TEMA : Límites y Continuidad

CURSO : Análisis Matemático I

DOCENTE : Lic. Eladio Sánchez Culqui

CICLO : II

ALUMNO : Arana Gómez, Fabio Joseph

1. Evaluar los siguientes límites:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE - JAÉN

Facultad de IngenieríasEscuela Académico

Profesional de Ingeniería Civil

JAÉN –

a) limx→1

3√ x−2√x+3 x−2x−1

L= limx→1

( 3√ x−1)−2(√ x−1)+3 (x−1)x−1

limx→1

( 3√x−1)x−1 −2 lim

x→1

(√ x−1 )x−1 +3 lim

x→1

(x−1)x−1

FR1= 3√ x2+ 3√x+1 =3

limx→1

( 3√x−1)FR1

( x−1)FR1−2 lim

x→1

(√ x−1 )(√x+1)(x−1)(√ x+1)

+3 limx→1

(x−1)x−1

limx→1

x−1(x−1)3

−2 limx→1

x−1(x−1)(√x+1)

+3 limx→ 1

(x−1)x−1

L=13−2

2+3=7/3

b) limx→0

3 3√ x+1−2√x+1+4 x−1x2+2 x

L=limx→0

3 ( 3√ x+1−1)−2(√x+1−1)+4 xx−1

3 limx→ 0

( 3√x+1−1)x2+2 x

−2 limx→ 1

(√x+1−1 )x2+2 x

+4 limx→ 1

xx2+2x

FR1=3√(x+1)2+ 3√x+1+1=3

3 limx→0

( 3√x+1−1)FR1

x (x+2)FR1−2 lim

x→1

(√ x+1−1 )(√ x+1)x (x+2)(√ x+1)

+4 limx→1

xx (x+2)

3 limx→0

xx (x+2)3

−2 limx→1

xx (x+2)(√ x+1+1)

+4 limx→1

xx (x+2)

L=36−2

4+ 4

2=2

c) limx→2

3 x−√20+8x√20 x−15−(x+3)

limx→2

(3x−6 )−(√8 x+20−6)(√20 x−15−5)−(x−2)

limx→2

(3x−6 )(√20 x−15−5)−(x−2)

−limx→ 2

(√8 x+20−6)(√20 x−15−5)−(x−2)

FR1=√20 x−15+5=10 FR2=√8 x+20+6=12

limx→2

(3 x−6 )FR1

(√20 x−15−5)FR1−(x−2)FR1

−limx→2

(√8 x+20−6)FR1FR2

(√20 x−15−5)FR1 FR2−(x−2)FR1FR2

limx→2

10 (3 x−6 )20 x−40−(x−2)10

− limx→2

10 (8 x−16)12(20 x−40)−(x−2)120

3010

limx→2

x−22 x−4−(x−2)

− 80120

limx→2

10(8 x−16)2x−4−(x−2)

3010

limx→2

x−2x−2

− 80120

limx→2

x−2x−2

L=3−23=7

3

d) limx→1

√x+√3 x+1−√2x+7√ x+√4 x+5−√3 x+13

limx→1

(√x−1)+(√3 x+1−2)−(√2x+7−3)(√x−1)+(√4 x+5−3)−(√3 x+13−4 )

FR1=√ x+1=2 FR2=√3 x+1+2=4 FR3=√2 x+7+3=6 FR4=√4 x+5+3=6 FR5=√3 x+13+4=8

limx→1

(√x−1)FR1

FR1+(√3 x+1−2)FR2

FR2−

(√2x+7−3)FR3

FR3

(√x−1)FR1

FR1+

(√4 x+5−3)FR4

FR 4−

(√3 x+13−4)FR5

FR5

limx→1

x−1FR1

+ 3 x−3FR2

−2x−2FR3

x−1FR1

+ 4 x−4FR4

−3 x−3FR5

limx→ 1

x−1

x−1 [ 1FR1

+3

FR2−

2FR3

1FR1

+ 4FR4

− 3FR5

] = 12+ 3

4−2

612+ 4

6−3

8

= 19123724

=3837

e) limx→ 4

8−2x+√x− 3√2 xx−4

L=−2 limx→4

x−4x−4 +lim

x→4

√ x−2x−4 -lim

x→4

3√2 x−2x−4

FR1=√(2x)2+2√2x+4=12

¿−2+limx→ 4

(√ x−2 ) (√x+2 )( x−4 ) (√ x+2 )

