unidad+2 mate
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FuncionesDefinicin:
Una funcin f : A B es una relacin que acada elemento del conjunto A le hacecorresponder un nico elemento del conjunto B.
El conjunto A se llama Dominiode la Funcinyel conjunto Bes el Rango o Codominio.
A Bf
1
2
m
n
p
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Para indicar que a un elemento x de Ase le hace corresponder un elemento y de B,
se escribe y=f(x) y se lee:
y es igual a f de x.
o bien:
y es la imagen de x.
o bien: x es una preimagen de y.
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Veamos si las siguientes figuras representan funciones
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Es el conjunto de valores de la variable x, para loscuales la funcin existe.El dominio viene caracterizado por el tipo de funcin.
Ejemplos:
Sea ; el dominio es
Sea ; el dominio es
Dominio de una funcin numrica
32)( xxf ),( Df
xxf )( ),0[ Df
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Es el conjunto de elementos del Codominio, que sonimagen de algn elemento del Dominio.El Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio.
Ejemplos:
1)Sea
2)Sea
Conjunto Imagen
32)( xxf RCod ),(
xxf )(
0),0[Im UR
R ),(Im
RCod ),(
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Formas de expresar una funcin:
Mediante GrficasMediante Tablas
Analticamente
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La siguiente es la grfica de un beb que al nacer pes 3,300 kg.
a)Qu ocurre en los primeros das de vida? Interpreta el punto P.
b) Qu das el nio pes 150 g menos que al nacer?
c) En algn momento de la segunda quincena la madre cambi el pechopor la mamadera. Le gust el cambio al nio?
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d) Indica el aumento de peso durante la primera, segunda y tercera quincena.
e) Indica el mximo y mnimo peso que dio el nio durante el mes y en qu das.
f) Indica los mximos y mnimos locales, y absolutos.
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FUNCIONES EXPLCITAS
Una funcin es explcita cuando est definida de la formay = f(x), es decir, est despejada la variable dependiente yen trminos de la variable independiente x.
Ejemplos: y = f(x) = 3x2 +2x+1 ; y=sen(x)
FUNCIONES IMPLCITAS
Una funcin est dada en forma implcita cuando est escritade la forma f(x,y) = 0, es decir, no est despejada la variabledependiente y.
Ejemplos: f(x,y) = y2 - 2xy + 7x2 - 1 = 0 ; 3y - 4x = 7
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Representacin grfica de funcionesUn punto cualquiera del plano est representado por un
par ordenado de nmeros (x,y).La coordenada xse llama abcisa y la coordenada ysedenomina ordenada.
Ejemplos:
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Teorema de Pitgoras
Primero recordemos que untringulo rectngulo es aquelque tiene...
...un ngulo recto, es decir,de 90 grados.
El Teorema de Pitgoras dice que:
en todo tringulo rectngulo se cumpleque el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de loscatetos.
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Distancia entre dos puntos
Para hallar la distancia entre dospuntos del plano, por ejemploentre P1 y P2, podemos aplicar elTeorema de Pitgoras, ya que seve claramente que los puntos P1,P2 y Q forman un tringulo
rectngulo. 22
2
1
2
21 QPQPPP
121 xxQP Como:
122 yyQP y
entonces: 2122
12
2
21 yyxxPP
2
12
2
1221 yyxxPPd
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Funcin Constante
2)( xfy
1)( xfy
kxfRRf )(/:
donde kes un valor real
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La funcin linealbxmxfRRf .)(/:
mes la pendiente y bes la ordenada al origen.
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Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) quepertenecen a la recta, la pendiente mse
puede calcular as:
12
12
xx
yym
siempre que
12 xx
La pendiente de una recta es independiente delorden en que consideramos dos puntos en ella.
21
21
12
12
xxyy
xxyy
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Para hallar la ecuacin de una recta que pasapor dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2)hacemos:
12
1
12
1
yyyy
xxxx
Por ejemplo, dados P1=(3;4) y P2=(-2;6), la rectaque pasa por ambos puntos ser:
46
4
32
3
yx
2
4
5
3
yx
5423 yx 20562 yx
yx
5
2062
5
26
5
2 xy
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17/425
26
5
2 xy
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Para hallar la ecuacin de una recta, dadosun punto (x1,y1) y la pendiente m, hacemos:
)( 11 xxmyy
Ejemplo: Hallar la recta de pendiente 3 que pasa porel punto (1;-4).
)1(34 xy
73
xy
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Dos rectas son paralelas si tienen la mismapendiente.
Dos rectas son perpendiculares si suspendientes son inversas y de signo opuesto.
21
1
mm
Rectas Paralelas y Perpendiculares
21 mm
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Funciones definidas por partesLas llamamos as a las funciones que estn definidas por
intervalos.Ejemplo:
3
22
)(
x
x
xf1
1
x
x
Estas funcionespueden definirse endos o ms intervalos.
Sobre ecti a No in ecti a No sobre ecti a In ecti a
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Sobreyectiva No inyectiva No sobreyectiva Inyectiva
Biyectiva No sobreyectiva No inyectiva
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Funcin Inversa
Una funcin biyectiva admite funcin inversa.Si la funcin es f a su funcin inversa la llamaremos f-1
Las grficas de una funcin y su inversa son simtricas
respecto a la recta identidad, es decir, a la recta y = x.
