trazados reguladores en la arquitectura

F E L I P E S O L E R S A N Z

Trazados Reguladores en la Arquitectura

Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

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Textos y dibujos: Felipe Soler Sanz

Prólogo: José Mª Gentil Baldrich

Edita: Felipe Soler Monreal

Edición y maquetación: Felipe Soler Monreal

Con la colaboración de: Elena Salvador García y Mª Remedios Zornoza Zor-noza

Imagen de portada: Fotomontaje de la cúpula de la antigua capilla del conven-to de San Pío V en Valencia. Dibujo de Felipe Soler Sanz. Fotografía y monta-je de Felipe Soler Monreal

Otras imágenes: las imágenes incluidas en la presente edición se encuentran sujetas a licencias Creative Commons, GNU o bien pertenecen al Dominio Pú-blico.

Versión PDF: 1.0

Fecha de publicación: Abril de 2014

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Indice

El Autor viiAgradecimientos ixPrólogo xi

Sobre la Proporción y los Trazados Geométricos de la Arquitectura xiPrefacio lviiIntroducción lxiCapítulo 1: Trazados Reguladores 65

Objetivos y ejemplos 67Comentario de Edificios 79Tramas Geométricas 101

Capítulo 2: Formas Octogonales 117Octógonos Regulares 119Desarrollo De Formas Octogonales 145

Capítulo 3: Edificaciones 155Edificaciones Clásicas 157

Salas de la Alhambra, Granada 158Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci 160Cúpula de la Roca (Jerusalén) Iglesia de San Vital (Rávena) 163Baptisterio de la catedral deFlorencia 166Capilla de San Aquilino, Milán 170Baptisterio de San Juan de Letrán, Roma 175Tumba de la Santísima Virgen, Jerusalén 179Iglesia del Santo Sepulcro,Torres del Río (Navarra) 183Iglesia de Santa María de Eunate (Navarra) 187Iglesia de la Vera Cruz en Segovia 190Torres Almohades 192Torres de Kharragan (Irán) 196Las Propuestas de Serlio 199Santa María de los Ángeles,Florencia 207La Capilla palatina de Carlomagno, Aquisgran 223Basílica de Santa María del Fiore, Florencia 230Castel del Monte, Andria (Italia) 237Qubbat Al-sulaibiya, Samarra (Irak) 242Pagoda China 245

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Santa María de la Salud, Venecia 247Basílica de San Pedro del Vaticano, Roma 253

Edificios Contemporáneos 263Biblioteca Louis Jefferson, Aurora, New York (S.O.M.) 264Escuela de Arquitectura y Arte de Chicago (S.O.M.) 269Jewish Community Center, Trenton, New Jersey (Louis Khan) 271Indiana Tower, Indianapolis 273Las Torres Gemelas, Kuala Lumpur 274

Monumentos Valencianos 277Girola de la Catedral de Valencia 277“El Miguelete” Torre de la Catedral de Valencia 283Torre Campanario “El Fadrí”, Castellón de la Plana 288Antigua capilla del convento de San Pío V, Valencia 291

Capítulo 4 297Elementos Decorativos 297

Mosaico Toledano 300Tres mosaicos de la Alhambra de Granada 305Azulejo en la Mezquita de Córdoba 320La Alhambra: Relieve 325La Alhambra: Techo de Madera 329

Capítulo 5 337Otras Aplicaciones 337

Tumba de Isa Han (Delhi, India) 340Madrasa en Amasya (Anatolia) 346Taj Mahal y Mausoleo de Humayun 351Ermita de San Miguel (El Fort) Nules 358Templo de Minerva Médica (Roma) 364El Cimborrio de la catedral de Tarazona 370

Capítulo 6 373Algunas Unidades Métricas Locales 373

Bibliografía 383Índice Toponímico 387Índice Fotográfico 391

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El Autor

Felipe Soler Sanz es doctor arquitecto por la ETS de Arquitectura de Madrid. Entre 1958 y 1977 se dedicó al ejercicio libre de la profesión. Posteriormente su labor profesional estuvo centrada en la docencia co-mo profesor titular de Geometría Descriptiva en el Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Va-lencia. Es autor de diversas monografías académicas, entre las que des-tacan: Apuntes de geometría descriptiva, Perspectivas curvilíneas, Soleamiento y Perspectiva cónica. Ha impartido cursos de postgrado en la Universidad Luterana de Brasil en el Campus de Canoas, y ha sido conferenciante en numerosos congresos de expresión gráfica arquitectónica, tanto en España como en Italia. También es autor de estudios sobre tratados de arquitectura clásica, en la revista Disegnare de la Università di Roma “Sapienza” y su contribución en el libro Tratados de Arquitectura de los si-glos XVI-XVII editado con motivo de la exposición celebrada en el Mu-seo de Bellas Artes de Valencia en 2001. Retirado de la actividad profe-sional, en la actualidad continúa investigando y dirigiendo tesis doctora-les.

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Agradecimientos

A mi familia, por su contribución y apoyo.

A Jorge García Valldecabres. que me animó a publicarlo.

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Prólogo

Sobre la Proporción y los Trazados Geométricos de la ArquitecturaJ O S É M ª G E N T I L B A L D R I C H

La sencillez de la arquitectura

Cualquiera que conozca la puesta en práctica del proyecto arquitec-tónico —es decir, el honrado ejercicio de una profesión para poder sub-sistir— debería admitir que, en general y para ser eficaz, tiene que ba-sarse en planteamientos muy sencillos. No queremos decir con esto que los, a veces complicadísimos procedimientos de llevarlo a cabo, sean el paradigma de la facilidad, ni que las particulares condiciones —inclui-da las neuras personales— ayuden a su fluida realización. Pero es evi-dente que si el cúmulo de procesos meramente administrativos, empre-sariales o técnicos, ya son de por sí liosos, la tendencia profesional tiene que ser obligatoriamente resolutiva en el sentido de conseguir la simpli-ficación de su desarrollo. Al menos en lo que es patrimonio personal del proyectista en la creación de su obra que, si quiere prosperar, se de-be atener al sentido común, con independencia de que posteriormente elabore un discurso justificativo ad hoc, como sucede muchas veces.

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La necesidad de no perderse en vericuetos mentales ha sido históri-camente una constante: el equilibrio y el sentido de la medida –que sim-bolizada en el compás acompañó siempre a la iconografía del arquitec-to– no solo representa un concepto métrico sino que, en su rica acep-ción, también es el de tener un sentido adecuado de la realidad. Y esto es así, sobre todo, si comparamos a la Arquitectura con otras discipli-nas tan antiguas como ella pero más especulativas —como la Filosofía o la Teología— más difíciles en su incierto resultado —como la Medici-na— o sujetas a una casuística a las que, ni de lejos, se podría compa-rar como es el caso del Derecho. Aunque al compartir esas profesiones su actuación en una misma sociedad y a lo largo del tiempo se contami-naran entre sí en más de un concepto —sobre todo en su forma exposi-tiva y en la crítica teórica— nunca se desprendió la Arquitectura de la necesidad de crear entes concretos, cuya materialidad aún compartien-do una especulación asociada, siempre se pudo declarar independiente.

Las reglas prácticas, las tablas sinópticas, los ábacos y cuadros resu-men de los elementos y detalles arquitectónicos han estado siempre pre-sentes en la exposición de la práctica de la disciplina. Esto abarca des-de los catálogos de elementos constructivos hasta los libros de órdenes arquitectónicos; desde las reglas de composición estética a las tablas de cálculo. No quiere esto decir que, en ocasiones, esos afanes taxonómi-cos nos tengan que ser hoy obligatoriamente fáciles de entender, pero sí que en su época tuvieron que resultar de una evidencia y seguridad ge-neralizada en el gremio. Las formas del cálculo estructural en los edifi-cios históricos, por ejemplo, aún siendo producto muchas veces de pro-cedimientos empíricos de prueba y error, dieron como resultado crite-rios prácticos de una gran sencillez. Otra cosa es que los edificios no se derrumbaran algunas veces, pero la mera presencia actual en nuestro

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T r a z a d o s R e g u l a d o r e s e n l a A r q u i t e c t u r a F e l i p e S o l e r S a n z

patrimonio de numerosos ejemplos históricos de entonces es prueba de que acertaron, la mayoría de las veces, en sus reglas.

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Catálogo normalizado de elementos constructivos

Pero esa sencillez permanente y común de las aplicaciones prácticas no tiene por qué tener una relación directa con una sencillez de las ideas. Algo tan simple para nosotros como es la relación entre una plan-ta y un alzado —lo que a finales del XVIII se constituyó en nuestro sis-tema diédrico— tardó siglos en ser asumido como la base de la repre-sentación de la Arquitectura. Inicialmente utilizado por los constructo-res góticos hasta el punto de constituir, a mi juicio, el auténtico secreto de gremios medievales, de tanto juego en la literatura seudo histórica actual, no era conocido, por ejemplo, por Alberti, quien en su conoci-do libro planteó planta y alzado en dibujos independientes. Solo a par-tir de la llamada Carta a León X se comenzó a difundir en Italia, es de-cir, ya iniciado el segundo decenio del siglo XVI, cuando los denosta-dos góticos de la literatura renacentistas hacía más de un siglo que lo utilizaban como base de la definición de la obra arquitectónica[1].

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A su vez, algunos de nuestros juicios firmemente aceptados sobre la práctica de la arquitectura histórica se pueden demostrar como suma-mente débiles. En el prólogo de un libro anterior de Felipe Soler tuve la ocasión de exponer mis ideas sobre la perspectiva cónica[2]. Pretendí hacer ver que su uso fue sumamente escaso en nuestra disciplina por los verdaderos profesionales que, a todas luces, huían de la complejidad geométrica del sistema, siendo los preocupados por su estudio y exposi-ción personajes ajenos a la práctica arquitectónica. El hecho que sobre el tema escribieran arquitectos como Serlio o Vignola[3] no invalida el juicio. De Serlio no se conoce ninguna obra construida, procediendo su fama —tan merecida como controvertida— exclusivamente de sus es-critos. A su vez, el texto de Vignola sobre el tema no es tal, siendo su auténtico redactor el dominico Egnazio Danti, aunque promovido por el hijo del arquitecto, Giacinto, que menos dotado que su progenitor para la profesión pretendió vivir de la fama paterna editando el libro cuando, muchos años después de su muerte, ya habían prescritos los de-rechos de autor del conocido texto sobre los órdenes. Resultaba sor-prendente la abrumadora cantidad de clérigos dedicados a ese menes-ter —especialmente jesuitas— sin duda por no tener otra cosa que ha-cer, como se decía, en muchas de las horas del día. Por el contrario y co-mo indica Zorzi sobre un arquitecto auténticamente constructor como Palladio, si un dibujo estaba hecho en perspectiva y existen dudas sobre su autoría, se debe interpretar que no es de Palladio[4]. Igual podría-mos decir de Juan de Herrera, trasunto nacional del arquitecto véneto.

La Arquitectura siempre tuvo un indudable componente práctico ajeno a su formulación teórica. Esto es apreciable en el texto histórico de la disciplina de Vitrubio que, aun siendo una auténtica enciclopedia de construcción, se encuentra carente de una auténtica teoría de la pro-porción y de especulación neoplatónica. Vitrubio lo que da son reglas

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prácticas para facilitar el trabajo[5]. Asimismo, si observamos cómo era vista socialmente la arquitectura en el Renacimiento, nos basta con analizar las opiniones de Vasari[6]: los méritos expuestos de sus admira-dos héroes del arte renaciente se apoyaban en conceptos tales como que sus obras eran más económicas que las de sus contrarios, que se ha-bían hecho en menos tiempo o que habían superado alturas o luces nunca conocidas. Es decir, las mismas ideas que hacen las delicias hoy de los promotores inmobiliarios, sean estos políticos o empresariales.

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Regles des cinq ordres d'Architecture de Vignola, Paris, Nicolas Bonart, 1665. Ordenes arquitectonicos

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El síndrome del papel en blanco

Una segunda idea que conviene tener en cuenta se relaciona con la fase inicial del proceso de realización del proyecto de arquitectura: la obligatoria aproximación preliminar al problema que se quiere resol-ver. Tan fundamental como previa, posee la característica de poderse ver afectada unas carencias conceptuales que podríamos denominar síndrome del papel en blanco. Como acto de creación, el proyectar par-tiendo originariamente de la nada representa en sí mismo tal esfuerzo intelectual —en ocasiones próximo al trauma— que debemos situarlo como uno de los orígenes de los muchos y muy diversos caminos perfila-dos como reglas para su supuesta superación práctica. Entre estos se po-drían citar desde las hipotéticas metodologías proyectuales y universa-les para su ejecución racional —en ocasiones con abstrusas teorías ge-neralmente productos de las tendencias históricas del momento— has-ta, amparados en el recuerdo y la memoria, la mera transcripción ruti-naria de un modelo, por no llamarlo remedo, en su extremo menos decoroso.

Aunque esta circunstancia se puede generalizar a cualquier acto de creación artística y no sea exclusiva de la Arquitectura, su presencia en esta posee una particular y específica incidencia en el arte. Sea por el esfuerzo económico que precisa la actividad, la dimensión física que al-canza en su ejecución, la atención de las ineludibles necesidades huma-nas de tener cobijo o por constituirse en el símbolo de los anhelos y el poder de una sociedad, la Arquitectura se encuentra especialmente afectada en general por una libertad coartada y, en su práctica, por la necesidad de tener unos ineludibles puntos iniciales de referencia. De esa manera nos podemos encontrar que, participando de esa necesidad que podríamos llamar atávica de encontrar un punto de partida, han

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surgido en su desarrollo histórico desde las más diversas ordenanzas y normativas edificatorias hasta los más variados cánones estéticos, sien-do irrelevante a este respecto que generalmente aparecieran estas bajo la coartada de atender a una uniformidad, bondad, racionalidad o be-lleza.

Stonehenge, h. 2000-2500 a. de C. Hipótesis de la planta.

Instintivamente la pauta y el orden previo han debido existir siem-pre, incluso antes de los inicios de la propia arquitectura histórica docu-mentada y de la existencia física de ese papel cuya traumática blancura nos acongoja. Nadie puede negar, por ejemplo, la existencia de un guión previo incluso en los monumentos megalíticos, entre los que pue-de servirnos de muestra destacada el conocido de Stonehenge en Wil-tshire, cerca de Amesbury, Gran Bretaña. En las etapas posteriores, en las que la documentación de las teorías arquitectónicas paulatinamente se nos fue haciendo cada vez más explícita, la presencia de la norma nos fue resultando permanente. Sin afán exhaustivo, y solo por citar al-gunos casos destacados sin descender a la más remota antigüedad, es-

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tán presentes en el gótico con solo ver los impresos de Mathaus Roric-zer para la correcta —expresamente dicho así en el título de su libri-to— ejecución de los pináculos[7]; en la reinterpretación clasicista de la Antigüedad de los órdenes clásicos capitalizada por Vignola en el más difundido best seller arquitectónico de la historia, en las teorías del Modulor de Le Corbusier o en el texto de Ernts Neufert cuyo libro, no lo olvidemos, se llama en castellano Arte de proyectar en Arquitectura[8].

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Matthäus Roriczer. “Von der Fialen Ge-rechtigkeich”, Ratisbona, 1486.

Planta de un pináculo

Como podremos ver existieron, entre otras y añadidas a todas esas tramas ideológicas más o menos superpuestas, otras tramas —valga la redundancia y nunca mejor dicho— que adoptaron estructuras y for-mas geométricas, en ocasiones como soporte necesario a las teorías pro-yectuales que se exponían y, en otros casos, como supuestos garantes de la corrección de los resultados finales. Así, es fácil de encontrar interca-ladas en muchas propuestas arquitectónicas unos trazados geométricos, dependientes cada uno de su particular geometría y defensores de su particular verdad. No nos debe resultar difícil reconocer que, en la ma-

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yoría de los casos, esa específica dependencia de una norma académica que ha precisado el arquitecto para su particular equilibrio mental —cuando eso es posible— son el origen de la formación y propagación de la mayoría de las estructuras geométricas que, asociadas al diseño ar-quitectónico, en el mundo han sido desde la antigüedad hasta el presen-te.

Las proporciones humanas de Ernts Neufert

Pero una cosa es, como luego volveremos a señalar, las ordenaciones empleadas por los artífices del momento y otra las supuestas estructu-ras previas que, como presentes en ellos, imaginariamente descubrimos en la actualidad. Esta cuestión es un tema clásico de los análisis de la ar-quitectura, sobre la que se ha discutido en innumerables ocasiones y se han escrito, con mayor o menor fortuna, numerosos libros. Debemos tener en cuenta sobre todo, y a nuestros efectos es lo más importante, que este asunto se ha abordado generalmente con un rigor muy desi-gual y, en pocas ocasiones, desde el punto de vista de la arquitectura.

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El soporte gráfico de la geometría

El significado etimológico de Geometría deriva de su original griego, donde quiere decir medida de la tierra. Suele acompañarse esta defini-ción en su análisis histórico con el comentario debido de Heródoto, y que después siguieron Proclo de Licia en sus comentarios a Euclides y otros autores, de ser una práctica originaria de Egipto realizada por los agrimensores para restituir las propiedades tras la retirada de las aguas en las crecidas del Nilo[9]. Por más mítica que sea esta historia, no deja de ser significativo este relato si nos fijamos en que lo que describe no es más que un replanteo, es decir, la misma labor previa que se realiza en el terreno para ejecutar una obra de arquitectura. Aunque el carác-ter público de deslindar unas parcelas y cobrar los impuestos asignados a las mismas le diera una comprensible y mayor trascendencia social, nadie pude discutir que si, en vez de haber explicado Heródoto su ori-gen como una labor agraria, lo hubiera hecho como la particular activi-dad de los arquitectos egipcios de la época hubiera dejado de tener la misma verosimilitud.

Y así debió de ser en la historia habitualmente, con solo tener en cuenta un ejemplo tan alejado en el tiempo y el espacio como el ya cita-do de Stonehenge, que es difícil de imaginar sin una regla previa de tra-zado antes de su ejecución. La planta de un edificio —por así llamarla — fue siempre un estado previo que precisó de su materialización con anterioridad al inicio de la obra, y suponer a la geometría como el so-porte racional para su ejecución es tan lógico como que no se pueda discernir qué apareció antes en la actividad humana, si la especulación geométrica de unos sacerdotes aburridos como indicaba Aristóteles, o la necesidad de la aplicación de unos métodos para poder iniciar una obra en vez de replantear unos terrenos. O las dos cosas a la vez.

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Establecido este soporte geométrico previo y necesario para la ejecu-ción de cualquier obra surge la reflexión sobre las formas geométricas que fueron aplicadas. Aun existiendo culturas anteriores hasta tiempos históricamente muy recientes tan solo existió la geometría griega, como un cuerpo teórico con el suficiente desarrollo para que pudiera ser em-pleado, al que el medioevo tan solo aportó algunas construcciones geo-métricas prácticas. Debemos tener en cuenta, además, que la geome-tría griega era una ciencia carente de álgebra para su aplicación, con una aritmética muy reducida y que abarcaba, a los efectos prácticos, lo que podía resolverse con la regla y el compás[10]. Inicialmente las for-mas empleadas tuvieron que ser las más sencillas —el círculo, el cuadra-do, el triángulo y el rectángulo— a las que se añadieron más adelante otros polígono procedentes de la bisección del ángulo, es decir, hexágo-nos u octógonos con muy escasas variaciones[11]. Dentro de las múlti-ples variantes de figuras triangulares y rectangulares, por la dimensión de sus lados, también se establecieron en estas sus particulares divisio-nes. Además del empleo del triángulo equilátero y de diversos isósceles particulares, es de interés el triángulo pitagórico de proporción 3-4-5 en sus lados, llamado triángulo dorado egipcio, primero de la serie que tiene catetos e hipotenusa con una dimensión de números enteros —de-nominados diofánticos[12]— de amplio uso en la agrimensura para el trazado de ángulos rectos. Para los rectángulos sucedió igual: su infinita variedad se limitó con unas condiciones de proporción y medida sobre las que luego volveremos.

Pocas figuras geométricas más estuvieron a disposición de los tracis-tas. Aún el pentágono, por más que estuviera imbuido de un cierto eso-terismo de orígenes pitagóricos y que tuviera una construcción sencilla con regla y compás ya establecida por Euclides [13], siempre fue consi-derada una figura relativamente complicada, lo que ya nos da una cier-

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ta idea del nivel del personal que estaba dedicado al oficio. Como pode-mos comprobar su empleo en las tramas arquitectónicas ha sido siem-pre raro: cuando nos aparece en un rosetón gótico, en la planta del pa-lacio de Caprarola de Vignola o en numerosas fortificaciones militares, lo debemos interpretar tan solo como un ejemplo planteando con una intencionada sofisticación. Los polígonos de siete y nueve lados, al no ser posible su exacto trazado con regla y compás, se tienen que conside-rar como excepcionales y, cuando aparecen en alguna ocasión, tan solo son el producto de la docta ocurrencia de un particular autor[14].

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Euclides, libro IV, proposición 11 en la edición de Venecia, 1482.

Así, de la misma manera que anteriormente planteamos la obligada sencillez de la arquitectura, tenemos que considerar asimismo la forza-da simplicidad de la geometría aplicada a la misma. E igual sucede con la aritmética utilizada, reducida a las llamadas cuatro reglas que, ade-más, no tuvieron vigencia algebraica con numeración arábiga y un sis-tema decimal generalmente aceptado hasta muy avanzada la Edad Me-dia. Introducida esta a partir de las fuentes árabes originales, al princi-pio, además, tan solo lo fue en los núcleos especializados y, después, en su empleo para llevar las cuentas sustituyendo al ábaco.

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Las proporciones geométricas en Vitrubio

Entendemos por proporción aplicada a la Arquitectura la convenien-te correspondencia de las partes con el todo. Los escritos que nos han llegado de la Antigüedad sobre el tema son muy escasos, hasta el punto que difícilmente se puede establecer siquiera un esbozo de las intencio-nes de los artífices de entonces. Por extraño que nos pueda parecer Vi-trubio no cita esa palabra como un concepto independiente y propio de la Arquitectura: para el autor romano el término a aplicar a ese con-cepto sería el de Simetría. En efecto, cuando define las partes de las que consta la Arquitectura relaciona estas como Ordenación, Disposi-ción, Euritmia, Simetría, Decoro y Distribución. Es cierto, sin embar-go, que el término “proporción” es utilizado gramaticalmente en las ex-posiciones que realiza, incluso que esta palabra alcanza una categoría casi sinónima con “simetría”, pero nadie puede negar que, por ejem-plo, en el extenso índice de los conceptos contenidos en la obra vitru-biana, que acompaña a la edición de Ortiz y Sanz de 1787, la palabra proporción es inexistente[15].

Para la Simetría da como definición la de ser “la conveniente corres-pondencia entre los miembros de la obra, y la armonía de cada una de sus partes con el todo: pues así como se halla simetría y proporción en-tre el codo, pie, palmo, dedo y demás partes del cuerpo humano, suce-de lo mismo en la construcción de las obras”[16]. Introduce aquí una idea de amplio éxito icónico posterior, su relación con las medidas del cuerpo humano, que desarrolla a continuación en el libro tercero como introducción a la composición y simetría de los templos[17]. Argumen-ta asimismo que las unidades de medida y sus subdivisiones provienen de esta proporción corporal —como demuestran mayoritariamente los nombres dados a las mismas— y que los romanos adoptaron la base de-

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cimal en contra de los griegos, que tomaron al seis como número per-fecto. Como podremos comprobar, aunque el concepto sí exista bajo el nombre de simetría, no existe en Vitrubio ninguna teoría general y or-ganizada de la proporción.

Cuando se aplica la cuestión a los edificios y partes de la arquitectu-ra se realiza de una manera conceptualmente muy simple, utilizando números enteros o razones entre ellos. La explicación de los órdenes, aunque pueda resultar de un desarrollo ciertamente prolijo, no es más que una sucesión de medidas y subdivisiones de las mismas, en gran parte basadas en la dimensión del imoscapo, pero ni siquiera siempre. De igual manera no se puede deducir una preferencia particular sobre ningún número o razón entre ellos, que cuando lo hace utiliza a su con-veniencia, sin explicación alguna y para los que ni siquiera define deno-minaciones particulares como se haría después. Es el caso, por ejemplo, de su aplicación a las proporciones de los atrios para los que da, en fun-ción de las circunstancias, las relaciones de 5/3, 3/2 y 1/√2. Ni que de-cir tiene que para Vitrubio el concepto de √2 era totalmente desconoci-do, al igual que lo eran los números irracionales para los griegos, deter-minándolo por la diagonal de un cuadrado de fácil trazado con el com-pás. De igual manera cuando establece la proporción 3/2 —la que ya entonces se conocía como sesquiáltera— no le da su particular nom-bre, lo mismo que hace cuando la establece como proporción del foro romano, definiéndola por una mera relación dimensional[18]. Esto no quiere decir que Vitrubio no conociera su nombre, que expone cuando se refiere al sistema de numeración de los griegos anteriormente citado, cuando indica que el seis mas su mitad para hacer nueve se llama “…sesquialterum, en griego emiolios”. Sencillamente no le daba la menor trascendencia que, como sabemos, empieza siempre por darle una par-ticular denominación a las cosas.

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Proporción de los atrios de Vitrubio según la versión de Cesariano, Como, 1521, libro VI, cap. IV.

Las proporciones armónicas

Pese a que el texto de Vitrubio sea el único que, en la práctica, trate de la arquitectura en la Antigüedad y podamos pensar que semejantes ideas descreídas y escépticas no fueran generalizadas, lo cierto es que muy poco más se puede añadir. Además, aunque los estudios modernos sobre el descubrimiento de proporciones y trazados de obras emblemá-ticas sean innumerables, estos se fundamentan siempre en especulacio-nes que, por lo demás, suelen ser distintas en función del autor. Así su-cede desde los múltiples estudios del Partenón —clásico donde los ha-ya— hasta las supuestas proporciones egipcias, acompañadas cada una de un mayor o menor misticismo[19]. Sin embargo sí es cierto que en la geometría griega existió una línea de pensamiento, la teoría pitagóri-

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ca del número, que aunque siempre estuvo acompañada de una cierta marginalidad esotérica, tuvo además de sus habituales utilizaciones adi-vinatorias y de horóscopos una aplicación a la música, de notable in-fluencia posterior. Debemos recordar que, por más que pensemos en una cuestión de estética arquitectónica, cuando decimos “relaciones ar-mónicas” nos estamos refiriendo a una cuestión musical en su sentido estricto.

Aunque con una autoridad difusa en la Antigüedad —Pitágoras no escribió ningún libro— fue Nicómaco de Gerasa, un seguidor suyo en una fecha ya tardía del siglo II, quien dio cuerpo a la formulación arit-mética de la numerología pitagórica en su Isagoge, o Introducción a la Arit-mética[20], obra a partir de la que posteriormente se propagó. Se produ-jo esta difusión al ser incluidas en las obras de Boecio, filósofo neoplató-nico al parecer ejecutado por Teodorico en Pavía hacia 524 y conside-rado por algunos como mártir cristiano, quien las vertió del griego al la-tín y la convirtió en una lectura obligada de los monasterios y universi-dades medievales a través de sus copias manuscritas[21]. Se incorporó además a las teorías de la música sagrada durante la Edad Media, lo que multiplicó su expansión en los claustros, circunstancia que sería fundamental para su adopción en el Renacimiento[22].

Su primera aplicación a la Arquitectura fue la realizada por León Bautista Alberti en “De Re Ædificatoria”, traducido en España como “Los diez libros de Architectura”, quien en el capítulo V del libro IX explica cómo los intervalos musicales agradables al oído —la octava, la quinta y la cuarta— se corresponden con la división de una cuerda en 2, en 3 o en 4 (1/2, 2/3, 3/4), es decir, el diapasón que es dupla, el diapente que es sesquiáltera y el diatesarón que es sesquitercia. En esa explica-ción de la teoría de los números armónicos seguía casi literalmente la

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teoría aritmética y musical medieval derivada de Boecio, escritor que Alberti, en sus lecturas eruditas, debía conocer por su condición de clé-rigo. La aplica sucintamente en el siguiente capítulo de su obra a las plantas de los edificios, introduciéndola por primera vez en el proyecto arquitectónico como una aportación personal al texto de Vitrubio, au-tor al que a todas luces pretendía imitar y completar[23].

Pese a ser Alberti el primero que hizo uso de estas teorías musicales aplicadas a la arquitectura, inexistentes con anterioridad y completa-mente al margen de los presupuestos vitrubianos, no fue su obra la que difundió principalmente la teoría de la proporción en el mundo euro-peo. Su libro, aparecido póstumamente e impreso en latín, era un texto fundamentalmente teórico, carente de ilustraciones —al igual que el de Vitrubio— en las primeras ediciones y de difícil lectura, cuya influen-cia en la práctica cotidiana de los arquitectos fue muy discutible hasta que no aparecieron las traducciones al toscano. No obstante sí es ver-dad que esa teoría musical se utilizó en alguna ocasión, como la estudia-da por Wittkower del informe realizado en 1535 por el monje francisca-no Francesco Giorgi para San Francesco Della Vigna en Venecia, per-sonaje que era excepcionalmente conocedor de Alberti y, por su forma-ción eclesiástica, de Boecio[24]

Su verdadera propagación en el grupo profesional más culto se pro-dujo a través de los escritos de Sebastiano Serlio que, precisamente, ha-bía conocido el debate teórico de Francesco Giorgi citado anteriormen-te. Tuvo lugar tras la publicación en París, en 1545, de sus libros prime-ro y segundo sobre la Geometría y la Perspectiva de su obra general so-bre la Arquitectura, que venían a completar el tercero y el cuarto apare-cidos en 1537 y 1540[25]. Su obra había abierto, desde su inicial apari-ción en Venecia del libro cuarto sobre los órdenes, una nueva forma de

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exponer la teoría arquitectónica, con una evidente preponderancia de las ilustraciones sobre el texto y, al contrario que Alberti, con un mani-fiesto carácter práctico, carente de la referencia neoplatónica o mágica que había influido en el primer Renacimiento. Su carácter de manual distinguido le proporcionó un éxito inmediato en la profesión y, aun-que pronto surgieron acusaciones de no ser más que un plagio de escri-

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Sebastiano Serlio, libro primero, h. 21 r. Proporciones.

tos de su maestro Baldassare Peruzzi, nadie pudo impedirle el tener una de las mayores influencias en la arquitectura europea posterior.

La Geometría de Serlio, tras exponer los conceptos fundamentales de Euclides, aborda los trazados gráficos imprescindibles para la reali-zación de los proyectos arquitectónicos: los polígonos, los óvalos —lo que, salvo en Durero, era una novedad— y algunas aplicaciones senci-llas. Como complemento representa gráficamente las proporciones de los rectángulos al partir de un cuadrado —que denominaba “perfec-to”— recogiendo las mismas que ya habían aparecido anteriormente en el texto de Alberti y añadiendo una nueva: la diagónea —1/√2— so-bre la que luego volveremos[26]. Una breve utilización en la disposi-ción de los forjados de madera y el trazado de una portada completa la sucinta, pero clara, referencia a las proporciones incluida en su tratado. Serlio no realiza ninguna ampliación geométrica del tema en su obra —no abordó los poliedros, por ejemplo, de moda entonces desde su pu-blicación por Durero a partir de 1525— y no hizo la menor referencia al carácter armónico de su origen musical. Su planteamiento se hará aún más resumido en la obra posteriormente escrita por Palladio, que —pese a constar de su empleo en los proyectos de sus villas— se limitó a enunciar las proporciones por la relación de las medidas dadas en el texto, sin referencia a sus denominaciones particulares o cualquier otra indicación trascendente[27].

El libro primero de Serlio no se publicó en castellano —tan solo lo fueron el tercero y el cuarto en 1552[28]— pero la transmisión de sus esquemas geométricos se difundieron en España sin dificultad, bien a través de sus múltiples ediciones italianas, bien mediante la apropia-ción de sus ideas por los escritores locales. Es el caso de Juan de Arfe, quien en su De varia commesuración[29], trata la cuestión en su libro pri-

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mero con la evidente inspiración, por no decir otra cosa, del italiano. Arfe, al igual que Serlio, no hace ninguna referencia a la armonía musi-cal de donde se había nutrido la hasta entonces exigua teoría arquitec-tónica de las proporciones, lo que no es óbice para que en el mundo culto de entonces aquella siguiera siendo la preponderante, y su aplica-ción arquitectónica tan solo una más como podía haberlo sido cualquie-ra otra. Por su interés particular merece la pena citar, para convencer-nos, un párrafo de una excelente escritora, sor Juana Inés de la Cruz, que hace una curiosa aplicación de la teoría al margen del mundo ar-quitectónico:

“Pues sin ser muy perito en Música, ¿cómo se entenderán aquellas proporciones musicales y sus primores que hay en tantos lugares, espe-cialmente en aquellas peticiones que hizo a Dios Abraham, por las Ciu-dades, de que si perdonaría habiendo cincuenta justos, y de este núme-ro bajó a cuarenta y cinco, que es sesquinona y es como de mi a re; de aquí a cuarenta, que es sesquioctava y es como de re a mi; de aquí a treinta, que es sesquitercia, que es la del diatesarón; de aquí a veinte, que es la proporción sesquiáltera, que es la del diapente; de aquí a diez, que es la dupla, que es el diapasón; y como no hay más proporciones armónicas no pasó de ahí? Pues ¿cómo se podrá entender esto sin Músi-ca?”[30].

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Las proporciones irracionales

Hasta ahora, como hemos visto, tan solo se han utilizado en las me-didas y proporciones números enteros o fracciones de estos, es decir, nú-meros racionales o que pueden ser expresados mediante una razón arit-mética de números naturales. Pero existían otros números especialmen-te evidentes por la formulación del teorema de Pitágoras que, aplicado al cuadrado perfecto de lado la unidad, obtenía √2 —de una imposible expresión racional— como dimensión de la hipotenusa o diagonal del cuadrado. Esta cuestión fue un episodio irresuelto tanto por la geome-tría griega como por la derivada de ella, que nunca expresaron —sal-vo esta 1:√2 indicada del lado/diagonal del cuadrado— un sistema de proporciones basado en las raíces de números enteros y pese a la senci-llez de la obtención geométrica del mismo. En efecto, la proporción 1:√3 es la existente entre el lado y la diagonal de rectángulo diagóneo de Serlio; la 1: √4 —en realidad la dupla, 1:2— es la existente entre el lado y la diagonal de la anterior 1:√3; la 1:√5 es la que se encuentra en-tre el lado y la diagonal del rectángulo de proporción dupla,...[31]

La incomprensión en la época de las potencias y las raíces es deduci-ble de los propios parangones geométricos utilizados para su asimila-ción. Así para la segunda potencia decimos cuadrado de un número por analogía con la superficie obtenida en un cuadrado que tuviera por dimensión del lado la del número en cuestión; tercera potencia o cubo, el volumen del cubo que tuviera por arista el número que deseamos ele-var,... Pero todo se complicaba cuando quisiéramos realizar las mismas semejanzas geométricas por encima de la tercera dimensión, porque la cuarta dimensión —salvo en el desarrollo matemático posterior y en las novelas de ciencia ficción— ya no existía perceptivamente. E igual sucedía con las raíces, que semánticamente eran la causa o el origen

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del número —el lado o la arista del símil geométrico anterior— que tu-viéramos que calcular. Lo mismo ocurría con el término irracional utili-zado, con un significado ciertamente matemático como hemos visto, pe-ro que también como sinónimo admitido de algo carente de sentido y fuera de toda lógica humana, circunstancia que en la época debía ser lo que pensase más de uno sobre el tema que nos ocupa.

