trabajo final matemÁticas . ruz

APLICACIONES DE ECUACIONES

1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de$600 por mes más una comisión del 10% de las ventas

que haga. Descubre que en promedio, le toma 112

horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá

trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

SOLUCIÓN:

DATOS:Salario base (S) = $600

112

h se vende $100

x = ? I = $2´000

Hallamos las ventas que realiza por hora:

112

h = $100 32

h = $100

Despejamos h:

h = 100(2)3

h = 2003

El ingreso de la vendedora esta dado de la siguiente manera:

I = S + 10%x

10% = 10100

Reemplazamos datos conocidos:

2000 = 600 + 10100

( 2003

)x

2000 = 600 + 2000300

x

Simplificamos:

2000 = 600 + 203

x

Despejamos x:

x = (2000−600)3

20

x = 420020

x = 210

Conclusión 1:La vendedora deberá trabajar en promedio cada mes 210 horas para que sus ingresos sean de $2000.

Ahora llevamos a días laborales las 210 h aplicando una regla de 3 simple:

1dl 8h x 210h

210hdl = 8hx

x = 210hdl8h

x = 26.25dl

x = 26 14 dl

x = 26 + 2h

Conclusión 2:La vendedora deberá trabajar en promedio cada mes 26dl más dos horas para que sus ingresos sean de $2000.

2. (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo el 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha ser de del 30%?

SOLUCIÓN:DATOS:Total invertido: 1´000 X $150 = $150´000

Utilidad total (UT): $150´000 X 30% = $45´000Vendió 400 con utilidad del 25%. Hallamos primero el valor de las 400 reses:

400 X $150 = $60´000, entonces:Utilidad de las 400 reses (U400):60´000 X 25%= $15´000

Nos piden a qué precio debemos vender las restantes 600 reses (PV600), pero primero tenemos que hallar cuánto costaron y sumarlo con la utilidad de las mismas y dividirlo entre 600:

600 X $150 = $90´000Hallamos la utilidad de las 600 reses (U600) restando la utilidad de las 1000 (UT) reses menos la utilidad de las 400 reses (U400):

U600 = UT – U400 U600 = $45´000 - $15´000U600 = $30´000, entonces:

PV600 = $90´000 + $30´000/600PV600 = $120´000/600PV600 = $200CONCLUSIÓN: El comerciante debe vender las restantes 600 reses a $200 cada una para poder tener una utilidad promedio de lote completo de 30%.

3. (Inversiones ) La señora Cordero va a invertir $70000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos de gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% en los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000?

SOLUCIÓN: DATOS: Capital (C) =$70´000

6% = 0.06 (%1)$70´000 $5´000

8% = 0.085 (%2)

Aplicamos la ecuación de Inversión Capital:x%1 + (C – x) %2 = ISea x lo que se invirtió al 6%.

Entonces:0.06x + (70´000 – x) 0.085 = 5´000

Resolvemos:

0.06x + 5´950 – 0.085x = 5´000-0.025x+ 5´950 = 5´000

x=5 ´ 000−5 ´ 950−0.025

x= −950−0.025

x ¿ 38´000Se hace una inferencia de prueba:

$38´000 x 0.06 = $2´280$32´000 x 0.085 = $2´720

$70´000 $5´000

CONCLUSIÓN:

Para minimizar los riesgos y obtener una ganancia de $5´000 la Sra. Cordero debe invertir:$38´000 en bonos de gobierno y$32´000 en bonos hipotecarios

4. (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere producir 10´000 de jerez encabezando vino blanco, que tiene contenido de alcohol del 10% con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol de 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de Brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado.

SOLUCIÓN:

DATOS:

C = 10´000

10% de vino blanco = 0.1 (%1)10´000 de jerez I

35% de brandy = 0.35 (%2)I es igual a la cantidad de jerez por 15%:I = 10´000 x 15%I = 10´000 x 0.15I = 1´500Aplicamos la ecuación de Inversión Capital:

x%1 + (C – x) %2 = ISea x la cantidad de vino blanco.

Resolvemos:0.1x + (10´000 – x) 0.35 = 1´5000.1x + 3´500 – 0.35x =1´500-0.25x + 3´500 = 1´500

x=1´ 500 – 3´ 500−0.25

x=−2000−0.25

x=8000

Se hace una inferencia de prueba:

8´000 x 0.1 = 800 2´000 x 0.35 = 700

10´000 1´500

CONCLUSIÓN:La mezcla debe contener 8´000 de vino blanco y 2´000 de brandy para obtener 10´000 de jerez con un contenido de 15% volumen de alcohol.

5. 6.) (Decisión sobre fijación de precios) La cámara de comercio del huevo del estado de Columbia, que regula el precio de venta de éste, sabe por experiencia que si fija en P dólares, el precio de la docena de huevos, el número de docenas de huevo vendidas a la semana será de x millones. Donde P=2-x. Su ingreso semanal total seria entonces I=xP=x (2-x) millones de dólares. El costo industrial de producir x millones de docenas de huevos por semana esta dado por C=0.25+0.5x millones dedolares. ¿Qué precio del huevo debería fijar la cámara de comercio para asegurar una utilidad semanal de 0.25 millones de dólares?

