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Captulo 3 LEY DE COULOMB Y EL CAMPO ELECTRICO3.1 CARGAS ELECTRICAS.Los antiguos griegos saban ya, hacia el ao 600 A de C, que el mbar, frotado con lana, adquira la propiedad de atraer cuerpos ligeros (hierba seca, papel, etc.). Al interpretar hoy esta propiedad se dice que el mbar est electrizado, o que posee carga elctrica, o que est cargado elctricamente. Estos trminos se derivan del griego, elektron que significa mbar. En experiencias de clase se utilizan corrientemente una barra de ebonita en lugar del mbar y una piel. Si despus de frotar la ebonita con la piel la acercamos a una bola de corcho que cuelga de una cuerda. Se observa que la bolita de corcho es atrada hacia la varilla (figura 3.1 a). El experimento anlogo realizado con una barra de vidrio frotada con seda dar el mismo resultado (figura 3.1b). Por otra parte, si se tienen dos esferas de corcho que previamente han sido tocadas cada una por una barra de ebonita previamente frotada con piel. Ambas se repelen (figura 3.1c). Lo mismo ocurre si el mismo experimento es realizado con vidrio (3.1d). Ahora, si una de las bolas de corcho ha estado en contacto con la ebonita electrizada, cuando se coloca cerca de otra que ha mantenido contacto con el vidrio electrizado, se observa que se atraen (figura 3.1 e).

Figura 3.1 Esto lleva a la conclusin de que hay dos clases de cargas elctricas, a las cuales Benjamn Franklin (1706-1790) les asign los nombres de carga negativa la que posee la


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ebonita frotada con piel y de carga positiva la que posee el vidrio despus de frotado con seda. Como conclusin de los eventos con bolas de corcho se llega a dos resultados fundamentales: 1) cargas de igual signo se repelen; 2) cargas de distinto signo se atraen. Tales interacciones atractivas o repulsivas de origen elctrico coexisten con la interaccin gravitatoria de atraccin y, en la mayor parte de los casos, esta ltima puede despreciarse por ser sumamente dbil frente a las primeras(ver ejemplo 1). Otro aspecto importante del modelo de Franklin es el siguiente: si una barra de ebonita se frota con piel y se pone despus en contacto con una bola de corcho suspendida. Tanto la ebonita como la bola estn cargadas negativamente. Si se aproxima ahora la piel a la bola, esta ser atrada, indicando que la piel se halla cargada positivamente. De ello se deduce que cuando la ebonita se frota con piel, aparecen cargas opuestas sobre ambos materiales. Siempre que cualquier objeto se frota con otro se obtiene el mismo resultado. As el vidrio resulta positivo, mientras que la seda conque se ha frotado resulta negativa. Esto sugiere que las cargas elctricas no son creadas ni destruidas, sino que el proceso de adquirir carga elctrica consiste en ceder algo de un cuerpo a otro, de modo que uno posee un exceso y el otro un dficit de ese algo. Esto se puede resumir de la siguiente manera en un proceso fsico la carga elctrica siempre se conserva. Hasta fines del siglo XIX no se descubri que ese algo se compone de porciones muy pequeas de electricidad negativa, actualmente llamadas electrones. En 1909, Robert Millikan (1869-1953), quien con su experimento de la gota de aceite encontr que la carga elctrica siempre se encuentra en la naturaleza como un mltiplo entero de una unidad fundamental de carga e, conocida como carga fundamental. En otra palabras, actualmente se dice que la carga q est cuantizda, donde q representa la carga elctrica. As, q=ne, donde n es un entero. La unidad de carga en el sistema SI es el coulomb (C). La carga e de un electrn es e= 1.602x10-19 C. La materia comn est formada por cantidades enteras de electrones y protones que tienen carga positiva y el mismo e. Hoy se cree que los protones estn formadas por partculas ms pequeas llamadas quarks, cuyas cargas son mltiplos de e/3. Aparentemente, los quarks no pueden existir fuera de las partculas que forman, de modo que para todo fin prctico, la mnima carga observable es e. Como e es tan pequea, en los fenmenos a escala de laboratorio n es muy grande. En la misma forma en que el aire se puede considerar como un fluido continuo, aunque en realidad sea un conjunto de molculas individuales, con frecuencia una distribucin de carga se puede considerar continua, aunque est formada por cargas elementales individuales.

