if,r"d 3a Webhttp : / / thales. c ica.es/rd, /

Recursos/rd98/

Matemat icas/28/

nratell l aticas-28. html

Ingresa en los temas relacio-nados con probabil idad, lee lainformación y realiza los ejer-cicios propuestos.

Dos equipos de béisbol que tienen la misma capacidad, juegan el uno con-tra el otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego.

¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de 1oscuatro juegos?

OB'ETIVO

Utllizar y explicar con segu-ridad 1os algoritmos corres-pondientes a los principiosprobabilísticos para asignarcon certeza el valor asociado ala probabil idad de ocurrenciade eventos aleatorios para to-mar decisiones sustentadas enprincipios matemáticos, sobreeventualidades que ocurrenen la vida cotidiana.

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19Resuelto en la página 103

1. Resuelve.

a. ¿Qué resultados posibles se obtienen aTlanzar alaire una moneda?

b. Si se lanzan dos monedas al aire, ¿qué posiblesresultados obtienes? Completa el diagrama deárbol.

\ . , . ._

\* <.\___

Escribe el resultado obtenido:

Aplicarás con interés y conftanza las operaciones deconjuntos a los espacios muestrales.

Resolverás con seguridad ejercicios y problemas deaplicación a los espacios muestrales.

Identificarás, con seguridad y actitud analítica, even-tos o sucesos probabilísticos.

Resolverás con exactitud y perseverancia ejerciciosy problemas relacionados con eventos o sucesos.

2. Escribe un conjunto con todos los resultadosque se pueden obtener al tealizar el evento"lartzar un dado al aire".

a. Obtener un número par.

b. Obtener un número impar.

c. Obtener un múltiplo de 3.

d. Obtener un 1.

3. Escribe un conjunto con los posibles resulta-dos para el evento "lartzar una rnoneda al ai-fet t .

a. Obtener alguna cara.

b. Obtener dos caras.

c. Que ambas monedas salgan cara o ambas salgancorona.

Resolverás con autonomía problemas, aplicando losenfoques subjetivo, empírico y clásico de probabili-dades.

Ejemplificarás con seguridad y creatividad los trestipos de axiomas de la probabilidad.

Resolverás correctamente ejercicios y problemassobre el cálculo de la probabilidad de eventos, mos-trando una actitud analítica y persistente.

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¿Podrías afrrnar que obtenerdos caras, al lanzar dos mone-das al aire. es igualmente posi-ble que obtener una cara y unacorona? Exolica.

El 23 de rnarzo de 1749 na-ció el marqués Pierre-Simón deLaplace, un astrónomo al quese le conoce como "el Newtonde Francia". Como matemáti-co, se le considera el fundadordel cálculo de probabilidades.Además, se le considera ser tangran escritor como matemático.Tenía una visión del objeto eimportancia del cálculo de pro-babilidades sin necesidad de ar-gumentos técnicos, únicamenteinteligibles para los matemáti-cos. Mucho se ha añadido a suobra, especialmente en los últi-mos años, en los fundamentosde la teoría de probabilidades;pero su exposición es aún clá*sica y constituye una expresiónperfecta de al menos la parte fi-losófica del tema.

A

El espacio muestral puede estar formado por un númeromentos, como en estos ejemplos, o estar formado por unfinito de elementos.

=.-i,lll¡lrirtiiiLa Estadística es la ciencia que se encarga del estudio de experimentos en losque se presenta incertidumbre acerca de los posibles resultados finales.

lJn experimento aleatorio es un proceso o acción en el cual todos los posi-bles resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por ejemplo:

Lanzar un dado, pues al caer se tienen 6 posibles resultados.

' Jugar lotería, ya que se sabe que puede caer un número de 4 cifras que elganador o ganadora obtiene vr-.avez que hajugado.

Apostar al resultado final de un partido de futbol, ya que se puede apostara que un equipo gane, pierda o empate.

El espacio muestral de un experimento aleatorio, denotado como S, es elconjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener al realtzarel experimento.

Los experimentos aleatorios son ensavos en los cuales se evidencia la incer-tidumbre. Se conocen 1os posibles resultados, pero no se sabe en qué van atermlnar.

1. Halla el espacio muestral para cada uno de los siguientes experi-rnentos.

a. El padre de un bebé próximo a nacer quiere que su hijo se l1ame Juan,Walter o Alejandro. La madre, por su parte, pretende que se 1lame: Ro*drigo o Kevin. Para que ambos queden felices deciden combinar 1osnombres propuestos, considerando que primero irá el nombre propues-to por el padre y, luego, el de la madre.

¿De cuántas formas distintas se puede proponer un nombre para el nue-vo bebé?

El espacio muestral serán todas las combinaciones que se puedan ar-mar con los nombres que proponen el padre y la madre, teniendoen cuenta que los nombres propuestos por el padre irán primero: S: {(}uan,Rodrigo), (}uan,Kevin), ('Walter,Rodrigo), ('Walter,Kevin),(Alejandro,Rodrigo), (Ale-jandro,Kevin) ).

b. Entre las cinco personas que obtuvieron una calificación destacada ensu proyecto se va a elegir una pareja para representar a1 colegio en la fe-ria de Ciencias. Los candidatos son Luisa,Jorge, Matilde, Carlos y Eleo-nora.

Si se representa por la letra inicial del nombre a cada candidato o can-didata, el espacio muestral será:

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finito de ele-conjunto in-

ffi R.totu-iento lógico matemático

!j Co-oti..ción con lenguaje matemático

I enücación de la Matemática al entorno

ffi¡*

A1 espacio muestral se Ie con-

sidera el conjunto universo del

experimento.

¿Es posible que un evento seaigual al espacio muestral? Ex-plica.

Un evento -E es un subconjunto del espacio muestral. lJn evento simple es

un subconjunto unitario y un evento compuesto es un subconjunto con más

de un elemento.

2. Determina el espacio rnuestral correspondiente y enutnera los

elernentos de cada evento.

a. Dos equipos de baloncesto masculino, A y B, deben jugar una serie de tres

partidos para determinar el campeón del año.

El equipo A gana ios dos primeros juegos.

El equipo B gana los tresjuegos.

Ei espacio muestral serán las ternas en ias cuales cada componente repre-

senta el equipo que ganó cada uno de los tres juegos: S : {AAA, AAB,

ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB\.

Así, la terna AAB significa que el equipo A gan6 los dos primeros juegos

y el equipo B gan6 el tercero.

¿: {AAA,AAB} B: {BBB}

b. Determina todos los elementos para cada evento.

El equipo A gana unjuego y el equipo B gana dosjuegos:

El equipo B gana unjuego y el equipo A gana dosjuegos:

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Clasifica a cada evento en aleatorio o no

aleatorio. Escribe la palabra que corres-ponda.

a. Adivinar la edad de un adolescente.

b. Lanzar cuatro monedas al aire simultáneamente.

c. Hallar el á¡ea de un triángulo rectángulo

d. Apostar por el resultado de un partido de fútbol.

Calcula el espacio rnuestral para el siguien-

te suceso.

Las dos primeras posiciones de una carrera, enla

cual compitenLina, Sergio y Estefanía.

Lee el experimento y rcaliza lo que se te

indica.

