unidad 4[1] mate blog[1]

Unidad 4: Elipse, Circunferencia y sus

ecuaciones cartesianas.►Propósitos: Reafirmar el método

analítico al obtener las ecuaciones de la elipse y la circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas y estructuras, en la formulación de conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte euclidiano.

Unidad 4 1

Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Aprendizajes significativos

► Al finalizar la unidad, el alumno: Respecto al estudio de la elipse.► Realizará al menos una construcción de la

elipse y en función de ello:► Identificará los elementos que la definen.► Reconocerá los tipos de simetría de esta

curva.► Obtendrá la definición de elipse como lugar

geométrico.► Deducirá la expresión con radicales que

expresa la propiedad de los puntos de dicho lugar geométricoUnidad 4 2Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

3

► A partir de la expresión anterior, comprenderás cómo se obtiene la ecuación ordinaria

► Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras formas.

► Transitará de la ecuación general de la elipse a la ecuación ordinaria y viceversa. Para ello, aplicará el método de completar cuadrados.

► Determinará los elementos esenciales de una elipse, a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizará para bosquejar su gráfica.

► Concatenará con coherencia sus argumentos y deducciones en el proceso para obtener la definición , la ecuación y la grafica de una elipse.

► Aplicara los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas.


4

► Con relación a la circunferencia:► Reconocerá a la circunferencia como el

lugar geométrico de mayor frecuencia en su entorno.

► Obtendrá el lugar geométrico de la circunferencia como caso límite de la elipse.

► Identificará los elementos que determinará una circunferencia.

► Obtendrá la definición de circunferencia como lugar geométrico.

► Deducirá la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen, a partir de la ecuación ordinaria de la elipse.

► Transitará de la forma ordinaria a la forma general y viceversa, para ello, utilizará el método de completar cuadrados que ya conoce.

► Determinará el centro y el radio de una circunferencia, a partir de su ecuación, dada tanto en la forma general como ordinaria y construirá una gráfica.

► Ante un ecuación ordinaria de un elipse identificará si se trata del caso límite cuando se obtienen una circunferencia, en caso contrario, indicará a cual de los ejes de coordenadas es paralelo su eje mayor

► Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de diversos problemas.

Unidad 4 5Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

► TEMÁTICA► Estudio de la elipse:► La elipse como lugar geométrico.

Trazo de la elipse y sus propiedades de simetría. Definición geométrica de la elipse. Elementos que definen a la Elipse: Distancia focal, eje

mayor y eje menor, relaciones entre ellos.► Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes

de coordenadas: Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general.

► Aplicaciones: La tangente en la elipse en un punto que pertenece a ésta. Intersecciones de rectas con la elipse. Resolución de problemas diversos.


Estudio de la circunferencia.

► La circunferencia como lugar geométrico: Definición geométrica de la circunferencia. Elementos que definen a la circunferencia.

► Ecuación de la circunferencia. Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general. Ecuación de la circunferencia.

► Aplicaciones La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Ecuación de la recta tangente a una circunferencia, en uno

de sus puntos. Intersecciones de rectas con una circunferencia. Resolución de problemas de diferente índole.


UNIDAD 4: LA ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS

ECUACIONES CARTESIANAS

►PROPÓSITOS: Reafirmar el método analítico al obtener las ecuaciones las ecuaciones de la elipse y la circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas y estructuras, en la formulación de conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte euclidiano.



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► Aprendizaje.► El Alumno:► Realizará al menos una construcción de la elipse, y

en función de ello:► Identificará los elementos que la definen► Reconocerá los tipos de simetrías de esta curva.► Obtendrá la definición de elipse como lugar

geométrico► Deducirá la expresión con radicales que expresa la

propiedad de los puntos de dicho lugar geométrico.► A partir de la expresión anterior, comprenderá

como se obtiene la ecuación ordinaria (en el origen) de la elipse.

► Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras formas.

