pensamiento matemático ii
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Pensamiento
Matemático II
Unidad 32do Semestre
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE PUEBLA
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA SUPERIOR
DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA
SUPERVISIÓN DE BACHILLERATOS DIGITALES ZONA ESCOLAR 07
BACHILLERATO DIGITAL N.141
CCT21EBH1050N
DIRECTORIO
DIRECTORIO INSTITUCIONAL DE LA SECRETARÍA DE
EDUCACIÓN
MELITÓN LOZANO PÉREZ
SECRETARIO DE EDUCACIÓN DEL ESTADO
ALEJANDRA DOMÍNGUEZ NARVÁEZ
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN OBLIGATORIA
IX-CHEL HERNÁNDEZ MARTÍNEZ
DIRECTORA DE APOYO TÉCNICO PEDAGÓGICO, ASESORÍA A
LA ESCUELA Y FORMACIÓN CONTINUA
ANDRÉS GUTIÉRREZ MENDOZA
DIRECTOR DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA
ABIERTA
GUADALUPE MORALES EVANGELISTA
ENCARGADA DE DESPACHO DE LA ZONA ESCOLAR DIGITAL
007
LUIS MARIO DE LA CRUZ GALLEGOS
DISEÑO DE CONTENIDO Y ACTIVIDADES DE LA GUÍA
PRESENTACIÓN
La presente guía se ha creado con la intención de
continuar con la estrategia de educación a distancia para
cuidar de la salud de los estudiantes y al mismo tiempo
no interrumpir la promoción de los aprendizajes que se
deben de abordar en la unidad de aprendizaje curricular
3 del 2do semestre de pensamiento matemático ll.
Se han diseñado actividades que te ayudarán a adquirir
los aprendizajes correspondientes a tu etapa escolar que
cursas en 2do semestre en la disciplina de Pensamiento
Matemático II al igual de la selección de materiales de
apoyo, los cuales puedes consultar para una mejor
comprensión de las temáticas a abordar.
Te invito a aprovechar los recursos y actividades que se
han diseñado en ella para que logres un dominio y
valoración relevante de esta disciplina y sobre todo de
las temáticas a abordar, recuerda que el aprendizaje se
promueve con voluntad y esfuerzo.
¡Mucho éxito!
PROPÓSITO
Al finalizar la unidad de aprendizaje curricular III, los
alumnos desarrollarán un pensamiento matemático crítico
y reflexivo al identificar la aplicación de ángulos,
ejemplificando los movimientos en el plano, solucionando
triángulos oblicuángulos, utilizando como medio
fotografías tomadas con dispositivos móviles o digitales
que le permitan interpretar su entorno y realidad.
SIMBOLOGÍA
Actividades de lectura
5
Actividad audiovisual
Poner en practica
Actividad de
aplicación
APRENDIZAJES ESPERADOS
ÁNGULOS
Mide manual e instrumentalmente los objetos
trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los
elementos de un triángulo.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Caracteriza y clasifica las configuraciones espaciales
triangulares según sus disposiciones y sus relaciones.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus
disposiciones y sus propiedades.
Interpreta y construye relaciones trigonométricas en el
triángulo.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Interpreta y construye relaciones trigonométricas en el
triángulo.
Actividad 1
Criterios de evaluación 10%
Redacción (3%)
Ortografía (3%)
Contenido centrado a la actividad (3%)
Puntualidad (1%)
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
“MI ENTORNO A TRAVÉS DE UNA LENTE”
Al navegar en internet, Lupita y Juan encontraron la
convocatoria de un concurso que les llamó la atención, el “XXI
concurso de fotografía Matemática”1 2, en el que puede
participar cualquier estudiante sin importar su país de
residencia. Entusiasmados, al día siguiente pidieron ayuda a su
profesor de pensamiento matemático, ya que no entendían con
exactitud a qué se referían las categorías.
