OBJETIVOS GENERALES

Cumplir con uno de los requisitos, previo a la aprobación del Módulo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Afianzar los conocimientos sobre la matemática fundamental y el manejo de Números Reales.

Calcular todos los parámetros que conforman el interés simple. Aplicar relaciones matemáticas del Interés Compuesto en problemas

relacionados con su carrera. Establecer diferencias entre los conocimientos adquiridos. Aplicar conocimientos básicos de Periodicidades (imposiciones y

amortizaciones), bonos y seguros.

INTRODUCCIÓN

Conscientes de la necesidad de conocimiento, el presente trabajo servirá de guía didáctica de Matemática Financiera, pretende colaborar en la formación y preparación de los estudiantes que estamos cursando esta materia. Adquiriendo las bases necesarias y suficiente para una correcta formación profesional de la mejor forma posible. Sin duda el uso de Multimedia favorece los procesos de enseñanza-aprendizaje grupal e individual. Algunas de sus principales aportaciones en este sentido son las siguientes: proporcionar información, avivar el interés, mantener una continua actividad intelectual, orientar y proponer aprendizajes a partir de los errores, facilitar la evaluación y el control, para ello hemos utilizado diferente fuentes tecnológicas de consultas como ha sido el internet.

JUSTIFICACIÓN

Este trabajo pretende dar una visión de los diferentes aspectos que conforman las herramientas financieras asociadas fundamentalmente al mundo empresarial, con el fin de poner al alcance los conocimientos que precisan en esta área tanto desde el punto de vista teórico y como desde el punto de vista práctico. Es muy importante conseguir adquirir los conocimientos necesarios para el estudio y solución de los problemas financieros y en general para la toma de decisiones. El objetivo del aprendizaje del entorno de las Operaciones Financieras es conocer las herramientas necesarias y elementales para poder aplicar como recurso en las actividades personales y empresariales en las relaciones con las entidades financieras.

CONTENIDO

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS: Los Reales, relaciones numéricas y gráficas

Números RealesNúmero Naturales (N ): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos).

{0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,… }

Números Enteros (Z): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero.

{…,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,…}

Números Racionales (Q): conjunto formado por todos los números que se pueden

escribir en la forma mn

, donde m y n son enteros n≠0.

12,25,74

Números Irracionales (I): número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros, y pueden ser positivos o negativos.

√2=1.41421356…π=3.14159265…

3√5=1.70997594… Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas. Representación geométricaSe pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.      

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

Porcentajes

El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción.

Ejemplo: Para saber cómo se representa el 10 % en fracción se divide y luego se

simplifica:

10 %= 10100

= 110

=0.1

La fracción común se multiplica por el número que sea necesario para que el

denominador sea 100 y se toma el numerador, que será el porcentaje.

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:

110

= 10100

=10 %

Equivalencia entre un porcentaje considerable y sus fracciones

100

%

90

%

80

%

75

%

70

%

66,

(6)%

60

%

50

%

40

%

33,

(3)%

30

%

25

%

20

%

15

%

12,5

%

10

%

5

%

2

%

1

%

0,5

%

1⁄1 9⁄10 4⁄5 3⁄4 7⁄10 2⁄3 3⁄5 1⁄2 2⁄5 1⁄3 3⁄10 1⁄4 1⁄5 3⁄20 1⁄8 1⁄10

1

⁄20

1

⁄50

1

⁄100

1⁄200

Obtener un tanto por ciento de un número

Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Por ejemplo,

el 25 % de 150 es:

25 ∙0.01∙150=37.5

 Una forma equivalente de tratar esta operación es considerar que se multiplica por la

cifra y se divide por cien (pues 0,01 = 1/100).

Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de

tres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres:

simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción con

el restado.

100 % → 15025 % → x

→x=150∙25 %100 %

=37.5

Por tanto: 37,5 es el 25 % de 150.

Ejercicios:

1. Con la utilización de los números 12

; 0.2; 25 %; 50 %; 2.1; 73

; hallar las

equivalencias en fracciones, decimales, recta numérica y porcentual. Según lo que se disponga.

