Captulo 4 TRABAJOS VIRTUALES

Dr. Fernando Flores - Dr. Alejandro Brewer

4.1. Sistemas VirtualesEn general, cuando se trabaja con slidos y estructuras, interesa conocer las fuerzas (tensiones)

y los desplazamientos (deformaciones). Existe naturalmente una relacin causa efecto entre losdesplazamientos que sufre la estructura y las fuerzas actuantes, estas relaciones resultan de parti-cularizar las ecuaciones de la mecnica al caso en estudio. Por otro lado es posible definir sistemasde fuerzas (tensiones) y de desplazamientos (deformaciones) que no estn asociados entre s atravs de las ecuaciones de la mecnica, sino que se utilizan como sistemas auxiliares a los fines defacilitar el clculo y permiten establecer desarrollos tericos. Estos sistemas auxiliares se denomi-nan virtuales para diferenciarlos de los que efectivamente ocurren en la estructura, a los cualesse los denomina reales.

Los sistemas virtuales asociados a una estructura, son campos de variables con valores arbitra-rios, y no tienen necesariamente una relacin con el sistema real de variables. La definicin de estetipo de sistemas tiene como objetivo, en el contexto del anlisis estructural, generar mtodos alter-nativos para la solucin de los problemas de inters. Si bin los sistemas virtuales son arbitrarios,para que sean de utilidad al propsito buscado, es necesario imponer algn tipo de condicin sobrelos mismos. La magnitud de estos sistemas, dada su arbitrariedad, no es relevante y slo resulta deinters la relacin que hay entre las variables en diferentes puntos. Ms an, para generar ciertassimilitudes conviene en general suponer que los sistemas virtuales son infinitesimales, es decir tanpequeos como se quiera.

Para distinguir a las variables asociadas a los sistemas virtuales de las asociadas a los sistemasreales les antepondremos la letra o les pondremos una barra encima, por ejemplo u o u.

Bsicamente, podemos agrupar las variables que intervienen en dos grupos:desplazamientos y deformaciones, estas ltimas obtenidas a partir de derivadas de los primeros.fuerzas externas y esfuerzos internos o tensiones en equilibrio con las primeras.

Esta clasificacin nos permite definir dos tipos de sistemas virtuales como veremos a continua-cin.4.1.1. Desplazamientos Virtuales

Definiremos como sistema de desplazamientos virtuales, a un campo de desplazamientos, delcual puedan definirse univocamente todas las deformaciones generalizadas (virtuales en este caso)relevantes en el problema en estudio.

En el caso de estructuras de barras articuladas, el campo de desplazamientos se reduce alos desplazamientos de los nodos, ya que con ellos alcanza para definir el desplazamiento decualquier punto de una barra (por interpolacin lineal de los desplazamientos extremos) y ladeformacin (virtual) asociada a cada barra.En el caso de estructuras de vigas, resulta necesario definir los desplazamientos de los ejesde las vigas en cada punto de la estructura. Adems para poder calcular las deformacionesgeneralizadas (deformaciones axiales, curvaturas de flexin y ngulos de torsin) resulta nece-sario derivar los desplazamientos, por lo cual estos deben ser continuos y derivables. Ms an,para el clculo de curvaturas se requerir que las derivadas primeras de los desplazamientostransversales (giros) sean continuas y derivables.

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Notar que la definicin anterior no hace mencin alguna al sistema de fuerzas que podra estaractuando en la estructura, ni a los esfuerzos internos que producira el campo de desplazamientosvirtuales. Ms an, al haber definido a los desplazamientos virtuales como infinitesimales, lospotenciales cambios en los esfuerzos tambin lo son y por lo tanto son irrelevantes frente a lamagnitud de las fuerzas y esfuerzos reales.

Dentro de los sistemas de desplazamientos virtuales resultan de particular inters, aquellosque satisfacen adems que en los puntos donde los desplazamientos reales han sido impuestos porcondiciones de borde (apoyos), los desplazamientos virtuales valen cero; es decir donde u = u(conocido), entonces u = 0.

u=0u=0u=0du

dx =0u=0

u=u

correctos

incorrectos

Figura 1 Ejemplos de sistemas de desplazamientos virtualesEn la Figura 1 se muestran dos estructuras con sus condiciones de apoyo. Las cargas es estas

estructuras no se han indicado porque no interesa conocerlas. En la parte inferior de la figura se pro-ponen dos deformaciones virtuales para cada estructura. Los desplazamientos virtuales correctosson aquellos que satisfacen las condiciones de apoyo homogneas (valen cero donde los desplaza-mientos son conocidos, nulos o no) y cuyas deformadas son suaves, de tal modo que garanticencontinuidad de desplazamientos y en sus derivadas primeras (giros) en el caso de vigas.4.1.2. Fuerzas Virtuales

Definiremos como sistema de fuerzas virtuales, a un campo de esfuerzos internos, fuerzas msi-cas y de contorno (cargas nodales, cargas distribuidas, reacciones de apoyo) que satisfacen lasecuaciones de equilibrio de fuerzas en todo punto de la estructura (incluyendo el contorno).

En el caso de barras articuladas es necesario definir el esfuerzo normal en cada barra, lasfuerzas externas en los nodos y las reacciones de apoyo.En el caso de estructuras de vigas resulta necesario definir los esfuerzos internos en cadapunto (normal, corte, flectores y torsor), los sistemas de fuerzas externas y las reacciones deapoyo.

Notar que lo nico que se pide es que el sistema est en equilibrio esttico y nada se dice respectoa los desplazamientos y deformaciones que podran tener asociados, ni a problemas de hiperesta-ticidad. Nuevamente debe tenerse en mente que la magnitud del sistema virtual es infinitesimal,por lo que si se le asociaran deformaciones, estas tambin seran infinitesimales.

Dentro de los sistemas de fuerzas virtuales as definidos, interesa particularmente aquellos dondelas fuerzas virtuales externas son nulas en los puntos donde las fuerzas externas son conocidas (esdecir todos los puntos menos los apoyos).

