unidad 3 distribución discreta y continua

5/10/2018 Unidad 3 Distribuci n discreta y continua - slidepdf.com

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Unidad: 3

Distribución de probabilidades discretas y continuas.

Variable aleatoria.

Es una descripción numérica del resultado de un experimento.

Variables aleatorias discretas.

Son las variables aleatorias que pueden tomar un número finito de valores o un númeroinfinito de valores en una sucesión.

Ejemplos:

Experimento Variable aleatoria (x) Valores posibles (x)Llamar a cinco clientes Número de clientes que

hacen un pedido0, 1, 2, 3, 4, 5

Inspeccionar envío de 50 piezas Números de piezas quetienen algún defecto

0, 1, 2, …49, 50

Hacerse cargo de laadministración de un restaurantedurante un día

Número de clientes 0,1,2,3,..10,11,…

Observar los automóviles quellegan a las cabina de peajes Número de automóviles quellegan a la cabina en un día 1, 2,..50,..1000..

Variables aleatorias continuas.

Toma cualquier valor numérico dentro de un intervalo o de una colección deintervalos. Los resultados experimentales basados en escalas de medición tales comotiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatoriascontinuas.

Ejemplos:

Experimento Variable aleatoria (x) Valores posibles (x)Operar un banco Tiempo en minutos entre la llegada de

los clientesx≥ 0

Llenar un botella degaseosa

Cantidad de cm3 0≤ x ≤ 1000

Construir una biblioteca Porcentaje del proyecto terminado enseis meses

0≤ x ≤ 100

Probar un procesoquímico nuevo

Temperatura a la que tiene lugar lareacción deseada

150°≤ x ≤ 212°



Un modo de determinar si una variable aleatoria es discreta o continua es imaginar losvalores de la variable aleatoria como puntos sobre un segmento de la recta. Elegir dospuntos que representen valores de la variable aleatoria. Si todo el segmento de larecta entre esos dos puntos representa también valores posibles para la variablealeatoria, entonces la variable aleatoria es continua.

Distribuciones de probabilidad discretas.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyenlas probabilidades entre los valores de la variable aleatoria.En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad estádefinida por una función de probabilidad, denotada por “f(x)”.La función de probabilidad da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.

Ejemplo:

Una concesionaria de autos vende durante los últimos 300 días. Los datos muestranque durante 54 días no se vendió ningún automóvil, 117 días en los que vendió 1automóvil por día, 72 días en los que vendió 2 autos, 42 días en los que vendieron 3autos, 12 días en los vendieron 4 automóviles y 3 días en los que vendieron 5automóviles.Definimos la variable aleatoria como x= número de autos vendidos en un día, deacuerdo a los datos del pasado se sabe que x es una variable aleatoria discreta quepuede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En la notación de funciones de probabilidadf(0) da la probabilidad de vender 0 automóviles. Y así sucesivamente con las otras. Laprobabilidad de vender en un día 0 automóvil es = 54/300 = 0,18, se arma una tabla

y se asignan las probabilidades.

x f(x)0 0,181 0,392 0,243 0,144 0,045 0,01Total 1

Se observa las probabilidades de la variable aleatoria x satisfacen las condiciones

requeridas para un función de probabilidad o sea que f(x) sea igual o mayor a 0 y lasuma de las probabilidades sean iguales a 1.

CONDICIONES REQUERIDAS PARA UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

• f(x) ≥ 0• ∑ f(x) = 1



Se pueden representar gráficamente, en el eje horizontal los valores de la variablealeatoria x y en el eje vertical aparecen las probabilidades correspondientes a estosvalores.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAES DISCRETAS

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4 5

Ventas diarias

P r o b a b i l i d a d

d e

v e n t a s

d i a r i a s

Además de tablas y gráficos, para describir las funciones de probabilidad se suele usar una fórmula que da el valor de la función de probabilidad f (x), para cada valor de x.

Ejemplo.

