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Escuela Superior Politecnica del Litoral
Algebra LinealProf. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #8Transformación lineal
DefiniciónSean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W (T: V→W) es una funcion que asigna a cada vector v V un vector unico T(v) W y que satisface:A.1)A.2)
Ejemplo:
T es un operador lineal
No se cumple el primer axioma, por lo tanto T no es lineal.
Teorema:Si T de V en W es una transformación lineal entonces:
La imagen del cero vector de V es el cero vector de W.
Demostración:
La imagen del inverso de X es el inverso de X.
Demostración:
La transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de la transformada.
Demostración:Inducción matemáticaP(n) 1.
2.Suponer: P(K) 1
Ojo: en la inducción matemática solo se trata naturales.Nota: porque no me asegura que se cumpla esto.
Ejercicio:Sea una transformación lineal tal que
Determine
Ubicamos las combinaciones lineales en una matriz para obtener los
Otra manera de llegar a la misma respuesta es la siguiente:
Núcleo o kernel de una transformación lineal
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el núcleo de la transformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como
.
A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por .
Imagen o recorrido de una transformaciónDefinición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T) se lo define como
.
A la dimensión de la imagen de T se lo conoce como rango de T y se denota por .
Teorema:Sea T de V en W una transformación lineal entonces:
1. El núcleo de T es un subespacio de V.Demostración:1) V es un E.V.
2)
2. El recorrido de T es un subespacio de V.
1)
2)
Re(T) es un subespacio de V.
Ejercicio:Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.
a)
Sea P(x)=ax2+bx+c
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.
b)
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.
c)
Representación matricialSea una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x .
Dicha matriz se denomina, matriz de información correspondiente a T o representación matricial de T.
1)
Núcleo de la transformación=núcleo de la matriz asociada
Teorema:Sea T de Rn en Rm una transformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:
Ejercicios:Sea
;determine A(T), Nu(T), Im(T), , .
¿Como resolver el sistema?
Teorema:
Sea V un espacio vectorial de dimensión “n” y W un espacio vectorial de dimensión “m” y T:V W una transformación lineal sea: una base de V y
una base de W, entonces existe una matriz única AT de mxn tal que:
Dicha matriz se denomina matriz asociada a la transformación con respecto a B1 y B2 y esta dada por:
Demostración:
Suponemos:
Ejercicio:
Determine la matriz asociada a la transformación:
Determine A(T) con respecto a:
Solución:
T:
Hallar A(T) con respecto a:
a) base canónica
Solución:
Respuesta:
Sea
Determine:
Solución:
a)
b)
c)
Isomorfismo
Sea una transformación lineal, se dice que T es un isomorfismo si y solo si T es 1a1 y sobre.
Transformación invectiva(1a1): Sea una transformación lineal se dice que T es 1a1 si y solo si el núcleo de T es igual
Transformación sobrejectiva(sobre): Sea una transformación lineal. Se dice que T es sobrejectiva si para todo
existe al menos un tal que .
Es decir T es sobrejectiva si y solo si la imagen de T=W.
Ejemplo:Determine si la transformación dada es 1a1, sobre, o ambas.
Solución:
T es 1a1.
TeoremaSea una transformación lineal, si:
Entonces:1) si T es 1a1 entonces es sobre.2) Si n es sobre entonces T es 1a1.
Ejercicio:Determine si T es isomorfismo:
a)
b)
Solución: las dimensiones no son iguales.
T no es isomorfismo.
c)Sea V un espacio vectorial con determine si:
es un isomorfismo.
Solución:
Entonces
Teorema Sea un isomorfismo si es una base para V entonces
es una base para W.
Espacios vectoriales isométricamente isomorfosSe dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfo
en este caso se escribe .
TeoremaV es isomorfo a W si y solo si la dim(V)=dim(W).
Demostración:
Es posible construir una transformación lineal que sea 1a1.
Es posible construir una transformación lineal que sea sobre.