FFFLM

FL

FQ

P 2P P

P

P

N=P

N=P

Figura 2 Ejemplos de sistemas de fuerzas virtuales

En la Figura 2 se muestran dos estructuras. Una idea que se trata de poner en evidenciaes que un sistema de fuerzas virtuales asociado con una estructura debe estar en equilibrio yque las fuerzas estn aplicadas en puntos donde se desconocen las cargas externas (reacciones deapoyos). Esto se muestra en las primeras dos figuras que presentan apoyos. Ntese que en la vigala reaccin horizontal del empotramiento no se ha considerado porque no se satisfacera equilibrio.El reticulado, al centro de la figura, tiene tres apoyos y en la parte inferior aparece cargado endichos puntos. Aqu se sugieren 2 sistemas de fuerzas virtuales, uno formado por todas las barrasde la estructura y otro donde slo aparecen aquellas barras donde el esfuerzo virtual es no nulo (lasindicadas con trazo gruesos). Con el ltimo ejemplo se trata de mostrar que lo nico importantees que se trate de un sistema de fuerzas en equilibrio, no importa si es hiperesttico, isosttico ohiposttico, sin embargo, por razones prcticas y metodolgicas, la gran mayora de los sistemasvirtuales de fuerzas estarn asociados a sistemas estructurales isostticos.

Observacin: si bin se ha puesto especial nfasis en restringir la definicin de los sistemasvirtuales, con cargas en aquellos puntos slo donde las cargas son desconocidas (que tiene su apli-cacin en la sistematizacin del planteo de ecuaciones de compatibilidad), resulta a veces necesariorelajar esta restriccin (en cuanto a la ubicacin de las cargas slo un apoyos) cuando se utilizael principio de fuerzas virtuales (trabajo virtual complementario) para determinar desplazamien-tos en sistemas con esfuerzos conocidos. En tales casos los sistemas virtuales de fuerzas podrndefinirse con cargas en puntos con desplazamiento desconocido.

4.2. Principio de Trabajos (Desplazamientos) Virtuales4.2.1. Sistemas de Desplazamientos Virtuales

Consideremos la estructura de barras vista en el Captulo 2. Supongamos que conocemos losesfuerzos N en equilibrio con las acciones externas.

Supongamos adems que cada nudo j de la estructura se mueve un valor infinitesimal u =(u , v). Como el desplazamiento de cada nudo es infinitesimal la deformacin de las barras ypor lo tanto el esfuerzo existente no se modifican. El trabajo incremental (T.I). que producen estosdesplazamientos infinitesimales es igual a la fuerza desequilibrada en cada nudo S = (S, S) porel correspondiente desplazamiento, es decir (con NN= Nmero de Nudos en la estructura)

T.I. =

S u =

(Su + Sv) = 0 (4.1)El trabajo en (4.1) es nulo pues hemos supuesto que el sistema est en equilibrio, es decir que

1 2 3

4 56

PP 2P P

P

2P

3

4 4

1

2

3

9

4

5 6 7

8

Figura 3 Ejemplo de estructura de barras(S, S) = 0. El trabajo incremental en cada nudo est compuesto por el desarrollado por lasfuerzas externas (T.I.E) y el desarrollado por las fuerzas internas (T.I.I). Separemos estas com-ponentes en la forma

T.I.E. T.I.I. = 0Denominando en forma genrica como F = (P , P ) a las cargas exteriores aplicadas en cadanudo (incluyendo las reacciones), el trabajo incremental externo resulta

T.I.E. =

(F u + F v) (4.2)En tanto que para expresar el trabajo realizado por los esfuerzos internos es importante notar

que cada barra concurre a dos nudos y en cada nudo contribuye con esfuerzos iguales y opuestos,de tal forma que el trabajo que produce es (por ej. para la barra 3)

T.I.I. = N t (u u) (4.3)El producto N t es la fuerza (vector) en la barra 3. La diferencia (u u) proviene de que

la fuerza en cada nudo tiene direcciones opuestas. Recordando la definicin de la elongacin deuna barra, el producto t (u u) puede verse como la elongacin incremental (infinitesimal)en la barra 3 (e). De esta forma, sumando la contribucin de cada barra, el trabajo incrementalinterno puede expresarse como (con NB= Nmero de Barras en la estructura)

T.I.I. =

N t u =

N e =

N L (4.4)

La conclusin inmediata (trivial) es que para un sistema de fuerzas en equilibrio, un desplaza-miento incremental infinitesimal no produce trabajo, o dicho de otra forma que el trabajo incre-mental externo es igual al trabajo incremental interno

T.I.E. = T.I.I (4.5)Desde el punto de vista de las condiciones de contorno, los desplazamientos incrementales slo

son posibles en aquellos nudos libres de desplazarse. Es decir que es posible limitar los despla-zamientos incrementales a las componentes de desplazamientos que a priori son desconocidos.

Esto conduce a que las reacciones de apoyo no produzcan trabajo incremental y slo sea necesarioconsiderar el trabajo producido por las cargas externas conocidas a priori.

A continuacin cambiemos el enfoque del problema, consideremos un sistema de fuerzas ex-ternas conocidas y un conjunto de esfuerzos internos N (no necesariamente en equilibrio con lasprimeras). Interesa determinar si tal sistema est en equilibrio. A tal fin usaremos la nocin detrabajo incremental.

Si un nudo j cualquiera se desplaza una magnitud infinitesimal ( u) en la direccin x (notarque el valor mismo es irrelevante en tanto que sea distinto de cero) manteniendo todos los otrosnudos inmviles y, si el trabajo incremental interno iguala al trabajo incremental externo, entoncesel trabajo resultante es nulo y por lo tanto la fuerza desequilibrada en el nudo j en la direccin x(F ) es cero, es decir que el nudo j est en equilibrio en la direccin x. Si se hace lo mismo paracada nudo libre de desplazarse y en cada direccin del espacio y en todos los casos el T.I.I = T.I.E,entonces puede asegurarse que todos los nudos libres de desplazarse estn en equilibrio. Notar queno es necesario realizar esta verificacin en los apoyos pues all la reaccin incgnita asegura elequilibrio del mismo.