Si en el experimento que consiste en lanzar un dado se define una variable aleatoria x como el número de puntos en al cara del dado que cae hacia arriba. En esteexperimento la variable aleatoria toma n = 6; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; la función de

probabilidad de esta variable aleatoria uniforme discreta esf(x) = 1/ 6 x= 1, 2, 3, 4, 5, 6

x f(x)

1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/6

6 1/6

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME DISCRETA

f(x) = 1 / n

n = números de valores que puede tomar la variable aleatoria



Las funciones de probabilidad discreta más empleadas suelen especificarse mediantefórmulas. Las principales son:

• Distribución binomial• Distribución de Poisson• Distribución hipergeométrica

Valor esperado

El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la localizacióncentral de la variable aleatoria.

La ecuación indica que para calcular el valor esperado de una variable aleatoriadiscreta se multiplica cada valor de la variable aleatoria por su probabilidadcorrespondiente f (x).Volviendo al ejemplo de las ventas de autos, tenemos:

x f(x) x . f(x)

0 0,18 0. (0,18)= 0,001 0,39 1. (0,39)= 0,392 0,24 2. (0,24)= 0,483 0,14 3. (0,14)= 0,424 0,04 4. (0,04)= 0,165 0,01 5. (0,01)= 0,05

1,50

E(x) = µ = ∑ x. f(x) = 1,50

Indica que el valor esperado es de 1,50 automóviles por día.Si en el mes hay 30 días podemos pronosticar que las ventas promedio mensualesserán de 30 (1,50) = 45 autos.

Varianza

Medida de variabilidad o dispersión su utiliza para resumir la variabilidad en los valoresde la variable aleatoria.

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

E(x) = µ = ∑ x. f (x)

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Var(x) =σ 2 = ∑ (x - µ )2 f(x)



Para el caso de venta de autos, la varianza es la siguiente:

x x - µ (x - µ )2 f(x) (x - µ )2 f(x)

0 0 – 1,50 = -1,50 2,25 0,18 2,25 (0,189= 0,40501 1 - 1,50 = -0,50 0,25 0,39 0,25 (0,39)=0,0975

2 2 – 1,50 = 0,50 0,25 0,24 0,25 (0,24)= 0,06003 3 - 1,50= 1,50 2,25 0,14 2,25 (0,14)= 0,31504 4 - 1,50= 2,50 6,25 0,04 6,25 (0,04)= 0,25005 5 - 1,50= 3,50 12,25 0,001 12,25 (0,01)= 0,1225

1,2500

σ 2 = ∑ (x - µ )2 f(x) = 1,2500

La desviación estándar σ , se define como a raíz cuadrada positiva de la varianza.

σ = √1,25 = 1,1180

Distribución de probabilidad binomial

La distribución de probabilidad binomial es una distribución que tiene muchasaplicaciones. Esta relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se lellama experimento binomial.

Propiedades de un experimento binomial:

1) El experimento consiste en una serie de “n” ensayos idénticos.2) En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le

llama éxito y al otro fracaso.3) La probabilidad de éxito, que se denota “p”, no cambia de un ensayo a otro. Por

ende, la probabilidad de fracaso, que se denota “1 –p” , tampoco cambia de unensayo a otro.

4) Los ensayos son independientes.

“Lo que interesa en un experimento binomial es el número de éxitos en “n” ensayos, si

“x” denota el número de éxitos en “n” ensayos, es claro que x tomará valores 0, 1, 2, 3,……., “n” dado que el número de estos valores es finito, “x” es una variable aleatoriadiscreta.”

DESVIACIÓN ESTANDAR

σ =√σ2



A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se la llama“distribución de probabilidad binomial” .

Ejemplo:“lanzar una moneda cinco veces y observar si la cara de la moneda cae hacia arriba o

hacia abajo (ceca).

Si analizamos si cumple con las propiedades de un experimento binomial y ¿cuál es lavariable aleatoria?

Tenemos:a) El experimento consiste en cinco ensayos idénticos, cada ensayo es lanzar una

moneda. b) En cada ensayo hay dos resultados posibles: “cara o ceca”. Se puede

considerar cara como “éxito” y ceca como “fracaso”.c) La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son iguales en todos los

ensayos, siendo p= 0,5 y 1-p = 0,5.d) Los ensayos o lanzamientos son independientes porque al resultado de un

ensayo no lo afecta que pasa en los siguientes lanzamientos.