SOLUCIÓN:

DATOS:

P = 2 – xI = xP entonces I= x (2 – x)C = 0.25 + 0.5xU = 0.25

Nota: Cantidades decimales están dadas en millones de dólares.

Aplicamos fórmula de utilidades: U = I – C

Reemplazamos y Resolvemos:

0.25 = x (2 – x) – (0.25 + 0.5x)0.25 = 2x – x2 – 0.25 – 0.5x0.25 = 1.5x – x2 – 0.25; igualamos a cero para

obtener una ecuación cuadrática:x2 – 1.5x + 0.25 + 0.25 = 0

x2 – 1.5x + 0.5 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 1b = -1.5c = 0.5

Entonces encontramos las raíces para x:

x=−b±√b2−4ac2a

Entonces hallamos X1

X1¿−b+√b2−4 ac

2a; reemplazamos los

valores respectivos:

X1= −(−1.5)+√(−1.5)2−4 (1∗0.5)2(1)

X1= 1.5+√2.25−22

X1= 1.5+√0.252

X1= 1.5+0.52

X1= 22

X1= 1Ahora hallamos C que es el costo de producción:

C = 0.25 + 0.5xC = 0.25 + 0.5 (1)C = 0.25 + 0.5C = 0.75

Hallamos también I y U:

I = xP

I = 1 (2 - 1)I = 1(1)I = 1

Luego comprobamos U:U = I – C0.25 = 1 – 0.750.25 = 0.25

Por último hallamos X2:

X2 = 1.5−0.52

X2 = 12

X2 = 0.5

CONCLUSIÓN:La cámara de comercio tiene a su disposición dos políticas:1. Puede fijar la docena de huevos en:

P = 2 - X1 P = 2 – 1P = 1

Si fija la docena de huevos a $1 la utilidad sería de $0.25 millones

2. Puede fijar la docena de huevos en:P = 2 – X2 P = 2 – 0.5P = 1.5

Si fija la docena de huevos a $1.5 la utilidad sería de $0.5 millones

6. 8.) (Inversiones) Un hombre invierte el doble al 8% de lo que invierte al 5 %. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió en cada tasa?

SOLUCIÓN:

5% = 0.05C I = $840

8% = 0.08

DATOS:

Sea x lo que se invierte al 5%.

Sea 2x lo que se invierte al 8%

Entonces:

0.05 + 2 (0.08) x = 840

0.05 + 0.16x = 840

0.21x = 840

x = 8400.21

x = 4´000

Por lógica si x = 4´000 entonces 2x = 8000 por consiguiente:

C = 4´000 + 8´000

C = 12´000


4´000 x 0.05 = 200+ +8´000 x 0.08 = 640

12000 840 CONCLUSIÓN:El hombre obtuvo un ingreso total anual de $840 porque invirtió en cada tasa $8´000 y $4´000 respectivamente.

7. 9.) (Inversiones) Un colegio destina $60´000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5´000 para becas. Parte de esto se destinará inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?

SOLUCIÓN:

DATOS:

8% = 0.08C I = $5´000

10.5% = 0.105

Aplicamos la ecuación de Inversión Capital:

x%1 + (C – x) %2 = ISea x lo que se invirtió al 8%.

Entonces:

0.08x + (60´000 – x) 0.105 = 5´000

Resolvemos:

0.08x + 6´300 – 0.105x = 5´000

-0.025x+ 6´300 = 5´000

x= −1300−0.025

x ¿ 52´000


$52´000 x 0.08 = $4´160$ 8´000 x 0.105 = $ 840

$60´000 $5´000

CONCLUSIÓN:

Con el objeto de obtener el ingreso requerido es decir $5´000 el colegio deberá invertir:

$52´000 en fondos de gobierno y

$ 8´000 en depósitos a largo plazo

8. 10.) (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $18000 en tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6% respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir en cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total?

SOLUCIÓN:

DATOS:

9% = 0.0918´000 I = 8% de la inversión total

6% = 0.06

Hallamos I:

I = 18´000 (8%)I = 1´440

Aplicamos la ecuación de Inversión Capital:

x%1 + (C – x) %2 = ISea x lo que se invirtió al 9%.

Entonces:0.09x + (18´000 – x) 0.06 = 1´440

Resolvemos:

0.09x + 1´080 – 0.06x = 1´440

0.03x + 1´080 = 1´440

x=1´ 440−1 ´ 0800.03

x= 3600.03

x ¿12´000


$12´000 x 0.089 = $1´080$ 6´000 x 0.06 = $ 360

$18000 $1´440

CONCLUSIÓN:

Los miembros de la fundación deberán invertir:

$12´000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 9% y

$ 6´000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 6%.

9. 11.) (Utilidades) Le cuesta a un fabricante $2´000 comprar las herramientas a fin de producir cierto articulo domestico. Si tiene un costo $0.6 por el material y la mano de obra de cada artículo producido, y si el fabricante puede vender todo lo producido a $0.9cada uno. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades de $1´000.

SOLUCIÓN:

DATOS:

Cf = $2´000

Cv =$ 0.6x

Pv = 0.9 >I = 0.9x

x = ? U = $1´000

Aplicamos fórmula de Utilidades:

U = I – Ct U = I – Cv – Cf

Reemplazamos y resolvemos:

1´000 = 0.9x – 0.6x – 2´000

1´000 = 0.3x – 2´000

x=1´ 000+2´ 0000.3

x=30000.3

x = 10´000

CONCLUSIÓN:

Para poder obtener utilidades de $ 1´000 el fabricante debería producir 10´000 artículos.

