Análisis Matemático C – T.P. Nº1 1

TRABAJO PRACTICO N1

DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

INTERPRETACIONES GEOMETRICAS Y APLICACIONES .DERIVADAS

DE FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLICITAS. DERIVADA

DIRECCIONAL. GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTOR.

Definiciones

Gradiente:

Grad U = U =

U

xi

U

yj

U

zk donde U = U(x y z, , ).

Divergencia:

Div a = .

a =

a

x

a

y

a

z

1 2 3 donde

a = a i a j a k1 2 3

Rotor:

Rot a = x a =

i j k

x y za a a

1 2 3

1. .a) Hallar df x y( , ) siendo f x y y x ex y( , ) .cos . .

b) Hallar df ( , ) 2 1 siendo f x y x y x( , ) .

c) Hallar df x y z( , , ) siendo f x y zx

yz x( , , ) cos ln .

d) Hallar df ( , , ) 11 2 siendo f x y z x y xz y z xyz( , , ) 31

22 3 2 .

2. a) Hallar f x ( , )0 0 y f y ( , )0 0 si f x y xy( , ) 3 .

b) Indicar si dicha función es diferenciable en (0,0), justificando la respuesta.

3. El volumen del cono es V r h1

32 . Se construye un cono de altura h 6 y radio r 3,

cometiéndose errores r y h en su radio y altura, respectivamente. Completar la tabla

adjunta para mostrar la relación entre V y dV para dichos valores.

r h dV V V - dV

0.1 0.1

0.1 -0.1

0.001 0.002

-0.001 0.002

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 2

4. Aproximar el cambio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 u

cuando el más corto se prolonga 1

4 u y el más largo se acorta

1

8 u.

5. La aceleración de un cuerpo que se desliza hacia abajo en un plano inclinado,

prescindiendo del rozamiento, viene dada por la fórmula a g i .sen . Si g varía 3cm por

segundo cuadrado y si el valor de i , que mide 30 puede tener 1 de error, ¿cuál es el error

aproximado del valor calculado de a? Tómese el valor normal de g como 9 80 2. ms

.

6. Hallar Z Z Z Zxx yy xy yx, , , para cada una de las siguientes funciones:

a) zy

x arctg b) z x y c) z x xy .senh( )

7. Demostrar que la función z xy

x ln verifica la siguiente ecuación:

x

yZ

yZ Z

x

yxx xy yy2 2

1

2

8. Hallar d f x y2 ( , ) y d f x y3 ( , ) de la función del ejercicio 1 a).

9. Hallar d f2 11 2( , , ) de la función del ejercicio 1 d).

10. Demostrar que las funciones dadas verifican la ecuación (llamada ecuación de Laplace):

2

2

2

2

2 2

0z

x

z

y

a z e x y y y

b z x y

x

) ( sen cos )

) ln ( )

11. Reconstruir, si es posible, las funciones de las cuales provienen las siguientes expresiones:

ay

dxx

ydy

b x y dx x y dy

c x y y dx x xy y dy

d xy y dx xe x dy

e x y x dy xy y x dx

f x z y dx xy y z dy x y dz

g yz dxx

ydy

x

zdz

hy

y

zdx

x

z

x

y

y

)

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( sen ) ( cos )

) ( ) ( ) ( )

) ln( )

) ( ) (

1

2 3 3 2

3 2 4 6

6 2

2 3 2 3 3

3 3 2 4 2 3 2

11

2

2 2 3 2

2 2

2 2

2 2

2 2

21

2 yz dy z

xy

zy dz) ( )

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 3

12. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a xy dx x y y dy) ( ) 2 3 2 03 2 2 ; solución particular en (1,-1).

by

x y xdx

y

x

x ydy

c xy y xdy

dx

)( ) ( )

) ( )

2

2

2

2

2 2

1 10

2 0

d) ex ( ) ( )dx dy e xdy ydxy

; solución particular en (0,-2).

e yxy y

x y y) '

ln

2

12 2 2

13. Encontrar la trayectoria ortogonal que pasa por (3,0) de la familia de curvas

y x Ce x 1 .

14. Encontrar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a:

a zx

y)

2

2

22 en (2,1,4) b xy z) 2 1 en (2,1,1)

c z x xy y) 2 22 en (4,1,f(4,1)) d z xe

yx) 2 en ( , , ( , ))

1

2

1

2

1

2

1

2f

15. Dada z x xy 2 3 donde x t

y t

2

42 , hallar

dz

dt como derivada de una función

compuesta, verificarla luego expresando z como función de t y calcular dz

dtt2

.

