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MÓDULO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO

PROGRAMACIÓN DEL MÓDULO VOLUNTARIO DEL PCPI

MATERIA MATEMÁTICAS

FICHA DE TEORÍA Un. 1. NÚMEROS ENTEROS

1. NÚMEROS ENTEROS.

Los NÚMEROS ENTEROS (ℤ) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3,...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y el cero, 0.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ que proviene de la palabra número en alemán (Zahlen).

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}

Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo −783 y 154 son números enteros, pero 45,23 y −34/95 no son números enteros.

Se llama VALOR ABSOLUTO de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.

Valor absoluto: 66 66 11 22

Los enteros negativos son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para entender cómo están ordenados se utiliza la Recta Real:

Hay ciertas situaciones, como la temperatura o los pisos de un parquin subterráneo, que no se pueden expresar matemáticamente utilizando los números naturales (sin usar los números negativos), para estos casos hacemos uso de los números enteros.

2

Observa el ejemplo y piensa un poco.

ACTIVIDAD 1. Ordena de menor a mayor.

a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4

ACTIVIDAD 2. Completa adecuadamente

a) |-5| = b) |+7| = c) |+6|= d) |-4|=

ACTIVIDAD 3. Completa las siguientes frases según el cuadro.

La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar.

El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar.

El pez está nadando a _________ m _________ el nivel del mar.

El cangrejo se encuentra a _________ m _________ el nivel del mar.

El pelícano vuela a _________ m _________ el nivel del mar.

ACTIVIDAD 4. En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con números enteros. Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan y añade un par de ejemplos propios en los espacios vacíos.

SITUACIÓN Nº ENTERO

La temperatura ambiente es de 2º bajo cero -2º C

La temperatura ambiente es de 2º sobre cero +2º C

La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar

El buzo está nadando a 20 m de profundidad -20 m

Estamos justo al nivel del mar

Julián tiene una deuda de 5.000 €

El avión está volando a 9.500 metros de altura

El saldo deudor de la libreta de ahorro es de 12.356 €

Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero

La altura del monte Aconcagua es de 7.010 metros

La profundidad de la fosa marina es de 10.882 metros

Jennifer debe 11.650 €

3

Andrés tiene 3.580 €

ACTIVIDAD 5. Responde a las siguientes preguntas.

¿Cuántos números enteros hay entre -6 y +6?

En Aracena, cierto día a las 6 de la mañana el termómetro marcó – 1º C. Al mediodía la temperatura máxima fue de 14º C. ¿Cuál fue, en grados, la variación de temperatura ese día?

De un depósito que contenía 520 litros de agua se sacaron primero 170 litros y después 145 litros, más tarde se echaron 210 litros. ¿Cuántos litros contiene ahora el depósito?

2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

(Suma, resta, multiplicación y división).

Suma de números enteros:

Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

(+5) + (+4) = 5 + 4 = 9

(-5) + (-4) = -5 - 4 = -9

Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se resta el mayor al menor y se deja el signo del más grande).

(+20) + (-10) = 20 - 10 = 10 (20 - 10 = 10, el más grande es +20, por lo tanto el resultado es +)

(-8) + (+3) = -8 + 3 = -5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, por lo tanto el resultado es - )

(+ 11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el +11, por lo tanto el resultado es +) ACTIVIDAD 6. Realiza las siguientes sumas de números enteros.

(-4) + (-4)=

(-14) + (-4)=

(-4) + (-12)=

(-10) + (-4)=

(+4) + (-41)=

(-12) + (-4)=

(+4) + (-12)=

(-10) + (-40)=

(-5) + (+9) =

(-2) + (+8) =

(-3) + (+4) =

(-4) + (+10) =

(-5) + (+7) =

(-9) + (+4) =

(-10) + (+6) =

(-8) + (+1) =

(-5) + (+4) =

(-7) + (+3) =

4

(-5) + (-6) =

(-3) + (-4) =

(-2) + (-7) =

(-6) + (-3) =

(+8) + (-11) =

(+4) + (-9) =

(+2) + (-8) =

(+7) + (-1) =

(+8) + (-4) =

(+10) + (-5) =

(+12) + (-7) =

(+13) + (-6) =

Resta de números enteros:

Cuando trabajamos con números enteros podemos decir que no existen diferencias entre la suma y la resta, ambas operaciones las podemos expresar en forma de suma. Una resta no es más que la suma de un número entero negativo.