"Sacar una carta de una baraja de póquer que

contiene 52 cartas".

a. Escribe los elementos del evento que consiste

en obtener un as.

b. Escribe los elementos del evento que consiste

en obtener vna carta de corazones con núme-

ro par.e. Elegir una carta de una banja

I¿Cuál es la posibilidad de ob-tener 0 tllanzar un dado? Ex-plica.

El cálculo de probabilidades fundamenta la toma de decisiones en los expe-rimentos aleatorios. Su estudio se puede rcalizar considerando tres enfoquesdistintos.

1. Enfoque clásico. También llamado a priorí. Se basa en la suposición deque cada resultado sea igualmente posible. También es llamado enfoque cpriori porque permite calcular el valor de la probabilidad antes de observarcualquier evento de la muestra.

Cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un nuevo evenro, re-niendo en cuenta el espacio muestral, se dice que se está calculando su pro-babilidad.

Para calcular la probabilidad de acuerdo con este enfoque se utiliza la si-guiente fórmula:

p(H : Tifro ¿: t"ttt a"trables - z(E)

@-7SDonde P(E) es la probabilidad de que ocurra E, n(D es el número de ele-mentos del evento y /r(q es el número de elementos del espacio muestral.

2. Enfoque empírico. Támbién llamado a posteríori. Derermina la probabi-lidad a partir de la proporción de veces que ocurre un evento favorable enun número de observaciones.A este enfoque se le denomina también en-foque empírico, debido a que para determinar los valores de probabilidadse requiere de la observación y de la recopilación de datos.También se ledenomina a posteríorí,ya que el resultado se obtiene después de realizar elexperimento un cierto número de veces.

La probabilidad se calcula mediante la formula:

P(A: Número de observaciones de -ETamaño de la muestra

Donde r(E) corresponde al número de observaciones realizadasy n elta-maño de la muestra.

3. Enfoque subjetivo o personalista. Se dice que la probabilidad de ocu-rrencia de un evento es el grado de creencia, por parte de un individuo,de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Esteenfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite cal-cular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o noesa única vez. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio perso-nal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.

flj *rveg:f*r ¡:**¿e eááüs

1. Resuelve.

a. Si tenemos en una caja 15 tarjetas verdes y 9 rojas,la probabilidad de sacaruna tarjeta roja es:

D/r ._t :n(n) __q' \ - / r¿(S) 9Í15 : 0.375 : 37.5Yo

La probabilidad de obtener una tarjeta roja es del37 .5%.

Ejemplos de eventos que se cla-sifican dentro del enfoque sub-jetivo:

1. Hay una alta probabilidad desacarme 10 en el próximoexamen.

2.La canastabásica está cadavezmás cara, por lo que hay altaprobabilidad de que los suel-dos mínimos no alcancen Da-ra comprarla.

¿Qué enfoque se utilizó al cal-cular la probabilidad de sacaruna tarjeta roja?

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anücación de la Matemática al entorno

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Aleatorio

En latín, alea signifrca "suerte".

Es famosa la frase deJulio César

cuando, al atravesar el río Ru-

bicón para tomar Roma, dijo

alea jacta est, ett otras palabras:

"la suerte está echada".

Un partido de béisbol no puede

terminar en empate.

b. Se observa que 9 de cada 50 personas que pasan por una señal de tránsi-

to no la respetan. Si un policía de tránsito se ubica en esa esquina un día

cualquiera, ¿cuál será la probabilidad de que detenga un automóvil cuyo

conductor no respetó esa señal de tránsito?

P(E) : I 'T:

La probabilidad de detener al conductor que irrespetó la señal de tránsito

es _.

c. Dos equipos de béisbol t ienen la misma capacidad y juegan el uno con-

tra el otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada jue-

go. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de

los cuatro juegos?

" Los equipos A y B se enfrentan a una serie de 4 juegos. Así que, en es-

te experimento aleatorio n : 2 y en cada partido se tienen dos opciones:

que gane el equrpo A o que gane el equipo B. E1 espacio muestral sería así:

AAAA, AAAB, AABB, ABBB, BBBB, BAAA, BBAA, BBBA, BABA, BA-

BB, BBAB, BBAA, ABAB, ABBA, AABA, ABAA y el evento de que el

equipo A no gane ninguno de los juegos es solamente BBBB. Por 1o tanto

la probabilidad se calcula así:

P(D\: 1. /1.6 : 0.0625 : 6.25%o

La probabilidad de que el equipo A no gane ninguno de los juegos es de

6.25%.

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Encuentra la probabilidad de cada experi-

rnento y clasifica el enfoque corno clásico,

ernpírico y subjetivo.

a. Hay una probabilidad del 90% de que la gaso-

lina suba de precio.

b. !¡J"lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad

de que caiga cara, después delanzarla 60 veces

al aire, si cayó cara 25 de las 60 veces?

Ptl,lanzar un dado al aire, ¿cuál es la probabili-

dad de que caiga un dos hacia arriba?

Resuelve.

a.Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan

en una urna y se sacan dos de ellas al azar.

'. Escribe el espacio muestral de este experi-

mento.

" ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea

10?

b. A un niño le harán un examen de admisión.

Para esto le entregarán tres figuras de animales

y tres tarjetas con sus respectivos nombres. El

niño debe asignar a cada dibujo su respectivo

nombre.

.. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño no

cometa ningún error al relacionar los anima-

les con los nombres?

" ¿Cuál es la probabilidad de que el niño co-

meta un error?

d. Estoy seguro que lloverá hoy.

¿La probabilidad de un experi-mento puede ser mayor, menoro igual a uno? Explica.

¿Qué es un axioma?

Escribe dos axiomas que invo-

lucren operaciones matemáti-

cas.

La probabilidad puede ser ex-presada como una fracción, de-cimal o porcentaje.

El cálculo de la probabilidad, cumple con algunas propiedades llamadas axio-

mas.

-: '. ' ,,:,r ' :.r : Para cada suceso A,P(A) está comprendido entre 0 y 1:

0<P(A)<1.

,r.:,.;r., i :: i ., Cuando e1 espacio muestral es igual al evento,se dice que es un

evento seguro y su probabilidad es I: P(E) : 1.

:r.:r i¡,r:rr¡ ,:,, Cuando el evento es el conjunto vacío,se dice que es un even-

to imposible y su probabilidad es 0:P(,Q : 0.

. .1: . : r : , I i ¡ i l r l i . , ! . , , . ' . ¡1. 11. , I , ; : , , ,

1. Encuentra la probabilidad para cada experirnento.

a. Se lanza un dado urra vez. ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del

evento A que corresponde a que salga un 7?

P(A¡:g,porque el evento es imposible. Nunca saldrá un 7.

b. Lanzar un dado al aire. Encuentra la probabilidad del evento B, que corres-

ponde a que caiga un número mayor o igual a uno, y menor o igual a 6.

Entonces P(B): !9 :r¿ (s)

2. Caloula la probabilidad de los siguientes eventos.

. Se ponen siete fichas numeradas del 1 al 7 en una urna y se seleccionan dos

de ellas.

a. La suma de las dos fichas es 7.

b. La suma de las dos fichas es menor que 14.

c. El número de las fichas seleccionadas es mayor que 2.

d. Las dos fichas seleccionadas tienen el mismo número.

e. La probabilidad de sacaf una de las 2 fichas.