Por lo tanto, se satisfacen las propiedades de un experimento binomial. La variablealeatoria que interesa es “x = números de caras” que aparecen en cinco lanzamientos.En este caso “x” puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ó 5.

Otro ejemplo:

Consideremos las decisiones de compra de los próximos 3 clientes de un negocio deventa de ropas. De acuerdo con la experiencia, el gerente del local estima que laprobabilidad que un cliente realice una compra es = 0,30. ¿Cuál es la probabilidad que2 de los próximos 3 clientes realice una compra?

Entonces se verifican primero las propiedades del experimento binomial:

a) Es posible describir el experimento como una serie de tres ensayos idénticos, unensayo por cada uno de los clientes que llegan al local.

b) Cada ensayo tiene dos posibles resultados: el cliente hace una compra (éxito) oel cliente no hace ninguna compra (fracaso).

c) La probabilidad que el cliente haga una compra (0,30) o que no haga ningunacompra (0,70) se supone que es la misma para todos los clientes.d) La decisión de comprar de cada cliente es independiente de la decisión de

comprar de los otros clientes.

Podemos realizar un diagrama de árbol de experimento para observar a los tresclientes para ver si cada uno de ellos decide realizar una compra, tiene ocho posiblesresultados.Denotamos con “E” como éxito (compra) y “F” fracaso (no compra), lo que interesa sonlos resultados experimentales en los que haya “2 éxitos” (decisiones de compra) enlos tres ensayos.



Diagrama de arbol

Primer Cliente

SegundoCliente

Tercer Cliente

ResultadoExperimental

Valor de x

E (E; E; E) 3

EF (E; E; F) 2

E F E(E; F; E) 2

F (E; F; F) 1

F

E(F; E; E) 2

EF F; E; F) 1

F

E(F; F; E) 1

F

(F; F; F) 0

El diagrama nos indica en los resultados experimentales que hay dos compra, elnúerode maneras posibles x =2 éxitos en n= 3 ensayos.

Función de probabilidad binomial.

f(x) = nC x . p x (1 – p)(n-x)

f(x)= n! p x

(1 – p)(n-x)

x! (n- x)!

Donde:

f(x )= probabilidad de x éxitos en n ensayosn = números de ensayos p= probabilidad de éxitos en cualquiera de los ensayos1 – p= probabilidad de un fracaso en cualquiera de los ensayos.

Siguiendo con el mismo ejemplo podemos calcular la probabilidad de que el local de

ropa que ningún cliente compre; que exactamente un cliente realice una compra; queexactamente dos clientes realicen una compra y que tres clientes realicen una compra.



x f(x)

0 3! (0,30)0(0,70)3 = 0,343

0! 3!

1 3! (0,30)

1

(0,70)

2

= 0,4411! 2!

2 3! (0,30)2(0,70)1 = 0,189

2! 1!3 3! (0,30)3(0,70)0 = 0,027

3! 0!

Total 1,000

Representación gráfica

Distribución Probabilidad Binomial

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,250,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 1 2 3

Número de clientes que hace n una compra

P r o b a b i l i d

a d

La función de probabilidad binomial es aplicable a cualquier experimento binomial. Siencuentra que una situación presenta las propiedades de un experimento binomial yconoce los valores de “n” y “p” se usa la ecuación para calcular la probabilidad de “ x”

éxitos en “n” ensayos.



Uso de la tabla Binomial

Halle la probabilidad que lleguen al local de ropa 10 clientes o sea n0 10 y que x= 4;p= 0,30

f(x)= n! p x (1 – p)(n-x)

x! (n- x)!

f(4) = 10! (0,30)4 (0,70)6 = 0,20014!6!

Por la tabla se comienza a buscar por la n= 10 ; luego se identifica la x= 4; se sigue elrenglón hasta hallar la p= 0,30 y el resultado nos da 0,2001.

