Álgebra lineal · función t es una transformación lineal de v en w si y sólo si se verifican...

ÁLGEBRA

LINEAL Ingenierías

ÁLGEBRA II LM - PM

Unidad Nº 5 Transformaciones

Lineales

FCEyT - UNSE

Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lineal (Ings.) - F.C.E. y T.- UNSE

Unidad 5 1

Unidad Nº 5: TRANSFORMACIONES LINEALES Definición

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F, y sea una función WVT →: . La

función T es una Transformación Lineal de V en W si y sólo si se verifican las siguientes

condiciones:

i) , ; ( ) ( ) ( )u v V T u v T u T v∀ ∈ + = +

ii) )()(; uaTauTVuFa =∈∀∧∈∀

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Proposición 1

Si WVT →: una transformación lineal entonces WVT 0)0( =

Demostración

Por propiedad de espacios vectoriales se verifica que

uVu V 00 ; =∈∀ .

Aplicando en ambos miembros T tenemos

� � )0()0(VF

V uTT∈∈

=

��WF

V uTT∈∈

= )(0 )0()1(

WVT 0)0()2(

=

luego

WVT 0)0( = .

V W

u

v

u+v

T(u) T(v)

T(u+v)=T(u)+T(v)

T

au T(au)=aT(u)


Unidad 5 2

Referencias: (1) Por Ax. 2 de definición de transformación lineal. (2) Por propiedad de espacio vectorial.

Q.E.D.

Proposición 2

Si WVT →: una transformación lineal entonces

)()( ; uTuTVu −=−∈∀

Demostración

� � )()()1()1()()2()1(

uTuTuTuTVF

−=−=

−=−∈∈

Luego:

)()( uTuT −=−

Referencias: (1) Por Ax. 2 de definición de transformación lineal. (2) Por propiedad de espacio vectorial.

Q.E.D.

Proposición 3

Si WVT →: una transformación lineal entonces

)(;,11

i

n

ii

n

iiiii uTauaTVuFa ∑∑

==

=

∈∀∈∀ (α)

Demostración:

Se demuestra por inducción en n

� n =1

∑∑==

===

1

111

)1(11

1

1

)()()(i

iii

ii uTauTauaTuaT

Luego la proposición (α) es verdadera para n = 1.

� Suponemos que la proposición (α) es verdadera para n=h, es decir que

(2)1 1

( )h h

i i i ii i

T a u a T u= =

= ∑ ∑

� Bajo este supuesto, probaremos que la proposición (α) es verdadera para n=h+1, es decir

)(1

1

1

1∑∑

+

=

+

=

=

h

iii

h

iii uTauaT


Unidad 5 3

En efecto,

( )

( )

1

1 1 1 1(3) (4)

1 1 1

1

1 1(5) (6)1 1

( ) ( )

h h h

i i i i h h i i h hi i i

h h

i i h h i ii i

T a u T a u a u T a u T a u

a T u a T u a T u

+

+ + + += = =

+

+ += =

= + = + =

= + =

∑ ∑ ∑

∑ ∑

Luego la proposición se cumple para todo n natural.

Referencias:

(1) Por Ax. 2 de transformación lineal. (2) Por Ax. 2 de transformación lineal. (3) Por propiedad de las sumas finitas. (4) Por Ax. 1 de transformación lineal. (5) Por hipótesis inductiva y por Ax. ii) de la definición de transformación lineal. (6) Por propiedad de las sumas finitas.

Q.E.D.

Núcleo de una transformación lineal Sea WVT →: una transformación lineal: Definición

El núcleo de T es el conjunto de vectores Vu∈ , tales que su imagen es el vector nulo de W. En símbolos:

{ }/ ( ) 0def

T WN u V T u= ∈ =

V W

T . . .

Es claro que,

( ) 0T Wu N T u∈ ⇔ =

Propiedades del núcleo de una transformación lineal

Proposición 4

Sea WVT →: una transformación lineal. El núcleo de T es un subespacio vectorial del espacio vectorial V.

. u . . . .

NT

. .

. . .

. . 0W . . . .

. . . . . . . . .