Se ha visto anteriormente como en el libro de geometría de Serlio se incluyó la proporción diagónea, 1:√2, dentro de las canónicas del nue-vo método renacentista para el dimensionamiento de los rectángulos. Algún autor ha hecho la mención de ser esta inclusión derivada de su práctica en el medioevo donde, en efecto, fue una de las bases de los tra-zados con 45 y 90 grados de las tramas geométricas de su arquitectura. Pero parece más lógico pensar que su procedencia era la vitrubiana que ya se ha visto y que siempre fue tratada por los comentaristas del autor romano, estando presente en numerosas ilustraciones como, por ejemplo, en la de Cesariano que se aporta como ilustración a este traba-jo. Pero pese a tener tan autorizado origen no dejaba de resultar incó-moda para los autores: el propio Serlio le realiza una apostilla muy sig-nificativa en su descripción, donde indica que no se encuentra en nin-guna proporción con el cuadrado perfecto para justificar la existencia de esta relación entre los lados del rectángulo. La califica de irrazona-ble —que no irracional— y su publicación bilingüe italiano-francés de la edición original nos permite además la interpretación francesa reali-zada del término: inexplicable[32].

Con esta fama no es de extrañar que, como se ha indicado en nota, no fuera recogida esta proporción por Juan de Arfe cuando copia al ita-liano en su libro, a pesar de ser imprescindible en los trazados de algu-nos elementos como el pedestal dórico por ejemplo. Y si esto se hacía

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con la modesta, pero calificada y práctica[33], proporción diagónea, puede imaginarse el lector la suerte que corrieron en la teoría y la prác-tica arquitectónica todas las demás proporciones irracionales. Así, la de-rivada de √3 presente en cualquier composición triangular equilátera, no se citó nunca, al igual que sucedió con todas las demás: la propor-ción cordobesa —1:√2-√2— de Rafael de la Hoz; la θ, 1:1+√2; inclui-da la celebérrima divina proporción —función de √5— de la que da-mos alguna indicación a continuación.

A vueltas con la divina proporción

El conocido número de oro o proporción áurea es asimismo una pro-porción irracional —(1+√5)/2— que en su forma geométrica era cono-cida como de media y extrema razón desde la Antigüedad. Fue defini-da por Euclides en sus Elementos para la división de la recta y, siendo entre otras cosas la proporción entre el lado y la diagonal de un pentá-gono, tenía que ser conocida por los pitagóricos que hicieron de este po-lígono, y del pentalfa derivado de él, un signo de su identidad[34]. Pero en Euclides no existe, como sucede en todo su texto, ninguna indica-ción fuera de las meramente geométricas, ni referencias estéticas, ni si-quiera su expresión aritmética que, en su época y como se ha dicho, era desconocida.

La denominación de divina proporción apareció en el texto de igual nombre que Luca Pacioli publicó en 1509 —por semejanza a Dios mis-mo, como dice— donde la justificó con argumentos de la teología cris-tiana y referencias a la Santísima Trinidad, que en un batiburrillo mez-cló, como buen neoplatónico, con la cita al Timeo de Platón[35]. Pese a sus elogios retóricos Pacioli limitó su aplicación, sin embargo, a cues-tiones meramente geométricas como la obtención de pentágonos, dode-

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caedros e icosaedros —donde es de una efectiva utilidad— sin una ma-yor extensión de la misma. Hasta tal punto esto es así que, cuando abor-da las proporciones humanas no hace la menor referencia a ella, vinien-do a describir el ya entonces más o menos conocido hombre vitrubia-no, ni la emplea tampoco en su breve y posterior digresión arquitectóni-ca. Cuando se asegura por algunos autores que la proporción del rostro que aporta corresponde a una aplicación de la sección áurea es porque no se sabe lo que se está diciendo: el rostro está inscrito expresamente en un triángulo equilátero[36].

Pero aunque Pacioli no aplicó esta proporción a ninguna de las cues-tiones estéticas que luego le dieron fama, sí la dotó de la algebrización necesaria para que se pudiera operar aritméticamente con ella, como una ampliación de otra obra suya, la Summa de Aritmética, que había pu-blicado en 1494, donde resumía los avances de la aritmética medieval que completaban la antigua geometría griega y a la que se refiere en re-petidas ocasiones en el texto[37]. Así, encontramos referencias a la pro-porción áurea —sin citar a Pacioli— en Kepler, dentro su Mysterium Cos-mographicum, dándole el tono esotérico tan habitual en el astrónomo y dentro de su búsqueda de una armonía geométrica universal que, por lo demás, realiza tras una prolija aplicación de las teorías musicales al cosmos [38]. Salvo esto, y pese a lo que se suele repetir, no se conocen influencias artísticas posteriores.

El auge posterior de la divina proporción procede de los estudios rea-lizados a partir del siglo XIX. Hasta entonces —salvo el apelativo dado por fra Luca— ni siquiera poseía un nombre propio: Kepler, tan aficio-nado a las divinidades, siempre la llamó con la designación euclídea, in-cluso su símil dorado indicado en nota se lo aplicó al teorema de Pitágo-ras y no a nuestra proporción. La primera denominación de goldener

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Schnitt —sección áurea— le fue dada por el matemático alemán Mar-tin Ohm en 1835[39], al que siguió Adolf Zeising[40] en 1854 para su aplicación a las proporciones humanas retomando el clásico hombre vi-trubiano y, en 1865, Gustav Fechner[41] en sus estudios de estética. Tras estos iniciales estudios alemanes se recogió como golden section en el artículo Aesthetics que sobre la materia escribió James Sulley, en la novena edición de la Encyclopedia Britannica de 1875, y fue aplica-do a sus estudios sobre las espirales por Theodore Cook, primero en 1903 y después, en un texto más amplio y de más influencia, en 1914[42]. Fue precisamente en este texto donde se designó al número obtenido de la sección áurea, por primera vez, con la letra griega φ, ini-cial de Fidias —φειδίας— escultor al que algunos estudios anteriores consideraban supuestamente usuario de la proporción en sus esta-tuas[43].

La proliferación de trabajos que pretendieron aplicar esta propor-ción a los más diversos campos, desde la biología a la pintura, excede lo propuesto en este escrito y se pueden encontrar en obras más especia-lizadas[44]. Sí merece la pena citar a dos autores que influyeron nota-blemente en el siglo XX sobre la difusión del tema: Matila Ghyka y Le Corbusier. El primero publicó en 1927 un libro recopilatorio de los tra-zados proporcionales bastante documentado que, por propia confesión, había sido motivado por el descubrimiento en una librería anticuaria del texto de Pacioli. Recogió en él los trabajos anteriores de los ya cia-dos Theodore Cook y Jay Hambidge, junto a otros autores y las opinio-nes de Le Corbusier de Vers une Architecture, publicado tan solo cuatro años antes y con quien se uniría posteriormente en mutuas búsquedas [45]. Aunque el texto abordaba todo tipo de estudios y proporciones, fue el propio origen de su interés y la fascinación por la sección áurea

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lo que le hicieron destacarla, cuestión que abordaría en un libro poste-rior con más amplitud y controvertida opinión.

En 1931, visto el éxito del libro anterior, publicó Le nombre d’or, cuyo propio subtítulo es de por sí indicativo del afán de dotar al número de oro de una validez y trascendencia universal: Rites et rythmes pythagoriciens dans le dèveloppement de la civilisation occidentale. A diferencia del primero, es-te se encuentra mucho más imbuido de las ideas esotéricas y teosóficas difundidas en el periodo de entreguerra, con conexiones a veces vidrio-sas con simbologías nazis, abarcando desde la mística francmasónica hasta el nudismo, y cuya relación con un cierto ocultismo le fue repro-chada en alguna ocasión[46].

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Miss Helen Wills en Le Nom-bre D’or (I, lam. XVIII)

El propio carácter de aplicación universal del número φ como subli-me garantía estética le lleva en ocasiones a ser de una ingenuidad con-traproducente, hasta el punto de arriesgarse a hacer perder la fe en la pretendida bondad de la proporción a sus seguidores más recalcitran-tes. Así, con nuestros cánones actuales, cuando pretende demostrar la belleza de Miss Helen Wills basándose en el análisis de las proporcio-

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nes áureas de una fotografía de su rostro, el resultado obtenido tan solo nos puede hacer pensar que algo más tendría que haber, entre el autor y la referida señorita, que la mera búsqueda abstracta de la proporción para pretenderlo. Otros ejemplos que aporta, con curiosas imágenes, poseen similar grado de debilidad y promueven a la misma poca convic-ción de los lectores en el método[47].

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Le Corbusier. Modulor. Dibujo “A bordo del carguero Vernon S. Hood el 6 de enero de 1946”

Aunque a partir de entonces las aplicaciones —y el abuso— de las teorías de Ghyka a las más diversas expresiones artísticas fueron innu-merables, conviene destacar la realizada expresamente para la arquitec-tura por Le Corbusier. La relación entre ambos autores se puede ver en el comentario inédito del arquitecto, del 23 de febrero de 1934, sobre la reedición de la Esthetique des proportions de Ghyka, que le interesó viva-mente. Ya antes había escrito un pequeño artículo, Tracés regulateurs, en

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1925[48] y, entre 1942 y 1946, desarrolló una teoría proporcional basa-da en el número φ, que expuso por primera vez en una conferencia im-partida en Nueva York en el mes de abril de 1947, dentro del congreso anual de la American Designers Institute, y que incluyó posteriormente en la edición de su obra. El éxito del tema hizo que el propio Ghyka pu-blicara un artículo sobre el mismo en la Architectural Review en febre-ro de 1948 y, aquel mismo año, se publicó otro en el RIBA Journal so-bre la sección áurea[49]. Su sistema proporcional Modulor se publicó en 1950 y recogió en él, de forma un tanto desordenada, tanto la cróni-ca de sus pesquisas como el conjunto de sus aplicaciones a la arquitectu-ra, la racionalización y normalización industrial, la pintura,…[50]

Pese a que su éxito en la teoría arquitectónica fuera inmediato y a que Le Corbusier lo empleara en muchas de sus obras, el tema —me-nos sencillo de aplicar de lo que inicialmente se pueda suponer— fue perdiendo paulatinamente el interés en la arquitectura. Aunque los ar-quitectos de los años sesenta y setenta del siglo XX lo estudiaban en las escuelas, para los alumnos actuales resulta una cuestión de auténtico erudito.

Los trazados geométricos como generadores de proporciones

No es necesario aclarar que, asociado a una forma arquitectónica, no es lo mismo una proporción que un trazado geométrico. La propor-ción, aunque pueda definirse geométricamente, puede hacerse también de manera más general como una serie numérica, como una relación aritmética o una fórmula algebraica. Los trazados, sin embargo, tienen que ser obligatoriamente geométricos y expresados con un soporte grá-fico. Además, ambos conceptos pueden ser independientes o, por el

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contrario, estar relacionados mutuamente y sugerirse proporciones en trazados o, indistintamente, tramas geométricas derivadas de series nu-méricas proporcionales. Parece evidente que, al igual que las teorías proporcionales antes citadas, tanto los trazados como las redes geomé-tricas tienen que ser sumamente simples para ser efectivos, de manera que ayuden al proyectista o a la realización de la obra de arquitectura y no al contrario.

Tan solo existen dos tramas geométricas sencillas de polígonos regu-lares capaces de llenar el plano: la red de cuadrados de 90º y la red de triángulos equiláteros de 60º. La primera, la cuadrícula, es de un uso ancestral encontrándose ejemplos desde las pinturas egipcias hasta los proyectos del Movimiento Moderno. Utilizada como guión gráfico o falsilla para el dibujo, con el trazado previo sobre el papel de una retícu-la reguladora auxiliar, existe, por ejemplo, en dibujos de Antonio de Sangallo el Joven para San Pedro de Roma[51], en las láminas de Juan Caramuel para su Architectura Civil[52] o en las obras y ejercicio de los alumnos de la École Polytechnique de Jean-Nicolas Durand[53]. En ninguno de estos casos citados se percibe ninguna pretensión en su em-pleo distinta de la de ser un guión que ayude a ordenar y racionalizar un proyecto arquitectónico

La trama de triángulos equiláteros ha sido empleada en muchas me-nos ocasiones pero, sin embargo, tenemos un ejemplo histórico donde explícitamente se debate sobre este trazado, las obras de la catedral de Milán, con los valores añadidos de conservarse el trazado gráfico origi-nal, pervivir históricamente su recuerdo y ser aplicada a la sección geo-métrica de la edificación. Se trata de la intervención de Gabriele Scova-loca — habitual y erróneamente llamado Stornaloco— en los debates de la construcción de la catedral lombarda en el año 1391. Aún en este

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caso el motivo es exclusivamente técnico, motivado por la necesidad de decidir la altura y composición del templo a partir de una planta ya en marcha y que se quería conservar.

Trascripción de Giuseppe Valentini del pergamino atribuido a

Gabriele Scovaloca en la Biblioteca Trivulzina de Milán.

Trazados de la catedral de Milan:

Ad triangulun Ad Cuadratum

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Se debatió sobre dos esquemas distintos: una red de triángulos equi-láteros —ad triangulum— presentada por Scovaloca, y otra de cuadra-dos —ad cuadratum— que propuso Heinrich Parler, ambas representati-vas de dos posturas distintas ante la solución geométrica del problema. [54]. La triangular finalmente elegida gozó de gran fama, pero no se co-noce nuevas intervenciones de Scovaloca en la arquitectura, ni que su diseño tuviera una especial influencia posterior en otras obras. Pese a ello su recuerdo perduró y fue recogida en dos grabados de la edición de Vitrubio de Cesare Cesariano —ilustraciones que no tienen nada que ver, incluso son contradictorias, con el texto original— en uno de los cuales, recogiendo el trazado, incluye también la trama cuadrangu-lar de la planta de los pilares, lo que nos hace ver la coexistencia de dis-tintas tramas geométricas en función de las necesidades técnicas para la realización de las obras.

Cualquiera de estas dos redes se puede considerar, de hecho, conna-tural con la práctica del dibujo, como surgidas de la escuadra y el carta-bón, instrumentos junto al compás de imprescindible presencia en el ga-binete hasta hace muy poco. A su vez, son generadoras de muy diver-sas proporciones irracionales —buscadas o no— derivadas de sus rela-ciones geométricas. Por ejemplo, respecto al lado, la diagonal del cua-drado como sabemos es √2=1,4142…, pero si ampliamos el campo, la diagonal menor del hexágono es √3=1,73205…; el radio del octógono es la proporción cordobesa —1:√2-√2=1,306562…— de Rafael de la Hoz[55]; el rectángulo inscrito en el octógono tiene la proporción θ, 1:1+√2=2,4142…; la altura del triángulo equilátero es √3/2=0,86602…; la diagonal del doble cuadrado, formado en la trama cuadrangular —la que forma el triángulo hemipitagórico de Rafael Leoz[56]— es √5=2,23606... Es fácil de ver que, con independencia

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que el tracista las buscara o no, las combinaciones posibles pueden ser muchas. En general, los trazados a 90º y 45º dan obligatoriamente pro-porciones en función de √2, y los realizados a 30º y 60º lo hacen en fun-ción de √3. Es lo que sucede, por ejemplo, con los óvalos de Serlio que, al dibujarse con cuadrados o triángulos equiláteros como red de posi-cionamiento de los centros de los arcos, invariablemente y a pesar de los deseos del autor, dan proporciones irracionales para sus ejes[57].

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Trazado de la catedral de Milán en la ver-sión del Vitrubio de Cesariano, Como, 1521,

libro VI, 98 recto.

Cuando se plantea una trama geométrica para realizar una obra de arquitectura esta adquiere una libertad de generación de proporciones y trazados al margen de la voluntad del tracista y, en el fondo, son el origen de la mayoría de las especulaciones que en la actualidad se reali-

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zan interesadamente sobre estos temas. Esto lo recoge Felipe Soler acer-tadamente cuando indica, cuando hay una pauta de composición, co-mo se ha dicho muchas veces, es posible encontrar relaciones geométri-cas consecuencias de ella y en las que no había pensado el autor. Lo ha-ce cuando cita, precisamente, ejemplos derivados de las composiciones pentagonales que fueron la especialidad del ya citado Frederick Maco-dy Lund[58], con referencia a la catedral de Colonia. No resulta muy difícil observar que semejante trazado pentagonal difícilmente se le po-día haber ocurrido al arquitecto medieval, que tuvo que seguir las senci-llas tramas cuadradas o triangulares presentes en la planta del edificio.

Interpretación de Lund para la catedral de Colonia

En otras ocasiones la afición por una figura particular lleva a encon-trar hexágonos por doquier en las composiciones arquitectónicas, co-mo es el caso de Louis Meunié[59], que lo aplica a las más diversas ar-quitecturas. Lo hace además de manera reiterada a los alzados, cues-

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tión que merece una indicación particular: mientras las plantas tienen vocación de ser trazadas geométricamente y su forma es la primera que se plantea, los alzados son productos de una construcción lenta —a veces de siglos— que solo se ven al final y, por tanto, de mucho más difícil control hasta hace muy poco tiempo. Como juego geométrico no cabe duda se producen muchas veces curiosas coincidencias que dan motivo a ingeniosas interpretaciones, pero pretender hacer de esto la significación profunda de una obra de arquitectura es, sencillamente, no conocer a los arquitectos.

Consideraciones finales

Nos queda finalizar este ya extenso prólogo con un comentario de la obra que se presenta. El libro Los trazados reguladores en la arquitectura clási-ca de Felipe Soler se añade a la extensa lista de obras, algunas citadas y criticadas anteriormente, que tratan la cuestión. De esas propias opinio-nes vertidas anteriormente en este prólogo se pueden obtener conclusio-nes interesantes, siendo la principal el rigor y el cariño con el que Feli-pe Soler ha abordado la cuestión.

En primer lugar su estudio, fundamentalmente aplicado a las plan-tas octogonales, entra dentro de las condiciones expuestas de una senci-llez geométrica, y que se han mantenido como consustancial con los trazados arquitectónicos clásicos, abordándolos desde el rigor geométri-co y constructivo sin consideraciones esotéricas como las que lastran la mayoría de las especulaciones sobre el tema. Lo realiza además sobre las plantas —o piezas de cerámica, asimismo planas— que, como se ha indicado, sí poseen la forzosa construcción geométrica previa para reali-zar la obra. Lo hace además, bien con estudios propios sobre el terreno en la extensa e interesante arquitectura valenciana, bien basándose en

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autores de la mayor solvencia científica, desde su posición de buen co-nocedor tanto de la geometría como de la actividad constructiva del ar-quitecto.

Otro aspecto a destacar en este libro es el hecho de tener muy pre-sente las unidades de medida utilizadas en las obras estudiadas que, es-tando generalmente obviadas en la mayoría de los estudios, son de una importancia trascendental. El sistema métrico vigente es producto de una convención ilustrada que carece de relación con las tradicionales medidas históricas, siempre en relación —al menos formal— con las del cuerpo humano. Los palmos, pies o dedos, más que responder a la medida de alguna parte del cuerpo, por lo demás variables según el lu-gar, tenían como principal atractivo su pequeña dimensión respecto al metro, con una dimensión perfectamente abarcable por un operario. Así, y como se indica en el libro, las medidas principales de una obra siempre eran números enteros, siendo raras las dimensiones con deci-males y, generalmente, productos involuntarios del propio trazado geo-métrico[60].

Queda finalmente por destacar la correcta interpretación gráfica y geométrica de los trazados y la contención en las interpretaciones que, generalmente y como se ha dicho, desbordan no solo las intenciones del tracista sino también el entusiasmo del estudioso. Cuando Felipe So-ler indica, como uno de sus objetivos, que los resultados obtenidos debe-rían considerarse únicamente como hipótesis aproximadas peca de mo-destia, porque muchas de sus conclusiones, además de exponerse por primera vez, son difícilmente rebatibles. El presente libro trata la cues-tión de los trazados geométricos de la arquitectura con una seriedad y rigor difícilmente disponible en la literatura escrita sobre el tema.

Sevilla, enero de 2008xlv


Notas1. GENTIL BALDRICH, José Mª, Traza y modelo en el Renacimiento, Sevilla,

Instituto Universitario de Ciencias de la Construcción, 1998. Capítulo II.

2. SOLER SANZ, Felipe, Perspectiva cónica, 1996. Prólogo. "Una revisión del concepto histórico de la perspectiva", pp. 5-32.

3. SERLIO, Sebastiano (1475-1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis en langue françoyse par Iehan Martin. Paris, Iehan Barbé, 1545. VIGNOLA, Giacomo Barozzi da (1507-1573), Le due regole della Prospettiva Prattica, Ro-ma, Francesco Zannetti, 1583.

4. ZORZI, Gian Giorgio (1908-1969), "Alcuni disegni di Falconetto", en Palladio, 1955, p. 31.

5. Como indica SCHOFIELD, P. H, Teoría de la proporción en la arquitectura, Barcelona, Labor, 1971, p.31: "Entonces comprendemos que muchas de las fre-cuentes referencias de Vitrubio a la proporción nada tenían que ver con su as-pecto estético... ".

6. VASARI, Giorgio (1511-1574), Le vite de piu eccellenti architetti, pittori, et scul-tori italiani... , Florencia, S/E [Lorenzo Torrentino], 1550./GENTIL BAL-DRICH, José Mª, Traza y modelo ... , cap. primero: "Traza y Modelo en la Vi-das de Giorgio Vasari".

7. RORICZER, Matthäus (h. 1430-1495) Das büchlein von der fialen ge-rechtigkeit (Librito sobre la corrección de los pináculos), Ratisbona, 1486.

8. CORBUSIER, Le [Charles-Edouard Jeanneret] (l887 -1965). Modulor. Essai sur une mesure harmonique a l'échelle humaine ... , Paris, L'Architecture d'Au-jourd'hui, 1950. NEUFERT, Ernst (1900-1986), Bau-Entwurfslehre. Grundla-gen, Normen Und Vorschrifsten..., Berlin, Bauwelt-Verlag, 1936.

9. HERÓDOTO de Halicarnaso (h. 485 a. C-424 a. C), Los Nueve Libros de la Historia, Libro II, Euterpe, 109: “…cuando el río invadía una parte de alguno [terreno], éste tenía que ir al rey y manifestar lo sucedido. El rey enviaba, en-tonces, supervisores quienes debían medir en cuanto se había reducido el terre-

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no, para que el propietario pagara sobre lo que le quedaba en proporción al impuesto total que se había fijado. Ésta es mi opinión sobre el origen de la geo-metría que después pasó a la Hélade". Heródoto lo sitúa en tiempos de Sesos-tris (1956-1911 a. C). PROCLO de Licia (412-485), Comentarios..., prólogo, parte II: “... la Geometría, que nació de la medida de los campos, la inventa-ron los egipcios porque necesitaban medirlos, ya que los desbordamientos del Nilo borraban las propiedades". Por su parte ARISTOTELES (384 a. C-322 a. C), en Metafísica, 1, 1, aún admitiendo el origen egipcio de la Matemática, se lo achacaba curiosamente a la existencia de una clase sacerdotal que, ocio-sa, propició su dedicación al desarrollo de la ciencia: “... la Matemática, naci-da cerca de Egipto, porque en aquel país las castas sacerdotales estaban libres de todo trabajo”.

10. La geometría griega es, lógicamente, mucho más que una mera aplicación con la regla y el compás pero, a nuestros efectos, es dudoso que los arquitectos tu-vieran mucho interés, por citar solo unos ejemplos geométricos, en las especu-laciones de Apolonio sobre las cónicas, o en las teorías de Arquímedes sobre los elipsoides y paraboloides de revolución, que denominaba esferoides y conoi-des.

11. Su uso es muy habitual: en la serie de torres conservadas de la muralla almoha-de de Sevilla, que se inicia en la orilla del río con la conocida Torre del Oro -que se trata en este libro- y concluye en el Alcázar, se establece una interesan-te sucesión de polígonos en sus plantas: doce, ocho, seis y cuatro lados.

12. DIOFANTO de Alejandría (h. 210-h.298), Aritmética, libro VI. En la práctica solo se usó el primer triángulo de la serie, al que Vitrubio (Libro IX, cap. II) ad-judicaba su invención a Pitágoras, y la aplicaba, con un sentido práctico caren-te de misticismo, a la construcción de escaleras.

13. EUCLIDES (h. 325 a. C-265 a. C), Elementos, libro IV, proposiciones XI-XlV.

14. El eneágono es el primer caso que aparece en los polígonos de tenerse que apli-car para su obtención uno de los tres imposibles problemas clásicos de los grie-gos: la trisección de ángulo. De este se puede obtener una construcción aproxi-

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mada con la cuadratriz de Hipias, al igual que del heptágono regular expuso Durero una construcción inexacta procedente de la tradición gótica recogida con anterioridad en la Geometría Deutch. Como se puede comprender, en am-bos casos su uso por un arquitecto solo pudo ser producto de una particular erudición.

15. VITRUBIO POLION, Marco (s. I a. C), Los diez libros de Architectura de [...], traducidos del latín y completados por don Joseph Ortiz y Sanz, Madrid, Imprenta Real, 1787. Libro 1, cap. II, p.8: "De qué cosas conste la Architectu-ra"; pp. 267-277 "Índice de las cosas más notables". La traducción del texto de Vitrubio del valenciano José Francisco Ortiz y Sanz -nacido en Ayelo de Malfe-rit en 1739 y fallecido en Valencia el 21 de diciembre de 1822- es, a mi juicio, la más correcta de las versiones clásicas españolas.

16. Los diez libros…, Libro I, cap. II, p. 11.

17. Los diez libros…, Libro III, cap. I, pp. 58-60.

18. Los diez libros…, Libro VI, cap. IV, pp. 146-147.

19. Por ejemplo: FOURNIER DES CORATS, André, La proporción egipcia y las relaciones de divina armonía, Cádiz, Arquitectos de Cádiz, 1999, inicialmente publicado en París, Vega, 1957.

20. NICÓMANO DE GERASA, (s. II), Introducción a la Aritmética, lib. I, XVII. Es curioso -pero significativa de la oposición de un amplio sector de la ciencia sobre estas cuestiones- el comentario despectivo de Francisco Vera (1888-1967) a las exposiciones de Nicómaco sobre los números que serían la base de las proporciones renacentistas: "Contienen estos apartados [las proposiciones XVII-XXIII del libro primero] las definiciones de los números superparticula-res, superpartientes, heterómecos y otros tan inútiles como estos, pero que go-zaron de gran predicamento en la Edad Media ", en Los Científicos Griegos, Madrid, Aguilar, 1970,II, p. 915, nota 9.

21. BOECIO, Anicio Manlio Torcuato Severino (480-h. 524). Institutio Aritméti-ca, libro I, cap. XIV: "El número superparticular es el que, comparado con Au-dio -.-otro, lo contiene en sí un número de veces y alguna parte de él. Si este

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tiene una mitad se dice que la proporción es sesquialtera, una vez y media; si lo que contiene es una tercera parte se dice que la proporción es sesquitercia, una vez y un tercio; si es una cuarta parte se dice que es sesquicuarta, una vez y un cuarto... ". Existe edición reciente: Fundamentos de aritmética. Edición y traducción de Mª Asunción Sánchez Manzano. León, Universidad de León, 2002.

22. Por ejemplo, el Lucidarium Musicae Plana, tractatus quartus, de MARCHE-TUS DE PADUA, (act. 1318): "Proportiones in musica in quibus consonantie consistunt sunt sex, scilicet sesquitercia, sesquialtera, dupla, dupla superbipar-tiens, tripla, et quadrupla".

23. ALBERTI, León Bautista (1404-1472), De re aedificatoria, Florencia, Niccolò di Lorenzo Alemanno, 1485, lib. IX, cap. VI, p. 460: "Di questi numeri, su cui ci siamo soffermati, fanno uso gli architetti; non però combinandoli alla rinfu-sa, sibbene in reciproche proporzioni armoniche... ". En la traducción castella-na de Francisco Lozano, Los diez libros de Architectura, Alcalá de Henares, Alonso Gómez, 1582, lib. IX, cap. VI, p. 288: "Destos números quales los he-mos contado usan los architectos, no confusa y mezcladamente, sino corres-pondiendo por toda parte en armonía... ".

24. WITTKOWER, Rudolf (1901-1971), "El problema de la proporción armóni-ca en arquitectura", en La arquitectura en la edad del Humanismo, Buenos Ai-res, Nueva Visión, pp. 102-153.

25. SERLIO, Sebastiano (1475-h.1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis en langue françoyse par Iehan Martin, Paris, Iehan Barbé, 1545.

26. SERLIO, Sebastiano, Il primo libro..., hh. 20 v.- 21 r, de la edición de París, 1545.

27. PALLADIO, Andrea (1508-1580), I quattro libri della Architettura, Venecia, Dominico de Franceschi, 1570, p. 52: "Delle loggie, dell'entrate, delle sale... & delle forma loro".

28. SERLIO, Sebastiano, Tercero y cuarto libro de arquitectura, Toledo, En casa de Ivan de Ayala, 1552.

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29. ARFE Y VILLAFAÑE, Juan de (1535-1603), De varia commensuracion para la esculptura, y architectura, Sevilla, Andrea Pescioni y Juan de León, 1585, hh. 16 v.-17 v. En justa correspondencia a Arfe se debe indicar que su exposi-ción de las proporciones es más detallada que la de Serlio. No incluye, sin em-bargo, la proporción diagónea del italiano sobre la que luego volveremos y que, sin embargo, si utilizó Palladio.

30. SOR JUANA INÉS DE LA CRUZ (1651-1695), De la poetisa a la muy ilustre Sor Filotea de la Cruz. En: Las literaturas hispánicas, Evelyn Picon Garfield & Ivan A. Schulman, Detroit, Wayne State University Press, 1991, volumen 3, p. 41. La "sor Filotea" del escrito era el obispo Manuel Fernández de Santa Cruz (1637-1699), fundador del convento de Santa Mónica en Puebla (México) y co-rresponsal de sor Juana en sus discusiones teológicas.

31. A esta serie de proporciones irracionales 1:√n, la llamó Jay HAMBIDGE (1867-1924), en Dynamic Simmetry. The Greek vases, Yale University Press, 1920, "dinámica", en contraposición de la "estática" y racional conocida, consi-derándola la base de la composición artística griega.

32. SERLlO, Sebastiano, Il primo libro..., h.21 r.: “... la quale e inrationabile, ne si trova proportione alcuna dal quadro perfetto a questo cressimento [...] laquel-le est inexplicable: cal il ne se treuve aucune proportion dans le carré perfaict, qui soit cause de cest acroyssement" La proporción es recogida también por PALLADIO, I quattro libri..., p. 52: “... la lunghezza loro sará per la linea dia-gonale del quadratto della larghezza".

33. La diagónea, por ejemplo, es la proporción que poseen los formatos DIN de dibujo, por tener la cualidad de seguirse manteniendo la misma relación con la división por la mitad del lado mayor de cada formato.

34. EUCLlDES, Elementos, libro VI, definición III: "Se dice que una recta está di-vidida en media y extrema razón cuando la línea total es a la parte mayor co-mo la parte mayor a la menor". En la proposición 30 del mismo libro estable-ce su forma de obtención y en otros lugares de su obra hace referencia a ella, por ejemplo, el corolario de la proposición 17 del libro XIII, donde indica la

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proporción áurea entre la arista del dodecaedro y la del cubo en el que está ins-crito.

35. PACIOLl, Luca (1445-h.1517), Divina proportione, opera a tutti glingegni [sic] perspicaci e curiosi necesaria, Venecia, Paganino de Paganini, 1509. Par-te I, capítulo V, p. 69 de la edición de Losada, Buenos Aires, 1959.

36. PACIOLl, Luca, Divina proportione... , Parte II, capítulo I y siguientes: "De la medida y proporciones del cuerpo humano, simulacro de la arquitectura", p. 152 y ss. de la edición citada. Está referenciada la posesión de la obra por el es-cultor y arquitecto Juan Bautista de Monegro, (1546-1621) y por el cosmógra-fo Jerónimo de Chaves (1523-h.1573), cuyo ejemplar con la firma autógrafa conserva actualmente la Universidad de Sevilla.

37. PACIOLl, Luca, Summa de aritmética, geometría proportione e proportionali-tá, Venecia, Paganino de Paganini, 1494. Un ejemplar de esta obra se localiza-ba en la biblioteca de El Escorial, y en la de los arquitectos Juan Bautista de Toledo (¿-1567), la de Juan de Herrera (1530-1597) –“aricmetica y gemetria de frater lucas en ytaliano"- y la de Juan Bautista de Monegro (1546-1621).

38. KEPLER, Johannes (1571-1630), Mysterium Cosmographicum, Frankfurt, Erasmus Kempfer, 1621, capítulo XII: “... hay dos tesoros en la Geometría, uno es la razón de la hipotenusa al lado en el rectángulo, el otro es la sección de la recta en razón extrema y media ... ", En la nota 17 del autor, y no segui-do como se suele hacer, les da la conocida calificación de masa -debía haber traducido "lingote"- de oro y joya respectivamente. Se cita aquí según la tra-ducción de la segunda edición de 1621, El secreto del universo, Madrid, Alian-za Editorial, 1992, pp. 133-134 Y 142.

39. OHM, Martin (1792-1872), Die reine Elementar-Mathematik, zum Gebran-chi an höhern technischen Lehr-Anstalten, Berlin, Jonas Verlags, 1835, segun-da edición.

40. ZEISING, Adolf (1801-1876), Neue Lehre von den Proportionen des menschli-chen Körpers, Leipzig, R. Weigel, 1854; Aesthetische Forschungen, Frankfurt, Meidinger, 1855. Zeising fue el primero que aplicó la sección áurea al estudio

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del Partenón y su proporción humana de 1854 es la recogida por Ernts Neu-fert en su obra.

41. FECHNER, Gustav Theodor (1801-1887), "Über die Frage des golden Schnitts" (Sobre el asunto de la sección áurea), en Archiv für die zeichnenden Künste, nº 11, 1865, pp. 100-112.

42. COOK, sir Theodore Andrea (1867-1928) Spirals in nature and art; a study of spiral formations, Londres, J. Murray, 1903; The curves of life: being an account of spiral formations and their application to growth in nature, to scien-ce, and to art, Londres, Constable, 1914.

43. The curves of life, p. 420. Como se indica en el texto, el nombre le fue dado por Mark Barr, a sugerencia de William Schooling (1860-1936), posteriormen-te nombrado sir y destacado especialista en finanzas.

44 Los libros sobre el tema son innumerables y del más diverso tipo. A título de ejemplo se puede consultar uno reciente y suficientemente documentado, que da noticia de numerosas publicaciones: BONELL, Carmen, La divina propor-ción, Barcelona, Edicions UPC, 1999, segunda edición.

45. GHYKA, Matila Cotiescu (1881-1965), Esthetique des proportions dans la na-ture et dans les arts, París, Gallimard, 1927; Buenos Aires, Poseidón, 1953. A parte de los autores citados también recogió las teorías del zoológo D'Arcy Wentworth THOMPSOM (1860-1948) sobre la geometrización de la naturale-za, On growth and form (Cambridge, 1917) y de Frederick Macody LUND (1863-1943), sobre unos discutibles trazados clásicos y medievales, Ad Quadra-tum, (Londres, 1921; París, 1922).

46. GHYKA, Matila, Le nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le dé-veloppement de la civilisation occidentale, París, Gallimard, 1931, dos volúme-nes; Buenos Aires, Poseidón, 1968.