10. 20.) (Producción) Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de P dólares c/u, en donde P=600-5x. Si le cuesta a la compañía 800+75x dólares producir x unidades. ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de $17´500?, ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por $18´000? ¿cuántas unidades debería producir y vender cada semana para lograr utilidades de $5500? ¿a qué precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de $5500?

SOLUCIÓN:

DATOS:P = 600 - 5xC = 800 + 75x

a) x = ? I = 17´500b) P = ? I = 18´000c) x = ? U = 5´500d) P = ? U = 5´500

a) R/) x = ? I = 17´500Aplicamos fórmula de Ingresos Totales:I = PxReemplazamos y resolvemos:17´500 = (600 – 5x) x17´500 = 600x – 5x2

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:5x2 – 600x + 17´500 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 5b = -600c = 17´500

Utilizamos Fórmula cuadrática General:


Entonces hallamos las raíces para x:

X1¿−b+√b2−4 ac

2a; reemplazamos los valores respectivos:

X1= −(−600)+√(−600)2−4 (5 )(17 ´ 500)2(5)

X1= 600+√360000−4(87 ´ 500)10

X1= 600+√360´ 000−350 ´ 00010

X1= 600+√10´ 00010

X1= 600+10010

X1= 70010

X1= 70Hallamos la segunda raíz de X, es decir X2:

X2 = 600−10010

X2 = 50010

X2 = 50Ahora hallamos C que es el costo de producción:

en X1:C = 800 + 75xC = 800 + 75(70)C = 800 + 5250C = 6´050

en X2:C = 800 + 75xC = 800 + 75(50)C = 800 + 3´750C = 4´550

Comprobamos X1 : X1 = 600x – 5x2

17´500 = 600(70) – 5(70)2

17´500 = 42´000 – 5(4900) 17´500 = 42´000 – 24´500 17´500 = 17´500

Comprobamos X2 : X2 = 600x – 5x2

17´500 = 600(50) – 5(50)2

17´500 = 30´000 – 5(250) 17´500 = 30´000 – 12´500 17´500 = 17´500

CONCLUSIÓN:La compañía tiene a su disposición dos políticas:1. Fijar el precio por unidad en:

P = 600 – 5x1 P = 600 – 5(70)P = 600 – 350P = 250

Si fija el precio por artículo en $250 tiene que vender 70 unidades para tener un ingreso de $17´500.

2. Fijar el precio por unidad en:P = 600 – 5x2 P = 600 – 5(50)P = 600 – 250P = 350

Si fija el precio por artículo en $350 tiene que vender 50 unidades para tener un ingreso de $17´500.b) R/) P = ? I = 18´000

Aplicamos fórmula de Ingresos Totales:I = PxReemplazamos y resolvemos:18´000 = (600 – 5x) x18´000 = 600x – 5x2

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:5x2 – 600x + 18´000 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 5b = -600c = 18´000




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−600)+√(−600)2−4 (5 )(18´ 000)2(5)

X1= 600+√360000−4(90 ´ 000)10

X1= 600+√360´ 000−360 ´ 00010

X1= 600+√010

X1= 600+010

X1= 60010


X2 = 600−010

X2 = 60010

X2 = 60Entonces tenemos que X1 es igual X2:X1 = X2

Comprobamos X : X = 600x – 5x2

18´000 = 600(60) – 5(60)2

18´000 = 36´000 – 5(3600) 18´000 = 36´000 – 18´000 18´000 = 18´000

CONCLUSIÓN:Si fija el precio por artículo en $350 tiene que vender 60 unidades para tener un ingreso de $18´000.

c) R/) x = ? U = 5´500

Aplicamos fórmula de Utilidades:U = I – Ct ; pero como I = Px entonces tenemos que:

U = Px – Ct

Reemplazamos y resolvemos:5´500 = (600 – 5x) x – (800 + 75x)5´500 = 600x – 5x2 – 800 - 75x5´500 = 525x – 5x2 – 800Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:5x2 – 525x + 800 + 5´500 = 05x2 – 525x + 6´300 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 5b = -525c = 6´300




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−525)+√(−525)2−4 (5 )(6 ´ 300)2(5)

X1= 525+√275´ 625−4(31 ´ 500)10

X1= 525+√275´ 625−126 ´ 00010

X1= 525+√149´ 62510

X1= 525+386.8

10

X1= 911.810

X1= 91.18Hallamos la segunda raíz de X, es decir X2:

X2 = 525−386.8

10

X2 = 138.210

X2 = 13.82

Comprobamos X1 :5´500 = 600x – 5x2 – 800 - 75x5´500 = 600(91.18) – 5(91.18)2 – 800 – 75(91.18)5´500 = 54708 – 5(8313.8) – 800 – 6838.55´500 = 54708 – 41569 – 800 – 6838.5

5´500 ~ 5´500.5Comprobamos X2 :

5´500 = 600x – 5x2 – 800 - 75x5´500 = 600(13.82) – 5(13.82)2 – 800 – 75(13.82)5´500 = 8292 – 5(191) – 800 – 1036.55´500 = 8292 – 955 – 800 – 1036.55´500 ~ 5´500.5

CONCLUSIÓN:La compañía tiene a su disposición dos políticas:1. Fijar el precio por unidad con x1 :

P = 600 – 5x1 P = 600 – 5(91.18)P = 600 – 455.9P = 144.1

Hallamos los ingresos en x1:I = 144 x 91.18I = 13´139

Ahora hallamos C que es el costo de producción:en X1:C = 800 + 75xC = 800 + 75(91.18)C = 800 + 6´838.5C = 7638.5

Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar:U = I – C

5´500 = 13´139 - 7638.5 5´500 ~ 5´500.5

Si fija el precio por artículo en $144.1 tiene que vender 91.18 unidades para tener una utilidad de ~$5´500.

