trazados reguladores en la arquitectura

5/27/2018 Trazados Reguladores en la Arquitectura

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F E L I P E S O L E R S A N Z

Trazados

Reguladores en laArquitectura


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Trazados Reguladoresen la Arquitectura

Felipe Soler Sanz


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terpretarse en su contexto. Por ello, el cuerpo tipogrfico empleado es de untamao superior al que hubisemos empleado en una edicin para su impre-sin convencional.

Tambin disponible la edicin en formato iBooks para dispositivos Apple.

Textos y dibujos: Felipe Soler Sanz

Prlogo: Jos M Gentil Baldrich

Edita: Felipe Soler Monreal

Edicin y maquetacin: Felipe Soler Monreal

Con la colaboracin de: Elena Salvador Garca y M Remedios Zornoza Zor-noza

Imagen de portada: Fotomontaje de la cpula de la antigua capilla del conven-to de San Po V en Valencia. Dibujo de Felipe Soler Sanz. Fotografa y monta-je de Felipe Soler Monreal

Otras imgenes: las imgenes incluidas en la presente edicin se encuentransujetas a licencias Creative Commons, GNU o bien pertenecen al Dominio P-blico.

Versin PDF: 1.0

Fecha de publicacin: Abril de 2014

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Indice

El Autor viiAgradecimientos ixPrlogo xi

Sobre la Proporcin y los Trazados Geomtricos de la Arquitectura xiPrefacio lviiIntroduccin lxiCaptulo 1: Trazados Reguladores

65Objetivos y ejemplos 67

Comentario de Edificios 79Tramas Geomtricas 101

Captulo 2: Formas Octogonales 117Octgonos Regulares 119Desarrollo De Formas Octogonales 145

Captulo 3: Edificaciones 155Edificaciones Clsicas 157

Salas de la Alhambra, Granada 158Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci 160Cpula de la Roca (Jerusaln) Iglesia de San Vital (Rvena) 163Baptisterio de la catedral deFlorencia 166Capilla de San Aquilino, Miln 170Baptisterio de San Juan de Letrn, Roma 175Tumba de la Santsima Virgen, Jerusaln 179Iglesia del Santo Sepulcro,Torres del Ro (Navarra) 183Iglesia de Santa Mara de Eunate (Navarra) 187Iglesia de la Vera Cruz en Segovia 190Torres Almohades 192Torres de Kharragan (Irn) 196Las Propuestas de Serlio 199Santa Mara de los ngeles,Florencia 207La Capilla palatina de Carlomagno, Aquisgran 223Baslica de Santa Mara del Fiore, Florencia 230Castel del Monte, Andria (Italia) 237Qubbat Al-sulaibiya, Samarra (Irak) 242Pagoda China 245

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Santa Mara de la Salud, Venecia 247Baslica de San Pedro del Vaticano, Roma 253

Edificios Contemporneos 263Biblioteca Louis Jefferson, Aurora, New York (S.O.M.) 264Escuela de Arquitectura y Arte de Chicago (S.O.M.) 269Jewish Community Center, Trenton, New Jersey (Louis Khan) 271Indiana Tower, Indianapolis 273Las Torres Gemelas, Kuala Lumpur 274

Monumentos Valencianos 277Girola de la Catedral de Valencia 277El Miguelete Torre de la Catedral de Valencia 283Torre Campanario El Fadr, Castelln de la Plana 288Antigua capilla del convento de San Po V, Valencia 291

Captulo 4 297Elementos Decorativos 297

Mosaico Toledano 300Tres mosaicos de la Alhambra de Granada 305Azulejo en la Mezquita de Crdoba 320La Alhambra: Relieve 325La Alhambra: Techo de Madera 329

Captulo 5 337Otras Aplicaciones 337

Tumba de Isa Han (Delhi, India) 340Madrasa en Amasya (Anatolia) 346Taj Mahal y Mausoleo de Humayun 351Ermita de San Miguel (El Fort) Nules 358Templo de Minerva Mdica (Roma) 364El Cimborrio de la catedral de Tarazona 370

Captulo 6 373Algunas Unidades Mtricas Locales 373

Bibliografa 383ndice Toponmico 387ndice Fotogrfico 391

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El Autor

Felipe Soler Sanz es doctor arquitecto por la ETS de Arquitectura deMadrid. Entre 1958 y 1977 se dedic al ejercicio libre de la profesin.Posteriormente su labor profesional estuvo centrada en la docencia co-mo profesor titular de Geometra Descriptiva en el Departamento deExpresin Grfica Arquitectnica de la Universidad Politcnica de Va-lencia. Es autor de diversas monografas acadmicas, entre las que des-

tacan: Apuntes de geometra descriptiva, Perspectivas curvilneas, Soleamiento yPerspectiva cnica. Ha impartido cursos de postgrado en la UniversidadLuterana de Brasil en el Campus de Canoas, y ha sido conferencianteen numerosos congresos de expresin grfica arquitectnica, tanto enEspaa como en Italia. Tambin es autor de estudios sobre tratados dearquitectura clsica, en la revista Disegnare de la Universit di Roma

Sapienza y su contribucin en el libro Tratados de Arquitectura de los si-glos XVI-XVIIeditado con motivo de la exposicin celebrada en el Mu-seo de Bellas Artes de Valencia en 2001. Retirado de la actividad profe-sional, en la actualidad contina investigando y dirigiendo tesis doctora-les.

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Agradecimientos

A mi familia, por su contribucin y apoyo.

A Jorge Garca Valldecabres. que me anim a publicarlo.

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Prlogo

Sobre la Proporcin y los Trazados

Geomtricos de la ArquitecturaJ O S M G E N T I L B A L D R I C H

La sencillez de la arquitectura

Cualquiera que conozca la puesta en prctica del proyecto arquitec-

tnico es decir, el honrado ejercicio de una profesin para poder sub-sistir debera admitir que, en general y para ser eficaz, tiene que ba-sarse en planteamientos muy sencillos. No queremos decir con esto quelos, a veces complicadsimos procedimientos de llevarlo a cabo, sean elparadigma de la facilidad, ni que las particulares condiciones inclui-da las neuras personales ayuden a su fluida realizacin. Pero es evi-dente que si el cmulo de procesos meramente administrativos, empre-

sariales o tcnicos, ya son de por s liosos, la tendencia profesional tieneque ser obligatoriamente resolutiva en el sentido de conseguir la simpli-ficacin de su desarrollo. Al menos en lo que es patrimonio personaldel proyectista en la creacin de su obra que, si quiere prosperar, se de-be atener al sentido comn, con independencia de que posteriormenteelabore un discurso justificativo ad hoc, como sucede muchas veces.

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La necesidad de no perderse en vericuetos mentales ha sido histri-camente una constante: el equilibrio y el sentido de la medida que sim-bolizada en el comps acompa siempre a la iconografa del arquitec-to no solo representa un concepto mtrico sino que, en su rica acep-

cin, tambin es el de tener un sentido adecuado de la realidad. Y estoes as, sobre todo, si comparamos a la Arquitectura con otras discipli-nas tan antiguas como ella pero ms especulativas como la Filosofao la Teologa ms difciles en su incierto resultado como la Medici-na o sujetas a una casustica a las que, ni de lejos, se podra compa-rar como es el caso del Derecho. Aunque al compartir esas profesiones

su actuacin en una misma sociedad y a lo largo del tiempo se contami-naran entre s en ms de un concepto sobre todo en su forma exposi-tiva y en la crtica terica nunca se desprendi la Arquitectura de lanecesidad de crear entes concretos, cuya materialidad an compartien-do una especulacin asociada, siempre se pudo declarar independiente.

Las reglas prcticas, las tablas sinpticas, los bacos y cuadros resu-

men de los elementos y detalles arquitectnicos han estado siempre pre-sentes en la exposicin de la prctica de la disciplina. Esto abarca des-de los catlogos de elementos constructivos hasta los libros de rdenesarquitectnicos; desde las reglas de composicin esttica a las tablas declculo. No quiere esto decir que, en ocasiones, esos afanes taxonmi-cos nos tengan que ser hoy obligatoriamente fciles de entender, pero sque en su poca tuvieron que resultar de una evidencia y seguridad ge-neralizada en el gremio. Las formas del clculo estructural en los edifi-cios histricos, por ejemplo, an siendo producto muchas veces de pro-cedimientos empricos de prueba y error, dieron como resultado crite-rios prcticos de una gran sencillez. Otra cosa es que los edificios no sederrumbaran algunas veces, pero la mera presencia actual en nuestro

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patrimonio de numerosos ejemplos histricos de entonces es prueba deque acertaron, la mayora de las veces, en sus reglas.

Catlogo normalizado de elementos constructivos

Pero esa sencillez permanente y comn de las aplicaciones prcticasno tiene por qu tener una relacin directa con una sencillez de las

ideas. Algo tan simple para nosotros como es la relacin entre una plan-ta y un alzado lo que a finales del XVIII se constituy en nuestro sis-tema didrico tard siglos en ser asumido como la base de la repre-sentacin de la Arquitectura. Inicialmente utilizado por los constructo-res gticos hasta el punto de constituir, a mi juicio, el autntico secretode gremios medievales, de tanto juego en la literatura seudo histricaactual, no era conocido, por ejemplo, por Alberti, quien en su conoci-do libro plante planta y alzado en dibujos independientes. Solo a par-tir de la llamada Carta a Len X se comenz a difundir en Italia, es de-cir, ya iniciado el segundo decenio del siglo XVI, cuando los denosta-dos gticos de la literatura renacentistas haca ms de un siglo que loutilizaban como base de la definicin de la obra arquitectnica[1].

