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Trazados básicos en el plano
DIbujo Técnico 2
Geometría Métrica Aplicada
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Trazados básicos en el plano
1. Lugares geométricos ......................................................................................................... 2
1.1 La circunferencia. ......................................................................................................... 2
1.2 Mediatriz de un segmento. ..................................................................................... 3
1.3 La mediana, como paralela media. .................................................................... 4
1.4 Bisectriz de un ángulo. .............................................................................................. 5
1.4.1 Trazados si el vértice está localizado. ............................................................... 5
1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado. ........................................................... 5
2. Ángulos en la circunferencia ........................................................................................ 6
2.1 Ángulo central ................................................................................................................ 6
2.2 Ángulo inscrito ............................................................................................................... 6
2.3 Ángulo semiinscrito ..................................................................................................... 7
2.4 Ángulo exterior .............................................................................................................. 8
2.5 Ángulo interior ............................................................................................................... 8
3. Arco capaz................................................................................................................................ 9
4. Rectificación aproximada de arcos de circunferencia ................................. 10
4.1 Rectificación de una semicircunferencia. .................................................... 10
4.2 Rectificación de una circunferencia ................................................................ 11
4.3 Rectificación de un cuadrante. ........................................................................... 11
4.4 Rectificación de un arco menor de 90º ......................................................... 11
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Trazados básicos en el plano
1. Lugares geométricos
Un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad
geométrica reciben el nombre de lugar geométrico (l.g).
1.1 La circunferencia.
El ejemplo más sencillo de definición de una figura como lugar
geométrico es la circunferencia: lugar geométrico de todos los puntos el plano
que equidistan una distancia, llamada radio ( r ), de un punto fijo, llamado
centro (O). Así, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de
radio r que pasan por un punto P, es una circunferencia de centro dicho
punto y radio . Aunque no se puede hablar en sentido estricto delos
lugares geométricos como un método, es un recurso conceptual muy intuitivo
y habitual en la práctica del dibujo.
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1.2 Mediatriz de un segmento.
Es el l.g de los puntos del plano equidistantes de los extremos del
segmento dado.
Dicha mediatriz es la recta m perpendicular al segmento por su
punto medio M.
Para construirla se hace centro a los extremos A y B del segmento
considerado y se trazan arcos de igual radio que se cortan en los puntos P y Q.
Su unión determina la recta mediatriz del segmento considerado.
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1.3 La mediana, como paralela media.
El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas paralelas
( r y s ) es la mediatriz n del segmento que tiene por extremo los puntos A y
B; es, en definitiva, la paralela media o mediana de las rectas consideradas.
Así, en una autovía, la mediana es línea que separa los dos sentidos de
circulación.
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1.4 Bisectriz de un ángulo.
Es el l.g de los puntos del plano equidistantes de los lados del ángulo.
Es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.
1.4.1 Trazados si el vértice está localizado.
Con centro en el vértice V se dibuja un arco cualquiera que corta a los
lados A y B. Con centro en ellos, se trazan dos nuevo arcos, de igual radio,
consiguiendo el punto P. La unión de P con V determina la recta bisectriz.
1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado.
Sea el ángulo formado por las rectas r y s, cuyo vértice es inaccesible.
Se traza una secante t cualquiera y se dibujan las bisectrices a, b, c y d
de los ángulos que forman la secante con los lados del ángulo. Dichas rectas se
cortan en P y Q, definiendo la bisectriz buscada.
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2. Ángulos en la circunferencia
2.1 Ángulo central
Su vértice está situado en el centro de la circunferencia y sus lados son
radios.
La medida del ángulo central es la misma que la del ángulo que abarca.
Esto es:
2.2 Ángulo inscrito
Su vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la
misma.
El valor del ángulo es la mitad del central cuyos lados pasan porlos
extremos de la cuerda.
Para demostrarlo consideremos un ángulo inscrito con un lado como
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diámetro. En el triángulo isósceles AOV, se tiene ; y el ángulo exterior
; luego .
Por tanto, en general, paraun ángulo inscrito con sus lados cuerdas
cualesquiera, como el
MVN de la figura adjunta, se verifica que:
a = b / 2
2.3 Ángulo semiinscrito
Su vértice está en la circunferencia y sus lados lo forman una cuerda y
una tangente.
El valor de un ángulo semiinscrito, como en un inscrito, es la mitad del
ángulo central, cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda.
Como < OVB es recto y el triangulo AOV es isósceles:
– – (180º – ) /2
Esto es: a = /2
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2.4 Ángulo exterior
Su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes o
tangentes a ella. Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales
que abarcan sus lados.
En el triángulo ACV que se forma, se cumple:
= 180º - < VAC - (180º - < ACB)
= 180º – /2 – (180º – /2)
= ( ) /2
2.5 Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia. Su valor es igual a la
semisuma de los ángulos centrales que acaban sus extremos y el ángulo
opuesto por el vértice.
Considerando el triángulo BCV, se cumple:
= 180º – BVC = 180º - (180º - < VBC – VCB)
= 180º - (180º – /2 – /2)
= ( + ) / 2
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3. Arco capaz
Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un
segmento, de dicho plano, bajo un mismo ángulo.
La construcción del arco capaz de un ángulo (cualquiera) de un
segmento , consiste en dibujar un arco de circunferencia tal que los ángulos
inscrito en ella, que determinan una cuerda , tengan el valor .
= (180º – 2 ) /2 = 90º –
Por tanto, para construir un arco capaz de un ángulo dado, cuyos
lados pasen por dos puntos A y B, se procede como sigue:
– Por A se traza el ángulo dado y la recta s perpendicular a s, que
corta la mediatriz m en el punto O, centro del arco capaz.
– Por centro O y radio = se dibuja el arco capaz, lugar
geométrico de todos los puntos que miran con el mismo ángulo los
extremos del segmento .
El arco capaz simétrico respecto del segmento considerado, también
es solución.
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4. Rectificación aproximada de arcos de circunferencia
En geometría, se entiende por rectificación el determinar, sobre una
línea recta, la longitud de una curva, de un arco o de una circunferencia.
4.1 Rectificación de una semicircunferencia.
La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma de los dos lados
del triángulo equilátero ( ) y el cuadrado ( ) inscrito en ella.
En la figura, el punto 3 (obtenido al llevar desde el punto 1 dos veces el
radio), determina = 1 – .
la distancia = (lado del cuadrado inscrito) se consigue trazando
dos diámetros perpendiculares. La suma de ambos segmentos es
aproximadamente igual a - r (longitud de la circunferencia), como se
demuestra, analíticamente, en la parte inferior de la figura.
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4.2 Rectificación de una circunferencia
Siguiendo la construcción anterior, la rectificación será igual al la de un
segmento suma de dos semicircunferencias. Esto es: + = 2 r.
4.3 Rectificación de un cuadrante.
La determinación del punto medio del segmento , mediante el
trazado de su mediatriz, define el segmento /2, cuya longitud es la
rectificación de un cuadrante de circunferencia.
4.4 Rectificación de un arco menor de 90º
Dado < 90º, se procede como sigue:
Se une el centro O con el extremo A del arco, se divide en el radio
en cuatro partes iguales y se toma igual a tres de dichas partes. La recta
NR orta a la recta perpendicular al diámetro por A en el punto B. El segmento
es la rectificación del arco de circunferencia .