Temática:

► Estudio de la elipse:► La elipse como lugar geométrico.► Trazo de la elipse y sus propiedades de

simetría. ► Definición geométrica de la elipse.► Elementos que definen a la Elipse: Distancia

focal, eje mayor y eje menor, relaciones entre ellos.

► Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas: Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general.


INTRODUCCIÓN

► Durante el periodo clásico griego fueron descubiertas las secciones cónicas, del año 600 a 300 a. c. Menecmo contribuyó a este descubrimiento lo que permitió resolver problemas que no se habían podido resolver en esa época como: el problema de los oráculos de Delfos, la solución analítica de la duplicación del cubo etc. Fue hasta principios del siglo XVII con Renato Descartes cuando se hizo evidente la extensa aplicabilidad de este conocimiento, el cual juega un papel importante en el desarrollo del calculo.



12

►Una aplicación interesante de las secciones cónicas se relaciona con las órbitas de los cometas de nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados hasta antes de 1970,

►Fig. 4.1


13

► 245 tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen orbitas hiperbólicas. Por ejemplo el cometa Halley tiene una órbita elíptica y podemos predecir la reaparición de éste cometa cada 75 años. El centro del sol es un foco de cada una de esas órbitas, y cada órbita tiene un vértice en el punto donde el cometa está más cerca del sol como se muestra en la figura.

► Las curvas que hemos visto hasta ahora tienen como ecuación una de segundo grado y pueden se círculos, parábolas o elipses. Estas curvas se pueden obtener cuando un cono con planos apropiados ( ver figuras). Por ello reciben el nombre de cónicas.

►Fig. 4.2



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►La trayectoria de una avioneta es la que se muestra en la figura y esta descrita por la ecuación

►Fig. 4.3


16

► Determina los dos puntos posibles de despegue (focos), la distancia que existe entre éstos y la excentricidad de la órbita elíptica que trazó. Para poder resolver este problema necesitas conocer los conceptos relacionados con este lugar geométrico que es la elipse.

► DEFINICIÓN: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos (x, y) del plano cuyas sumas de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

► Podemos visualizar la definición de una elipse imaginando dos tachuelas puestas a los focos como se muestra en la figura. Si sujetamos los extremos de una cuerda fija a las tachuelas y tensamos la cuerda con un lápiz, la trayectoria trazada por el lápiz será una elipse.


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► Fig. 4.4

PARTES FUNDAMENTALES DE UNA ELIPSE:

Fig. 4.5



19

► Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse, se designan por F y F´, O es el punto medio de FF´.

► La recta L que pasa por los focos se denomina eje focal.

► El segmento de la recta determinado por V´V recibe el nombre de eje mayor, B´B eje menor.

► La cuerda DD´ se llama longitud de lado recto

► O es el centro de la elipse.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN

► Vamos A escoger los ejes cartesianos de tal manera que el eje de las x pase por los dos focos y el eje de las y divida en partes iguales al segmento que une a los dos focos. De esta manera, las coordenadas de los focos seran F (-c,0) y F´ (c, 0). La cantidad a la que es igual la suma de las distancias de un punto P(x, y) a ambos focos, la vamos a denotar por 2ª, para que nos quede una expresión simple de la ecuación.



21

►Por definición tenemos:►FP + F´P = 2ª …………. (I)►Donde a es una constante positiva

mayor que c►FP= ; F´P= ►Sustituyendo en (1)► + =2


22

►Fig. 4.6


23

► Simplifiquemos esta ecuación haciendo los siguientes pasos:

► Pasemos el segundo radical al segundo miembro y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, simplificando y agrupando obtenemos la ecuación:

► Elevando otra vez al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando, tenemos:

► Si y sustituimos se obtiene

► Dividiendo la igualdad entre Se obtiene finalmente:


24

► Características de la elipse con el eje focal paralelo al eje x.