Por otro lado notar que si el trabajo incremental es nulo para cada componente de desplaza-miento por separado, lo es para cualquier combinacin lineal de los desplazamientos nodales incre-mentales, es decir para cualquier desplazamiento incremental. Inversamente cuando se dice que elT.I. es nulo para todo desplazamiento incremental, se est diciendo que lo es para cada componentetomada por separado.

Definiendo como un sistema de desplazamientos virtuales a un sistema de desplazamientosincrementales infinitesimales (u = 0 donde u es conocido), el Principio de DesplazamientosVirtuales dice que un sistema de fuerzas externas y esfuerzos internos est en equilibrio si y slosi, para todo sistema de desplazamientos virtuales, el Trabajo Virtual Interno es igual al TrabajoVirtual Externo.

Notar que si bien se ha empleado como ejemplo una estructura isosttica, los argumentospueden directamente aplicarse a una estructura hiperesttica o hiposttica.

Expresemos la idea anterior para un slido deformable en general. Sea entonces un sistemade fuerzas en equilibrio (esfuerzos internos y fuerzas externas). Un incremento infinitesimal dedesplazamientos u compatible con los vnculos (u = 0, donde u = u) conduce a incrementos enel trabajo interno y en el trabajo externo. Llamando genricamente por a los esfuerzos internosgeneralizados y por a las deformaciones generalizadas, el trabajo interno incremental vale

T.I.I. =

( + ) dV =

dV +

dV

dV (4.6)donde hemos despreciable el producto de incrementos por ser de segundo orden. En tanto el trabajoexterno incremental vale

T.E.I.=

Fu dV +

fu dS (4.7)Como ambos trabajos por hiptesis de conservacin de la energa han de ser iguales, resulta

dV =

Fu dV +

fu dS (4.8)Observar que las reacciones de apoyo no generan trabajos porque los desplazamientos incre-

mentales asociados valen 0 (aqu incluimos en el sistema de desplazamientos virtuales la condicinparticular mencionada).

Notar adems que el incremento de desplazamientos puede ser cualquiera en tanto satisfaga lashiptesis cinemticas del problema, que es el mismo tipo de condiciones que se han pedido paralos desplazamientos virtuales. Luego denominando Trabajo Virtual interno a

TVI =

dV (4.9)

y Trabajo Virtual Externo a

TVE =

Fu dV +

fu dS (4.10)

resulta que si los esfuerzos internos y las fuerzas externas F y f estn en equilibrioT.V.I. = T.V.E. (4.11)

para cualquier desplazamiento virtual.Reciprocamente si dado un sistema de esfuerzos internos y fuerzas externas F y f se satisface

que (como se demostrar en forma general en el curso de Mecnica de las Estructuras II)T.V.I. = T.V.E. (4.12)

para todo desplazamiento virtual, entonces , F y f estn en equilibrio.4.3. Principio de Fuerzas Virtuales

En el ejemplo considerado (Fig. 3), recordemos las posibles soluciones de equilibrio que sehaban obtenido

N N N N N N N N

N RRRR

=

2,2502,6672,083

2,6672,0004,853

3,7500,0002,0000,0003,750

2,0002,250

P +R

00000001110

10

=

N N N N N N N N

N RRRR

+R

N N N N N N N N

N RRRR

(4.13)

La ecuacin 4.13 tambin se corresponde con la siguiente estructura

PP 2P P

P

2P

Rx5

Figura 4 Primera estructura equivalente

En la Figura 4 se puede pensar a la estructura original (Fig. 3) como isosttica y reemplazarla reaccin R por su valor como si fuera conocido. Entonces la ecuacin 4.13 resulta de superponerlos esfuerzos internos (N ) y las reacciones (R) como los producidos por las fuerzas externas (P )y R

de tal modo que las 4.13 se pueden ver como:[N

R

]=[N

(P )R

(P )]+[N

(R

)R

(R)]

(4.14)

Ntese que en 4.13 R

(P ) = 0 y R

(R

) = R

El sistema de esfuerzos internos y reacciones de apoyo (en equilibrio) producidos por R

esel nico (salvo un factor de proporcionalidad) que puede encontrarse en este sistema de primergrado de hiperestaticidad. En el caso de que el grado de hiperestaticidad fuese mayor, la cantidadde sistemas de equilibrio (que no incluyan cargas en los nudos libres de desplazarse) independien-tes es igual al grado de hiperestacidad, y cualquier otro podr expresarse como una combinacinlineal de los anteriores. Naturalmente en un sistema isosttico no es posible un sistema en equi-librio (distinto del trivial) sin cargas externas en los nudos (es decir, si no hay cargas no hayesfuerzos ni reacciones). En el sistema resuelto hemos escrito la solucin completa en funcin deR

pero podramos haberlo hecho en funcin de alguna otra incgnita, no cualquiera. Debe seruna incgnita tal que si uno elimina el vnculo asociado (en el caso de una reaccin) o la barracorrespondiente (en el caso de un esfuerzo interno) no convierta a la estructura en un mecanismo.Las posibilidades en el ejemplo son 4, alguna de las dos reacciones horizontales o alguna de las dosbarras del cordn inferior. Precisamente stas son las cuatro variables que no toman valor nulo enla segunda componente de la solucin. Por ejemplo si elegimos el esfuerzo interno en la barra 9(N ) la solucin puede expresarse como

N N N N N

N N N

N R

RRR

=

2,2502,6672,083

2,6672,0004,853

3,7500,0002,0000,0003,750

2,0002,250

P + (N

N N )

00000001110

10

=

2,2502,6672,083

2,6672,0004,853

3,7502,0000,000

2,0003,7500,0002,250

P +N

00000001110

10

(4.15)

La ecuacin 4.15 se corresponde con la siguiente estructura:Notar que nuevamente la solucin 4.15 se escribe de la forma[

