Álgebra lineal · Álgebra ii (lm-pm)-Álgebra lineal (ings.)-f.c.e. y t.-unse unidad 1 1 1.-...

ÁLGEBRA

LINEAL Ingenierías

ÁLGEBRA II LM - PM

Unidad Nº 1 MATRICES.

DETERMINANTES

FCEyT - UNSE

Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE

Unidad 1 1

1.- INTRODUCCIÓN

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS de GRUPO y de CUERPO Definición 1

Sea ∅≠G y sea * una operación en G. El par ( )∗ ,G es un grupo si y sólo si:

A1) * es una ley de composición interna en G. Es decir, * es una función con dominio en el producto cartesiano G x G y toma valores en G, en símbolos

( ) ba ba,

GGG∗

→×∗֏

:

A2) * es asociativa en G. En símbolos

( ) ( )c b ac b a G c b, a, ∗∗=∗∗∈∀ ;

A3) Existe un elemento neutro e ∈∈∈∈ G respecto de la ley * . En símbolos

a ae eaGae =∗=∗∈∀∈∃ ; :G

A4) Para cada elemento a ∈∈∈∈ G existe un elemento inverso a’ ∈∈∈∈ G respecto a la ley * . En símbolos

eaaaaGaGa ' ' : ' ; =∗=∗∈∃∈∀

Notas

1. La estructura algebraica de grupo ha sido definida en forma axiomática.

2. El axioma A1) suele escribirse de la siguiente manera

∀ a, b ∈ G ; a * b ∈ G 3. El axioma A1) indica que el conjunto G es “cerrado” con respecto a la ley *. También suele

decirse que el conjunto G es “estable” respecto a la operación *.

4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.

5. Diremos simplemente “sea G un grupo” cuando la ley * esté sobreentendida.

6. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la suma, diremos que G es un grupo aditivo. En esta situación el elemento neutro aditivo se llama “elemento nulo” o simplemente “cero” y suele representarse con 0; y dado a ∈ G al inverso aditivo de a, denominado “opuesto de a”, se denota con –a.

7. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la multiplicación, diremos que G es un grupo multiplicativo. En esta situación el elemento neutro multiplicativo se le llama “unidad” y suele

representarse con 1; y dado a ∈ G al inverso multiplicativo de a, denominado “recíproco de a”, se denota con a -1.

Ejemplos de grupos:

Grupos aditivos

� (Z, +) El conjunto de los números enteros con la suma de números enteros.


Unidad 1 2

� (Q, +) El conjunto de los números racionales con la suma de números racionales.

� (R, +) El conjunto de los números reales con la suma de números reales.

� (C, +) El conjunto de los números complejos con la suma de números complejos.

� (R2, +) El conjunto de los pares ordenados de números reales (o vectores del plano cartesiano) con la suma de pares ordenados definida por

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

Aquí, el cero es el par (0, 0) y el opuesto de (x1, y1) es -(x1, y1) = (-x1, -y1).

� (Rn, +) El conjunto de las n-uplas ordenadas de números reales con la suma de n-uplas (con n ∈∈∈∈ N) definida por

(a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1+ b1, a2+ b2, … , an+ bn)

Donde, el cero es la n-upla (0, 0, … , 0) y el opuesto de (a1, a2, …, an) es

- (a1, a2, …, an) = (-a1, -a2, …, -an)

� (Z3, +). Donde Z3 ={0,1,2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3 y la suma está definida por la siguiente tabla

+

0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

Grupos multiplicativos

� (Q – {0}, .) El conjunto de los números racionales no nulos con la multiplicación de números racionales no nulos.

� (R – {0}, .) El conjunto de los números reales no nulos con la multiplicación de números reales no nulos.

� (C – {(0, 0)}, .) El conjunto de los números complejos no nulos con la multiplicación de números complejos no nulos.

� (Z3 – {0 }, .) Donde Z3 – {0 } = {1,2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3, distintas de la clase del cero, y la multiplicación está definida por la siguiente tabla


Unidad 1 3

.

1

2

1

1

2

2

2

1

No son grupos: � El conjunto N de los números naturales con la suma de números naturales.

� El conjunto Z de los enteros con la diferencia de números enteros.

� El conjunto R de los números reales con el producto de números reales.

Definición 2

Sea ( )∗ ,G un grupo. El grupo G es conmutativo(o abeliano) si la ley de composición interna * es conmutativa. Es decir, a bb G: a a, b ∗=∗∈∀

Ejemplos de grupo conmutativo(o abelinano) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Rn, +), (Z3, +)

(Q – {0}, .), (R – {0}, .), (C – {0}, .), (Z3 – {0 }, .) PROPIEDADES Sea ( ),*G un grupo.

Proposición 1

El grupo G admite un único elemento neutro. Proposición 2

El inverso de cada elemento de G es único. Proposición 3

El inverso del inverso de cada elemento a de G es a, esto es ( ) aa ' ' = . Proposición 4

Cualesquiera sean a, b ∈ G, el inverso del elemento a * b es b’* a’. Es decir

( ) ' ' ' : , abbaGba ∗=∗∈∀ . Proposición 5 Cada elemento del conjunto G es cancelable o regular. Esto es, cualesquiera sean a, b, c ∈ G se verifica (a * b = a * c ⇒ b = c ) ∧ (b * a = c * a ⇒ b = c )


Unidad 1 4

Proposición 6 Cualesquiera sean a, b, c ∈ G, las siguientes ecuaciones en la variable x admiten solución única en G

a * x = b ⇒ x = a’* b x * a = c ⇒ x = c* a’ Nota Las demostraciones de las proposiciones anteriores quedan para el alumno. Definición 3

Sea F ≠ ∅ y “+”, “.” dos operaciones en F. La terna (F, +, .) es un cuerpo si y sólo si:

Ax1) (F, +) es grupo abeliano. Esto es

� + es una ley de composición interna en F ∀ a, b ∈ F ; a + b ∈ F � + es asociativa

( ) ( )cbacbaFcba ++=++∈∀ :,,

� Existe elemento neutro aditivo en F aaaFaF =+=+∈∀∈∃ 00 ; :0

� Cada elemento de F admite opuesto en F 0)()(: , =+−=−+∈−∃∈∀ aaaaFaFa

� + es conmutativa

abbaFba +=+∈∀ : ,

Ax2) (F-{0}, .) es grupo abeliano. Esto es

� . es una ley de composición interna

∀ a, b ∈ F - {0}; ab ∈ F- {0} � . es asociativa

( ) ( )bcacabFcba =−∈∀ :}0{,,

� Existe elemento neutro multiplicativo en F- {0} aaaFaF ==−∈∀−∈∃ 11 };0{ :}0{1

� Cada elemento de F-{0} admite recíproco en F-{0}

111 :}0{1 };0{ =−=−−∈−∃−∈∀ aaaaFaFa .

