AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA. UNIDAD 3

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se

plantea en cada caso.

1. Es todo valor real o imaginario que al reemplazarlo por x en una ecuación hace que esta tome un

valor cero:

a) Igualdad a cero b) Raíz de una ecuación c) Identidad d) Ecuación

2. El proceso utilizado para determinar las raíces en una ecuación se llama:

a) Resolución b) Factorial de un numero c) Multiplicidad de raíces d) Función simétrica

3. En una ecuación Mónica, los coeficientes de las sucesivas potencia de x se identifican como:

a) Transformación de ecuación b) Teorema de las raíces irracionales cuadráticas

b) Teorema de las raíces complejas d) Funciones simétricas elementales

4. Permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación racional entera

con coeficientes reales:

a) La regla de los signos de Descartes b) Teorema de las raíces complejas

b) Acotación de raíces d) Ninguna de las anteriores

5. Permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica

a) Teorema de Ruffini b) Regla de Laguerre c) Teorema de Bolzano d) Ninguna de las anteriores

6. Dadas las raíces 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = 4 ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?

a) 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 c) 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 d) 𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

7. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 7𝑥2 − 23𝑥 − 13 = 0 ¿Cuál es la ecuación de raíces recíprocas que le corresponde?

a) 13𝑥4 + 23𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0 b) 13𝑥4 − 23𝑥3 − 7𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

c) - 13 𝑥4 − 23𝑥3 − 7𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 d) - 13𝑥4 −23𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0

8. El intervalo de acotación de la ecuación 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 + 5𝑥4 − 11𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0

a) I = (-3,1 ) b) I= (-2, 1) c) I = ( -1, 1) d) I = ( -3, 2)

9. Si un binomio irracional cuadrático (a+√𝑏 ) es raíz de la ecuación F(x) = 0 con coeficientes racionales

entonces el binomio irracional cuadrático (a-√𝑏 ) también es raíz de la ecuación

a) Teorema de las raíces simples b) Teorema de las raíces complejas

c) Teorema de raíces múltiples d) Teorema de las raíces irracionales cuadráticas

10. Transformar la ecuación 𝑥6 − 3𝑥5 − 28𝑥4 + 82𝑥3 + 81𝑥2 − 175𝑥 − 150 = 0 en otra cuyas raíces estén

aumentadas en uno

a) 𝑥6 + 12𝑥5 − 357𝑥4 − 24𝑥3 + 85𝑥2 + 𝑥 − 253 = 0

b) 𝑥6 − 157𝑥5 + 13𝑥4 + 15𝑥3 + 64𝑥2 + 45𝑥 − 10 = 0

c) 𝑥6 + 3𝑥5 − 28𝑥4 − 40𝑥3 + 144𝑥2 + 112𝑥 − 192 = 0

d) 𝑥6 − 9𝑥5 + 2𝑥4 + 144𝑥3 − 288𝑥2 = 0

11. Una ecuación de tercer grado su grafica es:

a) Una parábola b) Una recta c) Una hipérbola d) Ninguna de las anteriores

12. Los puntos donde corta una gráfica de una ecuación el eje real son :

a) Los factores b) Las raíces reales c) Las raíces Imaginarias d) Ninguna de las anteriores

13. La expresión x+3 = 5 corresponde a:

a) Identidad b) Proporción c) Ecuación d) Ninguna de las anteriores

14. Las raíces de la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0 son:

a) x = 2 b) x= -2 c) x = -2 , x = 2 d ) (x+2)(x+2)

15. Al resolver la ecuación 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 = 0 las raíces que resultan son:

a) Dos reales positivas y una nula b) Dos complejas y una nula

c) Dos reales negativas y una nula d) Dos nulas y una imaginaria

16. El resultado de igualar a cero un polinomio es:

a) Una ecuación b) Polinomio Mónico c) Identidad d) Ninguna de las anteriores

17. Los valores que satisfacen una ecuación reciben el nombre de:

a) Raíces de una ecuación b) Solución de una ecuación

c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores

18. La ecuación que se obtiene al dividir la ecuación original entre uno de sus factores recibe el nombre

de:

a) Ecuación degradada b) Ecuación Mónica c) Polinomio recíproco d) Ninguna de las anteriores