► 1. Es simétrico respecto a las ejes x y► 2. Las coordenadas de sus focos son: F(c,0)

y F´(-c,0)► 3. Las distancias V V´ =2ª y BB´= 2b, en

consecuencia a>b.► 4. Sus vértices para cada eje están dadas

por las coordenadas:► Eje mayor Eje menor► V (a, 0) B ( 0, b)► ;► V´(-a, 0) B´ (0, -b)


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► 5. se define como excentricidad de la elipse a la relación que existe entre la distancia del eje focal 2c y el eje focal.

► Para la cual existen dos casos particulares:► Si c=0 e=0, los focos coinciden y la elipse

se convierte en una circunferencia.► Si c=a e =1, los vértices del eje menor

coinciden y se tiene por tanto una línea recta.

► Por tanto, la excentricidad de una elipse estara entre 0 y 1, es decir, 0>e>1.


26

► 6. El lado recto o ancho focal (latus rectum), es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco (la elipse tiene dos latus rectum), y está dada por la relación:

► Relación por el teorema de Pitágoras:

► Análogamente se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse con el eje focal paralelo al eje y. Esta ecuación es de la forma


27

►Y su grafica es:

►Fig. 4.7


28

► Escribe en tu cuaderno, cuales son las características de la elipse con eje focal paralelo al eje “y”:

► Problema 4.1

► Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen ,foco en el punto F(0,3) y semieje mayor igual a 5.

► Localizaremos los datos del problema en el plano cartesiano que se pueden a preciar en la Fig. 4.8

► A continuación escribe el valor de c y a, recuerda que cuando la elipse esta en el origen los valores del foco tienen relación con c y los valores del vértice tienen relación con a.

C=A=Recuerda la relación:Calcula b=La ecuación a la que debes llegar es:Su grafica la puedes ver en la Fig. 4.9

.Unidad 4 29Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Podemos expresar la ecuación en su forma general:

problema 4.2Una elipse tiene su centro en el origen, su eje mayor coincide

con el eje Y. si uno de los focos es el punto F(0,4) y la excentricidad es igual a ½. Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

.)escribiendo en tu cuaderno borrador localiza los datos en un plano como el de la Fig. 4.10

.


Escribe cuales son tus incógnitas:________Escribe a continuación el valor de c:______Si e=c/a, entonces ½=c/a, calcula el valor de a:Con la siguiente relación : encuentra el valor

de b:Si ya conoces los valores de a y b ya puedes encontrar la

Ecuación de la elipse.

Expresa la ecuación en su forma general:Recuerda que la formula para encontrar la longitud de cada

lado recto es:

Calcula el valor y explica que significa en la gráfica:A continuación construye la grafica con todos los valores que

encontraste.Calcula las coordenadas de los vértices..


► Problema 4.3Hallar la ecuación de una elipse que tiene un vértice en

V(0,6)y sus focos son F(0,4) y F’ (0,-4). Así como las longitudes de sus ejes mayor y menor y las longitudes de cada uno de sus lados rectos. También construye su grafica en tu cuaderno con un plano como el que se aprecia en la Fig. 4.12.

Ilustra los datos en el sig. Plano cartesiano (Fig. 4.12)Escribe en tu cuaderno borrador cuales son las incógnitas:

.


Calcula:Cuanto vale c=A=B=► Encuentra la Ecuación:► Calcula la longitud de cada uno de sus lados rectos.► Calcula las longitudes de su eje mayor y menor► Traza una grafica que te ilustre los valores encontrados

anteriormente (Fig. 4.13)

Escribe una conclusión de la solución del problema:__________________________


ECUACION DE LA ELIPSE CON EJES PARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS.

Aprendizajes.El alumno:► A partir de la ecuación ordinaria en el origen, comprenderá como

se obtiene la ecuación ordinaria fuera del origen de la elipse.► Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras

formas.► Transitará de la ecuación general de la elipse a la ecuación

ordinaria y viceversa. Para ello, aplicará el método de completar cuadrados.