� . es conmutativa

baabFba =−∈∀ };0{ ,

Ax3) La multiplicación es distributiva respecto de la suma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda

� (a + b) c = ac + bc � a(b + c) = ab + ac


Unidad 1 5

Ejemplos de cuerpos

( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅+ ,, ,,, ,,, CRQ , ( )⋅+,,Z p con p primo

No son cuerpos

( ), , , ⋅+Z (Z4, +, .) Definición 4

Sea (F, +, .) un cuerpo.

a) Sean a y b ∈ F , se define la resta a – b = a + (– b )

b) Sean a y b ∈ F y a ≠ 0. Se define la división

a

b = a-1b

PROPIEDADES

Proposición 1

Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces 0 00 , ==∈∀ aaFa Demostración

0 es elemento neutro aditivo

por distributividad de ( .) respecto a ( )

0 es elemento neutro aditivo

por Propiedad cance

0 (0 0)

0 0 0

0 0 0 0

0 0

a a

a a a

a a a

a

+

= += +

+ = += lativa en el grupo ( , )F +

) ,( grupo elen acancelativ Propiedadpor

aditivo neutro elemento es 0

)( a respecto .) ( de vidaddistributipor

aditivo neutro elemento es 0

00

0000

000

)00(0

+

+

=+=++=+=

Fa

aaa

aaa

aa

Proposición 2

Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces )( )( )( ; , abbabaFba −=−=−∈∀

Demostración

i) ( )[ ]

[ ]

0 0)()(

0 0)(

==+−=+−==−+=−+

bbaaabba

bbaabaab

luego )()( abba −=− ii)


Unidad 1 6

[ ][ ]

00)()(

00)()(

==+−=+−==−+=−+

abbaabba

abbabaab

luego )( )( abba −=−

Proposición 3 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces abbaFba =−−∈∀ ))((:,

Demostración

[ ] [ ] ababbaba =−−=−−=−− )()())(( Proposición 4 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces acabcbaFcba −=−∈∀ )(:,,

Demostración

[ ] [ ] acabababcaabcbacba −=−+=−+=−+=− )()()()( Proposición 5

Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces ( )000 ; , =∨=⇒=∈∀ yxyxFyx Demostración Hay que probar que: 000 =⇒≠∧= yxxy

Sea entonces 00 ≠∧= xxy (*)

Como Fxx ∈∧≠ 0 y (F-{0}, .) es un grupo abeliano, x admite inverso multiplicativo, esto es:

1: 111 ==∈ −−− xxxxFx

En la igualdad (*) multiplicando en ambos miembros por 1−x , luego aplicamos Proposición 1 de cuerpo, asociatividad, axioma de inverso y axioma de elemento unidad.

( )1 1

1

0

0

1 0

0

x xy x

x x y

y

y

− −

−

=

=

==

Q.E.D. Nota La propiedad precedente indica que todo cuerpo F carece de divisores de cero. Proposición 6 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces vale la ley cancelativa del producto para elementos no nulos de F. Demostración

Se debe probar que, ∀x, y, z ∈ F ; ( yxzyzxz =⇒≠∧= 0 )

Sea entonces


Unidad 1 7

0≠∧= zyzxz (1)

Como Fzz ∈∃≠ −1 ,0 , en (1) se multiplica en ambos miembros por el inverso de z

yx

yx

zzyzzx

zyzzxz

==

−=−

−=−

11

)1()1(

1)(1)(

Proposición 7

Si (F, +, .) es un cuerpo y 0y , ≠∈ aFba , entonces la ecuación de primer grado en la variable x bax= , admite solución única en F

Demostración

Partimos de la ecuación

1

)(

)(

1

1

11

11

bax

bax

baxaa

baaxa

bax

−

−

−−

−−

=

=

=

=

=

Luego, 1bax −= es la solución de la ecuación dada y la unicidad de la solución se debe a que a admite un único inverso y la multiplicación es una ley de composición interna en F.

Q.E.D. Proposición 8 El recíproco (inverso multiplicativo) del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco. Esto es ∀ a ∈ F- {0} ; (- a)-1 = - (a-1), Demostración Queda para el alumno. 2. MATRICES Definición 1 Sean m y n dos números naturales cualesquiera distintos. Una matriz A de tipo mxn con elementos de un conjunto F es una ordenación de mn elementos del conjunto F, dispuestos en m filas y n columnas.


Unidad 1 8

=

mnamjam

am

a

inaijai

ai

a

na

jaaa

na

jaaa

A

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

……

21

21

222221

111211

Notas • Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q

(Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc. • El conjunto de las matrices de m filas y n columnas con elementos de un cuerpo F se denota con

mxnF .

• Escribiremos mxnFA∈ para indicar que la matriz A es de tipo mxn y tiene elementos del cuerpo F.

Ejemplos

53

20121

11160

043/231

xA R∈

−−−−

= ; 34

110

100

011

101

xB 2Z∈

= ; 32

102

431 xD R∈

−= ;

13

3

0

2/1

xE Q∈

= ; 23

19

320

18

xi

ii

F C∈

+−

= ; [ ] 31 021 G xR∈=

Definición 2 Una matriz A de orden n con elementos de un conjunto F, es una ordenación de n2 elementos del conjunto F, dispuestos en n filas y n columnas.

=

nnanjan

an

a

inaijai

ai

a

na

jaaa

na

jaaa

A

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

……

21

21

222221

111211

Notas

• Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q (Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc.

• El conjunto de las matrices de orden n con elementos de un cuerpo F, se denota con nxnF . Este

conjunto es un caso particular del conjunto mxnF cuando m = n.


Unidad 1 9

• Escribiremos nxnFA∈ para indicar que la matriz A es de orden n y tiene elementos del cuerpo F.

Ejemplos

33

603

07/12

101xH R∈

−

−= ;

2243

1 xii

iJ C∈

+−

= ; 44

22971

3/2620

2/1107

1475,032

xL Q∈

−−−−

−

=

Notas • Una matriz es rectangular si el número de filas es distinto al número de columnas. • Una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas • Una matriz real es aquella cuyos elementos son números reales. Una matriz compleja es la que

sus elementos números complejos.