Unidad 5 4

Demostración:

i) TN V⊂ por definición de NT.

ii) TN ≠ ∅ , pues 0V TN∈ ya que WVT 0)0( = por Proposición 1 de transformaciones lineales.

iii) , T Tu v N u v N∈ ⇒ + ∈ En efecto:

(1)

(2) (3) (4)

, ( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0 0 0

T W W

W W W T

u v N T u T v

T u v T u T v u v N

∈ ⇒ = ∧ =

+ = + = + = ⇒ + ∈

Luego Tu v N+ ∈

iv) T Ta F u N au N∈ ∧ ∈ ⇒ ∈

En efecto:

(5)

(6) (7) (8)

( ) 0

( ) ( ) 0 0

T W

W W T

a F u N a F T u

T au aT u a au N

∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∧ =

= = = ⇒ ∈

Luego Tau N∈

Por lo tanto por i), ii), iii) y iv), el núcleo de T es un subespacio vectorial de de V. Referencias (A completar por el alumno)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Q.E.D. Proposición 5

Sea :T V W→ una transformación lineal. { }0 T VN = ⇔ T es inyectiva.

(Sin demostración) Imagen de una transformación lineal Sea WVT →: una transformación lineal: Definición

La imagen de T es el conjunto de vectores de W, que tienen preimagen en V. En símbolos:

{ }/ : ( )def

TI w W v V T v w= ∈ ∃ ∈ =


Unidad 5 5

Es claro que,

: ( ) Tw I v V T v w∈ ⇔ ∃ ∈ = Propiedades de la imagen de una transformación lineal

Proposición 6

Sea WVT →: una transformación lineal. La imagen de T es un subespacio vectorial de W.

Demostración

i) TI W⊂ por definición de IT.

ii) TI ≠ ∅ , pues 0W TI∈ ya que por propiedad 0 : (0 ) 0V V WV T∃ ∈ = .

iii) 1 2 1 2, T Tw w I w w I∈ ⇒ + ∈

En efecto:

1 2 1 2 1 1 2 2(1)

1 2 1 2 1 2(2)

1 2 1 2 1 2 1 2(3) (4)

, , : ( ) ( )

, : ( ) ( )

: ( )

T

T

w w I v v V T v w T v w

v v V T v T v w w

v v V T v v w w w w I

∈ ⇒ ∃ ∈ = ∧ = ⇒

⇒ ∃ ∈ + = + ⇒

⇒ ∃ + ∈ + = + ⇒ + ∈

luego 1 2 Tw w I+ ∈

iv) T Ta F w I aw I∈ ∧ ∈ ⇒ ∈

En efecto:

(5)

(6)

(7) (8)

: ( )

: ( )

: ( )

T

T

a F w I a F v V T v w

a F v V aT v aw

av V T av aw aw I

∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇒

⇒ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇒

⇒ ∃ ∈ = ⇒ ∈

luego Taw I∈ Por lo tanto por i), ii), iii) y iv), la imagen de T es un subespacio vectorial de de W.

I T .

. .

… . .. v

. .. .

. .

.T(v) = w

… … . . . .. . . . . . . . . .. . .. . . . .

V W

T


Unidad 5 6

Referencias:

(1) Por definición de imagen de T. (2) Por (+) en W. (3) Por (+) en V y por Ax. 1 de transformación lineal. (4) Por definición de imagen de T. (5) Por definición de imagen de T. (6) Por (.) en W. (7) Por (.) en V y por Ax. 2 de transformación lineal. (8) Por definición de imagen de T.

Q.E.D. Proposición 7

Sea :T V W→ una transformación lineal. TI W= ⇔ T es sobreyectiva.

Demostración

El enunciado coincide con la definición de sobreyectividad.

Teorema de las dimensiones del núcleo y la imagen

Sea WVT →: una transformación lineal y sea V de dimensión finita n, entonces:

dim dim dimT TN I V+ =

Demostración (sin demo para ING)

1) T

I tiene dimensión finita.

Sabiendo que cualquier base de V es finita, se deduce que T

I tiene dimensión

finita. En efecto si },...,,{21 rwww es un conjunto linealmente independiente en

TI , entonces existe u conjunto linealmente independiente en V { }rvvv ,...,,

21 tal

que:

ii wvTri ==∀ )(:,...,1 .

Esto significa que si T

I no tuviera dimensión finita, entonces V no tendría

dimensión finita.

2) Sea },...,,{21 pxxx una base de

TN .