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A su vez, algunos de nuestros juicios firmemente aceptados sobre laprctica de la arquitectura histrica se pueden demostrar como suma-mente dbiles. En el prlogo de un libro anterior de Felipe Soler tuve laocasin de exponer mis ideas sobre la perspectiva cnica[2]. Pretend

hacer ver que su uso fue sumamente escaso en nuestra disciplina porlos verdaderos profesionales que, a todas luces, huan de la complejidadgeomtrica del sistema, siendo los preocupados por su estudio y exposi-cin personajes ajenos a la prctica arquitectnica. El hecho que sobreel tema escribieran arquitectos como Serlio o Vignola[3] no invalida eljuicio. De Serlio no se conoce ninguna obra construida, procediendo su

fama tan merecida como controvertida exclusivamente de sus es-critos. A su vez, el texto de Vignola sobre el tema no es tal, siendo suautntico redactor el dominico Egnazio Danti, aunque promovido porel hijo del arquitecto, Giacinto, que menos dotado que su progenitorpara la profesin pretendi vivir de la fama paterna editando el librocuando, muchos aos despus de su muerte, ya haban prescritos los de-rechos de autor del conocido texto sobre los rdenes. Resultaba sor-prendente la abrumadora cantidad de clrigos dedicados a ese menes-ter especialmente jesuitas sin duda por no tener otra cosa que ha-cer, como se deca, en muchas de las horas del da. Por el contrario y co-mo indica Zorzi sobre un arquitecto autnticamente constructor comoPalladio, si un dibujo estaba hecho en perspectiva y existen dudas sobresu autora, se debe interpretar que no es de Palladio[4]. Igual podra-

mos decir de Juan de Herrera, trasunto nacional del arquitecto vneto.La Arquitectura siempre tuvo un indudable componente prctico

ajeno a su formulacin terica. Esto es apreciable en el texto histricode la disciplina de Vitrubio que, aun siendo una autntica enciclopediade construccin, se encuentra carente de una autntica teora de la pro-porcin y de especulacin neoplatnica. Vitrubio lo que da son reglas

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prcticas para facilitar el trabajo[5]. Asimismo, si observamos cmoera vista socialmente la arquitectura en el Renacimiento, nos basta conanalizar las opiniones de Vasari[6]: los mritos expuestos de sus admira-dos hroes del arte renaciente se apoyaban en conceptos tales como

que sus obras eran ms econmicas que las de sus contrarios, que se ha-ban hecho en menos tiempo o que haban superado alturas o lucesnunca conocidas. Es decir, las mismas ideas que hacen las delicias hoyde los promotores inmobiliarios, sean estos polticos o empresariales.

Regles des cinq ordres d'Architecture de Vignola,

Paris, Nicolas Bonart, 1665. Ordenes arquitectonicos

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El sndrome del papel en blancoUna segunda idea que conviene tener en cuenta se relaciona con la

fase inicial del proceso de realizacin del proyecto de arquitectura: la

obligatoria aproximacin preliminar al problema que se quiere resol-ver. Tan fundamental como previa, posee la caracterstica de podersever afectada unas carencias conceptuales que podramos denominarsndrome del papel en blanco. Como acto de creacin, el proyectar par-tiendo originariamente de la nada representa en s mismo tal esfuerzointelectual en ocasiones prximo al trauma que debemos situarlocomo uno de los orgenes de los muchos y muy diversos caminos perfila-dos como reglas para su supuesta superacin prctica. Entre estos se po-dran citar desde las hipotticas metodologas proyectuales y universa-les para su ejecucin racional en ocasiones con abstrusas teoras ge-neralmente productos de las tendencias histricas del momento has-ta, amparados en el recuerdo y la memoria, la mera transcripcin ruti-naria de un modelo, por no llamarlo remedo, en su extremo menos

decoroso.

Aunque esta circunstancia se puede generalizar a cualquier acto decreacin artstica y no sea exclusiva de la Arquitectura, su presencia enesta posee una particular y especfica incidencia en el arte. Sea por elesfuerzo econmico que precisa la actividad, la dimensin fsica que al-canza en su ejecucin, la atencin de las ineludibles necesidades huma-

nas de tener cobijo o por constituirse en el smbolo de los anhelos y elpoder de una sociedad, la Arquitectura se encuentra especialmenteafectada en general por una libertad coartada y, en su prctica, por lanecesidad de tener unos ineludibles puntos iniciales de referencia. Deesa manera nos podemos encontrar que, participando de esa necesidadque podramos llamar atvica de encontrar un punto de partida, han

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surgido en su desarrollo histrico desde las ms diversas ordenanzas ynormativas edificatorias hasta los ms variados cnones estticos, sien-do irrelevante a este respecto que generalmente aparecieran estas bajola coartada de atender a una uniformidad, bondad, racionalidad o be-

lleza.

Stonehenge, h. 2000-2500 a. de C. Hiptesis de la planta.

Instintivamente la pauta y el orden previo han debido existir siem-pre, incluso antes de los inicios de la propia arquitectura histrica docu-mentada y de la existencia fsica de ese papel cuya traumtica blancuranos acongoja. Nadie puede negar, por ejemplo, la existencia de unguin previo incluso en los monumentos megalticos, entre los que pue-

de servirnos de muestra destacada el conocido de Stonehenge en Wil-tshire, cerca de Amesbury, Gran Bretaa. En las etapas posteriores, enlas que la documentacin de las teoras arquitectnicas paulatinamentese nos fue haciendo cada vez ms explcita, la presencia de la normanos fue resultando permanente. Sin afn exhaustivo, y solo por citar al-gunos casos destacados sin descender a la ms remota antigedad, es-

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tn presentes en el gtico con solo ver los impresos de Mathaus Roric-zer para la correcta expresamente dicho as en el ttulo de su libri-to ejecucin de los pinculos[7]; en la reinterpretacin clasicista dela Antigedad de los rdenes clsicos capitalizada por Vignola en el

ms difundido best seller arquitectnico de la historia, en las teoras delModulor de Le Corbusier o en el texto de Ernts Neufert cuyo libro, nolo olvidemos, se llama en castellanoArte de proyectar en Arquitectura[8].

Matthus Roriczer. Von der Fialen Ge-rechtigkeich, Ratisbona, 1486.

Planta de un pinculo

Como podremos ver existieron, entre otras y aadidas a todas esastramas ideolgicas ms o menos superpuestas, otras tramas valga laredundancia y nunca mejor dicho que adoptaron estructuras y for-

mas geomtricas, en ocasiones como soporte necesario a las teoras pro-yectuales que se exponan y, en otros casos, como supuestos garantes dela correccin de los resultados finales. As, es fcil de encontrar interca-ladas en muchas propuestas arquitectnicas unos trazados geomtricos,dependientes cada uno de su particular geometra y defensores de suparticular verdad. No nos debe resultar difcil reconocer que, en la ma-

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yora de los casos, esa especfica dependencia de una norma acadmicaque ha precisado el arquitecto para su particular equilibrio mental cuando eso es posible son el origen de la formacin y propagacinde la mayora de las estructuras geomtricas que, asociadas al diseo ar-

quitectnico, en el mundo han sido desde la antigedad hasta el presen-te.

Las proporciones humanas de Ernts Neufert

Pero una cosa es, como luego volveremos a sealar, las ordenacionesempleadas por los artfices del momento y otra las supuestas estructu-ras previas que, como presentes en ellos, imaginariamente descubrimos

en la actualidad. Esta cuestin es un tema clsico de los anlisis de la ar-quitectura, sobre la que se ha discutido en innumerables ocasiones y sehan escrito, con mayor o menor fortuna, numerosos libros. Debemostener en cuenta sobre todo, y a nuestros efectos es lo ms importante,que este asunto se ha abordado generalmente con un rigor muy desi-gual y, en pocas ocasiones, desde el punto de vista de la arquitectura.

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El soporte grfico de la geometra

El significado etimolgico de Geometra deriva de su original griego,donde quiere decir medida de la tierra. Suele acompaarse esta defini-

cin en su anlisis histrico con el comentario debido de Herdoto, yque despus siguieron Proclo de Licia en sus comentarios a Euclides yotros autores, de ser una prctica originaria de Egipto realizada por losagrimensores para restituir las propiedades tras la retirada de las aguasen las crecidas del Nilo[9]. Por ms mtica que sea esta historia, no dejade ser significativo este relato si nos fijamos en que lo que describe noes ms que un replanteo, es decir, la misma labor previa que se realizaen el terreno para ejecutar una obra de arquitectura. Aunque el carc-ter pblico de deslindar unas parcelas y cobrar los impuestos asignadosa las mismas le diera una comprensible y mayor trascendencia social,nadie pude discutir que si, en vez de haber explicado Herdoto su ori-gen como una labor agraria, lo hubiera hecho como la particular activi-dad de los arquitectos egipcios de la poca hubiera dejado de tener la

misma verosimilitud.

Y as debi de ser en la historia habitualmente, con solo tener encuenta un ejemplo tan alejado en el tiempo y el espacio como el ya cita-do de Stonehenge, que es difcil de imaginar sin una regla previa de tra-zado antes de su ejecucin. La planta de un edificio por as llamarla fue siempre un estado previo que precis de su materializacin con

anterioridad al inicio de la obra, y suponer a la geometra como el so-porte racional para su ejecucin es tan lgico como que no se puedadiscernir qu apareci antes en la actividad humana, si la especulacingeomtrica de unos sacerdotes aburridos como indicaba Aristteles, ola necesidad de la aplicacin de unos mtodos para poder iniciar unaobra en vez de replantear unos terrenos. O las dos cosas a la vez.