El profesor sorprendido ante la iniciativa de sus alumnos
decidió proponer un concurso intramuros en su escuela, por lo
que llevó a clase información más precisa acerca de éste:
El objetivo de este concurso es resaltar la presencia de las
Matemáticas en nuestra vida cotidiana y poner de manifiesto su
utilidad en la actividad personal y social, es decir, que el
alumnado aprenda a interpretar el mundo que le rodea desde el
punto de vista matemático, que aprecie su valor práctico e
incorpore a su lenguaje habitual la precisión que le aporta este
lenguaje científico.
CATEGORÍAS
Categoría I: Fotografías que resaltan la rigidez y esbeltez de los
ángulos, del triángulo, del círculo unitario, y sus razones, así
como su aplicación en la ingeniería, arquitectura, artes, etc.
Categoría II: Fotografías en que se observe la estética o
armonía del rectángulo áureo tan útil en diseño, relacionado
con los números irracionales, los cuerpos geométricos y las
congruencias y semejanzas entre construcciones naturales y
artificiales.
Categoría III: Fotografías asociadas con razones
trigonométricas, así como también fotografías que ejemplifican
los movimientos en el plano.
Actividad 2
Categoría IV: Fotografías realizadas en el marco “Día del medio
ambiente”.
CONDICIONES GENERALES
1. Se recibirán 3 fotografías matemáticas por cada participante o
equipo.
2. Cada fotografía debe tener un TÍTULO, que se relacione con el
principio matemático representado o utilizado.
3. No se podrán presentar fotografías premiadas en otros concursos o que
tengan limitados los derechos de publicación.
4. La participación en este concurso supone la aceptación de todas las
condiciones.
5. El trabajo final deberá presentarse como un producto promocional
digital o impreso (blog, videoclip, videoblog, revista, álbum impreso o
digital, etc.) utilizando fotografías matemáticas sobre los lugares de su
comunidad favorito, más representativos o aquellos que han sido
deteriorados por la contaminación.
6.El fallo del jurado se hará público al terminar la UAC III, durante el
mes de julio.
Contesta:
1.- ¿Qué es una fotografía matemática y bajo qué criterios se considera
así?
2.- ¿Qué principios matemáticos se requieren para captar correctamente
una fotografía matemática?
3.- ¿Qué necesito conocer y aplicar para poder participar en el concurso
de fotografía matemática?
4.- ¿Cuál es el valor práctico que tiene la fotografía matemática?
5.- Dado el trabajo realizado utilice lo aprendido y fotografíe algún lugar
favorito o que esté en peligro de contaminación, y argumente ¿qué
principios matemáticos se aplicaron en la captura de las fotos?
6.- Argumente cómo puede una fotografía matemática ayudar a
promocionar un lugar favorito o mostrar las consecuencias de la
contaminación.Criterios de evaluación 10%
Redacción y ortografía (2%)
Respuesta a las cuestiones (3%)
Veracidad de información presentada (4%)
Puntualidad (1%)
Ángulos
El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos
semirrectas (lados) con un origen común llamado vértice. Los
ángulos parten de un punto y tienen dos líneas que salen desde
ese punto y que generan una apertura representada por un arco.
El grado de apertura de esos arcos (y no su extensión) está
representado por el ángulo.
12
Para el trazo de un ángulo debes de seguir los siguientes
pasos, en el ejemplo se va a trazar un ángulo de 70°
La medición de los ángulos se realiza a partir del sistema
sexagesimal que se expresa en grados (º), minutos (’) y
segundos (’’). Un grado equivale a 60 minutos y un minuto
equivale a 60 segundos. La cantidad de grados podrá
ascender hasta 360, que es considerado el giro completo
de una circunferencia. Por ejemplo: En el reloj de agujas,
las agujas forman ángulos. A las 12 en punto, cuando las
dos agujas apuntan para el mismo lado, el ángulo es de 0°;
a las 3 de 90°; a las 6 de 180° y a las 9 de 270°.
Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a ciertos criterios.
Según su amplitud:
Ángulo nulo. Es el que mide 0°.
Ángulo agudo. Es el que mide entre 0° y 90°.
Ángulo recto. Es el que mide 90°.
Ángulo obtuso. Es el que mide entre 90° y 180°.
Ángulo llano. Es el que mide 180º.