► Determinará los elementos esénciales de una elipse, a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizara para bosquejar su grafica.

► Concatenará con coherencia sus argumentos y deducciones en el proceso para obtener la definición , la ecuación y la grafica de una elipse.

► Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas.

TEMATICA:Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas:1)Ecuación ordinaria con centro fuera del origen.2)Ecuación ordinaria con centro en el origen.3)Ecuación general.4)Problemas de aplicación.


Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen.

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje x, como lo muestra la figura, se tendrá la sig. Ecuación:

.


► Sus elementos son:Excentricidad , centro c (h, k), vértices

V (h+a, k), V (h-a, k) (puntos del eje mayor).

Focos F (h+c, k), F (h-c, k)Extremos (puntos del eje menor) E (h, k+b),

E (h, k-b), lado recto

Rectas directrices x= , o bien, x=

Si el eje mayor es paralelo al eje y, su ecuación será:

.



37

Fig. 4.15

Sus elementos serán:Excentricidad , centro C (h, k );

vértices V (h, k +a), V (h, k -a);Focos F (h, k+c), F (h, k – c)Extremos E (h+b, k), E (h-b, k); lado

recto

Rectas directrices , o bien ,

Unidad 4 38Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Ecuación general de la elipse.Considera la ecuación: F =

8

Para que la ecuación anterior corresponda a una elipse de ejes paralelos a las coordenados (x, y) es condición necesaria para que el producto

X y=0Entonces la ecuación general de esta elipse es:A x + C y + D x + E y +F = 0Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo

positivo. En el caso de que A = C,Se tiene una circunferencia.También puedes identificar una elipse con el

discriminante, recuerda si se trata de una elipse.

De la Ecuación Ax + C y + D x + Ey + F =0, se tienen tres diferentes casos si en la expresión anterior se completan cuadrados.

.Unidad 4 39Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas


40

En esta ultima ecuación, el valor del segundo miembro determina el lugar geométrico que representa.

F>0, el lugar geométrico que representa es una

elipse. F=0, se tendrá un punto.

F<0, no representa el lugar geométrico llamado

elipse.

Problema 4.4Determinar las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud de lado recto y la

excentricidad de la elipse Se divide la ecuación entre 100

Simplificando obtenemos la ecuación de la elipse con centro en el origen:

Como el denominador mayor corresponde a: x, podemos concluir que el eje mayor de la elipse coincide con el eje x. Por tanto de aquí puedes calcular el valor de:

A=B=Calcula el valor de c=Escribe cuanto vale las coordenadas de los focos:F ( )F` ( )Escribe a continuación las coordenadas de los vértices:

Calcula cuanto vale la excentricidad:

Calcula cada uno de los lados rectos:

Grafica correspondiente de la elipseUnidad 4 41Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Comprueba en la gráfica que los datos que obtuviste son correctos, escribe una conclusión en tu cuaderno borrador de la solución del problema.


Problema 4.5Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor y las

coordenadas de sus vértices, si tiene sus focos en F(5,3) y F`(5,-1)Y su excentricidad es ¼Ilustra en una gráfica los datos del problema

Es importante que tengas presenta que, para encontrar la ecuación de la elipse necesitas conocer los parámetros a y b.

Como los focos tienen la misma abscisa, esto significa que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje y, por tanto, la ecuación es de la forma:


El centro de la elipse es el punto medio entre la longitud de los focos es decir, el punto (5,1), como el parámetro c es la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos, se deduce que c=2, porque hay dos unidades de medida del centro a uno de sus focos, ilustra estos datos en el plano Fig. 4.18.

.


La excentricidad de la elipse es :e=c/a=1/4 2/a =1/4Entonces el valor del parámetro a es:Para encontrar el valor de b utilizamos la relación

donde

Debes llegar a la ecuación de la elipse:

Expresa la ecuación en su forma general y a partir de la ecuación con el método de completar cuadrados encuentra el centro y los parámetros (a, b, c), realiza las operaciones en tu cuaderno.