47. Por ejemplo, cuando lo hace con la proporción del cuerpo humano -donde si-gue a Zeising - nos ofrece la fotografía de un desnudo masculino -en un caso similar al de Cesariano en su Vitrubio- con un pene desproporcionado (I, lam. XXllI). Hay que destacar que, en un resumen de sus teorías para el mercado

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norteamericano, The Geometry of Art and Life, Nueva York, Sleed & Ward, 1946, la pudibunda sociedad americana al que iba dirigido hizo cambiar las láminas nudistas por unos modosos dibujos -a todas luces de un artista local por la grafía- convirtiéndolas en las XXXIX y XLI. Miss Helen Wills, sin em-bargo, aparece igual que en el original (lam. XXXVI) y con el mismo éxito icó-nico.

48. LE CORBUSIER [Charles-Edouard Jeanneret] (1887-1965), "Les tracés regu-lateurs" en L'Esprit Nouveau, nº 5,1925, pp. 563-572.

49. GHYKA, Matila, "Le Corbusier's modulor and the concept of de golden sec-tion" en, Architectural Review, febrero, 1948, pp. 39-42. ROBERTSON, Manning (1888-1945) "The golden section" en RIBA Journal, octubre, 1948, artículo póstumo y, en cierta medida, reivindicativo.

50. LE CORBUSIER, Modulor. Essai sur une mesure harmonique a l´échelle hu-maine applicable universellement a l'architecture et a la mécanique, Paris, L'Architecture d'Aujourd´hui, 1950. La IXª Trienal de Milán de 1951 convo-có un coloquio sobre "La Divina Proportione”, que se repitió en marzo de 1952 en el MOMA de Nueva York y, en septiembre del mismo año, en Siena, lo que da idea de la rápida aceptación de estas teorías. En 1955 publicó una continuación, donde daba cuenta de sus éxitos y resultados: Modulor 2. La pa-role est aux usagers..., Boulogne, L'Architecture d'Aujourd'hui, 1955.

51. Antonio de SANGALLO el Joven (1484-1546), Iconografía su carta quadettra-ta d'un progetto per a basílica vaticana, Gabinete dei Disegni e Stampe degli Ufizzi, 34 A.

52. CARAMUEL DE LOBKOWITZ, Juan (1606-1682), Architectura Civil recta y oblicua, considerada y dibuxada en el templo de Jerusalén, Vigevano, Camil-lo Corrado, 1678, lam. 26.

53. DURAND, Jean-Nicolas (1760-1834), Précis de leçons d'Architecture, données a l'Ecole Royale Polytechnique, Paris, Firmin Didot, 1819. Tuvo varias edicio-nes francesas posteriores, diversos seguidores y una edición española, Madrid, Pronaos, 1981, con prólogo de Rafael Moneo.

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54. Gabriele Scovaloca, denominado mathematicus expertus artis geometricae, de familia de Piacenza sin más datos, presentó el dibujo de la catedral el 24 de septiembre de 1391. El 13 de octubre de aquel año la Fabbrica del Duomo le abonó como honorarios 16 liras imperiales y, el 1 de mayo de 1392, en compe-tencia con Heinrich Parler, de una dinastía de famosos arquitectos de origen bohemio, se aprobó su diseño con pequeñas variaciones que no modificaron el esquema general. VALENTINI, Giuseppe, Il duomo de Milano, Milán, NED, 1990.

55. HOZ ARDERIUS, Rafael de la (1924-2000), La proporción cordobesa, Cór-doba, Diputación Provincial, 1973. Se reeditó en Cointra Press, nº 27, pp. 12-21, Madrid, 1977; Colegio Oficial de Arquitectos de Córdoba, 2002.

56. LEOZ DE LA FUENTE, Rafael (1921-1976), Redes y ritmos espaciales, Bar-celona, Blume, 1968. Fue autor de diversas investigaciones geométricas, entre ellas las redes que denominó de la escuadra, del cartabón y hemipitagórica, de uso en los proyectos de arquitectura. Su aplicación era más compleja que un simple trazado, con derivación espacial en el llamado módulo HELE, pero en esencia son las utilizadas en el debate milanés que se ha indicado.

57. Se puede ver, por ejemplo, en GENTIL BALDRICH, José Mª, "La traza oval y la Sala Capitular de la catedral de Sevilla. Una aproximación geométrica" en Qvatro edificios sevillanos, Sevilla, Demarcación en Sevilla del COAOc, 1996, pp. 73-147. La sala oval, que Serlio pretende sesquitercia en el libro V, es imposible: las proporciones racionales que expuso en el libro I no se pueden conseguir con sus trazados ovales, y por eso Hernán Ruiz tuvo que trazar una elipse para conseguir una proporción sesquiáltera en la sala.

58. LUND, Frederick Macody (1863-1943), Ad quadratum. A study of the geome-trical base of classic and medieval religious architectute, Londres, Batsford, 1921; Ad quadratum. Etudes des bases géométriques de l'architecture retigieu-se dans l´antiquité et au moyen age, Paris, Albert Morance, 1922.

59. MEUNIÉ, Louis, L´architecture et la geometrie. Symetries et rythmes harmo-niques, Paris, Vicent Freal, 1968.

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60. La Sala Capitular de la catedral de Sevilla, antes citada y que tantos proble-mas métricos ha dado a sus medidores, es de una sencillez meridiana: 34 x 51 pies castellanos, con un módulo de 17 pies que da la proporción sesquiáltera buscada.

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Prefacio

El tiempo transcurrido desde la publicación del libro Trazados Regula-dores Octogonales en la Arquitectura Clásica nos ha obligado a detallar y con-cretar ciertos pasajes difíciles de interpretar en una primera lectura. Se puede llegar a definir más detalle, ya sea geométricamente, o mediante la comparación de segmentos, según los parámetros obtenidos θ, λ o simplemente 2 .

Allí se mostraron procedimientos geométricos utilizados para compo-ner edificios a partir de unas formas y tamaños que podían considerar-se como “modelos o prototipos”. En ellos se aprecia la existencia de cri-terios generales y matices derivados de la geometría elemental. Por ello, se intenta relacionar o identificar esos coeficientes deducidos θ = 1 + 2 y λ2 = 1 + 1/ 2 con los segmentos que aparecen en los oc-tógonos y en los cuadrados inscritos en circunferencias.

Igualmente se pretende aclarar al lector que el hecho de inscribir o circunscribir unas figuras en otras, produce entre ellas una relación de semejanza que depende del coseno de un ángulo: 22,5° en octógonos, 30° en hexágonos, 45° en cuadrados, etc. Es obligado mencionar la Madrassa de Amasya (Anatolia, Turquía) que al igual que otras edifica-ciones singulares se han incluido en un nuevo capítulo.

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No se trata de hacer un catálogo, sino de analizar la forma de actuar de los constructores siguiendo unas normas comunes. Estos procedi-mientos, no solo fueron aplicados a formas octogonales o hexagonales, ya que la Torre del Oro (Sevilla) o la Iglesia de La Veracruz (Segovia), dodecagonales, se basan en los mismos principios. La Ermita de San Miguel (Nules, Castellón) es heptagonal y se origina igualmente me-diante inscripciones o circunscripciones a partir de un núcleo, cuyo pe-rímetro es precisamente 26,87 metros. Haber elegido esta dimensión no parece ser casualidad.

El decágono regular o estrellado también ha sido utilizado de forma análoga. En el Templo de Minerva Médica (Roma), el núcleo decago-nal, se relaciona con la geometría del octógono para definir ciertos ele-mentos de la periferia. Estos procedimientos de diseño, tan sencillos, han sido utilizados de forma más compleja al combinar en una misma construcción varias fórmulas elementales. La tumba de Isa Han o el Taj Mahal, pueden ser muestra de ello.

Podríamos seguir mostrando nuevas edificaciones de distinta época y de trazado similar, mas como se ha dicho, no se trata de catalogar to-dos los edificios más o menos poligonales. Aunque se aparte del fin de este tratado, debe mencionarse el análisis que Ecochard realiza de va-rias iglesias armenias, muy interesantes, limitadas por polígonos de die-cinueve, veinte lados e incluso circulares. La Iglesia de San Marcos en Salamanca también es circular. Tiene cierta analogía con las armenias por su perímetro circular y la disposición de los ábsides. En el interior, se adaptan a formas derivadas del cuadrado o del octógono.

Si digna de admiración es la obra gráfica de M. Ecochard, que de-mostró la existencia de “modelos” utilizados por los pueblos próximos al Mediterráneo, no deben olvidarse otros estudios que corroboran

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aquellas conclusiones. Como es el caso de los resultados a los que llega Theodore Hauschild, partiendo de unas ruinas mínimas, en las Vegas de Puebla Nueva (Toledo) podría incluirse como uno más de los ejem-plos de Ecochard. Este mausoleo fue construido en el siglo IV en la épo-ca del emperador Teodosio. Según los planos contenidos en las páginas 114 y 530 del libro “Iglesias tardoantiguas y altomedievales en la Penín-sula Ibérica. Análisis Arqueológico y sistemas de Abovedamiento” (Utrera Agudo, Mª de los Ángeles C.S.I.C. 2006) y teniendo en cuenta las dimensiones que figuran en el texto y la escala gráfica, la circunfe-rencia en que se inscribe el octógono exterior podría medir 24 metros de diámetro, cifra muy próxima a la constante dimensional tantas ve-ces mencionada ya que

53,74λ³ = 24,09 metros

Finalmente, hay que insistir en que los resultados obtenidos deben considerarse como hipótesis aproximadas, como ya se indico en la pági-na 36 de la primera edición. En San Pio V (Valencia), el edificio más próximo y del que se disponía plano a escala 1:50, una falsa aprecia-ción visual condujo a un error no detectado al quedar enmascarado ba-jo una geometría aparentemente lógica, que se encuentra en otros tra-zados. Por ello se introduce la rectificación que responde a la realidad, mostrando a su vez cuán fácil es cometer errores en la interpretación de los datos disponibles.

Valencia, mayo de 2013

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Introducción

El desarrollo del proyecto arquitectónico obliga a tener en cuenta los tamaños normalizados de los componentes, además de intentar la belle-za final del conjunto. Los trazados gráficos aplicados desde la antigüe-dad tratan de conjugar ambas necesidades: sacar el mejor partido a los materiales y lograr un edificio armonioso.

Se han podido analizar infinidad de esquemas geométricos que justi-fican la composición de los edificios, bien en planta o en alzado. Cada autor matizaba variadas reglas usuales que se repetían no sólo en un mismo periodo o estilo, sino que esos trazados geométricos habían sido utilizados en edificios muy distantes en el tiempo y en su situación geo-gráfica. Ello hace suponer que los constructores se apoyaban en ciertos modelos o prototipos que adaptaban a su problema espacial y funcio-nal.

Ligadas al octógono se encuentran la mayoría de las cúpulas de las grandes catedrales, mezquitas, torres de todo tipo, así como construc-ciones de menor importancia y elementos decorativos. Por ello decidi-mos profundizar en el análisis de edificios o figuras basadas en el octó-gono.

Los estudios de Ecochard, comparando edificios octogonales dentro de unas constantes, nos llevaron a seguir en esa línea. Se han sistemati-

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zado las propiedades y aplicaciones de otros modelos octogonales, e in-cluso se han buscado nuevos detalles en edificios ya descritos por Eco-chard. No solo el contorno es octogonal: los muros, capillas, etc., están basados en la geometría del octógono. Por lo tanto, se supone que par-tían de un modelo que trasformaban inscribiendo o circunscribiendo octógonos y otras figuras en una circunferencia predimensionada.

Para sistematizar el proceso se han puesto en evidencia ciertos coefi-cientes que justifican el trazado y permiten el cálculo numérico de to-das sus partes. Así, la circunferencia de 15,74 metros para pequeñas iglesias equivale a 26,87/λ² siendo λ la relación del radio al lado del oc-tógono regular inscrito. Se han podido encontrar construcciones que parten de circunferencias aún menores y otras que no siendo octogona-les también se apoyan en circunferencias derivadas de las de Ecochard.

No siempre la documentación encontrada aporta los datos necesa-rios para definir correctamente un edificio. Es necesario comparar va-rias fuentes, a veces contradictorias, para llegar a conclusiones acepta-bles. Las constantes de Ecochard ayudan a llegar a conclusiones válidas y a confirmar hipótesis.

En ciertos casos no hay certeza de la unidad métrica utilizada, a pe-sar de existir una ley que define el conjunto y sus detalles. También pue-den encontrarse edificios regidos según una ley geométrica rigurosa, a partir de un modelo, con detalles ajustados a medidas locales.

Las formas octogonales han servido para componer todo tipo de ele-mentos decorativos. La geometría utilizada aquí puede ser más comple-ja, al ser muchos de ellos elementos que se repiten para llenar un espa-cio, pero la esencia es la misma.

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Para aplicar las formas octogonales en la arquitectura conviene do-minar el concepto de módulo y su aplicación en obras sobradamente conocidas, así como otras fórmulas de composición.

Como ejemplo, se adjunta una relación incompleta con unidades de medida de varios países aportada por algunos colaboradores y concreta-mente las de España provienen de los congresos sobre medievalismo de Ávila en 1992 y 1993. Los clásicos se encuentran en el trabajo de Tine Kurent. Se han especificado relaciones de cada unidad respecto al de-do o la pulgada, pero no deja de ser incompleta, puesto que ciertas uni-dades citadas por muchos autores no aparecen. Como en Grecia, Italia o España, en otros países existirían varios sistemas.

Junto a edificios destacados de todas las épocas se han analizado ejemplos españoles y valencianos equiparables con aquellos, en la idea fundamental, que aportan otras particularidades. No se trata de hacer historia, solamente se persigue averiguar cómo fueron compuestos esos edificios, aunque sea necesario apoyarse en datos históricos.

Por ello, se agrupan según la fórmula utilizada para su generación o trazado geométrico aplicado. El análisis de todas las edificaciones y de-talles ornamentales que se estudian es esencialmente gráfico. El texto se limita a descubrir o justificar relaciones geométricas en cada figura, donde evidentemente habrá otras no descritas.

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Trazados Reguladores

C A P Í T U L O 1

S e c c i ó n 1

Objetivos y Ejemplos

El estudio de un edificio, clásico o moderno, comienza por fijarse en el aspecto general para luego relacionar los elementos que componen el todo. Se analizan las formas y también se estudia la cronología relati-va a su construcción y autores. Podemos llegar a conocer cómo un edifi-cio se adecua a un determinado uso y a los sistemas constructivos de la época.

Hay que partir de que la intuición genial es insuficiente a la hora de proyectar en arquitectura. Establecido un programa de necesidades des-tinado a poder cumplir una actividad, se procede a estructurar los espa-cios asignados. Los bocetos iniciales requieren un estudio minucioso de ajuste, debiendo concretarse los detalles de cada una de las partes y el acabado o decoración. Es cuando hay que amoldar la idea original a una composición reglada según diversos procedimientos o normas cons-tructivas.

Para completar debidamente el estudio de un edificio, tendría que conocerse la fórmula que utilizó el arquitecto para componer los espa-cios y sus detalles. Estos datos, en general, son difíciles de obtener. Va-mos a tratar de intuir la idea rectora de su concepción analizando la geometría del conjunto.

Conocida la idea compositiva sería posible discernir qué modificacio-nes posteriores alteraron la forma fundamental, o bien establecer crite-rios para una posible rehabilitación.

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Aunque se conserven pocos documentos gráficos relativos a la idea o proyecto utilizado en su construcción, se pueden encontrar casos senci-llos en los que es posible apreciar un criterio de composición apoyándo-se en los levantamientos posteriores.

Para encontrar la fórmula, si la hubo, que permitió llegar al resulta-do final son necesarios datos que hay que obtener, bien de las plantas o alzados disponibles o bien de las descripciones. A veces la fórmula, co-mo hemos dicho, es sencilla y se percibe con facilidad, pero en ocasio-nes es más difícil de encontrar. Los resultados obtenidos deberían consi-derarse únicamente como hipótesis aproximadas.

Existe un documento gráfico conservado, muy expresivo, de una por-tada egipcia que se conserva en Turín. Las líneas están en negro y la cuadrícula en rojo. Esta trama había sido la reguladora de la composi-ción. Aquí haría falta conocer cual es el tamaño, o módulo, de esa reji-lla. La geometría sólo no basta, es necesario conocer las dimensiones.

Según A. Badawy, el arquitecto empleaba simultáneamente un siste-ma modular y un sistema geométrico. El módulo procedería de una di-mensión en el edificio en cuestión, por ejemplo, la nave interior de un templo, que podría ser de 10 codos. Los múltiplos y las fracciones de módulo determinarían, entonces, todas las demás dimensiones del edifi-cio, así como la colocación de las columnas y pilares. Las dimensiones se calculaban también, a veces, con las llamadas series de Fibonacci, en las cuales todo número es la suma de los dos precedentes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. El sistema geométrico dependía de unas cuantas figuras simples, principalmente el cuadrado y una serie específica de triángulos, entre ellos el llamado triángulo sagrado o de Osiris, con los lados en la relación 3, 4, 5.

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Palacio Farnesio, Roma.

A menudo se usaban relaciones numéricas sencillas, como la aplica-da en la fachada del palacio Farnesio de Roma sobre la lámina del li-bro de Paul Letarouilly. Está compuesto según la proporción 1 a 2 tan-to en las dimensiones, longitud-altura de la fachada como en los huecos y ventanales.

En general, encontramos en muchos estudiosos del tema un cierto empeño en buscar relaciones áureas. A veces, da la impresión de haber sido utilizadas, aunque también la voluntad de descubrirla y el mal esta-do de conservación del edificio, pueden llevar a encontrarlas.

FIGURA 1.1 Palacio Farnesio

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Arco de Séptimo Severo, Roma

En el arco de Séptimo Severo he dibujado unas cuantas diagonales áureas sobre el alzado que figura en el “Tratado práctico de Arquitectu-ra” según Vignola, Palladio, Scamozzi, de Coll y March. Algunas res-ponden a puntos clave de la composición y otras son gratuitas; pero el error de dibujo también puede dar como buena la relación que, aun-que sea por poco, no cumple. Visto el estado real de conservación, es imposible afirmar o negar nada.

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FIGURA 1.2 Arco de Sépti-mo Severo

Partenón, Atenas

En el Partenón, que también ha sido objeto de muchos estudios bus-cando las proporciones de sus dimensiones, parece que la altura de las columnas más el estilóbato es la sección áurea de la altura total.

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FIGURA 1.3 Partenón

Dentro de los muchos criterios aplicables para el trazado de edifi-cios, o proporcionar los distintos elementos, vamos a centrarnos en las posibilidades que para ello ha tenido y sigue teniendo el octógono. Se han estudiado las plantas octogonales normalmente dentro del conjun-to de plantas centralizadas. El objetivo ahora es analizar las propieda-des métricas del octógono como trama generadora de espacios y como sistema modular.

La mayoría de los edificios que vamos a analizar responden a una forma claramente octogonal. No es la forma lo que interesa, sino cómo ese octógono es capaz de definir la composición general del conjunto, e incluso ser el origen de ciertos detalles. Por ello se incluyen también ejemplos donde el octógono no es la forma aparente, pero subyace or-ganizando las líneas generales.

Una primera aproximación se realiza sobre planos y documentos re-lacionados con el edificio a estudiar. El material gráfico disponible sue-le ser bastante impreciso, o tiene irregularidades de dibujo, o escalas só-lo aproximadas por la reducción, lo que obliga a tener que deducir la posible realidad mediante el análisis comparado de distintas versiones de un mismo plano. Por otra parte hay que considerar que se pueden encontrar en el edificio diferencias de medida en elementos que teórica-mente debían ser iguales. En el palacio Farnesio citado, aparentemente simétrico, hay una diferencia de 20 cm. en la zona de ventanas mas otros 22 cm. en las pequeñas fajas de piedra de las esquinas.

Por ello se impone realizar una reconstrucción del edificio partiendo de las conclusiones provisionales deducidas sobre los planos originales. Podría llegarse a resultados erróneos, basados en una abstracción teóri-ca, al tratar de idealizar el modelo imperfectamente concretado con la

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documentación encontrada. De todas formas, siempre quedarán dudas que deberán ser confirmadas a posteriori con un estudio directo.

Los tratados “clásicos” que se utilicen no hay que tomarlos como dogma de fe, ya que pueden tener errores de apreciación, o variaciones según la edición.

Habría que hacer una distinción clara entre lo que es la traza recto-ra general de un edificio y las cotas finales apreciables. Las discrepan-cias entre distintas mediciones de un mismo edificio a veces son abisma-les, basta como ejemplo medir al zócalo o al paramento del muro.

No todos los trazados analizados que exponemos llegan a un mismo nivel de aproximación a la realidad. Algunos resultados finales o parcia-les han tenido que ser reajustados al encontrar nuevas fuentes, pero también es cierto que ciertas relaciones insospechadas en principio se han puesto en evidencia sobre el dibujo de los datos disponibles. Y co-mo venimos diciendo, es posible, que por defecto de las fuentes o mala interpretación personal, hayamos llegado a conclusiones erróneas.

Cuando el autor establece una norma de composición, es posible en-contrar otras relaciones, consecuencia de aquélla, que posiblemente no tuvo en cuenta cuando proyectaba. Encontraremos planteamientos esencialmente formales o que responden a una idea preconcebida, pe-ro también da la impresión, en algunos casos, que la geometría inicial acaba dominando el desarrollo posterior.

No siempre se ha utilizado un trazado geométrico como norma de composición. Tine Kurent dice: “La coordinación modular es un méto-do de componer dimensiones arquitectónicas con ayuda de módulos, entendiendo como módulo el denominador común de los tamaños”. Igualmente afirma: “La gradual desaparición de las medidas estánda-

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res romanas y la aparición de abundantes sistemas locales destruyeron la fiabilidad de las medidas. La arquitectura todavía modular del Romá-nico tuvo que dar paso al estilo geométrico del Gótico. O la introduc-ción del sistema métrico decimal es responsable de la desaparición de la coordinación modular en las medidas y del caos resultante en las di-mensiones de los componentes constructivos en la primera era indus-trial.”

Al igual que los cánones establecidos en el Renacimiento al analizar el cuerpo humano, todos los sistemas clásicos de medida estaban rela-cionados con las dimensiones humanas: dedo, pulgada, palma, palmo, pie, codo, braza, paso, etc.

De los textos expuestos podía deducirse que después del imperio ro-mano vino el caos. Es posible que durante la dominación se impusieran una serie de normas unificadoras que luego fueron degenerando en ca-da una de las zonas en que se descompuso.

Dentro de la variedad de medidas, todos los sistemas tienen unos cri-terios similares para relacionar unas unidades con otras. Partiendo del dedo o de la pulgada se obtienen todas las demás. Aunque el criterio pueda ser el mismo para generar unidades mayores, varía cual de ellas se utiliza en cada región. Normalmente se utilizaba el pie, pero en otros sitios la unidad empleada habitualmente es el palmo, el codo, la braza, así como unidades mayores múltiplos de éstas.

En los cuadros adjuntos se recogen algunos sistemas de medidas loca-les, indicándose también las equivalencias. Donde se ha encontrado la traducción se ha indicado el nombre en castellano. Se han colocado en la misma línea unidades análogas en dimensión o en concepto. Puede haber confusión en algunos casos, pues la traducción literal no se ajusta a la idea que tenemos. Lo que en algunos sitios figura como palmo o

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mano, equivalente a cuatro dedos, optamos por llamarlo palma para distinguirlo de lo que conocemos por palmo, igual a tres palmas, o bien doce dedos.

Encontraremos también el codo común y el codo real, que corres-ponden a la longitud limitada por el codo y el extremo del dedo pulgar, o a la comprendida entre el codo y el extremo del dedo corazón. En Egipto se modifica el sistema primitivo tomando como base el codo re-al. Este codo real era igual al codo común más una palma.

La diversidad de unidades existió siempre. Kurent expone ya cuatro sistemas métricos en la Grecia clásica. Al parecer el templo de Apolo en Bassae usa pies áticos de 0,2942 metros, mientras que el templo de Apolo de Didyma está modulado con pies jónicos de 0,3487 metros.

A pesar de la uniformidad del sistema utilizado en el imperio roma-no, se encuentran construcciones donde predomina el pie de 0,2957 metros, no sólo en la Roma clásica, sino también en muchas otras zo-nas donde dominó, pero también parece que se utilizaron otras longitu-des.

Al analizar el panteón de Roma, Serlio especifica que está medido en palmos antiguos, luego existirían otros posteriores. El mismo Serlio, al comentar el teatro Marcelo, dice que fue medido con pies modernos y el segmento que corresponde a medio pie mide, prácticamente, 16,5 cm., pues el grosor de líneas y el deterioro del papel no permiten afinar más.

Con todos estos datos se pueden presentar cuatro sistemas de unida-des en Grecia, dos en Egipto, más otros cuantos que hemos podido re-coger en diversas publicaciones, tanto de civilizaciones antiguas como

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a otras casi actuales. Se han indicado en los cuadros factores comunes en la composición de unidades mayores.

Teniendo en cuenta que cada unidad es múltiplo de otra menor, o bien suma de varias, todas múltiplos de otra, los materiales de construc-ción como ladrillos, tejas, losas se ajustaban a ellas. El módulo o la “normalización” era lógica y sencilla.

Tal vez el problema surgió, como hemos dicho, por la falta de adap-tación de estos elementos constructivos coordinados dimensionalmente a los sistemas métricos de los pueblos invasores.

El sistema métrico decimal acabó totalmente con estas series de ta-maños fundamentales usuales. Las series modulares como el “Modu-lor” de Le Corbusier han intentado llegar a un sistema racional para di-mensionar en función del metro.

Desde hace años todos los países están implantando normas que tra-tan de unificar criterios dimensionales para simplificar el número de piezas distintas y poderlas coordinar.

Pese a todos los intentos, en el mundo siguen coexistiendo el sistema métrico decimal y el llamado sistema inglés. Después de muchas con-venciones se ha llegado a aceptar un módulo básico de 10 cm. casi igual a 4 pulgadas, pudiendo tomarse como módulos operativos, múlti-plos o divisores de 10 cm. No obstante, algunos países se han reservado el derecho a utilizar otros módulos muy arraigados. Alemania seguirá utilizando 25 cm., dimensión que también domina en España en la in-dustria del ladrillo cerámico y que obliga a modular otros elementos pa-ra integrarse con la albañilería.

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España e Italia son ejemplo de la variedad de unidades utilizadas, ya sean palmos, pies, brazas, codos, etc. En Roma palmos, en Florencia brazas, en Castilla pies.

En Valencia la unidad de longitud más usada es el palmo de 23 cm. El salón de la lonja tiene 155 x 93 palmos, 31 entre ejes de columnas, y los muros 7,5 palmos. Puede comprobarse en los proyectos de edifica-ción del siglo XIX escalas gráficas, primero en palmos valencianos, lue-go con doble escala en palmos y en metros y, ya en la postrimerías del siglo solamente en metros. En nuestros días en las poblaciones de la huerta perdura la costumbre de hablar de palmos al medir campos y so-lares.

Como norma general, una vara equivale a 3 pies o a 4 palmos, aun-que muchas veces estas relaciones no sean exactas. Aquí en Valencia, siendo la vara de 91 cm., al palmo corresponderían 22,75 cm. y sin em-bargo se toman 23 cm., según las tablas de equivalencia promulgadas en el reinado de Isabel II entre 1849 y 1852.

Aunque el objetivo final sea el análisis de edificios o elementos conce-bidos apoyándose en formas octogonales, vamos a mostrar algunos ejemplos de obras conocidas para introducir al lector en la modula-ción, trazados geométricos y unidades métricas.

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S e c c i ó n 2

Edificios Comentados

Panteón, Roma

El diámetro del Panteón de Roma medido en metros es una cifra inexpresiva y no todos los autores coinciden ni en la cifra ni en la inter-pretación. Hay quien afirma que el diámetro equivale a 150 pies capito-linos de 29,57 cm. o sea 44,35 metros, pero otros tratados consideran una longitud menor. Nos quedaría la duda de si serán ciertos los 150 o la unidad de longitud considerada.

La cantidad de estudios que diversos autores han realizado sobre es-ta magnífica obra que es el Panteón de Roma permite que nos detenga-mos para ver cómo interpretan tanto la planta como sus dimensiones.

Tine Kurent fundamenta que los 43,50 metros de diámetro equiva-len a 98 cúbitos romanos de 0,4439 metros (147 pies de 29,57), pues ha-bitualmente los romanos tomaban diámetros múltiplos de 7. El hecho de considerar π igual 22/7 conduce a que la longitud de la circunferen-cia sea un número entero si el diámetro es múltiplo de 7, que aquí se-rían 308 cúbitos ó 462 pies.

Opinamos que Kurent se aproxima a la realidad, puesto que como veremos más adelante hay muchos esquemas que se apoyan en circunfe-rencias donde los diámetros son múltiplos de 7. Serlio, en la descrip-ción que hace del Panteón de Roma en el “Tercer libro de Arquitectu-ra”, especifica que el diámetro es de 194 palmos antiguos, distinguién-dolos de los empleados en su época, que medían 22,41 cm., lo que da-ría un total de 43,475 metros equivalentes a 147 pies romanos de 29,57

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FIGURA 1.4 Serlio, “Tercer libro de Arquitectura”, Planta del Panteón de Ro-ma

cm. ó a 98 cúbitos de 44,36 cm. Este dato confirma el criterio de Ku-rent, pues la diferencia total es menor de 3 cm. Por otra parte hay que hacer constar que el propio Kurent en un mismo trabajo marca como valor del cúbito 44,39 y en otra 44,36 cm. Al pie de página, Serlio indi-ca el tamaño del palmo antiguo (véase Figura 1.5) que contiene 12 dígi-tos y 48 minutos.

Se puede apreciar, por lo tanto, una coincidencia en la apreciación del diámetro interior según el criterio de Serlio y Kurent. Sin embargo, los datos dimensionales que expone Serlio en la descripción difieren considerablemente. También pueden apreciarse serias diferencias de la planta de Serlio con las que presentan otros autores. Wiener afirma ha-ber encontrado relaciones áureas en la composición de la planta.

Palladio en su tratado “los cuatro libros de Arquitectura” nos mues-tra una planta similar a la de Serlio acotada en pies, pero falta saber qué longitud tenía el pie utilizado por Palladio. Si el diámetro acotado coincidiese con el de Serlio resultaría un pie de 35,9 cm. Para Zorzi, el pie utilizado por Palladio es de 35,7 cm., longitud marcada en una pie-dra en la logia de S. Vincenzo en Vicenza para información de todos. Los 121 pies por 35,7 cm. totalizarían 43,197 metros, error admisible.

Por otra parte, Palladio, lo mismo que Serlio, muestra en dos lugares de su tratado líneas de idéntico tamaño acompañadas de un texto que las describe, y dice:

“Esta línea es la mitad del pie vicentino con el que se han medido los siguientes edificios. Todo el pie se divide en doce pulgadas y cada pulgada en cuatro minutos”.

Según este dato, el pie de Palladio tendría 35,2 cm. aproximadamen-te, longitud que no encaja aquí.

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FIGURA 1.5 Serlio, “Tercer libro de Arquitectura”, Descripción del Panteón de Roma

Cada autor o estudioso del edificio emplea distintas unidades, pero las longitudes reales deben ser únicas. Es indistinto que se mida en co-dos, pies o palmos.

No debemos pasar sin advertir que Serlio divide el palmo en 12 dígi-tos y estos en cuatro minutos. Palladio, como está establecido, divide el pie en 12 uncías o pulgadas, y éstas también en 4 minutos (el pie contie-ne 12 pulgadas o 16 dígitos), luego hay discrepancia en lo que sería un minuto.

Por todo ello es conveniente al estudiar una obra arquitectónica co-nocer la unidad de longitud utilizada o el módulo, pues lo que expresa-do en metros puede parecer una longitud arbitraria, corresponde a un número de unidades clásicas locales. Téngase en cuenta que, en mu-chos casos, la unidad utilizada no es la autóctona sino la de proceden-cia de los constructores, e incluso en una misma construcción cambian de unidad.

No debe confundirse el módulo con la unidad métrica. Evidente-mente ha de apoyarse en una unidad, pero de ahí pueden obtenerse, mediante subdivisiones o mediante un trazado geométrico, otras unida-des distintas de las “oficiales”.

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FIGURA 1.6 Palladio, “Los cuatro Libros de la Arquitectura”, Libro Cuar-to, Capitulo XI, p. 40, Templo de Galluce

Templo de Galluce

Palladio acota en pies el Templo de Galluce, que otros autores inter-pretan dedicado a Minerva Medica. Aquí no se acompaña segmento que indique la longitud del pie empleado, pero puede suponerse que midió con el pie de 0, 357 metros claramente señalado en la logia de Vincenzo. La acotación no es del todo correcta puesto que el lado del decágono inscrito en una circunferencia de 70 pies de diámetro no pue-de ser 20,68 pies.

Considerando cierta la longitud del lado, al diámetro corresponden 66,92 pies ó 23,894 metros, prácticamente igual a la medición realiza-da por Domenico Fornaro.

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Molo de Adriano

Labacco en su “Tratado de Arquitectura”, (Roma 1559, pag. 5-6) al estudiar el Molo de Adriano, establece una escala gráfica en palmos y un segmento que denomina palmo natural cuya longitud es 21,8 cm., que la tomamos con la aproximación que el grabado puede dar, pero no parece ser una nueva unidad clásica, sino más bien que midió con las unidades florentinas de su tiempo. Con arreglo a la relación numéri-ca general entre las distintas unidades de medida, al palmo en Floren-cia le correspondería 21,87cm.

Hay que considerar en la descripción la descomposición del palmo en doce (12) dita (dedos) y la dita en cinco partes o minutos. El palmo según Labacco tiene 60 minutos, acorde con la medición del tiempo, y no 48 como indica Serlio, o con el criterio de Palladio que dividía el pie en 48 minutos.

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FIGURA 1.7 Antonio Labacco, “Tratado de Arquitectura”, Molo de Adriano, p. 5

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FIGURA 1.8 Capilla de la Abadía de Saint-Riquier

Abadía de Saint-Riquier

Al analizar la planta de la Abadía de Saint-Riquier, antigua Centula (Picardía, Francia), se aprecia que la posición de muros y pilares se aco-pla a subdivisiones de un módulo mayor. No disponemos de dimensio-nes fiables, pero es evidente que el módulo fundamental se ha dividido en unidades, tercios, cuartos, etc. Vemos que en algunos casos las caras del muro coinciden con las divisiones, mientras en otros es el eje del muro el que está sobre la línea.

En general, la elección de módulo suele hacerse tomando una canti-dad que admita varios divisores. El 12 es uno de los números más utili-zados, para la composición, así como en los sistemas de medida clási-cos, aunque haya excepciones.

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San Lorenzo, Milán

Analizando la hipótesis de trazado del templo de San Lorenzo de Milán realizada por Freckman se encuentran una serie de relaciones geométricas entre las diversas partes y con el módulo empleado. En cuanto al trazado realizado por Freckman que presenta J. A. Ruiz de la Rosa en “Traza y simetría de la Arquitectura en la Antigüedad y el Me-

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FIGURA 1.9 Hipótesis de trazado de San Lorenzo de Milán según Freckman

dievo” no hay nada que objetar, pues en él nos vamos a apoyar, pero evidentemente admite otras interpretaciones.

El lado del cuadrado exterior mide, según el trazado de Freckman, 73,92 metros, equivalentes a 250 pies de 0,2957, o dicho de otra forma a 100 grados de 73,94 cm. Las cotas en metros de los radios no guar-dan ninguna relación con esas unidades.