Ángulo convexo. Es el que mide más de 90° pero menos de 180°.
Ángulo cóncavo. Es el que mide más de 180°.
Ángulo completo. Es el que mide 360°.
Según la relación con otro ángulo:
Ángulos suplementarios. Son ángulos que suman 180º.
Ángulos complementarios. Son ángulos que suman 90°.
Según su posición:
Ángulos consecutivos. Son ángulos que comparten un lado y el
vértice.
Ángulos adyacentes. Son ángulos consecutivos y el lado que no
comparten forma parte de la misma recta.
Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que comparten el
vértice pero ninguno de los lados.
Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse
determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos
ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos
cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente
los otros tres.
Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben
distintos nombres. Los llamamos ángulos opuestos por el
vértice cuando comparten el vértice y los lados de uno son
prolongación de los lados del otro, como sucede en los ángulos A y
C. Decimos que son ángulos adyacentes cuando tienen el vértice y
un lado común y los otros lados tales que uno es prolongación del
otro. Son adyacentes, por ejemplo, el A y el B.
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que
llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la
figura. Estos ocho ángulos también guardan una estrecha relación
entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto
conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.
La posición relativa de los ángulos con respecto a las rectas hace
que esos ángulos reciban unos nombres específicos. Así,
llamamos ángulos correspondientes a los que están situados al
mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Son
correspondientes, por ejemplo, el A y el E, o también el B y el F.
Llamamos ángulos alternos internos los que están a distintolado de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Sonalternos internos el B y el H y también el C y el E, dichosángulos tienen la misma amplitud.
Son ángulos alternos externos los que están en la parteexterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distintolado de la transversal, los ángulos alternos externos en laimagen anterior son D con F y A con G, estos ángulos tienen lamisma amplitud.
https://youtu.be/-zLWJYY42GU
https://youtu.be/CRXi4jQiRIM
https://www.youtube.com/wa
tch?v=2OPoYzg_E58
Actividad 3
Analiza cada uno de los siguientes casos y encuentra el valor
del ángulo “x” y señala de acuerdo a su medida qué tipo de
ángulo es el ángulo “x”
Criterios de evaluación 10%
Resultados correctos en las medidas de los ángulos (3%)
Procedimientos que justifiquen resultados (2%)
Nombres correctos en las medidas de los ángulos x (3%)
Presentación y limpieza (1%)
Puntualidad (1%)
1. ___________ 2. ___________ 3. ___________
4. ___________ 5. ___________
Movimientos en el plano
Traslación: es el movimiento directo de una figura en la que
todos sus puntos:
Se mueven en la misma dirección.
Se mueven la misma distancia.
El resultado de una traslación es otra figura idéntica que se ha
desplazado una distancia en una dirección determinada.
Cuando movemos un mueble en una misma dirección lo estamos
trasladando. El tren se traslada a lo largo de una vía recta. El
ascensor nos traslada de una planta a otra... Estas y muchas
otras más son situaciones en las que el movimiento de traslación
está presente en nuestras vidas.
Rotación o giro: es un movimiento alrededor de un punto
que mantiene la forma y el tamaño de la figura original.
Una rotación se determina por estos tres elementos:
Un ángulo que determina la amplitud de la rotación.
Un punto llamado centro de rotación.
Un sentido de la rotación que puede ser del mismo sentido de
las agujas del reloj o en sentido contrario.
La vida cotidiana está llena de situaciones en las que la rotación
o giro está presente. Cuando abrimos o cerramos una puerta
estamos haciendo una rotación sobre un punto o centro de
rotación, las ruedas de nuestra bicicleta giran sobre el eje
central, al igual que los pedales, giramos al montar en los
caballitos, al abrir y cerrar el abanico hacemos que gire sobre
un punto, al mover la ruleta hacemos que gire igualmente sobre
su centro.
La simetría respecto a un eje es una reflexión.
Los cuerpos se reflejan en el agua, en una superficie pulida, en
los espejos. El objeto que vemos reflejado decimos que es su
simétrico.
