trabajo domiciliario de análisis matemático ii

5/20/2018 Trabajo Domiciliario de An lisis Matem tico II

1/1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA GEOLGICA

TRABAJO DOMICILIARIO DE ANL ISIS MATEMTICO II

Grupo A

Tema: A PLICACIONES GEMTRICAS Y MECNICAS DE LA INTEGRA L DE

RIEMANN ASISTIDAS POR COMPUTADORA.

DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

ALUMNO : LOZANO LAMADRID, Luis Gonzalo.

AO : Segundo

CICLO : Tercero

Cajamarca, 01 de mayo de 2012


2/1

TRABAJO DOMICILIARIO DE ANLISIS MATEMTICO II

Grupo A

Tema: A PLICACIONES GEMTRICAS Y MECNICAS DE LA INTEGRA L DE

RIEMANN ASISTIDAS POR COMPUTADORA.

Problema.-dada la regin R limitada por las funciones y = g(x) y = h(x) las rectasx = a, x = b:

En la curva C1: y1= h(x)

y = h(x) =2ax bx c ; siendo a


3/1

2.5

6.25

q

q 4p

2

2(2.5)

5

b q

b

b

( )

6.25 4

2.25

c q p

c

c

Por la que la ecuacin C1quedara:

2( ) 5 2.25y h x x x

En la curva C2: y2= g(x)

y = g(x) =2ax bx c ; siendo 0a , para que la curva se abra hacia arriba

Asumimos que:

1 ( , ) (2,1.5)a v h k

2( )y g x x bx c

Hacemos que: c = m + n2( )y g x x bx c

2( ) ( )y g x x bx m n

2y n x bx m

2( ) ( )y n x m =

2 22x mx m

Por polinomios idnticos:2 2 22x bn m x mx m

2b m

Luego:2( ) ( )

( , )

(2,1.5) ( , )

y n x m

v h k

m n

2

2

4

m

m

m

1.5n

2

2( 2)

4

b m

b

b

4 1.5

5.5

c m n

c

c

Por lo que la ecuacin C2quedara:

2( ) 4 5.5y g x x x


4/1

DETERMINAR:

1) El rea de la regin plana R.

1

1

1

( ) ( ) .

( )

( ) ( ) ( ) .

( ) lim ( ) ( ) .

( ) ( ) ( )

i i i i

n

i

i

n

i i i

i

n

i i ix

i

b

a

A h g x

A R A

A R h g x

A R h g x

A R h x g x dx

Tomamos valores aproximados para a y b, siendo a = 1.5 y b = 3:

3

2 2

1.5

3

2

1.5

33 2

1.5

( ) 5 2.25 ( 4 5.5)

( ) 2 9 7.75

2 9( ) 7.75

3 2

A R x x x x dx

A R x x dx

x xA R x

( ) 3A R 2

u

2) Las integrales para determinar el permetro de la regin R. De ser integrables,resolverlas.


5/1

1 2 12 43Permetro S S

2

1

2

1

3 22

11.5

3 2

11.5

32

11.5

32

11.5

1 '( )

1 '( )

1 ( 5 2, 25) '

1 2 5

4 20 26

2 2 10 13

dS h x dx

S h x dx

S x x dx

S x dx

S x x dx

S x x dx

2

2

2

2

3 22

21.5

3 2

21.5

32

21.5

1 '( )

1 '( )

1 ( 4 5.5) '

1 2 4

4 16 17

dS g x dx

S g x dx

S x x dx

S x dx

S x x dx

Recta 12

Punto 1: ,i if si 1.5i ,

21.5 5 1.5 2.25

3

i

i

f

f

Punto 2: ,i if si 1.5i ,

2( ) 1.5 4 1.5 5.5

( ) 1.75

i

i

f

f

Entonces 12 = 31.75 = 1.25

Recta 43

Punto 4: ,i if si 3i ,

23 5 3 2.25

3.75

i

i

f

f

Punto 3: ,i i

f si 3i

,

23 4 3 5.5

2.5

i

i

f

f

Entonces 43 3.75 2.5 1.25

Por lo tanto:

Permetro =3

2

1.52 2 10 13x x dx +

32

1.54 16 17x x dx + 1.25 +1.25


6/1

Permetro =3

2

1.52 2 10 13x x dx +

32

1.54 16 17x x dx + 2.5

Permetro =29.7 2.052 2.5i u = 9.7i + 2.25

3) Las integrales que indiquen el rea lateral de las superficies de revolucin

generadas, cuando la regin R rota alrededor de: el eje x, el eje y, las rectasx c y d . De ser integrables, resolverlas.