Contemplando el trazado se percibe que el lado de ese gran cuadra-do se divide por 3 y por 4, luego la longitud total debería ser múltiplo tanto de 3 como de 4, condición que no cumplen ni 250 ni 100. Tratan-do de encontrar el módulo básico se dividió 73,92 por 252, múltiplo de 12, obteniendo una unidad de 0,2933 metros que se aproxima al pie, pero que no se le puede llamar así. Esta unidad o módulo estaría pre-sente en las divisiones para formar los cuadrados interiores, pero la sor-presa fue encontrar que los radios que figuran en el trazado correspon-den a números enteros de esas unidades de 29,33 cm. con un insignifi-cante error.

36,96 metros=126,0001 módulos


18,48 metros =63,0071 módulos




252, además de ser múltiplo de 12, también lo es de 7, con lo que la circunferencia inscrita en el cuadrado responde a lo ya comentado al hablar del panteón. En este caso puede considerarse que el módulo no

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es un múltiplo del pie o de otra unidad, sino un divisor del lado del re-cinto cuadrado.

Planteada la hipótesis relativa al módulo base de la edificación, va-mos a comentar la composición del conjunto.

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Figuras 1.10-1.11

Existe una construcción clásica en que, partiendo del cuadrado exte-rior y trazando rectas que unen los puntos medios de cada lado con los vértices, es factible dividir los lados del cuadrado en tres, cuatro, cin-co... partes iguales. Es posible que aquí fuese utilizado el procedimien-to, obteniendo dos cuadrados concéntricos con el original de 84 y 126 módulos de lado.

FIGURA 1.10 93


FIGURA 1.11

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Figuras 1.12-1.13

En la circunferencia circunscrita al cuadrado menor, de 84 módulos de lado, se encuentran los vértices de los triángulos equiláteros, centro de los arcos de los ábsides. Como indica Freckman el lado de esos trián-gulos es el doble de 9,98 m., o sea 68 módulos. Si el radio de la circun-ferencia o altura de los triángulos es igual a 42 2 y el lado 68 se puede comprobar que

42 234 = 59,4

34 = tan60°

El círculo inscrito en el octógono de la pequeña capilla tiene 34 mó-dulos de diámetro, justo la mitad del lado de los triángulos; longitud, por otra parte, igual al doble de la diferencia entre el radio y la apote-ma del hexágono de 126 módulos inscrito en el cuadrado inicial. Los lados de esta capilla miden 14 módulos

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FIGURA 1.12

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FIGURA 1.13

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Figura 1.14

Al conjunto de datos mencionado habría que añadirle una circunfe-rencia de 26,87 m. de radio, citada por Ecochard, que podría corres-ponder aproximadamente a 91,6 módulos y que pasaría por las esqui-nas que forman los muros cuyos ejes están sobre el cuadrado de 126 mod. La diferencia entre 26,87 y los 26,13 m. que da Freckman (89 mó-dulos) corresponde al grosor del muro. Esta circunferencia enlaza con las tres capillas periféricas, una de ellas S. Aquilino, la comentaremos más adelante como ejemplo de planta octogonal.

Las siete circunferencias contenidas en el esquema de Freckman es-tán relacionadas mediante φ ó √2 o las dos, como puede comprobarse.

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FIGURA 1.14

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S e c c i ó n 3

Tramas Geométricas

Los polígonos regulares de menor número de lados como triángulo, cuadrado y hexágono son capaces de agruparse llenando totalmente el plano, o bien formando pavimento. El pentágono no puede llenar por completo el espacio para completar un pavimento, pero en cambio jun-to al triángulo y el cuadrado puede generar poliedros regulares.

El pentágono es conocido sobradamente por las relaciones métricas existentes entre sus lados y las secciones de sus diagonales. La sección áurea, √5 y el número φ, que parecen ligadas al pentágono y decágono regulares, son utilizados tradicionalmente como norma de composi-ción. Las series modulares de Le Corbusier (Modulor) o Rafael Leoz (Modulo L) se apoyan en la sucesión de Fibonacci, cuyos términos son números relacionados con la sección áurea y φ.

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Figura 1.15

Podemos encontrar, en casi todos los tratados relativos al análisis de proporciones, pentágonos determinados sucesivamente por las diagona-les de otro mayor o yuxtapuestos indicándose las dimensiones 1, φ, φ2, φ3, φ4… En valores absolutos, puede comprobarse cómo esos segmentos toman valores aproximados como 3, 5, 8, 13..., cuya ra-zón es precisamente φ.

El pentágono también aparece como núcleo generador de secciones y plantas de iglesias góticas. Los trabajos de Lund citados por Matila Ghyka en “Estética de las proporciones en la naturaleza y en las Artes” son un claro ejemplo. En la catedral de Colonia unos pentágonos ins-critos en el ábside y otro mayor según razón φ2 parece concretar la lon-gitud y anchura del templo. No obstante se observa que no tiene rela-ción con la trama cuadrada que marcan los ejes de columnas. Tampo-co se encuentra relación entre estos pentágonos y las siete capillas del ábside, donde encontramos ángulos de 30º y triángulos equiláteros que admiten además diversas interpretaciones.

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FIGURA 1.15

Figura 1.16

Un esquema similar al de Lund hemos podido comprobar que se adapta a la planta de la Catedral de Murcia, pero aquí el número de ca-pillas sí corresponde al pentágono. No obstante, es difícil conjugar un trazado geométrico del ábside con una trama reticular para las naves.

Igualmente conocidos son los trazados reguladores de las catedrales de Burgos y León basadas en el pentágono prolongado, realizados por Merino de Cáceres. En estas catedrales lo que varía es la medida utiliza-da, en Burgos pies castellanos de 27,8533 cm. y en León pies “carolin-gios” de 32,16 cm. No se suele encontrar decimales en una trama mo-dular habitual, pero es posible que sea consecuencia del trazado penta-gonal. En algunos templos de ábside octogonal hemos encontrado que las dimensiones o módulo fundamental radican en el ábside y el resto de las dimensiones en planta no son números enteros: son función de la norma geométrica establecida.

Cuando hay una pauta de composición, como se ha dicho muchas veces, es posible encontrar relaciones geométricas consecuencia de ella y en las que no había pensado el autor. Por ello, los trazados regulado-res, siendo todos válidos, pueden apoyarse en conceptos diferentes.

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FIGURA 1.16 Catedral de Murcia

Figura 1.17

En el Observatorio Astronómico de Madrid, obra de Juan de Villa-nueva, un simple análisis de la planta de este edificio, caracterizada por su forma de cruz, permite apreciar la personalidad que le da la roton-da central. No se aprecia aparentemente ninguna forma poligonal o centrada que la caracterice.

Antonio Fernández Alba parte del octógono estrellado (dos cuadra-dos) circunscrito al círculo para obtener el trazado regulador que no va-mos a comentar, pero del que sí hay que dejar constancia como una de las muchas posibilidades de interpretar el trazado.

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IMAGEN 1.1 Observatorio Astronómico de Madrid.

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FIGURA 1.17 Observatorio astronómico de Madrid

En nuestro estudio partimos también del círculo de la rotonda de 34 pies de diámetro. El cuadrado circunscrito (rojo) y el inscrito (azul) son tales que sus diagonales de 48 y 34 pies son aparentemente un tercio de la longitud del eje E-O y del eje N-S, respectivamente. Contiene la figu-ra las circunferencias concéntricas circunscritas al octógono regular y estrellado definidos por la prolongación de los lados de los dos cuadra-dos circunscritos a la rotonda. Los diámetros serán, prácticamente, 89 pies, y 116 pies. También se incluyen dos circunferencias de 55 pies de diámetro que, como puede comprobarse, representa las diferencias exis-tentes entre la longitud total de 144 pies y los 34 pies centrales

!144 − 34

2 = 55

El centro de estas circunferencias y los cuadrados correspondientes están, precisamente, en la circunferencia ya mencionada de 89 pies de diámetro.

Con esos tres cuadrados de 34 pies de diagonal y los otros dos de 55 se pueden concretar las dimensiones generales del edificio, puesto que la anchura de las alas son, exactamente 55 y 27,5 pies.

Al hacer el cálculo del diámetro de una de las circunferencias apli-cando la relación entre el radio y el lado del octógono inscrito, se ha in-dicado el posible redondeo dejándolo en 89 pies. También acabamos de deducir el valor clave de 55 pies como determinante de la anchura de naves.

El cálculo analítico riguroso pone en evidencia que varios vértices donde vemos concurrir rectas lo son sólo en apariencia. El conjunto no encaja más que por la imprecisión del dibujo.

Estas cifras, bien sean deducidas o datos:

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34!!!!!55!!!!!89!!!!!144

son términos de la sucesión de Fibonacci, luego el procedimiento para dimensionar el conjunto puede ser totalmente distinto.

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Figura 1.18

Estas relaciones áureas mencionadas podrían interpretarse según las propiedades del pentágono regular. Si construimos un pentágono cuyas diagonales midan 144 pies, de inmediato se obtienen las circunferen-cias de 55 pies y la de 34. Este pentágono tendrá 89 pies de lado.

En esta figura, por lógica, se hacen coincidir los límites del a la N-S con el vértice del pentágono y la intersección de dos diagonales. Gráfi-camente no parece haber diferencia con lo establecido en los trazados anteriores pero analíticamente sí que es apreciable,

144!tan!36º!=!104,62!pies!

frente a los 102 que veníamos considerando.

¿Cuál es la longitud real? Habrá que medirlo, pero precisando si se tienen en cuenta ciertos relieves o molduras.

Las circunferencias de centro en los extremos y radio igual a 89, co-mo puede apreciarse, son tangentes a la circunferencia central de 34 pies de diámetro.

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Figura 1.19

Simplificando, en la figura siguiente se puede considerar el edificio como apoyado en los vértices de un rombo con ángulos de 72º y 108º. La construcción no requiere una nueva explicación, pero debe obser-varse cómo un solo pentágono establece las relaciones métricas entre las diversas partes del edificio.

La medición de la longitud del ala Norte realizada personalmente 10,70 m. resultó ser 38,40 pies, con lo que el total del ala N-S serían 104,30 pies, más próximo a los 104,6 que a los 102 pies del trazado oc-togonal.

Como vemos, pequeñas diferencias métricas debidas a defectos de ejecución o de las fuentes, ya sean gráficas o métricas, pueden conducir a falsas interpretaciones.

También los prejuicios o el deseo de encontrar una solución puede conducir a malinterpretar esos datos ambiguos y, consecuentemente, la solución final.

Las tramas rectangulares y módulos cuadrados, evidentemente, son los más utilizados a la hora de componer. Ya hemos hablado de la por-tada egipcia o de la capilla de St. Riquier y los ejemplos, desde la anti-güedad hasta nuestros días, son numerosos. En la reciente obra de Ri-chard Meier, donde se incluye el Museo de Arte Contemporáneo de Barcelona, una cuadrícula básica fundamental de 7,20 m. se subdivide en una retícula de 0,90 m. de lado y compone una malla compleja con rectángulos y cuadrados de 3 y 5 módulos de 0,90. Nótese que 3, 5 y 8 son términos de la sucesión de Fibonacci.

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Del triángulo equilátero también se pueden encontrar ejemplos en que se haya utilizado como base de composición. El caso más divulga-do es la sección de la catedral de Milán.


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Figura 1.20

Aunque a primera vista pueda parecer imposible, la planta de la Ca-tedral de Chartres se apoya en una trama de triángulos equiláteros. De los hexágonos contenidos en los círculos que traza Jean Villette se pue-de deducir que existe una malla triangular dentro de los hexágonos.

FIGURA 1.20 Trama de la planta de la catedral de Chartres114


Figura 1.21

También aclara Villette, que en el rectángulo del crucero la menor distancia entre ejes corresponde a la altura del triángulo equilátero de lado igual a la mayor y que la diferencia entre las dos dimensiones es igual al grosor de la columna.

FIGURA 1.21 Crucero de la catedral de Chartres

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Figura 1.22

Insistiendo en lo expuesto anteriormente esta trama ha sido utiliza-da solamente para la composición de las naves. El ábside no tiene rela-ción alguna con ella.

FIGURA 1.22 Catedral de Chartres

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Formas Octogonales

C A P Í T U L O 2

S e c c i ó n 1

Octógonos Regulares

Antes de analizar edificios o composiciones octogonales abordare-mos las relaciones métricas en el octógono. Estas relaciones las pode-mos deducir o expresar de diversas formas, mediante complejas raíces o líneas trigonométricas, que requieren para su aplicación calculadoras adecuadas. Existiendo unos valores numéricos constantes en los octógo-nos, como φ en los pentágonos, las relaciones numéricas se referirán siempre a esas constantes, puesto que la calculadora más sencilla puede resolver el problema. Queda ahora definir esas constantes y sacar con-secuencias.

Se ha mencionado en varias ocasiones el número φ y la sucesión de Fibonacci, cuestiones íntimamente ligadas entre sí y con el pentágono. Al establecer la fórmula para dividir un segmento en media y extrema razón se obtiene la ecuación

!x2 − x − 1 = 0 x = 1 ± 52 = φ

En el octógono vamos a definir esos valores que satisfacen relaciones geométricas características. El octógono regular ni sirve para formar pa-vimento, ni para generar poliedros regulares, pero al igual que el pentá-gono, posee unas propiedades métricas propias.

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Figura 2.1

Dividida la circunferencia en ocho partes iguales, se puede obtener: un octógono regular inscrito de lado L8 uniendo puntos contiguos, un octógono estrellado (dos cuadrados girados 45º) de lado L4 que abarca dos divisores y finalmente el polí-gono regular estrellado de lado Le obtenido al trazar rectas que comprendan tres divisiones. A las tres figura llamaremos octógo-nos indistintamente, pues todos entran en las mismas relaciones. El primero es el regular, el terce-ro claramente conocido como es-trellado y el segundo también es-trellado, aunque algún autor co-mo Matila C. Ghyka le llama pseudo-octógono estrellado.

Considerando el radio igual a la unidad, se puede deducir el valor de cada uno de los segmentos en función de él:

L8 = 2 − 2 ! L8 = 2sen22,5°

L4 = 2! L4 = 1cos45°

Le = 2 + 2 ! Le = 2cos22,5°

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FIGURA 2.1

Cualquier fórmula es válida, pero relacionando estos valores ordena-damente se pueden obtener esas constantes que simplifican la descrip-ción. Así:

LeL8

=2 + 2

2 − 2= 1 + 2 = θ = 2,414213 = 1

tan22,5° = 2cos22,5°2sen22,5°

Aparece en esta relación 1+√2 a la que se designa como θ, valor que se utilizará continuamente en el análisis de figuras octogonales. Inme-diatamente procederemos al estudio de las propiedades de θ, equivalen-tes a las de φ. También se puede obtener como raíz de la ecuación

!x2 − 2x − 1 = 0

!x =2 ± 8

2 = 1 + 2 = θ

Si a φ = 1,618 se le llama número de oro a θ se le denomina, por analogía, número de plata.

RL8

= 1

2 − 2= θ

2= λ = 1,30656 = 1

2sen22,5°

De ahí se deduce que RL8

= LeL4

y siendo el radio igual a la unidad,

el valor obtenido

θ2

= 1,30656

121


Corresponde a la relación entre el radio y el lado del octógono regu-lar. Para abreviar, a este valor lo llamaremos λ = 1,30656 en recuerdo a la aplicación arquitectónica que hizo de él Rafael de la Hoz Arderius, considerándolo como “Proporción cordobesa”, tanto en la revista “Cointra Pres”, como en su discurso de ingreso en la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando y en otros trabajos. Sustituyendo en las fórmulas:

L8 = 1λ ; L4 = 2; Le = λ 2!

En función del diámetro puede expresarse el lado del octógono regu-lar inscrito y el circunscrito:

!L8ins = D2λ ; L8cir = D

θEstas formulas y coeficientes abstractos servirán para justificar los

trazados y poder deducir las dimensiones de todas las partes conocien-do solo una. En los siguientes apartados se expone la intima relación de esta parte teórica con la representación gráfica.

122


Figura 2.2

Para comprender mejor la generalidad de esas relaciones se indican las dimensiones considerando circunferencias de radio θ, 1 ó λ

123


FIGURA 2.2.A Circunferencias de radio θ

124


FIGURA 2.2.B Circunferencia de radio 1

125


FIGURA 2.2.C Circunferencia de radio λ

Figura 2.3

En una circunferencia de radio igual a 70 tendríamos segmentos co-mo 29, 41 y 99. Con un mínimo error, también, para radio igual a 12 se obtendrían segmentos de longitud 7, 5 y 17. Estas relaciones geomé-tricas ya fueron aplicadas para construir octógonos en la antigüedad. Estas series de números enteros ligados a figuras octogonales se analiza-rán a continuación (véase la Figura 2.10).

126


FIGURA 2.3

Figuras 2.4-2.5

Gráficamente se puede resumir la relación entre todos los segmentos que aparecen en los dos cuadrados girados y las circunferencias, así co-mo el significado de los coeficientes θ y λ.

!θ = 1 + 2

!λ2 = 1 + 12

127


FIGURA 2.4

Las circunferencias con centro en los vértices del cuadrado y radio igual a λ², sitúan la posición de los lados de un octógono.

En esta relación se apoyó Serlio para establecer la fórmula para dibu-jar un octógono regular a partir de un cuadrado.

128


FIGURA 2.5

Figuras 2.6-2.7

Siguiendo el análisis de las figuras anteriores, se puede observar que a un cuadrado que tenga por lado λ2 le corresponde una diagonal:

!(1 + 12 ) 2 = 1 + 2 = θ

129


FIGURA 2.6

Para obtener el octógono limitado por un cuadrado basta trazar una diagonal y los arcos con centro en sus extremos y radio igual al lado. Las proyecciones de los puntos de la diagonal sobre los lados sitúan los ocho vértices del octógono.

Dentro de las construcciones geométricas tradicionales encontramos los procedimientos para dibujar polígonos y concretamente el octógo-no, dado el lado, en el “Compendio de Architectura y de los templos” de Simón García.

130


FIGURA 2.7

Figura 2.8

Dada una circunferencia y los dos cuadrados inscritos, si completa-mos la figura dibujando circunferencias del mismo radio y con centro en los ocho vértices de los dos cuadrados, se obtiene otro octógono es-trellado. La distancia entre dos vértices contiguos es igual al lado del cuadrado inscrito en la circunferencia inicial, y pudiendo descomponer-se éste en segmentos proporcionales de 1,√2 y 1 puede deducirse que:

!1 + 2 + 1 = θ + 1 = θ 2

La relación entre los octógonos regulares exterior e interior sería igual a θ. Igualmente podría expresarse esta relación en función de λ, ya que θ = λ2√2

131


FIGURA 2.8

Figura 2.9

En la figura se indican los valores relativos que van tomando estos segmentos en función de θ y de su posición respecto al núcleo interior de la construcción. Aparece un conjunto de octógonos relacionados se-gún el número θ al igual que φ compara pentágonos.

132


FIGURA 2.9

Figura 2.10

La analogía entre las figuras del octógono y del pentágono no es sola-mente formal, responde a las características esenciales de φ y θ. El va-lor θ = 1+√2 admite, prácticamente, todas las propiedades de φ. Las sucesivas potencias de θ se componen de un número entero más un múltiplo de θ.

!θn = a + bθTanto los números a como los b constituyen sucesiónes análogas a la

de Fibonacci, conocidas como series de Pell. El cuadrado de cada tér-mino es igual al producto del anterior por el siguiente, con una diferen-cia alternativa de 1, y el cociente de dos términos consecutivos de la se-rie tiende a θ.

En el cuadro, se comparan los valores de las potencias de φ y de θ y las sucesiones derivadas de ellos, pero teniendo en cuenta que en los oc-tógonos hay muchos segmentos relacionados según √2 se añade la serie correspondiente a θn√2 , cuyos valores están gráficamente ligados a aquélla.

Estas sucesiones numéricas, deducidas aquí a partir de θ, ya se ha-bían descrito con anterioridad.

Puede comprobarse que las cifras mencionadas en la Figura 2.3 son términos de estas sucesiones.

133


134


FIGURA 2.10

Figura 2.11

Es curioso como en el siglo II Teón de Esmirna, en su tratado “Ma-temáticas útiles para entender a Platón”, obtiene estas dos sucesiones. R. Lawlor describe en su libro “Geometría Sagrada” la demostración de Teón partiendo del cuadrado de lado unidad al que también asigna una diagonal unidad. El crecimiento del lado se realiza añadiendo el va-lor de la diagonal, mientras la diagonal aumenta en el doble del lado.

Las diagonales obtienen los valores 1, 3, 7, 17, 41, 99...mientras las longitudes del lado de los cuadrados resultantes constituyen la sucesión 1, 2, 5, 12, 29, 70,...

135


136


FIGURA 2.11

Figura 2.12

Si partiendo de un cuadrado de lado 1 lo vamos aumentando sucesi-vamente sumándole el valor real de la diagonal, se obtienen valores de diagonales,

!1, 2, θ 2, θ2 2, θ3 2… .

mientras los lados de los cuadrados van adquiriendo valores

!1, θ, θ2, θ3, θ4…Pasando a casos concretos ya pudimos comprobar que al inscribir

dos cuadrados en una circunferencia de radio 70 aparecen segmentos de 99, 41 ó 29 y si el radio fuese 12, tendríamos 17, 7 y 5. Los octógo-nos originan segmentos que corresponden a las sucesiones de Pell.

137


FIGURA 2.12

138


Figura 2.13

Las dos sucesiones obtenidas, ligadas por √2, pueden agruparse ado-sando triángulos rectángulos isósceles, siendo los catetos los términos de la serie roja, mientras las hipotenusas lo son de la serie verde. Existe una línea recta que pasa por los vértices superiores de todos ellos y que forma ángulos de 22,5º y 67,5º con la horizontal y las verticales, respec-tivamente. La relación entre los segmentos verticales y la suma de seg-mentos horizontales, desde el origen hasta el pie, es prácticamente igual a θ. Puede observarse que cada término de la sucesión verde es igual a la suma de los correlativos rojos.

FIGURA 2.13

139


Figura 2.14

Otra forma de relacionar gráficamente los valores obtenidos para las dos sucesiones se presenta en la figura siguiente. El hecho de ser el cuadrado de un miembro aproximadamente igual al producto del ante-rior por el siguiente, permite situar una serie de triángulos que tienen como cateto menor los miembros de ambas sucesiones y por hipotenu-sa el siguiente.

Colocando las hipotenusas sobre una recta, a partir de un mismo punto y trazando las semicircunferencias para inscribir los ángulos rec-tos se obtiene el conjunto de circunferencias verdes y rojas, con una tan-gente común, en que los radios correspondientes a los puntos de tan-

FIGURA 2.14

140


gencia son los términos de ambas sucesiones. En la base, al quedar su-perpuestos los diámetros de las circunferencias, puede comprobarse có-mo se agrupan distintos elementos por adición o diferencia.

Las dos sucesiones están íntimamente ligadas. Pueden sumarse miembros de una y otra para obtener otro de una de ellas, además de estar relacionados por medias proporcionales dentro de una misma su-cesión y por √2 entre ellas.

Puede establecerse claramente un cierto paralelismo entre estas gráfi-cas y la llamada V de Marsella de Le Corbusier. El crecimiento dema-siado rápido hace que estas series numéricas no sean adecuadas para ser utilizadas como base de sistemas modulares como el “Modulor”. No obstante, ya en el “Modulor” se hizo necesario partir de dos longitu-des básicas para rellenar zonas vacías. Tal vez con las dos sucesiones y partiendo de varias unidades sabiamente elegidas se podría componer un conjunto o sistema de medidas útiles para la estructuración del espa-cio.

Recordemos que el “Modulor” fue ideado para sistematizar median-te un número limitado de unidades la composición arquitectónica. Pre-tende crear un conjunto de unidades modulares, basadas en la propor-ción áurea, que se pueden sumar, que puedan cumplir la función que en la antigüedad tuvieron los sistemas métricos griegos o romanos.

Podemos afirmar que existen unas relaciones métricas ligadas a los octógonos, comparables a otras deducidas del pentágono, que han sido más divulgadas. El octógono ha sido utilizado como elemento básico de diseño y decoración, azulejos, tapices, libros, estucos, etc., y como ge-nerador de formas y elementos arquitectónicos. Por una parte son innu-merables las cúpulas que se inician a partir del octógono o con nervios

141


formando octógonos estrellados, y por otra el octógono ha sido reitera-damente utilizado como modelo de planta centralizada.

Además de las relaciones establecidas hasta ahora en el octógono, se pueden encontrar otras muchas que iremos describiendo al estudiar ciertas figuras geométricas o edificios concretos.

142


Figura 2.15

La fuente árabe encontrada en la plaza de la Figuereta de Valencia y que se conserva en el museo de cerámica “González Martí” de la mis-ma ciudad, es un octógono estrellado subdividido en piezas menores cu-yos lados están relacionados por θ. Tomando como unidad de medida el segmento menor, se ha podido deducir el resto por adición, y su equi-valencia en función de θ, aunque también se podrían obtener partien-do de cualquier otro segmento contenido.

FIGURA 2.15 Fuente árabe de la plaza de la Figuereta (Valencia)

143


144


S e c c i ó n 2

Desarrollo de Formas Octogonales

En esta sección vamos a describir algunas posibilidades de desarrollo de formas octogonales, compuestas sólo de octógonos o de octógonos y cuadrados para llenar el plano.

145

Figuras 2.16-2.21

En la Figura 2.16, un octógono está limitado por las diagonales de otro mayor y, como ya hemos visto, su relación es θ. Se han dibujado cinco circunferencias, inscritas o cir-cunscritas, bien a los octógonos re-gulares o a los cuadrados ligados a ellos, siendo fácilmente deducibles los radios en función de θ o de λ. Si el círculo menor es 1 los otros medi-rán √2, θ, 2λ, 2λ2, de lo que se dedu-ce que la circunferencia mayor cir-cunscrita a los dos cuadrados y la circunscrita o inscrita al octógono regular se relacionan según λ ó √2 respectivamente. Igualmente entre estas dos últimas el cociente

!θ

2λ = 2λ2 = λ

2= cos22,5°

relaciones que aparecen al analizar edificios de planta centralizada octo-gonal.

Si a un octógono se le adosan 8 cuadrados se genera la forma repre-sentada en la Figura 2.17 como am-pliación del octógono inicial, forma poco útil en sí, aunque geométrica-mente esté bien construida.

146


FIGURA 2.16 Octógono limitado por dia-gonales de otro mayor

FIGURA 2.17 Octógono con 8 cuadra-dos adosados

Menos rincones producen el conjunto compuesto por un octógono básico y ocho octógonos estrellados, dos cuadrados girados, representa-do en la Figura 2.18. La prolongación de los lados origina una figura central con dos octógonos ligados a los periféricos. Este esquema es realmente la base del tan conocido templo que encontramos en los di-bujos de Leonardo da Vinci.

Siguiendo con la yuxtaposición de formas, se puede obtener, Figura 2.19, un conjunto de cuadrados y octógonos que llena por completo el plano, forman un pavimento clásico. Los centros de las circunferencias generadoras de octógonos están en los vértices de una trama cuadrada de módulo igual a los diámetros. Un ejemplo característico de utiliza-ción de esta composición es el Jewish Community Center en Trenton de L. Kahn. A cada octógono se adosan alternativamente cuatro cua-drados y cuatro octógonos iguales a él.

Más libertad de desarrollo se puede conseguir con la disposición adoptada en la Figura 2.20. Los pequeños octógonos estrellados están

147


FIGURA 2.18 Octógono básico y ocho octógonos estrellados

FIGURA 2.19 Conjunto de cuadrados y octógonos

perfectamente trabados entre sí y con otros octógonos iguales al nú-cleo original. Esta organización ce-lular es utilizada por el equipo S.O.M. (Skidmore, Owens y Me-rryl) en el edificio de la facultad de Ciencias del Comportamiento de Chicago. Esta fórmula permite am-pliaciones en cualquier sentido con pocas limitaciones.

Al analizar detenidamente cómo se relacionan entre sí esos peque-ños octógonos se descubre otra forma de desarrollar los octógonos estre-llados, Figura 2.21. Puede resumir-se en dos familias de cuadrados con sus lados girados 45º que dejan en-tre sí pequeños huecos octogonales. También podíamos expresar su ge-neración como octógonos inscritos en circunferencias de radio 1 cuyos centros están en una retícula cua-drangular de módulo igual a λ/√2. Ejemplo característico de esta disposición es la biblioteca Jefferson obra también de S.O.M. que co-mentaremos en su momento.

148


FIGURA 2.20 Organización celular

FIGURA 2.21 Octógonos inscritos en cir-cunferencias de radio 1

Figura 2.22-2.26

Igualmente se pueden obtener elementos complejos partiendo del oc-tógono estrellado. El contorno final lo forman dos cuadrados girados. Los radios de las circunferencias representadas son 1,√2, 2, θ y apoyán-dose en los puntos marcados es fácil imaginar otros varios octógonos. El trazado de Santa María del Ángel (Roma) de Durero responde a es-te esquema, según J. Seguí.

149


FIGURA 2.22 Elementos complejos partiendo del octógono estrellado

Inscribiendo o circunscribiendo figuras se obtienen otras cuyas di-mensiones son función de la operación geométrica aplicada. Las circun-ferencias dentro de un cuadrado, hexágono u octógono son iguales a la exterior afectadas de coeficientes cos 45º, cos 30º y cos 22,5º respectiva-mente. Si se aplicase n inscripciones sucesivas los coeficientes serían cosⁿα. cos 45º, cos 22,5º, cos 30º, cos2 22,5º

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FIGURA 2.23 cos 45º

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FIGURA 2.24 cos 22,5º

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FIGURA 2.25 cos 30º

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FIGURA 2.26 cos2 22,5º

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Edificaciones

C A P Í T U L O 3

S e c c i ó n 1

Edificaciones Clásicas

En los primeros ejemplos de esta sección trataremos de analizar cómo se han utilizado las relaciones geométricas en el trazado. Rei-teramos de nuevo que algunos de estos trazados parecen justifica-dos, mientras otros sólo serán aproximaciones.

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IMAGEN 3.1 La Alhambra de Granada.

Salas de la Alhambra, Granada

Una primera aplicación la encontramos en la Alhambra de Grana-da. Dos salas de planta cuadrada, contiguas al patio de los Leones, son cubiertas por bóvedas octogonales. La sala llamada de Dos Hermanas se transforma en un octógono regular mediante “pechinas” compues-tas con mocárabes. En la sala de los Abencerajes, actuando sobre las es-quinas y los lados se consigue un octógono estrellado que se acusa clara-mente al exterior y en el tejado.

La descomposición de una cúpula en mocárabes se realiza mediante un pequeño número de piezas donde aparecen ángulos de 45º, 90º y 135º; por lo tanto está implícita la √2.

Octogonales son también las cúpulas y cimborrios de muchas cate-drales góticas. En la Catedral de Tarazona (Zaragoza) la forma de cada sección es el resultado de inscribir octógonos en la figura de la planta inferior que como en la Alhambra se inicia con un cuadrado. Los ejem-plos son innumerables.

Se han encontrado dibujos y bocetos que contienen plantas y alza-dos de templos relacionados con la planta octogonal. Las versiones o transcripciones de los dibujos hallados pueden variar, pero en lo esen-cial coinciden.

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159


FIGURA 3.1.A Sala de Dos Hermanas. FIGURA 3.1.B Octógono regular

FIGURA 3.1.C Sala de los Abencerajes. FIGURA 3.1.B Octógono estrellado

Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci

El proyecto de Leonardo da Vinci tal vez sea el más conocido. Se puede comparar el esquema de líneas con el proyecto. Debe considerar-se como una aplicación del modelo de desarrollo por yuxtaposición. Los triángulos rectángulos isósceles se sustituyen por hornacinas al fijar los espesores de muro, pero adaptándose exactamente al octógono ro-deado por octógonos estrellados. El ejemplo es puramente teórico, pues-to que no se disponen de cotas o escalas.

Según Frankl este tipo de planta octogonal está inspirada en la incon-clusa Santa María de los Ángeles de Florencia proyectada por Brune-lleschi. La disposición del atrio se apoya en ejes y puntos que siguen el conjunto de octógonos.

160


IMAGEN 3.2 Proyecto de Iglesia de Leo-nardo Da Vinci

161


FIGURA 3.2 Iglesia de Leonardo Da Vinci

A continuación pasamos a estudiar la forma de componer edifi-cios cuya planta sea, esencialmente, un octógono. La inscripción de octógonos en circunferencias y de octógonos entre sí es uniforme, pe-ro con resultados muy variados. En otras plantas complejas se apli-can para su análisis las mismas relaciones geométricas.

Ecochard en “Filiation de Monuments Grecs, Byzantins et Islami-ques” estudia un conjunto de edificios que, de forma análoga, se ins-criben en circunferencias de 53,74 metros de diámetro o mitad. Es una constante en todos ellos, así como tener el contorno octogonal, pero también se pueden encontrar otras relaciones.

162


Cúpula de La Roca (Jerusalén), Iglesia de San Vital (Rávena)

La mezquita de La Roca en Jerusalén y la iglesia de San Vital en Rá-vena son las edificaciones más conocidas, e incluso en la mayoría de los tratados aparecen juntas. Ambas han sido debidamente analizadas por Ecochard, por lo que solo haremos una descripción de la forma y rela-ciones numéricas entre las partes.

La Roca en Jerusalén (Qubbat As-Sakhrah), que algunos autores confunden erroneamente con la mezquita de Omar (Al-Aqsa), está con-figurada por un octógono regular inscrito en una circunferencia y otro estrellado formado por dos cuadrados girados 45º. La cúpula descansa en una circunferencia circunscrita al cuadrado que componen cuatro de las diagonales del octógono estrellado, más otros doce pilares que si-guen la línea circular.

De las relaciones métricas generales se deducen los radios de las cir-cunferencias así como los lados de los cuadrados en función de θ y del diámetro

163


IMAGEN 3.3 Mezquita de La Roca. IMAGEN 3.4 Iglesia de San Vital.

L1 = D2

= 38; L2 = Dθ 2

= 15,74; R1 = D2λ = 20,56; R2 = D

2θ = 11,13

San Vital parte del mismo círculo exterior de 53,74 metros e inscri-be dos cuadrados que forman el octógono regular. Las ocho diagonales de este octógono determinan otro octógono menor en el que se apoyan los pilares centrales.

Como iremos descubriendo, en países distantes y variadas culturas se encuentran construcciones que directamente o indirectamente se ba-san en las constantes de Ecochard, pero ¿corresponde a la misma uni-dad en todos los emplazamientos? Si había un solo sistema métrico en la época del Imperio Romano podría suponerse que 26,87 m ≅ 91 pies, siendo el error numérico mínimo (0,14 %) y 91 es además múltiplo de 7, como ha indicado Tine Kurent.

Podría suponerse también que 26,87 equivale a 77 pies jónicos de 0,3487 metros con un error mínimo, puesto que ya se ha comentado

164


FIGURA 3.3 La Roca según Ecochard FIGURA 3.4 San Vital según Ecochard

que utilizaban diámetros múltiplos de 7 para que la circunferencia tu-viese un número entero de unidades; en este caso 242 pies.

Las unidades de Judea son similares a las jónicas, lo que hace supo-ner que en la zona se originó el modelo que luego se extendió por todo el mundo.

La reiterada utilización de estas constantes en territorios que maneja-ban distintas unidades métricas hace suponer que se apoyaban en un mismo patrón o modelo, independiente del sistema métrico utilizado.