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Establecido este soporte geomtrico previo y necesario para la ejecu-cin de cualquier obra surge la reflexin sobre las formas geomtricasque fueron aplicadas. Aun existiendo culturas anteriores hasta tiemposhistricamente muy recientes tan solo existi la geometra griega, como

un cuerpo terico con el suficiente desarrollo para que pudiera ser em-pleado, al que el medioevo tan solo aport algunas construcciones geo-mtricas prcticas. Debemos tener en cuenta, adems, que la geome-tra griega era una ciencia carente de lgebra para su aplicacin, conuna aritmtica muy reducida y que abarcaba, a los efectos prcticos, loque poda resolverse con la regla y el comps[10]. Inicialmente las for-

mas empleadas tuvieron que ser las ms sencillas el crculo, el cuadra-do, el tringulo y el rectngulo a las que se aadieron ms adelanteotros polgono procedentes de la biseccin del ngulo, es decir, hexgo-nos u octgonos con muy escasas variaciones[11]. Dentro de las mlti-ples variantes de figuras triangulares y rectangulares, por la dimensinde sus lados, tambin se establecieron en estas sus particulares divisio-nes. Adems del empleo del tringulo equiltero y de diversos isscelesparticulares, es de inters el tringulo pitagrico de proporcin 3-4-5en sus lados, llamado tringulo dorado egipcio, primero de la serie quetiene catetos e hipotenusa con una dimensin de nmeros enteros de-nominados diofnticos[12] de amplio uso en la agrimensura para eltrazado de ngulos rectos. Para los rectngulos sucedi igual: su infinitavariedad se limit con unas condiciones de proporcin y medida sobre

las que luego volveremos.Pocas figuras geomtricas ms estuvieron a disposicin de los tracis-

tas. An el pentgono, por ms que estuviera imbuido de un cierto eso-terismo de orgenes pitagricos y que tuviera una construccin sencillacon regla y comps ya establecida por Euclides [13], siempre fue consi-derada una figura relativamente complicada, lo que ya nos da una cier-

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ta idea del nivel del personal que estaba dedicado al oficio. Como pode-mos comprobar su empleo en las tramas arquitectnicas ha sido siem-pre raro: cuando nos aparece en un rosetn gtico, en la planta del pa-lacio de Caprarola de Vignola o en numerosas fortificaciones militares,

lo debemos interpretar tan solo como un ejemplo planteando con unaintencionada sofisticacin. Los polgonos de siete y nueve lados, al noser posible su exacto trazado con regla y comps, se tienen que conside-rar como excepcionales y, cuando aparecen en alguna ocasin, tan soloson el producto de la docta ocurrencia de un particular autor[14].

Euclides, libro IV, proposicin 11 en la edicin de Venecia, 1482.

As, de la misma manera que anteriormente planteamos la obligadasencillez de la arquitectura, tenemos que considerar asimismo la forza-da simplicidad de la geometra aplicada a la misma. E igual sucede conla aritmtica utilizada, reducida a las llamadas cuatro reglas que, ade-

ms, no tuvieron vigencia algebraica con numeracin arbiga y un sis-tema decimal generalmente aceptado hasta muy avanzada la Edad Me-dia. Introducida esta a partir de las fuentes rabes originales, al princi-pio, adems, tan solo lo fue en los ncleos especializados y, despus, ensu empleo para llevar las cuentas sustituyendo al baco.

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Las proporciones geomtricas en Vitrubio

Entendemos por proporcin aplicada a la Arquitectura la convenien-te correspondencia de las partes con el todo. Los escritos que nos han

llegado de la Antigedad sobre el tema son muy escasos, hasta el puntoque difcilmente se puede establecer siquiera un esbozo de las intencio-nes de los artfices de entonces. Por extrao que nos pueda parecer Vi-trubio no cita esa palabra como un concepto independiente y propiode la Arquitectura: para el autor romano el trmino a aplicar a ese con-cepto sera el de Simetra. En efecto, cuando define las partes de lasque consta la Arquitectura relaciona estas como Ordenacin, Disposi-cin, Euritmia, Simetra, Decoro y Distribucin. Es cierto, sin embar-go, que el trmino proporcin es utilizado gramaticalmente en las ex-posiciones que realiza, incluso que esta palabra alcanza una categoracasi sinnima con simetra, pero nadie puede negar que, por ejem-plo, en el extenso ndice de los conceptos contenidos en la obra vitru-biana, que acompaa a la edicin de Ortiz y Sanz de 1787, la palabra

proporcin es inexistente[15].

Para la Simetra da como definicin la de ser la conveniente corres-pondencia entre los miembros de la obra, y la armona de cada una desus partes con el todo: pues as como se halla simetra y proporcin en-tre el codo, pie, palmo, dedo y dems partes del cuerpo humano, suce-de lo mismo en la construccin de las obras[16]. Introduce aqu una

idea de amplio xito icnico posterior, su relacin con las medidas delcuerpo humano, que desarrolla a continuacin en el libro tercero comointroduccin a la composicin y simetra de los templos[17]. Argumen-ta asimismo que las unidades de medida y sus subdivisiones provienende esta proporcin corporal como demuestran mayoritariamente losnombres dados a las mismas y que los romanos adoptaron la base de-

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cimal en contra de los griegos, que tomaron al seis como nmero per-fecto. Como podremos comprobar, aunque el concepto s exista bajo elnombre de simetra, no existe en Vitrubio ninguna teora general y or-ganizada de la proporcin.

Cuando se aplica la cuestin a los edificios y partes de la arquitectu-ra se realiza de una manera conceptualmente muy simple, utilizandonmeros enteros o razones entre ellos. La explicacin de los rdenes,aunque pueda resultar de un desarrollo ciertamente prolijo, no es msque una sucesin de medidas y subdivisiones de las mismas, en granparte basadas en la dimensin del imoscapo, pero ni siquiera siempre.

De igual manera no se puede deducir una preferencia particular sobreningn nmero o razn entre ellos, que cuando lo hace utiliza a su con-veniencia, sin explicacin alguna y para los que ni siquiera define deno-minaciones particulares como se hara despus. Es el caso, por ejemplo,de su aplicacin a las proporciones de los atrios para los que da, en fun-cin de las circunstancias, las relaciones de 5/3, 3/2 y 1/"2. Ni que de-

cir tiene que para Vitrubio el concepto de "2 era totalmente desconoci-do, al igual que lo eran los nmeros irracionales para los griegos, deter-minndolo por la diagonal de un cuadrado de fcil trazado con el com-ps. De igual manera cuando establece la proporcin 3/2 la que yaentonces se conoca como sesquiltera no le da su particular nom-bre, lo mismo que hace cuando la establece como proporcin del fororomano, definindola por una mera relacin dimensional[18]. Esto noquiere decir que Vitrubio no conociera su nombre, que expone cuandose refiere al sistema de numeracin de los griegos anteriormente citado,cuando indica que el seis mas su mitad para hacer nueve se llama sesquialterum, en griego emiolios. Sencillamente no le daba la menortrascendencia que, como sabemos, empieza siempre por darle una par-ticular denominacin a las cosas.

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Proporcin de los atrios de Vitrubio segn la versin de Cesariano, Como, 1521, libro VI, cap. IV.

Las proporciones armnicasPese a que el texto de Vitrubio sea el nico que, en la prctica, trate

de la arquitectura en la Antigedad y podamos pensar que semejantesideas descredas y escpticas no fueran generalizadas, lo cierto es quemuy poco ms se puede aadir. Adems, aunque los estudios modernossobre el descubrimiento de proporciones y trazados de obras emblem-

ticas sean innumerables, estos se fundamentan siempre en especulacio-nes que, por lo dems, suelen ser distintas en funcin del autor. As su-cede desde los mltiples estudios del Partenn clsico donde los ha-ya hasta las supuestas proporciones egipcias, acompaadas cada unade un mayor o menor misticismo[19]. Sin embargo s es cierto que enla geometra griega existi una lnea de pensamiento, la teora pitagri-

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ca del nmero, que aunque siempre estuvo acompaada de una ciertamarginalidad esotrica, tuvo adems de sus habituales utilizaciones adi-vinatorias y de horscopos una aplicacin a la msica, de notable in-fluencia posterior. Debemos recordar que, por ms que pensemos en

una cuestin de esttica arquitectnica, cuando decimos relaciones ar-mnicas nos estamos refiriendo a una cuestin musical en su sentidoestricto.

Aunque con una autoridad difusa en la Antigedad Pitgoras noescribi ningn libro fue Nicmaco de Gerasa, un seguidor suyo enuna fecha ya tarda del siglo II, quien dio cuerpo a la formulacin arit-

mtica de la numerologa pitagrica en suIsagoge, oIntroduccin a la Arit-mtica[20], obra a partir de la que posteriormente se propag. Se produ-jo esta difusin al ser incluidas en las obras de Boecio, filsofo neoplat-nico al parecer ejecutado por Teodorico en Pava hacia 524 y conside-rado por algunos como mrtir cristiano, quien las verti del griego al la-tn y la convirti en una lectura obligada de los monasterios y universi-

dades medievales a travs de sus copias manuscritas[21]. Se incorporadems a las teoras de la msica sagrada durante la Edad Media, loque multiplic su expansin en los claustros, circunstancia que serafundamental para su adopcin en el Renacimiento[22].

Su primera aplicacin a la Arquitectura fue la realizada por LenBautista Alberti en De Re dificatoria, traducido en Espaa como

Los diez libros de Architectura, quien en el captulo V del libro IX explicacmo los intervalos musicales agradables al odo la octava, la quintay la cuarta se corresponden con la divisin de una cuerda en 2, en 3o en 4 (1/2, 2/3, 3/4), es decir, el diapasn que es dupla, el diapenteque es sesquiltera y el diatesarn que es sesquitercia. En esa explica-cin de la teora de los nmeros armnicos segua casi literalmente la

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teora aritmtica y musical medieval derivada de Boecio, escritor queAlberti, en sus lecturas eruditas, deba conocer por su condicin de cl-rigo. La aplica sucintamente en el siguiente captulo de su obra a lasplantas de los edificios, introducindola por primera vez en el proyecto

arquitectnico como una aportacin personal al texto de Vitrubio, au-tor al que a todas luces pretenda imitar y completar[23].