3.2 CONDUCTORES Y AISLADORES.En un da seco la varilla de ebonita que ha sido frotada con piel permanecer cargada por varios minutos, mientras que una varilla metlica cargada pierde su carga instantneamente al tocarla. La diferencia radica en la capacidad que tiene una carga de moverse a travs de los materiales de las dos varillas. El metal es un conductor y la ebonita es un aislante. Cada molcula de la ebonita sujeta fuertemente sus electrones, mientras los electrones externos en un metal son atrados por los tomos vecinos tan fuertemente como por su propio tomo, y en consecuencia tienen libertad para


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moverse en el material. Toda carga colocada en un conductor se puede mover libremente en el material, o hasta pasar a travs del conductor. Los materiales conductores ms comunes son los metales. Los mismos electrones libres que sostienen la corriente en un alambre de cobre tambin transportan el calor en forma eficiente a travs del fondo de una olla, y reflejan la luz para producir su apariencia brillante. El grado con el que los electrones tienen libertad de movimiento en un material se describe con su conductividad. La conductividad vara enormemente entre los materiales. Los metales permiten que las cargas se muevan unas 1023 veces ms fcilmente que los aislantes comunes, como el vidrio. El germanio, el silicio, arseniuro de galio y otros materiales tienen una cantidad intermedia de electrones mviles por tomo, a estos materiales se les llama semiconductores. El control de la conductividad de esos materiales se hace mediante una ingeniosa contaminacin con impurezas. Existe un mtodo para cargar un conductor y es por induccin. Uno de los procedimientos es utilizar una barra de ebonita para cargar otros cuerpos, mediante el cual la barra de ebonita comunica una carga de sentido opuesto sin prdida alguna de su propia carga en el proceso. Para explicar uno de los mtodos de carga por induccin se sigue la secuencia de la figura 3.2 de la izquierda. En la parte (1) de esta figura se muestra esquemticamente dos esferas metlicas neutras en contacto, sostenidas por pies aislantes. Cuando una barra de ebonita cargada negativamente se aproxima a una de las esferas, pero sin llegar a tocarla, como se indica en (2), son repelidos los electrones libres de las esferas metlicas, y toda la nube de gas electrnico contenido en el interior de las esferas se desplaza ligeramente hacia la derecha, alejndose de la barra. Dado que los electrones no pueden escapar de las esferas, en la superficie de la esfera de la derecha, mas alejada de la barra, se acumula un exceso de carga negativa. Esto origina una prdida de carga negativa ( o sea, un exceso de carga positiva) en la superficie ms prxima a la barra de la esfera de la izquierda. Tales excesos de carga se denominan cargas inducidas.

Figura 3.2


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No debe inferirse que todos los electrones libres son arrastrados hacia la superficie de la esfera derecha. Tan pronto como se producen cargas inducidas, estas tambin ejercen fuerzas sobre los electrones libres situados en el interior de las esferas. Esta fuerza es hacia la izquierda (repulsin por la carga inducida negativa y atraccin por la carga inducida positiva). En un tiempo extremadamente pequeo el sistema alcanza un estado de equilibrio, y en cada punto del interior de las esferas, la fuerza hacia la derecha que la barra cargada ejerce sobre un electrn queda exactamente equilibrada por una fuerza hacia la izquierda producida por las cargas inducidas. Las cargas inducidas permanecern sobre las superficies de las esferas mientras se mantenga cerca la barra de ebonita. Si esta se aleja, la nube de electrones de las esferas se desplaza hacia la izquierda y se restablece el estado neutro inicial. S se desplazan ligeramente las esferas, como en (3), mientras se mantiene la barra cerca la barra de ebonita. Despus, se aleja la barra de ebonita, como en (4), quedando dos esferas metlicas cargadas con cargas opuestas. Puesto que estas se atraen entre s, permanecern tan prximas como les sea posible, y solo cuando ambas esferas estn separadas lo suficiente, como en (5), las cargas se distribuirn uniformemente. Debe notarse que en los pasos sucesivos de (1) a (5), la barra de ebonita cargada negativamente no perdi carga alguna. Los pasos de (1) a (5), en la figura 3.2 de la derecha se explican fcilmente. En esta figura, se carga por induccin una sola esfera metlica que esta aislada por un soporte aislante, y el smbolo designado por Tierra en la parte (3) significa sencillamente que la esfera esta conectada a la tierra, que en este caso desempea el papel de la segunda esfera de la figura 3.2 de la izquierda. En el paso (3), los electrones son repelidos a tierra, sea a travs de un alambre conductor o de una persona que toque la esfera con la mano. La tierra adquiere as una carga negativa igual a la carga positiva inducida que permanece en la esfera.

3.3 LA LEY DE COULOMB.La ley que rige las fuerzas entre partculas inmviles fue determinada en 1784 por Charles Augustin Coulomb (1736-1806), quien usando una balanza de torsin figura 3.3 estableci la dependencia de la fuerza elctrica con la distancia y el valor de la carga.