Inversa de una transformaciónLa transformación lineal es invertible si y solo si existe una transformación lineal tal que es igual a la identidad sobre W y es igual a la identidad sobre V.
Si existe se dice que es una función tal que .
Ejercicio:Determine si la siguiente transformación lineal es invertible:
T es invertible.
Teorema:es invertible si y solo si T es un isomorfismo.
Demostrar: Si es invertible entonces también es invertible y .Solución:
Si es una transformación lineal, T es invertible por tanto existe tal que Si el antecedente me dice es invertible. estas dos son verdaderas.
Si
T es invertible si existeTal que
Existe S´ puesto que S´=T l.q.q.d.
Ejercicios:
1.-Determine si las tranformaciones siguientes son lineales:
a.- f.-
b.- g.-
c.- h.-
d.- i.-
e.- j.-
2.-Sea el espacio vectorial de las matrices simetricas. Sea la Transformacion lineal T: con regla de correspondencia:
T
a)Encuentre una base para el nucleo de T y una base para el recorrido de Tb)Encuentre la nulidad de T y el rangoc)Determine si T en un isomrfismo.Justifique su respuesta
3.-Sea T: una transformacion lineal. Si se conoce que:
Determine la regla de correspondencia de T
4.-Considere la transformacion lineal T: V→V y sea B={ una base de V. Sea
Determine:a)La matriz asociada a Tb)Si T es un isomorfismoc)El nucleo y la imagen de T
5.-Construya de ser posible una transformacion lineal de P en M tal que
T(1-x)= y
6.-Sea T: tal que T(A)=GA donde
a)Determine una base de la imagen de T y la nulidad de Tb)Determine la representacion matricial de con respecto a la base canonica de
7.-Sea T: una transformacion lineal definida por:
a)Encuentre la representacion matricial de T con respacto a las bases canonicas de cada espaciob)Halle una base para y otra base para de modo que la representacion matricial de T con respecto a y sea la matriz identidad.
8.-Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, demuestrelas o de un contraejemplo.
a)Si T: una transformacion lineal definida por , entonces T es
un isomorfismo
b)Si T es un isomorfismo de V en W y T es un operador de W en W, entonces T o T es sobreyectiva
c)Existe una transformacion lineal T: tal que:T(1,0)=(1,1) T(3,2)=(1,-1) T(3,3)=(2,2)
d)Sean V y W espacios vectoriales ambos de dimension n, sean B y B bases para V y W respectivamente, sea ademas la matriz asociada a T con respecto a las bases B y B . Bajo estas condiciones det ≠0 entonces T es un isomorfimo de V a W.
e)Sea T una transformacion lineal de V en W y si { es linealmente independiente en V y T es inyeciva, entonces { }es linealmente independiente en W
f)Si T1 y T2 son isomorfismos de V en W. Entonces(T1oT2) tambien lo es.
g)Sea T: V→W un isomorfismo y . Entonces T: V→w es tambien un isomorfismo
h)Sea V=L( ) el espacio vectorial de las transformaciones lineales cuyo dominio es el espacio de los polinomios de grado menor igual a 2 y cuya imagen esta en , bajo estas condiciones, V es isomorfo a , el espacio de matrices cuadradas 2×2.
9.-Considere la transformacion lineal dada por a)Determine su representacion matricial respecto a las bases canonicasb)Determine su representacion matricial respecto a las bases:
10.-Sea la transformacion lineal con regla de correspondencia:
a)Encuentre una base para el nucleo de T, una base para el recorrrido de T, la nulidad y el rango de Tb)Encuentre ;a representacion matricial de T respecto a las bases canonicas de y , y determine si T es un isomorfismo
11.-Construya de ser posible , una transformacion lineal T: tal que Nu(T)= e Im(T)=gen{x }. Justifique si T es un
isomorfismo.
12.-Sean transformaciones lineales de en dadas por:
a)Encuentre la representacion matricial de estas transformaciones con respecto a la base
b)Determine el nucleo, la nulidad y el recorrido de