N

R

]=[N

(P )R

(P )]+[N

(N )R

(N )]

(4.16)

Consideremos nuestra estructura hiperesttica (Fig. 3) de 1er orden y supongamos que staha sido correctamente resuelta y conocemos por lo tanto los esfuerzos (N ) y elongaciones (reales)de todas las barras (e) y los desplazamientos (reales) de todos los nudos (u). Consideremos elsistema de fuerzas en equilibrio asociado a la segunda componente de 4.13. Este es el nicosistema de fuerzas virtuales posible (N, R). Como este sistema est en equilibrio, si susnudos se mueven magnitudes arbitrarias, el trabajo que se producir ser nulo (en forma similara lo planteado en el Principio de Desplazamientos Virtuales). Notar que el sistema de fuerzasvirtuales no est asociado a desplazamiento alguno ni a elongacin alguna, en consecuencia no se

PP 2P P

P

2P

N9 N9

Figura 5 Segunda estructura equivalente

modifica si cambian los desplazamientos (restringido a problemas lineales, donde las direccionesde las barras no cambian). Si se utilizan los desplazamientos reales de la estructura para calcularel trabajo virtual (denominado complementario) TV C producido

T.V.C. = R u

N e = 0 (4.17a)

Donde se han utilizado los mismos argumentos que antes (ver ec. 4.3) para transformar eltrabajo que realizan los esfuerzos internos en cada nudo y escribirlos en funcin de las elongacionesde las barras (notar que se ha utilizado una cinemtica lineal, por lo cual la expresin anteriorest restringida a pequeos desplazamientos). Recordar por otro lado que el sistema virtual noincluye fuerzas exteriores en los nudos con desplazamientos incgnitas y que para este caso, en quelos apoyos no se mueven, el primer trmino (Trabajo Virtual Complementario Externo TV CE) esidenticamente nulo, por lo cual debe satisfacerse que el Trabajo Virtual Complementario Interno(TV CI) sea nulo

N e = 0 (4.18)

Esto de hecho es as pues el sistema de fuerzas (virtuales) est en equilibrio y las elongaciones(reales) han sido calculadas con los desplazamientos reales. En conclusin, dada una estructurade la cual se conocen los desplazamientos (y con ellos sus deformaciones asociadas), resulta que eltrabajo virtual complementario es nulo como consecuencia de la definicin de sistemas de fuerzasvirtuales (en equilibrio en todo punto). Esto puede mirarse alternativamente como las condicionesque deben satisfacer las deformaciones (elongaciones) para ser compatibles (esto es: que exista uncampo de desplazamientos del cual puedan calcularse) como se mostrar a continuacin.

Supongamos entonces que se fijan las elongaciones de las barras (e) en forma arbitraria, que seconocen los desplazamientos de apoyos (nulos en este caso). La pregunta es si existe un conjuntode desplazamientos (u en los puntos con desplazamiento libre) con los cuales puedan calcularsetales elongaciones. Si se calcula el trabajo virtual complementario y este es nulo para todos losposibles sistemas de fuerzas virtuales, entonces las elongaciones propuestas son posibles. Veamosel ejemplo que se est analizando, el sistema virtual de fuerzas es muy sencillo, slo son no nuloslos siguientes esfuerzos y reacciones

N = N = R = R = 1 (4.19)

El trabajo de las reacciones es nulo porque los apoyos no se desplazan, en tanto que el trabajointerno resulta

TVC = N e+ N e = e+ e = 0 (4.20)que expresa entonces la condicin que deben cumplir las elongaciones para que los desplazamientossean posibles.

El Principio de Fuerzas Virtuales dice que dado un campo de deformaciones (elongacionesen este caso) y desplazamientos de apoyos, si para todo sistema virtual de fuerzas se satisface queel trabajo virtual complementario es nulo, entonces el sistema de deformaciones y desplazamientoses compatible.

A continuacin se describe este principio para un slido en general (sin demostracin).Sea un sistema de desplazamientos u suficientemente continuos de forma que puedan obtenerse

las deformaciones generalizadas . Entonces para cualquier sistema de fuerzas virtuales se satisfaceque

dV =

Fu dV +

fu dS (4.21)donde el primer miembro se denomina trabajo virtual complementario interno y el segundo trabajovirtual complementario externo. Si nos restringimos al caso particular de que las fuerzas externasvirtuales valen 0 donde las fuerzas externas reales son conocidas, la integral en el segundo miembrose reduce a los apoyos donde los desplazamientos reales son conocidos u = u.

dV =

Ru dS (4.22)

Reciprocamente, dado un campo de deformaciones generalizadas y los desplazamientos de losapoyos u (no necesariamente nulos), si para todo sistema de fuerzas virtuales (sistema particular) sesatisface que el trabajo virtual complementario interno es igual al trabajo virtual complementarioexterno, entonces las deformaciones son compatibles, es decir existe un campo de desplazamientou del cual pueden obtenerse las y que satisface u = u en los apoyos.

La utilizacin de un sistema virtual de fuerzas tal que las fuerzas externas sean nulas en lospuntos donde las fuerzas reales son conocidas (puntos libres de desplazarse), es la forma habitualdel planteo del Principio de Fuerzas Virtuales. De esta forma se obtiene una metodologa adecuadapara el planteo de condiciones de compatibilidad, como se ver al abordar el Mtodo de las Fuerzas.Por otro lado la 1ra parte de la definicin de TVC, puede utilizarse sin necesidad de que las fuerzasexternas valgan cero en los puntos con desplazamiento libre, como se considera en la siguienteseccin.