Completa el espacio muestral de este experimento aleatorio y, luego, utllíza-

lo para calcular cada probabilidad.

S:_

a. p(A\ : 2 : l : o. l 429 : 14.29%zr /

La probabilidad de que al seleccionar las dos fichas la suma sea 7 es 14.29%.

b. Como S : B, el evento es seguro. Entonces P(n¡ : 1.

c.P(C) :

d. Es imposible que al seleccionar las dos fichas, ambas tengan el mismo nú-

mero. Entonces, P(D) :

e. La orobabilidad de sacar una de las 2 fichas es P(D :

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@ Ruror"-iento lógico matemático

EH Co-ori.ución con lenguaje matemático

I enücación de la Matemática al entorno

La probabilidad de un eventosiempre es menor o igual que 1.

Cuando es 1, el evento es se-guro. Cuando es 0, el evento esimposible.

3. Calcula la probabilidad para cada caso.

.' Se preguntó a cuatro amas de casa acerca del uso de un nuevo detergente.

a. Tres amas de casa usan el detergente.

Sea B el evento: tres de las amas de casa usan el detergente, entonces,

B : {SSS^/, SSA¡S, S^/SS, NSSS}. Luego, #(B) = 4.

41Así:P(B) =

tO: O:0.25:25%.

La probabilidad de que tres amas de casa usen del detergente es de25%.

b. Al menos dos de las cuatro amas de casa usan el nuevo detergente.

Sea,4 el evento: al menos dos de las cuatro usan el detergente, entonces,,4 : {SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SS^/N, S¡/SN, SNNS, ¡JSNS,

A/SS^1, NNSS). Luego, #(A) : 11.'t 'l

Así: P(,4) = i¿

= 0.687s : 68.75%.

Luego, la probabilidad de que al menos dos de las cuatro usen el deter-g-91t9 9: i-e- 6-9..7.1-'/",

Resuelve.

a. lJna persona envía un fax a un amigo, pero noestá seguro de que haya escrito correctamenteel último número del mismo. ¿Cuál es la pro-babilidad de que el fax llegue a su destinatario?

b. Se lanzan dos dados simultáneamente y se su-man los resultados obtenidos. ¿Qué suma esmás probable? Explica.

Lee y calcula la probabilidad para cadaevento-

a. Al. lanzar una moneda, caen simultáneamentecara y corona.

b. A1 tener en una caja solo bolas de color negro,la probabilidad de sacar una negra es:

c. Si se elige una cafta de una baraja francesa (52cartas), encuentra la probabilidad de que:

La carta sea un as.

La carta sea una figura.

La catta no sea una letra.

La carta sea de tréboles.

ffi ree y responde.

a. Se desea conformar un comité de tres perso-nas. Para tal fin se tienen seis candidatos, doshombres y cuatro mujeres. ¿Cuál es la proba-bilidad de que el comité esté conformado so-lo por mujeres?

b. De una baraja de 52 cartas se seleccionan 5 alazat.

'. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengancuatro ases?

¿Cuál es la probabilidad de que se obtengantres ases y dos reinas?

¿Cuál es la probabilidad de que se obtengaun par de reyes y un par de ases?

¿Cuál es la probabilidad de que todas las car-tas sean de diferente número?

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Describe el espacio muestral delexperimento que consiste enlanzar una moneda hxta quesalga cara.

Antes de plantear las lórmulas para calcular la probabilidad de un evento, es

importante aclarar que, como los eventos son conjuntos, es posible utilizar los

diagramas de Venn como una herramienta gráfi.ca que clarifica los eventos

sobre los cuales se va a calcular una probabilidad de ocurrencia.

Algunas reglas que se derivan de la relación que hay entre las operaciones en-

tre conjuntos y los eventos definidos sobre el mismo espacio muestral se pre-

sentan a continuación:

* lJnión de eventos.

Dados dos eventos Ay B,P(AU B) : P(A) + P(B)- P(Aa B)

Si,4 y B son disjuntos, entonces P(A U B) : P(A) + P(B)

* Intersección de eventos.

Dados dos eventos Ay B,P@ n B) : P(A) + P(B)- P(A U B)

* Complemento de un evento.

Ya que A U Ac : S, entonces:

P(A u A") : P(A) + P(At) - P(A a Ac),de donde se tiene que:

P(A) + P(Ac) : 1, por lo tanto, P(Ac) : I - P(A).

á:j e*": g*tr*e eest+,* á s¿:s

1. Resuelve.

* En un estudio, rcalizado por la alcaldia de Ia ciudad, relacionado con la de-

lincuencia y su conefón con la drogadicción, se encontró que:

El 65% de los delincuentes son adictos a algín tipo de droga alucinógenea,

el 40% de los delitos cometidos se han realizado con armas blancas.Además

el 34% de los delincuentes son adictos a alguna droga y reahzan sus atracos

con armas blancas.

Si se selecciona una persona ú azar dentro de los detenidos durante el fin

de semana:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea adicto a alguna droga alucinóge-

na?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que utilice un arma distinta al arma blanca pa-

ra sus atracos?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea adicto o haya ejecutado el delito conun arma blanca?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea adicto, pero sí ejecute sus delitoscon un arma blanca?

* Sea A el evento que consiste en que la persona que se elija sea adicto y B

el evento que consiste en que la persona ejecute un delito con arma blanca.

La probabilidad de ocurrencia

de un evento se puede conside-

rar una medida de incertidum-

br.. A mavor probabilidad de

ocurrencia se tiene mayor con-

fiqnn¡en el resultado ptdble. '

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comunicación con lenguaje matemático !

erücaciót de la Matemática al entorno

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Figura 1

Se tiene entonces que P(A) : 0.65, P(B) : 0.4 y P(A a B) : 0.34.Enlaf-gura 1 se representa la situación en un diagrama deVenn.

a. El evento que consiste en que la pérsona no sea adicta a alguna droga esequivalente al complemento del evento A.Por consiguiente:

P(Ac) : 1 - P(A) : 1 -0.65 : 0.35

b. De forma análoga al ejercicio anterior, se debe calcular el complementodel evento B. Por 1o ranro:

P@c) : 1 - P(B) : 1 -0.4 : 0.6

c. Este evento es equivalente a calcular la probabilidad de la unión de loseventos A y B.

P(AU B) : P(A) + P(B)- P (A o 81 : 0.6s + 0.4- 0.34

d. La probabilidad de que el delincuente no sea adicto, pero sí utilice armasblancas es equivalente al evento Ac a B. Por tanto:

P(Ac n 4 : P(Ac) + P(B) - P(¿c U B¡ : 0.35 + 0.4 -0.35 : 0.4

2. Encuentra lo que se indica.

" Sean Ay B dos sucesos, tales que P(A) :0.5, P(B) : 0.4 y P(A a B) : 0.2.

a. P(Ac) : 1- P(A) :

b. P(ncl : 1- P(B) :

c. P(A U B) : P(A) + P(B)- P(A ) B) :

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Dibuja un diagrarna de Venn y utiliza las{órrnulas para calcular las probabilidades.

a. La probabilidad de que una industria salvado-reña se ubique en La Libertad es de 0.7; deque se ubique en La Unión es de 0.4, y de quese ubique en La Libertad, La Unión o en am-bas, es de 0.8.