19. Toda ecuación polinómica de grado n posee:

a) una raíz b) n raíces c) ( n-1) raíces d) Ninguna de las anteriores

20. Conocida una ecuación y una degradada de ella , la raíz que satisface la ecuación original y al

menos una de sus ecuaciones degradadas se identifica como:

a) Raíz múltiple b) Raíz simple c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores

21. Cuantas variaciones de signo posee el polinomio 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1

a) Una variación b) Tres variaciones c) dos variaciones d) Cuatro variaciones

22. Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus derivadas sucesivas hasta un

cierto número de ellas

a) Teorema de las raíces múltiples b) Transformación de ecuación

c) Teorema de raíces irracionales d) Teorema de las raíces racionales

23. La ecuación de raíces opuestas a la ecuación dada 𝑥5 − 3𝑥4 + 4𝑥 − 1 = 0 es:

a) 𝑥5 + 3𝑥4 − 4𝑥 + 1 = 0 b) 𝑥5 − 3𝑥4 − 4𝑥 + 1 = 0

c) 𝑥5 + 3𝑥4 + 4𝑥 − 1 = 0 d) 𝑥5 + 3𝑥4 + 4𝑥 + 1 = 0

24. Cuales son todos los divisores de 15

a) ±1; ±2; ±3; ±15 b) ±3; ±5 c) ±1; ±3; ±5; ±15 d) ) ±1; ±3; ±15; ±30

25. En la ecuación −13𝑥4 + 23𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0 podemos decir que 𝑎𝑛 es:

a) 1 b) 13 c) -1 d) -13

26. Todo número imaginario que al reemplazarlo por x en la ecuación hace que sea igual a cero se llama:

a) Termino independiente b) Factores de una ecuación

c) Raíz de una ecuación d) Ninguna de las anteriores

27. Dada la ecuación 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 sus factores son:

a) (x+3) (x-2) =0 b) x= -3 ; x= 2 c) (x+1)(x+6) = 0 d) a y b son correctas

28. Dada la ecuación 𝑥2 + 6𝑥 = 0 la ecuación transformada de raíces opuestas es

a) −𝑥2 − 6𝑥 b) 𝑥2 − 6𝑥 c) 𝑥2 + 6𝑥 d) −𝑥2 + 6𝑥

29. Si acotamos las raíces reales de una ecuación estamos determinando:

a) Las raíces opuestas de una ecuación b) Un intervalo positivo

c) Un intervalo negativo d) El intervalo de acotación

30. Toda ecuación de raíces múltiples reales o complejas puede expresarse:

a) Factorizada b) En un intervalo real c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores

31. El proceso usado para encontrar dos números L’ ≤ 0 ; L≥ 0 llamados respectivamente cota superior e

inferior se identifica como:

a) Binomio irracional cuadrático b) Teorema de las raíces complejas

c) Acotación de raíces reales d) Ninguna de las anteriores

32. Teorema que fue demostrado por primera vez por el llamado Príncipe de las matemáticas

a) Teorema de Bolzano b) Teorema fundamental del algebra

c) Teorema de las raíces múltiples d) Teorema de las raíces racionales

33. El número máximo de raíces positivas , negativas y complejas de una ecuación racional entera y

coeficientes reales se determina mediante:

a) Descomposición factorial b) Raíces irracionales cuadráticas

c) Regla de los signos de Descartes d) Teorema de Bolzano

34. A partir de la ecuación 4𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 la ecuación Mónica equivalente es:

a) 𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 b) 𝑥3 −1

2𝑥2 +

1

2𝑥 −

1

4= 0

c) 𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0 d) 𝑥3 +1

2𝑥2 +

1

2𝑥 +

1

4= 0

a+2𝑥4 + 7𝑥3 − 3𝑥2 35. A partir de la ecuación 4𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 el término 𝐴0 =

a) −1

4 b) -1 c) 1 d)

1

4

36. A partir de la ecuación 4𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 el termino 𝐴2 =

a) −1

2 b) -2 c) 2 d)

1

2

37. A partir de la ecuación 4𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 el termino 𝐴0 =

a)(−1)3𝑥1𝑥2𝑥3 b) (−1)(𝑥1 +𝑥2 + 𝑥3) c) 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥2𝑥3 d) 𝑥1 +𝑥2 + 𝑥3