−limx→4

( 3√2x−2)FR1

(x−4)FR1

¿−2+limx→ 4

x−4( x−4 ) (√x+2 )

−2 limx→4

x−4(x−4 )FR1

L=−2+ 14− 2

12=−23

12

f) limx→4

|16−x2|+1(4−x )√5−|x−1|

x→4−¿ ¿ Como : x<4

x2<16 x−1<3 16−x2>0 |16−x2|=x2−16

g)lim

x→ 1+¿ ⟦3 x2−1⟧+2 x⟦x2+1⟧+3 x−1

¿

¿

Como : x>4

x2>16 3 x2−1>47 x2+1>17 ⟦3x2−1⟧=47 ⟦ x2+1 ⟧=17

Reemplazando:L= lim

x→1+¿ 47+2x17+3 x−1=

4919 ¿

¿

h) limx→∞

√x+ 3√ x+ 4√x√2x+1

Homogeneizando los índices de las raíces:

L= limx→∞

12√x6+¿12√ x4+

12√x3

12√(2 x+1 )6¿

¿ limx→∞

12√x5 ¿¿¿

¿ limx→∞

12√ x+¿0+012√(2 x

16)6+0

¿

¿ limx→∞

12√ x26 x

=12√ 126

L=√ 12

i) limx→∞

5√x4+3−5√ x3+43√x7+1

Homogeneizando índices:

L= limx→∞

12√( x4+3x10/3 )

3

−12√( x3+4x10 /3 )

3

12√( x7+1x2 )

5

¿ limx→∞

12√ (x2/3+0 )3−12√( 1x1/3 +0)

3

12√(x5+0 )5

¿ limx→∞

12√x2

12√ x25=lim

x→∞

12√ x2

x25= limx→∞

12√ 1x23 =0

L=0

j) limx→−∞

x3[cos ( πx+1x )−s ¿2(πx+1

x )+1]1+2x

L= limx→−∞

x3[cos( πx+1x )+cos2( πx+1

x)]

1+2 x

¿ limx→−∞

x3 cos( πx+1x )[1+cos ( πx+1

x )]1+2 x

¿ limx→−∞

x3 cos ( πx+1x )[2 cos2( πx+1

2x )]2 x+1

¿2 limx→−∞

x3 cos(π+ 1x )[cos2( π2 + 1

2 x )]2x+1

¿2 limx→−∞

x3¿¿¿ ¿2 lim

x→−∞x3¿¿¿

¿2 limx→−∞

x3¿¿¿

¿−2 limx→−∞ [ cos( 1

x )2+ 1

x] .[ sin ( 1

2 x)

2. 14 x2 ]

2

¿−12 . 1

2 limx→−∞ [ sin( 1

2x)

12x2 ]

2

=−14

(1 )=−14

L=−14

k) limx→−∞

sin(x+ π4 )−cos (x+ π

4 )3eksenx−3

=√18 .Calculark .

limx→−∞

sin(x+ π4 )−cos (x+ π

4 )3[ ek .sin x−1

k sin x ]k sin x=√18

limx→−∞

sin(x+ π4 )−cos (x+ π

4 )3k sin x

=√18

l) limx→−∞

tan (a+2x )−2 tan (a+x )+ tan ax2

Sabiendoque : tan A−tanB= sin(A−B)cos A .cos B

L=limx→0

tan (a+2 x )−tan ( a+x )x2 −lim

x→0

tan (a+x )−tan ax2

¿ limx→0

sin xcos (a+2 x ) .cos (a+x)

x2

−limx→0

sin xcos (a+x ) .cos a

x2

¿ limx→0

sin xx

.[ limx→0

1x .cos (a+2 x ) .cos (a+x )