" ¿Cuál es la probabilidad de que la industriase localice en ambos departamentos?

"' ¿Cuál es la probabilidad de que la industriano se ubique en ninguno de los dos departa-mentos?

" ¿Cuál es la probabilidad de que se ubique enLa Libertad, pero no en La Unión?

"" ¿Cuál es la probabilidad de que se ubique enLa Unión, pero no en La Libertad?

b. Con base en experiencias pasadas, un corre-dor de bolsa considera que, según las condi-cones económicas actuales, la probabilidad deque un cliente invierta en bonos libres de im-puestos es de 0.6, de 0.3 en fondos mutuos yen ambos de 0.15. En este momento. encuen-tra la probabilidad de que el cliente:

* Invierta en bonos libres de impuestos o enfondos mutuos.

n'Invierta en los fondos, pero no en los bo-nos.

@

* No invierta en ninguno de los dos.

Describe un evento y dos ejem-plos de situaciones cuya proba-bilidad de ocurrencia sea 0 y 1,respectivamente. Justifica cadaejemplo.

En un evento simple, el conjun-to que se considera tiene un so-lo elemento.

/ A\P\t¿l : P(,4) se lee: la proba-

bilidad de A dado B

es igual a P(A).

/ p\

P\;) : P(B) se lee:la probabi-

lidad de B dado ,4 es

igual a P(B).

Para calcular la probabilidad de dos o más eventos se utilizan representacio-nes gráficas que ayudan a visualizar todas las posibilidades. También se pue-den aplicar formulas para calcular la probabilidad de un evenro simple.

1. Eventos independientes. dos eventos A y B son independientes si laocurrencia de uno no depende de la ocurrencia de otro.

,4 es independiente de B si y solo si: P(A l) B¡ : P(A) . P(B)/ a\ /p\

Esto implica que: a(ri/ : P(A) v P\-¿) : P(B)

2. Eventos dependientes. Son uno o más eventos que dependen de otroevento previo. La ocurrencia de A se da, si ocurre B.

3. Eventos mutuarnente excluyentes. Dos eventos son mutuamente ex-cluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea. En otras palabras, si ysolo si su intersección es vacía.

j-',.ri :r 11, ;,,1'i {. I i r,l

1. Analiza y resuelve.

a. En el lanzamiento de un dado, los eventos B : {2} y C : {5, 6} sonmutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir simultáneamente.En este caso B ?t C : ñ.

b. Calcula la probabilidad de ocurrencia de A y B simultáneamente, y laprobabilidad de B y C simultáneamente allanzar un dado al aire.

,4 : {obtener 5}, B : {obtener un número impar},C : {obtener un número mayor que 4}

A: {5},B: {1,3,5},C: {5,6}

" Los sucesos Ay B son independientes, entonces:

P(A. B) : P(A). P(B) : (+)(, : #, Los sucesos B y C son independientes, entonces:

P(B n c) : P(B) . P(q : (j)(f : +c. Se lanzan un dado y una moneda al aire. Sea,4 el evento que consiste en

que la moneda caiga cara (C) o corona (S) y B el evento que consiste enque el resultado del dado sea un número primo. ¿Serán Ay B dos eventosindependientes?

" El espacio muestral correspondiente es S : {(C,1), (C,2), (C,3), (C,4),(c,5), (c,6), (s,1), (s,2), (s,3), (s,4), (s,5), (s,6))

, La pareja (C,1) indica que la moneda cayó en cara y el dado en el núme-ro 1. Entonces:

P(A):+:+yP(B):Los eventos son independientes, pues P(A O n¡ :

3 _1,-12-11|1

P(A)P(B): * X * :¿ ¿ 4 '

#: +,P@ ' B)

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S Rutoo"-iento lógico matemático

ffi co-uricación con lenguaje matemático

I enücación de la Matemática aI entorno

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Para dos sucesos independientesP(Añ B) : P(.'1)P(B).

Para dos sucesos mutuamente

excluyentes P(A a B) : 0.

d. Juan y su esposa deciden comprar una píliza de seguro de vida. El asesor

calcula la expectativa de vida para los siguientes diez años. Para la esposa

es 0.80 y paraJuan es 0.75. Si se supone que las expectativas de vida son

independientes, ¿cuál es la expectativa de vida de los dos para los siguien-

tes diez años?

, Sea A el evento que consiste en que Juan sobrevive durante los siguien-

tes diez años y B, el evento que consiste en que la esposa sobrevive por los

oróximos diez años. Entonces:

P(A):-yP(B) : Además, corto Ay B son independientes,

P(AnD:

La expectativa de vida para los dos es de : -.

e. Sean,4 y B dos eventos mutuamente excluyentes, con P(Ac) : 0.6,

P(B) : 0.25. Calcula las probabilidades.

" Como la intersección entre los dos eventos es vacía, se tiene que:

' , P(A') + P(A): 1, luego, P(A): 1,- P@c):1-0.6:0.4

'P(A> B) :P(D:o

" P(Bt) : 1 -P(B) : 1-0.25 : 0.75

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Utilíza el concepto de independencia para

resolver cada situación,

a. El 96% de los viajeros utilizan el servicio de

transporte aeropuerto-hotel y el 35% de los

viajeros uttliza el servicio de lavandería del

hotel donde se hospedan. ¿Cuál es la probabi-

lidad de que el viajero utilice los servicios de

transporte y de lavandería?

b. Un depósito de agua tiene dos dispositivos de

seguridad, P y Q, que impiden la llegada demás agua cuando ha alcanzado cierto nivel.

Ambos dispositivos funcionan de forma inde-

pendiente y se estima que ambos funcionan

corectamente con una probabilidad de 0.85.

¿Cuál es la probabilidad de que el sistema fun-

cione con los dos dispositivos?

Representa los eventos en un diagrarna de

Venn y justifica tu respuesta.

a. Ejemplifica dos eventos, A y B, independien-

tes y con la misma probabilidad de ocurrencia.

b. Ejemplifica dos eventos, A y B, mutuamen-

te excluyentes y con la misma probabilidad de

ocurrencia.

$$ Cut.ula las probabilidades indicadas.

Si -4 y B son los eventos:

A: una familia tiene carro propio.

B: la familia viajó en las últimas vacaciones.

Con P(,4) :0.26,P(B) = 0.42yP(AUB) :0.5

a. P(Ac)

b. P(Bc)

c. P(A l\ B)

Sacas una canica de una bolsacorf 5 canicas rojes y 5 canicasazules. Si no regr-esas'la canica ala bolsa, ¿tendrás la misma pro-babilidad de elegir una roja yuna azul? Explica.

Se lanzan dos dados y se sumanlos resultados obtenidos. Si lasuma es

1úme1o primo, ¿cuáI esla prob.abilidad de que en unode los dados se haya obtenidoun 5?

cuando la probabilidad de un segundo suceso B está condicionada por unprimer suceso A, se le denomina probabilidad condicionada y se escribe

P(B/A). Se lee: probabiüdad de que ocurra el suceso B,una vez que ha ocu-

rrido el suceso .4.