Alrededor d el eje x

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )A S A S A S A S A S

- Hallando A(S1)

1

1

2

2 .......(1)b

a

dA S h x dS

A S h x dS

21 'dS h x dx

2'

21 5 2.25dS x x dx

21 2 5dS x dx


7/1

24 20 26 .......2dS x x dx

Reemplazamos 2 en 1

32 2

11.5

32 2

11.5

2 5 2.25 4 20 26

2 2 5 2.25 2 10 13

A S x x x x dx

A S x x x x dx

- Hallando A(S2)

2

2

2 ( )

2 ( ) .........1b

a

dA S g x dS

A S g x dS

Hallando dS

2

2'

2

2

2

1 '( )

1 4 5.5

1 2 4

4 16 17 ...........2

dS g x dx

dS x x dx

dS x dx

dS x x dx

Reemplazamos 2 en 1

32 2

2 1.52 4 5 4 16 17AS x x x x dx

- Hallando A(S3)

2

3 1 2

2

3

2

3

( ) 2

( ) 2 3 1.75 2 1.5625

( ) 3.125 9.81

A S r r

A S

A S u

- Hallando A(S4)

2

4 1 2

2

4

2

4

( ) 2

( ) 2 3.75 2.5 2 1.5625

( ) 3.125 9.81

A S R R

A S

A S u


8/18

32 2

1.52 2 5 2.25 2 10 13A S x x x x dx

32 2 2

1.52 4 5 4 16 17 19.62x x x x dx u

2

2

2 2 (27,87) 2 (3.738) 19.62

290.75

A S u

A S u

Alrededor d el eje y

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )A S A S A S A S A S

- Hallando A(S1)

1

( )

1( )

( ) 2 ( )

( ) 2 ( )h b

h a

dA S h x dS

A S h x dS. (1)

Hallando dS

2'

2'

2

2

2

1

1 5 2.25

1 2 5

4 20 26 ........(2)

dS h x dx

dS x x dx

dS x dx

dS x x dx


9/18

Reemplazando (2) en (1)

3.752 2

13

2 5 2.25 4 20 26A S x x x x dx

- Hallando A(S2)

2

( )

2( )

2 ( )

2 ( ) .........(1)g b

g a

dA S g x dS

A S g x dS

Hallando dS

2'

2'

2

2

2

1

1 4 5.5

1 2 4

4 16 17 .........(2)

dS g x dx

dS x x dx

dS x dx

dS x x dx

Remplazando (2) en (1)

2.52 2

21.75

2 4 5.5 4 16 17A S x x x x dx

- Hallando A(S3)

3

2

3

2

2 1.5 1.25 11.78

A S rh

A S u

- Hallando A(S4)

4

2

4

2

2 3 1.25 23.56

A S rh

A S u

3.752 2

32 5 2.25 4 20 26A S x x x x dx

2.52 2 2

1.752 4 5.5 4 16 17 35.34x x x x dx u

2

2

2 (14.63) 2 (1.309) 35.34

135.48

A S u

A S u


10/

Alr ededor de la recta x = c = 5

1 2 3 4A S A S A S A S A S

- Hallando A(S1)

1

( )

1( )

2

2h a

h b

dA S rdS

A S rdS

Hallando dS

2

1 'dS h x dx

2'

21 5 2.25dS x x dx

21 2 5dS x dx

24 20 26 .......2dS x x dx

Reemplazamos 2 en 1

3.752 2

13

3.752 2

13

2 5 5 2.25 4 20 26

2 5 7.25 4 20 26

A S x x x x dx

A S x x x x dx


11/

- Hallando A(S2)

2

( )

2( )

2

2 ........(1)g a

g b

dA S Rg x dx

A S Rg x dx

Hallando dx

2'

2'

2

2

2

1

1 4 5.5

1 2 4

4 16 17 .........(2)

dS g x dx

dS x x dx

dS x dx

dS x x dx

Reemplanzando 2 en 1

3.752 2

23

3.752 2

23

2 5 4 5.5 4 16 17

( ) 2 4 0.5 4 16 17

A S x x x x dx

A S x x x x dx

- Hallando A(S3)

3

2

3

2

2 2 1.25 15.7

A S rh

A S u

- Hallando A(S4)

4

2

4

2

2 3.5 1.25 27.48

A S rh

A S u

3.752 2

32 5 7.25 4 20 26A S x x x x dx

2.52 2 2

1.75

2 4 0.5 4 16 17 43.18x x x x dx u


12/

Alr ededor de la recta y = d = 6

1 2 3 4A S A S A S A S A S

- Hallando A(S1)

1

1

1

2

2 6 ( )

2 6 ( ) .........(1)b

a

dA S rdS

A S h x dS

A S h x dS

Hallando dS

2'

