unidad 1 problemas resueltos

8/16/2019 Unidad 1 Problemas Resueltos

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Curso de Fisicoquímica I -2005- Laboratorio de BiomaterialesProblemas Unidad 1 IQB-Facultad de Ciencias

PROBLEMAS - UNIDAD 1

GASES PERFECTOS

1.

Para el modelo del gas perfecto:

a) Indique los supuestos en los que se basa.b) Indique las restricciones que se aplican para su validez.

Respuestaa) El modelo del gas perfecto considera a las moléculas como partículas sin volumen que se mueven libre y

aleatoriamente en el espacio que las contiene. Estas partículas, cuando chocan, lo hacen en formainelástica, y no existe interacciones entre ellas, ya sean de atracción o de repulsión.

b) El modelo resulta adecuado (es decir, permite buenas predicciones numéricas de sus propiedades) paraaquellos gases poco densos. Esto se cumple a temperaturas en el entorno del ambiente, y presionesbajas.

2.

El volumen de la vejiga natatoria de un pez a una profundidad de 100 m es de 400 mL. ¿Cuál será elvolumen cuando ese pez es capturado y arrastrado rápidamente hacia la superficie? Indique los

supuestos que realiza.

RespuestaPara responder a esta pregunta deberemos hacer algunas suposiciones. Puesto que sólo tenemos datosque relacionan la presión y el volumen, es posible aplicar la Ley de Boyle, la cual es sólo aplicable en elcaso de un gas perfecto, sin cambios en el número de moles ni en la temperatura. Nótese que ambassuposiciones son una aproximación de la realidad, pues la temperatura de una columna de agua varíacon la profundidad, y por otra parte, los peces cuentan con un mecanismo de eyección e inyección degases.

Suponiendo entonces que ni el número de moles ni la temperatura cambian, podemos aplicar laley de Boyle:

P1 V1 = P2 V2

donde los subíndices 1 y 2 dan cuenta de los estados inicial y final propuestos en el problema.La presión viene dada por el peso ejercido por la columna de agua. Como la presión se define

como la fuerza ejercida por unidad de superficie (S):

F mgP

S S= =

donde se ha sustituido la Fuerza por el peso (masa x gravedad).La densidad de la columna de agua corresponde a la masa que posee el volumen de agua considerada:

m

Vρ =

siendo este volumen el producto de la superficie y la altura de la columna de agua (h):

V Sh=

Por sustitución se obtiene:

P gh= ρ

Sobre la superficie, la presión ejercida sobre cualquier cuerpo es la presión atmosférica P0 = 1 atm, porlo que la presión ejercida por una columna de líquido puede calcularse como:

0P P gh= + ρ

La presión ejercida por una columna de 100 m de agua, expresada en mm de Hg es:




1 3 1

1

(1gmL )(100m)(10 mmm )P 7353mmHg 9.7atm

13.6gmL

− −

−= = < >

Generalizando, se puede decir que la presión de una columna de agua aumenta 1 atm por cada 10 mde profundidad.

El resultado final, aplicando la ley de Boyle, es:

2

(9.7)(400)V 3

(1)= = 880mL

3.

Derive una expresión para calcular el peso molecular de un gas perfecto. Calcule el peso molecular deun gas sabiendo que 3.6 g del mismo ocupan un volumen de 2 L a 1 atm de presión y 25°C.

RespuestaPartiendo del modelo matemático para el gas perfecto , podemos introducir masa molar delgas (PM) sustituyendo el número de moles (n) por su definición:

PV nRT=

mnPM

=

con lo que obtenemos:m

PV RTPM

=

de donde:mRT

PMPV

=

Aplicando esta ecuación al cálculo propuesto:

1 1(3.6 g)(0.082 L atm mol K )(25 273 K)PM

(1 atm)(2 L)

− − +=

PM = 44 g mol-1

4. Derive una expresión para calcular la densidad de un gas perfecto. Realice un análisis dimensional de la

misma e indique el factor adecuado que se debe agregar a la expresión obtenida para que la densidadquede expresada en g mL-1.