2. Fijar el precio por unidad con x2 :

P = 600 – 5x2 P = 600 – 5(13.82)P = 600 – 69.1P = 530.9

Hallamos los ingresos en x2:I = 530.9 x 13.82I = 7´337

Ahora hallamos C que es el costo de producción:en X2:C = 800 + 75xC = 800 + 75(13.82)C = 800 + 1036.5C = 1´836.5


5´500 = 7´337- 1´836.5 5´500 ~ 5´500.5

Si fija el precio por artículo en $530.9 tiene que vender 13.82 unidades para tener una utilidad de ~$5´500.

11. 21.) (Producción y fijación de precios) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio P dólares por unidad, en donde P=20-x, y cuesta 2800+45x producir x unidades. ¿Cuántas unidades debería vender a la semana si desea generar ingresos por $9600? ¿A qué precio por unidad generaría un ingreso semanal de $9900? ¿Cuántas unidades debería producir y vender el fabricante a la a semana para obtener una utilidad de $3200? ¿A qué precio por unidad el fabricante generaría una utilidad semanal de $3150?

SOLUCIÓN:

DATOS:P = 200 - xC = 2800 + 45x

a) x = ? I = 9´600b) P = ? I = 9´900c) x = ? U = 3´200d) P = ? U = 3´150

a) R/) x = ? I = 9´600Aplicamos fórmula de Ingresos Totales:I = PxReemplazamos y realizamos operaciones:9´600 = (200 – x) x9´600 = 200x – x2

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:x2 – 200x + 9´600 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 1b = -200c = 9´600




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−200 )+√(−200)2−4 (1 )(9´ 600)2(1)

X1= −(−200 )+√40 ´ 000−4 (9 ´ 600)2

X1= 200+√40 ´ 000−38´ 4002

X1= 200+√1´ 60010

X1= 200+402

X1= 2402


X2 = 200−402

X2 = 1602

X2 = 80Comprobamos X1 :

X1 = 200x – x2

9´600 = 200(120) – (120)2

9´600 = 24´000 – 14´4009´600 = 9´600

Comprobamos X2 : X2 = 200x – x2

9´600 = 200(80) – (80)2

9´600 = 16´000 – 6´4009´600 = 9´600


P = 200 – x1 P = 200 – 120P = 80


2. Fijar el precio por unidad en:P = 200 – x2 P = 200 – 80P = 120

Si fija el precio por artículo en $80 tiene que vender 120 unidades para tener un ingreso de $9´600.b) R/) P = ? I = 9´900

Aplicamos fórmula de Ingresos Totales:I = PxReemplazamos y resolvemos:9´900 = (200 –x) x9´900 = 200x – x2

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:x2 – 200x + 9´900 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:

a = 1b = -200c = 9´900




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−200)+√(−200)2−4 (1 )(9´ 900)2(1)

X1= 200+√40 ´ 000−4 (9 ´ 900)2

X1= 200+√40 ´ 000−39´ 6002

X1= 200+√4002

X1= 200+202

X1= 2202

X1= 110

Hallamos la segunda raíz de X, es decir X2:

X2 = 200−202

X2 = 1802

X2 = 90Comprobamos X1 :

X1 = 200x – x2

9´900 = 200(110) – (110)2

9´900 = 22´000 – 12´100 9´900 = 9´900

Comprobamos X2 : X2 = 200x – x2

9´900 = 200(90) – (90)2

9´900 = 18´000 – 8´100 9´900 = 9´900


P = 200 – x1 P = 200 – 110P = 90


2. Fijar el precio por unidad en:P = 200 – x2 P = 200 – 90P = 110

Si fija el precio por artículo en $90 tiene que vender 110 unidades para tener un ingreso de $9´900.c/R)

x = ? U = 3´200P = 200 – xC = 2800 + 45x

Aplicamos fórmula de Utilidades:U = I – C; pero como I = Px entonces tenemos que:U = Px – C

Reemplazamos y resolvemos:3´200 = (200 – x) x – (2´800 + 45x)3´200 = 200x – x2 –2´800 - 45x3´200 = 155x – x2 –2´800

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:x2 – 155x + 2 800 + 3´200 = 0x2 – 155x + 6´000 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 1b = -155c = 6´000




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−155 )+√(−155)2−4(1)(6 ´ 000)2(1)

X1= 155+√(−155)2−4(6 ´ 000)2

X1= 155+√24025−24 ´ 0002

X1= 155+√252

X1= 155+52

X1= 1602


X2 = 155−52

X2 = 1502

X2 = 75

Comprobamos X1 :3´200 = 155x – x2 –2´8003´200 = 155(80) – (80)2 –2´8003´200 = 12´400– 6´400 –2´8003´200 = 3´200