16. Hallar

z

x y

dz

dx si z

x x

x y

ln e y x 2.

17. Dada f x y z xz y( , , ) 2 2 , hallar

f

u

f

v, siendo

x u v

y u v

z v u

.

2 2 .

18. Hallar las derivadas de t respecto de x, y, z para x=-2, y=0, z=/2 dada

t u v w 3 2 22 siendo

u x yz

v x z

w xy

2 sen .

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 4

19. Hallar y’ en las siguientes funciones:

a e y e x

b y y

x y

x

) sen cos

)

1

1

20. Hallar las derivadas parciales de z respecto de x y de y de:

1

1

2332

032

2

2

2

2

2

2

333

222

c

z

b

y

a

x)d

xcoszzcosyycosx)c

yxyzzyx)b

yyzzyx)a

Verificar despejando z f x y ( , ) .

21. Sea z=z(x,y) la función diferenciable determinada por la ecuación z xz y3 0 . Hallar

dz(-1,2).

22. Calcular la derivada direccional de la función f x y x xy( , ) 2 en (1,3) y en la dirección

de la recta y=x . Verificar aplicando la definición.

23. Hallar la derivada de la función z x x y xy 3 2 22 1 en el punto M (1,2) en la dirección

que va desde éste al punto N (4,6).

24. Hallar la derivada de la función z x y ln 2 2 en el punto (1,1) y en la dirección:

a) de la bisectriz del primer cuadrante.

b) del semieje negativo de las x.

25. Siendo f x y x y( , ) 9 2 2 , hallar ),(fDu

21→ siendo →

u el vector unitario en la

dirección del vector U = – 4i – 3j.

26. Hallar la derivada de la función u x yz 2 3 5 en el punto M (1,2,-1) en la dirección

que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.

27. Calcular el gradiente de las siguientes funciones en los puntos dados:

a z x y en

c z x y en

e u x y z en

) ( , )

) ( , )

) ln( ) ( , , )

2 2

2 2 2

11

4 1

1 0 1

b z x y x en

d u x y z en

) cos( ) tg ( , )

) . . ( , , )

2

1 2 3

f) Graficar los gradientes hallados en a) y c).

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 5

28. Hallar la magnitud y la dirección de la máxima razón de cambio de la función dada por:

),,(enz.y.xu)d

),,(enzyxu)c

),(enxyxz)b

),(enyxz)a

301

122

21

21

2

222

32

22

29. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u x y z 2 2 2 en los

puntos A (-1,0,0) y B (0,2,0).

30. Dada la función f x y x y( , ) 2 32 2 , hallar en el punto (3,2)

a) la pendiente en la dirección yx

3

.

b) la dirección de pendiente máxima y calcular la pendiente en dicha dirección.

c) la dirección de pendiente nula.

31. Dada la superficie de ecuación x y z2 2 2 29 , con z > 0 :

a) Hallar el gradiente de la función en el punto (-3,4) y graficarlo.

b) Hallar el valor de la derivada en el punto (-3,4) y en la dirección que forma un ángulo

= /3 con el semieje positivo de las abscisas medido en sentido antihorario.

c) Verificar gráficamente el valor hallado en b).

d) Hallar la curva de nivel de la función dada en el punto (-3,4).

e) Verificar gráfica y analíticamente la relación existente entre la curva de nivel y el

gradiente de z en el punto (-3,4).

32. Dado el campo escalar U x y z xyz 3 3 3 3

a) Hallar la magnitud y la dirección del gradiente en el punto (2,1,1).

b) Determinar en qué puntos el gradiente del campo U es perpendicular al eje z, y en

cuales es igual a cero.

33. Hallar la divergencia y el rotor de los siguientes campos vectoriales, indicando si alguno

de ellos es irrotacional o solenoidal.

a a xyz i x y z j yz k en

b ax

x yi

y

x yj x k

c a e y i e y jx x

) . . . ( , , )

) . . .

) sen . cos .

2 2 3

2 2 2 2

2

111

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 6

34. Calcular la divergencia y el rotor del gradiente de un campo escalar U.

35. Si x yz2 3 y a xz i y j x y k . . .2 22 , hallar:

a) b) .a c)

a d) div( )

a e) rot( )

a

36. Si xy yz zx y a x y i y z j z x k 2 2 2. . . , hallar en (3,-1,2):

a) a. b) a

∇. c) ( )

a

37. Verificar las siguientes identidades:

a) div rot v 0

b u u u) ( ) , (con , u: campos escalares)

a.)() a() a()e

b a)b a)d

b a)b a)c

∇+∇= ∇.