RespuestaPodemos partir de la ecuación obtenida en el problema anterior:

mRTPM

PV

=

y vemos que m y V corresponden a la masa del gas y el volumen ocupado por el gas, respectivamente.Por lo tanto, el cociente m/V corresponde a la definición de densidad, ρ, para la que se puede obtener lasiguiente expresión final:

PM.P

RTρ =

El análisis dimensional de esta ecuación nos permite ver las unidades para la densidad cuando seemplea la misma:

11

1 1

(g mol )(atm)[ ] g L

(L atm mol K )(K)

−−

− −ρ = =




Sin embargo, las unidades usuales para la densidad son g mL-1. Para que la densidad quede expresadaen estas unidades, es necesario introducir un factor de corrección, dado por el número 1000 mL L-1.Introduciendo este factor en la ecuación del análisis dimensional vemos que:

( )

11

1 1 1

(gmol )(atm) 1

[ ] g mL(Latmmol K )(K) 1000mLL

−−

− − −ρ = =

Por lo tanto, la expresión para calcular la densidad de un gas perfecto, y que el resultado quedeexpresado en g mL-1 es:

PM.P

1000RTρ =

5. Un gas ocupa un volumen de 43 L a presión y temperatura estándar. Calcule el número de moles y elnúmero de moléculas presentes.

Respuesta

En primer lugar, debemos notar que el problema propuesto no nos dice nada acerca del modelomolecular del gas que se está estudiando. Por lo tanto, deberemos asumir un modelo para poderresolver el problema. Como el gas se encuentra a P y T estándar, se puede asumir que la densidad delgas no es muy alta, y por lo tanto, el modelo para el gas perfecto puede usarse para calcular el númerode moles presentes.

Entonces, asumiendo que se trata de un gas perfecto, el número de moles puede calcularsecomo:

PVn

RT=

Sustituyendo:

(1 atm)(43 L)

n 1(0.082 Latmmol 1K 1)(298 K)= =− − .76 moles

Para calcular el número de moléculas, hacemos uso de la Ley de Avogadro:

23 1 24n molec. (1.76 moles)(6.02x10 molec.mol ) 1.06x10 molec−° = =

6. Las bombas de vacío permiten disminuir la presión dentro de un recipiente extrayendo las moléculasque se encuentran en su interior. Suponga que un recipiente de 10 L contiene aire a 1 atm de presión y25°C. Calcule el número de moléculas de aire extraídas utilizando:a) Una bomba de vacío a una presión final de 0.01 atmb) Una bomba de alto vacío a una presión final de 10-7 atm.

c) Una bomba de ultra alto vacío a una presión final de 10

-10

atm.

RespuestaNuevamente, deberemos suponer el modelo a utilizar. Para la presión atmosférica, el modelo del

gas perfecto es adecuado. A medida que la presión del sistema se hace menor, el gas se hace menosdenso, pues estamos eliminando moléculas mientras el volumen se mantiene constante. Por lo tanto, elmodelo del gas perfecto sigue siendo válido para todas las partes del problema propuesto.

Asumiendo, entonces, el modelo del gas perfecto, el número de moles que quedan dentro delrecipiente puede calcularse como:

PVn

RT=

donde N representa el número de Avogadro.Inicialmente, el número de moléculas presentes será:




23 23o

(1)(10)n (6.02x10 ) 2.46x10 molec.

(0.082)(25 273)= =

+

El número de moléculas restantes para cada presión final será:

21

7 16

10 13

n(P 0.01) 2.46x10 molec.

n(P 10 ) 2.46x10 molec.

n(P 10 ) 2.46x10 molec.

−

−

= =

= =

= =

El número de moléculas extraídas será n0 – n(Pi), de manera que las respuestas finales son:a) 2.43x1023 molec., b) 2.4599x1023 molec., y c) 2.46x1023 molec. Obsérvese que los resultados finalespara las partes b) y c) son prácticamente los correspondientes al número de moles iniciales.

MEZCLA DE GASES

7.

En la mayoría de las aplicaciones, el aire puede considerarse como formado por N 2 y O2 en proporcionesmolares 80 % y 20 %, respectivamente. Calcule la presión parcial de cada uno de los gasescomponentes a 1 atm.

RespuestaEl porcentaje molar indica el número de moles presentes en 100 moles totales. Tomando como base 1mol, se obtienen las fracciones molares. Por lo tanto

2 2N Ox 0.8 x 0.2= =

De acuerdo con la ley de Dalton, las presiones parciales se pueden calcular como:

i iP x P= T

2

2

N

O

P (0.8)(1) 0.8 atm

P (0.2)(1) 0.2 atm

= =

= =

8.

Se mezcla una cierta cantidad de CO2 y de H 2 a una presión de 1 atm y 25°C. En estas condiciones, la presión parcial del H 2 es de 0.543 atm. Determine la presión parcial del CO2 y las fracciones molares decada uno de los gases en la mezcla.