Comprobamos X2 :3´200 = 155x – x2 –2´8003´200 = 155(75) – (75)2 – 2´8003´200 = 11´625 – 5´625 – 2´8003´200 = 3´200


P = 200 – xP = 200 – 80P = 120

Hallamos los ingresos en x1:I = PxI = 120 (80)I = 9´600

Ahora hallamos C que es el costo de producción:en X1:

C = 2´800 + 45xC = 2´800 + 45(80)C = 2´800 + 3´600C = 6´400


3´200 = 9´600 - 6´400 3´200 = 3´200

Si fija el precio por artículo en $120 tiene que vender 80 unidades para tener una utilidad de $3´200.

2. Fijar el precio por unidad con x2 :P = 200 – x P = 200 – 75P = 125


Ahora hallamos C que es el costo de producción:

en X2:

C = 2´800 + 45xC = 2´800 + 45(75)C = 2´800 + 3´375C = 6´175

Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U = I – C

3´200 = 9´375 - 6´175 3´200 = 3´200


d/R) P = ? U = 3´150Aplicamos fórmula de Utilidades:U = I – C; pero como I = Px entonces tenemos que:U = Px – CReemplazamos y resolvemos:3´150 = (200 – x) x – (2´800 + 45x)3´150 = 200x – x2 –2´800 - 45x3´150 = 155x – x2 –2´800

Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática:x2 – 155x + 2 800 + 3´150 = 0x2 – 155x + 5´950 = 0Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática:

a2 + bx + c = 0; donde:a = 1b = -155c = 5´950




X1¿−b+√b2−4 ac


X1= −(−155 )+√(−155)2−4(1)(5 ´ 950)2(1)

X1= 155+√(−155)2−4(5 ´ 950)2

X1= 155+√24025−23 ´ 8002

X1= 155+√2252

X1= 155+152

X1= 1702

X1= 85

Hallamos la segunda raíz de X, es decir X2:

X2 = 155−152

X2 = 1402

X2 = 70

Comprobamos X1 :3´150 = 155x – x2 –2´8003´150 = 155(85) – (85)2 –2´8003´150 = 13´175 – 7´225 –2´8003´150 = 3´150

Comprobamos X2 :3´150 = 155x – x2 –2´8003´150 = 155(70) – (70)2 –2´8003´150 = 10´850 – 4´900 – 2´8003´150 = 3´150


P = 200 – x1 P = 200 – 85P = 115



C = 2´800 + 45xC = 2´800 + 45(85)C = 2´800 + 3´825C = 6´ 625

Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U = I – C

3´150 = 9´775 - 6´ 625 3´150 = 3´150


2. Fijar el precio por unidad con x2 :P = 200 – xP = 200 – 70P = 130

Hallamos los ingresos en x2:

I = PxI = 130 (70)I = 9´100


C = 2´800 + 45xC = 2´800 + 45(70)C = 2´800 + 3´150C = 5´950

Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar:

U = I – C 3´150 = 9´100 - 5´950

3´150 = 3´150


12. 22.) (Modelo de costo lineal) El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al día. Determine el costo total yc de fabricar x mesas al día. ¿Cuál es el costo de fabricar 100 al día?

SOLUCIÓN:DATOS:Cv = $7 en función de xCf = $150yc = ?; yc = Ct; Ct = Cv + Cf entonces yc = Cv + CfReemplazamos para determinar ecuación costo total:yc = 7x + 150x = 100 yc = ?yc = 7 (100) + 150yc = 700 + 150yc = 850CONCLUSIÓN: El costo de fabricar 100 mesas al día es de $850

13. 23.) (Modelo de costo lineal) El costo de fabricar 100 cámaras digitales a la semana es de $700, y el de fabricar 120 cámaras a la semana es de $800. Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad? ¿Cuál es el costo para fabricar 200 cámaras?

SOLUCIÓN:

(100,700) (120,800)

x1 y1 x2 y2 a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta:

m=y2– y1x2– x1

Reemplazamos valores y resolvemos

m=800−700120−100

m=10020

m=5

Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación de costos:

y=m (x−x1 )+ y1y=5 ( x−100 )+700y=5 x−500+700

y=5 x+200

b) x = 200 y = ?

y=5 (200)+200 y=1 ´ 000+200 y=1 ´ 200

CONCLUSIÓN: Fabricar 200 cámaras tiene un costo de $1´200.

14. 24.) (Modelo de costo lineal) A una compañía la cuesta $75 producir 10 unidades de cierto articulo al día y $120 producir 25 unidades del mismo artículo al día. Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades al día? ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo?

SOLUCIÓN:DATOS:

(10, 75) (25,120)

x1 y1 x2 y2

a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta:

m=y2− y1x2−x1


m=120−7525−10

m=4515

m=3


y=m (x−x1 )+ y1y=3 ( x−10 )+75y=3 x−30+75

y=3 x+45

b) x = 20 y = ?

y=3 (20)+45

y=60+45

y=105

CONCLUSIÓN: El costo de producir 20 unidades al día es de $105.

c) Cv = 3x

Cf = $45

15. 25.) (Modelo de costo lineal) La compañía de mudanzas Ramírez cobra $70 por transportar cierta maquina 15 millas y$100 por transportar la misma máquina 25 millas. Determine la relación entre la cifra total y la distancia recorrida, suponiendo que lineal. ¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina?, ¿Cuál es la cuota por cada milla que la maquina es transportada?