2'

2

2

2

1 6

1 5 8.25

1 2 5

4 20 26 ..........(2)

dS h x dx

dS x x dx

dS X dx

dS x x dx

Reemplazando 2 en 1


13/

32 2

11.5

32 2

11.5

2 6 5 2.25 4 20 26

2 5 8.25 4 20 26

A S x x x x dx

A S x x x x dx

- Hallando A(S2)

2

2

2

2

2 6

2 6 .........(1)b

a

dA S RdS

dA S g x dS

A S g x dS

Hallando dS

2'

2'

2

2

2

1 6

1 4 0.5

1 2 4

4 16 17 ...........(2)

d S g x dx

d S x x dx

d S x dx

d S x x dx

Reemplazamos 2 en 1

32 2

21.5

3 2 22

1.5

2 6 4 5.5 4 16 17

2 4 0.5 4 16 17

A S x x x x dx

A S x x x x dx

- Hallando A(S3)

2

3

2

3

2

3

2 6 1.75 6 3

2 1.5625

9.81

A S

A S u

A S u

- Hallando A(S4)

2

4

2

4

2

4

2 6 2.5 6 3.75

2 1.5625

9.81

A S

A S u

A S u

32 2

1.52 5 8.25 4 20 26A S x x x x dx


14/

3

2 2 2

1.52 4 0.5 4 16 17 19.62x x x x dx u

4) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededordel eje x.

2 2

2 2

1

2 2

1

2 2

3 2 22 2

1.5

4 2 3 2 4 2

lim

5 2.25 4 5.5

25 5.0625 10 4.5 22.5 16 30.25 8

i i i i

n

i i i

i

n

i i in

i

b

a

V h g u

V h g u

V h g u

V h u g u du

V x x x x dx

V x x x x x x x x

33 2

1.5

33 2

1.5

34 3 2

1.5

3

4 44

2 2.5 21.5 25.1875

2 2.5 21.525.1875

4 3 2

16.5

x x d

V x x x dx

x x xV x

V u351.83V u


15/

5) El volumen del slido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor deleje y.

1

1

3

1.5

32 2

1.5

32

1.5

33 2

1.5

4 3

2

2

lim 2

2

2 5 2.25 4 5.5

2 2 9 7.75

2 2 9 7.75

2 9 7.7524 3

i i i i i

n

i i i i

i

n

i i i in

i

V h g u

V h g u

V h g u

V h x g x dx

V x x x x x dx

V x x x dx

V x x x dx

x x xV

32

1.5

3

2

2 6.75 13.5V u

342.41V u


16/

6) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor de larecta x c .

1

1

32 2

1.5

32

1.5

32 3 2

1.5

2

2

lim 2

2

2 5 5 2.25 4 5.5

2 5 2 9 7.75

2 10 45 38.75 2 9 7.75

2 2

i i i i

n

i i i

i

n

i i in

i

b

a

V r h g u

V r h g u

V r h g u

V r h x g x dx

V x x x x x dx

V x x x dx

V x x x x x dx

V3

3 2

1.5

34 3 2

1.5

3

3

19 52.75 38.75

2 19 52.752 38.75

4 3 2

2 8.25 16.5

51.83

x x x dx

x x xV x

V u

V u


17/

7) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor de larecta y d .

2 2

2 2

1

2 2

1

2 232 2

1.5

3 2 22 2

1.5

4 2 3 2

6 6

6 6

lim 6 6

6 4 5.5 6 5 2.25

4 0.5 5 8.25

16 0.25 8 4

i

n

i

n

ni

V g x h x dx

V g x h x dx

V g x h x dx

V x x x x dx

V x x x x dx

V x x x x x3

4 2 3 2

1.5

33 2

1.5

25 68.0625 10 16.5 81.5

2 26.5 85.5 67.8125

x x x x x dx

V x x x dx


18/1

34 3 2

1.5

3

3

2 26.5 85.567.8125

4 3 2

16.665

52.35

x x xV x

V u

V u

8) Si uno de los slidos se llena de agua, hallar el trabajo para bombear toda el aguahasta una altura H sobre una superficie libre. Adems si este depsito tiene un orificio

circular de rea a0, ubicado en al parte mas baja, el mismo que se abre con el tiempo

t0 = 0; determinar el tiempo real de descarga de toda el agua. Considerar como

coeficiente de descarga Cd= 0.80 .

9) Con ayuda del AutoCAD 2D verificar el rea de la regin plana y determinar elperiodo de la misma.

10) Con ayuda del AutoCAD 3D hallar el volumen los cuatro slidos de revolucingenerados y compruebe con los clculos aplicando la integral de Riemann.

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