RespuestaDe acuerdo con la ley de Dalton, la suma de las presiones parciales corresponde a la presión total de lamezcla. Por lo tanto:

2 2CO T H

P P P 1 0.543 0.457 atm= − = − =

Finalmente, las fracciones molares se calculan como el cociente entre la presión parcial y la presióntotal:

2 2

2 2

CO H

CO H

T T

P P0.457 0.543x 0.457 x 0.543

P 1 P 1= = = = = =

Observe que las fracciones molares no poseen unidades.

GASES REALES

9.

a) Indique los supuestos en los que se basa el modelo molecular para un gas de van der Waals.b) ¿Qué predice la ecuación de van der Waals para un gas en el cero absoluto?




Respuestaa) Al igual que el modelo para los gases perfectos, el modelo molecular para el gas de van der Waalsconsidera a los gases como una colección de partículas, pero cada una de ellas posee un volumen finito,e interaccionan entre ellas.

b) Consideremos la ecuación de van der Waals:

2

2

anP (V nb) n

V

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠RT

Cuando T = 0 K, se cumplirá que:

2

2

anP (V nb)

V

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠0=

y esta igualdad se cumplirá cuando se anulen alguno de los términos entre paréntesis. En particular, sise cumple que:

V nb 0− =

entonces el modelo predice que en el cero absoluto, el volumen del gas corresponde al volumen detodas las partículas:

V nb=

10. Utilizando los datos tabulados para las constantes de van der Waals, calcule el volumen molar ocupado por el N 2 y el CO2 a 0°C, considerando una presión de 1 atm y de 200 atm. Realice los mismos cálculosutilizando la Ley del gas perfecto y determine las diferencias porcentuales en cada caso. ¿Quéconclusiones puede sacar de los cálculos realizados?

RespuestaLos valores de las constantes de van der Waals para el N2 y el CO2 se obtienen de tablas, y son:

N2: a = 1.35 atm L2 mol-2 b = 0.0386 L mol-1

CO2: a = 3.60 atm L2 mol-2 b = 0.0427 L mol-1

Trabajando con la ecuación de van der Waals:

m2m

aP (V b) R

V

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠T

( )

m2m

2m

m2

m

2 2m m m

3 2 2m m m m

3 2m m m

aP (V b) RT

V

PV a(V b) RT

VPV a (V b) RTV

PV PbV aV ab RTV

PV (Pb RT)V aV ab 0

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞+− =⎜ ⎟

⎝ ⎠+ − =

− + − =

− + + − =

llegamos a una función polinómica para la variable volumen. El valor del volumen se obtiene resolviendoesta ecuación de 3er. grado, empleando métodos de cálculo numérico. Para el caso propuesto en elproblema, se obtienen tres valores, de los cuales dos son números imaginarios, y por lo tanto, sinsentido físico.

En la siguiente tabla se resumen los resultados:

Gas perfecto Gas van der Waals

Gas 1 atm 200 atm 1 atm 200 atmN2 22.4 L 0.112 L 22.24 L 0.068 LCO2 22.4 L 0.112 L 22.18 L 0.052 L




Las diferencias porcentuales de los valores obtenidos para el gas de van der Waals respecto del gasperfecto se puede calcular como:

vanderWaals gasperfecto

gasperfecto

V V%apartamiento 100

V

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Vemos entonces que para una presión relativamente baja, como lo es 1 atm, los porcentajes deapartamiento son de 0.7% para el N2 y 1% para el CO2. Por lo tanto, ambos modelos predicenresultados similares, y en particular, se puede concluir que a estas presiones, el modelo del gas perfectoes adecuado para hacer predicciones numéricas.

Para valores de presión altos, como 200 atm, los porcentajes de apartamiento son másimportantes: 39% para el N2 y 54% para el CO2. Podemos concluir, entonces, que a altas presiones, laelección del modelo molecular es muy importante, pues las predicciones obtenidas son muy diferentes.

11.

Tomando como punto de partida la ecuación de van der Waals para un gas real:a) Modifique esta ecuación para que quede expresada en función de la densidad del gas.b) Compare su resultado con la ecuación equivalente obtenida para un gas perfecto (ver Problema 4 ).c) ¿Qué puede decir de la influencia de la densidad en el comportamiento de un gas real? Explicite este

comportamiento en un gráfico P vs. densidad y comente sus observaciones en base al modelo de vander Waals.d) ¿En qué condiciones la ecuación obtenida para el gas real se reduce a la obtenida para el gas

perfecto? (NOTA: recuerde que un gas perfecto se considera infinitamente diluido).