SOLUCIÓN:DATOS:

(15, 70) (25, 100)

x1 y1 x2 y2

a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar la relación entre la cifra total y la distancia recorrida:

m=y1− y2x1−x2


m=70−10015−25

m=−30−10

m=3


y=m (x−x1 )+ y1y=3 ( x−15 )+70y=3 x−45+75

y=3 x+40

b) Como x representa las distancias suponemos que la distancia mínima es una milla:

x = 1 y = ?

y=3 (1 )+40

y=3+40

y=43

c) CONCLUSIÓN: La cuota por cada milla varía con respecto a la distancia, mientras más distancia recorrida menor es la cuota y viceversa.

16. 26.) (Modelo de costo lineal) Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine la relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana?

SOLUCIÓN:

DATOS:

Cf = $300

Ct = $410 x = 20

Cv = ?

Aplicamos Fórmula de costos para hallar costo variable:

Ct = Cv + Cf

Reemplazamos y resolvemos:

410 = Cv(20) + 300

Cv=410−30020

Cv=11020

Cv=5.5Reemplazamos, los datos dados y datos obtenidos, en la fórmula de costos para hallar la ecuación de relación entre costo total y número de unidades producidas:

Ct = 5.5x + 300

¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana?

x = 30 Ct = ?

Ct = 5.5x + 300

Ct = 5.5(30) + 300

Ct = 165 + 300

Ct = 465

CONCLUSIÓN: El costo de fabricar 30 unidades a la semana es $ 465.

17. 27.) (Modelo de costo lineal) Un hotel alquila un cuarto a una persona a una tarifa de $25 por la primera noche y de 20 por cada noche siguiente. Exprese el costo yc de la cuenta en términos de x, el número de noche que la persona se hospeda en el hotel.

SOLUCIÓN:

DATOS:

Cf = $25 x = 1

Ct = $410

Cv = 20(x – 1); Cv representa la tarifa de la segunda noche en adelante por la cantidad de las noches siguientes:

yc representa el costo total de noches que la persona se hospeda en el hotel:Entonces la ecuación de costos estaría dada así:

yc = 20(x – 1) + 25

yc = 20x – 20 + 25

yc = 20x + 5

Ejemplo:En dado caso que la persona se hospede en el hotel 20 noches ¿cuánto pagaría?

x = 20 yc = ?

yc = 20x + 5

yc = 20(20) + 5

yc = 405

CONCLUSIÓN: En caso de que la persona se hospede en el hotel 20 noches en el hotel pagaría $405.

18. 28.) (Modelo de costo lineal) Una compañía especializada ofrece banquetes a grupos de personas al costo de $10 por personas, más un cargo extra de $150. Encuentre el costo yc que fijaría la compañía por x personas.

SOLUCIÓN:

DATOS:

Cf = $150

Cv = 10x; x representa el número de personas:

yc = ?; pero

yc representa el costo total que fijaría la compañía por x personas, y si:

yc = Cv + Cf , entonces:

yc = 10x + 150Ejemplo: Si la compañía ofreciera banquetes a 50 personas, ¿cuánto cobraría?

x = 50 yc = ?

yc = 10x + 150

yc = 10(50) + 150

yc = 500 + 150

yc = 650CONCLUSIÓN: Si la compañía ofreciera banquetes a 50 personas cobraría $650.

19. 29.) (Modelo de costo lineal) El costo de boleto de un autobús en Yucatán depende directamente de la distancia viajada. Un recorrido de 2 millas cuesta $0.4, mientras que uno de 6 millas tiene un costo de $0.6. Determine el costo de un boleto por un recorrido de x millas.

SOLUCIÓN:DATOS:

(2, 0. 4) (6, 0.6)

x1 y1 x2 y2

Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar de relación entre millas y costos:

m=y1− y2x1−x2

Reemplazamos los valores dados y resolvemos:

m=0.6−0.46−2

m=0.24

m=0.05

Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina el costo de un boleto por un recorrido de x millas:

y=m (x−x1 )+ y1y=0.05 (x−2 )+0.4y=0.05x−0.1+0.4

y=0.05x+0.3

Ejemplo: Si la persona viaja 20 millas, ¿cuánto costaría su boleto?

x = 20 y = ?

y=0.05x+0.3

y=0.05(20)+0.3

y=1+0.3

y=1.3

CONCLUSIÓN: Si la persona viaja 20 millas su boleto costaría $1.3.

20. 30.) (Análisis de punto de equilibrio) El costo variable de producir cierto artículo es de $0.9 por unidad y los costos fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.2 c/u. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya pérdidas ni ganancias?

SOLUCIÓN:DATOS:Cv = $0.9xCf = $240Pv = $1.2 I = 1.2xx = ? ; PeSi en Pe I = Ct entonces:

I =Cv + CfReemplazamos los valores dados y resolvemos:

1.2x = 0.9x + 2401.2x −¿0.9x = 240

0.3x = 240

x = 2400.3

x = 800Comprobamos:

I = Cv + Cf1.2 (800) = 0.9 (800) + 240 960 = 720 + 240 960 = 960

CONCLUSIÓN: Se deberán producir y vender 800 artículos para garantizar de que no haya pérdidas ni ganancias.