×∇+×∇=+(× ∇

∇.+ ∇.=+( ∇.

Ejercicios Propuestos

1. Analizar si la función yxz )1( es diferenciable en (1,0).

2. La resistencia de un circuito se halló empleando la fórmula I=E/R , siendo I la intensidad

de la corriente y E la fuerza electromotriz. Si hay un error de 1/10 amperio en I y 1/20

voltio en E ,Cuál es un valor aproximado del máximo error de R si las lecturas son I=15

amperios y E=110 voltios?

3. Demostrar que para la función z yx

y 2 ln se verifica que:

2 2 3xZ yZ Zx

yxx xy yy ln

4. Reconstruir, si es posible, la función de la cual proviene la siguiente expresión:

( ln ) ( ) ( )z x x y dxx

yz dy

zy xz dz3 4

2

2

26 31

3

5. Un lado de un rectángulo de x=20m aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de

y=30m, disminuye con una velocidad de 4m/s. ¿Con qué velocidad variarán el perímetro y

el área de dicho rectángulo?

6. Un punto se mueve sobre la curva de intersección de la superficie esférica

x y z2 2 2 49 y el plano y = 2. Sabiendo que cuando x es 6 aumenta a razón de 4

unidades por segundo, hallar:

a) a razón de cuántas unidades por segundo z cambia;

b) con qué rapidez se mueve el punto.

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 7

7. Siendo zx

y z2 2 22

demostrar que x Zy

Zzx y

21 1

.

8. Dada la superficie de ecuación x yzxz

yx2 2 3 1 0 ; z > 0 ; y el punto P (-1,1)

perteneciente al dominio de dicha función:

a) hallar la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de dicha superficie con un

plano paralelo al yoz que pasa por el punto (-1,1, f(-1,1)).

b) hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en

(-1,1,f(-1,1)).

c) hallar el gradiente de la función en P y graficarlo.

d) hallar el valor de la derivada en P y en la dirección del semieje negativo de las x.

e) hallar el valor de la derivada en P y en la dirección del eje negativo de las y.

f) verificar gráficamente los valores hallados en d) y e).

g) hallar la curva de nivel de la función dada en P.

h) verificar analíticamente la relación existente entre la curva de nivel y el gradiente de la

función en P.

9. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u xy x yz z 2 2 2 2 en

los puntos P (0,1,-1) y Q (1,-1, 0).

10. Contestar verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justificar.

a) Si f x y x y D f( , ) ( , ) , 1 0 0 02 2

b) Si f x y x y D f x y( , ) ( , ) 1 1

c) Si D f x y existe D f x y D f x y ( , ) ( , ) ( , )

d) Si D f x y C C ( , ) ,0 0 0

e) Si F x y z f x y z F f x y i f x y j kx y( , , ) ( , ) ( , ). ( , ).

11. a) Demostrar que ( ) a a a2 .

b) Verificar el resultado de a) si a xz i yzj x z k 3 22 ( )

Respuestas a los ejercicios

1.

a y x e dx x xe dy

b dx dy

cy

x

y

z

xdx

x

y

x

ydy x dz

d dx dy dz

xy xy) (sen ) (cos )

)

) ( sen ) sen ln

)

-

2

1

5 11

2

92

2. fx(0,0) = 0; fy(0,0) = 0 . No es diferenciable en (0,0) pues el infinitésimo no es de orden

superior al infinitésimo tipo.

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 8

3.

V dV V-dV

4.8391 4.7124 0.1267

2.8264 2.8274 -0.0010

0.0566 0.0566 0.0000

-0.0189 -0.0189 0.0000

4. 1/20 u

5. 0.163 m/s2

6.

)xy(yshx)xy(xch2ZZ ; )xy(shxZ ; )xy(shxy)xy(ych2Z )c

x)xlny1(ZZ ; xlnxZ ; x)1y(yZ )b

;)yx(

yxZZ ;

)yx(

xy2Z ;

)yx(

xy2Z )a

2

yxxy

3

yy

2

xx

yxxy

2

yyxx

222

22

yxxy222yy222xx

1yy2y

8.

