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8/17/2019 Traduccionpaginas 14 Hasta 28

1/17

cp

STbbls B

ft h

kro

5.3

/1.1

10

1

===

=

µ

Solución:

Dado que se está manteniendo la presión del yacimiento, esto es un

problema del tipo de fujo estacionario. A pesar de que µo y Bo deben

evaluarse a la presión media en el área de drenaje del poo,

utiliaremos la presión a la reutiliación en este ejemplo. Desde de

que la mayor!a de las ca!das de presión son cerca del poo, la presión

media volum"trica no será demasiado por debajo de #$$$ psia. %odoslos datos se dan al calcular la tasa de fujo de la ecuación &'(). %odos

los datos son en las unidades adecuadas en esta ecuación. Desde

*ro+, la permeabilidad e-ectiva es iual a la permeabilidad absoluta

#/$ md. 0l porcentaje má1imo ocurrirá cuando el poo bombea 2acia

abajo para p+3 psia

−=

rwre In B

Pw Pekhq

µ

)(00708,0

DSTB

In

/1012

5,0

2000)5.3)(1.1(

)152000)(10)(230(00708,0 =

−

=

4ara que se -amiliarice con la ecuación de fujo radial en estadoestático para fuido incompresible, trabaje en el siuiente problema.

4roblema /. 5alcular la presión del poo 46, en un poo con #$$

S%B7D en un reservorio donde la presión del radio de drenaje es 3$$

psi y se aplican los siuientes datos:


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cp

STBresbbl B

ft h

md k

ft rw

ft re

6.1

/2,1

25

75

5,0

1000

==

====

µ

4ara fujo radial, un rá8co de presión9distancia radial, ser!a una l!nea

recta si una escala loar!tmica es usada para distancia. 0sto es

ilustrado en la siuiente 8ura:

Si los mismos puntos de presión son ra8cados, en una escala

aritm"tica, nosotros tenemos un per8l de presión verdadera.


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4ara fujo estático, el mismo per8l de presión e1istir!a, para todos los

tiempos desde la rata de fujo y la presión de reservorio permanece

constante con el tiempo.

Pseudo-Steady-State Flow

a ecuación para fujo radial en estado estático es aplicable en

relativamente pocos cálculos de inenier!a de reservorios. 0n el

desarrollo de la ecuación &'(), estipulamos que la tasa de fujo q es la

misma en re y en r6. 0sto sini8ca que la producción del poo es

continuamente aumentada por el fujo que entra en el área de

drenaje y nin;n fujo ocurre a trav"s del radio e1terno de drenaje.

5uando este tipo de fujo se vuelve estable, es determinado como

fujo en estado pseudo9estático ya que tiene muc2as de suscaracter!sticas, pero en realidad es un tipo especial de fujo es estado

no estatico. 0n la sección de fujo en estado no estático, veremos

como el per8l de presión del reservorio para fujo en estado pseudo9

estático.


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os per8les de presión mostrados arriba solo aplican mientras la

presión se encuentre por encima de la presión de burbuja y el fuido

se encuentre en una sola -ase en el reservorio.

Desde un punto de vista t"cnico, los per8les de fujo en estado

estático y pseudo9estático di8eren en -orma, debido al orien del

fuido producido. 4ara fujo en estado estático, todo el fuido producido

viene de más allá de re, mientras que para esta pseudo9estatico, todo

el fuido producido proviene desde re.

0sta ecuación puede ser desarrollada de iual manera que la anterior.

a rata de fujo es cero para radio e1terno e incrementa para q6. %oda

la producción resulta de la e1pansión en el área de drenaje. Si la

compresibilidad de un fuido es constante con presión, la rata de fujo

para aluna distancia es proporcional para el volumen del reservorio

entre re y r. a siuiente ecuación relaciona la ra de fujo q, con al;n

radio r, para la tasa de fujo del poo q6.

−− 22

22

rwrer re

qwq

q+ rata de fujo del reservorio a r, cc7sec

q6+ rata de fujo del reservorio a r6, cc7sec

re+ radio e1terno de drenaje, -t

r+ radio para cada rata de fujo, cm


5/17

4odemos resolver la siuiente ecuación para q y usar el resultado en

luar de q en la ecuación &o, esto puede ser insini8cante

comparado con re para espacios normales del poo, podemos

sustituir re por el termino &re9r6). a ecuación simpli8cada es:

dr

dprh K

re

r qw

µ

π )2(1

2

2

=

−=

?a que r y p son las variables, necesitamos separar esto antes de

interar.