38. Un número es raíz múltiple de una ecuación si:

a) Se anula la ecuación y sus derivadas sucesivas hasta un cierto número de ellas

b) Si sus raíces son complejas c) Si sus raíces son nulas d) x= 4

39. En la transformación de ecuaciones para raíces opuestas en una ecuación de grado impar:

a) Se cambian los signos a los términos de grado par b) A todos los términos

c) Se cambian los signos a los términos de grado impar d) Ninguna de las anteriores

40. En la transformación de ecuaciones para raíces opuestas en una ecuación de grado par:

a) Se cambian los signos a los términos de grado par b) A todos los términos

c) Se cambian los signos a los términos de grado impar d) Ninguna de las anteriores

41. Dada la ecuación 2𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 − 8 = 0 la ecuacion de raíces reciprocas es:

a) 8𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 b) −8𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0

c) −8𝑥4 − 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 d) −8𝑥4 + 4𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

42. Dada la ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 0 el intervalo de acotación es:

a) I= (-4, 3) b) I = (-3, 2) c) I = (-3, 1) d) I = (-2, 2)

43. Conocido f(x) = 3𝑥3 − 4𝑥2 − 35𝑥 + 12 = 0 la ecuación transformada que posee raíces aumentadas en

dos unidades es:

a) −𝑥3 + 19𝑥2 − 11𝑥 + 30 = 0 b) 𝑥3 − 4𝑥 = 0

c) 3𝑥3 + 8𝑥2 − 𝑥 + 42 = 0 d) 3𝑥3 − 8𝑥2 − 53𝑥 − 42 = 0

44. Podemos identificar las raíces reales de una ecuación algebraica mediante:

a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano c) Regla de Laguerre d) Descartes

45. La identificación de las raíces irracionales de una ecuación algebraica se pueden determinar mediante:

a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano c) Regla de Laguerre d) Descartes

46. La identificación de las raíces racionales de una ecuación algebraica se pueden determinar mediante:

a) Metodo de Ruffini-Horner b) Teorema de Bolzano

c) Regla de Laguerre d) Teorema de las raíces racionales

47. La cota superior de la ecuación 6𝑥3 + 11𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0 es:

a) -3 b) 0 c) 1 d) 3

48. Las raíces racionales de la ecuación 𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 − 28𝑥 − 15 = 0 son:

a) (x-3) ( x+5)(x+1)(x+1) b) 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 3; 𝑥3 = 5 ; 𝑥4 = −15

c) 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −5; 𝑥3 = −1; 𝑥4 = −1 d) a y c son correctas

49. Las raíces racionales de la ecuación 𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 + 28𝑥 − 15 = 0 son:

a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b) 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 1; 𝑥3 = 5 ; 𝑥4 = 1

c) 𝑥1 = − 3 ; 𝑥2 = − 5; 𝑥3 = −1; 𝑥4 = 1 d) a y c son correctas

50. ¿Qué podemos calcular por el método de Ruffini-Horner?

a) Raíces transformadas b) Raíces irracionales c) Raíces recíprocas d) Raíces nulas

51. Las raíces irracionales de la ecuación 𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 + 28𝑥 − 15 = 0 son:

a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b) 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 1; 𝑥3 = 5 ; 𝑥4 = 1

c) 𝑥1 = − 3 ; 𝑥2 = − 5; 𝑥3 = −1; 𝑥4 = 1 d) No posee

52. Las raíces recíprocas de la ecuación 𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 + 28𝑥 − 15 = 0 son:

a) (x+3) ( x-5)(x-1)(x-1) b) 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 1; 𝑥3 = 5 ; 𝑥4 = 1

c) 𝑥1 = −1

3 ; 𝑥2 =

1

5 ; 𝑥3 = 1; 𝑥4 = 1 d) 𝑥1 =

1

3 ; 𝑥2 = −

1

5 ; 𝑥3 = 1; 𝑥4 = 1

53. Un número es raíz múltiple de una ecuación si anula la ecuación y sus sucesivas derivadas hasta:

a) Estrictamente -1 b) Estrictamente 0 c) Estrictamente 1 d) Cierto número de ellas

54. Las raíces de una ecuación que aparecen más de una vez en una descomposición factorial se denominan:

a) Raíces múltiples b) Raíces simples c) Raíces nulas d) Ninguna de las anteriores

55. Es el teorema que establece que si un binomio irracional cuadrático (a+√ 𝑏) es raíz de la ecuación f(x)=0

con coeficientes racionales, entonces el binomio irracional cuadrático también es raíz.

a)Teorema de la raíz cuadrática b)Teorema de las raíces irracionales cuadráticas.

c) Teorema de factorización. d)Teorema Ruffini-Horner.