La longitud del eje mayor es 2ª=La longitud del eje menor es 2b=Las coordenadas de los vértices son (5, 1 8)Especifica cuales son las coordenadas de V( ) y de V`( )


Realiza una gráfica considerando todas las partes fundamentales de la elipse que calculaste.


Problema 4.6Los vértices de una elipse son los puntos V(1,1) y V`(7,1) y su

excentricidad es 1/3. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y la longitud de cada lado recto, así como su gráfica.

Escribe en tu cuaderno borrador cuales son tus datos:Escribe cuales son las incógnitas:

Comprueba que la solución de tu problema es correcta: escribe una conclusión en tu cuaderno borrador:__________________Unidad 4 47Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Problema 4.7 La ecuación de una elipse es:

Reducirla a la formula ordinaria y hallar las coordenadas del centro , de los vértices y de los focos. Determinar las longitudes del eje mayor, del eje menos y de cada lado recto , así como la excentricidad.

Solución:Utilizaremos el método de completar cuadrados:

.



49

Entonces el centro es: C(-3,2)

Ya puedes encontrar el valor de las incógnitas que te pide el problema.

Localiza estos parámetros en la grafica.Verifica que el problema este bien resuelto en la grafica.Escribe una conclusión de la solución del

problema:_____________Unidad 4 50Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Problema 4.8La ecuación de una elipse es:

Reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos, calcular la longitud del eje mayor, del eje menor, de cada lado recto y la excentricidad. Ilustra el problema con una gráfica (Fig. 4.22)

Escribe cuales son tus datos en tu cuaderno:____Escribe cuales son las incógnitas:__________

verifica que la solución del problema sea correcta en tu cuaderno y escribe una conclusión del problema.


RECTA TANGENTE A UNA ELIPSETeorema:Sea una elipse, cuyo centro se localiza en el origen, de la forma:

La recta tangente a esa elipse en el punto P (x, y), esta definida por:

Problema 4.9Encontrar la ecuación L de la tangente a la elipse ,

en el punto p

Transformando la ecuación de la elipse

Teniendo como datos de la elipse los siguientes parámetros

Teniendo como datos del punto, los siguientes parámetros.



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Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación

Obtenemos por ecuación de la recta tangente, a la elipse en el punto P(1, 2 3) a la siguiente expresión:

Se obtiene la gráfica de la elipse, la recta tangente y el punto P


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►Fig. 4.23

PROBLEMAS1.-hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus vértices, si tiene sus focos en F(5,3) y F(5,-1) y su excentricidad es ¼.2.-La ecuación de una elipse es :Reducirla a la forma ordinaria y hallar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Determinar las longitudes del eje mayor y del eje menor y de cada lado recto, así como la excentricidad, construye una gráfica y corrobora tus resultados.3.-Hallar la Ecuación de una elipse que tiene un vértice en V(0,6) y sus focos F(0,4) y f`(0,-4)4.-Determinar las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad de la elipse

5.-Encuentra la ecuación de la tangente a la elipse en el punto , la ecuación de la elipse Sol.


EVALUACIONProblema 1: una elipse tiene sus vértices en V(0,6),

V`(0,-6) y su excentricidad es ½.Hallar las coordenadas de sus focos. Las longitudes de

sus ejes mayor y menor, la longitud de su lado recto y la ecuación de la elipse.

Ilustra los datos con una gráfica.

Problema 2: dada la ecuación de la elipse:

Hallar su centro, semiejes, vértices y focos.Construye una gráfica que ilustre una solución del

problema.3.-Encuentra la ecuación de la tangente a la elipse En el puntoSol.


Problemas de aplicación resueltosProblema 4.10

Un arco de chimenea de 80m de ancho mayor (eje mayor), tiene forma de semielipse.

