) x4 – x3 y3 – 2 x3 y2 – x y2 – y3

b) x4 + x3 y3 – 2 x3 y2 – x y2 – y3

c) x4 – x3 y3 – 2 x3 y2 + x y2 + y3

d) x4 – x3 y3 – 2 x3 y2 + 3 x y2 + y3

9. (2 x + 5 y) – { (–5 x + 3 z) – [ (2 x –3 y) – ( 4 y – 3 x)] – (5 z – 2 x)} – (4 y + 3 z) =

a) 10 x – 4 y – z

b) 10 x – 6 y + z

c) 10 x + 4 y + z

d) 10 x – 6 y – z

274