Figura 3.3


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La ley de Coulomb establece que La interaccin elctrica entre dos partculas cargadas qa y qb en reposo, es proporcional al producto de sus cargas y al inverso del cuadrado de la distancia entre ellas, y su direccin se halla a lo largo de la lnea que las une. Que se puede expresar en forma vectorial como

r q q Fba = K e a 2 b rab r

3.1

$ donde rab es un vector unitario dirigido de qa a qb, como en la figura 3.4 a y seala la direccin de la fuerza que ejerce qa sobre qb. Si qa y qb tienen el mismo signo, el producto de ellas es positivo y la fuerza es de repulsin figura 3.4a. Si qa y qb son de signo opuesto, como en la figura 3.4b, el producto de ellas es negativo y la fuerza es atractiva. Adems, como la ley de Coulomb obedece la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce qa sobre qb es igual en magnitud a la fuerza que ejerce qb sobre qa y en r r direccin opuesta, es decir Fba = Fab .

Figura 3.4En 3.1 Ke es la constante de Coulomb que se escribe como

Ke =donde la constante SI, el valor

1 4 0

0 se conoce como la permitividad del vaco y tiene en unidades

0 =8.8542x10-12 C2 .N-1 .m-2por lo tanto Ke= 8.9875x109 N. m2. C-2. Ejemplo. 1 Cul es la relacin que existe entre la fuerza elctrica y gravitacional cuando interactan un electrn y un protn?. Las fuerzas elctrica y gravitacional varan ambas de la misma forma en funcin de la distancia. Por consiguiente su relacin no depende de la distancia.

Felc Ke e 2 (9 x10 9 kg. m 3 . s 2 . C 2 )(16 x10 19 C ) 2 . = = 2 x10 39 11 3 2 1 27 31 Fgra v Gm p me (6.7 x10 m . s . kg )(17 x10 kg )(9 x10 kg ) .Definitivamente, las fuerzas gravitacionales son tan pequeas comparadas con la fuerza elctrica que a nivel atmico son despreciables.


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Cuando estn presentes ms de dos cargas, la fuerza esta dada por la ecuacin 3.1, que es un vector, por lo tanto la fuerza resultante sobre cualquiera de ellas es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por diversas cargas individuales. Ejemplo. 2 Cuatro cargas puntuales estn en las esquinas de un cuadrado de lado a, como en la figura 3.5.

figura 3.5a Determine la fuerza neta sobre la carga colocada en el vrtice superior derecho de la figura. Para efectos del calculo q1=2q, q2=q, q3=-q y q4=-2q. O sea que la fuerza que hay que determinar es sobre la carga q3 debido a las otras cargas. Primero se dibujan las fuerzas que ejercen q1, q2, y q4 sobre q3 y luego se hace un diagrama de cuerpo libre como en la figura 3.5b.

figura 3.5b La fuerza neta sobre q3 es

r r r r F = F31 + F32 + F34Por lo tanto, las componentes x e y de la fuerza resultante sobre q3 son

F = F cos 45 F F = F F sen450 x 31 0 y 34 31

32

donde

2q 2 q2 q2 F31 = K e 2 = K e 2 , F32 = K e 2 2a a a

2q 2 y F34 = K e 2 a

el signo de las cargas se tuvo en cuenta cuando se construyo el diagrama de cuerpo libre.


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Reemplazando la magnitud de las fuerzas en las sumatorias, se tiene:

Fx = K e Fy = K eentonces,2

2 q2 q2 1.70 K e 2 1 + 2 a2 a 2 q2 1.29 K e 2 2 2 a q2 (1.70) + (1.29) 2.13K e 2 a2 2

q2 a2

q2 F = ( Fx ) + ( Fy ) = K e 2 a2

tan = Y se obtiene:

1.29 0.76 1.70

= 37.19 03.4 EL CAMPO ELECTRICO.La interaccin entre cargas se puede medir de otra manera. Una carga crea un campo elctrico en la regin que la rodea, y este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que se coloque en l. El campo elctrico est presente en cada punto del espacio independientemente de que all exista una carga. Sin embargo, para medir el campo en determinado punto colocamos all una carga y medimos la fuerza sobre ella. Para no perturbar apreciablemente el sistema, lo que colocamos es una carga de prueba positiva q0, tan pequea como sea posible. A partir de la fuerza medida sobre la carga de prueba se determina el valor del campo elctrico en ese punto.

r r F q $ E lim = Ke 2 r q0 0 q r 0La magnitud del vector campo elctrico

3.2

r E es la intensidad del campo elctrico.