Fracción Decimal Porcentual14

0.25 25 %

15

0.2 20 %

12

0.5 50 %

2110

2.1 210 %

73

2.33 233. 33 %

2. Una empresa compra 30 millones de barriles de petróleo a $ 55,00 el barril y los puede vender con las siguientes opciones:

a) Con una utilidad del 11% del precio del costo, calcular el precio de venta.

U: Utilidad

C: Precio de Costo total

V: Precio de Venta total

C=30' 000 000 ∙55=1650'000 000

U=11% ∙C

U=V−C

11% ∙C=V−C

0.11C=V−C

V=1.11C

V=1.11 ∙1650' 000 000=1831' 500 000

Venta decadabarril=1831' 500 000÷30 '000 000=61,05$

b) Con una utilidad del 10% del precio de venta, calcular el precio de venta.

U=10 % ∙V

U=V−C

0.1V=V−C

0.9V=C

V= C0.9

=1650' 000 0000.9

=1833'333 333

Venta decadabarril=1833 '333 333÷30 '000 000=61,11$

c) ¿Cuál opción le produce mayor utilidad?

La utilidad de a) es:

U=1831'500 000−1650 '000 000

U=181'500 000$

La utilidad de b) es:

U=1833'333 333−1650'000 000

U=183'333 333$

La mayor utilidad produce la opción b)

PORCENTAJES DE USO COMÚN, DESCUENTOS E INCREMENTOSIncrementos: Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.

Descuentos: Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.

Para hallar el porcentaje de incremento o decremento: Compara la diferencia (el incremento o decremento) con la cantidad original, usando división. Entonces, convierte el número así obtenido a un porcentaje.

Ejercicios:

1. En tres almacenes de la Ciudad, se han comprado los siguientes artículos: Un TV Plasma HD cuyo costo es de $ 1400,00; teatro en casa por $ 450,00 y un DVD CD/W/ por 390,00. En los tres almacenes los precios de stand son iguales,

la diferencia radica en los descuentos al contado e incrementos a crédito que ofrecen y éstos son:

El descuento en cada almacén al contado del:1. 14%, 15.5% y 12.8%, respectivamente en c/articulo, almacén “1”.2. 15.5%, 12.8% y 14%, respectivamente en c/articulo, almacén “2”.3. 12.8%, 14% y 16.6%, respectivamente en c/articulo, almacén “3”.

El incremento en cada almacén a crédito (6 meses) del:1. 15.5%, 16.6% y 17.5%, respectivamente en c/articulo, almacén “1”.2. 16.6%, 17.5% y 15.5%, respectivamente en c/articulo, almacén “2”.3. 17.5%, 15.5% y 16.6%, respectivamente en c/articulo, almacén “3”.

Con estos datos se desea conocer:

El descuento por artículo de cada almacén.

Almacén “1”:

TV: 1400 ∙0.14=196 $

Teatro: 450 ∙0.155=69,75 $

DVD: 390 ∙0.128=49,92$

Almacén “2”:

TV: 1400 ∙0.155=217 $

Teatro: 450 ∙0.128=57,60 $

DVD: 390 ∙0.14=54,60$

Almacén “3”:

TV: 1400 ∙0.128=179,20 $

Teatro: 450 ∙0.14=63 $

DVD: 390 ∙0.155=60,45$

El incremento por artículo en cada almacén.

Almacén “1”:

TV: 1400 ∙0.155=257 $

Teatro: 450 ∙0.166=74,70 $

DVD: 390 ∙0.175=68,25$

Almacén “2”:

TV: 1400 ∙0.166=232,40 $

Teatro: 450 ∙0.175=78,75 $

DVD: 390 ∙0.155=60,45$

Almacén “3”:

TV: 1400 ∙0.175=245 $

Teatro: 450 ∙0.155=69,75 $

DVD: 390 ∙0.166=64,74$

El costo final por artículo en cada almacén, con descuento.

Almacén “1”:

TV: 1400−196=1204 $

Teatro: 450−69,75=380,25 $

DVD: 390−49,92=340,08$

Almacén “2”:

TV: 1400−217=1183 $

Teatro: 450−57,60=392,40 $

DVD: 390−54,60=335,40$

Almacén “3”:

TV: 1400−179,20=1220,80 $

Teatro: 450−63=387 $

DVD: 390−60,45=329,55$

El costo final por artículo en cada almacén, con incremento.

