1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE LA DEFENSAUNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITECNICADE LA FUERZA ARMADA U.N.E.F.A. NUCLEO VARGASCATEDRA: PROBABILIDADES Y ESTADISTICAPROF. DAZ, ALAYS ALUMNOS:C.I.CASTILLO CH., JOHHNY E. 6.799.969ELIETT, JUAN7.991.131GONZALEZ, NORELYS 6.499.268IRIARTE, JUAN PABLO 9.994.112JIMENEZ, STEAWART19.246.818PIANGO, LILA11.060.955SECCIN: 10 Catia La Mar, octubre 2.008 Introduccin

2. El trabajo que se presenta a continuacin consiste en estudiar los conceptos fundamentales de la teora de probabilidad, como son las de probabilidad Condicional, Teorema de multiplicacin de Probabilidad, Sucesos Independientes, Teorema de Bayes y la Definicin de Variable Aleatorias.El objetivo que se persigue es el de despertar, en el estudiante, la capacidad investigativa en problemas relacionados con el campo de las probabilidades, cnsonos con la formacin del Ingeniero reflexivo, critico e investigador.Para la realizacin del trabajo se escogi la literatura disponible en Internet, el cual cuenta con una biblioteca virtual disponible las veinte cuatro horas, en la que podemos encontrar definiciones y ejercicios prcticos.En el clculo de las Probabilidades, podemos realizar operaciones aplicadas a situaciones que generalmente tienen una relacin entre todos los valores involucrados. Probabilidad condicional. 3. Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que tambin sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee la probabilidad de A dado B.No tiene por qu haber una relacin causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relacin causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al mbito de la probabilidad. Pueden desempear un papel o no dependiendo de la interpretacin que se le d a los eventos.Definicin:Dado un espacio de probabilidad (,F,P) y dos eventos (o sucesos) A,B F con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B esta definida como:P(AB) P(A B)P(B)Interpretacin:P(AB) se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fraccin en los que tambin se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, P(AB) sera la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se est enfermo de gripe.Grficamente, si se interpreta el espacio de la ilustracin como el espacio de todos los mundos posibles, A seran los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona 4. verde de la interseccin representara los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza P(A B). En este caso P(AB) , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sera la proporcin de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El rea verde dividida por el rea de B. Como el rea verde representa P(A B) y el rea de B representa a P(B), formalmente se tiene que: P(AB) P(A B) P(B) Propiedades 1. P(AB) + P(AB) = 1 2. ABP(AB) = 1 Pero NO es cierto que:P(AB) + P(AB) = 1Independencia de sucesos:La proporcin de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporcin de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes. 5. Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y slo si:P (A B) = P(A)P(B)O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta,P(A B) P(AB) puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:P(AB) = P(A)P(B A) = P(B)En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.Exclusividad mutua: Los conjuntos A y B no intersectan. Son mutuamente excluyentesDos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y slo si A B = 0 Entonces, P(A B) = 0.Adems, si P(B) > 0 entonces P(AB) es igual a 0. 6. Ejemplos:1) De un paquete de 20 cigarrillos se marcan 5 con una cruz. Se los coloca en una caja y se escoge uno al azar. Cul es la probabilidad de que tenga una cruz?Solucin:n = 20L: loteC: cruzP = {L,C} = {20,5}P(C) = C/LP(C) = 5/20P(C) = 0,252) Halle la probabilidad de obtener exactamente una espada en 4 extracciones de una baraja espaola de 40 cartas, cuando las extracciones se hacen:a) con reemplazamiento.b) sin reemplazamiento.Solucin:n = 20E: espadaP(E) = 10/40 = P(E) = 30/40 = Las posibilidades son:1 E E E E2 E E E E3 E E E E 7. 4 E E E Ea) P()=P(E).P(E).P(E).P(E)+P(E).P(E).P(E).P(E) + P(E).P(E).P(E).P(E) + P(E).P(E).P(E).P(E)P() = 4.P(E).P(E)P() = 4..()P() = 108/256P() = 27/64b)P() = (10/40).(30/39).(29/38).(28/37) + (30/40).(29/39).(28/38).(10/37) + (30/40).(10/39).(29/38).(28/37) + (30/40).(29/39).(10/38).(28/37)P() = 4.243.600 / 2.193.360 = 1,934785P() = (5).(10.609) / (3).