3xy3

2xy2xy2xy3xy23

2xy2xyxy2xy2

dyex

dxdy)xy2(xe3dydx)exyye2x(cos3dxeyxseny)y,x(fd

dyexdxdy)xyeex(sen2dx)yex(cosy)y,x(fd

9. dydz26dxdzdxdy8dz2dy24dx6)2,1,1(fd 2222

11.

xy

xy

QP)d

Cyxyyx)c

QP)b

Cy

x)y,x(f)a

≠

22

≠

323

Czzy

z

xy

y

xx)h

RP)g

Czyzyxzxyx)f

Cxysenyx)y,x(f)e

xz

2

≠

232

3

22

223

22

12.

a x y y

by

x

xy

x yC

cx

yy C

d e e xy

e x y y C

x y

)

) ln

)

)

) ln ( )

2 3 2

2

2

2 2 3

0

1

31

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 9

13. x y e y 1 4

14.

a x y zx y

x z

b x y zx y

x z

) ;

) ;

2 4 42 3

2 10

12 3

2 512

c x zx z

y

d ey zy ez e

x

) ;

) ;

9 189 166

1

2 02 2 2 1

2

12

15. 64dt

dz ; )2t(t6)4t(3)2t(2

dt

dz

2t

2

16. 22 )x1(x

xlnxx1

dx

dz ;

)yx(

xlnyyx

x

z

17. 323332 v4uv3uv

f ; u4vvu3

u

f

18. -20; -6; 0;

19.

1x

x

yx

yx

xy1

ylny'y)b

xcoseycose

xseneysene'y)a

20.

zb

ycZ ;

za

xcZ )d

xcoszseny

zcosysenxZ ;

xcoszseny

xsenzycosZ )c

)zxy(3

2xz3y6Z ;

zxy

yzxZ )b

yz6

1zy4Z ;

yz6

x2Z )a

2

2

y2

2

x

yx

2

2

y2

2

x

yx

21.

)dydx()2,1(dz41

22. 2

23. 1

24. a) 2 2 b) -1/2

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 10

25. 4

26. 3

3

27. a) 2(i+j) b)2i+j c)i-2j d)6i+3j+2k e)-i+k

f)

a) c)

28. a)2 5 , 63 26’ b) 2 , /4 c) 6; d = 2/3i - 2/3j + 1/3k d) 9; d = j

29. /2

30. a) 6( 3-1); b) 7/4 o ( 22 / , – 22 / ) , 12 2 ;

c) /4 o ( 22 / , 22 / ) , 5/4 o (– 22 / , – 22 / )

31. a) 2

3i - 2j b)

4

3 - 3 -0.987 d) x y2 2 25

c) e)

e) Pendiente z(-3,4) = -4/3; Pendiente curva de nivel en (-3,4) = 3/4.

(-3,4)

-0.98

-3 -1.5

2

4

x

y (-3,4)

-3 -1.5

2

4

x

y

5

/3

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 11

k.j.i.)c

)b

)a

.

k)zxzxy(j)zyxyzx(i)zyxyzx)(e

zyxzyxyzx)d

j)xyx(ix)c

yz)b

kyzxjzxixyz)a

.

)U(rot ; U)U(div .

SolenoidalyalIrrotacionarot ; adiv )c

Solenoidalxjarot ; adiv )b

kjarot ; adiv )a

.

zyx/R)z,y,x(losTodos ; xyz/R)z,y,x(losTodos)b

kjid ; U a) .

473056

2

25

36

28434

633

42

2

32

35

034

00

20

6

33

1111332

43333233323234

22432242

2

22323

2

323

1111

1111

113

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. No es diferenciable dicha función en (1,0) pues el infinitésimo no es de orden superior al

infinitésimo tipo, ya que no existe el límite.

2. 0.0522 ohmios.

4. U x y z xzx

x y yzz

C( , , ) ln 3

5

2

53

1

5. s

m

dt

dA;

s

m

dt

d 2

70 2

6. a) 8 unidades por segundo; b) 45 unidades por segundo;

Análisis Matemático C – T.P. Nº1 12

8.

2z

01x3y

x2yx4

)g

2 )e

1 )d

j2i)1,1(f )c

1zx

1yx2 ; 5zy2x )b

1x

4y2z )a

2

f)

h) Pendiente z(-1,1) = -2

Pendiente curva de nivel en (-1,1) = 1/2.

9. = 2/3

10. a) V; b) F; c)V; d)V; e)V;

|Df(-1,1)| = 1

D3/2f(-1,1) = 2