Otro ejemplo:

n= 20x = 0, 1, 2p= 0,10

f(x≤2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,1216 + 0,2702 + 0.2852 = 0,6670

Valor esperado binomial

Si la variable aleatoria tiene una distribución binomial en la que se conoce el número deensayos “n” y la probabilidad de éxitos “p”, la fórmula es la siguiente:

Continuando con el ejemplo del local de ropa el gerente pronostica para el próximomes que 1000 clientes visitaran el negocio. ¿Cuál es el número esperado de clientesque harán una compra? Aplicando la formula del valor esperado sería.

VALOR ESPERADO BINOMIAL

E (x) = µ = n.p



E(x) = µ = n. pE(x) = (1000) (0,30) = 300 clientes.

Varianza y desviación estándar en la distribución binomial

Para los próximos 1000 clientes que visiten el local de venta la varianza y el desvíoestándar será de:

σ 2 = n. p (1 – p) = (1000) (0,30) (1 – 0,30) = 210

σ = σ 2 = 210 = 14,49

Características y usos del distribución binomial.

1) Cuando “n” es pequeña y “p” también , o sea cuando “p” es menor a 0,50.

2) Cuando “n” es pequeña y “p” grande o sea mayor a 0,50

3) Cuando “p” = 0,50 y/o “n” es grande.

4) No es una distribución simétrica.

5)%972/

%751/

=−+

=−+

σ µ

σ µ

Distribución de probabilidad de Poisson

VARIANZA Y DESVIO ESTANDAR

Var (x) = σ 2 = n. p (1 – p)

Desvío estándar = σ = σ 2



Estudia a una variable aleatoria discreta que se suele utilizar para estimar el número deveces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o deespacio.

Propiedades del experimento de Poisson.

1) La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de los intervalos dela misma magnitud.

2) La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de laocurrencia o no-ocurrencia en cualquier otro intervalo.

El número de ocurrencias x , no tiene limite superior, es una variable discreta que tomalos valores de una sucesión infinita de números ( x =0, 1, 2; …….)

Ejemplo.

Suponga que desea saber el número de personas que llegan en un lapso de 15minutos al cajero automático de un banco, en un análisis de datos pasados seestablece que el número promedio de personas que llegan en un lapso 15 minutos esde 10 personas.Verificada el cumplimiento de las propiedades. Y la administración quiere saber laprobabilidad que lleguen exactamente 5 personas en 15 minutos, x = 5 y se obtiene:

f (5) = 105 e- 10 = 0,03785!

µ = 10 x = 5

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON

f(x) = µ x e- µ

x!

f(x)= probabilidad de x ocurrencias en un intervalo µ = número medio de ocurrencias en un intervaloe= 2,71828



Suponga que desea calcular la probabilidad que llegue 1 persona en un lapso de 3minutos. Entonces es la siguiente, como 10 personas es el número esperado dellegada en 15 minutos debemos realizar lo siguiente 10 /15 = 2/3 es el númeroesperado de personas en un lapso de 1 minuto. Entonces debemos multiplicar 2/3 (3)

= 2 es el número esperado en 3 minutos. Por consiguiente la probabilidad de llegadas x en un lapso de 3 minutos con µ = 2, está dada por siguiente función deprobabilidad de Poisson.

f(x) = 2x e-2 = f(1)= 2 e – 2 = 0,2707x! 1!

Varianza y desviación estandar

Una propiedad de la distribución de Poisson es que la media y la varianza son iguales,entonces tenemos que

µ = σ 2 , por lo tanto la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de lavarianza o sea, σ = √σ2

µ +- σ = contiene el 71% de las probabilidades µ +- 2 σ = contiene el 96% de las probabilidades

Distribución de probabilidad continua.



Las funciones de probabilidad correspondientes a una variable aleatoria continuareciben el nombre de funciones de densidad de probabilidad o simplemente funcionesde densidad. Si en un experimento puede dar lugar a un número infinito y noenumerable de resultados, estamos frente a una variable aleatoria continua. Cuando elvalor de una variable aleatoria “se mide y no se cuenta” queda definida como una

variable aleatoria continua.