La probabilidad de que ocurra un suceso B sn¿-vez que ha ocurrido el suce-

so,4,se representa por P(B/A) y se calcula así:

P(B/A) : ryP, con P(,4) > 0

Hi!+r::;:Ér r ¡,'e-sx*il+a

1. Resuelve

De una bolsa con 3 bolas rojas (R), 2 verdes (V) V l negra (AQ,Julia extraeuna bola roja. Sin devolver la bola a la bolsa, Pepe extrae una segunda. ¿Cuáles la probabilidad de que la segunda bola sea verde?

* Las probabilidades de ser una bola roja, verde o negra son, respectivamente:

P(R) : t ;pfq : l ;e(N: t* Si la primera bola extraída es roja, en la bolsa quedan 2 bolas rojas,2 ver-

des y 1 negra. La probabilidad de que la segunda bola sea roja, verde o ne-gra es:

P( 2': '"JL) : ?, ,¡2?'verde) : ?, pP,Yg¡ : 1\ la.roJa / J ' \ la.rojal 5 ' \ la.roja ) 5

El resultado de la segunda extracción está condicionado por el resultado dela primera extracción. Los posibles resultados de la extracción sin reempla-zar lx dos bolas son:

2a. extracción

oo oo oo oa oooo oo oo ot oooo oo oa oo ooao oo to la toto oo ao oo looo oo oo oo oa

.6 favorables a

.6 favorables a

. 6 favorables a

. 2 favorables a

.3 favorables a

. 3 favorables a

. 2 favorables a

. 2 favorables a

Observa que P(R O V) : : f, t PV/R) :

! tse verifica que:

1,a,. 2aoooaaoaaoooootao

$; r(a) o

. i

E

I

zf

z

()

2_f

6,mJt.,-t6

a. Si la bola extraída en primer lugar, en el caso inicial, es negra, ¿cuál es laprobabilidad de que la segunda sea de uno de los siguientes colores?

+ roJa " verde 6 negra

P(R/40:- | P(V/N=_ | p(¡¿Z¡,D:_Á

ffi I R^""'- ffi

co-orri"nción con lenguaje matemático I

arücacian de la Matemática al entorno

ffi ! Razonamiento lógico matemático

i

I

b. En el caso anterior, si la bola extraída en primer lugar es verde, ¿cuál es laprobabilidad de que la segunda sea de los siguientes colores?

* roja @

n verde @.

* negra #$+

Si P(I4 : !,entonces P(R/ n : t

Si P(I4 : f,,entonces P(V/Q = T

Si P(14 : l,rn onces P(N/ 14 = -

2. Calcala la probabiüdad.

* Se lanzan tres monedas al aire. Si la primera moneda cae cara,¿cuál es laprobabilidad de que la segunda caiga carai.

a. Escribe el espacio muestral: S : -

b. Sea ,4 el evento que consiste en:-

c. Sea B el evento que consiste en: -

P(B/A): P(A a B)/P(A):

IJtiliza la tabla que muestra el estado deánimo de hombres y rnujeres para calcularcada probabilidad.

Estado de ánimo Flombre Mujer

,,,aséi¿l¡S¡u,:t',,"': :'2t;:i:;i 15 ;:?.: 10,,,2'*

o

o

€

.-

5

I

zt1Fz

o

a. No sea mujer o se sienta deprimida.

b. Se sienta triste o deprimida.

c. Sea mujer o se sienta alegre.

d. Sea hombre o se sienta alegre.

f f i f f i - - - - -ffi Utiliza la tabla para responder.

ffSalarios mensuales dedas de una empresa.

100 empleados y emplea-

E *" y resuelve.

a. Cuatro estudiantés, Mateo, Hernando, Elianay Nelly se han seleccionado para participar enla final del encuentro regional de poesía. Elestudiante que ocupe el primer premio reci-birá una beca para un curso de lectura úpiday el estudiante que ocupe el segundo ,..foiráun bono para compra de libros. Si Hernando

gi".9 .1bono,.¿cuál es la probabilidad de queNelly gane la beca?

Seis amigos se sientan en seisbutacas consecutivas de un cine.

¿Será cierto que todos tienen lamisma probabilidad de sentarseen la primera butaca? Explica.

Si dos eventos son indepen-dientes existe su interseccióny su probabilidad es igual a lamultiplicación de las probabili-dades de los eventos.

Si dos eventos son mutuamenteexcluyentes, su intersección esvacia y su probabilidad es iguala0.

Lanzar una moneda al aire es un experimento aleatorio simple. Lanzar unamoneda al aire más de una vez es un experimento aleatorio compuesto, por-que cada suceso elemental 1o forman resultados del experimento aleatoriosimple.

Los experimentos aleatorios compuestos son el resultado de realizar variosexperimentos aleatorios simples.

l,l. j o,' lt-l ¡¡:, i i..'rt, l'1 i :: f i ¡i' : ¡ r ir;

1. Resuelve el problerna.

De la boisa deJulia y Pepe se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿cuál esla probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda verde?

" En la tabla de la página 110 puedes observar que;

P(Nn 14: +Porque hay dos casos favorables entre los 30 posibles.

como no siempre se pueden obtener todos los casos favorables y los posi-bles, habrá que buscar otro procedimiento.

. Observa que también se cumple:

P(1V . P(V/N: l . ?: zo)Jt l

Por tanto, de 1a probabilidad condicionada:

P'^ ' , , P(A. B)\B/A) : -ff i . con P(,4) > 0

Se tiene que:P(A O B¡ : P(A). P(B/A),expresión que recibe el nombrede probabilidad compuesta.

La probabilidad de que se realicen dos sucesos A y B simultáneamente esigual a la probabilidad de que se realice el primero p(A),por la probabilidad

de que se realice el segundo, habiéndose realizado antes el primero p(B/ A).

Se representapor P(A ) B).

a- ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y ra segunda ne-gra, si no se reemplaza la primera?

Del experimento puedes obtener la probabilidad para cada evento:i l l

P(R) :á: ;yP(, \7R):5

EntoncesP(RnA0:+.+:#

b. calcula 1a probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda seaverde.

P(40: yP(V/N):

Entonces P(N n Z) :

o

-.

p_3

I

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-#,ffi.#:

f, Rttonu-iento lógico matemático

ffi comuni.ación con lenguaje matemático

I enücación de la Matemática al entorno

"Fryt"

I

2. Resuelve.

La probabilidad de seleccionar una persona al azar dentro de un grupo de es-tudiantes es de 0.8. La probabilidad de que la persona seleccionada sea estu-diante de derecho es 0.3 y la probabilidad de que la persona seleccionada seahombre y estudie derecho es de 0.15.

Sea ,4: la persona seleccionada es hombre; y B: la persona seleccionada estu-dia derecho, con:

P(A) = 0.8, P(B) : 0.3, P(A> B) = 0.15

a. Si se sabe que la persona es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que es-tudie derecho?

. Si se sabe que la persona que se selecciona es hombre, el evento queha ocurrido primero es ,4. Luego, se debe calcular la probabilidad deque estudie derecho dado que es hombre, es decir, P(B/A).Así

P(B/A) : ry&P : %'rt : 0 1875b. Si se escoge una persona que estudia derecho, ¿cuál es la probabilidad

de que sea hombre?