Almacén “1”:

TV: 1400+257=1627 $

Teatro: 450+74,70=524,70 $

DVD: 390+68,25=458,25$

Almacén “2”:

TV: 1400+232,40=1632,40 $

Teatro: 450+78,75=528,75 $

DVD: 390+60,45=450,45$

Almacén “3”:

TV: 1400+245=1645 $

Teatro: 450+69,75=519,75 $

DVD: 390+64,74=454,74$

El pago mensual por artículo en cada almacén, con incremento y a 24 meses.

Almacén “1”:

TV: (1400+257 ∙2)÷12=159,50 $

Teatro: (450+74,70 ∙2)÷12=49,95 $

DVD: (390+68,25 ∙2)÷12=43,88$

Almacén “2”:

TV: (1400+232,40 ∙2)÷12=155,40 $

Teatro: (450+78,75 ∙2)÷12=50,63 $

DVD: (390+60,45 ∙2 )÷12=42,58$

Almacén “3”:

TV: (1400+245 ∙2)÷12=157,50 $

Teatro: (450+69,75 ∙2)÷12=49,13 $

DVD: (390+64,74 ∙2)÷12=43,29$

El pago total de los artículos, aplicado el descuento, POR ALMACÉN.

Almacén “1”:

TV+Teatro+DVD: 1204+380,25+340,08=1924,33 $

Almacén “2”:

TV+Teatro+DVD: 1183+392,40+335,40=1910,80 $

Almacén “3”:

TV+Teatro+DVD: 1220,80+387+329,55=1937,35 $

El pago total de los artículos, aplicado el incremento, POR ALMACÉN.

Almacén “1”:

TV+Teatro+DVD: 1627+524,70+458,25=2609,95 $

Almacén “2”:

TV+Teatro+DVD: 1632,40+528,75+450,45=2611,60 $

Almacén “3”:

TV+Teatro+DVD: 1645+519,75+454,74=2619,49 $

Si fuera del caso, ¿Cuál será la mejor propuesta para realizar la compra al contado, considerando que si realizó la compra total contado en cada almacén, me ofrecen además un 4.5%; 5% y 180,00 dólares de descuento adicional respectivamente? Justificar su respuesta.

Almacén “1”:

TV+Teatro+DVD: 1924,33−0.045 ∙1924,33=1837,74 $

Almacén “2”:

TV+Teatro+DVD: 1910,80−0.05 ∙1910,80=1815,26 $

Almacén “3”:

TV+Teatro+DVD: 1937,35−180,00=1757,35 $

La mejor propuesta para realizar la compra al contado es la del almacén “3”.

INTERÉS SIMPLE

Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión financiera o de capital cuando los intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos. Los periodos de tiempo pueden ser años, trimestres, meses, semanas, días, o cualquier duración. O sea el interés se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capital

Su fórmula está dada por:

I=crt

Dónde:

I es el interés simple obtenido del capital.

c  es el capital invertido.

r  es la tasa de interés asociada a cada periodo temporal expresada en tanto por

uno (v.g., 0,04 = 4 %). t  es el número de periodos temporales.

1. Enlistar un glosario de las fórmulas utilizadas en el desarrollo del interés simple:

c= Irt

M=c+ I

r= Ict

t= Irc

2. Aplicaciones: Sobre “r”, tasa de interés, (tanto por uno):

Determinar la tasa de interés cuando el % es: 5%, 8%, 12%, 2.5%, 3.6%, 4.5%, 7.5%, de 18540 dólares americanos.

a) Encontrar el interés simple (I), y el Monto (S, M), sabiendo que el principal (C, P) es $15000,00 en los siguientes casos:

15.25% durante 2.5 años.

Con r=5%

I=15000,00 ∙0.05∙2.5=1875 $

M=15000+1875=16875,00 $

Con r=8%

I=15000,00 ∙0.08∙2.5=3000 $

M=15000+3000=18000,00 $

Con r=12%

I=15000,00 ∙0.12∙2.5=4500 $

M=15000+4500=19500,00 $

Con r=2.5 %

I=15000,00 ∙0.025∙2.5=937,50 $

M=15000+937,50=15937,50 $

Con r=3.6 %

I=15000,00 ∙0.036 ∙2.5=1350 $

M=15000+1350=16350,00 $

Con r=4.5 %

I=15000,00 ∙0.0 45 ∙2.5=1687,50 $

M=15000+1687,50=16687,50 $

Con r=7.5 %

I=15000,00 ∙0.075∙2.5=2812,50 $

M=15000+2812,50=17812,50 $

14% durante 30 meses (2.5 años).