Pese a ser Alberti el primero que hizo uso de estas teoras musicalesaplicadas a la arquitectura, inexistentes con anterioridad y completa-mente al margen de los presupuestos vitrubianos, no fue su obra la quedifundi principalmente la teora de la proporcin en el mundo euro-peo. Su libro, aparecido pstumamente e impreso en latn, era un textofundamentalmente terico, carente de ilustraciones al igual que el deVitrubio en las primeras ediciones y de difcil lectura, cuya influen-cia en la prctica cotidiana de los arquitectos fue muy discutible hastaque no aparecieron las traducciones al toscano. No obstante s es ver-dad que esa teora musical se utiliz en alguna ocasin, como la estudia-

da por Wittkower del informe realizado en 1535 por el monje francisca-no Francesco Giorgi para San Francesco Della Vigna en Venecia, per-sonaje que era excepcionalmente conocedor de Alberti y, por su forma-cin eclesistica, de Boecio[24]

Su verdadera propagacin en el grupo profesional ms culto se pro-dujo a travs de los escritos de Sebastiano Serlio que, precisamente, ha-

ba conocido el debate terico de Francesco Giorgi citado anteriormen-te. Tuvo lugar tras la publicacin en Pars, en 1545, de sus libros prime-ro y segundo sobre la Geometra y la Perspectiva de su obra general so-bre la Arquitectura, que venan a completar el tercero y el cuarto apare-cidos en 1537 y 1540[25]. Su obra haba abierto, desde su inicial apari-cin en Venecia del libro cuarto sobre los rdenes, una nueva forma de

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exponer la teora arquitectnica, con una evidente preponderancia delas ilustraciones sobre el texto y, al contrario que Alberti, con un mani-fiesto carcter prctico, carente de la referencia neoplatnica o mgicaque haba influido en el primer Renacimiento. Su carcter de manualdistinguido le proporcion un xito inmediato en la profesin y, aun-que pronto surgieron acusaciones de no ser ms que un plagio de escri-

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Sebastiano Serlio, libro primero, h. 21 r. Proporciones.


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tos de su maestro Baldassare Peruzzi, nadie pudo impedirle el teneruna de las mayores influencias en la arquitectura europea posterior.

La Geometra de Serlio, tras exponer los conceptos fundamentalesde Euclides, aborda los trazados grficos imprescindibles para la reali-zacin de los proyectos arquitectnicos: los polgonos, los valos loque, salvo en Durero, era una novedad y algunas aplicaciones senci-llas. Como complemento representa grficamente las proporciones delos rectngulos al partir de un cuadrado que denominaba perfec-to recogiendo las mismas que ya haban aparecido anteriormenteen el texto de Alberti y aadiendo una nueva: la diagnea 1/"2 so-

bre la que luego volveremos[26]. Una breve utilizacin en la disposi-cin de los forjados de madera y el trazado de una portada completa lasucinta, pero clara, referencia a las proporciones incluida en su tratado.Serlio no realiza ninguna ampliacin geomtrica del tema en su obrano abord los poliedros, por ejemplo, de moda entonces desde su pu-blicacin por Durero a partir de 1525 y no hizo la menor referencia

al carcter armnico de su origen musical. Su planteamiento se haran ms resumido en la obra posteriormente escrita por Palladio, quepese a constar de su empleo en los proyectos de sus villas se limita enunciar las proporciones por la relacin de las medidas dadas en eltexto, sin referencia a sus denominaciones particulares o cualquier otraindicacin trascendente[27].

El libro primero de Serlio no se public en castellano tan solo lofueron el tercero y el cuarto en 1552[28] pero la transmisin de susesquemas geomtricos se difundieron en Espaa sin dificultad, bien atravs de sus mltiples ediciones italianas, bien mediante la apropia-cin de sus ideas por los escritores locales. Es el caso de Juan de Arfe,quien en su De varia commesuracin[29], trata la cuestin en su libro pri-

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mero con la evidente inspiracin, por no decir otra cosa, del italiano.Arfe, al igual que Serlio, no hace ninguna referencia a la armona musi-cal de donde se haba nutrido la hasta entonces exigua teora arquitec-tnica de las proporciones, lo que no es bice para que en el mundo

culto de entonces aquella siguiera siendo la preponderante, y su aplica-cin arquitectnica tan solo una ms como poda haberlo sido cualquie-ra otra. Por su inters particular merece la pena citar, para convencer-nos, un prrafo de una excelente escritora, sor Juana Ins de la Cruz,que hace una curiosa aplicacin de la teora al margen del mundo ar-quitectnico:

Pues sin ser muy perito en Msica, cmo se entendern aquellasproporciones musicales y sus primores que hay en tantos lugares, espe-cialmente en aquellas peticiones que hizo a Dios Abraham, por las Ciu-dades, de que si perdonara habiendo cincuenta justos, y de este nme-ro baj a cuarenta y cinco, que es sesquinona y es como de mi a re; deaqu a cuarenta, que es sesquioctava y es como de re a mi; de aqu a

treinta, que es sesquitercia, que es la del diatesarn; de aqu a veinte,que es la proporcin sesquiltera, que es la del diapente; de aqu a diez,que es la dupla, que es el diapasn; y como no hay ms proporcionesarmnicas no pas de ah? Pues cmo se podr entender esto sin Msi-ca?[30].

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Las proporciones irracionales

Hasta ahora, como hemos visto, tan solo se han utilizado en las me-didas y proporciones nmeros enteros o fracciones de estos, es decir, n-

meros racionales o que pueden ser expresados mediante una razn arit-mtica de nmeros naturales. Pero existan otros nmeros especialmen-te evidentes por la formulacin del teorema de Pitgoras que, aplicadoal cuadrado perfecto de lado la unidad, obtena "2 de una imposibleexpresin racional como dimensin de la hipotenusa o diagonal delcuadrado. Esta cuestin fue un episodio irresuelto tanto por la geome-tra griega como por la derivada de ella, que nunca expresaron sal-vo esta 1:"2 indicada del lado/diagonal del cuadrado un sistema deproporciones basado en las races de nmeros enteros y pese a la senci-llez de la obtencin geomtrica del mismo. En efecto, la proporcin1:"3 es la existente entre el lado y la diagonal de rectngulo diagneode Serlio; la 1: "4 en realidad la dupla, 1:2 es la existente entre ellado y la diagonal de la anterior 1:"3; la 1:"5 es la que se encuentra en-

tre el lado y la diagonal del rectngulo de proporcin dupla,...[31]

La incomprensin en la poca de las potencias y las races es deduci-ble de los propios parangones geomtricos utilizados para su asimila-cin. As para la segunda potencia decimos cuadrado de un nmeropor analoga con la superficie obtenida en un cuadrado que tuviera pordimensin del lado la del nmero en cuestin; tercera potencia o cubo,

el volumen del cubo que tuviera por arista el nmero que deseamos ele-var,... Pero todo se complicaba cuando quisiramos realizar las mismassemejanzas geomtricas por encima de la tercera dimensin, porque lacuarta dimensin salvo en el desarrollo matemtico posterior y enlas novelas de ciencia ficcin ya no exista perceptivamente. E igualsuceda con las races, que semnticamente eran la causa o el origen

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del nmero el lado o la arista del smil geomtrico anterior que tu-viramos que calcular. Lo mismo ocurra con el trmino irracional utili-zado, con un significado ciertamente matemtico como hemos visto, pe-ro que tambin como sinnimo admitido de algo carente de sentido y

fuera de toda lgica humana, circunstancia que en la poca deba serlo que pensase ms de uno sobre el tema que nos ocupa.

Se ha visto anteriormente como en el libro de geometra de Serlio seincluy la proporcin diagnea, 1:"2, dentro de las cannicas del nue-vo mtodo renacentista para el dimensionamiento de los rectngulos.Algn autor ha hecho la mencin de ser esta inclusin derivada de su

prctica en el medioevo donde, en efecto, fue una de las bases de los tra-zados con 45 y 90 grados de las tramas geomtricas de su arquitectura.Pero parece ms lgico pensar que su procedencia era la vitrubianaque ya se ha visto y que siempre fue tratada por los comentaristas delautor romano, estando presente en numerosas ilustraciones como, porejemplo, en la de Cesariano que se aporta como ilustracin a este traba-

jo. Pero pese a tener tan autorizado origen no dejaba de resultar inc-moda para los autores: el propio Serlio le realiza una apostilla muy sig-nificativa en su descripcin, donde indica que no se encuentra en nin-guna proporcin con el cuadrado perfecto para justificar la existenciade esta relacin entre los lados del rectngulo. La califica de irrazona-ble que no irracional y su publicacin bilinge italiano-francs dela edicin original nos permite adems la interpretacin francesa reali-zada del trmino: inexplicable[32].

Con esta fama no es de extraar que, como se ha indicado en nota,no fuera recogida esta proporcin por Juan de Arfe cuando copia al ita-liano en su libro, a pesar de ser imprescindible en los trazados de algu-nos elementos como el pedestal drico por ejemplo. Y si esto se haca

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con la modesta, pero calificada y prctica[33], proporcin diagnea,puede imaginarse el lector la suerte que corrieron en la teora y la prc-tica arquitectnica todas las dems proporciones irracionales. As, la de-rivada de "3 presente en cualquier composicin triangular equiltera,

no se cit nunca, al igual que sucedi con todas las dems: la propor-cin cordobesa 1:"2-"2 de Rafael de la Hoz; la #, 1:1+"2; inclui-da la celebrrima divina proporcin funcin de "5 de la que da-mos alguna indicacin a continuacin.

A vueltas con la divina proporcin

El conocido nmero de oro o proporcin urea es asimismo una pro-porcin irracional (1+"5)/2 que en su forma geomtrica era cono-cida como de media y extrema razn desde la Antigedad. Fue defini-da por Euclides en sus Elementos para la divisin de la recta y, siendoentre otras cosas la proporcin entre el lado y la diagonal de un pent-gono, tena que ser conocida por los pitagricos que hicieron de este po-

lgono, y del pentalfa derivado de l, un signo de su identidad[34]. Peroen Euclides no existe, como sucede en todo su texto, ninguna indica-cin fuera de las meramente geomtricas, ni referencias estticas, ni si-quiera su expresin aritmtica que, en su poca y como se ha dicho,era desconocida.

La denominacin de divina proporcin apareci en el texto de igual

nombre que Luca Pacioli public en 1509 por semejanza a Dios mis-mo, como dice donde la justific con argumentos de la teologa cris-tiana y referencias a la Santsima Trinidad, que en un batiburrillo mez-cl, como buen neoplatnico, con la cita al Timeo de Platn[35]. Pesea sus elogios retricos Pacioli limit su aplicacin, sin embargo, a cues-tiones meramente geomtricas como la obtencin de pentgonos, dode-

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caedros e icosaedros donde es de una efectiva utilidad sin una ma-yor extensin de la misma. Hasta tal punto esto es as que, cuando abor-da las proporciones humanas no hace la menor referencia a ella, vinien-do a describir el ya entonces ms o menos conocido hombre vitrubia-

no, ni la emplea tampoco en su breve y posterior digresin arquitectni-ca. Cuando se asegura por algunos autores que la proporcin del rostroque aporta corresponde a una aplicacin de la seccin urea es porqueno se sabe lo que se est diciendo: el rostro est inscrito expresamenteen un tringulo equiltero[36].