Ejemplos:• Nivel de agua en un lago• La presión en una caldera• La distancia entre dos puntos• Temperaturas

• La cantidad de gramos en unacaja de cereales

• El tiempo de vuelo entre dosciudades.

El valor de la variable puede ser cualquiera de los infinitos números pertenecientes aun intervalo definido. Puede tomar cualquier valor entre dos límites.

Ejemplo:

Considere una variable aleatoria x que represente el tiempo de vuelo de un avión queviaja de Bs.As. a San Pablo. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el

intervalo de 120 minutos a 140 minutos. Dado que la variable aleatoria x tomacualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variablealeatoria discreta. Se admite que la probabilidad es la misma para todos los intervalosde 1 minuto dentro del mismo intervalo de tiempo, entonces se dice que tiene unadistribución de probabilidad uniforme. La función densidad es la siguiente:

En el caso de la variable tiempo de vuelo a = 120 y b= 140

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD UNIFORME

1 para b xa ≤≤

b – af(x)

0 en cualquier otro caso



f(x)

1/20

x120 130 140

Tiempo de vuelo en minutos

Área como medida de probabilidad.

La probabilidad en una función de densidad de probabilidad continua se representa por el área comprendida entre el eje x y la función de densidad. Por lo tanto la probabilidadde que la variable aleatoria continua tome cualquier valor puntual específico es igual a“0” cuando dicha variable es continua, las probabilidades son del tipo P( b xa ≤≤ ) quese refieren a intervalos.

En el caso del ejemplo anterior si queremos saber ¿Cuál es la probabilidad de quetiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Es decir P (120 ≤≤ x 130).Como el tiempo de vuelo debe estar entre los 120 y los 140 minutos y como se hadicho que la probabilidad es uniforme en este intervalo, es factible decir que la P(120

≤≤ x 130) = 0,50

f(x)

1/20

x120 130 140

Tiempo de vuelo en minutos

P( b xa ≤≤ ) = área bajo f(x) desde a hasta b

10



Dada la distribución uniforme del tiempo de vuelo y usando la interpretación de áreacomo probabilidad es posible contestar cualquier pregunta acerca de la probabilidadde los tiempos de vuelo.

¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?

• Ancho del intervalo es: 136 -128 = 8• Altura uniforme es 1/ 20• Entonces es 8 (1/20) = 0,40

Observe P (120 ≤≤ x 140) = 20 (1/20) = 1; es decir que el área total bajo la graficade f(x) es iguala 1.

Valor esperado y varianzaE(x) = µ, es la media, es la medida de posición central o punto de equilibrio de lafunción densidad.

V(x) = σ2 y el desvío estándar es σ = σ 2

Distribución de probabilidad normal También llamada distribución de Gauss, es la más conocida y utilizada de todas lasdistribuciones de probabilidad. Tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas en lascuales las variables aleatorias pueden ser el peso o la estatura de las personas,puntuaciones de exámenes, precipitación pluvial, longitud, altura, temperaturas, grosor de cuerpos, mediciones de glóbulos, aptitudes o capacidades humanas, etc.La forma de la curva de la distribución normal tiene forma de campana, a continuaciónse presente la función de densidad de probabilidad que define la curva en forma decampana de la distribución normal.

Propiedades de las funciones de densidad.

• f(x) ≥ 0; la función densidad nunca es negativa

• P ( +∞≤≤∞− x ) = 1 ; el área total bajo la función de densidadsiempre es igual a “1”



CURVA NORMAL

Las principales características de las distribución normal son.• Toda distribución normal se diferencia por medio de dos parámetros la media

“µ” y la desviación estándar “σ”.

• El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media “µ”, la cual

coincide con la mediana y la moda.

• La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo,positivo o cero.

• La distribución normal es simétrica. Las colas de la curva normal se extienden alinfinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dadoque es simétrica la distribución normal no es sesgada: su sesgo es =0.

• La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva.Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas, lo cualindica mayor variabilidad en los datos.