Respuesta

a) Partiendo de la ecuación de van der Waals, sustituimos el número de moles por el cocientem

nPM

=

e introduciremos la densidad del gas sustituyendo por el cocientem

Vρ =

Veamos el siguiente desarrollo:

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

anP (V nb) nRTV

am m mP (V b)

PM V PM PM

m(V b)a mPMP R

PM V VPM

aP (1 b) RT

PM PM PM

aP (PM b) RT

PM

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

−⎛ ⎞ρ+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ρ ρ ρ+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ρ+ − ρ = ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠

RT

T

Nótese que en el tercer paso de la deducción, hemos multiplicado y dividido el segundo factor del ladoizquierdo de la igualdad por V, de manera que la igualdad se mantiene.

b) La ecuación para la densidad de un gas perfecto ya ha sido obtenida en otro problema:PM.P

RTρ =

Analicemos que sucede cuando se considera que el gas de van der Waals posee una densidad muypequeña:

2

20

alim P (PM b) P.PM RT

PMρ→

⎛ ⎞ρ+ − ρ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ρ

que es la ecuación obtenida para el gas perfecto. Por lo tanto, para un gas infinitamente diluido, sucomportamiento se aproxima al de un gas perfecto.




c) Para conocer la influencia de la densidad en la presión de un gas de van der Waals, despejaremos lapresión de la ecuación obtenida en la parte a).

2

2

RT aP

PM b PM

ρ ρ= −

− ρ

Para valores de densidad pequeños:

2

20

RT a RTlim

PM b PM PMρ→

⎛ ⎞ρ ρ ρ− =⎜ ⎟

− ρ⎝ ⎠

y por lo tanto, la presión varía linealmente con la densidad. A medida que aumenta la densidad del gas,el primer término de la ecuación disminuye, mientras que el segundo término aumenta. Sin embargo,como los valores de densidad son usualmente menores que 1 para los gases, se observa el efectocontrapuesto.

SÓLIDOS12.

El ácido acético forma un dímero en solventes no polares.

CH3C

O

O H

a) Dibuje la estructura probable de este dímero y explique el tipo de enlace que mantiene unido a losmonómeros.b) ¿Por qué el ácido acético se presenta como un monómero en soluciones acuosas?

Respuestaa) Los monómeros se unen a través de puentes de Hidrógeno que se establecen entre el Oxígeno del

grupo carbonilo y el Hidrógeno del grupo hidroxilo.

CH3C

O

O H

CH3C

O

OH

b) Cuando el ácido acético se encuentra en agua, los puentes de Hidrógeno se establecen con lasmoléculas del solvente, impidiendo la formación del dímero.

13.

Para el aminoácido Leucina (Leu), indique los átomos en los que se puede establecer un enlace deHidrógeno con una molécula de agua.

N

O

OH

HH RespuestaLos átomos que pueden participar de un puente de Hidrógeno son aquellos con una electronegatividadalta, o los átomos de Hidrógeno unidos a átomos de alta electronegatividad. Por lo tanto, los átomosque pueden participar de enlaces de Hidrógeno con la molécula de agua son:

• Los hidrógenos del grupo amino• El hidrógeno del grupo hidroxilo• El oxígeno del grupo carbonilo.

14. ¿Cómo podría explicar que la molécula de I 2 forme un sólido molecular?

Respuesta

Para entender cómo dos átomos iguales pueden unirse, deberemos considerar la formación de un dipoloinstantáneo sobre uno de los átomos que induce un dipolo en otro átomo. De esta manera, se produceuna sucesión de inducción de dipolos que explica la formación del sólido molecular.




LÍQUIDOS

15. A 20°C, el tiempo de flujo del agua a través de un viscosímetro de Ostwald es de 243 s. Para el mismovolumen de un solvente orgánico, el tiempo de flujo es de 271 s. Calcule la viscosidad del solventeorgánico relativa a la del agua sabiendo que la densidad del solvente orgánico es de 0.984 g cm-3.

RespuestaDe acuerdo con la ecuación para la viscosidad medida en un viscosímetro de Ostwald empleando alagua como referencia:

solvente solvente

agua agua

( t) (0.984)(271)1.098

( t) (0.999)(243)

η ρ= = =

η ρ

16.