' Si se sabe que la persona estudia derecho, el evento condición es B.Luego, se debe calcular P(B/A).Asi:

P(A/B): oY,?,u) - o ' ls' P\H 0.3

: u '5

Del ejercicio anterior se puede concluir que la probabilidad condicional noes una operación conmutativa. Es decir:

P(A/B) + P(B/A)

o

.g

o

E

I

z

=z

o

I Resuelve los problernas.

a. Las piezas de una fábrica son producidas pordos máquinas M, y M, a partes iguales. M,produce un Syo de piezas defectuosas y Mrun3%. Se elige una pieza al azar y resulta defec-tuosa. Halla la probabilidad de que provenga

de Mr.

b. En una urna hay 6 bolas negras y 4 bolas blan-cas. Se extraen 3 bolas. Halla la probabilidad

de oue:

" Las 3 sean negras

' Las 3 sean blancas

' Sean 2blancas y 1 negra

', Sean 2negras y l blanca

c. lJna caja contiene 10 bolas blancas,5 negras y5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamen-te de la caja. Calcula la probabilidad de que lasdos bolas sean blancas si:

..Antes de extraer la segunda bola se vuelve aintroducir la primera en la caja.

' La segunda bola se extrae sin haber introdu-

cido la primera ala caja.

d. En una universidad existen tres facultades A, By C. Eir Ahay matriculados 150 mujeres y 50homtrres, en B hay 300 mujeres y 200 hom-bres y en C 150 mujeres y 150 hombres.

., Calcula la probabilidad de que un estudian-

te elegido aI azar sea hombre.

Cornpleta el rnapa de conceptos.

ii',1;-,,,¡:.,' :,i Li¡,, ;,:ü.1.it:¡; i:-, j;I,o'.::

. Empírico

.Clásico

Independientes

'Dependientes

'Excluyentes

su fórmula es

.1.¿t# Calc,tta la probabilidad de cada evento paraI r- la información dada.

La probabilidad de acertar en el blanco con una es-1

copeta de feria es 7. Si se dispara tres veces, halla la

probabilidad de acertar:

a. Las tres veces

b. Solo únavez

c. Solo dos veces

d. Alguna vez

fTt"r"d--oT*_'¡

son

i, *: Calcula la probabilidad de cada evento paraÜ una farnilia que planea tener 4 hijos o hijas.

a. 4 niños

b. 4 niñas

c. 3 niños y una niña

d.2niñosy2niñas

e. 1niñoy3niñas

ó

.-

€

I

zt1=z

oA

*;l:i t'' ¡S nazonamiento lógico matemático

ffi comunicación con lenguaje matemático

I enücación de la Matemática al entorno

I

tiene enfoques

ffi I,ee y cornpleta.

a. Enrique, Julia y Rosario compiten en la final delconcurso de ortografia del colegio. ¿De cuántasformas puede fnalízar este concurso? Escríbelastodas.

b. Se lanzan cuatro monedas al aire y se anotan losresultados de las cuatro. Escribe el espacio mues-tral del experimento.

Se lanzan tres monedas al aire, una después de laotra. Establece el espacio muestral de este expe-rimento.

d. Una sección de bachillerato, quiere darle unnombre e identificarla por un color. Si tienen 3nombres y 4 colores diferentes, ¿cuál es el espa-cio muestral de este experimento?

fl Analiza v resoonde.

a. En una caja hay fichas y dados. Se extraen dospiezas. ¿Es lo mismo decir que se ha sacado almenos un dado, que no se ha sacado ninguna fi-cha? Exolica.

b. En un grupo de 30personas hay 20 fuma-

dores y 10 no fumado-

res. Se elige al azar lurra

muestra de 6 personas.

¿Cuál es la probabili-

dad de que contenga4 fumadores exacta-mente?

c. En una urna hay 5 bolas blancas,6 rojas y 4 arna-rillas. Se extraen tres. Halla la probabilidad deoue sean:

" Del mismo color

" De distinto color

d. En una universi-dad, el 70% de losalumnos y alunulasque- acuden a laspruebas de selec-

ción proceden decentros públicos

y el resto de centros privados. De los alumnosy alumnas de centros públicos, el 25% obtieneuna nota superior a 7 puntos. De los alumnos decentros privados, la obtienen el28%. Se elige unalumno o alumna al azar.

. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la notamenoroigualaT?

n Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos,

¿cuál es la probabilidad de que el alumno pro-ceda de un centro público?

e. lJna bolsa oscura contiene 3 bolas verdes y 5bolas rosadas. Halla la probabilidad de que al sa-car vna bola al azar, se seleccione:

,' lJna bola verde

* lJna bola rosada

Lee y responde.

- Se lanzan simultáneamente dos monedas y un dadoal aire y se anotan los resultados de cada uno.

a. Escribe el esoacio muestral.

b. ¿Qué resultados están incluidos en el evento M:las monedas salgan cara y el dado número im-oar?

c. ¿Qué resultados están incluidos en el evento T:el resultado del dado es un número primo?

d. ¿Qué resultados están incluidos en el evento E:el resultado de las monedas es corona y el deldado es menor que 3?

óo€o

.9

/.^ I

'E

¡zsF2

o

I n"ru"lve los problernas.

a. Las letras de la palabra "probabilidad" se escri-ben en tarjetas y se depositan en una caja con unorificio. Halla la probabilidad de que al seleccio-nar una tarieta:

'Tenga escrita la letra B

' Tenga escrita la letra A

,'Tenga escrita la letra C

(Jn mago requiere 50 tarjetas numeradas del 10al 59 para realtzar un truco. Las tarjetas son co-locadas en un sombrero y una persona del públi-co selecciona una de las tarjetas sin mirar. Hallala probabilidad de que:

, El número seleccionado sea par

lJn número seleccionado sea múltiolo de 6

El número seleccionado sea primo

El número seleccionado sea cuadrado oerfecto

El número seleccionado sea múltiolo de 3 v 4

En una carrera de autos compiten, William, Héc-tor, Oscar e Iván. Quien acierte los dos primeroslugares, en cualquier orden, ganará. el doble de loque apueste. Quien acierte el orden correcto ga-nará tres veces el valor apostado. Construye el es-pacio muestras con las posibles posiciones de lacatfeta.

Rosa piensa que el primer lugar lo ocuparáHéctor y el segundo William. Si Rosa se decidea apostar por la pareja Héctor-William, halla laprobabilidad de que:

. Rosa gane el doble de lo que apuesta

' Rosa gane 3 veces lo que apuesta

b.

c.

ffi Ruroo"-iento lógico matemático

$ Comoni..ción con lenguaje matemático

I anlicación de la Matemática aI entorno

üüUtiliza la inforrnación en la tabla para res-ponder.

Eduardo planea salir de viaje la próxima semana ala ciudad de Michigan. Los horarios de vuelos semuestran en la tabla.

lunes 6:45 a.m. 9:30 a.m. 3:15 p.m- 7:10 p.m

mlrtes 10:45 a;m. 4:20 p.m. 9:10 p.m.

miércoles 5:00 a.m.

jueves 11:0ó a.m,

üernes .7:00 r.m.

sábado 6:00'a.m.

domingo 8:00 a.m,

10:30 a.m. 3:10 p.m. 8:00 p.,m.