∫ ∫ ∫ −− Pe

Pw

re

rw

dpkh

rdr re

qw

r

dr

µ

π 2qw

re

rw

2

a interación entre los l!mites muestra:

qw ln ℜrw

−qw

ℜ2 (ℜ2

2 −

rw2

2 )=2 πkh μ ( Pe− Pw )

@tra ve, podemos decir que el valor de r6# es muy peque>o

comparado al valor de re#, entonces la ecuación se simpli8ca de la

siuiente manera.

qw(ln ℜ

rw−

1

2

)=¿

2 πkh

μ ( Pe− Pw )


6/17

@ solucionando para q6, que llamaremos a q para ser compatible con

otras ecuaciones.

q=2πkh( Pe− Pw)

μ (ln( ℜ

rw )−1

2 ) &)

a ecuación &) es id"ntica a la ecuación &') pero la cantidad &ln

&re7r6)97#) 2a substituida por ln &re7r6). 0sta di-erencia representa el

2ec2o que la mayor de los fuidos producidos recorre una distancia

más corta en el reservorio en fujo en estado pseudo9estable que en

estado estable. 5omo se puede observar, para el mismo potencial de

ca!da y para las mismas caracter!sticas de los fuidos en el reservorio,

la tasa de producción será lieramente más alta para el fujo pseudo9

estable. 0n unidades prácticas de campo, e incluyendo el -actor

volum"trico de -ormación , nuestra ecuación da la tasa de fujo en

S%B7D.

q=0.00708 kh ( Pe− Pw)

Bμ( ln (ℜ/rw )−12 ) &a)

a ecuación &a) es aplicable a problemas de inenier!a de

yacimientos donde el fujo de fuido producido se produce ;nicamente

como un resultado de la e1pansión de un fuido con compresibilidad

constante independientemente del área de drenaje del poo. Cn

ejemplo es un reservorio que produce por e1pansión del fuido y de la

roca por encima de la presión de punto de burbuja. Aunque no es

estrictamente aplicable a un reservorio que produce por as en

solución, esta ecuación a menudo se puede utiliar como unaapro1imación para este caso. a ecuación &a) no es aplicable a un

poo de as debido a que la compresibilidad del as no es constante,

sino que var!a con el nivel de presión como vimos en el desarrollo de

la ecuación &).

0n un reservorio que produce por as en solución, la presión

promedio del yacimiento, p, que se la conoce eneralmente en ve de

la presión en el radio de drenaje e1terno, re. a ecuación &a) sepuede ajustar un poco para utiliar p:


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ln( ℜrw )−0.75Bμ ¿

q=0.00708 k h( P− Pw)¿

&b)

Donde la constante $,


8/17

Dado que el depósito está produciendo as en solución, se suponeque el fujo esta en estado pseudo9estacionario, y la ecuación &b) esaplicable. %odos los datos necesarios se dan en las unidadesadecuadas para la ecuación. Desde *ro es ,$, se utilia lapermeabilidad absoluta de #/$ md. 4or tasa má1ima, 4I será iual a

$ psi &3 psia).

ln (ℜ/rw )−0.75Bu¿

q=0.00708 kh( p− Pw)

¿

4000−0.75ln ¿¿

(1.1

)(3.5

)¿q=0.00708

(230)(10)(2000−15)¿

+ # S%B7d

%ena en cuenta que la tasa calculada en el 0jemplo F es deapro1imadamente $ por ciento mayor que la tasa en estadoestacionario calculado en el ejemplo /, a pesar de que es el mismoreservorio, misma presión, y los mismos datos de fuido se utiliaronen ambos ejemplos. a di-erencia resultante de restar $,


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cualquier otro semento. os puntos de cambio de permeabilidad se

desinan como 10,1

1,1

2,….1n .

a -orma di-erencial de la ecuación de Darcy &ecuación F) se puedeutiliar para mostrarnos cómo obtener la permeabilidad media de unaserie de sementos. Si escribimos la ecuación &F) con * que no -ueraconstante, sino una -unción de , y desinar los l!mites deinteración:

q∫o

Ldl

ki= A

u∫ Po

Pl

dp

a interal en el lado iquierdo se puede 2acer más manejablerompiendo la interal total en partes e interar cada parte porseparado:

∫o

Ldl

Ki=∑

i=1

n1

ki∫1

Li

dl=∑i=1

n li−li−1ki

As!, la -orma interada de la ecuación &$) es:

q∑i=1

n1i−1 i

ki =

− Au ( Pl− Po)

@ resolviendo para q

q=− A( pl− Po)

∑i=1

n1 i−1i−1

ki


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Si comparamos la ecuación &$() con la ecuación &3), donde la

permeabilidad era constante a lo laro de la lonitud total del sistema

se encuentra que la permeabilidad media, *, se determina como

siue:

k = L

∑i=1

n1 i−1i−1

ki

Si usted no está acostumbrado a la notación de sumatoria utiliado enla ecuación &), simplemente sini8ca que para cada semento2omo"neo, tomamos su lonitud y la dividimos por supermeabilidad, a continuación se suman estos valores de todos lossementos. 0sta suma se divide entonces para la lonitud delsistema, . 0l ejemplo siuiente ilustra cómo calcular la permeabilidadmedia para una serie de sementos lineales con di-erentespermeabilidades.