Observa: 5 – 3 = (+5) + (-3)

Tenemos que tener en cuenta a partir de ahora un detalle: No podemos escribir dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis.

Entonces ¿qué significan las expresiones? + (+3) + (-3) -(+3) -(-3). Pues es bien sencillo:

Si los dos signos son iguales el resultado positivo: + (+a) = +a -(-a) = +a

Si los dos signos son distintos el resultado es negativo: + (-a) = -a -(+a) = -a

Por ejemplo: +(+2) = +2 -(-2) = +2 - (+2) = -2 +(-2) = -2

Por lo tanto para realizar una resta o diferencia deberemos seguir los siguientes pasos:

1º) Eliminar los paréntesis

2º) Operar adecuadamente los nº resultantes

Por ejemplo: (+3) - (-5) = +3 + 5 = +8

(-2) + (+4) = -2 + 4 = +2

ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes restas de números enteros.

(-4) – (-4)=

(-14) – (-4)=

(-4) – (-12)=

(-10) – (-4)=

(+4) – (-41)=

(-12) – (-4)=

(+4) – (-12)=

(-10) – (-40)=

(-5) + (-9) =

(-2) + (-8) =

(-3) + (-4) =

(-4) – (+10) =

(-5) + (-7) =

(-9) + (-4) =

(-10) – (+6) =

(-8) – (+1) =

(-5) – (+4) =

(-7) – (+3) =

(-5) – (-6) =

(-3) – (-4) =

(-2) – (-7) =

(-6) – (-3) =

(+8) – (-11) =

(+4) – (-9) =

(+2) – (-8) =

(+7) – (-1) =

(+8) – (-4) =

5

(+10) – (-5) = (+12) – (-7) = (+13) – (-6) =

Lo anterior también es válido si nos encontramos más de un término en la operación. Si tenemos más de un término procederemos de la siguiente forma:

1º Quitaremos los paréntesis.

2º Sumaremos los enteros de igual signo.

3º Operaremos adecuadamente los números resultantes.

Mira los siguientes ejemplos:

(-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 + 5 – 3 + 2 = -5 + 7 = +2

(-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 – 4 + 3 –1 = -8 + 3 = -5

ACTIVIDAD 8. Calcula el resultado de las siguientes expresiones (Recuerda primero suma los números de igual signo y después realiza la operación que corresponda):

(+7) + (+15) + (-18) + (-3) =

(-21) + (+45) + (-20) =

(+9) + (+20) + (+3) + (-24) =

(-16) + (+20) + (-8) + (+2) =

-(+3) + (+1) – (-4) =

-(+2) - (+1) – (+5) =

-(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=

-(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=

(+8) – (+12) – (-6) =

-5 – 21 – (-26) =

−2 + (−3) + 4 – (+5) - 15 − 2 – 6 =

2 – (+3) + (-5) – 2 – (-3) – (+6) + 10 + 5 − 7=

Multiplicaciones y divisiones de números enteros: LA REGLA DE LOS SIGNOS.

Regla de los signos, nos indica el signo del resultado de una multiplicación o división de números enteros. Es la siguiente:

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

2438 (8 por 3 es 24, + por +

es +)

623 (3 por 2 es 6, - por -

es +)

6

414 (4 por 1 es 4, + por -

es -)

842 (2 por 4 es 8, - por +

es -)

Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

248 (8 entre 4 es 2, + entre +

es +)

224 (4 entre 2 es 2, - entre -

es +)

5210 (10 entre 2 es 5, +

entre - es -)

248 (8 entre 4 es 2, - entre

+ es -)