La ley de Coulomb describe el campo elctrico producido por una sola carga. Si existen varias cargas en una regin del espacio, cada una de ellas contribuye al campo elctrico neto. Se observa que el campo elctrico total es la suma vectorial de las aportaciones individuales. La presencia de una carga no afecta la contribucin de la otra. A esta regla se le llama principio de superposicin. O sea, que si existen varias cargas puntuales qi en una cierta regin del espacio, el r vector campo elctrico total E en un punto P es la suma de los vectores de campo elctrico producidos por las cargas individuales.

r r qi $ E = E i =K e 2 ri i ri i

3.3


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Como una aplicacin, se calcula el campo elctrico producido por dos cargas iguales y de signo contrario separadas una distancia 2a en un punto P, a una distancia x a lo largo de la perpendicular bisectriz de la lnea que une las cargas ver figura 3.6. A esta distribucin de dos cargas se le llama dipolo elctrico.

figura 3.6 El campo total en el punto P es donde

r r r E = E+ + Eq q 2 = Ke 2 r x + a2

E + = E = Ke

Las componentes x de E + y E se cancelan entre s. El campo total E tiene por lo tanto una componente a lo largo del eje y nicamente, de magnitud

r

r

r

E = E + cos + E cos = 2 K e

q x + a22

a

( x2 + a2 )

1 2

= Ke

2qa

(x2 + a2 ) 2

3

para el caso x >> a, se puede ignorar a2 en el denominador de la ultima ecuacin, por r lo tanto el campo E para un dipolo elctrico es

r r 2aq p E K e 3 ( u y ) = K e 3 x xr

3.4

donde p = ( 2 qa )u y es llamado el vector de momento dipolar y va de la carga negativa a la carga positiva y por lo tanto antiparalelo al campo elctrico de la distribucin (figura 3.6). El momento dipolar elctrico es una propiedad fundamental de las molculas llamadas dipolares, por ejemplo el H2O. Pero, en la practica los campos los crean generalmente cargas distribuidas sobre las superficies de tamao finito, y no cargas puntuales. El campo elctrico se calcula entonces imaginando subdividida la carga de cada objeto cargado en pequeos elementos q . No toda la carga se halla a la misma distancia del punto P como en la figura 3.7, pero si los elementos son pequeos comparados con la distancia al punto, y si r


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representa la distancia de un punto cualquiera del elemento al punto P, se puede escribir (aproximadamente) el campo elctrico como

r q $ E Ke 2 r r

3.4

Figura 3.7 cuanto ms fina sea la subdivisin, ms aproximado ser el resultado, y en el limite, cuando, q 0 se tiene entonces

r q dq $ $ E = K e lim 2 r = K e 2 r q 0 r r

3.5

Los limites de integracin han de ser tales que queden incluidas todas las cargas que contribuyen a crear el campo. como cualquier ecuacin vectorial,r3.5 equivale a tres

$ ecuaciones escalares, una para cada componente de los vectores E y r . Para hallar la integral vectorial, se calcula cada una de las tres integrales escalares.Una distribucin de carga continua se describe por su densidad de carga, si dq se distribuye en un volumen dV, la carga por unidad de volumen, se define = dq dV y tiene como unidades C-m-3. Si dq se distribuye en un rea dA, la carga por unidad de rea, se define = dq dA y tiene como unidades C-m-2 y si dq se distribuye en una longitud dl, la carga por unidad de longitud, se define C-m-1.

= dq dlr

y tiene como unidades

Ejemplo. 3 Distribucin lineal de carga. Determinar E de un alambre de longitud l en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en la figura 3.8. La carga del alambre est uniformemente distribuida.

Figura 3.8


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Un elemento de longitud dx tiene una carga dq = dx que produce un campo elctrico infinitesimal dE en el punto P de la figura, dado por

r

r $ $ $ $ dE = dE x u x + dE y u y = dE (sen u x + cos u y )donde la magnitud de dE es

r

dE = K e

dx(x + y2 )2

calculando primero la componente y del campo dada por

E y = Ke 2l cos 2l 2

l

dx (x + y2 )2

E y = 2 K e cos0

dx (x + y2 )2

de la figura se ve que las cantidades y x no son independientes. Por lo tanto se debe expresar una de ellas en termino de la otra, por ejemplo x. De la figura la relacin es

x = y tan , por lo tanto dx = y sec 2 dsustituyendo en la ultima integral estas dos expresiones, se llega finalmente a

E y = 2 Kedonde sen Max =

y

= Max=0

cos d = 2 K e

y

sen Max

l (l + 4 y 2 )2

por lo que

E y = 2 Kecuando

ly (l + 4 y 2 )2

l

E y = 2 Ke

y

=

2 0 y

La componente Ex debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda tiene un elemento correspondiente a la derecha de modo que sus contribuciones al campo en la direccin de las x se anulan. Es decir, existe una simetra a lo largo del eje y de tal manera que las componentes perpendiculares a este eje se anulan. Ejemplo. 4 Se tiene un alambre que forma un arco de circunferencia de radio R y que subtiende un ngulo 2 0 ver figura. La carga del alambre est uniformemente distribuida y es q. Encuentre el campo elctrico en el punto P.


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Figura 3.9 Para cada elemento de carga que se toma, existe uno simtrico con respecto al eje y; en consecuencia la componente x del campo elctrico en el punto P es cero.