Notaciones

Sea la matriz mxnFA∈ , (con m ≠ n ó m = n) dada por

=

mnamjam

am

a

inaijai

ai

a

na

jaaa

na

jaaa

A

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

……

21

21

222221

111211

I. Cada fila de la matriz A suele representarse por una matriz del tipo 1xn denominado vector

fila. La fila i-ésima viene dada por

xnFin

aij

ai

ai

ai

fmi 121

;,...,1 ∈

==∀ …… ,

La matriz A puede representarse en término de sus m vectores filas ,..., , ...,,

2,

1 mf

ifff del

siguiente modo:

=

mf

if

f

f

A

⋮

⋮

2

1

II. Cada columna de la matriz A es común representarla por una matriz del tipo mx1, llamado

vector columna. La j-ésima columna de A está dada por


Unidad 1 10

1

2

1

;,...,1 mx

mja

ija

ja

ja

Fjcnj ∈==∀

⋮

⋮

La matriz A puede representarse en término de sus n vectores columnas ,..., , ...,,2

,1 n

cj

ccc

mediante:

=n

cj

cccA ... ...21

III. Al elemento aij se le llama elemento genérico de la matriz A. Éste se emplea para denominar la forma en que se denotan los elementos de la matriz y permite escribirla en manera abreviada por,

nj

miijaA

≤≤≤≤

=1

1.

Cuando se conoce de antemano el número de filas y de columnas de la matriz simplemente escribiremos

= ijaA

IV. Si nxnFA∈ , los elementos a11, a22,…, ann, forman la diagonal principal de A. MATRICES ESPECIALES Matriz nula

Una matriz perteneciente al conjunto mxnF con m ≠ n ó m = n, que tiene todos los elementos

iguales a cero (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz nula. En símbolos:

= ijoO , con ,0=ijo mi ,...,1=∀ ∧ nj ,...,1=∀

Ejemplos

Matrices reales nulas son:

000

000, [ ]00 ,

0

0

0

,

00

00 ,

000

000

000,

0000

0000

0000

0000

,

Matriz unidad

Una matriz de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los escalares de la diagonal principal son unos (elemento neutro multiplicativo del cuerpo F) y los restantes elementos de la matriz son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F) se llama matriz unidad de orden n y se simboliza con In. En símbolos:


Unidad 1 11

=jnI

iδ , siendo

≠==

jiji

ij si 0 si 1

δ .

Ejemplos

Matrices reales unidad son:

I3 =

100

010

001, I4 =

1000

0100

0010

0001

, I2 =

10

01

Matriz diagonal

Una matriz D de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), recibe el nombre de matriz diagonal. En símbolos:

nxnFijaA ∈=

es diagonal jiija ≠=⇔ si ,0 .

Ejemplos Las siguientes matrices reales son diagonales

100

010

001;

−

−

4000

0300

0010

0002 ;

00

00

Matriz triangular superior

Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la cual todos los elementos que están debajo de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz triangular superior. En símbolos

nxnFijaA ∈=

es triangular superior jiija >=⇔ si ,0 .

Ejemplos

−−

100

120

031,

−

−

4000

0300

0210

1012

,

00

00

Matriz triangular inferior

Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz triangular inferior. En símbolos

nxnFijaA ∈=

es triangular inferior jiija si ,0 <=⇔ .


Unidad 1 12

Ejemplos

−

−

2/134

05/20

001,

−−+

−

4310

00021

000

0002

i

i

i ,

00

00

Observaciones � Todas las matrices diagonales son triangulares superior e inferior. � La matriz unidad y la matriz nula de orden n, son matrices diagonales, por lo tanto tienen la

propiedad de ser triangular superior y triangular inferior.

Matriz diagonal

Una matriz D de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), recibe el nombre de matriz diagonal. En símbolos

nxnijA a F

= ∈ es diagonal jiija ≠=⇔ si ,0 .

Ejemplos Las siguientes matrices reales son diagonales

100

010

001;

−

−

4000

0300

0010

0002 ;

00

00

Matriz escalar

Una matriz E de orden � con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F) y los elementos de la diagonal principal son todos iguales entre sí, recibe el nombre de matriz escalar. En símbolos

[ ] nn

ij FaA ×∈= es una matriz escalar si y sólo si ija =

≠=

jisi

jisi

0

λ

Ejemplos:

20

02

−−

−

100

010

001

1000

0100

0010

0001

000

000

000

Observaciones

� Todas las matrices diagonales son triangulares superior e inferior. � Todas las matrices escalares son diagonales y por lo tanto son triangulares superior e inferior. � La matriz unidad y la matriz nula de orden �, son matrices escalares, por lo tanto tienen la propiedad de ser

diagonales y en consecuencia son también triangulares superior e inferior.

IGUALDAD DE MATRICES


Unidad 1 13

Definición 3 Sean m y n dos números naturales cualesquiera (con m ≠ n ó m = n) y F un cuerpo. Dos

matrices mxnFijaA ∈=

y mxnFijbB ∈=

son iguales si y sólo si sus elementos

correspondientes son iguales. En símbolos

njjmiiijbijaBAdef

≤≤∈∀∧≤≤∈∀=⇔= 1 ; 1 ; ; NN .

Ejemplos

En los siguientes ejemplos se puede observar que se satisface la Definición 3

a)

− 15,0

10=

)(2/1

1)0(

πcos

sen

b)

→

/2)(02

12/1

lim 0

πcosx

xsenx =

002

15,01

OPERACIONES CON MATRICES

I. SUMA DE MATRICES Definición 4

Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sean mxnFij

aA ∈

= y mxnFij

bB ∈

= . La

matriz mxnFij

cC ∈

= , es igual a la suma A + B si y sólo si

njjmiiFijbijaijc ≤≤∈∀∧≤≤∈∀∈+= 1 ; 1 ; ; NN

Observaciones

• Dos matrices se pueden sumar (o están conformes para la suma) si los elementos de ambas pertenecen al mismo cuerpo y si son del mismo tipo, o del mismo orden.