Este tipo de simetría, con respecto a un eje, se caracteriza
porque:
Los puntos simétricos de una figura y los de la figura
reflejada están sobre la misma línea.
Los puntos de ambas figuras están a la misma distancia del eje de
simetría en direcciones opuestas.
La figura reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en
la dirección opuesta.
En nuestra vida cotidiana, al igual que en la naturaleza, nos
encontramos con multitud de situaciones en las que está presente
la simetría... si nos fijamos en nuestro cara veremos que ojos,
nariz, orejas, boca son simétricas respecto a un eje imaginario. El
cuerpo de las mariposas es uno de los más bellos ejemplos de
simetría en la naturaleza, así como los paisajes que se reflejan en
la superficie del agua de lagos. La lista de objetos y seres vivos
que tienen forma simétrica sería interminable.
En un dibujo o una imagen impresos podemos comprobar si la
figura representada es simétrica si al doblar por un eje hacemos
que coincidan todos los puntos. Ocurre lo mismo al recortar un
papel doblado.
ACTIVIDAD 4
Revisa cada una de las siguientes situaciones y resuelve lo
que se indica:
Criterios de evaluación 10%
Resultados correctos en los trazos realizados (5%)
Presentación de trazos (2%)
Exactitud de trazos y plano cartesiano (2%)
Puntualidad (1%)
c)
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas f son aquellas que están
asociadas a una razón trigonométrica.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas
entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las
comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Existen seis funciones trigonométricas:
Seno
El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto
opuesto (a) y la hipotenusa (c).
Coseno
El coseno de un ángulo α se define como la razón entre
el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
Tangente
La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto
opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
Cosecante
La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es
decir csc α · sen α=1.
La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define
como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).
Secante
La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es
decir sec α · cos α=1.
La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define
como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o
cateto adyacente (b).
Cotangente
La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente,
por lo tanto tan α · cot α=1.
La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define
como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y
el cateto opuesto (a).
Aplicación de funciones trigonométricas en triángulos
rectángulos
Una de las aplicaciones de las funciones trigonométricas es en la
solución de triángulos rectángulos trabajando medidas de ángulos y
lados del triángulo donde a partir de dos datos se obtendrán los
tres lados y tres ángulos:
Caso 1 se conocen dos lados del triángulo
Nota: uso de calculadora científica
1
2
3
4
5
Para esta resta en la calculadora científica se utiliza
la tecla de grados, minutos y segundos. Se teclea de
la siguiente forma:
90 - 63 18 17 =
Caso 2 se conoce un ángulo y un lado
Para el caso de cos 36° se puede obtener con calculadora o
tabla de funciones trigonométricas y ese valor se multiplica
por 15
https://www.youtube.com/wa
tch?v=uMPx37LRI2E
https://www.youtube.com/wa
tch?v=J8xASNKdfcQ
ACTIVIDAD 5Resuelve los siguientes triángulos rectángulos completando la
tabla que se anexa, en ella debes de colocar los procedimientos
que se aplican en cada espacio y resolverlos para encontrar los
resultados correctos
C A
B
ca
b
Datos que
se conocen
Datos que
se buscan
Procedimie
ntos para
encontrar b
Procedimie
ntos para
encontrar c
Procedimie
ntos para
encontrar A
C=90°
B=48°
a=9.28 cm.
b
c
A
Procedimientos que se aplican en cada caso, ojo
tienes que ubicarlos y realizarlos
RestaTeorema
de
Pitágoras
Tangente
Resultados que se deben encontrar y ubicar en
donde corresponda
10.3113.87 42
C A
B
ca
b
Datos que
se conocen
Datos que
se buscan
Procedimie
ntos para
encontrar c
Procedimie
ntos para
encontrar A
Procedimie
ntos para
encontrar B
C=90°
a=5.03cm.
b=10.31cm.
c
A
B
Criterios de evaluación 10%
Resultados correctos en tablas (4%)
Procedimientos correctos que justifican los resultados presentados (4%)
Presentación y limpieza (1%)
Puntualidad (1%)
Procedimientos que se aplican en cada caso, ojo
tienes que ubicarlos y realizarlos
RestaTeorema
de
PitágorasSeno
Resultados que se deben encontrar y ubicar en
donde corresponda
11.4764 26
Resolución de triángulos
oblicuángulos
Leyes de Senos
La ley de senos es una herramienta básica para resolver
triángulos de cualquier tipo y establece lo siguiente:
Esta ley se utiliza cuando se conocen:
1) Dos ángulos interiores del triángulo y uno de sus lados;
2) Dos lados del triángulo y el ángulo opuesto a cualquiera
de estos lados.