5:00 p.m.

9:00 a.m. l :40 p.m. 6:15 p.m.

9:00 a.m. 12:15:p.m. 4:30 p,m.

I l :15 ¿.m. 1:50 p.m. 7:00 p.m.

Halla la probabilidadvuelo:

a. El día lunes

b. Antes del martes

de que el se decida por un

c. Después de las 6:00 p.m.

d. En la mañana

e. De 10:00 a.m. a 7:00 p.m.

f. Después del miércoles

g. Antes de las 4:00 p.m.

h. De lunes a viernes

i. Elsábado o el domingo

j. Si Eduardo viaja el martes o el jueves recibi-rá un descuento del 10%. ¿Cuál es la probabi-lidad de que viaje en alguno de estos días?

: Calcula las probabilidades. lJtiliza la infor-É

tllaclon (la(la.

De una baraja de 52 cartas se extrae una carta. Seanlos sucesos A'. sacar trébol, B: sacar un as y C: sacarun as de espadas.

a. P(A)

b.P(B)

c.P(q

d,. P@ n B)

e. P(Ac)

f. P(Bc)

s.P(C')

h.P(B n c)

óE

.si

€

I

z

=z

o

ffit-ee y calcala cada probabilidad.

Mónica está pro-gramando sus ac-tividades para elsábado en la tar-de. Se sabe que laprobabilidad deque vaya al cinees de 0.6, Ia pro-babilidad de que se vaya de compras es de 0.5 y,además,la probabilidad de que se vaya al cine y decompras es de 0.3.

a. Mónica vaya al cine o de compras

b. Mónica vaya aI cine pero no de compras

c. Mónica vaya exclusivamente de compras

d. Mónica vaya deambas

compras o al cine, pero no a

e. Mónica no vaya de compras

Mónica se vaya a una actividad diferente al ciney a realízar compras

f.

o

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,pE

I

zg

Fz

@

_ g Analiza y calcula cada probabilidad.

En una caja hay 6 pelotas blancas y 4 pelotas ne-gras. lJna persona selecciona dos pelotas al azar,sinrepetición, es decir, la primera pelota seleccionadano retorna ala caja. Halla la probabilidad de que alseleccionar las dos pelotas:

a. Ambas sean negras

b. Ambas tengan diferente color

c. Haya por lo menos una negra

d. Ambas tengan el mismo color

fl Resuelve el problema.

El equipo de volei-bol del colegio deCristina desea cla-sificar a la siguienteronda del campeo-nato; pero, para queesto sea posible, de-be ganar más de dos partidos de los cuatro posi-bles. Se sabe que la probabilidad de que el equipode Cristina gane es P(G) : 0.6 y la probabilidad deque lo pierda es P(Gc) : 0.4.

a. Unliza un diagrama de árbol para mostrar losposibles resultados de los 4 partidos.

b. Halla la probabilidad de que:

* Gane un partido

* Gane dos partidos

* Clasifique a la siguiente ronda

* Quede eliminado de la siguiente ronda

p Resuelve el problerna.

En el concurso de un programa de televisión haytres participantes, Pablo,Alicia y Beatriz. El concur-so consiste en que se formula una pregunta y se dala oportunidad de contestar al más veloz en opri-mir el botón. La probabilidad de que Pablo oprima

el botón en primer lugar es a, l;la probabilidad

de que Alicia opima el botón de primer lugar es de.,

i y t^ probabilidad de que Beatriz oprima el bo-

tón en primer 1og". ., f,.a. Encuentra el espacio muestral de contestar 1as

dos primeras preguntas.

b. Halla la probabilidad de que ambas pregunrassean contestadas por Beatriz.

c. Calcula la probabilidad de que por lo menos unasea contestada por Alicia.

d. Halla la probabilidad de que ninguna sea conres-tada por Alicia.

e. Calcula la probabilidad de que una sea contesta-da por Pablo y la otra por Beatriz.

IE¡I5i

EXTRAER DATOS DE UNA TABLA

1. El profesor de Educación Física pregtntó a sus estudian-tes acerca del tiempo que dedican a1 deporte en 1a sema-na. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

CALCUL.E,R T.A, PROB.ABILIDAD

3. La siguiente tabla muestra los equipos favoritos paraganar el próximo Mundial de futbol y el tipo de pe-riodista que respondió a 1a pregunta.

H

(¿F

Género

Hombre

lvrenol ló'ú¡a,hoiá"

Enffjet''i v 2.h¡iri:,r

}llúil.',áu: d"i hórii,

Tñ,1 , ' , ' ' : : : . , : i . i . , ' ,

Periodista

Radio T.V Revista

,r,r4r,. ... .., ,, . :,, l .1) ., . ' , ' 3 . ' , .,.

r : , ' r , j , ' ' . . . . r , , . . .1, .15 . . : .5, , . t1, . . . .

. . ] . l . .2. , ' ' . . . . . . . . ' . .4. . .i . ] i i .1] . . . ] ] , . . . . . .3; .

Mujer.:14.. .,.,

' 1q: : ' ' :

Total,LÉl .

i10x

Brasil

.nlemanla

Francia

Iralia

oñ

ior' lq

2.

Si se selecciona un estudiante al azar, calcula las si-guientes probabilidades:

a. El estudiante sea hombre.

b. El estudiante practique más de dos horas.

c. El estudiante sea mujery practique menos de una hora.

En un hipermercado se detuvieron 160 personas porhurto durante el mes pasado. lJna vez descubiertos, sedetermina el género de la persona y se establece si yaha hurtado en el almacén.

Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un periodista quecontestó la encuesta tenga como favorito a Brasil?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista sea deradio o de revista?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favoritosea sudamericano?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favoritosea europeo?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que a1 seleccionar unperiodista, este no trabaje en la radio?

Un dado en forma cúbica tiene sus caras numeradasdel 4 al 9. Halla la probabilidad de obtener en un lan-zamiento:

Un8

[Jn número impar

[Jn tres

LJn seis o un nueve

un número mavor que 5

5. Para el cargo de directivo en una empresa se han pre-sentado tres mujeres y dos hombres, pero el departa-mento de recursos humanos decide entrevistar solo a3 de los S.Todos los aspirantes cuentan con la mismaexperiencia para desempañar dicho cargo. Se decideescoger los tres de forma aleatoria.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja las 3 muje-res?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja 2 mujeres yun hombre?

4.Género

Hombre Mujer

€ Prirnera vez', ),1,,',,,' l8i;,,t'..'.1,:,., .,: : . ,:44 't Reincidente ',,1t)'1, 28" . .,,¡¡$g

A partir de la información de la tabla, calcula las si-guientes probabilidades.