• Debido a la Definición 3, se dice que el conjunto mxnF “es cerrado para la suma de matrices”

Ejemplos a) Dadas las matrices

=

643

521A

−=

143

210B 32xR∈

La suma A + B es

=

−+

=+

786

711

143

210

643

521BA 32xR∈

b) Dadas las matrices


Unidad 1 14

−=

52

2/11A

−=

41

2/13B 22xR∈

La suma A + B es:

−=

−+

−=+

13

04

41

2/13

52

2/11BA 22xR∈

Proposición 1

Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. El conjunto Fmxn con la suma de matrices, es un grupo conmutativo. Es decir:

i) mxnFBAmxnFBA ∈+∈∀ ;,

ii) mxnFCBA ∈∀ ,, ; (A + B) + C = A + (B + C)

iii) 0 : ; 0 0mxn mxnF A F A A A∃ ∈ ∀ ∈ + = + =

iv) ; / ( ) ( ) 0mxn mxnA F A F A A A A∀ ∈ ∃− ∈ + − = − + =

v) mxnFBA ∈∀ , : A + B = B + A

Observaciones

• El enunciado i) indica que la suma de matrices es una ley de composición interna en mxnF .

• El enunciado ii) indica que la suma de matrices es asociativa en mxnF .

• El elemento neutro 0 del enunciado iii) es la matriz nula de mxnF .

• En el enunciado iv) la matriz –A ∈ mxnF es la matriz opuesta de A y sus elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A. Es decir:

Si A = [aij], la matriz opuesta de A es –A = [-aij]

• El enunciado v. expresa que la suma de matrices es conmutativa en mxnF .

II. PRODUCTO DE MATRICES

Definición 5

Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo.

Dadas las matrices mxpF

ijaA ∈

= y pxnF

ijbB ∈

= , el producto de A y B (que se

escribe AB), es una matriz mxnFij

cC ∈

= , cuyos elementos cij son los definidos por:

njjmiipj

bip

aj

bi

aj

bi

aijc ≤≤∈∀∧≤≤∈∀+++= 1 ; 1 ; , ...2211

NN

En forma abreviada se escribe:

kjbp

kik

aijc ∑=

=1

Observaciones


Unidad 1 15

• El producto de dos matrices está definido si y sólo si ambas matrices están conformes para el producto, es decir, si los elementos de ambas pertenecen al mismo cuerpo y el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.

• Con frecuencia se escriben productos de matrices sin indicar el tipo u orden de los factores, en tal caso se entenderá que el producto está definido.

• En general, el producto de matrices no es conmutativo Ejemplos

a) Dadas las matrices

−=

01

43

21

A ∈ R3x2,

−=

10

21B ∈ R2x2

−−=

−+−+−−++−++

=

−

−=

21

23

01

)1.(02).1(0.01).1(

)1.(42.30.41.3

)1.(22.10.21.1

10

21

01

43

21

AB ∈ R3x2

Observe que las matrices A y B no están conformes para el producto BA. b) Dadas las matrices

−−

=30

12A ,

=

10

23B ∈ R2x2

Es claro que ambas matrices están conformes para los productos AB y BA

−=

30

3 6AB ∈ R2x2 y

−−

=30

9 6BA ∈ R2x2

Observe además que AB ≠ BA

Proposición 2

Si m, p, n son números naturales cualesquiera y F un cuerpo., entonces se verifican los siguientes enunciados.

i) Si mxpFA∈ , pxrFB∈ y rxnFC∈ , entonces (AB)C=A(BC)

ii) Si mxpFA∈ , pxnFB∈ y pxnFC∈ , entonces A(B+C)=AB+AC

iii) Si mxpFA∈ , mxpFB∈ y pxnFC ∈ , entonces (A+B)C=AC+BC

iv) Si mxnFA∈ , entonces

a) An

AI = , donde In es la matriz unidad de orden n.

b) AAm

I = , donde Im es la matriz unidad de orden m.


Unidad 1 16

Proposición 3

Sea F un cuerpo. El conjunto Fnxn con el producto de matrices goza de las siguientes propiedades

i) nxnFABnxnFBA ∈∈∀ ;,

ii) nxnFCBA ∈∀ ,, ; (AB)C=A(BC)

iii) nxnFCBA ∈∀ ,, ; A(B+C)=AB+AC

iv) nxnFCBA ∈∀ ,, ; (A+B)C=AC+BC

v) ;nxnA F I A AI An n∀ ∈ = = , donde In es la matriz unidad de orden n.

III. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Definición 6

Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz mxnFijaA ∈=

y el escalar

Fr ∈ . El producto del escalar r por la matriz A es la matriz rA mxnF∈ definida por:

mxndef

FijraijarrA ∈==

Ejemplo

Si

−=75

10

31

A y r = 2, se tiene que

−=

−=1410

20

62

75

10

31

2rA

Proposición 4

Sea m, n ∈ N, con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Si Fsr ∈, y mxnFBA ∈, , entonces se verifica:

i) r(sA)= (rs)A

ii) r(A+B)= rA+rB

iii) (r+s)A= rA+sA

Proposición 5

Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo. Si

Fsr ∈, , mxpFA∈ y pxnFB ∈ , entonces A(rB) = (rA)B = r(AB)


Unidad 1 17

IV. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Definición 7

Sean m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz mxnFij

A a ∈

= . La matriz

transpuesta de A es la matriz At = nxmFij

b ∈

si y sólo si bij = aji, con 1 ≤ i ≤ n ∧ 1 ≤ j ≤ m.

Observación

En otra forma de expresar la matriz transpuesta de la matriz A es la siguiente

Si mxnFij

aA ∈

= , entonces la transpuesta de A es la matriz nxmFji

atA ∈

=

Ejemplos

a) Dada la matriz

−=75

10

31

A , la transpuesta de A es

−=

713

501tA .

b) Dada la matriz

−−

=203

312

421

A , la transpuesta de A es

−−=234

012

321tA .

Nota La transpuesta de una matriz A de tipo mxn (o de orden n) es la matriz At de tipo nxm (o de orden n) que resulta de intercambiar las filas de la matriz A por columnas. Proposición 6

Sea F un cuerpo.

i) Si mxnFA ∈ , entonces (At)t=A

ii) Si mxnFA ∈ y mxnFB ∈ , entonces (A + B)t = At + Bt

iii) Si mxpFA ∈ y pxnFB ∈ , entonces (AB)t = BtAt

iv) Si r ∈ F ∧ mxnFA ∈ , entonces (rA)t = rAt

Matriz Simétrica

Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFij

aA ∈

= .


Unidad 1 18

=ij

aA es una matriz simétrica

def

⇔ jiji

aij

a ∀∀= ,, .