Indique cómo influyen los siguientes parámetros en la caída de presión en el sistema circulatorio:a.

diámetro del vaso sanguíneob.

velocidad lineal de flujo de la sangrec.

viscosidad de la sangre

Respuestaa) Cuanto mayor es el diámetro del vaso sanguíneo, menor es la caída de presión.b) A mayor velocidad de flujo de la sangre, mayor caída de presión.c) Un aumento en la viscosidad de la sangre produce un aumento en la caída de presión.

17.

Demostrar que el número de Reynolds es adimensional.

Respuesta

A partir de la definición de número de Reynolds: N

2 ruR

ρ=

η realizamos un análisis dimensional:

3 1

N 1 1

gcm cm cmsR

gcm s

− −

− −=⎡ ⎤⎣ ⎦

de donde se observa que todas las unidades se cancelan entre sí. Por lo tanto, el número de Reynoldses adimensional.

18.

El flujo de sangre para un individuo en condiciones de actividad normal es de 5 L min-1 , y para uno enactividad física vigorosa es de 25 L min-1. Si la densidad de la sangre es de 1.2 g cm -3 y la viscosidad de0.04 P, determine el tipo de flujo que se establece en una arteria de 0.5 cm de radio, para cada una delas condiciones mencionadas.

Respuesta

Empleando la definición de número de Reynolds, N

2 ruR

ρ=

η, sustituimos los datos para las dos

condiciones propuestas:

3 1 1normalN 1 1 1

2(1.2 gcm )(0.5 cm)(5 Lmin ) 1000 mLLR 2500

0.04gcm s 60 min s

− − −

− − −⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 1vigorosaN 1 1 1

2(1.2 g cm )(0.5 cm)(25 L min ) 1000 mL LR 12500

0.04 g cm s 60 min s

− − −

− − −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Nótese, en ambos casos, los factores de corrección para que las unidades fueran coherentes entre sí.Entonces, para una actividad normal, el número de Reynolds obtenido indica que el flujo de sangre eslaminar, mientras que para una actividad vigorosa, el flujo de sangre es turbulento.

19.

Una ecuación empírica para describir la influencia de la temperatura sobre la viscosidad de un líquidoes:

alog( ) bT

η = +




donde a y b son constantes y T es la temperatura en K. Indique si esta ecuación puede considerarseválida para el agua, utilizando los datos de la siguiente Tabla.

T (°C) η (cP)

0 1.79410 1.31020 1.00930 0.80040 0.65450 0.549

RespuestaEn primer lugar, deberemos hacer las transformacionesmatemáticas necesarias para utilizar los datos: latemperatura debe estar en grados Kelvin, y los datos deviscosidad deben ser recalculados tomando sus logaritmosdecimales. La Tabla final lucirá de la siguiente manera:

Del gráfico log(η) vs. 1/T vemos que el modeloajusta muy bien con los datos experimentales.El análisis por regresión lineal arroja la siguienteecuación para el modelo:

T (K) log(η)273 0.2538283 0.1173293 0.0039303 -0.0969313 -0.1844

323 -0.2604

905log( ) 3.07

Tη = −

Sin embargo, una observación más certera delgráfico permite ver que existe una ciertatendencia de los puntos que no corresponde auna línea recta. Nótese que los puntos extremos

quedan por encima de la recta de regresión,mientras que los puntos intermedios quedan pordebajo. Esto indica que la relación linealpropuesta no describe adecuadamente elcomportamiento, por lo que se debería ensayarotra función matemática. La continuación delanálisis en este sentido dependerá de nuestro

objetivo. Si se busca una predicción numérica buena, la relación lineal propuesta puede cumplir con elobjetivo planteado. Sin embargo, si se busca una relación funcional exacta para describir elcomportamiento y ver, por ejemplo, su adecuación a alguna teoría, la relación lineal propuesta no seráapropiada.

0.0031 0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036 0.0037

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

l o g ( η )

1/T (K-1)

20.

Determine la máxima velocidad de flujo laminar a 37°C para la sangre cuando fluye por un capilar deradio 2 x 10-4 cm. Considere un valor para la densidad de la sangre de 1.2 g cm -3 y una viscosidad de0.04 P a esa temperatura.

RespuestaLa velocidad de flujo laminar puede obtenerse a partir de la definición para el número de Reynolds:

NRu

2 r

η=

ρ

y la máxima velocidad vendrá dada para un número de Reynolds de 2000, que es el que se toma comolímite máximo para el flujo laminar. Por lo tanto:

5 14(2000)(0.04)u 1.7x10

2(1.2)(2x10 )cm s−

−= =

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