Pero aunque Pacioli no aplic esta proporcin a ninguna de las cues-

tiones estticas que luego le dieron fama, s la dot de la algebrizacinnecesaria para que se pudiera operar aritmticamente con ella, comouna ampliacin de otra obra suya, la Summa de Aritmtica, que haba pu-blicado en 1494, donde resuma los avances de la aritmtica medievalque completaban la antigua geometra griega y a la que se refiere en re-petidas ocasiones en el texto[37]. As, encontramos referencias a la pro-

porcin urea sin citar a Pacioli en Kepler, dentro suMysterium Cos-mographicum, dndole el tono esotrico tan habitual en el astrnomo ydentro de su bsqueda de una armona geomtrica universal que, porlo dems, realiza tras una prolija aplicacin de las teoras musicales alcosmos [38]. Salvo esto, y pese a lo que se suele repetir, no se conoceninfluencias artsticas posteriores.

El auge posterior de la divina proporcin procede de los estudios rea-lizados a partir del siglo XIX. Hasta entonces salvo el apelativo dadopor fra Luca ni siquiera posea un nombre propio: Kepler, tan aficio-nado a las divinidades, siempre la llam con la designacin eucldea, in-cluso su smil dorado indicado en nota se lo aplic al teorema de Pitgo-ras y no a nuestra proporcin. La primera denominacin de goldener

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Schnitt seccin urea le fue dada por el matemtico alemn Mar-tin Ohm en 1835[39], al que sigui Adolf Zeising[40] en 1854 para suaplicacin a las proporciones humanas retomando el clsico hombre vi-trubiano y, en 1865, Gustav Fechner[41] en sus estudios de esttica.

Tras estos iniciales estudios alemanes se recogi como golden sectionen el artculo Aesthetics que sobre la materia escribi James Sulley, enla novena edicin de la Encyclopedia Britannica de 1875, y fue aplica-do a sus estudios sobre las espirales por Theodore Cook, primero en1903 y despus, en un texto ms amplio y de ms influencia, en1914[42]. Fue precisamente en este texto donde se design al nmero

obtenido de la seccin urea, por primera vez, con la letra griega !, ini-cial de Fidias !$%&'() escultor al que algunos estudios anterioresconsideraban supuestamente usuario de la proporcin en sus esta-tuas[43].

La proliferacin de trabajos que pretendieron aplicar esta propor-cin a los ms diversos campos, desde la biologa a la pintura, excede

lo propuesto en este escrito y se pueden encontrar en obras ms especia-lizadas[44]. S merece la pena citar a dos autores que influyeron nota-blemente en el siglo XX sobre la difusin del tema: Matila Ghyka y LeCorbusier. El primero public en 1927 un libro recopilatorio de los tra-zados proporcionales bastante documentado que, por propia confesin,haba sido motivado por el descubrimiento en una librera anticuariadel texto de Pacioli. Recogi en l los trabajos anteriores de los ya cia-dos Theodore Cook y Jay Hambidge, junto a otros autores y las opinio-nes de Le Corbusier de Vers une Architecture, publicado tan solo cuatroaos antes y con quien se unira posteriormente en mutuas bsquedas[45]. Aunque el texto abordaba todo tipo de estudios y proporciones,fue el propio origen de su inters y la fascinacin por la seccin urea

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lo que le hicieron destacarla, cuestin que abordara en un libro poste-rior con ms amplitud y controvertida opinin.

En 1931, visto el xito del libro anterior, publicLe nombre dor, cuyopropio subttulo es de por s indicativo del afn de dotar al nmero deoro de una validez y trascendencia universal:Rites et rythmes pythagoriciensdans le dveloppement de la civilisation occidentale. A diferencia del primero, es-te se encuentra mucho ms imbuido de las ideas esotricas y teosficasdifundidas en el periodo de entreguerra, con conexiones a veces vidrio-sas con simbologas nazis, abarcando desde la mstica francmasnicahasta el nudismo, y cuya relacin con un cierto ocultismo le fue repro-

chada en alguna ocasin[46].

Miss Helen Wills en Le Nom-

bre Dor (I, lam. XVIII)

El propio carcter de aplicacin universal del nmero !como subli-me garanta esttica le lleva en ocasiones a ser de una ingenuidad con-traproducente, hasta el punto de arriesgarse a hacer perder la fe en lapretendida bondad de la proporcin a sus seguidores ms recalcitran-tes. As, con nuestros cnones actuales, cuando pretende demostrar labelleza de Miss Helen Wills basndose en el anlisis de las proporcio-

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nes ureas de una fotografa de su rostro, el resultado obtenido tan solonos puede hacer pensar que algo ms tendra que haber, entre el autory la referida seorita, que la mera bsqueda abstracta de la proporcinpara pretenderlo. Otros ejemplos que aporta, con curiosas imgenes,

poseen similar grado de debilidad y promueven a la misma poca convic-cin de los lectores en el mtodo[47].

Le Corbusier. Modulor. Dibujo A bordo del carguero

Vernon S. Hood el 6 de enero de 1946

Aunque a partir de entonces las aplicaciones y el abuso de las

teoras de Ghyka a las ms diversas expresiones artsticas fueron innu-merables, conviene destacar la realizada expresamente para la arquitec-tura por Le Corbusier. La relacin entre ambos autores se puede ver enel comentario indito del arquitecto, del 23 de febrero de 1934, sobrela reedicin de laEsthetique des proportionsde Ghyka, que le interes viva-mente. Ya antes haba escrito un pequeo artculo, Tracs regulateurs, en

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1925[48] y, entre 1942 y 1946, desarroll una teora proporcional basa-

da en el nmero !, que expuso por primera vez en una conferencia im-partida en Nueva York en el mes de abril de 1947, dentro del congresoanual de la American Designers Institute, y que incluy posteriormente

en la edicin de su obra. El xito del tema hizo que el propio Ghyka pu-blicara un artculo sobre el mismo en la Architectural Review en febre-ro de 1948 y, aquel mismo ao, se public otro en el RIBA Journal so-bre la seccin urea[49]. Su sistema proporcional Modulor se publicen 1950 y recogi en l, de forma un tanto desordenada, tanto la crni-ca de sus pesquisas como el conjunto de sus aplicaciones a la arquitectu-

ra, la racionalizacin y normalizacin industrial, la pintura,[50]Pese a que su xito en la teora arquitectnica fuera inmediato y a

que Le Corbusier lo empleara en muchas de sus obras, el tema me-nos sencillo de aplicar de lo que inicialmente se pueda suponer fueperdiendo paulatinamente el inters en la arquitectura. Aunque los ar-quitectos de los aos sesenta y setenta del siglo XX lo estudiaban en las

escuelas, para los alumnos actuales resulta una cuestin de autnticoerudito.

Los trazados geomtricos como generadores deproporciones

No es necesario aclarar que, asociado a una forma arquitectnica,

no es lo mismo una proporcin que un trazado geomtrico. La propor-cin, aunque pueda definirse geomtricamente, puede hacerse tambinde manera ms general como una serie numrica, como una relacinaritmtica o una frmula algebraica. Los trazados, sin embargo, tienenque ser obligatoriamente geomtricos y expresados con un soporte gr-fico. Adems, ambos conceptos pueden ser independientes o, por el

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contrario, estar relacionados mutuamente y sugerirse proporciones entrazados o, indistintamente, tramas geomtricas derivadas de series nu-mricas proporcionales. Parece evidente que, al igual que las teorasproporcionales antes citadas, tanto los trazados como las redes geom-

tricas tienen que ser sumamente simples para ser efectivos, de maneraque ayuden al proyectista o a la realizacin de la obra de arquitectura yno al contrario.

Tan solo existen dos tramas geomtricas sencillas de polgonos regu-lares capaces de llenar el plano: la red de cuadrados de 90 y la red detringulos equilteros de 60. La primera, la cuadrcula, es de un uso

ancestral encontrndose ejemplos desde las pinturas egipcias hasta losproyectos del Movimiento Moderno. Utilizada como guin grfico ofalsilla para el dibujo, con el trazado previo sobre el papel de una retcu-la reguladora auxiliar, existe, por ejemplo, en dibujos de Antonio deSangallo el Joven para San Pedro de Roma[51], en las lminas de JuanCaramuel para su Architectura Civil[52] o en las obras y ejercicio de

los alumnos de la cole Polytechnique de Jean-Nicolas Durand[53]. Enninguno de estos casos citados se percibe ninguna pretensin en su em-pleo distinta de la de ser un guin que ayude a ordenar y racionalizarun proyecto arquitectnico

La trama de tringulos equilteros ha sido empleada en muchas me-nos ocasiones pero, sin embargo, tenemos un ejemplo histrico donde

explcitamente se debate sobre este trazado, las obras de la catedral deMiln, con los valores aadidos de conservarse el trazado grfico origi-nal, pervivir histricamente su recuerdo y ser aplicada a la seccin geo-mtrica de la edificacin. Se trata de la intervencin de Gabriele Scova-loca habitual y errneamente llamado Stornaloco en los debatesde la construccin de la catedral lombarda en el ao 1391. An en este

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caso el motivo es exclusivamente tcnico, motivado por la necesidad dedecidir la altura y composicin del templo a partir de una planta ya enmarcha y que se quera conservar.

Trascripcin de Giuseppe Valentini del pergamino atribuido a

Gabriele Scovaloca en la Biblioteca Trivulzina de Miln.

Trazados de la catedral de Milan:

Ad triangulun Ad Cuadratum

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Se debati sobre dos esquemas distintos: una red de tringulos equi-lteros ad triangulum presentada por Scovaloca, y otra de cuadra-dos ad cuadratum que propuso Heinrich Parler, ambas representati-vas de dos posturas distintas ante la solucin geomtrica del problema.

