1

2DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

El espacio muestral tiene “n “ resultados y cada uno con igual probabilidad

1 2

1 ; , , ,

0 ;otro

nx x x xP X x n

x

Media (Esperanza)

1

2

nE X

Varianza)

22 1

12

n

3

Ejemplo 1:

Un experimento consiste en lanzar un dado y observar su resultado.

Después de realizar infinitos lanzamientos qué número se observará.

X= Resultados posibles.

1

; 1,2, ,66

0 ;otro

xP X x

x

1 6 1

3.52 2

nE X

Un almacén vende diariamente 0, 1, 2, 3, o 4 artículos con igual probabilidad.

a) Calcule la probabilidad que en algún día venda al menos 2 artículos.

1

; 0,1,2,3,45

P X x x

1 1 1 3

2 2 3 45 5 5 5

P X P X P X P X

Ejemplo 2:

X= Cantidad de artículos vendidos en un día.

b) Calcule la cantidad de artículos que se esperaría vender en un día cualquiera

1 5 1

2 22

nE X

4

Una máquina registra, en minutos completos, la diferencia de

tiempo en el paso de camiones por cierto lugar de la carretera. Se

sabe que la diferencia máxima puede ser 9 minutos. Si se asume

que los arribos son aleatorios.

a) Calcular el tiempo que se esperaría exista entre dos arribos

consecutivos, su varianza y desviación estándar.

Ejemplo 3:

Resp. E(x) =5min, Var(X) =6.67 min2 σ=2.58 min.

b) Calcular la probabilidad de que la diferencia de tiempo en los

arribos sea de a lo mucho 2 minutos

2 1 2P X P X P X

c) Calcular la probabilidad de que la diferencia de tiempo en los

arribos sea de por lo menos 2 minutos

1 8

2 1 2 1 1 19 9

P X P X P X

5

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Experimento en el que pueden haber únicamente dos

resultados: éxito( p) o fracaso (1-p)

, 1

0 11 , 0

p xP X x p

p x

p

2 1p p

Ejemplo 1:

Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es 0.2 y se

realizan cinco ensayos. Calcule la probabilidad que el primero y el último

ensayo sean éxitos, y los tres restantes sean fracaso.

Resp. 2.05%

6

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

El experimento consiste de n pruebas de Bernoulli

La probabilidad p de un éxito permanece constante en

cada prueba.

Las pruebas que se repiten son independientes

1 ; 0,1,2, ,n xxn

xP X x p p x nC

X= Variable aleatoria discreta cuyo valor representa la

cantidad de pruebas consideras “éxitos”

np

2 1np p

7

Supongamos que en una población existen igual número de hombres y de mujeres. Consideremos aquellas familias que tienen 4 hijos.a) Formar la ley de la variable aleatoria que describe el número de

hijos varones en dichas familias. b) Calcular la probabilidad de que en una de estas familias haya mas

de un hijo varón. c) ¿Cuántos hijos varones se espera que haya en una familia que tiene

4 hijos?

Resp.

X 0 1 2 3 4

p 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

b) P(X>1)= 11/16

c) E(X)=np=2

a)

Ejemplo 1:

8

Un examen consta de ocho preguntas de elección múltiple, cada una de ellas ofrece cinco alternativas, de las cuales solo una es correcta. Para aprobar el examen es necesario contestar correctamente al menos tres preguntas. Si un estudiante se propone responder a las preguntas al azar.a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente todas

las preguntas?; b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el

examen?

Ejemplo 2:

Resp. a) 0.00000256 b) 0.20308

9

La probabilidad de que un producto salga de la fábrica en perfectas condiciones

es ¾. Se tiene una muestra de cuatro unidades.

a) Encuentre la probabilidad de que dos de ellas estén en perfectas condiciones.

b) Encuentre la probabilidad de que tres de ellas estén en perfectas condiciones.

c) Encuentre la probabilidad de que al menos dos de ellas estén en perfectas

condiciones.

d) Encuentre la media, varianza y desviación estándar.