E x ( P) = 0

Por lo tanto

v dE = dE u y y

donde

dE y = Ke

dq cos R2

Si consideramos nicamente la mitad del alambre entonces la anterior expresin se multiplica por dos debido a la simetra. Haciendo dq = ds = Rd = ( q 2 R 0 ) Rd = ( q 2 0 ) d Entonces v K q 0 E = 2e cos d u y R 0 0

Entonces

v K q E = 2e sen 0 u y R 0Ejemplo. 5 Distribucin superficial de carga. Determinar E de una lmina plana infinita en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en la figura 3.9. La carga en la lmina est uniformemente distribuida.

r


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Figura3.10 Se subdivide la carga en estrechas franjas de anchura dz, paralelas al eje x. Cada franja es una carga lineal, de modo que se puede utilizar el resultado del alambre infinito del ejemplo anterior. El rea de una porcin de franja de longitud l es ldz, la carga dq = ldz y la magnitud del campo en el punto P debida a esta franja es

dE = 2 K edonde

r

d =por lo tanto

dq dA ldz = = = dz , l l lcon r =

dE = 2 K e

dzr

( z 2 + y 2 ) ver figura.

Este campo se puede descomponer en sus componentes dEy y dEz; que por razones de simetra, las componentes dEz al hacer la integracin completa sobre la lmina da cero. El campo en el punto P, por lo tanto est en la direccin y, perpendicular a la lamina de carga. De la figura 3.10 se tiene

dE y = dE senentonces,

E y = 2 Ke reemplazando sen =

+

sen dz r

y y a r en la anterior ecuacin se obtiene r + dz E y = 2 Ke y 2 z + y 2

1 z E y = 2 K e y arctan y y

+

= 2 K e =

2 0

Resultado parecido al obtenido en el capitulo de gravitacin.


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Ntese que en el resultado no aparece la distancia y. O sea que el campo resultante es uniforme y normal al plano. Otros ejemplos se pueden resolver simplemente tomando los ejemplos de gravitacin. En estos ejemplos, donde aparece G se reemplaza por por q con su signo respectivo.

Ke =

1 4 0

y en donde est m

3.5 LINEAS DE FUERZA.Una buena manera de visualizar el campo elctrico producido por cualquier distribucin de cargas es trazar un diagrama de lneas de fuerza en ese punto. Concepto que fue introducido por Michael Faraday. La direccin del vector de campo elctrico en cada punto es tangente a la lnea de fuerza en ese punto ver figura 3.10.

Figura3.11 En otras palabras, en cada punto la lnea de fuerza tiene la misma direccin que el vector de campo elctrico. Puesto que, de ordinario, la direccin del campo vara de un punto a otro, las lneas de fuerza son en general curvas. En la figura 3.12 se muestran las lneas de fuerza para algunas distribuciones de carga. Se observa que cerca de una carga puntual las lneas de fuerza son radiales y van dirigidas hacia fuera si la carga es positiva o hacia la propia carga si es negativa.

figura 3.12

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En las regiones donde las lneas de fuerza estn muy juntas el campo elctrico es grande, mientras que donde estn muy separadas el campo es muy pequeo. Por tanto, la densidad de lneas es proporcional al campo elctrico, hecho que se tratar en otro capitulo mediante la ley de Gauss. Adems, en cualquier punto, el campo resultante solo puede tener una direccin; por tanto, por cada punto del campo pasa solo una lnea de fuerza. En otras palabras: las lneas de fuerza no se cortan.

3.6 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELECTRICO.Si una partcula con carga q se encuentra en una regin con campo elctrico E , esta r r

r

sufre una fuerza F = q E . Haciendo caso omiso de otras fuerzas, la aceleracin de una partcula en un campo elctrico est dada por

r r F q r a= = E . m mQue permite para un campo conocido determinar la relacin carga a masa, q/m, de una partcula cargada.

3.6

Ejemplo. 6. Escribir las ecuaciones cinemticas para una partcula cargada que est inicialmente en reposo en un campo elctrico uniforme. Una partcula cargada, soltada desde el reposo en el seno de un campo elctrico unir

forme, se mueve con una aceleracin constante a lo largo de una lnea paralela a E , de la misma forma que una partcula de masa m soltada en un campo gravitatorio unir forme cae verticalmente siguiendo una lnea paralela a g como se muestra en la figura 3.12.

Figura 3.12 Si se toma el origen inicial del movimiento en la regin punteada, y el eje y en la dir reccin de E y se hace t=0 para y=0, la cinemtica es:

ay =

qE , m

vy =

qE t, m

y=

1 qE 2 t 2 m

Despejando el tiempo t en vy y remplazndolo en y se obtienen:

Apuntes de fsica II- Cap. 3 Interaccin elctrica ... [email protected] 1012 vy =

2 qE y m

y

K=

1 2 mv = q E y 2 y

Ejemplo. 7. Escribir las ecuaciones cinemticas para una partcula cargada que se enva con una velocidad perpendicular hacia un campo elctrico uniforme.