[54]. La triangular finalmente elegida goz de gran fama, pero no se co-noce nuevas intervenciones de Scovaloca en la arquitectura, ni que sudiseo tuviera una especial influencia posterior en otras obras. Pese aello su recuerdo perdur y fue recogida en dos grabados de la edicinde Vitrubio de Cesare Cesariano ilustraciones que no tienen nadaque ver, incluso son contradictorias, con el texto original en uno de

los cuales, recogiendo el trazado, incluye tambin la trama cuadrangu-lar de la planta de los pilares, lo que nos hace ver la coexistencia de dis-tintas tramas geomtricas en funcin de las necesidades tcnicas parala realizacin de las obras.

Cualquiera de estas dos redes se puede considerar, de hecho, conna-tural con la prctica del dibujo, como surgidas de la escuadra y el carta-

bn, instrumentos junto al comps de imprescindible presencia en el ga-binete hasta hace muy poco. A su vez, son generadoras de muy diver-sas proporciones irracionales buscadas o no derivadas de sus rela-ciones geomtricas. Por ejemplo, respecto al lado, la diagonal del cua-drado como sabemos es "2=1,4142, pero si ampliamos el campo, ladiagonal menor del hexgono es "3=1,73205; el radio del octgono

es la proporcin cordobesa 1:"2-"2=1,306562 de Rafael de laHoz[55]; el rectngulo inscrito en el octgono tiene la proporcin #,1:1+"2=2,4142; la altura del tringulo equiltero es "3/2=0,86602; la diagonal del doble cuadrado, formado en la tramacuadrangular la que forma el tringulo hemipitagrico de RafaelLeoz[56] es "5=2,23606... Es fcil de ver que, con independencia

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que el tracista las buscara o no, las combinaciones posibles pueden sermuchas. En general, los trazados a 90 y 45 dan obligatoriamente pro-porciones en funcin de "2, y los realizados a 30 y 60 lo hacen en fun-cin de "3. Es lo que sucede, por ejemplo, con los valos de Serlio que,

al dibujarse con cuadrados o tringulos equilteros como red de posi-cionamiento de los centros de los arcos, invariablemente y a pesar delos deseos del autor, dan proporciones irracionales para sus ejes[57].

Trazado de la catedral de Miln en la ver-

sin del Vitrubio de Cesariano, Como, 1521,libro VI, 98 recto.

Cuando se plantea una trama geomtrica para realizar una obra dearquitectura esta adquiere una libertad de generacin de proporcionesy trazados al margen de la voluntad del tracista y, en el fondo, son elorigen de la mayora de las especulaciones que en la actualidad se reali-

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zan interesadamente sobre estos temas. Esto lo recoge Felipe Soler acer-tadamente cuando indica, cuando hay una pauta de composicin, co-mo se ha dicho muchas veces, es posible encontrar relaciones geomtri-cas consecuencias de ella y en las que no haba pensado el autor. Lo ha-

ce cuando cita, precisamente, ejemplos derivados de las composicionespentagonales que fueron la especialidad del ya citado Frederick Maco-dy Lund[58], con referencia a la catedral de Colonia. No resulta muydifcil observar que semejante trazado pentagonal difcilmente se le po-da haber ocurrido al arquitecto medieval, que tuvo que seguir las senci-llas tramas cuadradas o triangulares presentes en la planta del edificio.

Interpretacin de Lund para la catedral de Colonia

En otras ocasiones la aficin por una figura particular lleva a encon-trar hexgonos por doquier en las composiciones arquitectnicas, co-mo es el caso de Louis Meuni[59], que lo aplica a las ms diversas ar-quitecturas. Lo hace adems de manera reiterada a los alzados, cues-

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tin que merece una indicacin particular: mientras las plantas tienenvocacin de ser trazadas geomtricamente y su forma es la primeraque se plantea, los alzados son productos de una construccin lenta a veces de siglos que solo se ven al final y, por tanto, de mucho ms

difcil control hasta hace muy poco tiempo. Como juego geomtrico nocabe duda se producen muchas veces curiosas coincidencias que danmotivo a ingeniosas interpretaciones, pero pretender hacer de esto lasignificacin profunda de una obra de arquitectura es, sencillamente,no conocer a los arquitectos.

Consideraciones finalesNos queda finalizar este ya extenso prlogo con un comentario de la

obra que se presenta. El libroLos trazados reguladores en la arquitectura clsi-cade Felipe Soler se aade a la extensa lista de obras, algunas citadas ycriticadas anteriormente, que tratan la cuestin. De esas propias opinio-nes vertidas anteriormente en este prlogo se pueden obtener conclusio-

nes interesantes, siendo la principal el rigor y el cario con el que Feli-pe Soler ha abordado la cuestin.

En primer lugar su estudio, fundamentalmente aplicado a las plan-tas octogonales, entra dentro de las condiciones expuestas de una senci-llez geomtrica, y que se han mantenido como consustancial con lostrazados arquitectnicos clsicos, abordndolos desde el rigor geomtri-

co y constructivo sin consideraciones esotricas como las que lastran lamayora de las especulaciones sobre el tema. Lo realiza adems sobrelas plantas o piezas de cermica, asimismo planas que, como se haindicado, s poseen la forzosa construccin geomtrica previa para reali-zar la obra. Lo hace adems, bien con estudios propios sobre el terrenoen la extensa e interesante arquitectura valenciana, bien basndose en

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autores de la mayor solvencia cientfica, desde su posicin de buen co-nocedor tanto de la geometra como de la actividad constructiva del ar-quitecto.

Otro aspecto a destacar en este libro es el hecho de tener muy pre-sente las unidades de medida utilizadas en las obras estudiadas que, es-tando generalmente obviadas en la mayora de los estudios, son de unaimportancia trascendental. El sistema mtrico vigente es producto deuna convencin ilustrada que carece de relacin con las tradicionalesmedidas histricas, siempre en relacin al menos formal con lasdel cuerpo humano. Los palmos, pies o dedos, ms que responder a la

medida de alguna parte del cuerpo, por lo dems variables segn el lu-gar, tenan como principal atractivo su pequea dimensin respecto almetro, con una dimensin perfectamente abarcable por un operario.As, y como se indica en el libro, las medidas principales de una obrasiempre eran nmeros enteros, siendo raras las dimensiones con deci-males y, generalmente, productos involuntarios del propio trazado geo-

mtrico[60].Queda finalmente por destacar la correcta interpretacin grfica y

geomtrica de los trazados y la contencin en las interpretaciones que,generalmente y como se ha dicho, desbordan no solo las intencionesdel tracista sino tambin el entusiasmo del estudioso. Cuando Felipe So-ler indica, como uno de sus objetivos, que los resultados obtenidos debe-

ran considerarse nicamente como hiptesis aproximadas peca de mo-destia, porque muchas de sus conclusiones, adems de exponerse porprimera vez, son difcilmente rebatibles. El presente libro trata la cues-tin de los trazados geomtricos de la arquitectura con una seriedad yrigor difcilmente disponible en la literatura escrita sobre el tema.

Sevilla, enero de 2008

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Notas

1. GENTIL BALDRICH, Jos M, Traza y modelo en el Renacimiento, Sevilla,Instituto Universitario de Ciencias de la Construccin, 1998. Captulo II.

2. SOLER SANZ, Felipe, Perspectiva cnica, 1996. Prlogo. "Una revisin delconcepto histrico de la perspectiva", pp. 5-32.

3. SERLIO, Sebastiano (1475-1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis enlangue franoyse par Iehan Martin. Paris, Iehan Barb, 1545. VIGNOLA,Giacomo Barozzi da (1507-1573), Le due regole della Prospettiva Prattica, Ro-ma, Francesco Zannetti, 1583.

4. ZORZI, Gian Giorgio (1908-1969), "Alcuni disegni di Falconetto", en Palladio,

1955, p. 31.

5. Como indica SCHOFIELD, P. H, Teora de la proporcin en la arquitectura,Barcelona, Labor, 1971, p.31: "Entonces comprendemos que muchas de las fre-cuentes referencias de Vitrubio a la proporcin nada tenan que ver con su as-pecto esttico... ".

6. VASARI, Giorgio (1511-1574), Le vite de piu eccellenti architetti, pittori, et scul-

tori italiani... , Florencia, S/E [Lorenzo Torrentino], 1550./GENTIL BAL-DRICH, Jos M, Traza y modelo ... , cap. primero: "Traza y Modelo en la Vi-das de Giorgio Vasari".

7. RORICZER, Matthus (h. 1430-1495) Das bchlein von der fialen ge-rechtigkeit (Librito sobre la correccin de los pinculos), Ratisbona, 1486.

8. CORBUSIER, Le [Charles-Edouard Jeanneret] (l887 -1965). Modulor. Essaisur une mesure harmonique a l'chelle humaine ... , Paris, L'Architecture d'Au-

jourd'hui, 1950. NEUFERT, Ernst (1900-1986), Bau-Entwurfslehre. Grundla-gen, Normen Und Vorschrifsten..., Berlin, Bauwelt-Verlag, 1936.

9. HERDOTO de Halicarnaso (h. 485 a. C-424 a. C), Los Nueve Libros de laHistoria, Libro II, Euterpe, 109: cuando el ro invada una parte de alguno[terreno], ste tena que ir al rey y manifestar lo sucedido. El rey enviaba, en-tonces, supervisores quienes deban medir en cuanto se haba reducido el terre-

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no, para que el propietario pagara sobre lo que le quedaba en proporcin alimpuesto total que se haba fijado. sta es mi opinin sobre el origen de la geo-metra que despus pas a la Hlade". Herdoto lo sita en tiempos de Sesos-tris (1956-1911 a. C). PROCLO de Licia (412-485), Comentarios..., prlogo,

parte II: ... la Geometra, que naci de la medida de los campos, la inventa-ron los egipcios porque necesitaban medirlos, ya que los desbordamientos delNilo borraban las propiedades". Por su parte ARISTOTELES (384 a. C-322a. C), en Metafsica, 1, 1, an admitiendo el origen egipcio de la Matemtica,se lo achacaba curiosamente a la existencia de una clase sacerdotal que, ocio-sa, propici su dedicacin al desarrollo de la ciencia: ... la Matemtica, naci-da cerca de Egipto, porque en aquel pas las castas sacerdotales estaban libresde todo trabajo.