Según el Journal of Higher Education, el 40% de los que terminan el bachillerato

trabajan durante el verano con objeto de ganar dinero para pagar el importe de

la enseñanza del curso siguiente. Si se eligen al azar 18 bachilleres, ¿cuál es la

probabilidad de que:

a) 12 trabajen en el verano,

b) ninguno trabaje,

c) todos trabajen

d) Encuentre la media y la varianza.

Ejercicio propuesto 1

Ejercicio propuesto 2 Resp. a) 21,09% b) 42,2% c) 94,92%

Resp. a) 1,45%% b) 0,01% c) 0%

10

Distribución Binomial Negativa

• X: Número de pruebas de Bernoulli necesarias hasta obtener k éxitos.

1( ) (1 )

1

k x kx

P X x C p pk

2

2,

( )

k 1r p

p p

Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta

enfermedad a la que está expuesta es 30%, calcule la probabilidad de que

la décima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en contraerla.

Ejemplo:

Resp. 0.08

11

Una máquina, que está dañada, envasa latas de conserva de una en una y

de manera independiente. Se considera que el 5% de la envasado resulta

defectuoso. Si la máquina se detiene apenas produce el tercer artículo

defectuoso:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina se detenga en la novena lata

producida?

b) Cuál es la probabilidad que se detenga sin producir ninguna lata buena?

c) Cuál es el número de latas producida hasta que se detiene la máquina

Ejemplo:

Resp. a) 0.00257 b) 0.000125 c) E(X)=60

12Distribución Geométrica

Consideremos una secuencia de pruebas de Bernoulli, con probabilidad de

éxito p, pero en lugar de contar el número de éxitos, nos interesa conocer el

número de intentos hasta obtener el primer éxito.

1( ) (1 )

1

k x kx

P X x C p pk

1k

11 1

1( ) (1 ) 1

1 1

xxx

P X x C p p p p

Un caso del la Binomial Negativa

Los registros indican que cierto vendedor tiene éxito en formalizar una

venta en 30% de sus entrevistas. Supóngase que una venta en una

entrevista es independiente de una venta en cualquier otro momento. Cuál

es la probabilidad de que el vendedor tenga que tratar con 10 personas

antes de hacer su primera venta.

Ejemplo:

Resp. 0.012

13Distribución de Poisson

Mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de

tiempo o espacio

La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos

intervalos cualesquiera de tiempo o espacio

La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la

ocurrencia de otro intervalo cualquiera

x: número de veces que ocurre el evento

λ: número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio

e: base del logaritmo natural

2

!)(

x

exXP

x

14Determine la probabilidad de que exactamente 5

clientes lleguen durante la siguiente hora laboral. La

observación simple de las últimas 80 horas ha

demostrado que 800 clientes han entrado al negocio.

0378.0!5

71828.2105

105

P

Por tanto, λ =10 por hora.

Utilizando la fórmula

Ejemplo 1:

15

El promedio de llamadas que recibe una central telefónica en un minuto es

de 1.5. Halle la probabilidad de que en cuatro minuto se reciban:

a) Tres llamadas

b) Menos de 3 llamadas.

c) No menos de cuatro y no más de siete

Ejemplo 2:

Resp. λ =6, a) 0.089235; b) 0.061969; c) 0.59278

16

Distribución HipergeométricaConsiste en tomar una muestra n, sin reemplazo, de un conjunto de N elementos

que tiene k éxitos y determinar la probabilidad de que x elementos de la muestra

tenga existos

( )k N k

x n x

N

n

C CP X x

C

2 11

k nk k N n

nN N N N

Una Caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las

restantes defectuosas. Se toma al azar una muestra de 3 baterías. Calcule

la probabilidad que en la muestra se obtengan:

a) Ninguna batería en buen estado.

b) Al menos una batería en buen estado.

c) No más de dos baterías en buen estado.

Ejemplo:

Resp.a) 0.119 b) 0.881 c) 0.9523

17

1. Cinco ejemplares de una población animal considerados en vía de extinción

han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se mezclen en

la población. Después de que habían tenido una oportunidad de mezclarse,

se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = número

de animales marcados de la segunda muestra. Si hay en realidad 25

animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2, b)

X 2 ? Encuentre además la media y la varianza.

2. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen

más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la

selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un

componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre

exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el

lote?

Ejercicos propuestos