� Si n=p, entonces VNT

= y 0dim =T

I , pues en este caso es: { }VT

I 0= .


Unidad 5 7

x2

� Si p<n, entonces, por el teorema de extensión, existen syyy ,...,,21 en V,

tales que:

},...,,,,...,,{2121 syyypxxxA=

es una base de V.

Se tiene p+s=n y el teorema se reduce a probar que sIT

=dim .

Consideremos las imágenes de los vectores syyy ,...,,21 ; sean éstas:

ii zyTsi ==∀ )(:,...,1 (ζ).

Demostraremos que { }szzz ,...,,21 es una base de

TI . En efecto:

i) { }szzz ,...,,21 es linealmente independiente.

Sea: W

s

i izi 01

=∑=

α

Por (ζ):

.,;00

0

01

0)(

)5(

11)4(11)3(

1)2()1(1

ji

iyijxjjxjiyi

Niyi

s

iiyiTiyTi

jj

V

s

i

p

j

p

j

s

i

T

s

iWW

s

i

∀∀=∧=⇒

⇒=−⇒=⇒

⇒∈⇒=∑=

⇒=

∑=

∑=

∑=

∑=

∑=

∑=

αβ

αββα

ααα

Referencias: (1) Por proposición 3 de transformaciones lineales. (2) Por definición de núcleo de T.

yn y1

W V W

T(yi)=zi

T

xn 0W

: .:

NT x1

y2 yi ...

...

IT


Unidad 5 8

(3) },...,,{21 pxxx es una base de

TN .

(4) Por (+) en V. (5) Por independencia lineal de A.

ii) { }szzz ,...,,21 es generador de

TI .

Sea z cualquier vector de T

I . Por definición de conjunto imagen se verifica

que:

∑=

∑=

∑=

∑=

∑

=

∑=

∑=

=⇒+=⇒

⇒+=⇒∑=

+∑=

=⇒

⇒+=∧=⇒=∈∃⇒∈

s

i

s

i

p

j W

s

i

p

j

s

i

p

jT

izizizijz

iyTijxTjzs

iiyi

p

jjxjTz

iyijxjxxTzzxTVxIz

111)3(

11)2(

11)1(

0

11

)()(/

ββα

βαβα

βα

Referencias: (1) Expresando a x como combinación lineal de los vectores de la base de V. (2) Por propiedades de transformaciones lineales. (3) Todo

jx es un elemento del núcleo de T.

(4) El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.

Luego se verifica que:

VINTT

dimdimdim =+

Q.E.D.

Teorema de existencia y unicidad de las transformaciones lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo F. Si 1 2{ , ,..., }nB v v v= una base de V y

1 2{ , ,..., }nw w w un subconjunto cualquiera de W, entonces existe1111 y es única4444 la transformación

lineal WVT →: 2222 tal que ii wvTni ==∀ )( ;,...,1 3333.

Demostración 1111 Construiremos una función T de V en W. Para definir T realizaremos el siguiente razonamiento:


Unidad 5 9

Por hipótesis B es una base de V, en consecuencia

Si Vu ∈ entonces existen y son únicos los escalares 1 2, ,..., na a a F∈ tales que u se escribe como

combinación lineal de vectores de B, esto es

��∑= ∈∈

=n

i B

i

F

i vau1

Definimos ahora

∑∑==

=

=n

iii

defn

iii wavaTuT

11

)( .

Es claro que para cada vector

u = ∑=

n

iii va

1

∈ V

existe un único vector

∑∑==

∈=

=n

iii

defn

iii WwavaTuT

11

)(

debido a la unicidad de las coordenadas 1 2, ,..., na a a F∈ de cada vector u respecto a la base B de V.