10. La geometra griega es, lgicamente, mucho ms que una mera aplicacin conla regla y el comps pero, a nuestros efectos, es dudoso que los arquitectos tu-vieran mucho inters, por citar solo unos ejemplos geomtricos, en las especu-laciones de Apolonio sobre las cnicas, o en las teoras de Arqumedes sobrelos elipsoides y paraboloides de revolucin, que denominaba esferoides y conoi-des.

11. Su uso es muy habitual: en la serie de torres conservadas de la muralla almoha-de de Sevilla, que se inicia en la orilla del ro con la conocida Torre del Oro-que se trata en este libro- y concluye en el Alczar, se establece una interesan-te sucesin de polgonos en sus plantas: doce, ocho, seis y cuatro lados.

12. DIOFANTO de Alejandra (h. 210-h.298), Aritmtica, libro VI. En la prcticasolo se us el primer tringulo de la serie, al que Vitrubio (Libro IX, cap. II) ad-

judicaba su invencin a Pitgoras, y la aplicaba, con un sentido prctico caren-

te de misticismo, a la construccin de escaleras.13. EUCLIDES (h. 325 a. C-265 a. C), Elementos, libro IV, proposiciones

XI-XlV.

14. El enegono es el primer caso que aparece en los polgonos de tenerse que apli-car para su obtencin uno de los tres imposibles problemas clsicos de los grie-gos: la triseccin de ngulo. De este se puede obtener una construccin aproxi-

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mada con la cuadratriz de Hipias, al igual que del heptgono regular expusoDurero una construccin inexacta procedente de la tradicin gtica recogidacon anterioridad en la Geometra Deutch. Como se puede comprender, en am-bos casos su uso por un arquitecto solo pudo ser producto de una particular

erudicin.15. VITRUBIO POLION, Marco (s. I a. C), Los diez libros de Architectura de

[...], traducidos del latn y completados por don Joseph Ortiz y Sanz, Madrid,Imprenta Real, 1787. Libro 1, cap. II, p.8: "De qu cosas conste la Architectu-ra"; pp. 267-277 "ndice de las cosas ms notables". La traduccin del texto deVitrubio del valenciano Jos Francisco Ortiz y Sanz -nacido en Ayelo de Malfe-rit en 1739 y fallecido en Valencia el 21 de diciembre de 1822- es, a mi juicio,

la ms correcta de las versiones clsicas espaolas.16. Los diez libros, Libro I, cap. II, p. 11.

17. Los diez libros, Libro III, cap. I, pp. 58-60.

18. Los diez libros, Libro VI, cap. IV, pp. 146-147.

19. Por ejemplo: FOURNIER DES CORATS, Andr, La proporcin egipcia y lasrelaciones de divina armona, Cdiz, Arquitectos de Cdiz, 1999, inicialmente

publicado en Pars, Vega, 1957.20. NICMANO DE GERASA, (s. II), Introduccin a la Aritmtica, lib. I, XVII.

Es curioso -pero significativa de la oposicin de un amplio sector de la cienciasobre estas cuestiones- el comentario despectivo de Francisco Vera (1888-1967) a las exposiciones de Nicmaco sobre los nmeros que seran la base delas proporciones renacentistas: "Contienen estos apartados [las proposicionesXVII-XXIII del libro primero] las definiciones de los nmeros superparticula-

res, superpartientes, hetermecos y otros tan intiles como estos, pero que go-zaron de gran predicamento en la Edad Media ", en Los Cientficos Griegos,Madrid, Aguilar, 1970,II, p. 915, nota 9.

21. BOECIO, Anicio Manlio Torcuato Severino (480-h. 524). Institutio Aritmti-ca, libro I, cap. XIV: "El nmero superparticular es el que, comparado con Au-dio -.-otro, lo contiene en s un nmero de veces y alguna parte de l. Si este

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tiene una mitad se dice que la proporcin es sesquialtera, una vez y media; silo que contiene es una tercera parte se dice que la proporcin es sesquitercia,una vez y un tercio; si es una cuarta parte se dice que es sesquicuarta, una vez

y un cuarto... ". Existe edicin reciente: Fundamentos de aritmtica. Edicin y

traduccin de M Asuncin Snchez Manzano. Len, Universidad de Len,2002.

22. Por ejemplo, el Lucidarium Musicae Plana, tractatus quartus, de MARCHE-TUS DE PADUA, (act. 1318): "Proportiones in musica in quibus consonantieconsistunt sunt sex, scilicet sesquitercia, sesquialtera, dupla, dupla superbipar-tiens, tripla, et quadrupla".

23. ALBERTI, Len Bautista (1404-1472), De re aedificatoria, Florencia, Niccol

di Lorenzo Alemanno, 1485, lib. IX, cap. VI, p. 460: "Di questi numeri, su cuici siamo soffermati, fanno uso gli architetti; non per combinandoli alla rinfu-sa, sibbene in reciproche proporzioni armoniche... ". En la traduccin castella-na de Francisco Lozano, Los diez libros de Architectura, Alcal de Henares,Alonso Gmez, 1582, lib. IX, cap. VI, p. 288: "Destos nmeros quales los he-mos contado usan los architectos, no confusa y mezcladamente, sino corres-pondiendo por toda parte en armona... ".

24. WITTKOWER, Rudolf (1901-1971), "El problema de la proporcin armni-ca en arquitectura", en La arquitectura en la edad del Humanismo, Buenos Ai-res, Nueva Visin, pp. 102-153.

25. SERLIO, Sebastiano (1475-h.1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis enlangue franoyse par Iehan Martin, Paris, Iehan Barb, 1545.

26. SERLIO, Sebastiano, Il primo libro..., hh. 20 v.- 21 r, de la edicin de Pars,

1545.27. PALLADIO, Andrea (1508-1580), I quattro libri della Architettura, Venecia,

Dominico de Franceschi, 1570, p. 52: "Delle loggie, dell'entrate, delle sale... &delle forma loro".

28. SERLIO, Sebastiano, Tercero y cuarto libro de arquitectura, Toledo, En casade Ivan de Ayala, 1552.

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29. ARFE Y VILLAFAE, Juan de (1535-1603), De varia commensuracion parala esculptura, y architectura, Sevilla, Andrea Pescioni y Juan de Len, 1585,hh. 16 v.-17 v. En justa correspondencia a Arfe se debe indicar que su exposi-cin de las proporciones es ms detallada que la de Serlio. No incluye, sin em-

bargo, la proporcin diagnea del italiano sobre la que luego volveremos yque, sin embargo, si utiliz Palladio.

30. SOR JUANA INS DE LA CRUZ (1651-1695), De la poetisa a la muy ilustreSor Filotea de la Cruz. En: Las literaturas hispnicas, Evelyn Picon Garfield &Ivan A. Schulman, Detroit, Wayne State University Press, 1991, volumen 3, p.41. La "sor Filotea" del escrito era el obispo Manuel Fernndez de Santa Cruz(1637-1699), fundador del convento de Santa Mnica en Puebla (Mxico) y co-

rresponsal de sor Juana en sus discusiones teolgicas.31. A esta serie de proporciones irracionales 1:"n, la llam Jay HAMBIDGE

(1867-1924), en Dynamic Simmetry. The Greek vases, Yale University Press,1920, "dinmica", en contraposicin de la "esttica" y racional conocida, consi-derndola la base de la composicin artstica griega.

32. SERLlO, Sebastiano, Il primo libro..., h.21 r.: ... la quale e inrationabile, ne sitrova proportione alcuna dal quadro perfetto a questo cressimento [...] laquel-

le est inexplicable: cal il ne se treuve aucune proportion dans le carr perfaict,qui soit cause de cest acroyssement" La proporcin es recogida tambin porPALLADIO, I quattro libri..., p. 52: ... la lunghezza loro sar per la linea dia-gonale del quadratto della larghezza".

33. La diagnea, por ejemplo, es la proporcin que poseen los formatos DIN dedibujo, por tener la cualidad de seguirse manteniendo la misma relacin conla divisin por la mitad del lado mayor de cada formato.

34. EUCLlDES, Elementos, libro VI, definicin III: "Se dice que una recta est di-vidida en media y extrema razn cuando la lnea total es a la parte mayor co-mo la parte mayor a la menor". En la proposicin 30 del mismo libro estable-ce su forma de obtencin y en otros lugares de su obra hace referencia a ella,por ejemplo, el corolario de la proposicin 17 del libro XIII, donde indica la

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proporcin urea entre la arista del dodecaedro y la del cubo en el que est ins-crito.

35. PACIOLl, Luca (1445-h.1517), Divina proportione, opera a tutti glingegni[sic] perspicaci e curiosi necesaria, Venecia, Paganino de Paganini, 1509. Par-

te I, captulo V, p. 69 de la edicin de Losada, Buenos Aires, 1959.36. PACIOLl, Luca, Divina proportione... , Parte II, captulo I y siguientes: "De la

medida y proporciones del cuerpo humano, simulacro de la arquitectura", p.152 y ss. de la edicin citada. Est referenciada la posesin de la obra por el es-cultor y arquitecto Juan Bautista de Monegro, (1546-1621) y por el cosmgra-fo Jernimo de Chaves (1523-h.1573), cuyo ejemplar con la firma autgrafaconserva actualmente la Universidad de Sevilla.

37. PACIOLl, Luca, Summa de aritmtica, geometra proportione e proportionali-t, Venecia, Paganino de Paganini, 1494. Un ejemplar de esta obra se localiza-ba en la biblioteca de El Escorial, y en la de los arquitectos Juan Bautista deToledo (-1567), la de Juan de Herrera (1530-1597) aricmetica y gemetriade frater lucas en ytaliano"- y la de Juan Bautista de Monegro (1546-1621).

38. KEPLER, Johannes (1571-1630), Mysterium Cosmographicum, Frankfurt,

Erasmus Kempfer, 1621, captulo XII: ... hay dos tesoros en la Geometra,uno es la razn de la hipotenusa al lado en el rectngulo, el otro es la seccinde la recta en razn extrema y media ... ", En la nota 17 del autor, y no segui-do como se suele hacer, les da la conocida calificacin de masa -deba habertraducido "lingote"- de oro y joya respectivamente. Se cita aqu segn la tra-duccin de la segunda edicin de 1621, El secreto del universo, Madrid, Alian-za Editorial, 1992, pp. 133-134 Y 142.