21. 31.) (Análisis de punto de equilibrio) Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.5 por unidad. Si el productor vende cada artículo a $6. Encuentre el punto de equilibrio. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener unas utilidades $1000 mensual? Obtenga la perdida cuando solo 1500 unidades se producen y venden al mes.

SOLUCIÓN:DATOS:a) Cf = $5´000 Cv = 3.5x Pv = $6 I = 6x x = ? ; Peb) x = ? U = $1´000

c) x = 1´500 Pérdidas = ?

a/R) Pe; I = Ct

I = Cv + Cf

Reemplazamos los datos dados:

6x = 3.5x + 5´000 6x – 3.5x = 5´000 2.5x = 5´000

x = 5´ 0002.5

x = 2´000CONCLUSIÓN a): El productor tiene que producir y vender 2´000 unidades para no perder en el negocio.

b) x = ? U = $1´000

I = 6xCt = Cv + Ct Ct = 3.5x + 5´000

Utilizamos Fórmula de utilidades:

U = I – CtReemplazamos los valores conocidos:

1´000 = 6x – (3.5x + 5´000)1´000 = 6x –3.5x - 5´0001´000 = 2.5x – 5´000 2.5x = 1´000 + 5´000

x = 6 ´ 0002.5

x = 2´400

CONCLUSIÓN b): El productor tiene que producir y vender 2´400 unidades para poder obtener utilidades de $1´000.

c) x = 1´500 Pérdidas = U cuando tiene signo negativo

U = I – CtU = 6x – 3.5 x – 5´000U = 2.5x – 5´000U = 2.5 (1´500) – 5´000U = 3´750 – 5´000U = – 1´250

CONCLUSIÓN: Por producir y vender 1´500 unidades el productor reporta pérdidas por $1´250.

22. 32.) (Análisis de punto de equilibrio) El costo de producir x artículos esta dado por yc=2.8x+600 y cada artículo se vende a $4. Encuentre el punto de equilibrio. ¿Cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya perdidas si se sabe que al menos 450 unidades de venderán?

SOLUCIÓN:DATOS:a) yc = 2.8x + 600 Pv = $4 I = 4x x = ? ; Pe = ?b) Pv = ? Pe = ? x = 450a/R) Pe; I = Ct ; Ct = yc I= yc

Reemplazamos los datos dados y resolvemos:

4x = 2.8x + 600 4x – 2.8x = 600 1.2x = 600

x = 6001.2

x = 500

CONCLUSIÓN a): Para hallar el punto de equilibrio se deben producir y vender 500 unidades.b/R) ) Pv = ? Pe = ? x = 450Para hallar Pv en este punto primero hallaremos I:

I= yc I = 2.8x + 600I = 2.8 (450) + 600I = 1260 + 600I = 1´860

Ahora como I = Pv(x)

Pv = Ix

Pv = 1860450

Pv = 4.14Comprobamos:

I= yc

I = 2.8x + 600 1´860 = 2.8 (450) + 600 1´860 = 1260 + 600 1´860 = 1´860

CONCLUSIÓN b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán se debe fijar un precio de $4,14 por artículo para que no haya pérdidas.

23. 33.) (Análisis de punto de equilibrio) Un fabricante produce artículos a un costo variable de $0.85c/u y los costos fijos son de $280 al día. Si cada artículo puede venderse a $1.1 determine el punto de equilibrio.

SOLUCIÓN:DATOS:Cv = $0.85xCf = $280Pv = $1.1 I = 1.1xPe = ?

Pe; I = Ct I = Cv + Cf 1.1x = 0.85x + 280 1.1x - 0.85x = 280 0.25x = 280

x = 2800.25

x = 1´120CONCLUSIÓN: Si cada artículo el fabricante lo vende a $1.1 tiene que vender 1120 unidades para mantener el punto de equilibrio.

24. 34.) (Depreciación) Juan compró un automóvil nuevo por $10´000. ¿Cuál es el valor V del automóvil después de t años, suponiendo que deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original? ¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años?

SOLUCIÓN:DATOS:a) v1 = $10´000 t1 = 0

v2 = v1 – v1(12%)

v2 = $10´000 – $10´000(0.12)

v2 = $10´000 – $1´200

v2 = $8´800 t2 = 1 (10´000, 0) ( 8´800, 1) v1 t1 v2 t2

Aplicamos ecuación pendiente depreciativa de una recta para hallar la relación de depreciación:

m=v2−¿ v1

t 2−¿ t1¿¿

m=8 ´ 800−10´ 0001−0

m=−1 ´ 2001

m=−1 ´ 200Utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación lineal del vehículo:v=m ( t−t1 )+v1 v=−1200 ( t−0 )+8 ´ 800 v=−1200 t+8´ 800 b) v = ? t = 5v=−1 ´ 200(5)+8 ´ 800 v=−6 ´ 000+8´ 800 v=2 ´ 800 CONCLUSIÓN: El valor del automóvil después de 5 años es de $2´800.