En el planteamiento de los dos cuadrados inscritos en la circunferen-cia que hace Ecochard, podría entenderse que el octógono está inscrito en una circunferencia de diámetro D/λ. Esta relación nos lleva a consi-derar que es indiferente hablar de circunferencias de 91 pies de diáme-tro, o radio, donde se inscriben dos cuadrados a modo de Ecochard, o bien octógonos regulares en circunferencias de 70 pies de diámetro, o radio, puesto que 70 x 1,3 = 91.

No siempre aparece tan claramente la relación entre la planta octo-gonal y las circunferencias de Ecochard. La circunferencia que genera el octógono no será 53,74, sino la que tiene por diámetro 53,74 dividi-do por λ, √2, λ2 etc. como iremos encontrando.

Mas adelante encontraremos casos que se apoyan en circunferencias de 13,435 metros de diámetro y aumentadas en λ y √2.

El modelo establecido para plantas octogonales o centrales, eviden-ciado por Ecochard, es aplicado en la composición general, pero en ciertos detalles aparecen unidades locales con toda claridad.

165


Baptisterio de la Catedral de Florencia

Vamos a iniciar el análisis de edificios octogonales por este Baptiste-rio que, aunque no sea de las plantas más sencillas, es de las más cono-cidas. Se puede considerar que no tiene cuerpos extraños adosados a él, es un octógono simple, pero a pesar de esa simplicidad está sujeto a criterios de composición capaces de relacionar todas sus partes.

Se supone construida en los siglos IV y V con mármol blanco de Ca-rrara y verde de Prato. El grabado de Sgrilli, datado en 1733, refleja el estado actual, tras los daños y reparaciones sufridas.

La planta del baptisterio de Florencia no es citada por Ecochard, aunque a simple vista puede encontrarse cierta semejanza con la tum-

166


FIGURA 3.5 Baptisterio de San Juan Bautista dibujado por Bernardo Sansone Sgrilli

ba de la Virgen en Jerusalén, que sí está incluida pero sin analizar el de-talle. Por ello, veremos algunos casos estudiados por él que casi no nece-sitan comentario y otros en donde buscaremos los procedimientos apli-cados en su trazado.

Teniendo en cuenta la escala gráfica, podemos considerar que es un octógono inscrito en una circunferencia de 60 brazas de diámetro. Si en esta circunferencia se inscriben dos cuadrados girados (en rojo) se obtiene un octógono, cuya circunferencia circunscrita tendría,

!60λ ≅ 46 brazas

como vimos al analizar las relaciones métricas entre octógonos y circun-ferencias inscritas o circunscritas. Antes de seguir hay que hacer notar que

46!brazas!x!0,5836!metros!=26,845!metros

cifra que se ajusta perfectamente a los estudios de Ecochard.

Este octógono inscrito en la circunferencia de 46 brazas de diáme-tro, como puede apreciarse en las figuras, es quien marca las normas para determinar el grosor de muros, pilastras, puertas, etc.

!60

2= 42,4268 brazas

es el lado de estos cuadrados rojos. Dividiendo estos lados en tres par-tes iguales se obtiene en el centro un octógono estrellado formado por dos cuadrados de 14,142 brazas, es decir 10√2.

Los dos cuadrados en azul circunscritos a éstos, pueden también con-siderarse como formados por las diagonales de un tercer octógono de 20 brazas de lado que corresponde a la cara interior del muro.

167


De los tres octógonos regulares (negro, azul y rojo) dos definen el mu-ro y el interior con los estrellados centrales completan ciertos detalles.

Será casualidad, pero la diagonal del rectángulo de fachada y la incli-nación de cubierta parecen ser paralelas y su pendiente igual a

!1λ = 1

1,3065 = tan37, 43°

Como la encontrada por Rafael de la Hoz en la proporción cordobe-sa. De todas formas, parece absurdo pensar que el alzado pueda res-ponder a una fórmula derivada de la composición de la planta.

En resumen, el círculo de Ecochard no está precisamente en el exte-rior y equivale a 46 brazas. Análogamente, la circunferencia exterior de 60 brazas equivale a

!53,74

2 λ = 35 metros

Independientemente de cuál sea la unidad, vamos a analizar, como en Florencia, donde ésta ese círculo y como se construye el conjunto a partir de él.

168


169


FIGURA 3.6 Baptisterio de la catedral de Florencia

En los tres ejemplos que siguen, San Aquilino, San Juan de Le-trán y la capilla de la Santísima Virgen, que fueron expuestos en lí-neas generales por Ecochard, completamos detalles de la composi-ción derivados del octógono según fórmulas que se encuentran en ellos y en otros edificios que siguen.

Capilla de San Aquilino, Milán

Con un esquema geométrico similar está concebida la capilla de San Aquilino, en el complejo de San Lorenzo de Milán. Como no hay pila-res centrales el trazado sólo se utiliza para definir el espesor del muro y de los huecos y hornacinas en el mismo.

Los dos cuadrados inscritos en la circunferencia marcan el octógono del paramento externo. Los puntos medios de los lados de este octógo-no constituyen otro octógono que coincide con la cara interior. Las hor-nacinas quedan indicadas por los puntos en que se cortan los lados, y sus prolongaciones, de los dos octógonos.

El atrio es un cuadrado adosado al octógono básico más dos zonas curvas limitadas por sendos cuadrados que se apoyan en la semidiago-nal anterior.

El radio de la circunferencia circunscrita a los cuadrados, según Eco-chard, es de 13,43 metros, que podrían corresponder a 91 pies de diá-metro o también a 92 unidades o módulos. Ya comprobamos en su mo-mento que en el conjunto de San Lorenzo se utilizó una unidad de 0,2933 metros algo menor que el pie romano resultante de dividir en 252 partes iguales el lado del cuadrado que mide 250 pies o 100 gradus (73,92 metros). Ese módulo aplicado al círculo de Ecochard daría 91,6 unidades ó módulos.

170


171


FIGURA 3.7 Capilla de San Aquilino

Si el diámetro de la circunferencia fuese de 92 unidades, el lado del octógono mayor tendría 27 uds. y el octógono interior 19 uds. por estar sobre cuadrados de 65 y 46 unidades, respectivamente. El espesor del muro sería de 9,5 uds. y el ancho de hornacinas 13,5. Es una hipótesis que salvando las diferencias mínimas de cotas puede servir para nuevas comprobaciones.

Teniendo en cuenta las fórmulas establecidas, los lados de los octógo-nos exterior e interior del muro miden, respectivamente,

!26,87θ√2

= 7,87m y 26,872θ = 5,565m.

Igualmente el diámetro exterior del muro del atrio será

!26,872θλ = 4,259 m

y el frente de las hornacinas

!26,872θ 2

= 3,935 m

El sistema permite deducir cualquier dimensión.

172


En el Mausoleo de Diocleciano Ecochard encuentra anomalías al compararlo con San Aquilino. Los vértices del octógono exterior no es-tán relacionados con la circunferencia de 26,87 metros de diámetro, mientras que el círculo interior mide 13,43 metros, longitud igual a la distancia entre caras paralelas en San Aquilino. Tal vez fuera volunta-rio. Si 26,87 metros equivalen a 120 palmos romanos 26,44 lo son a 118 x 0,2241 = 26,4438.

Inscribiendo en ella dos cuadrados girados el octógono tiene por la-dos

!26,4438

θ 2= 7,745 m

que corresponde a las mediciones de Ecochard.

En la comparación con San Aquilino también se descubre que hay una norma para determinar el tamaño de las caras opuestas de la ro-tonda pues los ejes de las columnas marcan el tamaño de los nichos.

Si el diámetro de 26,87 m (119,9 palmos) se reduce en dos palmos quedarían 117,9 palmos equivalente a 26,4218 metros, circunferencia marcada a trazos por Ecochard. Al inscribir dos cuadrados en esa cir-cunferencia se origina un octógono de

!26,4218

θ 2= 7,74 metros

También comenta que los lados del octógono interior miden 7,74 metros y que en lugar de apoyarse en una circunferencia de 13,43 me-tros de radio lo sería en una de 13,22.

173


¿Qué motivos llevaron al proyectista a no seguir un criterio similar al aplicado en San Aquilino? Nunca podremos saberlo. Pudo ser por falta de espacio para encajarlo en el conjunto del palacio de Dioclecia-no.

174


FIGURA 3.8 Mausoleo de Diocleciano

Baptisterio de San Juan de Letrán, Roma

El baptisterio de S. Juan de Letrán parece que fue edificado en el si-glo V, aunque se reconstruyó con posterioridad. Ecochard lo incluye en la serie de templos de planta octogonal, pero sin concretar claramente sus dimensiones. Establece una relación muy singular entre el octógono de San Aquilino de Milán y el Baptisterio. De esta relación y de las escalas gráficas de Leta-rouilly se podría suponer que la distancia entre lados paralelos del octógono es de 20,5 metros, pero sin poder afirmarlo salvo medición expresa. Sin embargo, de la comparación de los dos oc-tógonos se podría pensar que el exterior de San Aquilino es igual al interior del Baptisterio, o lo que es lo mismo, el círculo de Ecochard no marca el contorno exterior, como en los casos anterio-res, sino que define los paramentos interiores. También se puede apre-ciar que tanto el octógono exterior como el interior están circunscrito e inscrito en la misma circunferencia.

Aplicando las relaciones geométricas entre los elementos de la figura partiendo del círculo de 26,87 m de diámetro se obtienen:

!26,87√2

= 19

lado de los cuadrados que componen las caras interiores y

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IMAGEN 3.5 Baptisterio de San Juan de Le-trán

!19 √2λ = 20,56

lado de los cuadrados de cara externa.

Con lo que se puede asegurar cuál es el tamaño real y su relación concreta con S. Aquilino. Nótese también que

!26,8720,56 = 2 cos22,5° = λ

Junto al círculo de Ecochard existe otro, no dibujado, mayor, de 29 metros de diámetro, generado por la relación de inscripción o circuns-cripción a un octógono. Esta circunferencia no sólo determina el con-torno exterior, sino que también contiene los centros de los círculos del atrio.

Los centros del atrio, además de estar en la circunferencia menciona-da, son vértices de un cuadrado circunscrito a la circunferencia de diá-metro igual a un tercio del frente del octógono.

Las diagonales del octógono forman en el centro otro octógono regu-lar estrellado que marca la posición de las columnas centrales y las pi-lastras interiores. Es decir, los vertices interiores del octógono regular es-trellado coinciden con los centros de esas columnas y el diámetro de la circunferencia que los contiene

!29

θ 21

cos22,5º = 29θ 2

2λ = 29

λθ = 9,1937!m

prácticamente 31 pies romanos de 0,2957 m o 41 palmos.

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177


FIGURA 3.9 Baptisterio Letranense

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FIGURA 3.10 Baptisterio de San Juan de Letrán

Tumba de la Santísima Virgen, Jerusalén

La tumba de la Virgen de Jerusalén no sólo tiene semejanza aparen-te con el baptisterio de Florencia por su forma octogonal y la disposi-ción de pilastras en el exterior, sino que también existen coincidencias en su composición. Ha sido estudiado en líneas generales por Eco-chard.

El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en tres partes igua-les, originando en el centro un cuadrado que puede considerase limita-do por las diagonales de otro octógono algo menor que el inscrito y que marca el grosor del muro. Partiendo del diámetro D de la circunfe-rencia el lado de los cuadrados inscritos es D/√2 y el de los interiores

!Dθ

3 2 !y!el!muro!medirá! D

2 2 (1 − θ3 )

Lo mismo que en Florencia la prolongación de los lados de este octó-gono coincide con las pilastras de las esquinas.

La disposición de las columnas centrales no requiere aclaración. El diámetro de la circunferencia que contiene los centros es igual al lado del octógono inscrito en la circunferencia exterior

!13,435

λ = 10,28

Es curioso cómo se repiten algunos trazados de los muchos analiza-dos en distintos edificios. Todos estos ejemplos utilizan procedimientos similares, pero apoyándose en puntos distintos.

Esta fórmula de dividir en tres partes el lado del cuadrado también se utiliza dividiendo el diámetro de la circunferencia en tres partes, co-mo vimos en el baptisterio de S. Juan de Letrán.Las analogías entre edi-

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ficios son evidentes, en su aspecto general o en los trazados. El mismo Ecochard habla de que la tumba de la Virgen es justo la mitad de la Ca-pilla de la Ascensión de Jerusalén. El octógono exterior sí lo es, pero el grosor de muro y la posición de columnas es totalmente diferente. Por ello, sólo nos limitamos a algunos casos que pueden servir de ejemplo.

La razón de semejanza entre las caras del muro es igual a

cos2!22,5°=0,8535

y los centros de las columnas están en una circunferencia de

!53,74

θ = 22,26 metros

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FIGURA 3.11 Capilla de la Ascensión, Jerusalén

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FIGURA 3.12 Tumba de la Virgen, Jerusalén

Los templarios han dejado en España algunas muestras de tem-plos octogonales singulares, que en cierto modo recuerdan la tumba de la Virgen pero incorporan formas utilizadas en Córdoba, Toledo o Almazán.

En los templos analizados se pueden apreciar relaciones geométri-cas que se repiten con ciertos matices en otros, e incluso se podría afirmar que en todos ellos aparece una constante métrica, como evi-denció Ecochard, aunque no siempre se perciba directamente.

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Iglesia del Santo Sepulcro, Torres del Río (Navarra)

Esta capilla románica del Santo Sepulcro se encuentra en Torres del Río, población situada en el tramo navarro del Camino de Santiago.

Se le atribuyen diversas influencias bizantinas y árabes que para nuestro estudio son secundarias, aunque en el fondo hayan podido de-terminar la forma y su trazado que es nuestro objetivo.

En un primer análisis su planta nos recuerda a la tumba de la Vir-gen en Jerusalén. Tiene además un torreón circular y acusa las aristas verticales con columnas casi exentas.

De la planta y sección de Huici, que expone F. Chueca Goitia en “Historia de la Arquitectura Española”, se puede deducir con cierta aproximación el tamaño de la capilla que en principio no tiene por qué ser uno determinado.

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IMAGEN 3.6 Fachada de la Iglesia del San-to Sepulcro.

Pero al elaborar los datos obtenidos se comprueba que ese octógono es inscribible en una circunferencia de D=13,4349 metros de diámetro, que podíamos llamar constante de Ecochard. Aunque el trazado se pa-rezca al de otras edificaciones estudiadas, nos encontramos ante un ca-so de mucho menor tamaño. La medición de los lados del octógono ex-terior oscila realmente entre 3,90 y 3,95 metros, lo que confirma la su-posición deducida de la escala. Por lo tanto la capilla es exactamente, en su exterior, igual a la mitad de la tumba de la Virgen, ya que si el diámetro de la circunferencia exterior es 13,435 metros, al lado del oc-tógono de la fachada corresponde

!13,435θ 2

= 3,935 metros

Parece existir una relación general en el tamaño y composición con otros casos estudiados, pero ¿pudieron utilizar una unidad métrica lo-cal o simplemente siguieron pautas importadas? Los pilares mayores aparentan tener 28 cm. de diámetro, que pudiera ser el módulo, puesto que

!13,4350,28 ≅ 48 y 3,935

0,28 = 14

es mucha casualidad de no haber una intención clara.

La composición en planta puede considerarse normal dentro de las plantas octogonales, pero en esta capilla debe hacerse notar el trata-miento que se da a la cúpula. Chueca dice: “Está cubierta por una cú-pula de arcos cruzados, estrictamente califal. Los arcos no surgen de los vértices sino de los puntos medios del octógono, y descansan sobre mén-sulas; se cruzan pero dejando en el centro un amplio ojo al gusto de los maestros cordobeses”.

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FIGURA 3.13 Capilla Santo Sepulcro

Estos nervios en las cúpulas son frecuentes tanto en construcciones árabes, como la Mezquita de Córdoba, y luego con más decoración en las catedrales góticas. Partiendo del centro de los lados del octógono lo encontramos en la pequeña cúpula central de la Ermita del Cristo de la Luz en Toledo y en la iglesia de San Miguel en Almazán (Soria).

Estos nervios, decimos que arrancan del centro de los lados, pero hay que contar que tienen un grosor y que entre ellos queda una estre-cha ventana. Esta cúpula contiene también unos nervios, que se inician en los vértices, que no se encuentran ni en Toledo ni en Almazán, pero necesarios desde la buena práctica constructiva.

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IMAGEN 3.7 Cúpulas nervadas

A. Capilla del Santo Sepulcro, Torres del Río B. Capilla Real de la Mezquita de Córdoba

C. Ermita del Cristo de la Luz, Toledo D. Iglesia de San Miguel, Almazán

Iglesia de Santa María de Eunate, Navarra

Siguiendo el modelo de plantas octogonales encontramos la capilla de Eunate (Navarra), también en el camino de Santiago. Fue construi-da por los Templarios a imitación del Santo Sepulcro de Jerusalén.

Se caracteriza por el ábside poligonal que enlaza con el octógono principal produciendo cierta irregularidad en la planta y por cómo trunca o bisela los paramentos exteriores para recibir los pilares en los vértices.

Aquí el octógono, representado con una línea discontínua, formado por las caras exteriores del muro está circunscrito a la circunferencia de

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IMAGEN 3.8 Santa María de Eunate

D=13,435 metros de diámetro y la circunferencia directriz tiene 19 me-tros = 13,435√2. El octógono interior, como en la tumba de la Virgen, tiene como lado la tercera parte del diámetro de 13,435, longitud que se aprecia en el octógono estrellado central. Y, el diámetro interior ana-líticamente sería

!d = D3 θ

Los diámetros de columnas son de 48 cm. y 24 cm. a simple vista. El expresar las dimensiones en metros es porque no sabemos con qué unidad antigua fue organizado. Sin embargo aparenta que casi todos sus elementos podrían ajustarse a un módulo M=24 cm. El diámetro sería 56 M, múltiplo de 7, el lado 23 M, el espesor de muro 5,5 M, etc...

Tanto aquí como en Torres del Río, hay que considerarlo sólo como una aproximación, pues ni con una medición de alta precisión y dadas las irregularidades de construcción y el deterioro, pueden sacarse con-clusiones que lo confirmen o anulen.

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FIGURA 3.14 Capilla de Eunate

Iglesia de la Vera Cruz, Segovia

No es octogonal aunque, como dice Fernando Chueca, forma grupo con Eunate y Torres del Río. Son atribuidas a los Templarios e inspira-das en la Tumba de la Virgen de Jerusalén. La Vera Cruz fue construi-da en el siglo XII. En la actualidad se cree que fue erigida por la Or-den del Santo Sepulcro de Jerusalén, y no por los templarios.

El exterior es dodecagonal mientras el interior es circular. En el cen-tro dispone un núcleo central, también dodecagonal que se acusa en la cubierta. Una torre cuadrada y tres ábsides circulares perfectamente acoplados a la planta poligonal completan el conjunto.

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IMAGEN 3.9 Vista de la Iglesia de la Vera Cruz

El dodecágono está generado por dos hexágonos, girados 30º inscri-tos en una circunferencia de 26,87 metros, equivalente a 96 pies sego-vianos. El espacio circular interior será igual a

!26,87

2= 19 metros = 68 pies!de!Segovia.

Los ábsides se apoyan en puntos clave de la circunferencia directriz, y al igual que en Eunate alteran los nervios o arcos radiales para real-zar el central.

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FIGURA 3.15 Iglesia de la Vera Cruz

Torres Almohades

Se encuentran esquemas similares con planta octogonal en construc-ciones militares, como el Torreón del Alcazar de Jerez de la Frontera o la llamada Torre de Espantaperros en la Alcazaba de Badajoz.

Al comparar el plano de Manzano con el de Torres Balbás de Jerez y Badajoz, respectivamente, se aprecia la similitud en la forma exterior como en el tamaño. La medición “in situ” de la torre de Badajoz no aportó seguridad, puesto que las aristas están muy deformadas y lo mis-mo pueden ser 3,80 que 4,00 metros.

El análisis de la Torre del Oro de Sevilla realizado también por To-rres Balbás dio pie a conclusiones fiables respecto a las tres.

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FIGURA 3.16 Torre de Badajoz IMAGEN 3.10

La Torre del Oro, en planta, es un dodecágono generado por dos he-xágonos inscritos en una circunferencia de 17,55 metros, puesto que la distancia entre caras paralelas es 15,20 metros

!15,20cos30° = 17,55 = 13,435λ

Ello, hace pensar que los almohades, al componer sus plantas poligo-nales, también se apoyaron en plantas dependientes de las circunferen-cias de Ecochard. Si la longitud máxima del lado medido en Badajoz era de 4,00 metros debido a una circunferencia de directriz de 13,65 metros es de suponer, que en realidad sean 3,935 metros y 13, 435 me-tros. El cuadrado inscrito en la circunferencia de 13,435 tiene el lado de 20 codos prácticamente.

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FIGURA 3.17 Torreón de Jerez IMAGEN 3.11

Independientemente de ese contorno, debieron utilizar como uni-dad el codo de 47,14 cm. puesto que la cota de 1,90 metros del muro que da Torres Balbás para la Torre del Oro equivale a 4 codos.

En cuanto al trazado interno poco hay que añadir a lo que indican las láminas, inscripción de otros cuadrados y trazado de diagonales.

En la torre del Oro una vez definido el muro exterior, basta montar los cuadrados y triángulos equiláteros y situar el muro interior de 2 co-dos. La cota de Torres Balbás es de un metro (1,00 m.) pero también fi-gura 3,00 para el espacio cuadrado que debe ser 3,05 metros teóricos.

En la Figura 3.19 se aprecia mejor la relación de los tamaños, las dos iglesias templarías entre sí, más las dos torres almohades. Las torres de Jerez y Badajoz coinciden con la capilla del Santo Sepulcro en el oc-tógono menor. No se incluye la iglesia de la Vera Cruz basada en la cir-cunferencia de 26,87 metros de diámetro.

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FIGURA 3.18 Torre del Oro, Sevilla IMAGEN 3.12

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FIGURA 3.19 Superposiciones: D√2, Eunate; D, torres de Jerez, Badajoz y Capilla del Santo Sepulcro; Dλ, Torre del Oro de Sevilla

Torres de Kharragan (Irán)

Las tumbas de forma octogonal, construidas en ladrillo, responden en su trazado a los mismos criterios aplicados en los ejemplos anterio-res. Para su estudio hemos utilizado la planta que aparece en la página 204 del libro “Arquitectura Islámica” de John D. Hoag, ed. Aguilar 1976. Parece que la escala gráfica no se ajusta a la realidad, pues las es-caleras de caracol de los torreones quedarían inscritas en círculos de 0,95 metros, dimensión claramente insuficiente, pero vamos a suponer, de momento, que el tamaño real sea el doble del que indica esa escala.

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IMAGEN 3.13 Tumbas de Kharaghan o Kharraqan

Con esta hipótesis resulta que el octógono exterior está inscrito en una circunferencia de 19 metros de diámetro y el octógono interior es-tá formado por dos cuadrados inscritos en ella. Luego el diámetro de la circunferencia interior sería

!19√2

= 13,435 metros

Si en Eunate era el contorno exterior circunscrito al círculo de Eco-chard, aquí es el interior. La circunferencia básica o directriz es igual a

!13,435 λ 2 = 24,82

En unidades persas podríamos decir que la circunferencia exterior mide 75 pies de diámetro, ya que el pie es igual a 0,33 metros. Igual-mente,

75!pies≅26,87!cos!22,5°

Aunque es un tema para ser comprobado “in situ”, el diámetro de las torres de escalera puede ser la séptima parte del círculo interior.

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FIGURA 3.20 Tumba en Kharragan

Las Propuestas de Serlio

Estos ejemplos sacados de la realidad se pueden completar con otros que podíamos considerar teóricos. Sebastiano Serlio en el “V libro de Arquitectura” propone templos con plantas que responden a formas sencillas, circulares, elípticas, hexagonales y concretamente dos de plan-ta octogonal en su interior. Las dos se ajustan al esquema de octógono central con capillas adosadas, como en los bocetos de Leonardo.

Analicemos primero la propuesta cuyo exterior es también octogo-nal (fig. 3.21). Serlio expone en el texto una serie de dimensiones a las que se ajusta el trazado, aunque las deficiencias del grabado no las refle-jen con exactitud. Ha sido necesario hacer una reconstrucción con esos datos para poder apreciar la relación entre todos sus componentes.

Si a los 43 pies de diámetro se le añaden los 16 pies de espesor de muros y pilastras exteriores, se puede afirmar que el octógono interior y el exterior están en la relación 1:√2. La prolongación de lados del oc-tógono interior determina dos cuadrados inscritos en una circunferen-cia, que queda inscrita en el octógono exterior.

El octógono central que contiene el altar está condicionado por las pilastras de los ángulos interiores, de forma análoga a como se hizo en el Baptisterio de Florencia. Las diagonales del octógono, prolongadas también, determinan la posición de pilastras exteriores. De la misma forma que en otras plantas analizadas, y a pesar del grabado, se puede considerar que el círculo central tiene un diámetro igual a un tercio de 43 pies. Siendo unas capillas rectangulares y otras semicirculares, los centros de los núcleos de todas ellas están sobre los lados de un octógo-no circunscrito a una circunferencia de 50 pies de diámetro.

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200


FIGURA 3.21 Serlio, libro V, p.208

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FIGURA 3.22 Análisis de la Figura 3.21

En esta segunda propuesta de Serlio (fig. 3.23) se acusa más la dife-rencia entre capillas para llenar las esquinas del cuadrado. En el texto se especifican las dimensiones de casi todas las partes del grabado, que concuerdan perfectamente con la dimensión asignada a la circunferen-cia inscrita en el octógono de 65 pies. Solamente se aprecia la imposibi-lidad de que el muro tenga 16 pies, ya que 3,5 de muro más 12 de las capillas pequeñas dejaría tan solo medio pie para el muro exterior.

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FIGURA 3.23 Serlio, libro V, p.210

El círculo central de 20 pies junto a las diagonales limita los pilares del altar central y las pilastras de los ángulos interiores. No necesita aclaración la relación de la circunferencia central de radio 20 con las capillas de las esquinas, cuadrados que tienen su centro en la circunfe-rencia de diámetro 65√2, puesto que coinciden con la intersección de dos lados perpendiculares al octógono.

203


FIGURA 3.24 Análisis de la Figura 3.23

La reconstrucción se ha realizado a partir de los datos numéricos del texto, y en la parte del muro, donde falla el dato, deduciéndolo del gra-bado por comparación con las otras dimensiones conocidas. Las rela-ciones entre los distintos elementos pueden deducirse fácilmente como en los octógonos.Puesto que el espesor de muro no son 16 pies y en el estudio han resultado 18, cifra que no se ajusta geométricamente al res-to, se ha rehecho el estudio dándole 19 pies. Es solamente una hipóte-sis, pero no hay más que contemplar la figura para percibir una mayor coordinación entre todas las partes. Aparecen segmentos como 19, 27, 38, 65, 92 y103 relacionados en función de θ y √2.

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FIGURA 3.25 Hipótesis teórica de la Figura 3.23

De todas esas relaciones, fácilmente apreciables, cabe destacar las cinco circunferencias de 38 pies de diámetro, unidas por tangentes y la prolongación de los cuadrados inscritos.

Cinco circunferencias colocadas con la misma posición relativa cons-tituyen el núcleo generador del Mausoleo de Humayun, que hemos in-cluido en la 5ª parte de la presente obra.

Serlio indica claramente los diámetros de los círculos inscritos en el octógono, sin especificar la dimensión del pie utilizado. Suponiendo que utilizase el pie florentino de 0,292 metros, media braza, los círculos exteriores de las figuras serían 13,435 λ y 26,87 metros. Las circunferen-cias de las dos propuestas están relacionadas según 2/λ.De la misma forma que hemos visto como se adaptaban las plantas de algunos edifi-cios a tramas triangulares o cuadradas, los edificios octogonales pueden acoplarse a tramas rectangulares con lados iguales a 1, √2, θ, etc. Inclu-so la trama girada puede ser distinta a la formada por líneas horizonta-les y verticales. En la Figura 3.26 vemos otra trama formada por dos mallas cuadradas, de lados (en azul)

!θ

√2= λ2 y 1

θ 2= 1

2λ2

Las dos propuestas de Serlio aportan nuevos elementos añadidos a la idea fundamental del octógono. En los ejemplos a estudiar a conti-nuación se analizarán otras formas de composición donde el núcleo oc-togonal sigue estando claro, pero exteriormente, o en el conjunto, no se aprecia.

Comenzaremos por ejemplos complejos a los que seguirán otros más elementales dentro de las mismas líneas de trazado. Primero el

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templo de Santa María de los Ángeles de Florencia y, a continuación, la capilla de Aquisgrán, cuyo exterior no es octogonal.

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FIGURA 3.26 Tramas modulares

Santa María de los Ángeles, Florencia

Para indagar acerca del trazado geométrico que generó la forma de-finitiva de este modélico e inacabado templo nos apoyamos fundamen-talmente en la información contenida en el libro “Filippo Brunelleschi” de E. Battisti. Contiene una planta con algunas cotas, en metros, esen-ciales para un análisis riguroso del trazado. Su aspecto actual dista mu-cho de lo que debiera esperarse de un templo de esa época y autor.

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IMAGEN 3.14 Rotonda de Brunelleschi o de Santa Maria de los Angeles

Ahí se describen las posibles fuentes o plantas centrales octogonales en que pudo apoyarse Brunelleschi y se hacen hipótesis sobre el traza-do geométrico que es nuestro tema. En los comentarios sobre las figu-ras dice que la composición se basa fundamentalmente en el compás. También afirma que la división del diámetro en 64 partes puede conse-guir una cierta aproximación a algunos elementos, quedando otros in-determinados.

Evidentemente es una de las plantas octogonales más características. Según Paul Frankl esta planta inspiró a Leonardo sus conocidos tem-plos de planta centralizada. También se puede afirmar que las propues-tas de Serlio están íntimamente ligadas a esta idea.

Teniendo en cuenta la complejidad del trazado, éste se analiza por etapas, dibujando únicamente las líneas imprescindibles. La circunfe-rencia circunscrita al hexadecágono existe como tal, pero no es funda-mental, ni determinante. Venimos analizando plantas octogonales apo-yándose en dos cuadrados, girados 45º, inscritos en una circunferencia. Análogamente, al inscribir dos octógonos girados 22,5º en una circunfe-rencia se obtiene un polígono regular de 16 lados.

Pero, ¿cuál es el diámetro de esa circunferencia exterior? Solo sabe-mos que el lado del hexadecágono mide 5,80 metros. Llamando L al la-do de uno de esos octógonos girados y Dp al diámetro que buscamos

!L = 5,80(1 + 2λ ) = 12,07

!Dp = 2λL = 31,55 metros

Esta dimensión en metros equivale a 54 brazas florentinas o también a 144 palmos. Esta circunferencia de 31,55 metros o 54 brazas de diá-

208


metro no es arbitraria, está claramente relacionada con las circunferen-cias de Ecochard, puesto que

!53,7431,55 = 92

54 = 1,707 = λ2 o bien 31,5526,87 = 54

46 = cos11,25°cos33,75° = 2

λ2

Podemos considerar dos circunferencias la exterior Cp de 54 brazas de diámetro y la circunscrita al hexadecágono C1 siendo

!D1 = 5,80sin11,25° = 29,72 metros = 50,92 brazas

de las que derivan otras utilizadas en la composición. En esta figura se ha dibujado también, en rojo, circunferencias de diámetro 36 brazas (de trazos) y 18 brazas, o sea 2/3 y 1/3 de Cp y otra azul de 19,48 bra-zas relacionada con C1, ya que

!50,92

2λ= 19,48 y 18

19,48 = cos22,5°

Esta última relación indica que esas circunferencias quedan inscritas y circunscritas a un mismo octógono, cuya función veremos a continua-ción.

Los dos cuadrados inscritos en Cp determinan el octógono funda-mental de la composición, puesto que representa los ejes de las ocho ca-pillas.

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FIGURA 3.27 Santa Maria de los Angeles

Al trazar paralelas a los dos lados contiguos de un cuadrado inscrito por los vértices del octógono se forma un octógono estrellado cuyos vér-tices más próximos al centro están en una circunferencia de diámetro 54/θ=22,36 brazas, o 13,04 metros, dibujada en trazos negros.

211



A esta circunferencia de 13,04 metros de diámetro junto a aquellas que parecía introducidas arbitrariamente, les corresponden lados de unos octógonos regulares coincidentes con cotas de la planta general, puesto que la longitud de las capillas es de 8,00 metros, los centros de las circunferencias tangentes distan 4,00 metros, la abertura tiene 4,35 metros y la distancia entre arcos de circunferencia 5,00 metros.

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FIGURA 3.29 Santa Maria de los Angeles. Dimensión de circunferencias centrales

Es la representación gráfica de la relación 53,74/λ2 para obtener la circunferencia Cp, punto de partida de la composición y donde se ins-criben los dos octógonos que generan el hexadecágono.

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FIGURA 3.30 Santa Maria de los Angeles. Relación gráfica del hexadecágono con la circunferencia de 53,74 m

Se prescinde de líneas auxiliares y se dibuja un octógono determina-do por dos cuadrados inscritos en el octógono principal de los ejes de la capilla. Las esquinas de este octógono y las perpendiculares a los ejes de la capilla desde la circunferencia azul de 11,36 metros o 19,48 bra-zas de diámetro definen claramente el espacio central y las pilastras que lo limitan.

214



La longitud de las capillas es de 8,00 metros como se ha menciona-do, longitud que coincide con el lado de los cuadrados inscritos en la circunferencia azul, de 11,36 metros de diámetro. La figura deja ver un octógono estrellado y un par de circunferencias tangentes entre sí y a la prolongación de los lados de uno de estos cuadrados. Los vértices más alejados de este octógono estrellado están en una circunferencia de diá-metro

2λ8≅21,00!metros=2/3!Dp!!

que se había mencionado sin especificar para qué servía.

Desde las circunferencias centrales se concretan otros puntos clave de la composición. Solo queda marcar el espesor del muro, expresado en la cota inicial, y determinar los pasos entre las capillas. La escala permite apreciar cómo aplicar a un elemento las relaciones descritas. No es necesario volver a relatar todos los pasos y conexiones entre las partes, pero hay otras nuevas.

Aunque no intervenga en el trazado, el octógono estrellado (azul) ins-crito en la circunferencia C1 es tangente a la circunferencia azul, o bien está originada por dos cuadrados circunscritos a ella.

Se comprueba que de los dos octógonos estrellados que se podían in-tuir al principio, uno no es efectivo, pero el otro, en cambio, resulta ser tangente a las capillas y a las hornacinas exteriores.

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216



El paso de capillas no está tan claro como el resto del trazado. No hay cotas y al menos en el verano del 2004 no se podía tomar directa-mente por las obras de restauración. La parte curva parece acoplarse a la circunferencia de diámetro C1/λ=38,93 brazas =22,71 metros, o sea circunscrita al octógono limitado por dos cuadrados dentro de C1. Las partes rectas del paso están contenidas en el octógono circunscrito a esa circunferencia, no dibujada para no complicar más la figura.

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Siguiendo las pautas marcadas se completa la planta indicando el trazado y los puntos básicos, puesto que realmente es repetición del de-talle anterior.

218



No es el descrito el único procedimiento para obtener los puntos fun-damentales de la composición de la planta de Santa María de los Ánge-les. Son tantas las relaciones entre las partes, que cualquiera de ellas puede servir para reconstruir todo el complejo entramado. Como se ha comentado al comienzo, el trazado podía basarse fundamentalmente en el compás. Vamos a exponer otra fórmula tal vez más directa.