(9.139)3 ) Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,375, P(B) = 0,908 y P(A B) = 0,989. Hallar:a) P(A/B)b) P(B/A)Solucin:P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)P(A B) = P(A) + P(B) - P(A U B)P(A B) = 0,375 + 0,908 - 0,989P(A B) = 0,294a) P(A B) = P(B).P(A/B) P(A/B) = P(A B)/P(B) P(A/B) = 0,294/0,908 P(A/B) = 0,32379 8. b)P(B/A) = P(A B)/P(A)P(B/A) = 0,294/0,375P(B/A) = 0,7844) De 300 estudiantes de Ciencias Econmicas, 100 cursan Estadstica y 80 cursan Historia Econmica I. Estas cifras incluyen 30 estudiantes que cursan ambas materias.a) Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente curse Estadstica o Historia Econmica I?b) Igual al anterior pero que no curse ninguna de esas dos materias.c) Qu probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse Historia Econmica I, dado que cursa Estadstica?d) Qu probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse Estadstica, dado que cursa Historia Econmica I?e) Pruebe si el hecho de cursar Estadstica es independiente de cursar Historia Econmica I.Llamamos:E: Estadstica.HE: Historia Econmica I.X: Ni Estadstica ni Historia Econmica I.Armamos la tabla: HE HEE30100E200 80 220 300 9. Completamos los lugares vacos:HE HEE 30 70 100E 50 150 20080 220 300a) Se pide P(E) o P(HE), es decir P(E U HE).P(E U HE) = P(E) + P(HE) - P(E HE)P(E) = 100/300 = 0,333P(HE) = 80/300 = 0,267P(E HE) = 30/300 = 0,100P(E U HE) = 0,333 + 0,267 - 0,100 = 0,500b) Se pide P(E / HE).P(E / HE) = P(E) + P(HE) - P(E HE)P(E) = 200/300 = 0,667P(HE) = 220/300 = 0,733P(E HE) = 270/300 = 0,900P(E U HE) = 0,667 + 0,733 - 0,900 = 0,500c) Se pide P(HE/E).P(HE/E) = P(E HE)/P(E) = 0,100/0,333 = 0,3003d) Se pide P(E/HE).P(E/HE) = P(E HE)/P(HE) = 0,100/0,267 = 0,3745e) Se pide P(E HE) = P(E).P(HE).0,100 0,333.0,267 No son independientes 10. 5) Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, cul es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?Sean los sucesos:A = quot;la suma de los puntos es sietequot; yB = quot;en alguno de los dados ha salido un tresquot;El suceso BA es salir en algn dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situacin ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto al observar la grafica vemos las posibles combinaciones de 7 y en donde se forma con las parejas del enunciado., 12 34 56123 45 67234 56 78345 67 89456 78 910567 89 10 11678 91011 12P(BA) = 2 / 6 = 1 / 3Teorema de multiplicacin de probabilidad.Reglas de MultiplicacinRegla de multiplicacin para eventos independientes.Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de que suceda el otro. 11. Para dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ambos eventos sucedan es encontrada mediante la multiplicacin de sus dos probabilidades.P( A B ) = P( A ) P( B )Ejemplo:Una maquina empaca vegetales en una bolsa de plstico. Experiencias anteriores revelan que en ocasiones los paquetes tienen menos del peso correcto, y en otras ms, pero la mayora de las veces tiene el peso satisfactorio. Como muestra la siguiente tabla: Peso Probabilidad debajo del correcto .025 correcto.900 arriba del correcto .075Supongamos que queremos saber la probabilidad de que al inspeccionar tres paquetes, los tres pesen correctamente. Establezcamos los siguientes eventos:A = { quot;el primer paquete pesa correctamentequot; }B = { quot;el segundo paquete pesa correctamentequot; }C = { quot;el tercer paquete pesa correctamentequot; }La probabilidad de cada uno de estos eventos independientes es:P(A) = .900P(B) = .900P(C) = .900Segn el teorema de multiplicacin la probabilidad de que los tres eventos ocurran es:P(A B C) = P(A)P(B)P(C) 12. P(A B C) = (.900)(.900)(.900) = .729 Regla de multiplicacin para probabilidad condicional Para dos eventos A y B, donde A depende de la ocurrencia de B, la probabilidad de que sucedan ambos eventos est dada por la frmula:P( A B ) = P( B ) P( A|B )Ejemplo: Cierto departamento de una compaa esta compuesto por 8 hombres y 4 mujeres, de entre ellos se va elegir al nuevo jefe del departamento, para lo cual se entrevistar a dos de ellos. Si todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, cual es la probabilidad de que las dos personas entrevistadas sean mujeres?A = { quot;el primer entrevistado es mujerquot; }B = { quot;el segundo entrevistado es mujerquot; } La probabilidad de que suceda el evento A = { quot;el primer entrevistado es mujerquot; } es:P(A) = 4 / 12 = 0.33La probabilidad de que suceda el evento B = { quot;el segundo entrevistado es mujerquot; } dado que ya sucedi A, y solo hay tres mujeres de 11 elementos:P(B|A) = 3 / 11= 0.27 Segn el teorema de multiplicacin la probabilidad de que los dos eventos ocurran es:P( A B ) = P( A ) P( B|A ) = (0.33)(0.27) = .089Sucesos independientes Dos sucesos son independientes entre s, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:Ejemplos: 13. 1) El suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa. Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones: P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.2) La probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B. P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.3) La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A. P (A B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.4) La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A. Vamos analizar este ejemplo en dos partes: Parte 1: analicemos dos sucesos con las siguientes condiciones: Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1 14. Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08 Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))P (A B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B)) Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia entre ellos. Parte 2: analicemos dos sucesos: Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5 Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2 Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B)) Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.Teorema de Bayes En el siglo XVIII el reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano ingls, se hizo esta pregunta: realmente existe Dios?. Siendo el, un entusiasta matemtico se avoc a desarrollar una frmula para encontrar la probabilidad de que Dios existe, basndose en la evidencia disponible sobre la tierra. 15. Aos despus de la muerte de Bayes, Laplace desarroll el trabajo del reverendo, y por vez primera, se logra la determinacin de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El clculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.El Teorema de Bayes que a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?).La frmula del teorema de Bayes es:P(Ai/b)P(Ai) P(B/Ai) P(Ai) P(B/Ai)Que es lo mismo que: P(A1)P(B|A1) P(A1|B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)Ejemplo:1)Don Pepe tiene una tienda, en el trabajan 3 cajeras, Andrea, Bianca, y Consuelo. Andrea realiza el 50% de los cobros, Bianca el 30% y Consuelo el 20%. Cuando cobra Andrea hay un 1% de probabilidad de que lo haga mal, cuando lo hace Bianca hay un 2% de que cobre mal, y si cobra Consuelo hay un 3% de probabilidad de que se equivoque.Un cliente se quej con Don Pepe porque le cobraron mal. Cual es la probabilidad de que el mal cobro lo hizo Andrea?Vamos a considerar los siguientes eventos:M = {se hizo un mal cobro}A= {el cobro fue hecho por Andrea} 16. B= {el cobro fue hecho por Bianca}C= {el cobro fue hecho por Consuelo}De los eventos anteriores podemos obtener las siguientes probabilidades:P(A)=.5P(B)=.3P(C)=.2P(M|A)=.01P(M|B)=.02P(M|C)=.03Utilizando el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que el cobro lo hizo Andrea dado que fue un mal cobro: P(A)P(M|A) P(A|M) =P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) + P(C)P(M|C)Sustituyendo los valores:(.5)(.01).005 P(A|M) = == .2941(.5)(.01) + (.3)(.02) + (.2)(.03) .005 + .006 + .0062)El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% 17. c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estbamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovi o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan quot;probabilidades a prioriquot; (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan quot;probabilidades a posterioriquot;.Vamos a aplicar la frmula:P(Ai/b) P(Ai) P(B/Ai) P(Ai) P(B/Ai) a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: P(Ai/b)0,50 * 0,200,714 (0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera nevando: P(Ai/b)0,30 * 0,100,214 18. (0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla: P(Ai/b)0,20 * 0,0050,071(0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%. Variable aleatoria: Variable aleatoria: Es un conjunto o subconjunto de datos agrupados para poder obtener datos tales como la media de la modo en una estadsticadeun muestreoquefunciona con unaregla de correspondencia, funcin que asigna un nico numero real a cada resultado de un espacio muestral en un experimento. variable que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio. Variable que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Categora cuantificable que puede tomar diferentes valores cada vez que sucede un experimento o suceso, el valor slo se conocer deterministamente una vez acaecido el suceso. La materia manejada por el estadstico son variables aleatorias o sea fenmenos de inters, cuyos resultados (datos) observados pueden diferir entre una respuesta y otra. Si es un conjunto, y sus elementos son caractersticas (por ejemplo: edad, N de hijos, sexo), una variable Aleatoria X es una funcin X : w X(w) Rm. En realidad son funciones deterministicas aunque tengan el nombre quot;aleatorioquot;. Las variables aleatorias pueden ser: 19. Variable aleatoria Discreta: una variable aleatoria es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto discreto, toma un nmero finito de valores numerables. Variable aleatoria Continua. Variable que toma un valor infinito de valores no numerables. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de nmeros; esto es, si para algn a < b, cualquier nmero x entre a y b es posible. Ejemplos:Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:a) N de pginas de un libro discretab) Tiempo que tarda en fundirse una bombilla continuac) N de preguntas en una clase de una hora discretad) Cantidad de agua consumida en un mes continuaEn la prctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales. 20. CONCLUSINLa realizacin del presente trabajo ha sido muy provechosa, nos ha permitido poner en prctica los conocimientos vistos a lo largo de la carrera, adems de despertar la capacidad de investigacin y anlisis que sern las herramientas que dispondr para hacerle frente a las muchas situaciones que puedo encontrar en mi rol como docente.La principal debilidad del trabajo fue la brevedad del tiempo disponible, que no hizo permiti un anlisis mas completo.Finalmente creo que a pesar de la poca pericia en el tema fuimos abordando cada paso con la intencin de aprender, de adquirir nuevas herramientas que nos permitan desenvolvernos con seguridad y saber identificar cuales situaciones que se nos puedan presentar en un futuro y cuales requieren de una investigacin para poder solucionarlas.Consideramos que aunque no lo sabemos todo, estamos preparados psicolgicamente y capacitados para dar inicio a una nueva faceta como es el calculo de probabilidades. 21. Para finalizar, queremos decir que fue de gran enriquecimiento la elaboracin de este trabajo, ya que dependiendo del tipo de operacin a realizar, tenemos diferentes maneras de realizar los clculos probabilisticos.BIBLIOGRAFA http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/resueltos/tp01_proba bilidades02.phphttp://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Probabilidad_co ndicionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadaquot;http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Probabilidad_c ondicionalquot;Universidad Nacional Abierta (2003). Probabilidades y estadsticas Caracas.http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-25-est.htm 22. ANEXOSAxiomas y Teoremas de Probabilidad 1. Operaciones bsicas con eventos 2. Axiomas de Probabilidad 3. Teorema 1:Regla de Adicin 4. Teorema 2:Regla de Complementacin 5. Teorema 3:Regla de DiferenciacinOperaciones bsicas con eventos:Interseccin:Interseccin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la interseccin es 23. Unin:Unin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unin es U Complemento:El complemento de un evento es el conjunto de resultados de un experimento que no pertenece a un evento dado. 24. Diferencia:Diferencia de dos eventos es el conjunto de resultados de un evento dado que no pertenece a otro evento dado. El operador de la diferencia es el signo menos (-) Axiomas de Probabilidad:Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuacin se enumeran.Axioma 1La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.0 > P(A) > 1Axioma 2La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.P(S) = 1Axioma 3 25. Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en comn, entonces:P(A B) = P(A) + P(B)Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces:P(A1 A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)Teorema 1: Regla de AdicinLa probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuacin:P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B )Ejemplo:Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Si el evento A es cae un nmero parA = { 2, 4, 6 }Si el evento B es cae un nmero menor de 3B = { 1, 2 }Cul ser la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?La probabilidad de A y la probabilidad de B es: 32 P(A) = = 0.50P(B) = = 0.3366Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la interseccin de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unin, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unin para calcular la probabilidad de la interseccin. 26. En este caso queremos saber la unin, entonces es necesario conocer la interseccin, que es quot; nmero par y menor de 3quot;. 2 A B={2}entoncesP(A B)= = 0.336Si aplicamos la regla de adicin:P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B )P( A U B ) = 0.50 + 0.33 0.16 = 0.67Teorema 2: Regla de ComplementacinLa probabilidad de que el complemento de un evento ocurra est dada por la siguiente ecuacin:P( A ) = 1 P ( A )Si A es cae un seis, entonces la probabilidad de que no caiga seis es:P( A ) = 1 0.16 = 0.84 Teorema 3: Regla de DiferenciacinLa probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral est dada porP(A - B) = P(A) P(A B)Si el evento A es cae un nmero par y si el evento B es cae un nmero menor de 3, entonces la probabilidad de que caiga par pero no menor de tres es:P(A - B) = P(A) P(A B)P(A - B) = 0.50 0.16 = 0.33Y la probabilidad de que caiga menor de tres pero no par es:P(B - A) = P(B) P(A B)P(A - B) = 0.33 0.16 = 0.17