ACTIVIDAD 9. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

(+4)·(+3) =

(-2 )·(-5 ) =

(+4)·(-2 ) =

(-6 )·(+4) =

(+24):(+3) =

(-20 ):(-5 ) =

(+14):(-2 ) =

(-16 ):(+2) =

(+4)·(+3) =

(+5)·(-2) =

(-4)·(-5) =

(-3)·(+7) =

(-30):(+6) =

(-14):(-2) =

(+15):(-3) =

(+24):(+3) =

Operaciones combinadas:

Llamamos operaciones combinadas a los ejercicios en los que nos encontramos más de un signo distinto, es decir hay que realizar varias operaciones distintas simultáneamente.

En estos casos tenemos que tener en cuenta las siguientes prioridades:

1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan. Después realizamos las sumas y las restas, también en el orden que aparezcan.

Por ejemplo: -4:2 - 3·2 – 4:2 +10 = -2 – 6 – 2 + 10 = 0

ACTIVIDAD 10. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

+7 + (-9)·(+5) =

–5 + (-6):(+6) =

+1-(-36):(-3) =

+1 + (+6)·(+5) =

–6 – (+3) -(-5):(+5) =

+8:4 + (-7)·(-9) =

7

2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones, después para quitar el paréntesis aplicamos la regla de los signos, signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego continuamos de la misma forma que el punto anterior.

Por ejemplo: (-4:2 - 7) + (-3·2 – 4:2 + 5 - 8) = (-2 - 7) + (-6 – 2 + 5 - 8) = (-9) + (-16 + 5) = -9 + (-11) = -20

ACTIVIDAD 11. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

-(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7) =

–(+4 – 6 - 9) + (-4 + 5 - 2) =

–(+3 – 2 - 1) + (-5 + 7 + 4) =

+(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 – 4 – 9 - 5) =

+(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3) =

-(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 - (+5 – 2 + 1) =

+(-8 – 3 - 9) + 4 + (-2 + 9) =

–(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3) =

–2 - 4 + (-8 + 4 – 6 + 7) =

–3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9) =

4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1) =

2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7 =

–3 - (+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5 =

+(-3 – 5 + 6) - (-4 – 5 - 9) =

+(-3 – 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) =

–(-4 + 5 - 6) - (+7 – 3 + 6) - 5 =

3. Cuando hay paréntesis y corchetes ( ), hacemos primero los paréntesis,

los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y divisiones y por último las sumas.

Por ejemplo: -7 +3 - [-(10 - 5) - (8 -10)] = -7 + 3 – [-(+5) – (-2)] = -7 + 3 – [-5 + 2] = -7 + 3 – [-3] =

= -7 +3 + 3 = -1

ACTIVIDAD 12. Calcula respetando la jerarquía de operaciones:

–4 – (+24):(+1-9) – (-1-2) =

–6 –[+7 +(+1)·(-1)] =

+7 +[+1 -(+10):(+5)] =

+4 +[+2 +(+8)·(-6)-(-7+6)] =

[+10 +(-5)]:(-7+2) – (+1-6) =

-2 – [-6 +(-4):(-2)-(+7-5)] =

+1 -[-4 +(-10):(-5)]+[+3+(-9):(-9)] =

+1 -[+3 -(-8)·(+8)]+[+6+(+8):(+4)] =

8

ACTIVIDAD 13. Teniendo en cuenta todo lo aprendido soluciona estos problemas haciendo el planteamiento numérico necesario:

13. 1. El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. ¿Cuál era la temperatura inicial?

13.2. Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero. La temperatura baja 12º C a lo largo de la mañana. ¿Qué temperatura marca al mediodía?

13.3. Una persona vive en la planta 2 de un edificio y su plaza de garaje está en el sótano 1¿Cuántas plantas separan su vivienda de su plaza de garaje?

13.4. Elena tenía ayer en su cartilla –234 euros y hoy tiene 72 euros. Desde ayer ¿ha ingresado o ha gastado dinero? ¿Qué cantidad?