Con r=5%

I=15000,00 ∙0.05∙2.5=1875 $

M=15000+1875=16875,00 $

Con r=8%

I=15000,00 ∙0.08∙2.5=3000 $

M=15000+3000=18000,00 $

Con r=12%

I=15000,00 ∙0.12∙2.5=4500 $

M=15000+4500=19500,00 $

Con r=2.5 %

I=15000,00 ∙0.025∙2.5=937,50 $

M=15000+937,50=15937,50 $

Con r=3.6 %

I=15000,00 ∙0.036 ∙2.5=1350 $

M=15000+1350=16350,00 $

Con r=4.5 %

I=15000,00 ∙0.0 45 ∙2.5=1687,50 $

M=15000+1687,50=16687,50 $

Con r=7.5 %

I=15000,00 ∙0.075∙2.5=2812,50 $

M=15000+2812,50=17812,50 $

15% durante 270 días (0.74 años).

Con r=5%

I=15000,00 ∙0.05∙0.74=555 $

M=15000+555=15555,00 $

Con r=8%

I=15000,00 ∙0.08∙0.74=888 $

M=15000+888=15888,00 $

Con r=12%

I=15000,00 ∙0.12∙0.74=1332 $

M=15000+1332=16332,00 $

Con r=2.5 %

I=15000,00 ∙0.025∙0.74=277,50 $

M=15000+277,50=15277,50 $

Con r=3.6 %

I=15000,00 ∙0.036 ∙0.74=399,60 $

M=15000+399,60=15399,60 $

Con r=4.5 %

I=15000,00 ∙0.045∙0.74=499,50 $

M=15000+499,50=15499,50 $

Con r=7.5 %

I=15000,00 ∙0.075∙0.74=83 2,50 $

M=150 00+832,50=1583 2,50 $

b) A que tasa de interés estuvieron: En un años y 7 meses, el monto de $ 5000,00; se convertirá en

$8410,00.

M=8410, c=5000, t=1.58

M=c+ I→ I=M−c

I=8410−5000=3410

r= Ict

= 34105000∙1.58

=0.43=43 %

c) Juan compró un radio en $299,95; dio un de anticipo de $45,95 y acordó pagar el resto en seis meses, con un cargo adicional de $80,00. ¿Qué tasa de interés pagó? Comente el resultado.

M=299,95−45,95=254; I=80,00

c=M−I=254−80=174

r= Ict

= 80174 ∙0.5

=0.9195=91.95 %

La tasa de interés que pagó Juan es muy grande.

d) En qué tiempo se triplica una cantidad de dinero al 14.5% de interés simple?

M=3c

M=c+ I=3c→2c=I

t= Icr

= 2cc ∙0.145

=13.79 (Años)

e) ¿Qué suma de dinero debe ser invertida al 18.5% para tener $1000,00 después de 9 meses?

M=c+ I=1000→I=1000−c

c= Irt

= 1000−c0.185∙0.75

c=878,16 $

f) ¿Qué oferta es más conveniente para el comprador de un vehículo: $10000,00 iniciales y $22000,00 dentro de 24 meses o $15000,00 iniciales y $17000,00 después de un año? Supóngase el interés igual en los dos casos es del 15.2% y comente el valor de cada oferta, obtenga su propia conclusión.

Primer caso:

M=32000, c=10000

I=32000−10000=22000

Segundo caso:

M=32000, c=15000

I=32000−15000=17000

Podemos observar como la segundo oferta es más conveniente ya que el interés es menor.

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un

período determinado por un capital inicial (c) o principal a una tasa de interés (r)

durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final

de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital

inicial, es decir, se capitalizan.

1. Enlistar un glosario de las fórmulas utilizadas en el desarrollo del Interés compuesto:Ejm. M = c(1+r) n M= S = Capital Final, c = Capital inicial o Principal

r = Tasa de interés, n = tiempo (r y n) en función de “períodos de conversión”.