39. OHM, Martin (1792-1872), Die reine Elementar-Mathematik, zum Gebran-chi an hhern technischen Lehr-Anstalten, Berlin, Jonas Verlags, 1835, segun-da edicin.

40. ZEISING, Adolf (1801-1876), Neue Lehre von den Proportionen des menschli-chen Krpers, Leipzig, R. Weigel, 1854; Aesthetische Forschungen, Frankfurt,Meidinger, 1855. Zeising fue el primero que aplic la seccin urea al estudio

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del Partenn y su proporcin humana de 1854 es la recogida por Ernts Neu-fert en su obra.

41. FECHNER, Gustav Theodor (1801-1887), "ber die Frage des goldenSchnitts" (Sobre el asunto de la seccin urea), en Archiv fr die zeichnenden

Knste, n 11, 1865, pp. 100-112.42. COOK, sir Theodore Andrea (1867-1928) Spirals in nature and art; a study

of spiral formations, Londres, J. Murray, 1903; The curves of life: being anaccount of spiral formations and their application to growth in nature, to scien-ce, and to art, Londres, Constable, 1914.

43. The curves of life, p. 420. Como se indica en el texto, el nombre le fue dadopor Mark Barr, a sugerencia de William Schooling (1860-1936), posteriormen-te nombrado sir y destacado especialista en finanzas.

44 Los libros sobre el tema son innumerables y del ms diverso tipo. A ttulo deejemplo se puede consultar uno reciente y suficientemente documentado, queda noticia de numerosas publicaciones: BONELL, Carmen, La divina propor-cin, Barcelona, Edicions UPC, 1999, segunda edicin.

45. GHYKA, Matila Cotiescu (1881-1965), Esthetique des proportions dans la na-

ture et dans les arts, Pars, Gallimard, 1927; Buenos Aires, Poseidn, 1953. Aparte de los autores citados tambin recogi las teoras del zoolgo D'ArcyWentworth THOMPSOM (1860-1948) sobre la geometrizacin de la naturale-za, On growth and form (Cambridge, 1917) y de Frederick Macody LUND(1863-1943), sobre unos discutibles trazados clsicos y medievales, Ad Quadra-tum, (Londres, 1921; Pars, 1922).

46. GHYKA, Matila, Le nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le d-

veloppement de la civilisation occidentale, Pars, Gallimard, 1931, dos volme-nes; Buenos Aires, Poseidn, 1968.

47. Por ejemplo, cuando lo hace con la proporcin del cuerpo humano -donde si-gue a Zeising - nos ofrece la fotografa de un desnudo masculino -en un casosimilar al de Cesariano en su Vitrubio- con un pene desproporcionado (I, lam.XXllI). Hay que destacar que, en un resumen de sus teoras para el mercado

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norteamericano, The Geometry of Art and Life, Nueva York, Sleed & Ward,1946, la pudibunda sociedad americana al que iba dirigido hizo cambiar laslminas nudistas por unos modosos dibujos -a todas luces de un artista localpor la grafa- convirtindolas en las XXXIX y XLI. Miss Helen Wills, sin em-

bargo, aparece igual que en el original (lam. XXXVI) y con el mismo xito ic-nico.

48. LE CORBUSIER [Charles-Edouard Jeanneret] (1887-1965), "Les tracs regu-lateurs" en L'Esprit Nouveau, n 5,1925, pp. 563-572.

49. GHYKA, Matila, "Le Corbusier's modulor and the concept of de golden sec-tion" en, Architectural Review, febrero, 1948, pp. 39-42. ROBERTSON,Manning (1888-1945) "The golden section" en RIBA Journal, octubre, 1948,

artculo pstumo y, en cierta medida, reivindicativo.

50. LE CORBUSIER, Modulor. Essai sur une mesure harmonique a lchelle hu-maine applicable universellement a l'architecture et a la mcanique, Paris,L'Architecture d'Aujourdhui, 1950. La IX Trienal de Miln de 1951 convo-c un coloquio sobre "La Divina Proportione, que se repiti en marzo de1952 en el MOMA de Nueva York y, en septiembre del mismo ao, en Siena,lo que da idea de la rpida aceptacin de estas teoras. En 1955 public una

continuacin, donde daba cuenta de sus xitos y resultados: Modulor 2. La pa-role est aux usagers..., Boulogne, L'Architecture d'Aujourd'hui, 1955.

51. Antonio de SANGALLO el Joven (1484-1546), Iconografa su carta quadettra-ta d'un progetto per a baslica vaticana, Gabinete dei Disegni e Stampe degliUfizzi, 34 A.

52. CARAMUEL DE LOBKOWITZ, Juan (1606-1682), Architectura Civil recta

y oblicua, considerada y dibuxada en el templo de Jerusaln, Vigevano, Camil-lo Corrado, 1678, lam. 26.

53. DURAND, Jean-Nicolas (1760-1834), Prcis de leons d'Architecture, donnesa l'Ecole Royale Polytechnique, Paris, Firmin Didot, 1819. Tuvo varias edicio-nes francesas posteriores, diversos seguidores y una edicin espaola, Madrid,Pronaos, 1981, con prlogo de Rafael Moneo.

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54. Gabriele Scovaloca, denominado mathematicus expertus artis geometricae, defamilia de Piacenza sin ms datos, present el dibujo de la catedral el 24 deseptiembre de 1391. El 13 de octubre de aquel ao la Fabbrica del Duomo leabon como honorarios 16 liras imperiales y, el 1 de mayo de 1392, en compe-

tencia con Heinrich Parler, de una dinasta de famosos arquitectos de origenbohemio, se aprob su diseo con pequeas variaciones que no modificaron elesquema general. VALENTINI, Giuseppe, Il duomo de Milano, Miln, NED,1990.

55. HOZ ARDERIUS, Rafael de la (1924-2000), La proporcin cordobesa, Cr-doba, Diputacin Provincial, 1973. Se reedit en Cointra Press, n 27, pp. 12-21, Madrid, 1977; Colegio Oficial de Arquitectos de Crdoba, 2002.

56. LEOZ DE LA FUENTE, Rafael (1921-1976), Redes y ritmos espaciales, Bar-celona, Blume, 1968. Fue autor de diversas investigaciones geomtricas, entreellas las redes que denomin de la escuadra, del cartabn y hemipitagrica, deuso en los proyectos de arquitectura. Su aplicacin era ms compleja que unsimple trazado, con derivacin espacial en el llamado mdulo HELE, pero enesencia son las utilizadas en el debate milans que se ha indicado.

57. Se puede ver, por ejemplo, en GENTIL BALDRICH, Jos M, "La traza oval

y la Sala Capitular de la catedral de Sevilla. Una aproximacin geomtrica"en Qvatro edificios sevillanos, Sevilla, Demarcacin en Sevilla del COAOc,1996, pp. 73-147. La sala oval, que Serlio pretende sesquitercia en el libro V,es imposible: las proporciones racionales que expuso en el libro I no se puedenconseguir con sus trazados ovales, y por eso Hernn Ruiz tuvo que trazar unaelipse para conseguir una proporcin sesquiltera en la sala.

58. LUND, Frederick Macody (1863-1943), Ad quadratum. A study of the geome-trical base of classic and medieval religious architectute, Londres, Batsford,1921; Ad quadratum. Etudes des bases gomtriques de l'architecture retigieu-se dans lantiquit et au moyen age, Paris, Albert Morance, 1922.

59. MEUNI, Louis, Larchitecture et la geometrie. Symetries et rythmes harmo-niques, Paris, Vicent Freal, 1968.

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60. La Sala Capitular de la catedral de Sevilla, antes citada y que tantos proble-mas mtricos ha dado a sus medidores, es de una sencillez meridiana: 34 x 51pies castellanos, con un mdulo de 17 pies que da la proporcin sesquilterabuscada.

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PrefacioEl tiempo transcurrido desde la publicacin del libro Trazados Regula-

dores Octogonales en la Arquitectura Clsicanos ha obligado a detallar y con-

cretar ciertos pasajes difciles de interpretar en una primera lectura. Sepuede llegar a definir ms detalle, ya sea geomtricamente, o mediantela comparacin de segmentos, segn los parmetros obtenidos #, + o

simplemente 2.

All se mostraron procedimientos geomtricos utilizados para compo-ner edificios a partir de unas formas y tamaos que podan considerar-

se como modelos o prototipos. En ellos se aprecia la existencia de cri-terios generales y matices derivados de la geometra elemental. Porello, se intenta relacionar o identificar esos coeficientes deducidos

= 1 + 2y2 = 1 + 1/ 2con los segmentos que aparecen en los oc-tgonos y en los cuadrados inscritos en circunferencias.

Igualmente se pretende aclarar al lector que el hecho de inscribir o

circunscribir unas figuras en otras, produce entre ellas una relacin desemejanza que depende del coseno de un ngulo: 22,5 en octgonos,30 en hexgonos, 45 en cuadrados, etc. Es obligado mencionar laMadrassa de Amasya (Anatolia, Turqua) que al igual que otras edifica-ciones singulares se han incluido en un nuevo captulo.

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No se trata de hacer un catlogo, sino de analizar la forma de actuarde los constructores siguiendo unas normas comunes. Estos procedi-mientos, no solo fueron aplicados a formas octogonales o hexagonales,ya que la Torre del Oro (Sevilla) o la Iglesia de La Veracruz (Segovia),

dodecagonales, se basan en los mismos principios. La Ermita de SanMiguel (Nules, Castelln) es heptagonal y se origina igualmente me-diante inscripciones o circunscripciones a partir de un ncleo, cuyo pe-rmetro es precisamente 26,87 metros. Haber elegido esta dimensinno parece ser casualidad.

El decgono regular o estrellado tambin ha sido utilizado de forma

anloga. En el Templo de Minerva Mdica (Roma), el ncleo decago-nal, se relaciona con la geometra del octgono para definir ciertos ele-mentos de la periferia. Estos procedimientos de diseo,

trazados reguladores en la arquitectura

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