4.4. Clculo de desplazamientosA continuacin se ver como calcular los desplazamientos de una estructura de la que se conocen

las deformaciones, usando el principio de trabajos virtuales complementarios (fuerzas virtuales).4.4.1. Sistemas de barras articuladas

Sea entonces una estructura (isosttica o hiperesttica) de la cual se conocen sus deformaciones,o se conocen los esfuerzos, cambios trmicos u otros aspectos que permitan evaluar univocamentelas deformaciones. Supongamos que se desea conocer el desplazamiento de un punto k en unadireccin dada j , u . Para fijar ideas consideremos un ejemplo de un sistema de barras articuladas(Fig.6.a). Decimos que se conocen los esfuerzos internos N ( i = 1, n con n el nmero de barras),luego a partir de las relaciones constitutivas conocemos la elongacin axial de cada barra e =N /K. Supongamos un sistema de fuerzas virtuales definido por una fuerza vitual unitaria colocadaen el nudo k en la direccin j en equilibrio con un conjunto de esfuerzos internos N en cada barray reacciones de apoyo R (m = 1, N, con N el nmero de restricciones de desplazamiento).

1 2

3 4

P

P P

PPP

P P2 2

434

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6 Ejemplo de sistemas de enrejado

El principio de fuerzas virtuales (ec. 4.22) nos dice que para cualquier sistema de fuerzasvirtuales debe satisfacerse

eN =

N K N

=

Ru + 1 u (4.23)

de donde podemos despejar la nica incgnita

u =

N K N

Ru (4.24)

Notar que para la definicin del sistema virtual de fuerzas, basta tomar cualquier sistema enequilibrio; luego si el sistema es hiperesttico no es necesario resolverlo como tal sino que alcanzacon definier cualquier sistema isosttico adecuado. Adems si los desplazamientos de apoyo sontodos nulos la segunda sumatoria del segundo miembro es nula.

En el caso de que el problema incluya efectos trmicos, la elongacin axial de cada barra sere = N /K+tL donde es el coeficiente de dilatacin trmico del material que constituye labarra y t es el cambio de temperatura de la barra respecto a la temperatura de referencia. Ental caso la expresin del desplazamiento u resulta

u =

(N K + tL

)N

Ru

En el ejemplo, supongamos que se desea conocer el desplazamiento vertical del centro delcordn inferior (punto 1). Luego colocamos una fuerza virtual unitaria all con la direccin de

inters. Utilicemos como sistema virtual de fuerzas el resultante de resolver el sistema isostticoindicado en la Fig.6.b. Por otro lado si me interesa conocer el desplazamiento del punto 2, no esposible usar el sistema isosttico propuesto para el punto 1, sino un sistema tal como el indicadoen la Fig.6.c.

Consideremos otros casos sencillos. Por ejemplo si deseamos conocer el acortamiento total delcordn superior, es equivalente al desplazamiento horizontal relativo de los puntos 3 y 4. Si colo-camos fuerzas horizontales unitarias y de sentido contrario en dichos nudos, un sistema en equilibrioes el indicado en la Fig.6.d, donde el trabajo virtual de las fuerzas externas es sencillamente

TVCE = 1 u 1 u = 1 (u u)donde en el ltimo parntesis ha quedado la incgnita que nos interesa.

Es importante recalcar que la metodologa descripta permite calcular desplazamientos enpuntos elegidos a partir de deformaciones. Esto habitualmente se interpreta como integrarlas deformaciones. En un sistema hiperesttico pueden seguirse distintos caminos para integrar lasdeformaciones. Por supuesto que el resultado ser siempre el mismo (en tanto que las deformacionesdato sean compatibles). Por ej. para determinar el descenso del punto central, se podran usaralternativamente los dos esquemas indicados en la Figura 7 para la determinacin del sistemavirtual de fuerzas.

Figura 7 Sistemas alternativos para el Sistema de Fuerzas Virtuales

4.4.2. Sistemas de vigasEl trabajo virtual complementario interno en un sistema estructural de vigas puede escribirse

( N + Q + Q + M + M + M) dx

donde con la letra delta () se han identificado a los esfuerzos virtuales, n es el nmero de elementosen que se ha dividido la estructura y L es la longitud de cada elemento. A partir de las relacionesconstitutivas, podemos reemplazar las deformaciones por los esfuerzos

= NEA =QGA =

Q

GA

= MGJ =MEI =

M

EI

A su vez, puede ser que uno o ms de los esfuerzos sean ceroPara problemas planos Q = M = M = 0Para la teora clsica de vigas Q = 0 pero = 0Muchas veces es comn despreciar la contribucin axial

Para el caso de sistemas planos es comn considerar slo

TVCI =

MEI M dx

Es decir que los desplazamientos son debidos exclusivamente a las deformaciones de flexin y sedesprecian los cambios de longitud de vigas y columnas (asociados a las deformaciones axiales).

XZ

Y

M t

My

MzN

Qy

Qz

Frame 001 05 Sep 2003 No Data Set

Figura 8 Sistemas de vigas

4.4.2.1. Desplazamientos debidos a cambios de temperaturaConsideremos el caso de un sistema plano. Supondremos una variacin lineal de la temperatura

en el espesor, entre t cambio trmico en la fibra inferior de la pieza y t en la fibra superior.Si el eje baricntrico coincide con la mitad de la altura h de la pieza

t (y) = t +t2 +tt

h y = t (y) = t +t2 +

tth y

= + ydonde se ha separado la deformacin trmica en la correspondiente al baricentro de la seccin msuna curvatura debida al cambio trmico

h

ts

ti

ts - tih

ts + ti2

Figura 9 Cambios trmicos en vigas

4.5. Mtodo de desplazamientos y mtodo de compatibilidadConsideremos un ejemplo sencillo con el objetivo de ver como generar los mtodos alternativos

para la resolucin de problemas en anlisis estructural a partir de la aplicacin del principiode trabajos virtuales, que conduce al mtodo de los desplazamientos, y del principio de fuerzasvirtuales, que conduce al mtodo de compatibilidad.