Si se captura una persona intentando robar en el al-macén:

a. ¿Cuáles la probabilidad de que sea hombre?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 1o haga por prime-ra vez en el almacén?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea reincidente?

d. Si se captura la persona y se determina que es mu-jer, ¿cuál es la probabilidad de que sea reincidente?

e. Si se captura a la persona robando por primera vez,

¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

ta:,::

o

o

'a

{z

F=

@

Ei

Calcular todo esto para los bolos es mucho más fácil que para el goll

aunque tal vez dependa de datos oficiales y no oficiales (aparte de las puras

matemáticas). Sin saber de dónde sale el dato de 33 000 contra 1 del goll

puede imaginarse qLre alguien ha cogrdo todos los hoyos en uno "oficia-

les" cle un año dado, ;ra sea en el mundo o en su país, y los ha dividido

por el número de hoyos jugados por todos 1os jugadores en todas las com-

peticiones oficiales. Obviamente, la habilidad para hacer un hoyo en uno

dependerá de cada jugador, y ahí sí que es muy difici1 calcular más.

En los bolos se podría hacer prácti-

camente 1o mismo: coger las tablas

de resultados de la PBA (Federación

Americana de Bolos), dividir las par-

tidas de 300 puntos por ei número

total de partidas jugadas y obtener

el dato.

€J A T,f ??\vÉ*g* y

1.

2.

3.

4.

Partido

Puntos anotadospor el jugador

Puntos anotadospor el equipo

25124

4567

12 26 32 20

En el baloncesto, cada uno de los jugadores de ia hga americana tiene asociada una proba-

bilidad de efectividad que se relaciona con la probabilidad de acertar al rcahzar el siguiente

lanzamiento. Este índice de efectividad se caicula sumando 1os puntos anotados en cada

partido y dividiéndolos por 1os puntos anotados por e1 equipo en ese partido.

A continuación se muestran 1os resultados para un jugador de la NBA en la temporada

pasada:

10n121314

1,9 5 19 32 27 15

óóE

.st

€

=€

I

z

F=

o

100 98 97 102 89 105 96 98 106 100 97 105 99 106

Calcula la probabilidad de anotar en cada uno de 1os partidos.

Calcula la probabilidad de anotar en todos 1os partidos. Suma la totalidad de puntos anotados y

divide por el número de puntos anotados en todos los partidos por e1 equipo.

¿Cuá1 es el porcentaje de efectividad del jugador?

Si en el siguiente partido, a1 saltar en 1a primera jugada sufre una lesión, por 1o cual es sustituido

sin anotar ningún punto, ¿cuál es su nuevo promedio de efectividad?

5. Si se observa en 1a tabla, el partido en el que más puntos anotó fue e1 sexto. La probabilidad de que

anotara 32 puntos fue de ffi : 0.3047.

¿Cuá1 es 1a probabilidad de que anote 32 puntos en los siguientes 12 partidos?

h

ffi Oet""tttina si cada uno de los siguientes experimentos es aleatorio.Justifica tu respuesta.

a. El coordinador del departamento de Sociales abrióla convocatoria para seleccionar a los siete estu-

diantes que van a representar al colegio en un fo-ro intercolegial.Al finalizar el proceso de selección,se acordó que solamente cinco estudiantes están encapacidad de asistir. El experimento consiste en se-leccionar a los estudiantes que representarán al co-legio.

b. El equipo de futbol del colegio ha ganado la copaintercolegial. Se decidió rifar Ia medalla entre los

cinco mejores jugadores. El experimento consisteen la rifa de la medalla.

d. Dos personas han sido seleccionadas para ocuparlos cargos de administrador y presidente del conse-jo de un conjunto residencial. La asamblea de pro-pietarios decide rifar el cargo mediante la selecciónde un número premiado. El experimento consisteen asignar los dos cargos a las dos personas.

c. En una moneda cargada se tiene que la cara salecuatro veces más que la corona. Se lanza la mone-da al aire.

ffi Escribe el epacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos.

a. Se lanzan dos monedas no cargadas al aire, una vez.

b. Cuando un paciente llega a la sala de emergenciases evaluado por una de 3 enfermeras disponibles.Luego, es atendido por uno de los 4 médicos dis-ponibles. Escribe las diferentes formas en que unpaciente puede ser atendido en urgencias.

c. Se lanza una moneda v un dado al aire. tlr,a vez.

d. Escribe el mayor número de palabras de cuatroletras distintas, que tengan significado, con las si-guientes letras:A, I, O, M, R,T.

c. En una fabrica,el 40% de los trabajadores son mu-jeres y de estas el70% están casadas. Se elige alazarun trabajador en la fabñca, ¿cuál es la probabilidadde que sea mujer casada?

d. Se lanzan dos dados al aire. La probabilidad de ob-tener una suma de puntos igual a 10 es:

fl Encierra la probabilidad correcta para cada enunciado.

a. En una urna hay dos bolas que pueden ser verdes,azules, o una verde y otra azul. Se añade una bolaverde a la urna y a continuación se saca una bola alazar ¿Cuil es la probabilidad de que sea verde?

". 1 oL *2 u23993

b. En una caja que tiene 7 bolas blancas y 5 negras. Seextraen dos bolas consecutivas, sin reemplazamien-to. ¿Cuál es la probabilidad de que la dos bolas seanblancas?

4124€ _ E _ I _ +_

15339

1,214.. . ._ +_ +_

234112

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ffi Calcula la probabilidad indicada.

Se réaliza una encuesta a 1 000 personas de ambos sexos, de edades comprendidas entre 25 y 30 años, sobre su

situación laboral, activa o inactiva. Obteniéndose los siguientes resultados:

H*úbree,Mujárei",.Sfg gsj'

Con el fin de dar una conferencia, se selecciona aleatoriamenfe a una persona de las encuestadas.

* ;Cuál es la orobabiiidad de que se encuentre activa?

u Si se desea que la persona seleccionada sea hombre, ¿cuál es la probabilidad de que no esté inactivo?

I Escribe el espacio rnuestral para cada evento.

a. Dos equipos de futbol A y B disputan una seriede partidos, de forma que se proclama campeónel primero que gane dos partidos seguidos de unmáxi.mo de cuatro.

El espacio muestral es:

I I-ee y calcula cada probabilidad.

a. De una baraja de 40 cartas se extraen, sin reempla-

zamiento, tres. Halla la probabilidad de obtener 3

oros. Luego halla la probabilidad de obtener 3 car-tas del mismo palo.

flI,ee y resuelve.

a. LJn estudio en un gimnasio determinó que de los

157 deportistas, 100 son mujeres; 85 toman suple-

mento de vitaminas y 75 de los que toman dichosproductos son mujeres. Si un deportista nuevo lle-

ga al gimnasio:

" ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o tome

suplementos de vitamina?

* ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

* ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no

tome suplementos de vitamina?

* ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no

tome suplemento de vitaminas?

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b. Los candidatos para forrnar una junta directiva enuna sección de Bachillerato son: Carlos, Joaquín,Ernesto y Marta. Se requiere que lajunta esté com-puesta por un presidente y un secretario. ¿De cuán-

tas formas se puede formar esta iunta directiva?

El esoacio muestral es:

b. Una bolsa oscura contiene 3 bolas verdes y 5 bo-las rosadas. Halla la probabilidad de que al sacar unabola al azar,se seleccione:'* lJna bola verde * IJna bola rosada

b. De las 15 habitaciones dobles de un pequeño hotel

de la costa, 10 tienen baño, mientras que de las 10

habitaciones sencillas solo 2 disponen de baño.

. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una habi-

tación con baño?

u Si una habitación se sabe que tiene baño, ¿cuál es

la probabilidad de que sea sencilla?