Por lo tanto queda bien definida la función

∑∑

==

=

=

→n

iii

defn

iii wavaTuTu

WVT

11

)(

:

֏

2222 Probaremos ahora que la función T así definida es una transformación lineal.

i) , ( ) ( ) ( )u v V T u v T u T v∈ ⇒ + = +

En efecto,

(1) ( 2 )1 1

, n n

i i i ii i

u v V u a v v b v= =

∈ ⇒ = ∧ =∑ ∑

Con ai ∈ F, bi ∈ F (coordenadas de u y v respectivamente) y vi ∈ B; ∀ i = 1, 2, …, n

Ahora obtengamos la imagen del vector u + v a través de la función T

( ) ( )( )( )( ) ( )

(3)1 1 1

(4)1 1 1

(5) (6)1 1

( )

( )

( ) ( )

n n n

i i i i i i i ii i i

n n n

i i i i i i i i iii i i

n n

i i i ii i

T u v T a v b v T a v b v

T a b v a b w a w b w

a w b w T u T v

= = =

= = =

= =

+ = + = + =∑ ∑ ∑

+ = + = + =∑ ∑ ∑

= + = +∑ ∑

Referencias:


Unidad 5 10

(1) Los n escalares ia son las coordenadas de u respecto de la base B de V.

(2) Los n escalares ib son las coordenadas de v respecto de la base B de V.

(3) Se aplica propiedad de las sumas finitas y la distributividad del producto por escalares respecto a la

suma de escalares en el espacio vectorial V. El lector puede probar que los n escalares ia + i

b son

las coordenadas del vector u+v respecto de la base B de V. (4) Por definición de la función T.

(5) Como W es un espacio vectorial, vale la distributividad del producto por escalares respecto a la suma d escalares. Se aplica también propiedad de las sumas finitas.

(6) Por definición de la función T.

ii) ( ) ( )F u V T u T uα α α∈ ∧ ∈ ⇒ =

En efecto

(1) 1

n

i ii

F u V F u a vα α=

∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∧ = ∑

Obtengamos ahora la imagen a través de la función T del vector α u

( ) ( )( ) ( )(2) (3)1 1 1

(4) (5)1

( )

( )

n n n

i i i i i ii i i

n

i ii

T u T a v T a v a w

a w T u

α α α α

α α

= = =

=

= = = =∑ ∑ ∑

= =∑

Referencias:

(1) Los n escalares ia son las coordenadas de u respecto de la base B de V.

(2) Por distributividad del producto por escalares respecto a la suma de vectores en el espacio vectorial V. El lector puede probar que lo n escalares αai son las coordenadas del vector αu respecto de la base B de V.

(3) Por definición de la función T. (4) Por distributividad del producto por escalares respecto a la suma de vectores en es espacio

vectorial W. (5) Por definición de la función T.

Luego por i) y ii) la función T es una transformación lineal.

3333 Mostraremos que

1,..., ; ( )i ii n T v w∀ = =

En efecto, como entonces 1,..., ; 1,..., ; i ii n v B i n v V∀ = ∈ ∀ = ∈

por lo tanto existen y son únicos los escalares que permiten escribir a cada vector vi como

combinación de todos los vectores de la base B de V, esto es


Unidad 5 11

1 1 2

2 1 2

1 2

1 0 ... 0

0 1 ... 0

0 0 ... 1

n

n

n n

v v v v

v v v v

v v v v

= + + += + + +

= + + +⋮

Entonces las imágenes de cada uno de los vectores de la base B del espacio vectorial V vienen dadas

por,

( )

( )

( )

.

1 1 2 1 2 1

.

2 1 2 1 2 2

.

1 2 1 2

( ) 1 0 ... 0 1 0 ... 0

( ) 0 1 ... 0 0 1 ... 0

( ) 0 0 ... 1 0 0 ... 1

def de la funciónT

n n

def de la funciónT

n n

def de la funciónT

n n n n

T v T v v v w w w w

T v T v v v w w w w

T v T v v v w w w w

= + + + = + + + =

= + + + = + + + =

= + + + = + + + =

⋮

luego

1,..., : ( )i ii n T v w∀ = = .

4444 La transformación lineal

1 1

: / ( ) n ndef

i i i ii i

T V W T u T a v a w= =

→ = = ∑ ∑ es única.

En efecto, sea WVG →: una transformación lineal tal que

1,..., : ( )i ii n G v w∀ = = .

probaremos que G = T, que es equivalente a probar que para cada vector u del espacio vectorial V

se verifica que la imagen de u a través de G y la imagen de u a través de T son iguales. Esto es,

G = T ⇔ )()( ; uTuGVu =∈∀

entonces

)( )( )( ;11

)1(1

uTwavGavaGuGVun

iii

n

iii

n

iii ∑∑∑

===

===

=∈∀

luego G = T, es decir T es única.

Referencia:

(1) Por propiedad de las transformaciones lineales.