A continuación revisa los siguientes ejemplos:
1) Si A=40º y B=60º determinar la longitud de los
lados b y c y el valor del ángulo C para el siguiente
triángulo.
2) Determinar la longitud del lado b y los
ángulos B y C para el siguiente triángulo, considerando
que A=125º.
Leyes de cosenos
Al igual que la ley de senos, la ley de cosenos también es una
herramienta básica para resolver triángulos de cualquier tipo
y establece que:
Esta ley se utiliza para lo siguiente:
1) Determinar la longitud de un lado del triángulo cuando se
conocen los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que se
desea calcular;
2) Determinar un ángulo cuando se conocen los tres lados del
triángulo.
Ejemplo
Para el triángulo que se muestra en la siguiente figura,
calcular la longitud del lado a si A=35°, b=11 cm y c=15 cm
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
a2= (11)2 + (15)2 - 2(11)(15)cos(35º)
a2= 121 + 225 - 330cos(35º)
a2= 121 + 225 - 330(0.8191)
a2= 75.679
a= 8.699 cm
https://www.youtube.com/wa
tch?v=AcSPF5Ur9G4
https://www.youtube.com/wa
tch?v=k47RBBkjeEM
https://www.youtube.com/wa
tch?v=vwHCZoEvpSM
Vídeos leyes de senos
Vídeos leyes de cosenos
https://www.youtube.com/wa
tch?v=3UHb6G665FA
https://www.youtube.com/wa
tch?v=s33xYTt7Wdk
ACTIVIDAD 6
Criterios de evaluación 10%
Justificación de aplicación de leyes de senos (1.5%)
Justificación de aplicación de leyes de cosenos(1.5%)
Ejemplo correcto de ley de senos (3%)
Ejemplo correcto de ley de cosenos (3%)
Puntualidad (1%)
En base a la información presentada en la lectura y/o vídeos
completa el siguiente esquema respecto solución de triángulos
oblicuángulos
Solución de triángulos
oblicuángulos
Ley de senos Ley de cosenos
son
se resuelve con se resuelve con
se aplican cuando se aplican cuando
ejemplo ejemplo
PRODUCTO INTEGRADOR
Revisando cada uno de los contenidos de la unidad 3 has
realizado diversas actividades, para tu producto integrador
revisa que hayas cumplido con cada una de ellas y si sí lo
has realizado ya tienes tu producto integrador, de lo
contrario puedes realizar la entrega de las actividades
faltantes que tengas, recuerda considerar los criterios de
evaluación de cada una de ellas.
De esta forma se tiene un portafolio de evidencias que te
permitirá repasar para tu evaluación parcial.
INSTRUMENTO DE SEGUIMIENTO
DE ACTIVIDADES
Número de
actividad
Fecha de
entrega
Calificación
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 4
Actividad 5
Actividad 6
Producto
Integrador
Evaluación escrita
Calificación final:
Retroalimentación
Se crearán las sesiones virtuales para apoyar la
retroalimentación de cada uno de los contenidos de la
unidad, además de mantener una comunicación constante
con los alumnos para resolver dudas en el horario
establecido.
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
https://concepto.de/angulo/
http://geogebra.es/cvg_primaria/06/html/paralelas.html
http://www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/movimie
nto_en_el_plano_traslacin_rotacin_y_simetra.html
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis
/funciones-trigonometricas/
https://uapa.cuaieed.unam.mx/sites/default/files/minisit
e/static/27d43815-fded-43b5-8665-abab35c92638/Ley-
senos-cosenos/index.html