13.5. El saldo de la cartilla de ahorros de Elena es hoy 154 €. Paga una factura de 313 € ¿Cuál es el saldo ahora?

3. POTENCIAS. Potencias de un entero.

¿QUÉ ES UNA POTENCIA?

Una potencia es una forma de escribir el producto de factores iguales (multiplicaciones de un número por él mismo varias veces). El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente. Mira el ejemplo.

2433333335

16)2()2()2()2(24

CASOS PARTICULARES DE POTENCIAS:

Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. Por ejemplo: 21 =

2; 31 = 3.

Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 52351

0 = 1.

SIGNO DE UNA POTENCIA

Al calcular potencias de base un número entero, presta atención al signo de la base y al exponente. También debes distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia.

9

No es lo mismo -34 que (-3)

4

Una potencia de base positiva, el valor de la potencia será siempre positivo.

Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo.

Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo.

ACTIVIDAD 14. Completa el cuadro.

Potencia 32 4

3 5

4 6

5 8

7 9

10 10

11 15

20

Base

Exponente

ACTIVIDAD 15.Escribe en forma de potencia los siguientes productos.

8 x 8 x 8 =

7 x 7 x 7 x 7 =

9 x 9 x 9 x 9 x 9 =

15 x 15 x 15 x 15 x 15 =

8 x 8 x 7 x 7 x 7 =

5 x 5 x 5 x 6 x 6 =

7 x 7 x 9 x 9 x 9 =

10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =

ACTIVIDAD 16. Halla el valor de las siguientes potencias.

71 =

80 =

92 =

83 =

110 =

251 =

22 x 3

3 =

23 x 3

2 =

42 x 5

2 =

42 x 5

2 x 3

0 =

53 x 2

2 x 3

3 =

62 x 3

3 x 7

0 =

ACTIVIDAD 17. Expresa como producto:

4( 5) 5( 3)

7( 4)

10

ACTIVIDAD 18. Expresa como potencia: (-5)·(-5)·(-5) (-5)·(-5)= 5·5·5·5·5·5= (-3)·(-3)·(-3)=

ACTIVIDAD 19. Calcula el valor de las potencias:

-35=

(-3)5=

(-3)0=

-30=

42=

-42=

(-4)2=

-40=

ACTIVIDAD 20. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:

(-6)7=

52=

(-4)4=

(-12)13

=

-33=

-42=

ACTIVIDAD 21. Calcula el valor de las siguientes potencias:

(–2)7=

(–3)5=

(–5)3=

(–10)3=

(–1)16

=

(–1)17

=

(-5)3=

(-12)4=

(-2)7=

(-7)2=

Operaciones con potencias.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.

El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplos: 9423423 22222

13643643 33333

ACTIVIDAD 22. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos. Después, calcula su valor. (Recuerda que si la potencia no presenta exponente se considera como si éste fuera uno 2 = 2

1)

Ejemplo 22 x 2

2 = 2

2+2 = 2

4 = 16

22 x 2

3 =

23 x 2 =

24 x 2 =

11

32 x 3

2 =

33 x 3 =

32 x 3

3 =

33 x 3

3 =

34 x 3 =

43 x 4

0 =

22 x 2 x 2

3 =

3 x 32 x 3 =

62 x 6

2 x 6 =

72 x 7 x 7 =

82 x 8 x 8

3 =

92 x 9

2 x 9 =

9 x 92 x 9

0 =

10 x 100 x 10

2 =

ACTIVIDAD 23. Completa los exponentes que faltan.

Ejemplo 26 x 2

(2) = 2

8

23 x 2

( ) = 2

7

64 x 6

( ) = 6

10

73 x 7

( ) = 7

11

84 x 8

( ) = 8

12

95 x 9

( ) = 9

13

108 x 10

( ) = 10

14

119 x 11

( ) = 11

15

123 x 12

4 x 12

( ) = 12

10

145 x 14

6 x 14

( ) = 14

18

157 x 15

2 x 15

( ) = 15

13

238 x 23

9 x 23

( ) = 23

20

357 x 35

6 x 35

( ) = 35

24

429 x 42

5 x 42

( ) = 42

19

537 x 53

4 x 53

( ) = 53

22

615 x 61

2 x 61

( ) = 61

19

756 x 75

2 x 75

( ) = 75

20

817 x 81

2 x 81

( ) = 81

15

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.