Q.E.D.

Nota


Unidad 5 12

El Teorema precedente nos muestra que cualquier transformación lineal T de V en W queda

unívocamente determinada si se conocen las imágenes de los vectores de una base dada del espacio

vectorial V.

Teorema de la matriz asociada a una transformación lineal

Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre el cuerpo F, y sea W un espacio vectorial de

dimensión m sobre F. Sea B una base de V y C una base de W. Para cada transformación lineal T

de V en W, existe una única matriz nmFA x∈ , tal que

[ ] [ ]; ( )C B

x V T x A x∀ ∈ = .

Demostración

a) Sea 1 2{ , ,..., }nB v v v= la base dada de V y sea 1 2{ , ,..., }mC w w w= la base dada de W. Si T es

cualquier transformación lineal de V en W, entonces T está determinada por su efecto sobre los

vectores vj ∈ B (por el teorema anterior).

Es claro ver que

1 2( ), ( ),..., ( )nT v T v T v W∈ , donde 1 2, ,..., nv v v ; son los vectores de la base B.

WVT →:

Luego, cada uno de los n vectores T(vj) se expresa de manera única como combinación lineal de

vectores de la base 1 2{ , ,..., }mC w w w= de W . Es decir,

V W

T(v1) T(v2)

T

vn T(vn)

: .:

B

v2

v1

: .:


Unidad 5 13

211 11 1 2 1 11

2 12 1 22 2 2 21

1 1 2 21

( ) ...

( ) ...

( ) ...

m

m m i ii

m

m m i ii

m

n n n mn m in ii

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

=

=

=

= + + + = ∑

= + + + = ∑

= + + + = ∑

⋮

Es decir:

1 1 2 21

1,..., ; ( ) ...m

j j j mj m ij ii

j n T v a w a w a w a w=

∀ = = + + + = ∑ (γ)

Los m escalares aij son las coordenadas del vector T(vj) respecto a la base C de W. En consecuencia, las coordenadas de estos vectores respecto de la base C de W son

[ ] [ ] [ ]111 12

21 22 21 2

1 2

( ) , ( ) , ..., ( )

n

nnC C C

m m mn

aa a

a a aT v T v T v

a a a

= = =

⋮ ⋮ ⋮

por lo tanto, la transformación lineal T está determinada por los mxn escalares aij a través de la proposición (γ) La matriz A cuyo elemento genérico es aij viene dada por

[ ] [ ] [ ]1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

A

nC C C

n

n m n

m m mn

T v T v T v

a a a

a a aF

a a a

×

↓ ↓ ↓ = ∈

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

Esta matriz A es única debido a la unicidad de las coordenadas aij, ya que sus columnas son las coordenadas de los vectores T(vj) respecto de la base C de W. La matriz A se denomina “matriz asociada a T respecto al par de bases B y C”. b) Probaremos ahora que

[ ] [ ]; ( )C B

x V T x A x∀ ∈ = .

Es decir, veremos cómo la matriz A determina la transformación lineal T. Para ello:


Unidad 5 14

Si Vx∈ , entonces existen y son únicos 1 2, ,..., nx x x F∈ tales que x se escribe como combinación

lineal de vectores de la base B de V, es decir

1 1 2 21

...n

n n j jj

x x v x v x v x v=

= + + + = ∑

por lo que el vector de coordenadas del vector x respecto a la base B viene dado por

[ ]1

2 B

n

x

xx

x

=

⋮

Calculamos T(x)

� �

(1) (2)1 1 1 1 1 1

(3) 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) = ( )

n n n m n m

j j j j j ij i j ij ij j j i j i

n m m n m n

j ij i j ij i j ij ij i i j i j

F FF

T x T x v x T v x a w x a w

x a w x a w x a w

= = = = = =

= = = = = =∈ ∈

∈

= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑��

luego el vector de coordenadas de T(x) respecto de la base C de W es

[ ] [ ]

11 11

2 21 1

1 1

1

2( ) ( )

nn

j jj j jj

n

j j j jj j

n n

j mj mj jj j

i a xx a

nx a i a x

T x T xc c

x a a xi m

==

= =

= =

← = ∑∑ ∑ ← = ∑ = ⇒ = ∑ ∑ ← =

⋮ ⋮

(δ)

Referencias: (1) Por propiedad de las transformaciones lineales.