Sabiendo que su ancho menor es de 30m (eje menor), encuentra el ancho menor en un punto situado a 15m del eje y, medidos de forma horizontal del centro, así como los focos de la elipse


Los datos del problema son:A=40B=30Las incógnitas son: P(15,y) así como las coordenadas de los

focos.Solución:Consideremos la ecuación de la elipse con el centro en el

origen y cuyo eje coincide con el eje x, sustituyamos los datos que conocemos en la ecuación, posteriormente despejemos para encontrar la ordenada del punto.

Sustituyendo

Despejando


Por lo tanto, las coordenadas del punto P son P (15, 27.8)El ancho menor es de 27.8m

Para calcular los focos usaremos la expresión:

Despejando, tenemos el valor de c:

Por lo tanto los focos se encuentran en las coordenadas: F(26.458,0) F`8-26.458,0)

Conclusión: Podemos decir que la altura del arco de la chimenea situada a 15m. Del centro con respecto al eje y es de 27.8m. Y las coordenadas de los focos de la elipse que se forma son: F(26.458,0) F`8-26.458,0)


Problema 4.11La órbita de la tierra, tiene forma elíptica, con un semieje

mayor de 92.956x10 millas, y una excentricidad de e=0.017, estando el sol en uno de los focos de la elipse:

Hallar la ecuación de la trayectoria de la tierra, y las coordenadas del sol, si consideramos que el origen del sistema de coordenadas esta al centro de la elipse.

Datos: a=92.956x10; semieje mayor e=0.017; excentricidad


Incógnitas: la ecuación de la trayectoria de la tierra, las coordenadas del sol

Usaremos la expresión:

Por la relación , conocemos el semieje menor

.



62

Con los datos, podemos construir la ecuación de la elipse, cuya forma cuando tiene el centro en el origen es:

Sustituyendo:

Finalmente, la coordenada del sol, con respecta nuestro sistema coordenado y al dibujo es la misma del foco izquierdo F`(-1.580269x10, 0)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN QUE SE DEBEN RESOLVER EN EQUIPOS

1. Hallar una ecuación de la elipse con vértices (5,0) y con excentricidad e=3/5.

2. Halla una ecuación de la elipse con vértices (0, 8) y excentricidad e=1/2.

3. Orbita de la tierra. La tierra se mueve en orbita elíptica con el sol en uno de sus focos.

La longitud de la mitad del eje mayor es de 92.957x10 millas y la excentricidad es de 0.017. Halla la distancia más corta y la más larga de la tierra al sol.

.



64

4. Orbita de Plutón. Plutón se mueve en órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. La longitud de la mitad del eje mayor es de 3.3666x10 millas y la excentricidad es de 0.248

Halla la distancia más corta y la más larga de Plutón al sol.

5. Orbita de Saturno. Saturno se mueve en órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. La distancia más corta y la más larga desde este planeta al sol es de 1.3495 y de ,

respectivamente. Halla la excentricidad de la órbita.


65

► 6. Orbita de satélite. El primer satélite artificial en orbitar la Tierra fue el Sputnik I (Lanzado por la Unión Soviética en 1957) su punto más alto sobre la superficie de la tierra fue de 132 millas. Supongamos que el centro de la tierra es el foco de la órbita elíptica y que el radio de la tierra es de 4000 millas. Hallan la excentricidad de la órbita.

► .


66

► 7. Arco de Chimenea El arco de una chimenea ha de construirse en forma de semielipse. La abertura debe tener una altura de dos pies en el centro y una anchura de cinco pies a lo largo de la base (véase figura). El contratista dibuja el perfil de la elipse siguiendo el método que se muestra en la figura. ¿Dónde deben ponerse las tachuelas y cuál debe ser su longitud de la cuerda?

► .

LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR

GEOMÈTRICOAprendizajes. Al finalizar la unidad, el alumno: -Reconocerá a la circunferencia como el lugar geométrico de mayor frecuencia en su entorno.-Obtendrá el lugar geométrico de la circunferencia como caso limite de la elipse.-Identificará los elementos que determinan una circunferencia.-Obtendrá la ecuación ordinaria de la circunferencia como lugar geométrico.