Partiendo de la circunferencia de 22,36 brazas ó 13,04 metros de diá-metro, si se dibujan otras ocho, del mismo diámetro, con centro en ella se obtiene el octógono de los ejes de capillas. Las prolongaciones de es-tos lados se cortan en puntos de una circunferencia de diámetro 22,36θ=54 brazas, la inicial en la justificación anterior.

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FIGURA 3.35 Composición A

Igualmente, las circunferencias de diámetro igual al lado del octógo-no de ejes son tangentes a las dos circunferencias concéntricas. Las in-tersecciones de cada dos contiguas además, concretan los vértices del espacio central. Uniendo puntos convenientemente se llega a la figura final.

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FIGURA 3.36 Composición B

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FIGURA 3.37 Composición C

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FIGURA 3.38 Composición D

La Capilla Palatina de Carlomagno, Aquisgrán

El exterior es también un polígono regular de 16 lados, o hexadecá-gono, pero el esquema no tiene ninguna semejanza en su composición con Santa María de los Ángeles. La geometría del octógono define la posición y tamaño de sus componentes, incluso determina el contorno exterior.

Contamos para el estudio con varias plantas y sus escalas gráficas o numéricas (Benévolo, Ecochard, Stierlin) donde se puede estimar el diá-metro en algo más de 33 metros. Por otra parte Naredi-Reiner comen-

223


IMAGEN 3.15 Cúpula de la Capilla Palatina.

ta que está medida con pies de 33,28 cm y Spiro Kostof (Historia de la Arquitectura, tomo 2) da cuenta de que el palacio de Aquisgrán está construido sobre una trama de 84 pies de módulo.

Ecochard plantea, como en todos sus trazados, la planta compuesta por cuadrados inscritos en una circunferencia mayor, pero no dispone de dimensiones. La mayoría de los estudios de Ecochard se basan en la circunferencia de radio 26,87 m.

Superponiendo el esquema de Ecochard sobre una cuadrícula de 84 pies tal y como lo describe S. Kostof se obtienen, analítica y gráfica-mente, 99 pies como lado de los cuadrados, 101 pies el diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono y 140 pies al diámetro de la cir-cunferencia dibujada por Ecochard. 99 pies equivalen a 33 metros y 101 a 33,6 cifras aproximadas a la estimación hecha con las escalas.

224


225


FIGURA 3.39 Capilla Palatina de Carlomagno

En este caso la circunferencia dibujada circunscrita a los cuadrados no responde a las constantes de Ecochard, aparentemente puesto que

140!pies≅46,59!metros!y!!46,59/53,74=0,8669=√3/2,

que gráficamente se concreta mediante un hexágono regular circunscri-to a la circunferencia de 140 pies e inscrito en la de 53,74 metros de diámetro. El radio de la menor es 0,866 veces el diámetro de la mayor.

226



Trazando alternativamente pares de diagonales que unen lados opuestos se obtiene un octógono estrellado central, cuyos vértices si-túan los ocho pilares centrales. Al dibujar, de trazo discontinuo, las rec-tas que unen cada dos vértices contiguos del octógono estrellado se ori-ginan un octógono regular más rectángulos y triángulos que componen una figura similar a la trama derivada de la segunda idea de Serlio. Se aprecian dos hexadecágonos concéntricos que limitan el espesor del muro.

227



Por construcción, el lado del octógono central es igual al lado del he-xadecágono pudiendo interpretarse el conjunto compuesto por el octó-gono central más 16 triángulos isósceles con el vértice sobre la circunfe-rencia circunscrita al octógono.

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FIGURA 3.42 Capilla Palatina

En la planta se observa que el paño de muro visto entre pilastras, tan-to en los espacios cuadrados como en los rectangulares, es el mismo, luego el grosor de la pilastra debe ajustarse para que así sea. Las diago-nales de los cuadrados y los lados de los triángulos isósceles indican la forma de obtener en la cara interior del muro el punto de arranque y tamaño de la pilastra. Analíticamente se puede comprobar que la di-mensión es de 2,5 pies, quedando un paramento entre columnas de 14,7 pies. El espesor de pilastra se traslada a los pilares centrales como se indica en el detalle. Téngase en cuenta que

L16=101!sin!11,25°=19,7!pies

E=19,7!(λO1)=6!pies.

Aunque pueda parecerlo, la circunferencia circunscrita al octógono central no es la mitad de la exterior.

229


FIGURA 3.43 Capilla Palatina

Basílica de Santa Maria del Fiore, Florencia

De las propuestas de Leonardo da Vinci y Francesco di Giorgio pa-ra diseñar una iglesia, distintas, pe-ro ambas con núcleo central poli-gonal rodeado de siete cuerpos co-locados cada 45º más la nave, se puede intuir cierta semejanza con la catedral de Florencia. Como en el Baptisterio, nos hemos basado también en grabado de Bernardo Sansone Sgrilli.

Benévolo relata que la catedral de Florencia fue fundada por Ar-nolfo y realizada entre 1296 y 1426. El campanario fue diseñado por Giotto y la cúpula construida por Brunelleschi en el primer tercio del siglo XV. Dentro del grandioso conjunto arquitectónico y escultórico que contiene, debe reseñarse el re-loj con la esfera pintada por Ucello, caracterizada por la división en 24 partes y por el sentido contrario del giro de la saeta.

En la catedral de Florencia se parte de un octógono principal, base de la famosa cúpula de Brunelleschi, al que se adosan tres octógonos más la nave. ¿Qué dimensiones tienen estos octógonos? De las escalas gráficas de varios planos, más las cotas en metros que da Jean Castex se supone que el octógono central tiene una apotema de 21 metros o bien 36 brazas florentinas de 0,5836 m. La prolongación de los lados de ese

230


IMAGEN 3.16 Fachada de Santa Maria del Fiore.

octógono produce un octógono estrellado inscrito en una circunferen-cia de 188 brazas de diámetro. No es casualidad que resulte 188 bra-zas, puesto que

188!brazas=109,7metros!y!!53,74/54,85=cos11,25°.

Expresado de otra forma: la circunferencia de Ecochard y esta de 188 brazas de diámetro son inscritas y circunscritas a un hexadecágo-no, respectivamente.

231


FIGURA 3.44 Santa Maria del Fiore dibujado por Bernardo Sansone Sgrilli

Si en esta circunferencia se inscriben dos cuadrados se pueden defi-nir los límites del perímetro. El octógono estrellado y los cuadrados ins-critos en esa circunferencia definen con precisión los centros y dimen-siones de los otros octógonos como puede deducirse de las figuras. Aná-logamente se aprecia el contorno de la nave y la posición de pilares ob-tenidos a partir de los octógonos centrales.

El cálculo numérico de longitudes del esquema propuesto se aproxi-ma bastante a los datos obtenidos. La longitud resulta 257 brazas, que en la Figura 3.44, representan 150 metros. La dimensión transversal que da el dibujo de Sansone (164 brazas) resulta ser 163,8 aunque siempre redondeando cifras. De todas formas el error es mínimo.Es un ejemplo de cómo se pueden combinar, mediante octógonos,ambientes muy diferentes en su forma y dimensión. De esta forma no sólo se arti-culan perfectamente zonas de la catedral, sino que parecen definirse también la posición de la torre y sus dimensiones, tema a estudiar en otro momento.

232


233


FIGURA 3.45 Santa María del Fiore

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235



236



Castel del Monte, Andria (Italia)

El Castel del Monte construido por Federico II de Hohenstaufen ha-cia 1240 en Andria (Italia) responde a un esquema octogonal, práctica-mente idéntico al de la catedral de Florencia. Dos cuadrados y un octó-gono estrellado inscritos en una circunferencia son suficientes para con-cretar la planta. Las intersecciones de estas figuras inscritas determinan una serie de puntos que limitan los cuerpos octogonales concéntricos y los torreones de los vértices. Un mismo planteamiento geométrico ha dado lugar a resultados que no tienen ninguna relación.

IMAGEN 3.17 Castel del Monte

237


FIGURA 3.49 Castel del Monte

238


De la escala disponible sólo se puede deducir que el diámetro de la circunferencia sea del orden de 59 metros, pero se desconoce la unidad de longitud que fue aplicada. Tenemos datos del uso, en Nápoles, de cannas de ocho palmos con una longitud de 2,108 metros y de diez pal-mos de 2,645 metros. Según eso, el diámetro de la circunferencia exte-rior podría tener 224 palmos, cifra muy próxima a la longitud obtenida según la escala. Como en otros trazados comentados, 224 también es múltiplo del número 7.


239


Con este dato puede obtenerse la dimensión de cualquier segmento del trazado. Puede comprobarse cómo la distancia entre lados parale-los de los dos octógonos centrales o los dos exteriores son iguales a 10,05 palmos, prácticamente 10.

Los diámetros de las circunferencias circunscritas a los ocho torreo-nes exteriores y tangentes a la circunferencia exterior coinciden con la-dos de un hexadecágono regular de 37,43 palmos de lado.


240


Igualmente las circunferencias interiores concéntricas tendrían 224/λ, 224/θ y 224/θλ, como longitud del diámetro.

Puede comprobarse que los diámetros de las dieciséis circunferen-cias prolongados crean dos octógonos cuyos vértices están contenidos en una circunferencia de 53,74 metros de diámetro.


241


Qubbat Al-sulaibiya, Samarra (Irak)

Este edificio es, según John D. Hoag, el primer panteón monumental en la historia de la arquitectura islámica. La planta que encontramos en la página 56 de su Tratado, pese a su pequeño tamaño, sirve para plantear una hipótesis posiblemente ajustada a la realidad y otra aproxi-mada, pero irreal.

Aplicando la escala indicada y teniendo en cuenta que el pie persa equivale a 0,33 metros, el octógono exterior puede estar definido por dos cuadrados inscritos en una circunferencia de 77 pies de diámetro. Siguiendo la misma idea aplicada en el Castel del Monte, el octógono interior estaría formado por los lados del octógono estrellado inscrito en una circunferencia de diámetro

!77

λ 2= 41,67 pies

FIGURA 3.53 Qubbat Al-sulaibiya FIGURA 3.54 Qubbat Al-sulaibiya

242


Como el espesor del muro es de 5 pies aproximadamente, los octógo-nos concéntricos y el cuadrado se generan por circunferencias de 77; 62,84; 41,67 y 27,52 pies de diámetro.

El dibujo a escala reducida no llega a apreciar esos decimales de pal-mo. Se ha vuelto a dibujar la planta inscribiendo las figuras en circunfe-rencias de 77, 63, 42, y 28 pies de diámetro. Al redondear la cifra se ob-tiene una serie numérica con todos sus miembros múltiplos de 7. La fi-gura final es casi idéntica, mas no responde a la planta del libro.

De ello se deduce que cuando una composición se realiza según las propiedades del octógono, no es posible llevar sus dimensiones a un sis-tema de coordenadas polares, como se ha intentado en Santa María de los Ángeles o en Santa María de la Salud.

FIGURA 3.55 Qubbat Al-sulaibiya

243


Ni siquiera en este caso podemos dar por cierto el diámetro de 77 pies para la circunferencia externa. Aplicando el coeficiente

!K = cos22,50°cos11,25° = 0,9497794 ó 1

K = 1,06159

a la circunferencia de 26,87 x K = 25,31 metros = 76,7 pies, cifra muy próxima a 77.

Este coeficiente en relación con la circunferencia de Ecochard, se en-cuentra en otras construcciones, como Santa María de los Ángeles de Florencia. Optamos finalmente como válida esta composición basada en la circunferencia de 25,31 metros de diámetro inscrita en la de 26,87 metros.

FIGURA 3.56 Qubbat Al-sulaibiya. Otra hipótesis

244


Pagoda China

En esta pagoda encontramos un trazado sencillo que es capaz de ori-ginar un edificio complejo. A partir de una circunferencia de la que de momento no conocemos su dimensión, procedemos de la misma forma que lo hicimos al estudiar la capilla de S. Aquilino. Primero se inscri-ben los dos cuadrados (rojo) en la circunferencia y a continuación otros dos en éstos (azul). Si en la primera inscripción la circunferencia queda dividida en ocho partes, los lados de los cuadrados menores determi-nan puntos de la división en veinticuatro partes. Cada lado azul abarca ocho partes, o sea, es también el lado de un triángulo equilátero inscri-to en la circunferencia inicial. Se ha formado una espesa red que define los puntos clave.

FIGURA 3.57 Pagoda China

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El espacio interior es un octógono pero el perímetro exterior se ajus-ta a un dodecágono, con relieves no tan caprichosos como podría pare-cer. Las diagonales y los cruces de líneas rojas y azules marcan la posi-ción de vértices.

FIGURA 3.58 Pagoda China

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Santa María de la Salud, Venecia

La iglesia, siendo de planta centralizada, conserva la traza caracterís-tica de una basílica, con naves laterales que giran en torno al octógono de base. Estructuralmente, los empujes de la cúpula se transmiten al tambor y a las pilastras, como en las basílicas.

Se han considerado como antecedentes casi todos los templos de planta octogonal. Como característicos pueden considerarse el templo de Polifilo de Francesco Colonna y el proyecto de templo de Labacco, que no tiene analogía en la planta sí en alzados. Sin embargo, hay quien cree que el proyecto de Longhena podría estar inspirado, o bien

IMAGEN 3.18 Santa Maria della Salute, fachada y detalle del presbiterio.

247


ser, la realización de un proyecto de Palladio. Palladio presentó dos pro-yectos para el Salvatore, uno de planta centralizada que fue rechazado por las tendencias de la época y el que fue ejecutado que todos conoce-mos.

Presenta dos zonas claramente diferenciadas en su aspecto general, la gran nave octogonal y el presbiterio rectangular con semicírculos la-terales. Aunque, aparentemente, respondan a criterios dispares, existe una forma de generación homogénea o común para las dos. El resulta-do final, motivado por la función, es bien distinto pero hay un criterio único de composición para el conjunto.

La inscripción sucesiva de figuras poligonales, o circulares, origina la mayoría de las plantas estudiadas, pudiendo interpretarse que el traza-do se inicia a partir del contorno, o bien del centro al que se le agregan nuevas capas.

Se ha destacado en rojo el octógono formado por dos cuadrados, ins-critos en la circunferencia de contorno, así como los dos cuadrados de-terminados por las diagonales del anterior. Dato cierto es que estos cua-drados centrales tienen 60 pies de diagonal. Téngase en cuenta que Longhena utiliza como unidad el pie equivalente a 0,35 metros.

La serie de octógonos inscritos unos en otros, permiten trazar otros octógonos que limitan las pilastras, deambulatorio y capillas circundan-tes.

En el centro del presbiterio, dos cuadrados girados 45º de 30 pies de diagonal, e íntimamente relacionados con los centrales tanto en tama-ño como en posición son capaces de definir los elementos básicos. De él se deducen otros octógonos que limitan muros y determinan la posi-ción de los centros y longitud del radio de los círculos. No es necesario

248


describir cómo se generan estos trazados auxiliares contenidos en las fi-guras.

Como ya vimos en Santa María de los Ángeles, el octógono central, núcleo generador del conjunto, no es eje ni limita pilastra alguna, pero de sus vértices parten las líneas que marcan los anchos de capillas y ar-cos. Aquí esos puntos son verdaderos focos de la composición que se acusan en el pavimento mediante círculos con centro en esos vértices.

Se ha dicho que el trazado respondía a un módulo de 5 pies 5…10…15…20…60 y efectivamente algunos tramos cumplen la norma, pero otros que son función de θ, √2 ó λ ya no cumplen. No obstante es muy susceptible el criterio aplicable a la hora de comprobar dimensio-nes, los zócalos, pilastras y diversos retranqueos pueden alterar el resul-tado, según lo que se quiera demostrar. La composición geométrica re-gida por √2 difícilmente puede originar múltiplos de 5.

Estas diferencias de apreciación quedan reflejadas en el cuadro com-parativo de las dimensiones obtenidas por Diedo y Santamaría de las que discrepa Wittkower en algunos casos. Los cambios respecto a la ma-queta no pueden considerarse anomalías, sino modificaciones del pro-yecto.

Viendo las discrepancias entre las medidas que se dan, ya sea metros o pies, queda la duda que el pie utilizado sea efectivamente de 0,35 me-tros. Sin embargo al comparar la circunferencia circunscrita al contor-no con la circunferencia de Ecochard de 53,74 metros vemos: que es-tán relacionadas mediante octógonos girados inscritos en esta última y, además, que pasa por los extremos de la diagonal de uno de los cuadra-dos del centro del presbiterio. Como esa diagonal, por construcción, mide 30#pies#x#0,35=10,50#metros,10,50/53,74=sin11,25°, se confirma tanto la validez del trazado, como la medida del pie utilizado.

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FIGURA 3.59 Santa Maria della Salute

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Basílica de San Pedro del Vaticano, Roma

En San Pedro dejaron huella desigual Bramante, Rafael, Sangallo, Miguel Ángel y Maderno. Para el estudio de las relaciones de su traza-do en planta partiremos del proyecto inicial de Bramante conectándolo luego con la obra terminada.

Se encuentran diversas versiones del proyecto de Bramante. El análi-sis lo hemos basado en la planta que figura en la edición inglesa del li-bro “Los Cinco Libros de Arquitectura” de Serlio, pues aunque el gra-bado es muy irregular, especifica en el texto, entre otros datos, que las dimensiones del círculo central son D=184 palmos romanos antiguos y los cuatro círculos menores d=65 palmos. En otras ediciones de la obra

IMAGEN 3.19 Basilica de San Pedro, proyecto de Antonio Sangallo

253


de Serlio se habla de que el diámetro de la cúpula o cimborio tiene 188 palmos. La hipótesis del trazado la realizamos a partir de 184 y 65 pal-mos, comparando el resultado con las mediciones realizadas por varios autores.

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FIGURA 3.62 Los Cinco Libros de Arquitectura” de Sebastiano Ser-lio. Libro tercero, pag. 65 2a

¿Qué motivos llevaron a fijar 184 palmos en la edición inglesa? Ser-lio presenta en el libro editado en Toledo en 1573 la planta del proyec-to de Baltasar Perucio, similar al de Bramante y el de Rafael de Urbi-no, que mantiene los ábsides y cúpula originales. La modificación con-siste esencialmente en eliminar un lado y añadir mas naves con las pro-porciones de la idea de Bramante. Se especifica que hay naves de 92 y 46 palmos entre ejes, cifras ligadas a 184. Tampoco hay que olvidar las discrepancias entre el grabado y la descripción que Serlio hace del Pan-teón de Roma o en la segunda propuesta de templo octogonal. Aun queda una duda: ¿Son palmos antiguos de 22,41 centímetros ó palmos romanos actuales de 22,34 centímetros? Buscando la relación con las circunferencias de Ecochard se obtiene

!53,74

λ = 41,13 metros y 184 palmos x 0,2234 = 41,10 metros

Más aproximado imposible.

Se puede comprobar que las diagonales de los cuadrados circunscri-tos a esas circunferencias miden 260 y 92 palmos, respectivamente. Existe una relación en función de √2;

!D 2 = 4d o bien D2 = d 2 y 184

2 2= 65

La diagonal del cuadrado circunscrito al círculo central es igual a cuatro veces el diámetro de los círculos menores. Es posible superponer dos tramas giradas 45º, una de 184 palmos de módulo y otra de 65, a las que se adapta la silueta de la planta del edificio.

Si estas tramas permiten definir las líneas generales del contorno es posible suponer que el orden establecido también dé lugar a concretar muchos detalles del interior.

255


FIGURA 3.63 Basilica de San Pedro

256


El desarrollo del proyecto, tras la dirección de Bramante, parece que se apoya en los centros de los cuatro círculos de 65 palmos de diámetro del proyecto primitivo, o sea en un cuadrado de 325 palmos de lado.

En la figura se muestra cómo se adaptan una nueva circunferencia de 325 palmos de diámetro y varios cuadrados circunscritos “ad cua-dratum” a una trama ahora de 32,5 palmos. Este esquema resulta casi idéntico a uno de conocidos estudios geométricos de Cesariano. (99)

FIGURA 3.64 Basilica de San Pedro

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Se obtienen básicamente dos cuadrados, uno cuyos lados pasan por los cuatro vértices de partida, y otro con los lados horizontales y vertica-les que no se ajuste exactamente a la retícula.

Estos dos cuadrados y la trama que forman sus diagonales determi-nan la silueta y organización del conjunto. Redondeando, puede consi-derarse que estos cuadrados tienen una longitud de 460 palmos y las diagonales del octógono que forman , quedan circunscritas a una cir-cunferencia de 190,5 palmos.

FIGURA 3.65 Basilica de San Pedro. Modelo geométrico base de la evolución

258


Aunque las discrepancias notables en las cotas obtenidas por diver-sos autores no permitan adoptar un criterio razonable, sí se puede afir-mar que hay un trazado geométrico regulador en el proyecto de Bra-mante, utilizado para el conjunto y en muchos detalles. Se supone que también existirá para alzados y secciones, tema que se excluye de este trabajo.

FIGURA 3.66 Superposición de plantas

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La superposición del contorno de la planta actual sobre la silueta de Bramante nos da idea del gran tamaño previsto inicialmente para el templo. A pesar de pequeñas irregularidades de la reproducción puede comprobarse cómo se ajusta el trazado teórico expuesto aquí a las plan-tas de Maderno y Fontana.

La dimensión que da Carlo Fontana para el diámetro interior de la cúpula es de 190 y 2/3 palmos, que podíamos decir que coincide con el cálculo analítico, según la hipótesis de trazado.

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FIGURA 3.67 Planta de Maderno

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FIGURA 3.68 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur Planta de Fontana

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S e c c i ó n 2

Edificios Contemporáneos

Los ejemplos analizados hasta ahora podíamos calificarlos como clá-sicos, aunque se abarque en el tiempo desde la época romana hasta el barroco y se incluyan obras de distintas civilizaciones y estilos. Es obvio que se pueden encontrar otros muchos edificios, cuyos trazados respon-den a relaciones con √2 y a octógonos, similares a los descritos, pero no tienen que ser necesariamente antiguos.

En la segunda mitad del siglo XX se sigue proyectando aplicando trazados geométricos y tramas modulares análogas a las antiguas. Si-guiendo el objetivo propuesto sólo analizaremos algunos trazados deri-vados del octógono o, como veremos, falsamente octogonal, aunque de-pendan de √2.

Walter Netsch, arquitecto asociado al estudio de arquitectos S.O.M. (Skidmore, Owings y Merrill) ha utilizado la agrupación de octógonos en algunas de sus obras, con resultados distintos en cuanto a trama o modulación final.

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Biblioteca Louis Jefferson, Aurora, NY (S.O.M.)

Este original edificio, según refiere su autor Walter Netsch, está regi-do por la “teoría de conjuntos”. El resultado final es magnífico en cuan-to a su composición y espacios interiores, quedando la incógnita de có-mo se ha aplicado esa teoría para agrupar los nueve módulos formados por dos cuadrados de 42 pies de lado girados 45º.

La traza de los octógonos y los desniveles genera gran variedad de espacios enlazados con muy pocas divisiones o tabiques.

Los nueve módulos están ligados por yuxtaposición como se indicó en la Figura 2.21, dejando entre ellos octógonos regulares de menor ta-maño. Si el lado de estos cuadrados del módulo es de 42 pies, éstos oc-tógonos tienen 12,3 pies de lado inscribibles en circunferencias de 32 pies de diámetro.

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IMAGEN 3.20 The Louis Jefferson Long Library (Wells College Library)

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FIGURA 3.69 Biblioteca Louis Jefferson

Para integrar todas las partes del conjunto se ha podido proceder, bien por yuxtaposición, o aplicando la teoría de conjuntos, pero esa ley o forma de actuar pone en evidencia sencillas relaciones geométricas.

Prescindiendo del módulo N-E, que es una excepción, los centros de los otros ocho están situados en vértices de un octógono estrellado, cua-tro en la circunferencia exterior y otros cuatro en la circunferencia inte-rior, donde se cortan los lados.

Cada módulo está inscrito en circunferencias de 59,4 pies de diáme-tro y las circunferencias interior y exterior miden 77,6 y 187,4 pies res-pectivamente, pues

!!42 2 = 59,4; 59,4λ = 77,6; 77,6θ = 187,4

por lo tanto se puede decir que

!77,632 = θ; 187

32 = θ2

Del octógono estrellado son útiles ocho vértices, que pueden agru-parse en dos estrellas concéntricas de cuatro puntas. El centro del mó-dulo NE puede obtenerse mediante paralelas a otras rectas de la figura.

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267



También puede establecerse una relación que integre a los nueve módulos partiendo de los cuatro centros situados en la circunferencia interior de 77,6 pies. Las circunferencias con centro en ella y radio 71,69 pies, lado del octógono estrellado inscrito en ella, se cortan en los cuatro centros de módulos exteriores. El centro del módulo N-E está contenido en una de las cuatro circunferencias, relacionándose con otros según figuras similares a las existentes entre otros centros.

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Escuela de Arquitectura y Arte, Chicago (S.O.M.)

El conjunto parece apoyarse en una trama de 42 pies de paso, don-de se montan cuadrados de 84 y 42 pies. La circunferencia de 133 pies de radio define la posición de nueve módulos.

Si en la biblioteca hay un módulo extra, en esta escuela de Arquitec-tura y Arte se prescinde del módulo Oeste. En la primera fase sólo se utilizan tres de los ocho útiles.

Los quiebros que origina el cerramiento al envolver los pilares produ-cen la desigualdad en los cuadrados de cada módulo. No obstante toda la estructura interior se acopla a una trama modular

!1 − 2 − 1 − 2 − 1…

Por otra parte podría interpretarse que los centros de módulo se apo-yan en una “trama de cartabón” de las muchas ideadas por Rafael Leoz de la Fuente.

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FIGURA 3.72 Escuela de Arquitectura y Arte

Jewish Community Center, Trenton, NJ (Louis Khan)

Está compuesto por octógonos adosados más los cuadrados, encerra-dos entre ellos, tal y como se mostró en la Figura 2.19.

Todos los paneles en planta son iguales.

Se puede inscribir el conjunto en una retícula cuadrangular de lados verticales y horizontales o también girada 45º, en que los espacios son alternativamente

!1 − 2 − 1 − 2 − 1

como en la escuela de Arquitectura y Arte de Chicago.

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IMAGEN 3.21 Jewish Community Center o Trenton Bath House. Foto: PD

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FIGURA 3.73 Jewish Community Center

Entre las obras y proyectos recientes concebidos con el apoyo de for-mas octogonales que salen fuera de lo que podíamos llamar edificios normales podemos considerar dos proyectos de Cesar Pelli y sus colabo-radores.

Indiana Tower, Indianapolis

En primer lugar comentaremos la torre conmemorativa, y nunca construida, “Indiana Tower” en Indianápolis que, al no tener que so-meterse a satisfacer unas necesidades de programa, tiene una concep-ción simple, casi esquemática.

Exteriormente es una pirámide octogonal con rampas perimetrales, cuya sección se reduce linealmente a la mitad desde la base hasta el mirador superior. Esta reducción lineal se produce tanto en el con-torno como en la rampa y el paso de la espiral.

El esquema en planta que rela-ciona el octógono exterior y el inte-rior de la rampa se mantiene en to-dos los niveles. Se puede compro-bar que están definidos por un oc-tógono regular y otro estrellado ins-critos en una circunferencia que en la base tiene 141 pies de diáme-tro.

Este trazado ya lo estableció Ecochard en la Roca de Jerusalén para relacionar el contorno exterior con los pilares poligonales. Igualmente

FIGURA 3.74 Indiana Tower

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la capilla del Santo Sepulcro de Torres de Río (Navarra) utiliza la mis-ma construcción para fijar el espesor del muro

Torres Gemelas, Kuala Lumpur

En las torres gemelas de la compañía Nacional de Petróleos (Petro-nas) en Kuala Lumpur, además de cumplir una serie de objetivos im-puestos por las necesidades de la empresa, parece que debía respon-der en su aspecto a la simbología tradicional islámica.

Por ello, la forma de las plantas trata de ajustarse al octógono estre-llado, tan utilizado, constituido por dos cuadrados girados y al que se le añaden cuerpos circulares pa-ra mejorar el espacio útil, muy li-mitado por el gran tamaño del nú-cleo central de servicios.

Estos espacios circulares po-drían ser de cualquier tamaño, pe-ro se puede ver que la solución ele-gida responde a una nueva subdivi-sión en función de √2.

Si D es el diámetro de la circunferencia circunscrita, el lado de los cuadrados es

IMAGEN 3.22 Torres Petronas. Foto: Andy Mitchell

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!L = D2

No necesita aclaración la figura donde se determina el radio de estos cuerpos circulares que se adosan a los ángulos cóncavos del octógono estrellado. Ahí podemos encontrar segmentos cuyas dimensiones son

!a = Lθ = D

θ 2; b = D

2θ ; c = D2θ2

y otros relacionados con ellos.

De forma análoga a las tramas superponibles a otros edificios octogo-nales, aquí también se pueden considerar puntos del lado de los cuadra-dos que darían una división en segmentos proporcionales a

1 − 2 − 1 − 2 − 1!o!también! 2 − 1 − 1 − 2 − 1 − 1 − 2

FIGURA 3.75 Torres Petronas

275


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S e c c i ó n 3

Monumentos Valencianos

Girola de la Catedral de Valencia

Según Eduard Mira, director del programa Civitas Europa: “La ca-tedral de Valencia no suele ser presentada, fuera de la propia Valencia, como un edificio particularmente atractivo o siquiera de una especial im-portancia, todo y que sea la única de toda la Corona de Aragón que conser-va la primitiva fábrica. Cuenta, tam-bién, dentro de ese mismo espacio his-tórico, con el más interesante ábside, con el más potente campanario, con el mejor cimborrio y con una excepcio-nal sala capitular, con el soberbio tras-coro que, en la actualidad alberga el Santo Cáliz”.

Chueca: “Lo más interesante es la girola, de cinco tramos con capillas ra-diales. El rasgo que la caracteriza es que a cada tramo corresponden dos ca-pillas radiales”.

Dentro de los elementos singulares de la Catedral vamos a analizar el trazado geométrico del ábside y la girola. También son octogonales la torre y el cimborrio, pero solo se estudiará la torre a continuación.

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FIGURA 3.76 Catedral de Valencia

El ábside queda circunscrito a semicircunferencia de 84,10 palmos de radio y las ocho capillas, de forma octogonal, quedan circunscritas a circunferencias de 24 palmos de diámetro. ¿Cómo se relacionan estos datos y con el resto del templo?

Los centros de estas capillas están sobre una circunferencia de 72 pal-mos de radio. Situada una circunferencia en el centro geométrico de la girola se pueden situar otras contiguas de modo que el diámetro conten-ga 7.

También podría considerarse que sus dimensiones están relaciona-das con las constantes de Ecochard, pues

!53,74 metros

2cos11,25°= 38,74 y 38,74 metros

7x0,23 = 24,06 palmos

diámetro de las circunferencias de capillas.

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FIGURA 3.77 Girola de la Catedral de Valencia

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Tal vez se pueda comprobar mejor cómo llegar al contorno interior de la girola comparándola con el trazado de Santa Maria de los Ánge-les (63). En ambas se puede partir de las circunferencias de 53,74 ó 26,87 metros de diámetro, inscribiendo cuadrados y circunferencias función de λ en Florencia y√2 en la girola de Valencia. El gráfico tam-bién es semejante al de la capilla de Aquisgrán.

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FIGURA 3.80 Izquierda, Santa María de los Ángeles. Dere-cha, Girola de la Catedral de Valencia.Comparación en la fórmula para fijar sus dimensiones a par-tir de la circunferencia de 53,74 m de diámetro

Dibujados los dos cuadrados circunscritos a cada circunferencia de capilla se producen segmentos de 10, 7, 5, 2 en la figura resultante. Se puede apreciar gráficamente que los lados de cada dos capillas conti-guas se encuentran en el eje de separación, lo que prácticamente se confirma analíticamente, pues

60!palmos!x!tan11,25°≅11,93≅12!palmos

Las diagonales del octógono inscrito en la circunferencia de 85,64 palmos de radio limitan las caras del muro de la girola. En este muro que separa el presbiterio de la girola se aprecian añadidos posteriores, pero las columnitas están en el punto que les corresponde geométrica-mente.

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Analíticamente se han comprobado estas coincidencias, que confir-ma también el dibujo con ordenador. Hay que indicar que no sólo con-cuerdan todos estos elementos sino que los paramentos se ajustan per-fectamente a los ejes de las columnas del templo. Las pequeñas pilas-tras y columnas semiempotradas completan el conjunto, pero ya no in-tervienen en el trazado. Ha sido difícil, hasta el momento, medir el es-pesor del muro que rodea las capillas, e incluso, solamente se pudo ob-tener las dimensiones de una capilla que había soportado un incendio, puesto que el resto están recubiertas con exceso de molduras de la épo-ca barroca.

282


IMAGEN 3.23 Girola de la Catedral de Valen-cia.

“El Miguelete”, Torre de de la Catedral de Valencia

Es un símbolo de la Valencia antigua adosado a la catedral. Andrés Juliá proyectó una torre aislada junto a la catedral, que tras una amplia-ción posterior es absorbida. Juliá dijo que tanto la altura como el perí-metro iban a medir 225 palmos (51,75 metros). Existe unanimidad en que se inició la construcción en el año 1381 con autorización del rey Pe-dro IV el Ceremonioso, pero no hay certeza de la altura real, puesto que el nivel de la calle ha variado varias veces.

283


IMAGEN 3.24 El miguelete

Analizaremos ahora las dimensiones en planta del contorno y de los espacios interiores. Considerando como perímetro el indicado con lí-nea de puntos, al lado corresponden, según Juliá, 225/8=28,125 pal-mos y descontando las pilastras de las aristas del lado del octógono ba-se, sería:

28,125O2(2,5!sin22,5°)=26,2116!palmos=6,028!metros

Por otra parte, partiendo de la circunferencia de 26,87 metros de diá-metro, dos cuadrados inscritos dan lugar a situar una circunferencia in-terior de 26,87/λ=20,564 metros y al nuevo octógono interior corres-ponde un lado de

!20,5654

θ 2= 6,02349 metros = 26,87

2λ3

La diferencia en el cálculo según hipótesis, ya sea siguiendo la nor-ma de Ecochard o la idea del constructor, es menor de 5 milímetros, es decir coincidente.

Prácticamente, coinciden estas cifras con las que figuran en el levan-tamiento realizado en 1980 por el Servicio de Restauración Arquitectó-nico del Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo.

Los trazados geométricos no acaban con el perímetro de la torre. Las tres estancias han sido dimensionadas según la geometría específica del octógono. El recinto superior o del cuarto cuerpo queda limitado por los lados del octógono estrellado que se apoya en los ocho vértices del contorno exterior. El espacio del tercer cuerpo es un octógono regu-lar inscrito en la circunferencia de diámetro igual al lado 6,023 metros, al que corresponde un lado de 2,30 metros o 10 palmos. Finalmente en el segundo cuerpo el octógono está definido por dos cuadrados inscri-

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tos en la circunferencia central. A la norma de trazado se unen lógica-mente las relaciones numéricas entre ellas y con el octógono exterior.

En el cuerpo inferior no hay más hueco que la escalera de caracol y el acceso hasta ella.

Como en toda construcción que responde a un trazado geométrico las dimensiones, en general, no corresponden a un número entero de unidades. Aparecen en casos particulares y en detalles, como en las pi-lastras con lados de 1,5 y 2,5 palmos.