(2) Por (γ).

(3) Por propiedad de las sumas finitas.

(4) Por propiedad de las sumas finitas.

Calculemos ahora [ ]

BA x

[ ]

�

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1

A

n

n

m m mn n

B

nm n

a a a x

a a a xx

a a a x

××

= =

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯��


Unidad 5 15

11

11 1 12 2 1

221 1 22 2 21

1 1 2 2

1

...

... ( )

...

n

j jj

n nn

j jn nj

nm m mn n

mj jj

a xa x a x a x

a xa x a x a x

a x a x a xa x

ε

=

=

=

∑ + + + + + + ∑ = = + + + ∑

⋮⋮

De (δ) y (ε) se sigue que [ ] [ ]; ( )

C Bx V T x A x∀ ∈ = .

Q.E.D. Nota

La matriz asociada representa a la transformación lineal en las bases B y C.

Transformación lineal asociada a una matriz Proposición

Si m nA F ×∈ (F es un cuerpo) entonces la función 1 1: n mT F F× ×→ definida por AXXT =)( es una

transformación lineal del espacio vectorial 1n

FF×

en el espacio vectorial 1m

FF×

.

Demostración Probaremos que AXXTFFT mxnx =→ )(/: 11 es una transformación lineal:

i) 1, ( ) ( ) ( )nX Y F T X Y T X T Y×∈ ⇒ + = +

(1) (2) (3)

( ) ( ) ( ) ( )T X Y A X Y AX AY T X T Y+ = + = + = +

Referencias: (1) Por definición de T. (2) Por distributividad del producto de matrices respecto a la suma de matrices (3) Por definición de T.

ii) 1 ( ) ( )na F X F T aX aT X×∈ ∧ ∈ ⇒ =

(1) (2) (3)

( ) ( ) ( ) ( )T aX A aX a AX aT X= = =

Referencias:

(1) Por definición de T. (2) Por propiedad del producto de un escalar por una matriz (3) Por definición de T.


Unidad 5 16

Luego por i) y ii) T es una transformación lineal.

Q.E.D.

Nota

Toda matriz mxnFA∈ determina de modo natural una transformación lineal 11: mxnx FFT → definida por AXXT =)(

LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Y LOS SISTEMAS DE ECU ACIONES LINEALES Sea mxnF∈A entonces, por la proposición anterior, queda definida la transformación lineal AX)X(/: 11 =→ TFFT mxnx

1nxF 1mxF T Aquí se presentan dos problemas lineales: 1º problema lineal

Dado 1X nxF∈ , encontrar )X(T . Respuesta Para encontrar )X(T basta con realizar el productoXA , ya que XA)X( =T . 2º problema lineal

Dado 1B mxF∈ determinar, si existe, 1X nxF∈ tal que B)X( =T . Respuesta: Es claro que este problema, se reduce a resolver el sistema de ecuaciones lineales AX= B, donde

mxnF∈A , 1B mxF∈ y X es el vector incógnita de tipo nx1. Es decir determinar el conjunto solución del sistema dado por SB = {X ∈ Fnx1/ AX=B} = {X ∈ Fnx1/ T(X)=B} = T -1 ({B})

• X

IT • T(X) = AX


Unidad 5 17

donde T -1({B}) es el conjunto preimagen por T de {B}. Es decir que X es una solución de AX = B ⇔ X ∈ T-1 ({B})

1mxF 1nxF 1nxF T Proposición

Sea el sistema de ecuaciones lineales AX= B, donde mxnF∈A , 1B mxF∈ y X es el vector incógnita de

tipo nx1

I . El sistema BAX = es compatible TIB⇔ ∈ .

II. BAX = es compatible determinado TI TB ∧⇔ ∈ es inyectiva.

III . BAX = es compatible indeterminado TI TB ∧⇔ ∈ no es inyectiva.

IV. BAX = es Incompatible TIB∉⇔

V. BAXFB mx =∈∀ ;1 es compatible ⇔ T es sobreyectiva. Demostración Queda para el alumno. Proposición Sea mxnmxnx FTFFT ∈=→ Acon ,AX)X(/: 11 . Entonces:

I. T es una transformación lineal. II. dim IT = rg A III. NT = So, donde So es el conjunto solución del sistema de ecuaciones AX=0.