El cociente o división de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.

Ejemplos: 33636

3

6

22222

2

62828

2

8

33333

3

ACTIVIDAD 24. Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes. Después, calcula su valor.

Ejemplo: 38 : 3

5 = 3

8-5 = 3

3 = 27

54 : 5

3 =

69 : 6

7 =

710

: 78 =

812

: 810

=

913

: 911

=

103 : 10 =

112 : 11

2 =

123 : 12 =

134 : 13

2 =

205 : 20

2 =

306 : 30

3 =

12

407 : 40

4 =

704 : 70

0 =

805 : 80 =

906 : 90

2 =

1007 : 100 =

112 : 11 =

ACTIVIDAD 25. Completa los exponentes que faltan.

48 : 4

( ) = 4

6

59 : 5

( ) = 5

4

78 : 7

( ) = 7

6

89 : 8

( ) = 8

3

910

: 9( )

= 97

1016

: 10( )

= 1010

1115

: 11( )

= 114

1216

: 12( )

= 1212

1312

: 13( )

= 139

3515

: 35( )

= 3512

4120

: 41( )

= 41

5018

: 50( )

= 509

6217

: 62( )

= 624

7519

: 75( )

= 752

8021

: 80( )

= 8010

8230

: 82( )

= 8221

9045

: 90( )

= 9020

9532

: 95( )

= 9517

POTENCIA DE UNA POTENCIA.

La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Ejemplos: 62323 22)2(

123434 33)3(

ACTIVIDAD 26. Escribe en forma de una sola potencia.

(32)3 =

(43)2 =

(52)2 =

(64)3 =

(75)2 =

(84 )

5 =

(97 )

3 =

(104 )

2 =

(115 )

6 =

(127 )

9 =

ACTIVIDAD 27. Calcula y completa los exponentes que faltan.

(24 )

( ) = 2

8

(32 )

( ) = 3

6

(43 )

( ) = 4

12

(5( )

)4 = 5

16

(6( )

)8 = 6

24

(7( )

)4 = 7

36

POTENCIA DE UN PRODUCTO.

13

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia.

Ejemplos: 222 35)35(

3333 524)524(

ACTIVIDAD 28. Escribe el resultado como producto de potencias.

(2 x 3)3 =

(8 x 9)5 =

(7 x 10)2 =

(2 x 3 x 4)2 =

(10 x 11 x 12)6=

(13 x 14 x 15)7=

ACTIVIDAD 29. Escribe en forma de una sola potencia.

56 x 7

6 x 8

6 =

47 x 9

7 x 5

7 =

117 x 12

7 X 13

7 =

148 x 15

8 X 16

8 =

Potencias de 10. Notación científica.

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente.

Ejemplos: 1000101010103

1000000101010101010106

Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10. A esto lo llamamos notación científica.

Ejemplos: 710121000000012120000000

81021000000002200000000

También podemos usar la notación científica para escribir números muy pequeños, más pequeños que uno. Aunque estos no son números enteros y no entrarían en este tema es más fácil explicarlos aquí.

Para escribir cómodamente estos números utilizamos también las potencias con base diez pero en este caso con el exponente en negativo, el exponente será el número de posiciones que se ha movido la coma hacia la derecha.

Ejemplos: 21001,0

310001,0

Los números con muchos decimales también podemos escribirlos de este modo. Escribiremos, por tanto, el número entero sin coma multiplicado por diez elevado al número entero negativo correspondiente, es decir el número de veces que hemos movido la coma hacia la derecha.

14

Ejemplos: 31025025,0

21020303,2

25103240035400000000000000000000,0

ACTIVIDAD 30. Calcula:

104 =

106 =

109 =

1010

=

1011

=

1012

=

ACTIVIDAD 31. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.