El trazado aplicado a esta torre, aunque parta de una circunferencia de doble diámetro y defina elementos distintos, resulta igual al aplicado en la torre de la muralla de Jerez de la Frontera y similar a la de Bada-joz

285


FIGURA 3.82 Primer cuerpo FIGURA 3.83 Segundo cuerpo

Las crónicas insinúan que Juliá adoptó libremente las dimensiones de la torre. Así el octógono de 225 palmos de perímetro estaría inscrito en una circunferencia de diámetro:

225/8!2λ=73,49!palmos=16,90!metros

El servicio de Restauración del Ministerio de Obras Públicas y Urba-nismo, establece esa longitud de 16,90 m, al diámetro de la circunferen-cia que engloba al primer tramo del Cimborrio de la Catedral. Luego no fue arbitrario el tamaño elegido, sino que adoptó el establecido un siglo antes en el proyecto de la Catedral.

Quedaría por analizar la relación entre estas formas y la trama geo-métrica del templo.

286


FIGURA 3.84 Tercer cuerpo FIGURA 3.85 Cuarto cuerpo

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FIGURA 3.86 Comparación entre la torre de El Miguelete y el Cimborrio de la Cate-dral

Torre Campanario “El Fadrí”, Castellón de la Plana

Torre octogonal concebida con criterio similar al utilizado en la com-posición de El Miguelete, en cuanto a espacios intermedios y cuerpo de campanas, pero con distinto remate final.

Según el levantamiento realizado por los arquitectos Francisco Gran-de y J. Ignacio Gil-Mascarell en el año 2001 para su restauración, el la-do del octógono es de 4,74 metros, aunque hay diferencias entre unas caras y otras.

El perímetro puede considerarse como un octógono regular inscrito en una circunferencia de diámetro 12,40 m≅13,435 cos22,5° o tam-

288


IMAGEN 3.25 El Fadrí

bién definido por dos cuadrados inscritos en la circunferencia de diáme-tro de 13,435θ/2=16,21 metros, siendo λ la relación entre estas dos cir-cunferencias.

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FIGURA 3.87 El Fadrí

Se confirma, como en todos los casos anteriores, que la forma final es el resultado de sucesivas inscripciones o circunscripciones partiendo del modelo generalizado.

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FIGURA 3.88 El Fadrí

Antigua Capilla del Convento de San Pío V, Valencia

El edificio de San Pío V fue proyectado en 1683 por el arquitecto va-lenciano Juan Bautista Pérez Castiel, quien también realizó en Valen-cia algunas obras destacadas, como el presbiterio de la Catedral y la fa-chada de la iglesia de San Andrés. En 1924 se ordenó la demolición del tambor y cúpula de la iglesia. De esta demolición permanecen tres octa-vos del antiguo espacio octogonal. Tras la restauración reciente, realiza-da por Álvaro Gómez-Ferrer y Manuel Portaceli, este cuerpo octogo-nal sirve de acceso al Museo de Bellas Artes. Se han conservado tal y como eran las columnas y pilastras primitivas, diferenciándolas clara-mente de las que han tenido que ser repuestas.

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IMAGEN 3.26 Vista del actual Museo de San Pío V en Valencia.

En este caso hemos dispuesto de un plano acotado en metros, que nos ha facilitado la transcripción a palmos valencianos. Podemos com-probar cómo la mayoría de las cotas corresponde a un número entero de palmos: 8,30,metros,=,36,palmos;,1,39,metros,=,6,palmos

El trazado geométrico que liga unos elementos con otros es muy complejo. De él surgen muchas re-laciones, unas consecuencias de las otras, quedando la duda de cual depende de otra u otras. La obser-vación de las figuras nos puede proporcionar una visión más clara del entramado existente que la des-cripción de trazados aisladamente.

Pérez Castiel, arquitecto con amplios conocimientos como ha dejado entrever en sus obras, com-puso este espacio articulado según la geometría del octógono. Es una composición geométrica barroca que en cierto modo se apoya en las diagonales como los clásicos.

En el análisis hemos podido apreciar que la circunferencia ini-cial y fundamental del trazado es una circunferencia de 26,87 me-tros de diámetro, pero aquí Pérez Castiel no actúa inscribiendo cua- FIGURA 3.89

292


drados u otras figuras. Sus conocimientos le llevan a utilizar formulas originales.

Teniendo el dato cierto de que cada uno de los ocho lados interiores mide 8,30 metros= 36 palmos valencianos se puede comprobar que:

8,3026,87 = sin18°

O dicho de otra forma: esa longitud corresponde al lado de un decágo-no regular inscrito en la circunferencia de 26,87 metros de diámetro.

Por tanto el contorno de la planta se compone de ocho lados de 8,30 metros, cuerda correspondiente a 36º de ángulo central y otros ocho de 2,108 metros, cuerda del ángulo de 9º.

Es evidente que la composición se basa en la circunferencia tipo, pe-ro en el proyecto se aplican conocimientos distintos a los tradicionales, aunque puedan encontrarse semejanzas en otras construcciones conoci-das.

Una vez situados los 16 puntos clave en la circunferencia, trazan-do ordenadamente rectas horizontales, verticales o inclinadas 45º, que-da plasmado un octógono estrellado. Nótese que los vértices quedan al exterior, de forma similar a como evidencia Ecochard que ocurre en el Mausoleo de Diocleciano en Split (Croacia).

La circunferencia que los contiene tiene por diámetro

!26,87cos4,5° + 2,108 1tan22,5 = 31,876

!y la interior!31,876 1λ 2

= 17,25 metros

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define un octógono en cuyos lados se sitúan los pilares centrales. Las diagonales de estos grandes rombos miden

!31,876

2 = 15,933 metros!y!15,933 tan22,5° = 6,6 metros

Las paralelas trazadas a los lados de cada rombo por los puntos en que se cortan a la circunferencia de 26,87 metros originan otros rom-bos menores que determinan las posición y tamaño de las pilastras y pi-lares.

FIGURA 3.90 Planta octognal de San Pio V inscrito en la circunfe-rencia de 26,87 metros de diámetro

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Teniendo en cuenta la escala de la Figura 3.92 puede parecer que esos rombos menores son iguales, pero analíticamente se obtiene que la diagonal menor del rombo que fija los pilares miden 2,384 metros mientras que el apoyo de las pilastras perimetrales es 2,108 metros co-mo se dijo anteriormente.

La medición in situ de las molduras de pilastras y pilares al ser trasla-dadas al plano (Figura 3.91) pone al descubierto nuevas relaciones en-tre ellas y con el resto del edificio.

Ha quedado justificado que todos sus elementos han sido obtenidos siguiendo normas geométricas elementales a partir de la circunferencia de 26,87 metros.

FIGURA 3.91 San Pio V, planta con pilares y pilastras

295


FIGURA 3.92 Detalle de pilastra y pilar

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Elementos Decorativos

C A P Í T U L O 4

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Se encuentran formas octogonales en muchos elementos decorati-vos de todas las épocas y culturas. En nuestro entorno podemos ha-llar ejemplos en construcciones árabes y mudéjares como azulejos, mosaicos, relieves de yeso, techos, portadas de libros, etc. Geométri-camente son más complejos que los edificios con plantas centraliza-das, pues tratan de enlazar formas elementales para llenar un espa-cio.

Aunque existen muchas publicaciones sobre el tema, un compen-dio de artículos y trabajos de don Antonio Prieto y Vives “El arte de la lacería” editado por el Colegio de Ingenieros de C. C. y P, en 1977 proporciona amplia información de diversas aplicaciones y re-laciones geométricas. Trata de lacerías, mosaicos o construcciones de madera y mocárabes.

En la mayoría de estos mosaicos o figuras aparecen octógonos es-trellados compuestos por dos cuadrados girados, situados en puntos estratégicos de la composición. Las circunferencias circunscritas o inscritas a estas estrellas están ligadas a otras, que pueden contener figuras distintas, según leyes sencillas pero que dan lugar a composi-ciones de apariencia compleja.

Los esquemas aquí planteados pueden asimilarse a plantas de edi-ficios analizados anteriormente, o bien existen semejanzas con algu-nos. Un análisis de más casos podría confirmar la existencia de mo-delos e invariantes repetidos sistemáticamente, según lugares y épo-cas, con los matices aportados por su autor.

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Mosaico Toledano

Este mosaico del siglo XIV está compuesto por piezas vidriadas que van formado figuras que se repiten. Se compone básicamente de dos ti-pos de figuras centradas en torno a octógonos estrellados, todos ellos verdes, formados por dos cuadrados girados. Alrededor de ellos se agru-pan ocho hexágonos alargados, o bien ocho puntas de flecha, figura a cuyo centro llamamos O, mientras designamos C a la anterior.

IMAGEN 4.1 Mosaico Toledano

300


Los octógonos no solo aparecen como centros de esas figuras con centro en O ó en C, sino que todo el conjunto responde a un trazado basado en el octógono. Estos puntos O y C pueden considerarse base de una trama cuadriculada o como centros de circunferencias de diá-metro M, distancia entre puntos del mismo nombre.

FIGURA 4.1 Mosaico Toledano

301


En un módulo de centro O y vértices C, o en uno de centro C y vér-tices O , las diagonales y los cuadrados inscritos definen los centros de una serie de circunferencias menores donde se inscriben octógonos es-trellados, puntos de lanza o sitúan otros puntos fundamentales de la composición. La disposición de estas circunferencias, tangentes o secan-tes, con centros sobre diagonales.

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Dos cuadrados inscritos, dibujados en su totalidad o parcialmente, en las circunferencias originan las estrellas, puntas de lanza u otras figu-ras intermedias. Un módulo de centro O ha sido regruesado con color para mejor compresión del resultado, aunque en realidad no hay una ley clara para asignar los colores a cada elemento.

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FIGURA 4.3 Mosaico Toledano (módulo)

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Tres Mosaicos de la Alhambra de Granada

La Alhambra contiene gran variedad de modelos de mosaicos, azule-jos y otros elementos decorativos. Algunos ocupan paramentos de gran extensión agrupando figuras distintas en forma, tamaño y color dentro de una idea general de la composición, como puede verse en la sala de Embajadores del palacio de Comares. Sin embargo vamos a estudiar tres ejemplos que decoran pilastras que podrían ampliarse indefinida-mente para cubrir un espacio más amplio.

El primer mosaico se encuentra en el umbral del arco de acceso a la sala de Dos Hermanas hay una estrecha faja alicatada que responde a un riguroso trazado geométrico. Teniendo en cuenta esa base geométri-ca que lo caracteriza, se ha hecho el estudio como si el módulo fuese

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IMAGEN 4.2 Mosaico de acceso a la sa-la de Dos Hermanas.

parte de un todo homogéneo, puesto que parece haber sido concebido para ser repetido sin limitación.

Considerando la figura prolongada indefinidamente se observan unas figuras, a modo de flor, unas de dieciséis hojas con centro O y otras menores, de ocho hojas y centro o, inscribibles en circunferencias, y cuyas dimensiones responden a una fórmula geométrica concreta. Só-lo cabe libertad para elegir una dimensión, las demás son función de ella.

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FIGURA 4.5 Fotomontaje de la repetición del módulo base

Modulo base o azulejo

El conjunto admite dos tramas ortogonales, una de líneas horizonta-les y verticales y otra girada 45º. Las líneas de estas tramas son tangen-tes a las circunferencias o prolongación de los lados de octógonos regu-lares inscritos en ellas. La trama horizontal contiene cuadrados despla-zados y la girada, además de esos, está formada por otros menores y rectángulos. El tamaño de las circunferencias ha sido elegido arbitraria-mente y la distancia entre los centros y as tramas consecuencia de ellas.

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FIGURA 4.6 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas

Ampliando la figura, y eligiendo arbitrariamente un centro O y el ra-dio de la circunferencia, se puede situar el otro centro O y dibujar la parte de tramas (roja y verde) próximas. Los radios de ambas circunfe-rencias, cada 22,5º, cortan a la mediatriz de O O en los puntos c, o, o y c.

Cada punto o es el centro de un octógono definido por los lados de la trama roja y tres de la inclinada. Los lados que faltan son paralelos ya sea a O c o bien a O O y marcan el ancho de las bandas de las hojas y el lado de los cuadrados girados con centro en o y c.

Teniendo en cuenta que las estrellas resultantes en O se deben a la intersección de las dieciséis bandas, las seis circunferencias de centros O , o y c son una ayuda fundamental para completar la composición.

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Prescindiendo de las líneas de trama quedan las circunferencias bási-cas y las líneas que separan las piezas del mosaico.

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Aunque en el original no se aprecian bien los colores, se ha regruesa-do la parte interior de cada pieza para mejor comprender la realidad. Puede parecer que ciertos elementos de la figura están desproporciona-dos, pero debe tenerse en cuenta que éste es el trazado geométrico teó-rico, mientras que en el original las piezas no se ajustan perfectamente.

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Se ha comprobado que el conjunto queda perfectamente ajustado partiendo del radio de las circunferencias mayores. Analíticamente se puede calcular cualquier otra para obtener radios, distancias, etc. Para quien tenga curiosidad se muestran los cálculos de elementos que inter-vienen.

Considerando el radio Rı = 1 de las circunferencias mayores y que

!θ = 1 + 2; 1θ = 2 − 1

!λ = θ2

;

!cos22,5° = λ2

; tan22,5° = 1θ

se pueden establecer las siguientes fórmulas:

Oc = a = 1 + cos22,5° = 1 + λ2

; b = 1 + cos22,5°2

= 12

+ λ2

Oo = 1 + cos22,5°2

1cos22,5° = 1

λ + 12

; d = 1 + cos22,5°2

tan22,5° = ( 12

+ λ2 ) 1

θ;

Y de ahí;

!R2 = Oo − 1 = 1λ + 1

2− 1 = 1

λ − 1θ 2

;

!A = R2cos22,5° = ( 1λ − 1

θ 2 ) λ2

= 12

− λ2θ ;

311


!x = d − A = ( 12

+ λ2 ) 1

θ − ( 12

− λ2θ ) = λ − 1

θ ;

El diámetro de las circunferencias menores, o bien el ancho de las bandas es igual a 0,12698 del diámetro de la inicial D = 2R1

312



Aunque existen paramentos cubiertos con figuras derivadas del decá-gono o hexágono en grandes salas, vamos a centrarnos en pequeñas piezas generadas mediante trazados octogonales. Es evidente que cada una contiene octógonos íntimamente enlazados, aunque para conse-guir el resultado final se haya alterado la norma en ciertos detalles.

313


IMAGEN 4.3 Segundo mosaico de La Alhambra

En el análisis de este segundo mosaico, se aprecia que en la circunfe-rencia grande (roja), tangente a los ejes de cada recuadro, dos cuadra-dos definen uno de los octógonos básicos. Además en centro y vértices de cada elemento hay un pequeño octógono estrellado. ¿Qué tamaño tienen las circunferencias circunscritas a esas estrellas y qué ancho de-ben tener las bandas de los lazos respecto a la figura total? Vamos a comprobar que está todo perfectamente ajustado, y que no queda nada al azar.

314


FIGURA 4.11 Modulación del segundo mosaico de La Alhambra

Si en una circunferencia se inscriben dos cuadrados y un octógono estrellado, el espacio limitado por los lados paralelos de una y otra figu-ra corresponde a una banda del conjunto. Esta circunferencia puede considerarse como módulo o unidad fundamental de la composición. El radio de la circunferencia mayor (roja) es igual a λ√2, si el diámetro de las menores es 1. Puede observarse que todas estas circunferencias que engloban octógonos, y otras figuras o vértices de lazos están adosa-das según el lado de un octógono regular inscrito. La distancia entre los centros de dos contiguas es λ/√2, salvo las situadas en vértices del cua-drado.

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FIGURA 4.12 Estrella y ancho de bandas

La posición relativa de los 21 círculos o módulos se repite, no solo en otros mosaicos, sino también en algún edificio.

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FIGURA 4.13 Núcleos coordinados

Los dibujos ampliados de la unión de varios módulos demuestran el perfecto acoplamiento de módulos y bandas. También se puede obser-var que en los cruces, junto a las figuras pentagonales, se altera el ángu-lo de 45º en más o en menos 7,5º.

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FIGURA 4.14 Liberación de los 45º, alteración

En este mosaico se analiza sólo la estrella de ocho puntas y su entor-no, pues el resto aparenta seguir la misma pauta y dispone figuras ele-mentales idénticas en variadas posturas.

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IMAGEN 4.4 Tercer mosaico

Los círculos de las bandas y centro de figuras están distribuidos co-mo en el mosaico comentado anteriormente. La distancia entre el cen-tral y los de los lados es λ√2 y a los de vértice 2λ. Con estos nueve mó-dulos se puede componer todo el conjunto, no haciendo falta situar otros intermedios que también contienen figuras parciales, puesto que los quiebros de las bandas se apoyan en las bisectrices de los ángulos de 45º.

También se podría haber utilizado circunferencias mayores y nuevos módulos para seguir completando el modelo.

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FIGURA 4.15 Norma de composición

Azulejo en la Mezquita de Córdoba

En la mezquita de Córdoba están expuestos varios azulejos y mosai-cos protegidos por cristal, lo que dificulta su fotografía. De todos ellos, interesa un conjunto compuesto por cuatro piezas idénticas que for-man una figura central de dieciséis hojas rodeada por un conjunto de estrellas y figuras menores ordenadas rigurosamente, aunque de forma más compleja que en las dos anteriores. Podría decirse que se basa en trazados utilizados en los ejemplos de la Alhambra. Por la forma en que terminan los bordes se intuye que esta figura tendría o podría te-ner continuidad.

El núcleo central, como composición, es similar a la imagen 4.4, al que se han añadido las bandas de lazos. Por la forma vamos a estable-cer las relaciones geométricas del conjunto de las cuatro piezas que des-pués se aplicará para detallar una de ellas.

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IMAGEN 4.5 Azulejos expuestos en la Mezquita de Córdoba.

FIGURA 4.16 Azulejo en la Mez-quita de Córdoba

En los lados de los dos cuadrados inscritos en la circunferencia tan-gente a los bordes se encuentran los centros de la mayor parte de las cir-cunferencias modulares. Las situadas en el centro de los lados definen la repetida estrella y el ancho de bandas. Los vértices del octógono ins-crito en la circunferencia cuyo diámetro es el lado del octógono concre-tan la posición y tama-ño de circunferencias modulares, tangentes entre sí, que contienen figuras similares a pun-tas de lanza. Ese diáme-tro obtenido por tan-gencia es único para to-das la circunferencias modulares, y como siempre a efectos métri-cos, se considera la uni-dad. No acaban aquí las relaciones geométri-cas, puesto que la cir-cunferencia central tan-gente a las otras cuatro tiene un radio igual a λ√2. Volvemos a encon-trar la misma relación que en los mosaicos de la Alhambra y de San Pío V. Resumiendo, las circunferencias de la figura tienen diámetros 1, 2λ, 2λ√2 y la exterior 2λθ√2.

El conjunto de lazos y figuras resultantes se obtiene procediendo or-denadamente a partir de la norma que marca los módulos y la inclina-ción correspondiente de 45º ó 22,5º.

321


FIGURA 4.17 Azulejo en la Mezquita de Córdoba

Se ha realizado el análisis gráfico del conjunto de las cuatro piezas, puesto que forman una unidad definida, pero de ella se desprende una clara composición de cada pieza independiente. El octógono regular es-trellado inscrito en la circunferencia circunscrita a cada cuadrado con-tiene los centros de las circunferencias modulares, cuyo diámetro es igual al lado del octógono central.

322



Se puede expresar el diámetro de todas las circunferencias en fun-ción del lado L de cada baldosa

!D = 2L; D1 = Lλ2 ; D2 = L

θ ; D3 = L2λ3

En las figuras que presentan el conjunto aparece otra central de ra-dio D2

323



FIGURA 4.20 Superposición

De la superposición en el conjunto de las circunferencias circunscri-tas y los octógonos estrellados se pueden deducir, por abstracción, dis-tintas figuras. Se ha aislado una trama rítmica formada por cuadrados y rectángulos de distinto tamaños relacionados según, θ,√2,λ.

En el Mexuar (Alhambra) existe un mosaico que contiene una serie de centros idénticos a estos de Córdoba. Con estos núcleos no se po-dría extender la composición indefinidamente. Por ello aparece una fi-gura nueva para enlazar el conjunto.

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FIGURA 4.21Trama rítmica

La Alhambra: Relieve

En la entrada del Mexuar, en los dos paneles laterales, se encuentra esta composición en relieve. Como en los mosaicos, la posición relativa de las “estrellas” comprende una serie de esvásticas entre ellas.

El biselado de aristas puede confundir para establecer la geometría subyacente. Recuerdo haber visto en algún tratado un trazado similar a la Figura 4.22. En él las circunferencias de radio 1 y θ concéntricas con cada estrella son tangentes entre sí alternativamente. Esta relación indi-ca que el diámetro de las circunferencias modulares es igual al lado del octógono circunscrito a la circunferencia mayor. En esta representación

IMAGEN 4.6 La Alhambra, entrada a la sala Mexuar.

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se observan asimetrías en las puntas de los elementos que forman las es-vásticas.

Al tratar de igualar todas las puntas con las de los octógonos estrella-dos, manteniendo el mismo radio unidad, aparentemente se pierde la relación con el octógono y con la circunferencia inscrita en el cuadra-do, pero en realidad la relación persiste de otra forma. El diámetro de las circunferencias modulares es igual al lado del octógono regular ins-crito en la circunferencia de diámetro 2λ y la posición relativa de los centros de los módulos es idéntica a la ya descrita en mosaicos de la Al-hambra.

326


FIGURA 4.22 Relieve en la entrada a la sala Mexuar

¿Cuál de las soluciones es correcta? Dados los antecedentes de los mosaicos analizados, se estima que esta segunda propuesta debe ajustar-se más a la realidad, además de conseguir figuras homogéneas.

Evidentemente, existe diferencia en el planteamiento de ambas solu-ciones: las circunferencias inscritas en los cuadrados son desiguales si mantenemos iguales las circunferencias circunscritas a las “estrellas”. El diámetro de éstas es igual al lado del octógono circunscrito en la figu-ra de arriba, mientras que en la de abajo lo es al inscrito ya que

!L8cir = dθ ; L8ins = d

2λ ;

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FIGURA 4.23 Relieve en la entrada a la sala Mexuar

Aunque el primer esquema no corresponde a esta composición de la Alhambra, ha sido utilizado en otras ocasiones. En la fuente del Museo de Cerámica Gonzalez Martí en Valencia (Figura 2.15) la posición rela-tiva de las estrellas es idéntica. Según la unidad elegida allí el diámetro de los círculos menores es 2θ y el de los mayores 2θ2.

FIGURA 4.24 Fuente del Museo de Cerámica Gonzalez Martí, Va-lencia

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La Alhambra: Techo de Madera

En la galería de la torre de las Damas se puede ver un techo de ma-dera, como puedan ser otros muchos de Granada, que está trazado si-guiendo rigurosamente las propiedades del octógono, así como las rela-ciones de inscripción de figuras.

El conjunto se compone de una cúpula en el centro y de una compo-sición plana de lacería. Solamente analizaremos un bello fragmento sus-ceptible de prolongarse infinitamente.

Varias figuras compuestas por lazos están limitadas por cuadrados gi-rados. Para establecer la esencia geométrica que determina cada figura y su relación con las restantes se considera en principio solo el eje de ca-da par de listones.Tal y como se ha hecho con los mosaicos y azulejos,

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IMAGEN 4.7 Vista general del techo de la Torre de las Damas

se ha buscado la geometría de su construcción, siendo secundaria la di-mensión. No sabemos ni hemos subido a comprobar dimensiones, pero se ha establecido, a priori, la proporción entre huecos y anchos de listo-nes o bandas de madera. Estimando como unidad el hueco entre dos listones contiguos y asignando a estas 4 unidades más 8 al espacio entre dos bandas paralelas, quedan 17 unidades como distancia de separa-ción entre ejes paralelos. Hasta ahí la hipótesis, pero, como puede apre-ciarse en las distintas fases de la construcción se generan circunferen-cias cuyos radios 12, 29, 41, 70, 99 ó 140, son cifras pertenecientes a las sucesiones de Pell. Todo ello hace suponer que la hipótesis de pro-porción es válida.

FIGURA 4.25 Fragmento del techo de madera de la ga-lería de la Torre de las Damas

330


Los ejes de las bandas que concurren en el centro de cada figura son tangentes a la circunferencia de 17 unidades de diámetro o bien coinci-den con los lados de cuadrados inscritos en la de 24, o sea 12 unidades de radio, ya que 24=17√2.

FIGURA 4.26 Fragmento del techo de madera de la galería de la Torre de las Damas

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Cada uno de los módulos, que se repiten, está limitado por un cua-drado de 140 unidades de lado al que inscribe o circunscribe otras cir-cunferencias y a éstas otros cuadrados. La circunferencia circunscrita de diámetro 140√2=198 y la de 41=29√2 indican puntos de cruce.

FIGURA 4.27 Fragmento del techo de madera de la Torre de las Damas

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Conocida la dimensión real D de la distancia entre ejes paralelos es directo el cálculo de cualquier elemento, pues multiplicando por

2; θ2

; θ; θ2

2; θ2; θ2 2; 2θ2; etc .

se obtienen los diámetros de las circunferencias antes mencionadas o los cuadrados relacionados con ellas.

333


IMAGEN 4.8 Fragmento del techo de madera

Aplicando esas relaciones en la Figura 4.28 se muestran los ejes de lacería y las circunferencias de radio 12, 70 y 128 (140-12) unidades en rojo, más otras en azul de 29 unidades.

334


FIGURA 4.28 Ejes de lacería y las circunferencias

La Figura 4.29 presenta los cuadrados inscritos que marcan zona con las circunferencias. La circunferencia circunscrita al cuadrado ma-yor sería la de 140 unidades.

335


FIGURA 4.29 Cuadrados inscritos

La superposición de los lazos de madera con las circunferencias (Fi-gura 4.30) justifica la hipótesis.

FIGURA 4.30 Superposición

336


Otras Aplicaciones

C A P Í T U L O 5

338


Los trazados aplicados para componer edificios o elementos deco-rativos descritos anteriormente muestran diversos matices en el pro-cedimiento dentro de la norma geométrica. Podría afirmarse que no existen dos modelos exactamente iguales. Por ello vamos a aña-dir cinco ejemplos en que se han encontrado detalles dignos de ser analizados.

Algunos trazados nos pueden enseñar cómo integrar zonas visual-mente apartadas o la aplicación reiterada de inscripciones. Como casos curiosos, se incluye una edificación de planta heptagonal y el análisis parcial del complejo Templo de Minerva Médica decagonal relacionada con formas octogonales.

339


Tumba de Isa Han, Delhi (India)

El conjunto está constituido por tres elementos perfectamente coordi-nados geométricamente. Está limitado del exterior por una muralla con ocho torres en los ángulos. A continuación un murete, también oc-togonal, matiza los espacios libres quedando en el centro el edificio (Imagen 5.1) que alberga la tumba.

Las dimensiones, deducidas de una escala gráfica y comparadas con el mausoleo de Humayun son sólamente aproximadas, pero contribu-yen a apreciar el tamaño real. El diámetro de la circunfeencia exterior

340


IMAGEN 5.1 Isa Khan tumba de Niyazi

que contiene a los ejes de las ocho torres se estima en 660 vitasti, equi-valentes a 140,28 metros. De ahí se puede deducir las dimensiones de todos los componentes, aplicando las fórmulas y coeficientes estableci-dos para composiciones de este tipo

341


FIGURA 5.1 Planta del conjunto de Isa Han

El analisis de la Figura 5.2 indica que la distancia entre torres, lado del octogono inscrito, es igual a

6602λ = 252,6 vitasti!

342


FIGURA 5.2 Análisis de Isa Han

La circunferencia interior tiene por diametro

660θ = 252,6

cos22,5 = 273, 4!v

y el lado del octógono

660θ2 = 273,4

θ = 113,24!v

343



Es evidente que se pueden utilizar varios caminos para llegar a arti-cular el todo. De la Figura 5.3 se desprende que el octógono de la cara interior del muro perimetral está inscrito en la circunferencia de diame-tro

660 cos22,5 = 660 λ2

= 233,5!v.

cuyo lado es igual a

L = 609,762λ = 660

2 2= 233,5!v.

El octógono central queda inscrito en la circunferencia de diámetro

609,762 = 304,88!v.

Es decir, tendrá

304,882λ

= 116,7!v.

de lado, algo mayor que 113,24 v. obtenido anteriormente. No es un error, son los bordes de la acera o plataforma que circunda el murete.

En la Figura 5.4, utilizando otra forma de establecer las relaciones geométricas, vuelve a aparecer el octógono de 116,7 vitasti de lado, ins-crito en la circunferencia de 304,88 vitasti de diámetro, más un octógo-no de 48,34 vitasti de lado, límite del espacio ocupado por el edificio principal o Tumba de Isa Han. Puede comprobarse que

233,3548,34 = 2θ

344


La composición en que el edificio funerario aparece en el centro de un espacio libre, limitado de forma variada del exterior, la encontra-mos también en el mausoleo de Humayan, próximo a este, tanto en ele terreno como en el momento de su construcción, y el Taj Mahal cons-truido un siglo después.

345



Madrasa Büyük Aga, Amasya (Turquía)

Fue construida en el año 1488 durante el mandato del sultán Bayeiz II. Siguiendo la norma de otras madrasas sitúa las celdas de los estu-diantes en torno a un patio octogonal, con un solo iwan en el lado sur.

Si en otras construcciones octogonales se han evidenciado relacio-nes métricas en función de λ, θ ó √2, en ésta, donde se continúa inscri-biendo unas figuras en otras, se destaca la relación cos,22,5° aunque subsisten las anteriores. Considerando cos, 22,5°=K y que λ=2K2 se puede establecer el siguiente cuadro de relaciones métricas.

346


IMAGEN 5.2 Madrasa Büyük Aga

OA=1! OB=1

OD=K! OG=K

OE = K 2! OE=K2

OF = 2K ! OF=K4

OG = 2K2 ! OD = K4

2

OB = 2K3

! OA = K3

2

OC = 12K5

! OC = 12K2

OH = 12K3

! OI = 12K

OI = 12K4

! OH = 12K4

Las potencias de K indican las inscripciones sucesivas de octógonos en sentido creciente o decreciente y √2 que al menos ha habido una ins-cripción de un cuadrado.

Falta concretar las dimensiones reales de OA, o bien OB. No tene-mos certeza de la dimensión exacta, puesto que con la documentación disponible y escala gráfica no se puede precisar. No obstante, parece que la circunferencia exterior podría tener alrededor de 40 metros de diámetro o bien 70 andasse, siendo el andasse o pequeño pik igual a

347


68,712 cm. En medidas turcas un andasse equivale a 32 dedos, el doble de un pie que en general mide 16 dedos.

Esta hipótesis daría una circunferencia interior de un diámetro igual a 26,797 metros, longitud muy próxima a 26,87 metros que aparece en tantos edificios estudiados. Procediendo de forma inversa podíamos su-poner que este diámetro de 26,87 metros al que correspondería una cir-cunferencia exterior con 48,18 metros.

348


FIGURA 5.5 Madrasa Büyük Aga

Puede considerarse con seguridad que la dimensión de la circunfe-rencia exterior e interior son de 70 y 39 andasse, ya

7039 = 1,7948!!!y!!! √2

cos³22,5° = 1,7933

349


FIGURA 5.6 Madrasa Büyük Aga

El lector comprenderá fácilmente el trazado en el que se marca en negro las líneas que limitan muros, mientras aquellas que correspon-dan a octógonos inscritos solo para ayudar al montaje son coloreadas. Similar, tanto en forma como en tamaño, es la madrasa Rüstem Pasa en Cagaloglu (1550), donde se ocupan los espacios que quedan entre el octógono y el cuadrado exterior.

350


Taj Mahal y Mausoleo de Humayun

La idea fundamental de la composición de ambos edificios es simi-lar, aunque varíe en muchos detalles. En un recinto cuadrado situado en un gran parque, modulado según una trama rectangular, mediante sencillas inscripciones se concreta un espacio me-nor ocupado por el verda-dero monumento conme-morativo o funerario. Hasta aquí el trazado puede considerarse idénti-co pero se parte de distin-tas dimensiones. En el Taj Mahal 450 vitasti o 95,65 metros y en Hu-mayun 520 vitasti o 112,11 metros.

Dentro de los cuadra-dos centrales se disponen cinco circunferencias cu-yo fin es generar octógo-nos que determinan la trama reguladora. Crono-lógicamente, el mausoleo es anterior, pero geométri-camente el Taj Mahal es más directo, menos artifi-cioso.

351


IMAGEN 5.4 Taj Mahal.

IMAGEN 5.3 Mausoleo de Humayun.

En el Taj Mahal cuatro circunferencias son tangentes a la central en puntos de la diagonal. El diámetro de todas ellas es igual a un sexto de la diagonal del cuadrado de 450 vitasti, luego

!16 450 2 = 106,066

352


FIGURA 5.7 Taj Mahal: planta del conjunto

Al reconstruir la planta partiendo de esas circunferencias comproba-mos que cualquier elemento se apoya en vértices de la trama. El espa-cio octogonal central es justamente el doble de los cuatro octógonos que lo circundan. El detalle del trazado no necesita explicación, a pe-sar de su complejidad aparente, puesto que deriva de otros casos anali-zados.

353


FIGURA 5.8 Taj Mahal: trazado geométrico del edificio

354


FIGURA 5.9 Taj Mahal: detalle del trazado

En el mausoleo de Humayun las circunferencias básicas están sepa-radas; la prolongación de los lados del cuadrado inscrito en la central son tangentes a las cuatro de las esquinas y viceversa. Puesto que el la-do del cuadrado mayor es igual a 520 vitasti, llamando D al diámetro

D(1 + 1 + 12 ) y D = 260

1 + λ2 !v.

355


FIGURA 5.10 Mausoleo de Humayun: planta del conjunto

La determinación de pasos y retranqueos siguen los mismos criterios en ambos edificios. Responden a un criterio geométrico, el cálculo de la dimensión de cualquier elemento puede obtenerse a partir de cual-quier otro. Así

D = 5203 + θ = 96,043!vitasti

356


FIGURA 5.11 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur

357


FIGURA 5.12 Mausoleo de Humayun: detalle del trazado

Ermita de San Miguel “El Fort”, Nules (Castellón)

Construida a mediados del siglo XVIII por el arquitecto Antonio Gi-labert, autor también de la reforma académica de la catedral de Valen-cia. Se conserva el cuerpo central circular en el interior y heptagonal en el exterior. Ha sido rehabilitada recientemente por los arquitectos Francisco Grande e Ignacio Gil Martorell.

358


IMAGEN 5.5 Ermita de San Miguel

359


FIGURA 5.13 Plano de la rehabilitación

360


FIGURA 5.14 Ermita de San Miguel

No se ha encontrado relación de los diámetros de circunferencias circunscritos a estos polígonos con otras usuales en construcciones de planta centralizada. Sin embargo, y aunque parezca extraño, la suma de la longitud de los siete lados de ese heptágono interior es precisa-mente 26,87 metros, como se puede comprobar en uno de los planos para la rehabilitación. Las cotas oscilan entre 3,82 y 3,85 metros, luego se puede considerar como longitud del lado del heptágono

!26,87

7 = 3,838 metros

El diámetro de la circunferencia circunscrita a este heptágono será igual

3,838sen 25,71° = 8,84 ≅ 38,5 palmos

La medición sobre el plano a escala 1:50 da para el diámetro de la circunferencia interior una longitud igual a la apotema del heptágono de la cara exterior del muro. Ambos miden 6,9 m = 30 palmos.