Figura 3.13 En la figura 3.13 se toma el campo E en la direccin y a x0 = y0 = 0 y a v=v0x en t=0. El movimiento es similar al de una bola lanzada horizontalmente en el campo gravitacional uniforme de la tierra. Utilizando de nuevo los procedimientos cinemticos se obtiene:

r

ay =

qE ax = 0 az = 0 m qE vy = t v x = v0 x v z = 0 m 1 qE 2 y= t x = v ox t z = 0 2 m

Como se puede ver de las ecuaciones, el movimiento se realiza en el plano xy. Si se elimina t entre las ecuaciones de x e y se obtiene una trayectoria parablica de la partcula:

y=

1 qE 2 2 x 2 mv 0 x

Si la carga fuese negativa, ay sera negativa , con lo que la trayectoria se curvara hacia abajo parecido al movimiento de una bola en un campo gravitacional. Ejemplo. 8. Un electrn describe una trayectoria circular alrededor de un alambre largo cargado uniformemente ver figura. Si la velocidad del electrn es de 6x106 m-s-1 , Cul es la densidad de carga en el alambre?. El campo elctrico de un alambre con carga positiva es radial y hacia afuera. El electrn se mueve entonces en un circulo alrededor del alambre debido a que la fuerza r r r

F = q E = eE que acta sobre l siempre se dirige hacia el centro del circulo.


Figura 3.14 El campo elctrico es el calculado en el ejemplo 3 para un alambre muy largo. Por lo tanto la magnitud de la fuerza sobre el electrn para un radio y es:

2k F = eE = e e . y Esta fuerza causa la aceleracin centrpeta

2k v2 e e = m . y y por lo tanto

(9.11x10 31 kg )(6.0 x10 6 m. s 1 ) 2 mv 2 8 1 . = = 19 9 2 2 = 11x10 C. m 2eK e 2(160 x10 C )(9.0 x10 N . m . C ) .3.7 DIPOLO EN PRESENCIA DE UN CAMPO ELECTRICO.

figura 3.15En la figura 3.15 se muestra un dipolo elctrico colocado en una regin donde hay un r campo elctrico uniforme

v E , el dipolo elctrico p forma con este un ngulo . Obran r r dos fuerzas iguales y opuestas F y F como se muestra, con F=q E.

La fuerza neta es cero, pero hay un torque neto con respecto a un eje que pasa por 0 dado por

= 2 F ( a sen ) = 2aqE sen Teniendo en cuenta que p=2aq, se obtiene


= pE sen La anterior ecuacin se puede escribir en forma vectorial as:

3.7

= p E

v

r

r

3.8

El torque est en la direccin entrando al plano de la figura. Este torque hace que el dipolo comience a girar para alinearse con el campo elctrico; cuando el dipolo est paralelo al campo elctrico, el torque en ese instante es cero, pero el dipolo ha adquirido momento angular. Continua girando y se pasa de la alineacin; entonces el torque invierte su direccin. El dipolo oscila respecto a una posicin de equilibrio, paralela a la direccin del campo. Este modelo no tiene mecanismo alguno para que el dipolo pierda energa, as que este continuar oscilando indefinidamente. Los dipolos reales, estn sujetos a friccin; en consecuencia sus oscilaciones se amortiguan y estos quedan alineados con el campo. Ejemplo. 9. Cul es la aceleracin angular mxima de una molcula de HCl ( momento de dipolo p= 3.6 x 10-30C.m y momento de inercia I= 2.7 x 10-47 Kg.m2) en una regin de campo elctrico E=1.7 x 104 N.C-1?. Cuando el vector momento de dipolo forma un ngulo recto con el vector del campo elctrico en la figura 3.15, el ngulo entre ellos es = 2 . En este caso, el torque es mximo y est dado por

= pEsen( 2) = pELa aceleracin angular se relaciona con el torque por medio de Por ello, la aceleracin angular es

= I .

=

I

=

pE (3.6 10 30 C.m)(1.7 10 4 N .C 1 ) = 2.3x10 21 rad .s 2 = I 2.7 10 47 kg.m 2

Obsrvese que aunque el torque es bastante pequeo, el momento de inercia tambin lo es, la molcula tiene una aceleracin muy grande. Para cambiar la orientacin de un dipolo elctrico en un campo elctrico externo debe hacerse trabajo mediante un agente externo. Este trabajo queda almacenado como energa potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado para crear el campo externo. Por lo tanto el trabajo requerido para hacer girar el dipolo un ngulo , est dado por

W=

d = U0

Siendo el momento ejercido por el agente que hace el trabajo. Combinando esta ltima ecuacin con la ecuacin 3.7 se obtiene:

U =

0

pE sen d = pE sen d = pE (cos cos0 )0


Como lo que interesa son los cambios de energa potencial, se escoge la orientacin de referencia como