Es decir que, una matriz nxnFij

aA ∈

= es simétrica si y sólo si tAA =

Ejemplos Las siguientes matrices son simétricas

−345

411

512

,

−−02

2

i

ii,

−−

−

0075

0263

7601

5311

Matriz Antisimétrica

Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFij

aA ∈

= .

=ij

aA es una matriz antisimétrica def⇔ ji

jia

ija ∀∀−= ,, .

Es decir que, una matriz nxnFij

aA ∈

= es antisimétrica si y sólo si tAA −=

Observación

Es fácil mostrar que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos nulos. En efecto,

∀ i = 1, 2, …, n; aii = – aii ⇒ ∀ i = 1, 2, …, n; 2aii = 0 ⇒ ∀ i = 1, 2, …, n; aii = 0

Ejemplos

−−

−

045

401

510

,

+−−02

20

i

i

V. INVERSA DE UNA MATRIZ Definición 8


Unidad 1 19

Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFA∈ . La matriz A es inversible sí y sólo si existe una matriz

nxnFB∈ tal que n

IBAAB == . En símbolos,

nxnFA∈ es inversible ⇔ ∃ nxnFB∈ : n

IBAAB ==

Proposición 7 Sea F un cuerpo. Si nxnFA ∈ es inversible, entonces la matriz A admite una única inversa. Demostración

Como A es inversible por hipótesis, existe una matriz nxnFB∈ tal que n

IBAAB ==

Supongamos que A tiene también otra matriz inversa es decir, existe una matriz nxnFC ∈ tal que

nICAAC ==

Probaremos que B = C. En efecto

CCn

ICBAACBn

BIB)5()4()3()2()1(

)()( =====

Luego B=C. Por lo tanto si A es inversible, entonces admite una única inversa. Referencias: (1) In es la matriz unidad (elemento neutro multiplicativo en el producto de matrices). (2) Por hipótesis AC= In. (3) Por asociatividad del producto de matrices. (4) Por hipótesis BA= In. (5) In es la unidad para el producto de matrices.

Q.E.D. Notación

Si F es un cuerpo y si nxnFA∈ es inversible, representaremos a su única inversa con A-1. Ejemplo

Dada

−=

52

12 A , la inversa de A es

−

=−

6

1

6

112

1

125

1A

Observación

No toda matriz es inversible, como ocurre con la matriz

−−

1 1

11

Proposición 8

Si F es un cuerpo y si nxnFBA ∈, son matrices inversibles, entonces 111)( −−=− ABAB


Unidad 1 20

Demostración

nIAAA

nAIA

nAIABBAABAB ===== −−−−−−− 1111111 )()())((

nIBBB

nIBB

nIBBAABABAB ===== −−−−−−− 1111111 )()())((

Luego la inversa de AB es 11 −− AB Q.E.D.

3. DETERMINANTES Función Determinante de Orden n Sea F un cuerpo y sea una matriz A de orden n con elementos en F, dada por

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

a a a aj n

a a a aj n

a a a a n nj nA F

a a a an n nj nn

× = ∈

… …

… …

… …

⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮

⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮

… …

La matriz A expresada en términos de sus columnas, se representa por

...1 2

n nA c c c c Fj n

×= ∈

… , donde

1

121,..., ;

aj

anjj n c F

j

anj

× ∀ = = ∈

⋮ , son las columnas de la matriz A.

Observación Trabajaremos con matrices expresadas en términos de sus columnas, para desarrollar el tema, por la simplicidad que ello representa y que podremos advertirlo de inmediato. Definición 1 La función:


Unidad 1 21

:

( )

n nD F F

A D A

× →

֏

es una función determinante de orden n si y sólo si se verifican los siguientes axiomas:

I. ∀ j = 1, 2, …, n ; ˆ... ...1 2

D c c c c cj j n

+ =

j-ésima columna

ˆ... ... ... ...1 2 1 2

D c c c c D c c c cj n j n

= +

j-ésima columna j-ésima columna

II. ∀ j = 1, 2, …, n ; ... ...1 2

D c c r c cj n

= ... ...

1 2r D c c c c

j n

j-ésima columna j-ésima columna

III. Si j ≠ k ∧ kcc j = entonces

... ... ... 01 2

D c c c c cj k n

=

IV. ( ) 1D In=

Notas

1. Los Axiomas I. y II., indican que D es lineal respecto a cada columna, por lo que suele decirse que es una función n-lineal.

2. El Axioma III., nos dice que D es alternada. 3. El Axioma IV., indica que la matriz unidad tiene por imagen el escalar 1.

Definición 2 Sea una función determinante de orden n D: F nxn → F A ֏ D(A) Al escalar D(A) ∈ F, le llamaremos “el determinante de la matriz A” y le denotaremos con


Unidad 1 22

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3( )

1 2

a a a aj n

a a a aj n

a a a aj nD A

a a a an n nj nn

=

… …

… …

… …

⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮

⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮

… …

Ejemplo de aplicación del Axioma I.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

=

1 2 0 3 1 2 0 1 2 3

4 5 2 4 4 5 2 4 5 4

7 8 10 1 7 8 10 7 8 1

+

+ = +

− −

Ejemplo de aplicación del Axioma II.

1 2 3 1 2 3.1 1 2 1

4 5 6 4 5 3.2 3 4 5 2

7 8 9 7 8 3.3 7 8 3

= =

Ejemplo de aplicación del Axioma III.

1 2 0 (0)

0 5 4 ( )

1 3 7 ( / 4)

1 1 6 ( )

cos

sen

tg

cos

π

− π

− − π

= 0

Ejemplo de aplicación del Axioma IV.

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

= 1

Proposición 1 (Sin demostración) Para cada n ∈ N, existe una única función determinante de orden n.


Unidad 1 23

La Función Determinante de Orden 1 Proposición 2 Sea la función

[ ]

1 1

11 11 11

:

( )

D F F

defA a D A a a

× →

= = =֏

Entonces D es la función determinante de orden 1. Demostración (para el alumno) Ejemplo

3 3=

Notas

1. Es fácil demostrar que D1 es una función determinante de orden 1 ya que sólo basta mostrar que se verifican los axiomas de la Definición 1.

2. No se debe confundir un determinante de orden 1 con el valor absoluto de un número real. Para ello basta observar el siguientes determinante de una matriz de orden 1: 11 −=− , mientras que si se considera el valor

absoluto del número real -1 se tiene 11 =− .