− limx→0

1x .cos (a+x ) .cos a ]

¿1. limx→0

1cos (a+x )

.[ 1x .cos (a+2 x )

− 1x .cos a ]

¿ limx→0

1cos (a+x ) .cos a

. [ cosa−cos (a+2 x)x .cos ( a+2x ) ]

¿ 1cos2a

. limx→0 [ cos a−cos (a+2x )

x .cos (a+2 x ) ]

¿1

cos2a. limx→0 [−2sin (a+x ) . sin (−x )

x .cos (a+2x ) ] ¿ 2

cos2a.limx→0

sin (x)

x. limx→0 [ sin (a+x )

.cos (a+2 x ) ] ¿ 2

cos2a.1. sin a

cos a=2 tan a . sec2 (a)

L=2 tan a . sec2 (a)

m) limx→0

2−√cos x−cos xx2

L=limx→0

(1−√cos x )(1+√cos x)(1+√cos x)

−¿¿¿

¿ limx→0

3−3cos x2 x2 =3

2limx→0

sin2xx2¿¿

¿

¿ 34. limx→0

sin xx

. sin xx

= 34

.1 .1=34

L=3 /4

n) limx→0

√1+sin x−√1−sin xtan x

L=limx→0

(√1+sin x−1 ) (√1+sin x+1 )(√1+sin x+1 )

−(√1−sin x−1 ) (√1−sin x+1 )

(√1−sin x+1 )tan x

¿ limx→0

sin x(√1+sin x+1 )

+ sin x(√1−sin x+1 )

tan x=lim

x→ 0

sin x2

+sin x2

tan x

¿ limx→0

sin xtan x

=limx→0

sin x1

sin xcos x

=¿ limx→0

cos x=¿1¿¿

L=1

o) limx→

sin 2 x−cos2 x−1sin x−cos x

L=limx→0

2 sin x−(2 cos2 x−1 )−1sin x−cos x

¿ limx→0

2sin x .cos x−2cos2 xsin x−cos x

=limx→ 0

2cos x [ sin x−cos x ]sin x−cos x

¿ lim

x→02cos x=2

L=2

p)¿ lim

x→0+¿ 2x (arcsin x )2+ tanx−sin xx3 ¿

¿

L= limx→0+¿¿ ¿¿

¿ ¿2+ lim

x→0+¿( tan x−sin xx3 )=2+ lim

x→ 0+ ¿ tan xx

. 1x2 −sin x

x. 1x 2¿

¿¿

¿

¿2+ limx→0+¿ 1

x2−1x2=2¿

¿ L=2

q) limx→0 ( 1+ tan x

1+sin x )1

sin x

L=limx→0 (1+ x . sin x . secx

x )1x . 1

sin x . x

limx→0

¿¿¿¿¿

¿limx→0

esec x

limx→0

e= e

e=1

L=1

r) limx→0

¿¿ Dedonde : [ ex−1x ] x=x . ln e=x

L=limx→0

¿¿

¿ limx→0

¿¿

¿ limx→0 [ e2 x tanx

esin xx

x2 ]cotxx =lim

x→0 [ e2x2 tan xx

e x2 ]cotxx

¿ limx→0

[e2 x2−x2 ]cot xx =lim

x→0ex2 . cot x

x =limx→ 0

ex . cosx

x

¿ limx→0

ecos x=e

L=e

s) limh→ 0

( ax+h+ax−h−2h ) , a>1

L=limh→0

ax¿¿¿ L=0

2. 3. 4. Graficar las siguientes funciones:

a) x y2−3 y2−4 x=8

y=√ 4 x+8x−3

, y=−√ 4 x+8x−3

1 ° . En f , limx→+∞

f ( x )=±2∴∃ A .Horizontal y=±2

2 ° . limx→−3

±√ 4 x+8x−3

=−∞ x=3esuna A .Vertical

b) y=3−2 x− x2

√x2−x−2

Asíntota Horizontal : limx→+∞

f (x )

limx→+∞

3 x√1− 1x− 2

x2−2x2 √1−1x− 2

x2 −x2

√x2−x−2=¿ lim

x→+∞

3 x−2 x2−x2

x√1−1x− 2

x2

¿

limx→+∞

3x−3

1x

=+∞ ∴∄ A .H .

AsíntotaVertical :

limx→2

3−2 x− x2

√(x−2)(x+1)

limx→2

3√(x−2)(x+1)−2x √(x−2)(x+1)−x2

√(x−2)(x+1)=+∞ x=2

limx→−1

3√(x−2)(x+1)−2 x√( x−2)(x+1)−x2

√(x−2)(x+1)=−∞ x=-1

∴∃ A .V . x=2 y x=−1 Asíntotaoblicua : y=mx+b m= lim

x→+¿∞f ( x )x = lim

x →+∞

3 x−2 x2−x2

x2√1− 1x− 2

x2

=−3 ¿

¿

b= limx→+∞

[ f (x )−mx]=3−5 x− x2

√ x2−x−2=0

L : y=−3 x

c) y= 1−x2

x2−4

Asíntota Horizontal :

limx→+∞

f (x )=−1 ∴∃ A .H . y=−1 AsíntotaVertical :

limx→−2

1−x2

x2−4=−∞ x=-2

limx→2

1−x2

x2−4=+∞ x=2

∴∃ A .V . x=±2

d) y=2 x2+5 x−8x+3

1 ° . En f , limx→+∞

f ( x )=+∞∴∄ A . Horizontal

2 ° . limx→−3

(2x2+5 x−8 )x+3

=−∞x=−3esuna A .Vertical

3 ° . y=mx+b

m= limx→+∞ [ f (x)x ]= lim

x→+∞

(2 x2+5 x−8 )x2+3 x

=2

b= limx→+∞

[ f ( x )−mx ]= limx→+∞ [ ( 2 x2+5 x−8 )

x+3−2 x ]

¿ limx→+∞ [−x−8

x+3 ]=−1

∴ A .O . y=2 x−1

e) y= x2+3√ x2−4

AsíntotasHorizontales : limx→+∞

f ( x)=+∞ ∴∄ A .H . AsíntotasVerticales : limx→−2

x2+3

√ x2−4=−∞ x=-2

limx→+2

x2+3

√x2−4=+∞ x=2

AsíntotasOblicuas : y=mx+b

m=limx→+∞

f (x )

x=

limx→+∞

x2+3

x2 √1− 4x2

=1

b= limx→+∞

[ f ( x )−mx ]=limx→+∞

x2+3

√x2−4−x=0

L : y=x ,es unaasíntotaoblicua .

5. Analizar la continuidad de la función f en el punto x=π2 , siendo

Analizando la continuidad en x=π2

f ( x )={2−senx−sen2 x1−senx

,∧x ≠ π2

3 ,∧x= π2

(i ) f ( π2 )=3

(ii ) limx→ (π /2)−¿(2−senx−sen2 x

1−senx )¿¿

¿ limx→ (π /2 )−¿¿ ¿¿¿

¿

¿2+ limx→ (π /2 )−¿ senx=2+1=3¿

¿

(ii ) limx→ (π /2)+¿(2−senx−sen2x

1−senx )¿¿

¿ limx→ (π /2 )+¿¿ ¿¿¿

¿

¿2+ limx→ (π /2 )+¿ senx=2+1=3¿

¿

∃ limx→π /2

f (x )=3

Gráfica:

f ( x )={3 ,∧x≠ π2

3 ,∧x=π2

6. Analizar la continuidad de la función fdada por:

f ( x )={√ x2−5⟦ x2 ⟧ ,−2≤∧x≥2

1−x3 ,∧x←2x+1,∧x≥2

Analizando la continuidad en x=−2

(i ) f (−2 )=√x2−5⟦ x2 ⟧

(ii ) limx→−2−¿ √x2−5⟦ x2 ⟧¿

¿

como x←2 x2←1

⟦ x2 ⟧=−2 lim

x→−2−¿ √x2+10=√14 ¿

¿ lim

x→−2+¿ x+1=3¿¿

∴Como limx→−2−¿ f (x )≠ lim

x →−2−¿f ( x )¿

,entonces f ( x ) noes contínua.¿

¿¿ ¿¿

7. Dada la función:

f ( x )={ b ⟦3 x+4 ⟧ ,1≤∧x<23 x √a−2 x ,2<¿ x<3

18 ,∧x=2

Hallar los valores de a y b, que posibiliten la continuidad.Como es continua en x=2, entonces:(i ) f ¿2)=18(ii ) lim

x→ 2−¿b ⟦ 3 x+4 ⟧= limx→ 2+ ¿3 x√ a−2 x= f (2)

¿¿ ¿¿¿

x<2 3 x+4<10 → ⟦3 x+4 ⟧=9

9b¿6√a−4=18 b=2 y a=13

8. Hallar los valores de las constantes a y b que posibiliten la continuidad, en todo su dominio, en las funciones dadas:a) f ( x )=¿

Como la función es continua en x=1, entonces:(i ) f (1 )=a (ii) lim

x→1−¿ √x3+3√ x−3 x−1x +3√x−3 3√x2−1

= limx→1+¿⟦ 3

x2+1 ⟧+198

= f (1)

¿¿¿ ¿

¿

Como x>1 x2+1>2

3x2+1

<32→⟦ 3

x2+1 ⟧=1

limx→ 1−¿ √x3+3√x−3x−1

x+3√x−3 3√x2−1= lim

x→ 1−¿ (√ x3−1 )+3( √ x−1) −3( x−1)(x−1)+3 (√ x−1)−3(

3√ x2−1)¿

¿¿

¿

FR1=3√ x4+ 3√ x2+1=3

¿ lim

x→1−¿

(√x3−1) (√x3+1 )(√ x3+1)

+3 (√ x−1 ) (√x+ 1)(√x +1)

−3(x−1)

(x−1)+3 (√x−1) (√x +1)(√x+1)

−3(

3√x2−1)FR1

FR1

¿

¿

¿ lim

x→1−¿

x3−12 +3 x−1

2 −3( x−1)

(x−1)+ 3 (x−1)2 −3 ( x¿¿2−1)

3 = lim

x→ 1−¿(x−1)[ x 2+x+1

2 +32 −3]

(x−1)[1+32−(x+1)]

¿¿¿¿

¿

¿ lim

x→1−¿[ x2+ x+1

2+3

2−3 ]

[1+ 32−( x+1)]

= lim

x→1−¿ [ x2+x−2

2 ][ 5

2−(x+1)]

= 052−2

= 0−12

=0 ¿

¿ ¿

¿

Reemplazando en la condición (ii):lim

x→ 1−¿ √x3+3√x−3x−1x+3√x−3 3√x2−1

= limx→ 1+¿⟦ 3

x 2+1⟧+b= f (1)

¿ ¿¿¿

¿

a=0 y b=−1

b) f ( x )=¿

Como es continua en x=3, entonces:(i ) f (3 )=b (ii ) lim

x→1−¿ √ x2+9−6√3− x

¿ limx →1+¿ sin(3−x)

√x−3=f( 3)

¿¿¿¿

¿

b=0