3.000 =

40.000 =

600.000 =

7.000.000 =

80.000.000 =

130.000.000 =

200.000.000 =

320.000.000 =

1.000.000.000 =

2.000.000.000 =

ACTIVIDAD 32. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.

Tierra Urano Neptuno Plutón

Distancia media al Sol (km) 149.500.0000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000

Potencias de base 10

4. RAÍCES CUADRADAS.

La raíz cuadrada de un número es aquel número que su cuadrado sea igual al primer número. Dicho con palabras suena un poco complicado pero no es así, mira el ejemplo y verás.

ba tal que ab 2

Por ejemplo 39 porque 932

Si tenemos en cuenta todo lo aprendido en este tema y pensamos un poco nos daremos cuenta que un número positivo tiene dos raíces cuadradas, es decir:

ba ya que ab 2 y ab 2)(

Por ejemplo 39 porque 9)3(3 22

15

La raíz cuadrada de un número negativo no existe, porque no existe ningún número que al cuadrado de un número negativo. (Recuerda: si el exponente es par, como es el 2, todos los resultados son positivos).

Por lo tanto: a (esto se lee: “La raíz cuadrada de a negativo no existe”)

Por ejemplo: 9

En una serie de operaciones combinadas en la que aparezcan potencias y raíces, el orden que deben efectuarse las operaciones es: primero las potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas. Si existen paréntesis, efectuamos primero las operaciones de su interior siguiendo este mismo orden para luego continuar de igual forma.

Por ejemplo: 29281475:5275:25 2 ó

10166282328292352923:952923:3529 2

ACTIVIDAD 33. Calcula las siguientes potencias y raíces cuadradas

(+3)2 =

(-5)3 =

(-3)4 =

(-3)5 =

(-2)4 =

16

625

9

9

25

16

ACTIVIDAD 34. Calcula las siguientes operaciones combinadas.

32255

105423

22532

16625

91652 2

24 849216

238:3616

32 103005625

162:16144 3

25249643 22

38 352144

12642:2 710

4916325:75 4

26 29:228

Calculo de raíces cuadrada sin calculadora:

No sabemos si recordarás o si has realizado alguna vez este tipo de operaciones. Vamos a repasar con ayuda de un ejemplo como se realizan las raíces cuadradas. No temas no es tan complicado.

16

Reúne el número en grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: en el ejemplo 75 y 9.

Busca el número cuyo cuadrado se acerque lo máximo (sin superarlo) al primer grupo de la izquierda, en nuestro caso para el 9 es el 3, ya que 3

2=9.

Este número lo apuntamos en el recuadro de la derecha como el primero del resultado y su cuadrado se lo restamos al primer grupo. En nuestro caso apuntamos 3 a la derecha y restamos 9.

A continuación bajamos las dos cifras siguientes, 75en el ejemplo.

Bajo el recuadro de la solución ponemos el doble del que está escrito, es decir bajo el 3 escribimos su doble, 6.

Buscamos el número que puesto junto al anterior y multiplicado por él nos dé un número cercano al que hemos bajado. Un número que junto al 6 y multiplicado por él nos dé el más cercano a 75 sin pasarse.

62·2=124 se pasa, 61·1=61 sí sirve. Restamos 75-61 = 14.

Ponemos dos ceros y una coma en el radicando.

Abajo escribimos el doble de 31, o sea 62 y seguimos como en el paso anterior. Buscamos un número que puesto junto al 62 y multiplicado por él mismo nos dé el más cercano a 1400 sin pasarse

El 2 es el más cercano ya que 622·2 = 1244, con el tres nos pasaríamos (623·3=1869).

Para hallar más decimales, deberíamos escribir dos ceros tras el 156 y repetir el proceso.

Por tanto 2,31975

ACTIVIDAD 35. Realiza sin ayuda de la calculadora las siguientes raíces cuadradas, llegando hasta las centésimas en las ocasiones que sea posible.

81

125

175

996

98

102

324

769

17

1236

1453

5453

15625