Función Determinante de Orden 2 Proposición 3 Sea la función

2x2 : D F F→ tal que si 11 12

21 22

a aA

a a

=

∈ F2x2 , se define

11 1211 22 21 12

21 22

( ) defa a

D A a a a aa a

= = −

Entonces D es la función determinante de orden 2. Demostración (para el alumno) Ejemplos

• 1 2

4 6 23 4

= − =−

• 0 4

0 ( 12) 123 2

−= − − =

−


Unidad 1 24

REGLA DE SARRUS PARA CALCULAR DETERMINANTES DE MATRICES DE ORDEN 3 Sea el siguiente determinante de una matriz de orden 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Se puede calcular este determinante empleando una suma algebraica de productos de elementos dada por

11 22 33 21 32 13 31 12 23 21 12 33 11 32 23 31 22 13

a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −

Nota:

Se puede pensar que es complicado recordar esta suma algebraica de productos, pero ahora se expondrá un modo sencillo de lograrlo. Pasos para calcular el determinante de una matriz de orden 3 Paso 1. Se anotan las filas del determinante dado y debajo de ellas se repiten las dos primeras filas

232221131211

333231232221131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

Paso 2. Se suman los productos de los elementos ligados por las flechas rojas

232221131211

333231232221131211

aaaaaa

aaaaaaaaa


Unidad 1 25

Paso 3. Se suman los productos de los elementos ligados por las flechas verdes

232221131211

333231232221131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

Paso 4. Al resultado obtenido en el paso 2 se le resta el obtenido en el paso 3. Ejemplo

Calcule el siguiente determinante de orden 3

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Esquema de los Pasos

654

321987

654

321

luego

1 2 3

4 5 6 1.5.9 4.8.3 7.2.6 (4.2.9 1.8.6 7.5.3) 0

7 8 9

= + + − + + =

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Para las siguientes Proposiciones consideraremos dada la función determinante de orden n (n ∈ N) D: F nxn → F A ֏ D(A), en donde F es un cuerpo.


Unidad 1 26

Proposición 4

Si en una columna (fila) de una matriz todos los elementos son ceros, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.

Demostración Sea A ∈ F nxn. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que todos los elementos de la primera columna de la matriz A son ceros, es decir:

0 ... 12 1

0 ...22 2

... ... ... ...

0 . ..2

a an

a anA

a an nn

=

,

Si expresamos a la matriz A en término de sus columnas, esto es

...1 2

A c c c cj n

=

…

Entonces es claro que podemos expresar a la primera columna del siguiente modo

0 11 0 21 0 0

1 1

01

c c

n

α

α = = = α

⋮ ⋮,

con niFi

,...,1, 1

=∀∈α (es decir, los 1i

α son escalares cualesquiera del cuerpo F)

Calculemos el determinante de la matriz A

( ) ... ... 0 ... ... 1 2 1 2(1) (2)

0 ... ... 01 2(2)

D A D c c c c D c c c cj n j n

D c c c cj n

F

= = =

= =

∈��

Referencias: (1) Reemplazando c1. (2) Por Axioma II. de la Definición 1.

Q.E.D.

Proposición 5

El determinante de una matriz no varía, si a una columna (fila) se le suma un múltiplo escalar de otra columna (fila).


Unidad 1 27

Demostración

Sea la matriz ... ... ...1 2

A c c c c cj k n

=

y sea r ∈ F.

A efectos de la demostración, se construye una matriz A’ con la siguiente propiedad: Todas las columnas de A’ son las columnas de A, excepto la j-ésima que se la obtiene mediante la

suma c rcj k+ (es decir la columna cj de A más r veces la columna ck de A). Así, resulta

' ... ... ...1 2

A c c c rc c cj k k n

= +

, con r F∈ .

Se probará que ( ') ( )D A D A= . En efecto

( )

( ') ... ... ...1 2 (1)

... ... ... ... ... ...1 2 1 2(1)

( )

D A D c c c rc c cj k k n

D c c c c c D c c rc c cj k n k k n

D A

= + =

= +

=��

( )( ) ... ... ... ( ) 0 ( ) 0 ( )1 2(2) (3)

D A rD c c c c c D A r D A D Ak k n

= + = + = + =

Por lo tanto, ( ') ( )D A D A=

Referencias

(1) Por Ax.1 de determinantes. (2) Por Ax.2 de determinantes. (3) Por Ax.3 de determinantes.

Q.E.D.

Proposición 6

Si A es una matriz de orden n y A ́es la matriz que resulta de intercambiar dos columnas (filas) de la matriz A, entonces el determinante de A ́es el opuesto del determinante de A. En símbolos

Si ... ... ...1 2

A c c c c cj k n

=

∈ F nxn y

' ... ... ...1 2

A c c c c ck j n

=

∈ F nxn,

entonces ( ') ( )D A D A=−

Demostración Con las columnas de A se construye la matriz


Unidad 1 28

... ... ...1 2

B c c c c c c cj k j k n

= + +

.

Es claro que B tiene dos columnas iguales, por lo tanto por el Axioma III de la Definición 1, el determinante de B es cero, esto es D(B) = 0 (*) Por otra parte

( ) ... ... ...1 2

D B D c c c c c c cj k j k n

= + + =

( )(1)

(2)

... ... ... ... ... ...1 2 1 2

... ... ... ... ... ...1 2 1 2

0 ( ) ( ') 0 ( ) ( ')

D c c c c c D c c c c cj j n j k n

D c c c c c D c c c c ck j n k k n

D A D A D A D A

= + +

+ + =

= + + + = +

es decir ( ) ( ) ( ')D B D A D A= +

y como D(B) = 0, por (*), resulta

( ) ( ') 0D A D A+ = luego

( ') ( )D A D A=− Referencias: (1) Por Axioma I. de la Definición 1. (2) Por Axioma III. de la Definición 1.

Q.E.D.

Proposición 7

Si una columna (fila) de una matriz A, es combinación lineal de las restantes columnas de A, entonces D(A) = 0.

Demostración

Sea ... ...1 2 1 1

n nA c c c c c c Fj j j n

×= ∈ − +

y jc combinación lineal de las restantes columnas de A, es decir:

... ...1 1 2 2 1 1 1 1

c c c c c cj j j j j n n=α +α + +α +α + +α

− − + +.

Con lo que:


Unidad 1 29

( ) ... ...1 2 1 1

D A D c c c c c cj j j n

= = − +

(1)... ... ... ...