Para un período de tiempo determinado, el capital final (M) se calcula mediante

la fórmula

M=c (1+r )n

Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula:

i=(1+r )n

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales iniciales y final y el

interés, despejando n en la última fórmula, obteniéndose:

n=log(Mc )log (1+r )

2. Aplicaciones: Sobre “r”, tasa de interés, (tanto por uno) y “n”, períodos de conversión:

Calcular “i” y “n” en cada caso: 15,5%; 16%; 10,75%; 18,5%; convertibles: anualmente,

trimestralmente, bimensualmente, mensualmente.

AnualmenteCon r=0.155

n=1i=(1+r )n−1=(1+0.155 )1−1=0.155

Con r=0.16n=1

i=(1+r )n−1=(1+0.16 )1−1=0.16Con r=0.1075

n=1i=(1+r )n−1=(1+0.1075 )1−1=0.107 5

Con r=0.185n=1

i=(1+r )n−1=(1+0.1 5 )1−1=0.185

TrimestralmenteCon r=0.155

n=14

i=(1+r )n−1=(1+0.155 )14−1=0.0367

Con r=0.16

n=14

i=(1+r )n−1=(1+0.16 )14−1=0.0378

Con r=0.107 5

n=14

i=(1+r )n−1=(1+0.107 5 )14−1=0.0258

Con r=0.185

n=14

i=(1+r )n−1=(1+0.185 )14 −1=0.0433

Bimensual:Con r=0.155

n=16

i=(1+r )n−1=(1+0.155 )16 −1=0.0243

Con r=0.16

n=16

i=(1+r )n−1=(1+0.16 )16−1=0.025

Con r=0.107 5

n=16

i=(1+r )n−1=(1+0.107 5 )16 −1=0.0 171

Con r=0.185

n=16

i=(1+r )n−1=(1+0.185 )16−1=0.0286

Mensual:Con r=0.155

n= 112

i=(1+r )n−1=(1+0.155 )1

12−1=0.012Con r=0.16

n= 112

i=(1+r )n−1=(1+0.16 )112−1=0.012 4

Con r=0.107 5

n= 112

i=(1+r )n−1=(1+0.107 5 )1

12−1=0.0085Con r=0.185

n= 112

i=(1+r )n−1=(1+0.185 )1

12−1=0.014 2

Una cierta cantidad es invertida por 8 años 9 meses al 16,5% convertible mensualmente; Hallar la tasa de interés “i” por período de conversión y el número de períodos “n”.

n= 112

i=(1+r )n−1=(1+0.165 )1

12−1=0.0128

Sobre el monto compuesto:

Manuel obtiene un préstamo de $26000,00 acordando pagar el capital con interés del 12,5% convertible trimestralmente ¿Cuánto deberá pagar al final de cuatro años?

M=c (1+r )n

M=26000 (1+0.125 )4=41646,97$

Se desea acumular $25.000,00 durante 8,5 años al 10,75% convertible mensualmente.

M=25 000 (1+0.1075 )8.5=59547,26$

Sobre la tasa de interés: Hallar la tasa efectiva “r” equivalente a 0,055 convertible

trimestralmente.

i=(1+r )n=(1+0.055 )14 =1.01

Sobre el tiempo: ¿En qué tiempo el monto de $31500,00 será $41500,00 al 14,35%

convertible trimestralmente?

n=log( 41500

31500 )log (1+0.1435 )

=2.06 Años

ANÁLISIS COMPARATIVO

La Tabla dada a continuación nos refleja en incremento del interés simple y compuesto, graficar los datos en un plano “x” e “y”, al 6%.

Período Monto Simple Monto Compuesto

0 1000 1000

1 1060 1060

2 1120 1124

3 1180 1191

4 1240 1262

5 1300 1338

6 1360 1419

7 1420 1504

8 1480 1594

9 1540 1689

10 1600 1791

0 2 4 6 8 10 120

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Monto SimpleMonto Compuesto

3.- Amortizaciones, imposiciones, Periocidades, bonos, primas.