En la Fig.10 se muestra una estructura formada por 3 barras articuladas, unidas en un puntoy articuladas a puntos fijas en los otros extremos. Cada barra supondremos que tiene un reatransversal uniforme A y esta constituida por un material de mdulo de Young E. Las accionessobre la estructura estan dadas por una fuerza f que forma un ngulo arbitrario con la horizontal,aplicada en la unin de las tres barras.

f

u

v

1 2 3

31 2 3pi4pi

4pi2

L

L L

N3

E3

A3N

1

E 1A 1

N2 E2A2

Figura 10 Ejemplo sencillo

En el punto de aplicacin de la carga (nico punto que puede desplazarse) pueden plantearsedos ecuaciones de equilibrio (una en cada direccin), son las siguientes[ cos cos cos

sen sen sin ] N N

N = f [ cossen ] (4.25)

dando valores a senos y cosenos resulta[ 1/2 0 1/21/2 1 1/2

] N N N

= f [ cossen ] (4.26)Tenemos entonces dos ecuaciones con tres incgnitas.

4.5.1. Mtodo de los desplazamientosEl mtodo de los desplazamientos consiste en reemplazar en las ecuaciones de equilibrio, los

esfuerzos internos en funcin de los desplazamientos. Para ello previamente escribamos los esfuerzosen funcin de las deformaciones de las barras

N = Ke N N N

= K KK

eee

(4.27)Escribamos ahora las deformaciones o elongaciones de cada barra en trminos de los des-

plazamientos nodales, en este caso en trminos de los desplazamientos del punto cargado, que

denominaremos por u y v. eee

= 1/2 1/20 1-1/2 1/2

[ uv ] (4.28)Reemplazando (4.28) en (4.27) y esta en las ecuaciones de equilibrio (4.26) resulta[ 1/2 0 1/2

1/2 1 1/2] K K

K

1/2 1/20 1-1/2 1/2

[ uv ] = f [ cossen ] (4.29)Operando en el primer miembro (realizando las dos primeras multiplicaciones de matrices)

resulta [

K+

K

K

K

K

K

K+K+

K] [ u

v]= f

[ cossen

](4.30)

Tenemos ahora dos ecuaciones de equilibrio con dos incgnitas (desplazamientos) que si podemosresolver.

Veamos el mismo ejemplo analizado a travs del principio de trabajos virtuales. Los camposde desplazamientos virtuales posibles corresponden a u o v o una combinacin cualquiera deellos que siempre puede escribirse como una combinacin lineal de los primeros. Las deformacionesvirtuales asociadas a estos campos de desplazamientos virtuales se obtienen de la misma formaque 4.28 ee

e

= 1/2 1/20 1-1/2 1/2

[ uv ] (4.31)Combinando 4.27 y 4.28 tendremos N N

N

= K KK

1/2 1/20 1-1/2 1/2

[ uv ]=

K/2 K/20 KK/2 K/2

[ uv ]=

KKvK

(4.32)El trabajo virtual interno vale

T.V.I. = N e+N e+N e= K(u+ v)2

(u+ v)2 +Kv v +K(u+ v)2

(u+ v)2= u12 [K (u+ v) +K (u v)]

+v12 [K (u+ v) + 2Kv +K (u+ v)]= u

[(12K+

12K

)u+

(12K

12K

)v]

+v[(1

2K12K

)u+

(12K+K+

12K

)v]

(4.33)

En tanto que el trabajo virtual externo valeT.V.E. = f cos u+ f sin v (4.34)

Igualando T.V.I. con T.V.E. y sacando factor comn a los desplazamientos virtuales resulta

u[(1

2K+12K

)u+

(12K

12K

)v f cos

]+v

[(12K

12K

)u+

(12K+K +

12K

)v f sin

]= 0 (4.35)

Para que la expresin valga para cualquier par de valores de u y v es necesario que lasexpresiones entre corchetes valgan cero. Observar que estas son las mismas ecuaciones obtenidasanteriormente 4.30.4.5.2. Mtodo de compatibilidad

Un mtodo alternativo al anterior consiste en obtener primero todas las posibles solucionesde equilibrio, y de ellas determinar cual corresponde a un conjunto de deformaciones compatibles.Volviendo al ejemplo obtengamos primero todas las posibles soluciones de equilibrio (sistema 4.26).Como hay 2 ecuaciones y 3 incgnitas pasemos la 3ra columna al segundo miembro y resolvamosen funcin de N [ 1/2 0

1/2 1] [ N

N ]= f

[ cossen

]N

[ 1/21/2

](4.36)

N N N

= f 2 cossen 2 cos0

+N 121

(4.37)=

N N N

+N N N N

(4.38)Donde con un suprandice 0 estamos denominando a la solucin de este sistema considerando

la accin de las cargas externas actuantes. Con un suprandice 1 estamos indicando a la solucindependiente linealmente del valor del esfuerzo interno N (notar que la componente de N = 0)

f

N3

(0)=0

N2(0

) =f(

se

na

-2

co

sa

)

N 1(0) =

21/2 f c

os

N2(1

) =-21

/2

N 1(1) =

1 N3

(1)=0

Figura 11 Componentes de la solucin

Las elongaciones de las barras son eee

= 1/2 1/20 11/2 1/2[ uv ] = N /KN /KN /K

(4.39)Sumando a la 3ra ecuacin la 1ra y la 2da multiplicada por 2 ee

e12e+ e = 1/2 1/20 1

0 0

[ uv ] (4.40)La ltima ecuacin expresa una condicin de compatibilidad en funcin de las elongaciones

e12e + e = 0 (4.41)o expresado en funcin de los esfuerzos

N K

2N K + N

K = 0 (4.42)

Reemplazando aqu las posibles soluciones de equilibrio en funcin de N (f2 cos +N )K

2[f (sen 2 cos)2N ]

K +N K = 0(f2 cos)

K 2[f (sen 2 cos)]K +N

( 1K +

2K +

1K

)= 0 (4.43)

De donde puede obtenerse N

N = (

) +2

(

+

+

) (4.44)Veamos entonces como puede llegarse a esta misma condicin de compatibilidad a travs del

principio de Fuerzas virtuales. Supongamos que nuestros pasos han sido:

Resolver todas las posibles soluciones de equilibrio (4.37).Obtener todas las posibles deformaciones asociadas con estados de equilibrio. Las elonga-ciones de cada barra se pueden escribir como

e = N

K =N +N N

KVeamos ahora que sistemas de fuerzas virtuales pueden definirse tales que no incluyan fuerzas

virtuales externas salvo en los apoyos. Si tomamos las ecuaciones (4.26), (sin las fuerzas externas).En tal caso un sistema virtual posible resulta de suponer un valor para uno de los esfuerzos yexpresar los otros en funcin de este. Todo otro sistema virtual difererir de este en un factor yser entonces linealmente dependiente al primero. Para fijar ideas supongamos que damos un valorunitario a N , estado que ya hemos resuelto al obtener la segunda componente de la solucin 4.38.La solucin es N multiplicado por un escalar arbitrario N .