25. 35.) (Depreciación) Una empresa compro maquinaria nueva por $15000. Si se deprecia linealmente en $750 al año y si tiene un valor de deprecio de $2250, ¿Por cuánto tiempo estará la maquina en uso? ¿Cuál será el valor V de la maquinaria después de t años de uso y después de 6 años de uso?

SOLUCIÓN:DATOS:a) v1 = $15´000 t1 = 0

v2 = v1 – $2´250

v2 = $15´000 – $2´250

v2 = $12´750 t2 = 1 (15´000, 0) (12´750, 1) v1 t1 v2 t2

Aplicamos ecuación pendiente depreciativa de una recta para hallar la relación de depreciación de la maquinaria:

m=v2−¿ v1

t 2−¿ t1¿¿

m=12´ 750−15 ´ 0001−0

m=−1 ´ 2001

m=−2 ´ 250Ahora utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación lineal del vehículo:v=m ( t−t1 )+v1 v=−2 ´ 250 (t−0 )+15 ´ 000 v=−2 ´ 250 t+15 ´ 000 b) t = ? v= 0v=−2 ´ 250 t+15 ´ 000 0=−2 ´ 250t+15 ´ 000

t=−15´ 000−2´ 250

t = 6.66CONCLUSIÓN: La máquina estará en uso por 7 años aproximadamente.c/R) t = 6 v= ?v=−2 ´ 250 t+15 ´ 000 v=−2 ´ 250(6)+15 ´ 000 v=−13 ´ 500+15 ´ 000 v=1´ 500 CONCLUSIÓN: Después de 6 años de uso la máquina tendrá un valor de $1´500.

26. 36.) (Depreciación) La señora Olivares compro un TV nuevo por $800 que se deprecia linealmente cada año un 15% de su costo original. ¿Cuál es el valor del TV después de t años y después de 6 años de uso?

SOLUCIÓN:DATOS:a) v1 = $800 t1 = 0

v2 = v1 – v1(15%)

v2 = $800 – $800(0.15)

v2 = $800 – $120

v2 = $680 t2 = 1

(0, 800) (1, 680)

v1 t1 v2 t2

m=v2+¿ v1

t 2+¿t 1¿¿

m=680−8001−0

m=−120b) Ahora utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación anual del TV:v=m ( t−t1 )+v1 v=−120 (t−0 )+800 v=−120 t+800 c) t = 6 v= ?v=−120 t+800 v=−120(6)+800 v=−720+800 v=80 CONCLUSIÓN: Después de 6 años de uso el TV tendrá un valor de $80.

27. 37.) (Ecuación de la oferta) A un precio de $2.5 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a $4 cada unidad, la misma empresa ofrecerá 14´000 camisetas al mes. Determine la ley de la oferta, suponiendo que es lineal.

SOLUCIÓN:DATOS:a) P1 = $2.5 x1 = 8´000 P2 = $4 x2 = 1´4000

(8´000, 2.5) (14´000, 4)

x1 y1 x2 y2

Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar relación lineal de la oferta:

m=y1− y2x1−x2


m= 2.5−48 ´ 000−14 ´ 000

m= −1.5−6 ´ 000

m=0.00025

Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina la ley de la oferta:

y=m (x−x1 )+ y1y=0.00025 (x−8 ´ 000 )+2.5y=0.00025x−2+2.5

y=0.00025x+0.5

Ejemplo: Si la empresa ofreciera 20´000 camisetas ¿Qué precio ofrecería?

x = 20´000 y = ?

y=0.00025x+0.5

y=0.00025(20 ´ 000)+0.5

y=5+0.5

y=5.5

CONCLUSIÓN: Si la empresa ofreciera 20´000 camisetas el precio sería $5.5 por unidad.

28. 38.) (Relación de la demanda) Un fabricante de herramientas puede vender 3000 martillos al mes a $2 c/u, mientras que solo puede vender 2000 a $2.75 c/u. determine la ley de la demanda, suponiendo que es lineal.

SOLUCIÓN:DATOS:a) x1 = 3´000 P1 = $2 x2 = 2´000 P2 = $2.75

(3´000, 2) (2´000, 2.75)

x1 y1 x2 y2

Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar relación lineal de la demanda de martillos:

m=y1− y2x1−x2


m= 2 –2.753 ´ 000−2´ 000

m=−0.751´ 000

m=−0.00075

Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina la ley de la demanda de los martillos:

y=m (x−x1 )+ y1y=−0.00075 (x−3´ 000 )+2y=−0.00075x+2.25+2

y=−0.00075 x+4 .5

Ejemplo: Si el fabricante baja su precio a $1.5 ¿Cuál sería la cantidad demandada?

y = $1.5 x = ?

y=−0.00075 x+4 .5 1.5=−0.00075x+4 .5

x=1.5−4 .50.00075

x= 30.00075

x=4 ' 000

CONCLUSIÓN: Si el fabricante baja el precio de los martillos a $1.5 la cantidad demandada sería de 4´000 unidades.

29. 39.) (Punto de equilibrio del mercado) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio de las curvas de

demandas y ofertas siguientes: D: 2p+3x=100 y O: p = 110

x+2; D: 3p+5x=200 y O: 7p-3x= 56; D: 4p+x= 50 y O:

6p-5x=10; D5p+8x y O: 3x=2p-1.

trabajo final matemÁticas . ruz

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