Comprobando diámetros vemos que

!6,9

8,84 = 0,7805 ≅ cos38,57 °

y teniendo en cuenta que 38,57° es el complementario de (360°)/7=51,42° la circunferencia interior debe tener por diámetros 8,84 cos38,57°=30,06 palmos que coincide con la medición en el pla-no.

361


Esta relación permite afirmar que la mediatriz del segmento OB, es tangente en C a la circunferencia interior y

OA = OCcos38,57 °

= 15cos38,57°

19,18 palmos = 4,412 metros

O sea, al diámetro circunscrito al heptágono le correspondería 8,824 metros que difiere en menos de dos centímetros de la cifra consi-derada de 8,84 metros.

El heptágono circunscrito a la circunferencia de 60 palmos ó 13,82 metros tiene sus vértices en otra cuyo diámetro es

60cos25,71°

= 66,59 palmos = 15,316 metros

cifra aproximada a la medición en plano. OM = ON = 7,658 metros y el lado del heptágono MN=15,316 cos25,71°=6,645 m=28,9 palmos.

Realizada la construcción se observa que dos lados no contiguos del heptágono interior se cortan en un punto E tal que

OE = OA cos25,71 °cos51,42 °

= 6,375 metros

y siendo OP = 7,658 cos 25,71° = 6,916 metros, da la impresión que EP es igual al espesor del muro, puesto que 0,534 metros reales se ajus-ta también a la representación en el plano a escala y, 0,53 metros no lle-ga ni a dos palmos y medio.

Resumiendo: Los datos del heptágono interior suman 26,87 metros de longitud; dos circunferencias, en azul, ligadas por el heptágono estre-llado; dos circunferencias en rojo, una doble que la otra y una relación entre las dos menores según coseno del ángulo 38,57 °.

362


363


FIGURA 5.15 Ermita de San Miguel

Templo de Minerva Médica, Roma

El templo de Minerva Médica o de Galluce data del siglo IV y se en-cuentra muy deteriorado, conservándose la rotonda decagonal, pero sin la cúpula esférica ni el atrio y los cuerpos circulares.

El estudio del templo realizado por Auguste Choisy en el libro “L’art de bâtir chez les Romains” (Figura 5.16) muestra una planta muy con-creta de la zona central y esquemas que indican lo que pudo ser real-mente el templo completo. No aporta cotas que ayuden a valorar el ta-maño y normas de composición.

Doménico Fornaro en el articulo de libre disposición “Geometría delle Volte”, pagina 4, presenta fotografías del estado actual y plano con escala. La zona central, en negro, coincide prácticamente con el

IMAGEN 5.6 Templo de Minerva Médica

364


http://www.ulixes.it/italiano/i_pg01.html?http://www.ulixes.it/italiano/Architett_1.html




presentado por Choisy. Además un cuadro comparativo de diámetros de varias cúpulas asigna 23,90 m. al templo de Minerva Médica.

Spiro Kostof en “El arquitecto, historia de una profesión”, pagina 103, muestra una planta similar a la de Fornaro y a la planta analizada por Palladio (Figura 5.17) y donde aparecen completos los círculos con-tiguos al atrio.

FIGURA 5.16 Interpretación según Choisy

365


366


FIGURA 5.17 Análisis de Palladio

Por estar más definido el grabado y acotados sus elementos principa-les centraremos el estudio en esta versión. Suponiendo que el pie utiliza-do por Palladio sea de 0,357 metros, como dejó marcado en la logia de Vicenzo, podría considerarse que la dimensión equivale a la estableci-da por Fornaro, aunque deban aclarase ciertos matices.

En principio, en las cotas de Palladio aparecen algunos errores. A un diámetro de 70 pies no puede responder un decágono de 20,68 pies de lado puesto que

70 sen 18° = 21,63!!!!y! 22,68 sen 18° = 66,92

Este diámetro de 66,92 pies coincide con el asigando por Fornaro, pues

66,92!x!0,357=23,89

Stendhal, en una descripción estima que el lado del octógono mide 22,5 pies. Si pensaba en el pie de Paris de 0,3248 metros esa longitud sería algo menor que 7,305 metros y menor que 7,385 m. según Forna-ro.

Ante todos estos datos optamos por considerar como unidad al diá-metro de 23,90 m. lo que correspondería a 81 pies romanos antiguos o 67 pies de Palladio. Establecido el tamaño real, o aproximado, del edifi-cio puede analizarse la composición geométrica que relaciona todas sus partes (Figura 5.18). La prolongación de los lados del decágono inscrito en esa circunferencia interior, entre otras formas, origina un decágono estrellado inscrito en otra circunferencia de diámetro φ si aquella era 1. Otra circunferencia intermedia queda inscrita en un pentágono a su vez inscrito en esta última con diámetro:

367


φ cos 36 ° = φ²2

= 1 + φ2

Es decir, la semisuma de las dos anteriores. Nótese que en pentágo-nos y decágonos aparece la relación φ, de la misma forma que en octó-gonos se utiliza θ y λ.

La circunferencia exterior φ√2 podría ser igual a 53,74/cos11,5° análoga a la relación encontrada en la catedral de Florencia. Esta hipó-tesis daría al círculo interior 23,94 m (Figura 5.19) En los cuerpos late-

FIGURA 5.18 Composición geométrica

368


rales y en el atrio las dimensiones se originan apoyándose también en una circunferencia circunscrita de lado φ, o sea un diámetro φ√2. La abertura del atrio y los cuerpos laterales se deducen de segmentos igua-les a un decágono inscrito en la circunferencia exterior.

Hay que señalar que las hornacinas interiores de Palladio se parecen más a las de Fornaro, pero hay serias diferencias con las de Choisy.

FIGURA 5.19 Hipótesis de circulo interior de 23,94 m.

369


Cimborrio de la catedral de Tarazona (Zaragoza)

El modo de proceder geométricamente para componer los edificios descritos, ha sido utilizado además para organizar elementos o partes singulares de aquellos. Así como la capilla de San Aquilino, con traza-do propio, se integra en San Lorenzo de Milán, los cimborrios de las ca-tedrales responden a un trazado específico dentro de la idea general.

Tomando como base para el análisis el levantamiento que reali-zó en 1945 el arquitecto don Ma-nuel Lorente Junquera del cimbo-rrio de la catedral de Tarazona (Zaragoza) se ha encontrado un trazado con diversas inscripciones en circunferencias u octógonos, co-mo se mencionó al comienzo de es-te capítulo.

El estudio representa sólo un avance de las relaciones geométri-cas que puede contener. Al estar es-ta catedral en obras de restaura-ción no se ha podido acceder al in-terior para comprobar dimensio-nes. Según los planos de Lorente, entre los ejes de pilares puede haber una longitud de 31 pies aragoneses de 0,259 metros y de ahí que la cir-cunferencia exterior de la figura tendría 49 o 49,5 pies.Este cimborrio fue construido, según F. Chueca, entre 1543 y 1545 por Juan Botero que entre 1505 y 1520 había reconstruido el cimborrio y otras zonas

IMAGEN 5.7 Cimborrio de la catedral de Tarazona.

370


de la Seo de Zaragoza, cuyo esquema figura en la “Historia de la Arqui-tectura” de F. Chueca.

Al no tener datos exactos, se ha prescindido de detalles como colum-nas, cornisas etc., atendiendo esencialmente a indicar los ejes y líneas que limitan los distintos elementos, diferenciando cada sección horizon-tal mediante el color.

Estos octógonos son función de la disposición de columnas del tem-plo, luego difícilmente podían estar relacionadas con las constantes de Ecochard. Sin embargo, queda la duda de poder establecer, con más datos, un esquema para definir cada elemento como el empleado para fijar pilares y pilastras en San Pío V en Valencia.

FIGURA 5.20 Cimborrio de la catedral de Tarazona

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372


Unidades Métricas Locales

C A P Í T U L O 6

TABLA 6.1

ROMAROMAROMAROMA GRECIAGRECIAGRECIAGRECIAGRECIAGRECIA

UNIDAD cm. Rel. Rel. UNIDADAticas

cm.Desp.Solon

cm.Feidonicas

cm.Jonicas

cm. Rel.

Digitus 1,85 3/4 1 Dactilos (dedo) 1,84 1,93 2,04 2,18 1

Uncia 2,49 1 --- --- --- --- --- --- ---

Sescuncia 3,73 1,5 2 Konaylos 3,68 3,85 4,09 4,36 2

Palmus 7,47 3 4 Palaiste (palma) 7,36 7,71 8,17 8,72 4

Triens 9,96 4 --- --- --- --- --- --- ---

Quincuns 12,45 5 --- --- --- --- --- ---

Semis 14,94 6 8 Dijas (medio pie) 14,71 15,41 16,34 17,43 8

Septunx 17,43 7 --- --- --- --- --- --- ---

Bes 19,92 8 --- --- --- --- --- --- ---

Dodrans 22,41 9 12 Spizame (palmo) 22,06 23,12 24,52 26,15 12

Deunx 27,39 11 --- --- --- --- --- --- ---

Pes 29,57 12 16 Pois (pie) 29,42 30,83 32,69 34,87 16

Palmipes 36,94 15 20 --- --- --- --- --- ---

Cubitus 44,39 18 24 Pejis (codo) 44,13 46,24 49,03 52,30 24

Gradus 73,94 30 40 Bema aploin (paso) 73,55 77,07 81,72 87,16 40

Passus 147,9 60 80 Bema aiploin (doble paso) 147,10 154,13 163,44 174,33 80

374


375


TABLA 6.2

ESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑAESPAÑA

UNIDAD

Visigoda Árabe Mozárabe Alicante Aragón Castilla Segovia ValenciaValencia CataluñaCataluña

UNIDAD cm. cm. cm. cm. cm. cm. cm. cm. Rel. cm. Rel.

Línea 0,3037 1/8

Dedo 2,076 1,96 1,90 1,618 1,74 1,89 ¾

Pulgada 2,768 2,61 2,77 2,53 2,15 2,32 2,32 2,52 1 2,43 1

Palma 8,30 7,85 8,31 6,96 6,98 3

Palmo 19,40 20,89 23,00 9 19,43 8

Pie 33,33 31,40 33,26 30,40 25,90 27,86 27,93 30,33 12

Codo 48,99 47,14 49,90 18

Codo Rassati 59,93 23

Vara 91,20 77,70 83,58 83,97 91,00 36 77,75 32

Cana 155,50 64

376


TABLA 6.3

ITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIAITALIA

UNIDAD

RomaRoma FlorenciaFlorencia BoloniaBolonia GénovaGénova MilánMilán NápolesNápoles SiciliaSicilia TurínTurín VeneciaVenecia Trento Trieste

UNIDAD cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. Rel. cm. cm.

Pulgada 2,47 2,43 1 5,33 1 2,76 1 4,958 1 2,19 1 2,87 1 4,27 1 2,89 1

Pie de Arquímedes 22,30

Palmo 22,34 1 21,87 9 24,8 9 26,35 12 25,81 9

Pie 29,60 29,20 12 34,70 12 36,11

Pie Liprando 43,50 51,30 12

Braccio 58,36 24 64,00 12 58,10 21 59,50 12 59,90 14

Braccio Mercantil 68,30 67,60

Canna 223,4 10 234,4 97 210,8 96 206,8 72

Pertica 330,7 216,70

377


TABLA 6.4

EGIPTOEGIPTOEGIPTOEGIPTOEGIPTOEGIPTO JUDEAJUDEAJUDEA TURQUÍATURQUÍATURQUÍA

UNIDAD cm. Rel UNIDAD cm. Rel. UNIDAD cm. Rel. UNIDAD cm. Rel.

Dedo 1,87 1 Dedo 2,18 1 Etaba (dedo) 2,18 1 Dedo 2,143 1

Palma 7,5 4 Palma 8,75 4 Tefah (palma) 8,75 4

Puño 105

1/3 Puño 11,725

1/3

Zarath (palmo) 26,2 12

Pie 30 16 Pie 35 16

Remen 37,5 20 Remen 43,6 20

Codo común 45 24

Codo real 52,5 28 Codo 52,5 24 Ammah (codo) 52,5 24

Andasse (pequeño Pik) 68,712 32

Halebi (gran Pik) 70,855 33

Braza 1800 960 Ganeh (cana) 315 144

378


TABLA 6.5

BABILONIABABILONIABABILONIABABILONIABABILONIABABILONIA MESOPOTAMIA/PERSIAMESOPOTAMIA/PERSIAMESOPOTAMIA/PERSIA

UNIDAD cm. Rel UNIDAD cm. Rel. UNIDAD cm. Rel

Dedo 2,2 1 Dedo 1,85 1 Dedo 1,65 1

Pulgada 2,6

Palma 8,8 4 Mano 9,25 5 Palma (mano) 8,25 5

Doble mano 18,5 10 Doble mano 16,5 10

Empan (1/2 codo) 26,4 12

Pex 30,83 14 Palmo 24,75 15

Pen 35,2 16 Pie 33 20

Kus 52,8 24 Codo 55,5 30 Codo 49,5 30

Paso 79,2 36 Paso 74,25 45

Perxa 316,9 144 Vara 333 180 Perxa 297 180

TABLA 6.6

ALEMANIAALEMANIAALEMANIA INGLATERRAINGLATERRAINGLATERRA FRANCIAFRANCIAFRANCIA RUSIARUSIARUSIA

UNIDAD cm. Rel UNIDAD cm. Rel. UNIDAD cm. Rel. UNIDAD cm. Rel.

Pulgada 2,615 1 Pulgada 2,54 1 Pulgada 2,707 1 Pulgada 2,54 1

Pie 31,39 12 Pie 30,48 12 Pie de Paris 32,48 12 Pie 30,48 12

Paso militar 64,96 24

Yarda 91,44 36 Paso ordinario 81,20 30 Arquina 71,12 28

Braza 182,90 70 Fathon 182,88 72 Toise (toesa) 194,90 72 Sagena 213,36 84

Percha 376,60 144

Pole o Perch 502,91 198 Pértica de Paris 584,81 216

379


380


TABLA 6.7

JAPONJAPONJAPON JAVA (INDOCHINA)JAVA (INDOCHINA)JAVA (INDOCHINA)JAVA (INDOCHINA)

UNIDAD cm. Rel UNIDAD cm. Rel. Rel.

Fahn 0,639 1

Inch 2,66 1

Sun 3,03 1

Tahk 6,39 10

Chakon 30,3 10 Foot 31,9 12 50

Cugira-chakon 37,9 13

Thuok 63,9 24 100

Ken 181,8 60

Dsu 378,75 125

Duong 639 240 1000

TABLA 6.8

BRASILBRASILBRASILBRASIL

UNIDAD cm. Rel

Pouto 1,916 1

Pulgada 2,554 1

Palmo 22,00 11,5

Linha 23,00 12 9

Vara 110,00 43

Braça 220,00 115 86

381


*Nombre de unidad equivalente en otros sitemas

TABLA 6.9

INDIAINDIAINDIAINDIAINDIAINDIA

UNIDAD cm. Rel Rel Rel Equivalencias*

Angulam 1,763 1 Dedo

Vitasti 21,256 12 1 Palmo

Padas 24,682 14 1

Aratmi P-hasta 42,312 24 2 Codo

C-hasta 49,364 28 2 Codo Real

Kamsa 56,416 32 2,5 Braza

Kishku 74,046 42 2,5 Paso

F-hasta 95,202 54

Danda 169,248 96 Toesa

Dhanus 190,404 108

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Bibliografía

ALARCÓN, RAFAEL. A la sombra de los Templarios. Madrid: Ediciones Martínez Roca, 1986.

ALSINA, Claudi, TRILLAS, Enric. Lecciones de Álgebra y Geometría: curso para es-tudiantes de arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili, 1984.

ARGAN, Giulio Carlo, CONTARDI, Bruno. Michelangelo architetto. Milano: Electa, 1990.

BACCANI, Gaetano, et al. Piante ed alzati interiori ed esterni dell' insigne chiesa di S. Maria del Fiore; Sgrilli, Bernardo Sansone, conte; Silvestri, Giovanni. La Metropolita-na fiorentina illustrata. Firenze: G. Molini, 1820.

BANGO TORVISO, Isidro G. El camino de Santiago. Madrid: Espasa Calpe, 1993.

BATTISTI, Eugenio. Filippo Brunelleschi. Milano: Electa, 1976.

BENEVOLO, Leonardo. Historia de la arquitectura del Renacimiento. Barcelona: Gus-tavo Gili, 1981.

BENEVOLO, Leonardo. Diseño de la ciudad: el arte y la ciudad medieval. Barcelona: Gustavo Gili, 1981.

BERCHEZ GÓMEZ, Joaquín [et al.]. Arquitectura Valenciana. En: Monumentos de la Comunidad Valenciana, vol. 10. Valencia: Conselleria de Cultura, Educación y Cien-cia, 1995.

BLACKWELL, William. La geometría en la arquitectura. México: Trillas, 1991.

BORSI, Franco, BORSI, Estefano. Bramante. Milano: Electa, 1989.

CASTEX, Jean. Renacimiento, Barroco y Clasicismo. Torrejón de Ardoz (Madrid): Akal, 1994.

383

César Pelli. Tokio: A+U Publishing, 1985.

CHING, Francis. Arquitectura: forma, espacio y orden. Barcelona: Gustavo Gili, 1982.

CHUECA GOITIA, Fernando. Historia de la Arquitectura Española: Edad Antigua, Edad Media. Madrid: Dossat, 1965.

CID ACEDO, Aurelio. The Alhambra in detail. Granada: Capitel, 1989.

COLL Y MARCH, J. Tratado práctico de Arquitectura, según Vignola-Palladio-Sca-mozzi. Barcelona: Ediciones Artísticas, 1931.

CRISTINELLI, Giuseppe. Baldassare Longhena: architetto del 600 a Venezia. Ve-nezia: Marsilio Editori, 1972.

DANZ, Ernst, MENGUES, Axel. La arquitectura de Skidmore, Owings y Merrill 1950-1973. Barcelona: Gustavo Gili, 1975.

ECOCHARD, Michel. Filiation de monuments grecs, byzantins et islamiques: une question de géométrie. Paris: Librarie Orientaliste Paul Geuthner, 1977.

FERNÁNDEZ, Inmaculada, REYES, Mª Encarnación. Geometría con el hexágono y el octógono. Granada: Proyecto Sur, 1989.

FRANKL, Paul. Principios fundamentales de la historia de la arquitectura. Barcelona: Gustavo Gili, 1981.

FURNARI, Michele. Atlante del Renacimiento: il disegno dell’architettura da Brune-lleschi a Palladio. Napoli: Electa, 1993.

GARCÍA, Simón. Compendio de arquitectura y simetría de los templos. Ed. facs. Valla-dolid: Colegio Oficial de Arquitectos, 1991.

GHYKA, Matila C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Barce-lona: Poseidón, 1983.

GHYKA, Matila C. El número de oro. I. Los ritmos. II. Los ritos. Barcelona: Posei-dón, 1984

KURENT, Tine. La coordinación modular de las dimensiones arquitectónicas. En: Bo-letín del Museo Arqueológico Nacional, 1985, vol. 3, pp.69-95.

LABACCO, Antonio. L’Architettura. Roma: Casa Nostra, 1559.

384


LAMPÉREZ ROMEA, Vicente. Historia de la arquitectura cristiana española en la Edad Media. Madrid: Espasa Calpe, 1930.

LAWLOR, Robert. Geometría sagrada. Madrid: Ediciones del Prado, 1993.

LETAROUILLY, Paul. Edifices de Roma moderne. Paris: Bance éditeur, 1860.

MAC DONALD, William L. The Pantheon: Design, meaning, and progeny. London: A.Lane, 1976.

MANN, A. T. Sacred Architecture. Shaftesboy. Dorset: Element Books Limited, 1993.

RICHARD, Meier, FRAMPTON, Kenneth; RYKWERT, Joseph. Richard Meier Ar-quitecto : 1985-1991. Barcelona: Gustavo Gili, 1992.

MURRAY, Peter. Arquitectura del Renacimiento. Madrid: Aguilar, 1972.

NAREDI-RAINER, Paul von. Architektur und harmonie: zal, mas und proportion in der abendlädischen baukunst. Köln: Dumont, 1995.

NAVASCUÉS PALACIO, Pedro, GUTIÉRREZ ROBLEDO, José Luis. Las catedrales de Castilla y LeónEn: Actas de los Congresos de la Fundación Cultural Santa Teresa, vol.1, septiembre 1992 y 1993. Ávila: Fundación Cultural Santa Teresa, 1994.

PEDOE, Dan. La geometría en el arte. Barcelona: Gustavo Gili, 1979.

PRIETO Y VIVES, Antonio. El arte de la lacería. Madrid: Colegio de Ingenieros de C.C. P., 1977.

ROSSI, G. G. Insignium romae templorum. Roma: J. J. Rubeis, 1684.

RUIZ DE LA ROSA, José A. Traza y simetría de la arquitectura. Sevilla: Universidad de Sevilla, 1987.

SEGUÍ DE LA RIVA, Javier. Los arquitectos geométricos. En: Revista Temas de Arqui-tectura, núms. 212, 213 y 214.

SERLIO, Sebastiano. Il primo libro d’architettura. París: J. Barbé, 1545.

SERLIO, Sebastiano. Tercero y cuarto libro d’architettura. Toledo: Ayala, 1573.

SERLIO, Sebastiano. Architettura di Sebastiano Serlio. Venezia: Combi, 1663.

SERLIO, Sebastiano. The five books of architecture: an unabridged reprint of the en-glish edition of 1611. New York: Dover, 1982.

385


SERLIO, Sebastiano. Tvtte l'opere d'archittetvra, et prospetiva. Venetia: Giacomo de' Franceschi. 1619.

SGRILLI, Bernardo Sansone. S. Maria del Fiore metropolitana fiorentina: in varie car-te intagliati. Firenze: S.P.E.S., 1733.

STIERLIN, Henri. Comprendre l’architecture universelle. Fribourg: Office du livre, 1977.

STIERLIN, Henri, ed. lit. Architecture of the world. Lausanne: Office du livre, cop. 1979.

UTRERO AGUDO, Mª de los Angeles. Iglesias tardoantiguas y altomedievales en la península ibérica. Análisis arqueológico y sistemas de abovedamiento. Madrid: CSIC, 2006.

VILLETTE, Jean. Le plan de la cathédrale de Chartres: hasard ou stricte géométrie?. Chartres, 1991.

WITTKOWER, Rudolf. Sobre arquitectura en la edad del humanismo. Barcelona: Gustavo Gili, 1979.

WUNDRAM, Manfred, PAPE, Thomas. Andrea Palladio: arquitecto entre el Renaci-miento y el Barroco. Colonia: Benedikt Taschen, 1993.

386


Indice Toponímico

Agra (India)Taj Mahal 351

Almazán (Soria, España)Iglesia de San Miguel 186

Amasya (Amasya, Turquía)Madrasa Büyük Aga 346

Andria (Apulia, Italia)Castel del Monte 237

Aquisgrán (Renania del Norte-Westfalia, Alemania)Capilla Palatina de Carlomagno 223

Atenas (Grecia)Partenón 71

Aurora (Nueva York, EE.UU.)Biblioteca Louis Jefferson 264

Badajoz (Badajoz, España)Torre de Espantaperros 192

Castellón de la Plana (Castellón, España)El Fadrí 288

387

Chartres (Eure y Loir, Francia). Catedral de Chartres. 114

Chicago (Illinois, EE.UU.)Escuela de Arquitectura y Arte de Chicago 269

ChinaPagoda 245

Córdoba (Cordoba, España)Azulejo en la Mezquita de Córdoba 320Capilla Real de la Mezquita de Córdoba 186

Delhi (Delhi, India)Mausoleo de Humayun 351Tumba de Isa Han 340

Florencia (Florencia, Italia)Baptisterio de la catedral de Florencia 166Basílica de Santa Maria del Fiore 230Santa María de los Ángeles 207

Granada (Granada, España)Tres Mosaicos de La Alhambra 305La Alhambra: Relieve 325 La Alhambra: Techo de Madera 329

Indianápolis (Indiana, EE.UU.)Indiana Tower 273

Jerez de la Frontera (Cádiz, España)Torreón del Alcazar 192

Jerusalén (Israel)Cúpula de La Roca 163Tumba de la Santísima Virgen 179

388


Kuala Lumpur (Malasia)Torres Petronas 274

Madrid (Madrid, España)Observatorio Astronómico 106

Milán (Lombardía, Italia)Capilla de San Aquilino 170San Lorenzo 90

Muruzábal (Navarra, España)Iglesia de Santa María de Eunate 187

Nules (Castellón, España)Ermita de San Miguel “El Fort” 358

Qazvin (Irán)Torres de Kharragan 196

Rávena (Ravena, Italia)Iglesia de San Vital 163

Roma (Italia)Arco de Séptimo Severo, 70Baptisterio de San Juan de Letrán 175Basílica de San Pedro del Vaticano 253Molo de Adriano 86Palacio Farnesio 69Panteón de Roma 79Templo de Minerva Médica (Templo de Galucce) 85Templo de Minerva Médica 364

Saint-Riquier (Somme, Francia)Abadía de Saint-Riquier 89

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Samarra (Saladino, Irak)Qubbat Al-sulaibiya 242

Segovia (Segovia, España)Iglesia de la Vera Cruz 190

Sevilla (Sevilla, España). Torre del Oro 192

Split (Croacia)Mausoleo de Diocleciano 173

Tarazona (Zaragoza, España) Cimborrio de la Catedral de Tarazona 370

Toledo (Toledo, España)Ermita del Cristo de la Luz 186Mosaico Toledano 300

Torres del Río (Navarra, España)Iglesia del Santo Sepulcro 183

Trenton (Nueva Jersey, EE.UU.)Jewish Community 271

Valencia (Valencia, España)Antigua Capilla del Convento de San Pío V 291Girola de la Catedral de Valencia 277El Miguelete 283Fuente Arabe 143

Venecia (Venecia, Italia)Santa María de la Salud 247

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Indice Fotográfico

Imagen 1.1 Observatorio Astronómico de Madrid. Autor: Fanattiq. Licencia: CC BY 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Observatoriomadridfrente.jpg&oldid=53447331

Imagen 3,1. Sala de Dos Hermanas. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: Elabora-ción propia.

Figura 3.1.A. Sala de Dos Hermanas. Autor: Jebulon. Licencia: CC 1.0 Universal Public Domain Dedication. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Detail_ceiling_two_sisters_hall_Alhambra_Granada_Spain.jpg&oldid=92490482

Figura 3.1.C. Sala de Dos Hermanas. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: Elabo-ración propia.

Imagen 3.3. Mezquita de La Roca. Autor: David Baum. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Temple_Mount.JPG

Imagen 3.4. Iglesia de San Vital. Autor: LPLT Licencia: Dominio Público. Modifi-caciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Basilica_San_Vital_di_Ravenna.JPG

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Observatoriomadridfrente.jpg&oldid=53447331




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Detail_ceiling_two_sisters_hall_Alhambra_Granada_Spain.jpg&oldid=92490482




http://en.wikipedia.org/wiki/File:Temple_Mount.JPG

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Temple_Mount.JPG

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Basilica_San_Vital_di_Ravenna.JPG

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Imagen 3.5. Baptisterio Letranense. Foto: LPLT. Licencia: GNU Free Documenta-tion License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Baptist%C3%A8re_du_Latran.JPG&oldid=47006377

Imagen 3.6. Autor: PMRMaeyaert Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Torres_del_Rio,_Iglesia_del_Santo_Sepulcro-PM_32434.jpg&oldid=107675989

Imagen 3.7.A. Boveda de la Capilla del Santo Sepulcro. Autor: Lourdes Cardenal. Licencia: Licencia de documentación libre GNU, versión 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torres_del_Rio_b%C3%B3veda_lou.JPG?uselang=es

Imagen 3.7.B. Cúpula de la Capilla Real de la Mezquita de Córdoba. Autor: Feli-pe Soler Monreal. Fuente: elaboración propia.

Imagen 3.7.C. Cúpula central de la ermita del Cristo de la luz. Autor: Manuel de Corselas. Licencia: CC BY-SA 3.0 Modificaciones: Ajuste de color y corrección óp-tica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Bab_al_Mardum._Cristo_de_la_Luz._MPLC_08.jpg&oldid=100545209&uselang=es

Imagen 3.7.D. Cúpula de la Iglesia de San Miguel, Almazán (Soria). Autor: José Luis Filpo Cabana. Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:San_Miguel._C%C3%BApula_mud%C3%A9jar.jpg&oldid=101815477

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Baptist%C3%A8re_du_Latran.JPG&oldid=47006377




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Torres_del_Rio,_Iglesia_del_Santo_Sepulcro-PM_32434.jpg&oldid=107675989




http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torres_del_Rio_b%C3%B3veda_lou.JPG?uselang=es




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Bab_al_Mardum._Cristo_de_la_Luz._MPLC_08.jpg&oldid=100545209&uselang=es




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:San_Miguel._C%C3%BApula_mud%C3%A9jar.jpg&oldid=101815477




Imagen 3.8. Foto: Ignasilm. Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Santa_Mar%C3%ADa_de_Eunate.jpg&oldid=103699983

Imagen 3.9. Vista de la Iglesia de la Vera Cruz. Autor: Jose Luis Cernadas. Licen-cia: CC BY 2.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://www.flickr.com/photos/jlcernadas/8680579257/in/set-72157633373754076

Imagen 3.10. Torre de Espantaperros. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: Elabora-ción propia.

Imagen 3.11. Torres Almohades, Torre del Alcazar de Jerez. Autor: EmDee. Licen-cia: CC BY-SA 3.0-2.5-2.0-1.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección ópti-ca. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Jerez_de_la_Frontera_-_Alcazar_almohade.JPG&oldid=94444873

Imagen 3.12. Torres Almohades, Torre del Oro. Autor: Morinpat. Licencia: CC BY-SA 3.0-2.5. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Sevilla_Torre_del_oro.JPG&oldid=108626892

Imagen 3.13. Autor: Zereshk. Licencia: Dominio Público. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kharaghan.jpg

Imagen 3.14. Rotonda de Brunelleschi o de Santa Maria de los Angeles. Foto: Sali-ko. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Rotonda_del_brunelleschi_12.JPG&oldid=56636955&uselang=es

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Santa_Mar%C3%ADa_de_Eunate.jpg&oldid=103699983




http://www.flickr.com/photos/jlcernadas/8680579257/in/set-72157633373754076




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Jerez_de_la_Frontera_-_Alcazar_almohade.JPG&oldid=94444873




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Sevilla_Torre_del_oro.JPG&oldid=108626892




http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kharaghan.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kharaghan.jpg

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Rotonda_del_brunelleschi_12.JPG&oldid=56636955&uselang=es




Imagen 3.15. Cúpula de la Capilla Palatina. Autor: Benutzer:Kolling (Lokilech) Li-cencia: CC BY-SA 3.0 Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AachenerDomDecke.jpg

Imagen 3.16. Fachada de Santa Maria del Fiore. Autor: Jebulon. Licencia: Domi-nio Público, CC0 1.0 Universal. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Façade_cathédrale_Florence.jpg

Imagen 3.17. Castel del Monte. Auror: Marcok Licencia: CC-BY-SA-2.5. Modifi-caciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Castel_del_Monte_giu06_001.jpg&oldid=92870416

Imagen 3.18.A. Santa Maria della Salute, fachada. Autor: Tony Hisgett. Licencia: CC BY 2.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Salute_4_(7257193386).jpg&oldid=111076953&uselang=it

Imagen 3.18.B. Santa Maria della Salute, detalle del presbiterio. Autor: Abxbay. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:La_salute_venice.JPG&oldid=102766754&uselang=it

Imagen 3.20. Biblioteca Louis Jefferson Autor: CP Thornton CC BY-NC-SA 2.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://www.flickr.com/photos/cpthornton/9019371666/in/set-72157632828124613

Imagen 3.21. Jewish Community Center (Trenton Bath House). Autor: Smallbo-nes. Licencia: Dominio Público. Modificaciones: Ajuste de color y corrección ópti-ca. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:T_bath_house_3.JPG

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AachenerDomDecke.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AachenerDomDecke.jpg

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Castel_del_Monte_giu06_001.jpg&oldid=92870416




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Salute_4_(7257193386).jpg&oldid=111076953&uselang=it




http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:La_salute_venice.JPG&oldid=102766754&uselang=it




http://www.flickr.com/photos/cpthornton/9019371666/in/set-72157632828124613




http://en.wikipedia.org/wiki/File:T_bath_house_3.JPG

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Imagen 3.22. Torres Petronas. Autor: Andy Mitchell. Licencia: CC BY-SA 2.0. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Petronas_Towers,_Kuala_Lumpur_(3321472593).jpg&oldid=99813971

Imagen 3.23. Girola de la Catedral de Valencia. Foto: Felipe Soler Monreal Fuen-te: elaboración propia

Imagen 3.24. El Miguelete. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: elaboración pro-pia.

Imagen 3.25. Autor: Foto: Carmen Cerezo. Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modifica-ciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Castell%C3%B3n_6.JPG

Imagen 3.26. Vista del actual Museo de San Pío V en Valencia. Autor: Felipe So-ler Monreal. Fuente: elaboración propia.

Imagen 4.2. Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia.

Figura 4.5.a. Mosaico de la sala de Dos Hermanas. Módulo base o azulejo. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia.

Figura 4.5.b. Mosaico de la sala de Dos Hermanas. Fotomontaje de la repetición del módulo base. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia.

Imagen 4.6. La Alhambra, entrada a la sala Mexuar. Autor: José Luiz Bernardes. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color, corrección de perspecti-va. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Doorway_to_Mexuar_Hall_-_Alhambra.JPG&oldid=92366677

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Petronas_Towers,_Kuala_Lumpur_(3321472593).jpg&oldid=99813971




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Imagen 4.7. Vista general del techo de la Torre de las Damas. Felipe Soler Mon-real. Fuente: Elaboración propia.

Imagen 4.8. Fragmento del techo de la Torre de las Damas. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia.

Imagen 4.6. Azulejos expuestos en la Mezquita de Córdoba. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: elaboración propia.

Imagen 5.1. Tumba de Isa Han. Foto: Irena Harrison. Licencia: CC-BY-SA-3.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HumayunsTombindia20083.jpg

Imagen 5.2. Madrasa Kapı-Ağası. Autor: Michael F. Schönitzer Licencia: CC-BY-SA-3.0,2.5,2.0,1.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Amasya-Kapı-Ağası-Medrese-02.JPG&oldid=85806602

Imagen 5.3. Mausoleo de Humayun. Autor: Muhammad Mahdi Karim Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Humayun%27s_Tomb,_Mausoleum.jpg

Imagen 5.4. Taj Mahal. Autor: Muhammad Mahdi Karim Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Taj_Mahal_2012.jpg&oldid=96249093

Imagen 5.5. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: elaboración propia.

Imagen 5.6. Templo de Minerva Médica. Autor: Concha Soler Monreal. Fuente: elaboración propia.

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HumayunsTombindia20083.jpg

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Amasya-Kap

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http://en.wikipedia.org/wiki/File:Humayun%27s_Tomb,_Mausoleum.jpg

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Taj_Mahal_2012.jpg&oldid=96249093




Imagen 5.7. Cimborrio de la catedral de Tarazona. Autor: Zarateman Licencia: Dominio Público, CC0 1.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Tarazona_-_Catedral_de_Nra_Sra._de_la_Huerta_05.jpg&oldid=69178748

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trazados reguladores en la arquitectura

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