Temática.Estudio de la circunferencia.La circunferencia como lugar

geométrico:a) Definición geomêtrica de la

circunferencia.b) Elementos que definen a la

circunferencia.Ecuación de la circunferencia.c) Ecuación ordinaria con centro

en el origen y fuera del origen.d) Ecuaciôn general.


LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÈTRICO

Supongamos que tienes un cordel de 10cm. Si un extremo lo fijas con una tachuela en una superficie plana y el otro extremo lo giras. ¿Que figura se forma?:___________________________________La tachuela es el ______ de la circunferencia y el cordel es el ______Consideremos un punto p( x, y) de la circunferencia de centro c (h, k) y radio r, como se ilustra en la siguiente figura.

.


La distancia constante CP es el radio r que cumple con la siguiente condición:CP=rAplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CPQ, y escribimos la igualdad que se obtiene:

Escribe a continuación las distancias en función de las proyecciones en el eje de las^”x” y en el eje de las “y”,

__________

__________Unidad 4 70Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

Substituyendo estos valores en la Ecuación (1) Ecuación ordinaria de una Circunferencia

Cuando el centro de una circunferencia es el origen , la Ecuación de la circunferencia se expresa así:Su gráfica es:


Considerando la ecuación ordinaria fuera del origen, desarrollamos los términos y los ordenamos.

Llegamos a la siguiente expresión:

La cual, se puede expresar de la siguiente forma:

En la que D = -2h, E = -2k


A esta expresión, se le conoce como la Ecuaciôn general de la circunferencia, recuerda que el tema anterior de la elipse, vimos que la elipse puede llegar a ser una circunferencia, cuando el eje mayor y el eje menor tienen la misma medida y los dos focos coinciden, es decir cuando el parámetro c de la elipse vale cero y la excentricidad también vale cero.Ver la figura 4.30.

a = 3 Fig. 4.31 a = 3 b = 2 b = 3 Elipse Circunferencia


Definición de la circunferencia: Es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo.

Problema 4.12Juan se encuentra en un punto de coordenadas cartesianas P(11, 12) y camina en línea recta con un ángulo de 45º respecto a la zona positiva del eje (x) hacia un estanque de forma circular, con un diámetro de 10 metros. Si se considera el origen del sistema de coordenadas el centro del estanque, calcula: las condiciones del punto donde Juan llegara a la orilla del estanque y la distancia que debe recorrer para llegar a ese punto.

Fig. 4.32Unidad 4 74Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

Calcula la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(11, 12) y tiene un ángulo de inclinación de

Debes llegar a la ecuación

Calcula la ecuación de la circunferencia con C(0,0) y r=5

Resuelve el sistema Factorizando: (x+4)(x-3) = 0

Entonces Sustituyendo en 2.Encontramos la orilla del estanque que es el punto P1 (3, 4).Encuentra la distancia desde donde está Juan a este punto de la orilla del estanque


Problema 4.13Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene de diámetro el segmento cuyos extremos son los puntos: A (-3,-2) y B (4, 5).Realiza los cálculos en tu cuaderno.Realizaremos una gráfica para identificar cuales son sus datos y cuales son las incógnitas

Fig. 4.33Recuerda que necesitas conocer el centro y el radio para poder aplicar la fórmula:


Desarrollando los binomios y simplificando se llega a la ecuación, realiza las operaciones en tu cuaderno para encontrar la solución del problema. Debes llegar a la siguiente ecuación:

Realizaremos el proceso inverso, a partir de la ecuación encontraremos el centro y el radio con el método de completar cuadrados:


Con esto; podemos afirmar que el centro de nuestra circunferencia se encuentra ubicado en y el radio es

Corrobore estos resultando realizando una grafica del problema en la Fig. 4.34.