0jemplo 3.

5álculo de la permeabilidad media para varios n;cleos dispuestospara fujo en serie.

4roblema.

Determinar la permeabilidad media de un modelo de fujo queconsta de cuatro muestras de n;cleos dispuestos para fujo en serie.

%odos los n;cleos tienen # puladas de diámetro y sus lonitudes ypermeabilidades se enumeran a continuación:

5@J0 ent29inc2es *9md # 3$$# ##$/ F <

F '


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∑i=1

nli−li−1

ki =

2

500+ 6

222+ 4

17+ 8

78=0.369

a permeabilidad promedio se determina dividiendo la lonitud total

$ puladas) por la suma calculada arriba:

k = 20

0.369=54.2md

Cn análisis similar puede 2acerse para determinar la permeabilidad

media cuando el fujo radial es a trav"s de una serie de sementos

conc"ntricos 2omo"neas con di-erentes permeabilidades. Kemos

derivado una ecuación similar a la ecuación &$(), pero para un

sistema radial con la ayuda de la 8ura 3 que muestra sementos

conc"ntricos 2omo"neos.

alrededor de un poo en un reservorio de espesor constante. os

puntos de cambio de permeabilidad son r6, r, r#,LLL rn.

0n condiciones de estado estacionario, el fujo en el poo debe pasar

por la permeabilidad cada semento. Si escribimos la ecuación &


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q∫r

ℜdr

k 1r=

2πh

u ∫

pw

pe

dp &)

Si la interal de la iquierda se maneja de la misma manera como lo

-ue en la ecuación &$), obtenemos:

∫r

ℜdr

k 1r=∑

i=1

n1

k 1 ∫ri−1

r1dr

r =∑ 1

k 1l n

ri

ri−1

4or lo tanto, la -orma interada de la ecuación &$) es:

q∑i=1

n1

k 1 ln ri

ri−1=2πh( Pe− Pw)

u

&a)

Jesolviendo para q:

q= 2 πh( pe− pw)

u∑i=1

n1

k 1

ln ri

ri−1

Si comparamos la ecuación &a) con la ecuación &'), la

permeabilidad media, *, es:

k =

ln ( ℜrw

)

∑i=1n

ln ri

ri−1

&b)

4ara poner a prueba su comprensión de las permeabilidades en serie

en un sistema radial, tenemos:

4roblema 3.

5alcular la permeabilidad media del área de drenaje de un poo que

2ab!a sido acidi8cado en ran medida, pero a2ora tiene una ona


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da>ada cerca del poo. a permeabilidad de la -ormación es #3 md.

a ona de $ pies más allá del poo se acidi8có con una

permeabilidad de #3$ md. A2ora e1iste una ona da>ada de un pie

más allá del poo. a permeabilidad de esta ona es de md. 0l radio

de drenaje es de $$$ pies y el radio del poo es de $,3 -t.

Las permeabilidades promedio en paralelo

a Mi9 ilustra un sistema radial 2oriontal que se compone de varias

capas 2omo"neas cada uno con su propio espesor &2i) y la

permeabilidad &*i)

8. . fujo radial a trav"s de onas paralelas de di-erente permeabilidad.

Si la Mi. representa el área de drenaje de un poo, la tasa de producción

de fujo en estado estacionario de una sola capa puede determinarse a

partir de la ecuación &'):

q1=2 π hi k i ( pe− pw )

μ ln ( rerw )


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Donde el subíndie ! serefiere " un"sol" "p"nodesi#n"d" . a tasa total de

fujo del poo será la suma de las tasas de todas las capas. os t"rminos que

son constantes para todas las capas están colocadas -uera del sino de

sumatoria

q=∑i=1

n

q i=2π h

1k 1 ( pe− pw )

μ ln( rerw ) ∑

i=1

n

h ik i

Si comparamos la ecuación &#) con la ecuación &'), podemos evaluar lapermeabilidad aparente &*) para el área de drenaje.