Amortización

Según Díaz Mata y Aguilera Gómez (1987), “amortizar significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos, que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempos iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo más común, también se llevan a cabo operaciones con algunas variantes”

De acuerdo con Gómez Pardón, “ las amortizaciones son una serie de pagos sucesivos, generalmente en montos y períodos iguales, que se efectúan con el fin de cancelar una obligación y sus intereses, dentro de un plazo convenido previamente”.

Entonces podemos decir que la amortización consiste en el pago de cuotas periódicas (mensuales, trimestrales, etc.), cada una de las cuales se compone de una cantidad destinada a la extinción de la deuda o principal y de otra destinada a satisfacer los intereses del acreedor por el préstamo concedido.

La finalidad de la amortización es constituir una provisión con vistas a la renovación del mismo.

Los valores utilizados en las amortizaciones para satisfacer sus requerimientos, son:

Cuota periódica

Saldo absoluto al inicio de cada período

Intereses vencidos en cada período

Parte que se amortiza de la obligación en cada período

Intereses acumulados hasta la fecha

Amortización acumulada hasta la fecha

Acumulación de intereses y capital a la fecha.

Sistemas de amortización

Amortización Gradual

Es un sistema de amortización por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En la amortización gradual los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales de tiempo. Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más generalizada y la de mayor aplicación en el campo financiero; es una aplicación de las anualidades que hemos estudiado en los capítulos anteriores.

Amortización Constante

A diferencia de la amortización gradual mantienen un valor igual para la amortización en cada período y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente por ser decreciente los intereses sobre los saldos.

Amortización por cuotas incrementadas

Este sistema consiste en incrementar periódicamente la cuota de pago. Es una aplicación de las anualidades variables. Así se tiene: préstamos amortizables con cuotas crecientes de variación uniforme o con gradiente; y el sistema de amortización cuyas cuotas de pago crecen geométricamente. Con estos sistemas de amortización con cuotas incrementadas, se trata de conciliar el incremento de las cuotas con el mejoramiento económico del deudor. En algunos modelos de amortización por cuotas incrementadas, el saldo insoluto crece en los primeros períodos, para luego decrecer.

Amortización Decreciente

Este sistema tiene modelos matemáticos similares a los de la amortización por cuotas incrementadas, para estos sistemas el factor de variación es negativo, convirtiéndose los incrementos en decrementos. En estos sistemas de amortización decreciente, el deudor paga cuotas mayores en los primeros períodos, lo que tiene alguna importancia, si el clima económico es de desvalorización monetaria creciente y se prevé un aumento futuro en las cuotas por corrección monetaria.

Bonos

Un bono u obligación, es un documento de crédito emitido por un gobierno o una empresa privada, por el cual el emisor (prestatario) se obliga a cubrir al inversionista (prestamista) un principal en un plazo determinado, así como intereses sobre él, pagaderos en periodos regulares.

Usualmente se aplica el término bono a los documentos emitidos por instituciones gubernamentales, en tanto que él término obligación se aplica a aquellos que son suscritos por organizaciones privadas.

Elementos o Partes de un Bono

Valor Nominal o Denominación: Es el valor consignado en el documento y constituye el capital o principal que el primer inversionista proporciona al emisor. Generalmente es el múltiplo de 100$.

Tasa de interés: Es la tasa con la cual el emisor pagará intereses sobre el valor nominal del bono, en periodos regulares de tiempo y hasta la fecha de redención.

Fecha de redención: Es la fecha en la que el emisor se compromete a pagar el préstamo que está recibiendo. En el caso de los bonos con fecha opcional de redención, ésta queda a conveniencia del emisor.

Valor de redención: Es el valor que el emisor se obliga a entregar al tenedor del bono. Por lo general es igual al valor nominal del mismo y en tal caso se dice que el bono se redime a la par. En caso contrario se dice que el bono se redime con premio o con descuento, y esto es especificado expresando que el bono se redimirá a un x porcentaje de su valor nominal, pero omitiendo la expresión “por ciento”.

Por ejemplo, un bono con valor nominal de $10.000 y cuyo valor de redención es de $11.000, estipulará claramente que será redimido a 110 (con premio).