0 =

2

. As se obtiene:

U = pE cosque en forma vectorial es

3.9

3.10 Ejemplo 10. Una molcula de agua tiene un momento de dipolo elctrico p=6.2x1030 C.m . Si la molcula est en un campo elctrico de 1.0x103 N.C-1, cunta energa se requiere para rotar el dipolo desde el alineamiento paralelo hasta uno antiparalelo al campo?. En la figura 3.16 se muestra como la energa potencial depende de la orientacin del vector de momento de dipolo respecto a la direccin del campo.

r r U = p. E

Figura 3.16 La energa que se requiere para rotar la molcula es igual al cambio en la energa potencial:

U = U antiparalelo U paralelo = pE cos180 0 ( pE cos 0 0 ) = 2 pEU = 2(6.2 x10 30 C.m)(1.0 x10 3 N .C 1 ) = 1.2 x10 26 J3.8 APLICACIONES PRACTICAS.Los campos electrostticos aceleran partculas en el interior de los tubos de rayos catdicos de los osciloscopios y televisores, y en los aceleradores lineales para investigacin de partculas de alta energa. Los campos electrostticos tambin se usan en algunos diseos de altoparlantes de alta frecuencia y micrfonos, y en las fotocopiadoras. Los dipolos son un buen modelo para molculas expuestas a campos elctricos como en los hornos de microondas y tambin son la base del comportamiento 1/r6 de las fuerzas moleculares en el modelo de los gases de Van der Waals. INTERACCIN ELCTRICA PROBLEMAS RESUELTOS 3.1 Dos bolas iguales de corcho tienen cargas elctricas iguales q atadas a dos cuerdas de longitud l que cuelgan del techo, como muestra la figura. Halle una expresin en trminos del ngulo para la situacin de equilibrio del sistema mostrado en la figura.


La distancia entre las bolas de corcho es d + 2l sen . La fuerza electrosttica F entre ellas es repulsiva y viene dada por:

F=

q2 4 0 (d + 2l sen ) 2

Ahora, el diagrama de la derecha muestra las tres fuerzas que actan sobre la bola. Como sta se encuentra en equilibrio, entonces estos tres vectores deben sumar cero. Entonces se tiene que

v v v v T + F +W = 0Esta ecuacin vectorial tiene componentes horizontal y vertical:

T sen = F T cos = mgAl dividir una por otra se encuentra que

tan =

F , es decir: mg

q2 tan = . 4 0 mg (d + 2l sen ) 2

[

]

3.2 Dos placas muy grandes y paralelas tienen una separacin de 2 centmetros y se someten a una diferencia de potencial de 1000 voltios (ver la figura). Por el extremo superior se inyecta un electrn con una velocidad horizontal de magnitud v (0) = v x (0) = 6 10 7 m s 1 . Calcule:


a) La distancia horizontal a la cual el electrn choca con la placa inferior. b) El tiempo que tarda el electrn en chocar con la placa inferior. v c) La velocidad v con que choca.

En la figura hemos indicado, con lneas punteadas, los ejes coordenados x, y. La pov v v sicin r y la velocidad v son funciones del tiempo, y por eso las escribimos r (t ) y

v v (t ) , y sus componentes son x(t), y(t)

y

vx(t), vy(t). Para un electrn se tiene

q = 1.6 10

19

C

y

v(0) = 6 10 7 m s 1 ,

tante. El movimiento horizontal es uniforme: -1-2-

Kg ; adems los datos del problema indican que 1000 V y (0) = 2 10 2 m , E = = m s 1 ; puesto que E es cons2 d 2 10x(t) = v(0) t vx(t) = v(0)

m = 9.1 10

31

El movimiento vertical es uniformemente acelerado dado por:

r v v F = m a = qE-3-

y (t ) = y (0) v y (t ) =

1 qE 2 t 2 m qE t m

-4-

b) Llamar t = T al instante del choque con la placa inferior. Para hallar T hacemos y (T ) = 0 en - 3 -:

0 = y ( 0)

1 qE 2 T , 2 m T=

de donde

-5a) Remplazando - 5 - en - 1 -:

2my (0) = 2.13 10 9 s qE

x(T ) = v x (0)T = (6 x10 7 m s 1 ) ( 2.13 x10 9 s ) = 12.8 x10 2 m .c) La velocidad para cualquier tiempo t es:


v v (t ) = v x (t )u x + v y (t )u y v v (T ) = v x (T )u x + v y (T )u y;

;

y en el tiempo t = T:

usando - 2 - y - 4 -:

= v(0)u x = v ( 0)u x

qE Tuy m qE m

;

reemplazando - 5 -:

2my (0) uy qE

= (6u x 1.87u y ) 10 7 m s 13.3 Dos piezas metlicas se encuentran a una diferencia de potencial V. Desde la v pieza inferior se dispara un electrn con velocidad v0 . Averiguar la magnitud de la velocidad v

v

con que el electrn golpea la pieza superior.