El principio de fuerzas virtuales se escribe entonces (notar que el trabajo virtual complementarioexterno es nulo porque no hay desplazamiento de apoyos)

eN N = 0

N

N +N N K N

= 0

N [

N K N

+

N N K N

]= 0

N [(f2 cos)

K 2[f (sen 2 cos)]K +N

( 1K +

2K +

1K

)]= 0

Como el escalar N es arbitrario, para que la ltima expresin se cumpla siempre es necesarioque el trmino entre corchetes se anule, que es la condicin de compatibilidad que habamosplanteado antes.

4.6. EjemploA continuacin se presenta un ejemplo para fijar algunas ideas expresadas por los principios

de desplazamientos y fuerzas virtuales. Consideremos el entramado de la figura, compuesto de10 nudos y 21 barras. Supongamos que el material constitutivo de las barras es acero con E =2,1 10 [kg/cm]. El rea de las barras verticales (montantes) es A = 8cm, el rea de lasdiagonales y de las barras horizontales que componen el cordn inferior es A = 4cm y el rea delas barras horizontales que componen el cordn superior es A = 12cm.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

300 300 300 300

400

Figura 12 Entramado

Los esfuerzos calculados en las barras son:

Montantes: Denom. 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10N [kg] -2231 -446 948 -79 -3241

Cordn Inferior: Denom. 1-3 3-5 5-7 7-9N [kg] -575 2438 1470 -3332

Cordn Superior: Denom. 2-4 4-6 6-8 810N [kg] -3674 -7661 -6628 -431

Diagonales: Denom. 1-4 2-3 3-6 4-5 5-8 6-7 7-10 8-9N [kg] -4294 2789 -2232 2351 3964 -3952 4051 -6365Notar que por una cuestin de orden, las barras se han denominado por sus dos nudos extremos,

empezando por el de menor valor.4.6.1. Cargas en los nudos:

Se han dado como dato los esfuerzos en todas las barras, pero no las cargas externas. Eneste primer punto se calculan a continuacin las fuerzas externas en equilibrio con los esfuerzosinternos. Notar que dado el valor de los esfuerzos internos siempre es posible encontrar un conjuntode fuerzas externas que equilibren los esfuerzos internos. Notar tambin que la suma (vectorial) deestas fuerzas externas es nula (incluyendo las reacciones dentro de las fuerzas externas).

Para calcular las fuerzas externos recurriremos a las ecuaciones de equilibrio de los nudos.Notar que cada barra contribuye a dos nudos, y en cada uno de ellos con una fuerza de igual valory sentido opuesto, lo cual conduce a que su contribucin global sea nula. En las ecuaciones deequilibrio la barra tiene una contribucin afectada de un signo menos en el primer nudo que ladefine y va con signo positivo en el segundo.

Nudo 1:N tN tN t = R

575[ 10]+ 4294

[ 0,60,8

]+ 2231

[ 01]

=[ 31525667

]=[ RR

]Nudo 2:

+N tN tN t = P2231 [ 01 ] 2789 [ 0,60,8 ]+ 3674 [ 10 ] = [ 20000 ] = [ P P ]

Nudo 3:N tN tN t +N t +N t = P

2438 [ 10 ]+ 2232 [ 0,60,8 ]+ 446 [ 01 ]+ 2789 [ 0,60,8 ] 575 [ 10 ] = [ 00 ] = [ P P ]etc.

P =

[ 02000 ] , P = [ 06000 ] , P = [ 04000 ] , P = [ 00 ]P

=[ 02000 ] , R = [ 71528333 ] , P = [ 20000 ]

4.6.2. Deformaciones y elongaciones en las barrasLas deformaciones de una barra pueden calcularse o partir de los desplazamiento de los nudos

(desconocidos en este caso) o a partir de los esfuerzos internos y los cambios trmicos (nulos eneste caso).

= N

EA e

= L = N

LEA =

N k

Montantes:k = EA

L =2,1 10 8

400 = 42000 [kg/cm]Denom. 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10e[cm] -0.0531 -0.0106 0.0226 -0.0019 -0.0772

Cordn Inferior:k = EA

L =2,1 10 4

300 = 28000 [kg/cm]Denom. 1-3 3-5 5-7 7-9e[cm] -0.0205 0.0871 0.0525 -0.1190

Cordn Superior:k = EA

L =2,1 10 12

300 = 84000 [kg/cm]Denom. 2-4 4-6 6-8 810e[cm] -0.0437 -0.0912 -0.0789 -0.0051

Diagonales:k = EA

L =2,1 10 4

500 = 16800 [kg/cm]Denom. 1-4 2-3 3-6 4-5 5-8 6-7 7-10 8-9e[cm] -0.2556 0.1660 -0.1329 0.1399 0.2360 -0.2352 0.2411 -0.3789

4.6.3. Clculo de desplazamientosConocidos las deformaciones o elongaciones de las barras es posible calcular los desplazamientos

en puntos de inters. Notar primero que la elongacin de una barra (que tiene dimensin de longitudal igual que un desplazamiento) puede verse como la integracin de la deformacin (uniforme eneste caso) a lo largo de la barra. Los desplazamientos resultan tambin de la integral de lasdeformaciones, el proceso de integracin es ms complejo en tal caso y por ello se recurrie alprincipio de fuerzas virtuales.