1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1D c c c c c c c c c c

j j j j j n n j n = α +α + +α +α + +α = − − − + + +

(2)... ...

1 2 1 1 1 1

... ...1 2 1 2 2 1

...

D c c c c c cj j n

D c c c c c cj j n

= α + − +

+ α + − +

+ +

... ...1 2 1 1 1 1

... ...1 2 1 1 1 1

...

... ...1 2 1 1

D c c c c c cj j j j n


D c c c c c cj n n j n

+ α + − − − +

+ α + − + + +

+ +

+ α = − +

(3)... ...

1 1 2 1 1 1

... ... ...2 1 2 1 2 1

... ...1 1 2 1 1 1

D c c c c c cj j n

D c c c c c cj j n


= α + − +

+α + + − +

+α + − − − +

... ... ...1 1 2 1 1 1

... ...1 2 1 1


D c c c c c cn j n j n

+α + + + − + +

+α = − +

0 0 ... 0 0 ... 0 01 2 1 1(4) j j n

= α + α + + α + α + + α =− +

Referencias: (1) Reemplazando cj. (2) Por Axioma I. de la Definición 1. (3) Por Axioma II. de la Definición 1. (4) Por Axioma III. de la Definición 1.

Q.E.D.

Proposición 8

Si A ∈ Fnxn , r F∈ y N∈n , entonces D(rA)= rn D(A) Demostración:

Sea ... ...1 2

A c c c cj n

=

.

Entonces:


Unidad 1 30

(1) (2)

(2)

( ) ... ... ... ... 1 2 1 2

... ... ( )1 2

( )

D rA D r c c c c D rc rc rc rcj n j n

n nr D c c c c r D Aj n

D A

= = =

= =

=��

Referencias: (1) Por producto de un escalar por una matriz. (2) Por Axioma II. de la Definición 1.

Q.E.D.

Proposición 9

Si A y B son matrices de orden n entonces D(AB)= D(A) D(B). Proposición 10

El determinante de toda matriz de orden n coincide con el de su transpuesta. Es decir D(A)= D(At) . COFACTOR Definición 3

Sea n nA F ×∈ , dada por

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

a a a aj n

a a a aj n

Aa a a a

i i ij in

a a a an n nj nn

=

… …

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

El cofactor del elemento genérico a

ij es el escalar del cuerpo F que se obtiene por

( ) ( )( )1 /def

i jA D A i jij

+= − .

Es decir, es el producto de −1 elevado al exponente (i+j ), por el determinante de la matriz que resulta de eliminar de la matriz A, la fila “i” y la columna “j”. Ejemplo

Sea 1 2 0

1 3 4

5 0 1

A

= − −

.

Los cofactores de cada uno de sus elementos son:


Unidad 1 31

• ( )3 41 11 3 0 3

11 0 1A += − = − =

• ( ) ( )1 41 21 1 20 19

12 5 1A

−+= − =− − + =−−

• ( )1 31 31 0 15 15

13 5 0A

−+= − = + =−

• ( ) ( )2 02 11 2 0 2

21 0 1A += − =− − =−

• ( )1 02 21 1 0 1

22 5 1A += − = − =

−

• ( ) ( )1 22 31 0 10 10

23 5 0A += − =− + −

−

• ( )2 03 11 8 0 8

31 3 4A += − = − =

• ( ) ( )1 03 21 4 0 4

32 1 4A += − =− − =−

−

• ( )1 23 31 3 2 5

33 1 3A += − = + =

−

Desarrollo del determinante de una matriz por medio de los cofactores de los elementos de una

fila o de una columna


11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

a a a aj n

a a a aj n

Aa a a a

i i ij in

a a a an n nj nn

=

… …

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

• Si elegimos la fila i:


Unidad 1 32

( ) ...1 1 2 2

1

nD A a A a A a A a A

ij ij i i i i in inj

= = + + +∑=

• Si elegimos la columna j:

( ) ...1 1 2 2

1

nD A a A a A a A a A

ij ij j j j j nj nji= = + + +∑=

Ejemplo

Se desea calcular el determinante de la matriz

1 2 0

1 3 4

5 0 1

A

= − −

,

para ello se tendrán en cuenta los cofactores de los elementos calculados precedentemente. • Si se efectúa el desarrollo del determinante por la fila 3:

( ) 5 0 1 5.8 0.( 4) 1.5 3531 32 33

D A A A A=− + + =− + − + =−

• Si se efectúa el desarrollo del determinante por la columna 2:

( ) 2 3 0 2.( 19) 3.1 0.( 4) 35

12 22 32D A A A A= + + = − + + − =−

Proposición 11

I. Si una matriz es triangular inferior o superior, su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

II. El determinante de la matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Demostración (queda para el alumno) MATRIZ DE COFACTORES Definición 4


11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

a a a aj n

a a a aj n

Aa a a a

i i ij in

a a a an n nj nn

=

… …

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …


Unidad 1 33

La matriz de cofactores es la que resulta de sustituir en la matriz A cada elemento por su cofactor, esta es

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

A A A Aj n

A A A Aj n

A A A Ai i ij in

A A A An n mj nn

… …

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

Ejemplo

Utilizando los cofactores ya obtenidos de la matriz

1 2 0

1 3 4

5 0 1

A

= − −

, la matriz de cofactores es

3 19 15

2 1 10

8 4 5

− − −

MATRIZ ADJUNTA Definición 5

Sea n nA F ×∈ dada por

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

a a a aj n

a a a aj n

Aa a a a

i i ij in

a a a an n nj nn

=

… …

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …

La matriz adjunta de A, es la transpuesta de la matriz de cofactores, y se denota con Adj(A). Es decir

( )Adj A =

11 12 1 1 11 21 1 1

21 22 2 2 12 22 2 2

1 21 2

1 21 2

tA A A A A A A Aj n i nA A A A A A A Aj n i n

A A A AA A A A j j ij nji i ij in

A A A AA A A A n n in nnn n nj nn

=

… … … …

… … … …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …… …

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

… …… …

Ejemplo

Utilizando los cofactores ya encontrados de la matriz


Unidad 1 34

1 2 0

1 3 4

5 0 1

A

= − −

, resulta que la matriz adjunta de A es

3 19 15 3 2 8

( ) 2 1 10 19 1 4

8 4 5 15 10 5

t

Adj A

− = − = − − − −

Proposición 12

Sea n nA F ×∈ . La suma de los productos de los elementos de una fila de la matriz A por los cofactores correspondientes a los elementos de otra fila es igual a cero (“0”).