Llamamos m y q la masa y la carga del electrn. Llamamos V1 y V2 los potenciales en las piezas inferior y superior. Ahora escribimos la energa total en el instante en que se dispara el electrn: -1-

E=

1 2 mv 0 + ( q )V1 2

y la energa total ser cuando el electrn llega a la pieza superior: -2-

E=

1 mv 2 + ( q )V2 2

La ley de la conservacin de la energa indica que podemos igualar - 1 - y - 2 -:

1 2 1 2 mv qV2 = mv 0 qV2 , 2 22 v = v0 +

es decir

2q (V2 V1 ) m

Apuntes de fsica II- Cap. 3 Interaccin elctrica ... [email protected] 1082 = v0 +

2qV m

3.4 Dos cargas q iguales, positivas, se encuentran en el eje y en las posiciones

v y = a . Para puntos en el eje x halle el potencial elctrico y luego E ; repita el v problema hallando primero E en forma directa, y luego el potencial elctrico.

En un punto P en el eje x el potencial producido por cada carga es o sea que el potencial total es: -1-

q 4 0

1 a + x22

,

V =

2q 4 0

1 a + x22

Como V esta evaluado en y=0 y z=0 y por simetra Ey=Ez=0 el campo lo evaluamos a lo largo de x. Entonces, para hallar

E x se toma -2-

V : x

Ex =

2q V = x 4 0

x

(a

2

+ x2

)

3 2

Ahora calculemos E directamente. El campo producido por cada carga tiene magnitud

1 q 2 4 0 a + x 2 q x 4 0 2 a + x2

y

sus

componentes

horizontal

y

vertical

son

(

)

3 2

,

q 4 0

a

(a

2

+x

3 2 2

)

ver figura.

Las componentes verticales se

cancelan una a la otra y las componentes horizontales se suman para dar el campo total Ex : -3-

Ex =

2q 4 0

x

(a

2

+ x2

)

3 2


dV que es una ecuacin vlida para dx cualquier punto a lo largo de x, es decir dV = Edx e integrando se tiene :Para hallar V a partir del campo se toma E x =

v

0

dV = Edx ,x

x

es decir:

V = Edx , V =2q 4 0V =

y con - 3 -:

x

xdx

(a

2

+ x 2 )23

-4-

2q 4 0

1 a + x22

Ntese que - 3 - y - 4 - coinciden con - 2 - y - 1 -,

respectivamente.

3.5 Para el arreglo de cargas del problema anterior, halle el campo y el potencial en el punto 0,

a . 2

El campo producido por la carga superior es hacia abajo, y el producido por la carga inferior es hacia arriba. El campo total es: -1-

Ey =

q a 4 0 a 2 2

+

q a 4 0 a + 2 2

=

8q 9 0 a 2

El potencial total es la suma de los potenciales: -2-

V=

q + a 4 0 a 4 0 2

q 2q = a 3 0 a a + 2

Comparemos nuestras soluciones a los problemas 3.4 y 3.5. En el problema 3.4 pudimos hallar V a partir de Ex (integrando), y tambin pudimos hallar Ex a partir de V (derivando); pudimos derivar e integrar porque conocamos los valores de una funcin en todos los puntos del eje x. Sin embargo, en nuestra solucin al problema 3.5


no podemos hallar - 2 - a partir de - 1 -, ni podemos hallar - 1 - a partir de - 2 - porque en nuestra solucin no podemos integrar ni derivar, ya que no conocemos los valores de las funciones sino en un solo punto. 3.6 Una partcula alfa con 4 MeV de energa cintica se dispara directo contra un ncleo de un tomo de mercurio ver figura. Halle la distancia de acercamiento mximo. (la partcula alfa es el ncleo del tomo de He).

q;m

: carga y masa de la partcula alfa.

q = 2 1.6 10 19 C q = 3.2 10 19 CQ;M

; m = 4 1.67 10 27 Kg ; m = 6.68 10 27 Kg ; M = 200 1.67 10 27 KgQ ; M = 334 10 27 Kg

: carga y masa del ncleo del tomo de mercurio.

Q = 8.0 1.6 10 19 C Q = 128 10 19 CEco

:energa cintica inicial de la partcula alfa. Eco = 4 MeV 6 19 Eco = 4 10 1.6 10 Joules Eco = 6.41 1013

-1

J

Obsrvese que

adems la energa cintica del proyectil es mucho ms pequea que las energas en reposo del proyectil o del blanco. Estas dos consideraciones indican que, aproximadamente, es como si el blanco permaneciera en reposo durante el proceso; montamos entonces el sistema de referencia en el blanco. La energa inicial es la energa cintica del proyectil. Como Eco

u3-interaccion electrica-ley de coulomb

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