Función de densidad de probabilidad normal

f(x) = 1 e-(x-µ)2 / 2σ2

σ π 2

µ= media

σ= desviación estándar π = 3,14159e = 2,71828

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:DisNormal01.svg



• Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se danmediante áreas bajo la curva. Toda el área bajo la curva de una distribuciónnormal es “1”. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a laizquierda de la media es 0,50 y el área bajo la curva y a la derecha es 0,50.

• Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervaloscomúnmente usados son:

µ+- 1σ = 68,2% de los valores de una variable aleatoria normal.µ+- 2σ = 95,4% de los valores de una variable aleatoria normal.µ+- 3σ = 99,7 % de los valores de una variable aleatoria normal.

Distribución de probabilidad normal estándar.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Standard_deviation_diagram.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Normal_distribution_pdf.png



Una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media igual a “0” ydesviación estándar igual a “1”, tiene una distribución normal estándar. Para designar esa variable normal se suele usar la letra “z”

• µ = 0• σ = 1

Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad sehacen calculando el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. Parala distribución normal estándar ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curvanormal y se cuentan con tablas que dan esas áreas y que se usan para calcular lasprobabilidades.

Conversión a la variable aleatoria normal estándar

1) Convertimos el problema en otro equivalente con una variable medida en unidadesde desviación estándar que recibe el nombre de variable normal estandarizada

2) Se usa la tabla para tener respuesta al problema transformado.

3) Finalmente volviendo a las unidades originales de medida de x, podemos obtener larespuesta al problema original.

µ = 0 y σ = 1

FUNCION DE DENSIDAD NORMAL ESTANDAR

f(z) = 1 e –z2 / 2

π 2

Z= x - µ σ



Ejemplo:

µ = 10

σ = 2¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 10 y 14?

Z= 10 – 10 = 0 y Z= 14 -10 = 22 2

P ( 20 ≤≤ z ) = P ( 2≤ z ) - P( 0≤ z ) = 0,9772 – 0,5000 = 0,4772. Por lo tanto laprobabilidad que este x entre 10 y 14 es de 0,4772.

E(z) = E ( x-µ ) = 0

σ

V(z)= V ( x-µ ) = 1σ

Si nos dan z y hay que hallar “x” es igual a:

x = Z.σ + µ

Si hay que halar “µ” es igual a:

µ = Z . σ - x

Aproximación normal de las probabilidades binomiales.

Se utiliza la aproximación normal cuando tienen.

1) La misma media

µ= n . p

2) Misma varianza

σ2 = n. p .(1-p)

3) Se usa cuando los numero de observaciones tienden a infinito o sea cuando “n” esgrande en estas condiciones aseguran que la distribución normal permitirá obtener

una aproximación razonablemente buena de la binomial una buena aproximación sela considera cuando:



n≥ 30n . p ≥ 5n . (1-p) ≥ 5

Z = ( x-µ ) = x – n . pσ )1.(. p pn −

A medida que aumenta el tamaño tiende al formato de la distribución normal.

Ejemplo:

Suponga que una empresa sabe por la experiencia que 10% de sus facturas tienenalgún error. Toma una muestra de 100 facturas y desea calcular la probabilidad de que12 de estas facturas contengan algún error. Es decir, quiere hallar la probabilidadbinomial de 12 éxitos en 100 ensayos. Aplicando la aproximación normal a este casose tiene µ = n.p = (100)(0,1) = 10 y σ = )1( pnp − = 3)9,0)(1,0)(100( =

310 == σ µ y

Se debe aplicar un factor de corrección de continuidad o sea que se lo trata comoun intervalo 11,5 y 12,5. Entonces de una distribución binomial discreta se aproxima aP( 5,125,11 ≤≤ x ) en la distribución normal continua.

Z = x- µ = 12,5 – 10,0 = 0,83σ 3

Z = x- µ = 11,5 – 10,0 = 0,50σ 3

P( 5,125,11 ≤≤ x ) = 0,7967 – 0,6915 = 0,1052

unidad 3 distribución discreta y continua

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