Resuelve los siguientes problemas► Los extremos del diámetro de una circunferencia son los

puntos A(2,3) y B (-4, 5).Encuentra su ecuación y construye una gráfica que te ilustre el

problema.


2. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son los puntos A(0,0), B (3,6), C(7,0)

3. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto c (-4,-1) y que es tangente a la recta


Problema 4.14Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia

Construye una grafica que ilustre el problema.Asociando términos semejantes, aplicaremos el método de completar cuadrados.

Completa los términosApropiados para completar cuadrados:Factorizando

Construyamos una grafica que ilustre el problema:

Fig. 4. 35


APLICACIONES

Aprendizajes.Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de diversos problemas.Temática.Aplicaciones:La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.Ecuación de la recta tangente a una circunferencia, en uno de sus puntos.Resolución de problemas de diferente índole.


Tangente a una circunferenciaTeorema

Sea una circunferencia expresada en la forma

con centro en las coordenadas y radio r.Sea un punto p , sobre el lugar geométrico de la circunferencia. La recta tangente L a la circunferencia por el punto P esta definida por la siguiente expresión.(A)…….Caso especial:Si el centro de la circunferencia, está ubicado en el origen, la ecuación de la circunferencia será de la siguiente forma

Y la ecuación de la recta tangente en el punto . perteneciente a una circunferencia con centro en el origen, estará definida por:Unidad 4 82Elipse, circunferencia y sus ecuaciones

cartesianas

Problema 4.15Tenemos una circunferencia con centro en C (, -2), y un radio , encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P(8, 0).SoluciónObtenemos los parámetros de la ecuación de la circunferencia y su ecuación; h = 4 k= -2

Por lo que nuestra ecuación de circunferencia es:

Los datos del punto P son los siguientes:


Teniendo los datos completos, sustituyamos en la ecuación A.

Resultando como ecuación tangente, la siguiente expresión:

La gráfica de la circunferencia y su tangente en el punto P, se presenta a continuación


Problema 4.16

Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son: A(-1,1), B(3,5) y C(5,-3).Escribe en tu cuaderno borrador cuales son tus datos:

Escribe cuales son tus incógnitas:


.) Recuerda la propiedad: “ Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”.

.)Encuentra la ecuación de la mediatríz L1 respecto al lado ABDebes llegar a la ecuación: x + y = 4 L1

.)Encuentra la ecuación de la mediatríz L2 respecto al lado BCDebes llegar a la ecuación: x -4y = 0 L2Resuelve el sistema de ecuaciones

X + y -4 = 0 ……………………. L1X – 4y = 0 ………………………. L2


El circuncentro es: C (16/5, 4/5 )Calculo de la ecuación de la circunferencia C (16/5, 4/5)

Calculo del radioA (-1, 1)C (16/5, 4/5)

Calculando la ecuación circunscrita

Realiza la grafica de la circunferencia que encontraste


Resuelve los siguientes problemas.

Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.

Si la ecuación representa una circunferencia, hallase su centro y su radio.

1.

2.

3.


4. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triangulo determinado por los puntos A(2,-2), B(-1,4) y C(4,6). Expresa la ecuación en su forma ordinaria y en su forma en general; construye una grafica con la regla y el compás, que te ilustre el problema. Recuerda la propiedad “Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”.

5. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(0, -3) y el circulo

.Unidad 4 89Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

EVALUACION

Resuelve los siguientes problemas:1. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y

cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: 3x – 2y – 24 = 0, 2x – 7y + 9 = 0

2. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados a(3,0), b(4,2) y C(0, 1). Aplica la propiedad “Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”.

Construye una gráfica con la regla y el compás que te

ilustre el problema


3. Determina si la siguiente ecuación

representa una circunferencia, un punto o no tiene representación real. Si es una circunferencia. Construye su grafica.

4. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(3,3) del circulo con centro C(-1,1) y radio


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