56. Son la raíces de P(x)=3x5 - 4x4 - 38x3 + 16x2 + 35x – 12 = 0

a)X1 =3, X2 = -3, X3 = 1, X4 = -1, X5 = 4 b) X1 =1, X2 = -1, X3 = -3, X4 = 4, X5 = 1/3

c) X1 =3, X2 = 4, X3 =6, X4 = -3, X5 = ½ d) X1 =6, X2 =3, X3 = 1, X4 = 7, X5 = 1/3

57. Toda ecuación racional entera con una incógnita tiene por lo menos una raíz real o imaginaria según:

a)Teorema fundamental de algebra. b)Teorema de la descomposición factorial.

c)Regla de Descartes. d)Teorema de las raíces múltiples.

58. Permite determinar el número máximo de raíces positivas y negativas de una ecuación racional entera

con coeficientes reales.

a) Regla de Laguerre. b) Teorema de Bolzano.

c) Regla de los signos de Descartes. d) Teorema de las raíces racionales.

59. Toda ecuación de grado “n” tiene “n” y no más de “n” raíces reales o imaginarias según el Teorema:

a) De Bolzano. b) De la descomposición factorial.

c) Fundamental del algebra. d) De las raíces múltiples.

60. Dadas las raíces 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = − 4 ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?

a) 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0 c) 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 d) 𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

61. Dadas las raíces 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 5 , 𝑥3 = 0 ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?

a) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 b) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0 c) 𝑥3 − 7𝑥2 + 10𝑥 = 0 d) 𝑥3 + 7𝑥2 − 10𝑥 = 0

62. Dadas las raíces 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = −5 , 𝑥3 = 0 ¿Cuál es la ecuación que le corresponde?

a) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 b) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0 c) 𝑥3 − 7𝑥2 + 10𝑥 = 0 d) 𝑥3 + 7𝑥2 + 10𝑥 = 0

63. Dada la ecuación 𝑥3 − 7𝑥2 + 10𝑥 = 0 ¿Cuál es el intervalo de acotación de la ecuación?

a) I= ( -4, 4) b) I = (-3, 2) c) I = (0, 7) d) I = [0, 5)

64. Dada la ecuación 𝑥3 + 7𝑥2 + 10𝑥 = 0 ¿Cuál es el intervalo de acotación de la ecuación?

a) I= ( -4, 4) b) I = (-3, 2) c) I = (0, 7) d) I = [-7, 0)

65. Transformar la ecuación 𝑥6 − 3𝑥5 − 28𝑥4 + 82𝑥3 + 81𝑥2 − 175𝑥 − 150 = 0 en otra cuyas raíces estén

Disminuidas en uno

a) 𝑥6 + 12𝑥5 − 357𝑥4 − 24𝑥3 + 85𝑥2 + 𝑥 − 253 = 0

b) 𝑥6 − 157𝑥5 + 13𝑥4 + 15𝑥3 + 64𝑥2 + 45𝑥 − 10 = 0

c) 𝑥6 + 3𝑥5 − 28𝑥4 − 40𝑥3 + 144𝑥2 + 112𝑥 − 192 = 0

d) 𝑥6 − 9𝑥5 + 2𝑥4 + 144𝑥3 − 288𝑥2 = 0

67. La cota superior de la ecuación 6𝑥3 + 11𝑥2 − 3𝑥 − 25 = 0 es:

a) 0 b) 1 c) 15 d) 2

68. La cota inferior de la ecuación 6𝑥3 + 11𝑥2 − 3𝑥 − 25 = 0 es:

a) -3 b) -1 c) 0 d) -2