Convolucin Continua y Discreta PST84-1 Lilian J. Certuche Alzate Investigadora - Docente Anlisis de Sistemas LTI enTiempo Continuo LossistemasLTIpuedenanalizarseenel dominiodeltiempousandocualquierdelos siguientes modelos. 1. Ecuaciones diferenciales 2. Variables de estado 3. Respuesta al impulso Respuesta al Impulso EslasalidadeunsistemaLTIdebidoauna entradadeimpulsoaplicadaeneltiempot=0 o n=0. La respuesta al impulso caracteriza por completoelcomportamientodecualquier sistema LTI Sumatoria de Convolucin(Tiempo Discreto) Consideramos el producto: Generalizandolarelacindex[n]yla secuencias de impulsos recorridos en tiempo: ] [ ] 0 [ ] [ ] [ n x n n x o o =] [ ] [ ] [ ] [ k n k x k n n x = o on: ndice de Tiempo x[n]: Seal de entrada x[k]: Valor de la seal x[n] en el tiempo k. Podemosexpresarx[n]comounasuma ponderada de impulsos recorridos: Reescribiendo , tenemos: + + + + Sea el operador H el que denota el sistema; Entonces: utilizando la propiedad de linealidad, H x[n]y[n] | | | |)` = = kk n k x H n y o ] [| | { }] [ ] [] [ ] [n h k xk n H k x n ykkk = == = oDonde, Sielsistemaesinvarianteentiempo,(un corrimientoentiempodelaentradaimplica un corrimiento en tiempo en la salida) La respuesta al impulso del sistema LTI es, Es la respuesta del sistema debido a un impulso recorrido en el tiempo { } ] [ ] [ k n H n hk = o] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [n h n x n yk n h k x n yk- = = =Ejemplo 1: suponga que un sistema LTI tiene respuesta al impulso Determine la salida del sistema en respuesta a la entrada = ==ccnnn h, 30 , 21 , 1] [= ===ccnnnn x, 02 , 21 , 30 , 2] [Tenemos entonces, Evaluando para diferentes valores de n = =20] [ ] [ ] [kk n h k x n y0 ] 2 4 [ ] 2 [ ] 1 4 [ ] 1 [ ] 0 4 [ ] 0 [ ] 4 [2 ] 2 3 [ ] 2 [ ] 1 3 [ ] 1 [ ] 0 3 [ ] 0 [ ] 3 [1 ] 2 2 [ ] 2 [ ] 1 2 [ ] 1 [ ] 0 2 [ ] 0 [ ] 2 [6 ] 2 1 [ ] 2 [ ] 1 1 [ ] 1 [ ] 0 1 [ ] 0 [ ] 1 [7 ] 2 0 [ ] 2 [ ] 1 0 [ ] 1 [ ] 0 0 [ ] 0 [ ] 0 [2 ] 2 1 [ ] 2 [ ] 1 1 [ ] 1 [ ] 0 1 [ ] 0 [ ] 1 [0 ] 2 2 [ ] 2 [ ] 1 2 [ ] 1 [ ] 0 2 [ ] 0 [ ] 2 [= + + = = + + = = + + == + + == + + == + + = = + + = h x h x h x yh x h x h x yh x h x h x yh x h x h x yh x h x h x yh x h x h x yh x h x h x yy[n] n 7 6 -1 -2 2 -1-2 2 1 34 Los limites de la sumatoria los da x[n] Los valores de evaluacin de n se toman observando los valor es de h[n] y x[n]Integral de Convolucin Siguiendo el principio de superposicin El sistema es lineal si la respuesta a la entrada Sea y1(t) y y2(t), las respuestas a los sistemas x1(t) y x2(t), las entradas del sistema x(t)=a1x1(t)+a2x2(t) es y(t)=a1y1(t)+a2y2(t) De una manera mas general: x(t)Eslasumaponderadadecualquier conjuntodesealesxi(t)consu correspondientesalidayi(t),entoncesel sistema es lineal si=== + + + == + + + =Nii i N NNii i N Nt y a t y a t y a t y a t yt x a t x a t x a t x a t x12 2 1 112 2 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( Utilizando la propiedad de desplazamiento de la funcin impulso unitario Definequecualquiersealx(t)sepuede expresarcomouncontinuodeimpulsos ponderados.} = t t o t d t x t x ) ( ) ( ) ( Por lo tanto podemos expresar la salida como una combinacin lineal de las respuestas del sistema a las seales impulso desplazadas } = t t t d t h x t y ) , ( ) ( ) (h(t,) Respuesta del sistema lineal al impulso desplazado Salida del sistemaen el instante t a la entrada o(t-) aplicado en el sistema Como el sistema es invariante en tiempo } = t t t d t h x t y ) ( ) ( ) (Integral de Convolucin ) ( ) ( ) ( t h t x t y - =Ejemplo 1: Sea x(t) la entrada a un sistema LTI con respuesta al impulso unitario h(t), donde ) ( ) (0 , ) ( ) (t u t ha t u e t xat=> = Ejemplo 2: Consideremos un sistema LTI con respuesta al impulso si la entrada al sistema es 0 , ) ( ) ( > =a t u e t hata b t u e t xbt= =, ) ( ) (Propiedades 1. Propiedad Conmutativa 2. Propiedad Asociativa 3. Propiedad Distributiva ) ( ) ( ) ( ) ( t x t h t h t x - = -| | | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 1t h t h t x t h t h t x t h t h t x - - = - - = - -| | | || | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1t h t x t h t x t h t h t x - + - = + -Ejemplo 3: Considere la interconexinde los sistemas LTI. La respuesta al impulso de cada sistema esta dado por: Encontrar la respuesta al impulso del sistema completo, h[n] ] [ ] [] 2 [ ] [] [ ] 2 [ ] [] [ ] [4321n u n hn n hn u n u n hn u n hnoo= = + ==