4.6.3.1. Desplazamiento del punto central del cordn inferior (nudo 6).Para ello colocamos una fuerza virtual unitario en el nudo 1, con la direccin del desplazamiento

a medir, como nos interesa el desplazamiento vertical, la fuerza ser vertical. A su vez el sentidoque le demos a la fuerza nos define la convencin de signos para el desplazamiento incgnita, assi colocamos la fuerza unitaria hacia abajo, un valor positivo del desplazamiento resultado indicaque es hacia abajo (lo que se espera en este caso), si por el contrario colocamos la fuerza virtualunitaria hacia arriba, un valor positivo del desplazamiento resultado indica que es hacia arriba.

Colocada la fuerza virtual unitaria en el nudo 5 (direccin vertical hacia abajo), resulta necesariodefinir un sistema virtual de esfuerzos y reacciones en equilibrio con dicha fuerza, y que no incluyaotras fuerzas externas nodales. Utilizaremos 2 sistemas distintos

1er. sistema (verificar que est en equilibrio)

Montantes: Denom. 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10N 0 0 0 0 0

Cordn Inferior: Denom. 1-3 3-5 5-7 7-9N [kg] 0 0 0 0

Cordn Superior: Denom. 2-4 4-6 6-8 810N [kg] 0 -0.75 -0.75 0

Diagonales: Denom. 1-4 2-3 3-6 4-5 5-8 6-7 7-10 8-9N [kg] -0.625 0 0 0.625 0.625 0 0 -0.6252do. sistema (verificar que est en equilibrio)

Montantes: Denom. 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10N -0.5 0 1.0 0 -0.5

Cordn Inferior: Denom. 1-3 3-5 5-7 7-9N [kg] 0 0.75 0.75 0

Cordn Superior: Denom. 2-4 4-6 6-8 810N [kg] -0.375 -0.375 -0.375 -0.375

Diagonales: Denom. 1-4 2-3 3-6 4-5 5-8 6-7 7-10 8-9N [kg] 0 0.625 -0.625 0 0 -0.625 0.625 0En ambos casos las reacciones de los apoyos son iguales de valor 0.5 en la direccin vertical.

0.5 0.51

-0.75

-0.6

25

0.625

0.625

-0.625

0.375 0.375

0.5 0.51

-0.6

25

+0.62

5+0

.625

-0.625

-0.375 -0.375

+0.75 +0.75

-0.

5

-0.

51

Figura 13 Sistemas virtuales de fuerzaAplicamos entonces el principio de fuerzas virtuales para determinar el desplazamiento vertical

del nudo 5. La expresin correspondiente esTV CI =

N e = 1 = TV CECon el 1er sistema (slo se incluyen las barras con esfuerzos virtuales no nulos)

= 0,75 (0,0912) 0,75 (0,0789)0,625 (0,2556) + 0,625 0,1399 + 0,625 0,2360 0,625 (0,3789)= 0,7591[cm]

Con el 2do sistema (slo se incluyen las barras con esfuerzos virtuales no nulos) = 0,5 (0,0531) + 1,0 0,0226 0,5 (0,0772)

+0,75 0,0871 + 0,75 0,05250,375 (0,0437) 0,375 (0,0912) 0,375 (0,0789) 0,375 (0,0051)+0,625 0,1660 0,625 (0,1329) 0,625 (0,2352) + 0,625 0,2411

= 0,7591[cm]

El resultado con cualquier sistema virtual de fuerzas es por supuesto el mismo. Esto es asporque las deformaciones obtenidas a partir de los esfuerzos dato son compatibles, y sirve deverificacin de que los esfuerzos datos han sido bien calculados.

Notar que en el segundo sistema virtual de fuerzas se involucra a un mayor nmero de barrascon esfuerzos no nulos, por lo cual el esfuerzo numrico es mayor. Recordar lo dicho respecto alsigno del desplazamiento resultado, el valor positivo indica en este caso que es hacia abajo. Sipor el contrario hubisemos puesto la fuerza virtual hacia arriba, hubiramos obtenido los mismosesfuerzos virtuales pero cambiados de signo por lo que en las expresiones para el clculo de losdesplazamientos hubisemos obtenido un valor negativo para el desplazamiento.

Finalmente digamos que los sistemas virtuales de fuerza propuestos resultan de resolver lossistemas isostticos obtenidos a partir de eliminar convenientemente (y arbitrariamente) algunasbarras y/o apoyos en la estructura original

Figura 14 Sistemas isostticos utilizadosLos desplazamientos nodales son:

Nudo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10u[cm] 0 0.253 -0.020 0.210 0.066 0.118 0.119 0.039 0 0.034u[cm] 0 -0.053 -0.466 -0.477 -0.759 -0.736 -0.442 -0.444 0 -0.077

Con ellos se propone:1. Comprobar el valor de las deformaciones calculadas y de los esfuerzos datos. Notar que debido

a la precisin (3 dgitos) de los desplazamientos puede haber diferencias con los valores datos.2. Calcular el desplazamiento vertical del nudo 7 usando el PFV, elegir adecuadamente un

sistema isosttico (verificar).3. Calcular la elongacin del cordn superior (u

u

), notar a posteriori que es la suma delas elongaciones de las barras que la componen.

Un desplazamiento horizontal del apoyo derecho (9) produce los siguientes esfuerzos

Montantes: Denom. 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10N [kg] 713.3 1361.3 1296.1 1361.3 713.3

Cordn Inferior: Denom. 1-3 3-5 5-7 7-9N [kg] -6975.5 -7024.4 -7024.4 -6975.5

Cordn Superior: Denom. 2-4 4-6 6-8 810N [kg] 535.0 486.0 486.0 535.0

Diagonales: Denom. 1-4 2-3 3-6 4-5 5-8 6-7 7-10 8-9N [kg] -891.6 -891.6 -810.1 -810.1 -810.1 -810.1 -891.6 -891.6Verificar que los esfuerzos indicados estn en equilibrio sin que aparezcan fuerzas nodales.

Calcular el desplazamiento que ha producido tales esfuerzos.