*2 &de la ecuación &')) + ∑i=1

n

h ik i &de la ecuación &#))

4or lo tanto la permeabilidad * promedio es iual a:

k =∑i=1

n

hi k i

h&#a)

a ecuación &#a) establece que para permeabilidades medias enparalelo, se determina la permeabilidad9espesor &*i, 2i)) para cadacapa, se los suma y divide por el espesor total del sistema &2). 0lsiuiente ejemplo ilustra cómo se calcula la permeabilidad mediapara un sistema de capas.

0jemplo .

5alcular la velocidad de producción má1ima para el poo en elejemplo /, si el reservorio consiste en tres onas con las siuientespermeabilidades y espesores:

Nona. G9md. 0spesor -t.

3$$ 3

# $$ /

/ #3$ #


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Solución:

=o podemos calcular la tasa de producción 2asta que se determine la

permeabilidad media para el poo. Dado que la producción es de tresonas paralelas, la permeabilidad media se determina como siue:

k =∑i=1

n

hi k i

h =

(5 ) (500)+(3 ) (100)+(2)(250)10

=330md .

A2ora la tasa de producción se puede calcular de la ecuación &'a) como en

el ejemplo /.

q=0.00708=

(330 ) (10) (2000−0 )

(1.1)(3.5) ln 2000

0.5

=1463 $%B

D

ESTADO DE FLUJO INESTALE

a ecuación de di-usividad radial

0n el fujo en estado no estacionario, el fujo de fuido se debeenteramente a la e1pansión del fuido o de la roca en el reservorio. ?a2emos cubierto el fujo en estado pseudo9estacionario que es un casomuy especial de fujo en estado no estacionario. 0nfujo estabiliado pseudo9estacionario, estipulamos que los radientesde presión de fujo e1ist!an todo el camino desde r6 2asta reindependientemente de la tasa de fujo en el poo. 0n ese caso,aunque la presión del reservorio cae con el tiempo, las

radientes de presión son una -unción sólo de la tasa de fujo y nocambian con el tiempo. 4ara el caso más eneral de los radientes defujo en estado no estacionario, los radientes de presión en elreservorio están en -unción de tanto la tasa de fujo como del tiempo.a ecuación de di-usividad radial para un fuido con compresibilidadconstante &l!quido) se muestra a continuación.

0sta ecuación se aplica para el fujo de aceite o aua en unreservorio. a ecuación muestra la tasa de ca!da de presión a unadistancia dada, r, del poo unatasa de producción dada. a derivación de esta ecuación se presentaen el Ap"ndice A.


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& p

& t =

0.00633 k

∅μ =[ &

2 p

&r2+1

r ( & p& r )]

5uando Op 7 Or + la tasa de cambio de presión en r 9 psi 7 d!a.

P + depósito promedio -racción de porosidadQ + -luido cp viscosidad.

R + compresibilidad e-ica del sistema de vol 7 vol 7 psi

G + edia md depósito de permeabilidad.

J + distancia desde el punto de producción al radio donde la presiónse calcula -t.

Op 7 Or + la decantación de la presión -rente a la curva distancia en r 9psi 7 -t

&D # p) 7 &Or #) + la decantación en r de la curva que relacionaOp 7 Or + r 9 psi 7 -t #

0l rupo de t"rminos &$.$$//* T) 7 &UcQ) es a menudo llamada laconstante de di-usividad y se desina por r. a movilidad de fuido &* 7

Q) aparece en el termino, junto con 5, que es una medida de lae1pansibilidad del sistema.

a ecuación &/) no puede resolverse directamente, pero se discutirávarios m"todos publicados de solución para condiciones de contornoespec!8cas.

T la constante $.$$// , las unidades se -t #7D

Cna ecuación similar se puede derivar para el fujo radial en estadono estacionario de un as per-ecto. Debido a la compresibilidad delas var!a con la presión, la derivación se basa en las tasas de fujomasico en luar de las tasas de fujo volum"trico y es más compleja.Debido a esta complejidad, no se deriva la ecuación, sino que sepresenta a continuación:

& p2

& t =

0.00633k ´ p

∅ μ =

[&2 p

2

&r2 +

1

r

(& p

2

&r

)](14)


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L"eu"i'n(14)essimil"r " l" eu"i'nde est"donoest"ion"rio p"r"unlíquido (ompresibilid"d onst

Las solu!iones a la e!ua!i"n de di#usi$idad radial

as soluciones a la ecuación de di-usividad radial de l!quido estándisponibles para los dos conjuntos de condiciones, caudal constante ypresión constante en el punto de producción. as condiciones en lasque las soluciones de la tasa de fujo y la presión constantes sonaplicables se describen mejor mediante la presión de reservorio desecciones transversales mostrado en la Mi.

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