Demostración I. Ya está demostrado.

II.

{ }1 1mx nxI B F / X F :T( X ) BT = ∈ ∃ ∈ = = { }1 1mx nxB F / X F : AX B∈ ∃ ∈ = =

T -1 ({B})

• B • …

• • •


Unidad 5 18

==∀=+++∈∃∈=

A de columna es ;,...,1;B...:,...,,/B

2211211

jnnnmx cnjcxcxcxFxxxF

1es columna de1 2

11

nmxCn j j j

jB F / x ,x ,...,x F : x c B; j ,...,n;c A S ( A)

∑ =

= ∈ ∃ ∈ = ∀ = =

Es decir, CI S ( A)T =

donde CS ( A) es el Espacio columna de A.

Por lo tanto, )()(dimdim ArgASTI C

==

III. { } { }1 100 0nx nxN X F / T( X ) X F / AX SvT = ∈ = = ∈ = =

Donde 0v es el vector nulo del espacio vectorial Fmx1 y S0 es el conjunto solución del sistema

AX=0.

Por lo tanto,

0dimdim STN =

Recordemos: Si WVT →: es una transformación lineal y si V tiene dimensión finita n, entonces

nVINTT

==+ dimdimdim .

Por consiguiente,

)(dimdimdimdimdimdim)1(

1 ArgnNInNnFINTTT

nxTT

−=⇒−=⇒==+

Referencias:

(1) Por apartado II. Q.E.D

Teorema de Rouché-Frobenius

Sean mxnF∈A y 1B mxF∈ . El sistema de ecuaciones lineales BAX = es compatible si y sólo si, el rango de la matriz de

coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada [ ] ( )1m naA A| B F × += ∈ .

En símbolos: BAX = es compatible )A((A) argrg =⇔ . Demostración:

BAX = es compatible ⇔=∈∃⇔∅≠⇔ BXA:X 1nxB FS 1 2

1

n

n j jj

x ,x ,...,x F : x c B=

∃ ∈ =∑


Unidad 5 19

Es decir B es combinación lineal de las columnas cj de la matriz A (*) Razonamiento: Sea C el conjunto formado por los vectores columnas de la matriz A, esto es

{ }1 21

nmxC c ,c ,...,c F= ⊂ .

El subespacio generado por C es precisamente el Espacio columna de A, es decir )A(

CSC = .

Luego por (*) resulta que )(B ASC

∈ .

Sea CB el conjunto formado por los vectores columnas de la matriz ampliada Aa, es decir,

1},,...,,B

A de columnas

A de columnas

21{ mxBccc FC

a

n ⊂=��

�� .

Es claro que el conjunto CB es linealmente dependiente puesto que B es combinación lineal de los restantes vectores de CB. Además el subespacio generado por CB es precisamente el Espacio columna de Aa, esto es

)( aASCCB

= .

¿Cómo son los espacios )(ASC

y )( aASC

?

Tenemos hasta aquí que: B es combinación lineal de las columnas de A, luego

BC es linealmente dependiente y es tal que

{ }1 2 nC c ,c ,...,c= ⊂ { }1 2 nBC c ,c ,...,c ,B=

Teniendo en cuenta la Proposición 3 de Dependencia Lineal, Unidad Nº 2, se sigue que los conjunto C y CB generan el mismo subespacio, esto es

B

CC =

por lo tanto

)()( aASASCC

=

Luego continuamos la demostración en (*)

⇔ )()( aASASCC

= ⇔ rg A = rg Aa.

Q.E.D. Una consecuencia inmediata del Teorema es el siguiente Resultado Sean mxnF∈A y 1B mxF∈ .


Unidad 5 20

El sistema de ecuaciones lineales BAX = es incompatible si y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes A es distinto que el rango de la matriz ampliada. En símbolos

BAX = es incompatible )A((A) argrg ≠⇔ .

Corolario Sea un sistema de ecuaciones lineales AX=B con mxnF∈A , entonces i) AX=B es determinado si rg A = rg Aa = n (número de incógnitas) ii) AX=B es indeterminado si rg A = rg Aa < n (número de incógnitas) Demostración

Queda para el alumno

Álgebra lineal · función t es una transformación lineal de v en w si y sólo si se verifican...

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