ImposiciónUna imposición es una circunstancia que debe sobrellevarse de modo obligatorio sin que exista una alternativa para evadirla. En este sentido, la imposición puede entenderse como una limitación de la libertad generada desde el exterior, ya sea de forma deliberada como accidental. En general, el término se utiliza especialmente para referirse a las obligaciones tributarias, es decir, para dar cuenta del aporte que hace la población para mantener al estado mediante el pago de distintos tributos que son obligatorios. Una imposición siempre se relaciona por lo tanto con una circunstancia de fuerza mayor, con una situación que es necesario experimentar de forma perentoria.

Periodicidad.

En función del periodo, P, una renta puede ser:

Prima o quebranto de emisión

Diferencia entre el valor nominal de la obligación y su valor de emisión. 

Ejemplos:

1) Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales R en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.

0 1 2 3 4 5 6

5000

Los pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es de $5000. Por tanto:

R 6ø0.025 = 5000 y R = 5000 1 = $907.75

6ø0.025

Cada pago R se aplica en primer lugar para el pago de interés vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. En consecuencia, la cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el transcurso del tiempo.

La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El capital insoluto al final del plazo es 0 en teoría, sin embargo, debido a la practica de redondear al centavo más próximo, puede variar ligeramente de 0. el capital insoluto justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por hacerse.

Tabla de amortización

Construir una tabla de amortización para la deuda anterior.

Período

Capital insoluto al principio del período

(a)Interés vencido al

final del período (b) Pago ©Capital pagado al

final del período (d)

1 5000.00 125.00 907.75 782.75

2 4217.25 105.43 907.75 802.32

3 3414.93 85.37 907.75 822.38

4 2592.55 64.81 907.75 842.94

5 1749.61 43.74 907.75 864.01

6 885.60 22.14 907.75 885.61

La tabla se llena por renglones como sigue: el capital insoluto (a) al principio del primer período es la deuda original de $5000. El interés vencido (b) al final de ese mismo período es 5000(0.025)=125. El pago semestral (c) es $907.75, de los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y $907.75-125=$782.75 se utilizan para el pago del capital (d). AL principio del segundo período el capital insoluto (a) es 5000 - 782.75 = $4217.25. Al término de este período, el interés vencido (b) es 4217.25(0.025)=$105.43. Del pago (c) de $907.75, quedan $907.75, quedan 907,75-

105.43=$802.32 para pago del capital (d). Al principio del tercer período, el capital insoluto (a) es 4217.25-802.32=$3414.93 y así sucesivamente.

Cuando tiene que hacerse un gran número de pagos, debe revisarse la tabla ocasionalmente durante su elaboración.

2) La señora Cardona, adquirió un terreno al contado en agosto de 1996, en este mismo tiempo su esposo que es Arquitecto decidió construir una casa de habitación en dicha propiedad.Por lo anterior solicitaron un préstamo al Banco "X" por un valor de Q187,350.00 dando como garantía el terreno donde se edificaría la infraestructura, notario 853562, con fecha 30/12/1996, fecha de venta 31/01/1997.Las condiciones del banco son: cuota nivelada de Q2,460.69 mensual a 12% anual, a 12 años plazo, sin enganche y sin seguro.DATOS:A = ?P = Q.187,350.00m = 12 mesesj = 12i = j/m = 0.12/12 = 0.01n = 12 añosn = m * n = 12 * 12 = 144 meses

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

Con ayuda de este trabajo podemos concluir que tener una buena base de conocimientos nos ayudara muy efectivamente en el campo laboral. Por eso se recomienda partir de las bases matemáticas, teórico prácticas para ser unos correctos profesionales muy bien formados. La matemática tiene unas poderosas herramientas que debes ser aprendidas para la aplicación en los diferentes problemas que hemos podido observar ocurren en la realidad.

BIBLIOGRAFÍA:

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_5_Numeros%20Reales.htmhttp://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_4_num_irrac.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Porcentajehttp://www.mamutmatematicas.com/lecciones/porcentaje-incremento.phphttp://conociendoporcentaje.blogspot.com/2009/10/variaciones-incrementos-y-descuentos.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inter%C3%A9s_simplehttp://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtmlhttp://definicion.mx/imposicion/http://www.ub.edu/mf/castellano/tema3/tema1.htmhttp://www.eumed.net/libros-gratis/2006b/cag3/3b.htm