La funcin azul es y=ln(x)
La funcin verde es y= ex
La funcin violeta es larecta identidad y = x
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La funcin azul es y=3x+4
La funcin verde es y= 1/3 x 4/3
La funcin violeta es la recta identidad y = x
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La siguiente es la grfica de la funcin y = x2
Esta funcin tiene inversa?
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Funcin Valor Absoluto
xxf )(
Equivale a
x
xxxf )(
Si
Si 0
0
x
x
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Funcin Valor Absoluto
xxf )(
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Una funcin es PAR si cumple que: f(x) = f(-x), para todos los x
del dominio.)()(: xfxfDx
Funcin Par
Es decir si su grfica
es simtrica respectodel eje yCon lo que seproduce unasimetra.
Las funciones paresdefinidas porpolinomios de gradopar, no tienen
funcin inversa.
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Una funcin es IMPAR si cumple que: f(x)= -f(-x), para todos
los x del dominio.)()(: xfxfDx
Funcin Impar
Con lo que se
produce unasimetra conrespecto al origende coordenadas.De la mismamanera para todafuncin impardefinida en elpunto "0" se tiene
que f(0)=0.
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Funcin Polinmica
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxfn
nn
nn
n
Si n=0 se tiene entonces funcin constante
Si n=1 se tiene entonces funcin lineal
Si n=2se tiene entonces
funcin cuadrtica
0)( axf
01)( axaxf
01
2
2)( axaxaxf
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Funcin Cuadrtica
cbxaxxf 2)(
Usaremos para este caso una notacin muy comn
Ejemplos
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Funcin Cuadrtica54)( 2 xxxf )5)(1( xx 9)2(
2 x
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Funciones Racionales
)(
)()(
xQ
xPxf
Siendo y funciones polinmicas)(xP )(xQ
F i P idi
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Funcin PeridicaFuncin que repite el mismo valor a intervalos regulares dela variable.
Una funcin f(x) es peridica si existe un nmero p tal quepueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x.
Donde P es el perodo.
)()( Pxfxf
Ejemplo:
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Funciones Trigonomtricas
Una funcin trigonomtrica, tambin llamada circular,es aquella que se define por la aplicacin de una razntrigonomtrica a los distintos valores de la variable
independiente, que ha de estar expresada en radianes.
Existen seis clases de funciones trigonomtricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secantey cosecante
Funcin Seno
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Funcin SenoSe denomina funcin seno, y se denota por f (x) = sen(x), a laaplicacin de la razn trigonomtrica seno a una variable independiente x
expresada en radianes. La funcin seno es peridica, acotada y continua, ysu dominio de definicin es el conjunto de todos los nmeros reales.
Perodo: Df: Im: [-1,1]2 ),(
Funcin Coseno
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Se denomina funcin coseno, y se denota por f (x) = cos(x), a laaplicacin de la razn trigonomtrica coseno a una variable independiente xexpresada en radianes. La funcin coseno es peridica, acotada y continua,y su dominio de definicin es el conjunto de todos los nmeros reales.
Perodo: Df: Im: [-1,1]
Funcin Coseno
2 ),(
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Funcin Tangente)cos(
)()tan(
x
xsenx
No es continua. No se define en todos los reales, ya que hayvalores para los cuales no existe. Su perodo es y suimagen son todos los reales.
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Funcin Exponencial
xaxf )(
Se llaman funciones
exponenciales a lasfunciones de la forma
10 aya
1a
10 aRDom RIm
x
xf 2)(
x
xf
2
1)(
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Funcin Logartmica
Se llaman funcioneslogartmicas a lasfunciones de laforma
donde "a" esconstante (un
nmero) y sedenomina la basedel logaritmo.
Y = logax
xxfa
log)(
10 aya
Composicin de Funciones
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Composicin de Funciones
Una funcin compuesta es una funcin formada por la
aplicacin sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplicasobre el argumento la funcin ms prxima al mismo, y alresultado del clculo anterior se le aplica finalmente la funcinrestante.Formalmente, dadas dos funciones f: X Yy g: Y Z, donde
la imagen de fest contenida en el dominio de g, se define lafuncin composicin (g f): X Zcomo (g f)(x) = g(f(x)),para todos los elementos x.
zyx
))(()( xfgxfx A g fse le llama composicin de f y g.Nota: se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el
orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Composicin de Funciones
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Composicin de FuncionesTambin se la llama Funcin Compuesta.
El dominio de la funcin compuesta es igual aldominio de la primera funcin que aplicamos.
Ejemplo: f o g
Dadas:2
)(/:)(/),0[: xxfRRfxxgRg
xxxgfxfogRfog 2
)())(())(/(),0[:)(
DfRIg ),(),0[
Observacin: D(f o g)=Dg
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xxgRgxxfRRf )(/),0[:)(/:2
Ejemplo: g o f (Vamos a usar las mismas funciones delejemplo anteriorDadas:
)()( foggof
No existe (gof) es decir no existe2))(( xxfg
Observacin: DgIf ),0[)0,(