Demostración:

Sea n nA F ×∈ , dada por . . .

1 1 1 2 1. . .

2 1 2 2 2

. . .1 2

. . .1 2

. . .1 2

a a an

a a an

a a ai i i nA

a a ar r r n

a a an n n n

=

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

.

y sea

...11 12 1

...21 22 2

...1 2'

...1 1 2 2

...1 2

a a an

a a an

a a a n ni i inA F

a a a a a ar i r i rn in

a a an n nn

×= ∈ + + +

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

.

por Proposición 2, se tiene que ( ) ( )'D A D A= .


Unidad 1 35

Desarrollando el determinante del segundo miembro de la igualdad precedente, por medio de los cofactores de los elementos de la fila r, se tiene

( ) ( ) ( )

( )

( )1 2

' ...1 1 1 2 2 2

...1 1 1 1 2 2 2 2(1)

AA Arnr r

D A D A a a A a a A a a Ar i r r i r rn in rn

a A a A a A a A a A a Ar r i r r r i r rn rn in rn

== =

′ ′ ′= = + + + + + + =

= + + + + + + =

( ) ( )

( )

... ...1 1 2 2 1 1 2 2(2)

( )

( ) ...1 1 2 2

a A a A a A a A a A a Ar r r r rn rn i r i r in rn

D A

D A a A a A a Ai r i r in rn

= + + + + + + + =

=

= + + + +

��

Luego ( ) ( )( ) ...1 1 2 2

D A D A a A a A a Ai r i r in rn

= + + + +

por lo tanto ... 0

1 1 2 2a A a A a Ai r i r in rn

+ + + = ,

ésta es la suma de los productos de los elementos de la fila “i”, por los cofactores de los elementos de la fila “r”. Referencias: (1) Por distributividad de (.) respecto de (+). (2) Por asociatividad de +.

Q.E.D.

Proposición 13

Propiedad de la adjunta de una matriz

Sea n nA F ×∈ , entonces

( ) ( ) ( )A Adj A Adj A A D A In

= =

Demostración

... ... 11 12 1 11 21 1

... ...21 22 2 12 22 2 ( )

. .. . ..1 2 1 2

a a a A A An n

a a a A A An nA Adj A

a a a A A An n nn n n nn

= =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

=

++++++

++++++

++++++

=

....11

.. . 2

...211

1

....111

1

....111

... 22

....2121

12

....1121

1

....111

... 21

....2111

11

....1111

nnA

nna

nA

na

nA

nnaA

na

nA

nnaA

na

nnA

na

nAa

nA

naAa

nA

naAa

nnA

na

nAa

nA

naAa

nA

naAa

⋮⋱⋮⋮


Unidad 1 36

(1) (2)

( ) 0 ... 0 1 0 ... 0

0 ( ) ... 0 0 1 ... 0( ) ( )

0 0 . .. ( ) 0 0 . .. 1

D A

D AD A D A I

n

D A

= = =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Procediendo análogamente se llega a

( ) 0 ... 0 1 0 ... 0

0 ( ) ... 0 0 1 ... 0( ) ( ) ( )

0 0 . .. ( ) 0 0 . .. 1

D A

D AAdj A A D A D A I

n

D A

= = =

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Referencias: (1) Por desarrollo del determinante de A por medio de cofactores. (2) Por Proposición 13.

Q.E.D. Teorema

La condición necesaria y suficiente para que una matriz n nA F ×∈ sea inversible es que su determinante sea distinto de cero. Simbólicamente:

n nA F ×∈ inversible ( ) 0≠⇔ AD Demostración

)⇒ Si A es inversible entonces ( ) 0D A ≠ .

Por definición se tiene que

n nA F ×∈ inversible 1 1 1:n nA F AA A A In

− × − −⇔∃ ∈ = = .

aplicando la función determinante a ambos miembros

( ) ( ) ( )1 1D AA D A A D In

− −= =

por Proposición 9 y por Axioma IV de la Definición 1

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1D A D A D A D A− −= =

Luego ( ) 0D A ≠ ya que el producto de dos escalares es 1, si ninguno de los factores es cero.

)⇐ Si ( ) 0≠AD entonces A es inversible.

por la propiedad de la adjunta de una matriz

( ) ( ) ( )A Adj A Adj A A D A I⋅ = ⋅ = .

Como por hipótesis ( ) 0D A ≠ , existe ( )1

D A


Unidad 1 37

premultiplicando por ( )1

D A en los tres miembros:

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( )

(1)

1 1( ) ( )

A Adj A Adj A A D A ID A D A D A

A Adj A Adj A A D A ID A D A D A

A Adj A Adj A A ID A D A

⋅ = ⋅ = ⇒

⇒ = = ⇒

⇒ = =

por lo tanto existe la matriz ( )1

( )Adj AD A

que conmuta en el producto con A y cuyo producto se

obtiene la matriz unidad.

Luego, por definición A es inversible con lo cual existe 1A− y es única por lo tanto

( )11 ( )A Adj A

D A− = .

Referencias: (1) Por propiedad del producto de escalar por matriz.

Q.E.D. Ejemplo

Sea 1 2 0

1 3 4

5 0 1

A

= − −

Utilizando los resultados obtenidos anteriormente:

3 2 8

( ) 19 1 4 ( ) 35

15 10 5

Adj A D A

= − − ∧ =− −

( )

3 2 8

35 35 353 2 81 1 19 1 41 ( ) 19 1 4

35 35 35 3515 10 5

3 2 1

7 7 7

A Adj AD A

− − − − = =− − − = − − − −


Unidad 1 38

Proposición 14

Si A es una matriz inversible entonces el determinante de la inversa de A es igual al recíproco del determinante de la matriz A. Esto es

11( )( )

D AD A

− =

Demostración

Como A es inversible, entonces 1 1 1:A AA A A In

− − −∃ = =

por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(*)

11 1 11D AA D I D A D A D An D A

− − −= ⇒ = ⇒ =

Análogamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(*)

11 1 11D A A D I D A D A D An D A

− − −= ⇒ = ⇒ =

luego

11( )( )

D AD A

− =

Referencias: (*) Por Proposición 9 y Axioma IV. de la Definición 1.

Q.E.D.

Álgebra lineal · Álgebra ii (lm-pm)-Álgebra lineal (ings.)-f.c.e. y t.-unse unidad 1 1 1.-...

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