TORSIN

TORSIN

IntroduccinEn este trabajo se analizaran los efectos que tiene la torsin sobre diferentes elementos. De manera sencilla, se puede decir que la torsin se presenta cuando a un eje slido o hueco se le aplica un par de momentos en el eje longitudinal del elemento.El enfoque ser principalmente en miembros de seccin transversal circular, sin embargo, tambin se observar el comportamiento que tienen algunas otras secciones. A lo largo del captulo se intentar definir de manera concreta el concepto de esfuerzo y por qu se produce. Es muy importante tener una idea clara de este fenmeno ya que interactuamos con el diariamente en nuestra vida cotidiana, por ejemplo, al abrir una puerta con manija rotatoria, cuando se intenta utilizar un desarmador y hasta en las alas de los aviones en que se viaja! El objetivo principal ser explicar de la manera ms sencilla posible las frmulas utilizadas al analizar la torsin dependiendo de la seccin transversal en cuestin para as poder tener una nocin acertada de que es lo que sucede en un miembro cuando se le aplica un par de torsin T y T.

Concepto de torsinLa torsin tiene lugar cuando a un miembro se le aplica un par de torsin. Dicho par es un momento que intenta a hacer girar al elemento con respecto a su eje longitudinal. Los pares, son comnmente llamados T y T, ambos son cantidades vectoriales, de la misma magnitud pero de sentido opuesto. Figura 1

Cuando se le aplica torsin a un eje circular, las secciones transversales permanecen planas y sin distorsin, gracias a esta propiedad es posible obtener los esfuerzos cortantes a los que es sometida. Para que el sistema de equilibrio en un miembro circular sometido a torsin se satisfaga, debe existir un par de torsin interno igual y opuesto a T. Denominando como la distancia perpendicular del centro al punto de aplicacin de la fuerza y expresando que la sumatoria de momentos es igual al par T, se obtiene: Figura 2

Ya que el incremento de fuerza se debe al esfuerzo cortante que acta sobre un incremento de rea ,

Comportamiento de elementos cilindricosConsidere la figura a la izquierda, un eje circular, sus caractersticas son que est sujeta a un soporte por uno de sus extremos y en el otro se le aplica un par de torsin T; esto es lo que pasa despus:Figura 3

El eje se torcer del extremo del par de torsin La torcedura generara un ngulo (phi) llamado ngulo de giroSe puede observar que el ngulo de giro es proporcional a la longitud del eje (L). Condiciones extra: Mismo material Misma seccin transversalPor ejemplo: Si tenemos un eje con longitud conocida y al aplicar el par de torsin se deforma un ngulo especfico , entonces a un eje con el doble de la longitud del anterior sometido al mismo par de torsin se deformara el doble.Antes de continuar hay que resaltar la diferencia entre un eje circular de uno con una seccin transversal de cualquier otra forma; cuando tenemos que un eje circular se deforma una caracterstica permanece constante: Todas sus secciones transversales permanecen plantas y sin distorsin.Figura 4

Es decir, cuando cortamos de manera transversal un eje circular que est sometido a un par torsin en cualquier punto siempre tendremos una seccin circular, pero en caso de ejes no circulares, al ser sometidos a ese par, la seccin transversal en cualquier punto deja de ser idntica a la seccin que se tena en un principio. Esto es porque un eje circular axisimtrico, en otras palabras su apariencia siempre es la misma cuando se ve desde una posicin fija y se gira alrededor de su eje. Figura 5

Nota: Se tiene que hacer notar que para que todas las secciones del eje sometidas a los pares torsores T y T permanezcan planas y sin distorsin entonces se necesitara que los extremos del eje permanezcan planos y sin distorsin esto se logra poniendo placas rgidas en ellos. Esto se seguir usando a lo largo del captulo a menos que se indique lo contrarioRetomando las primeras palabras del tema, se determinar la distribucin de las deformaciones a cortante en un eje circular con las caractersticas ya mencionadas: Longitud = L, Radio = c, y un ngulo de giro = . Comenzando desde el eje del cilindro de radio Figura 6

Con dos lneas horizontales y dos circunferencias se dibuja un cuadrado en el eje sin torsin Al aplicar torsin este cuadrado se deformara para volverse un rombo Como se vio anterior mente la deformacin unitaria cortante (gama) se mide por el cambio del ngulo de la figura (Expresado en radianes) Tomando en cuenta que las circunferencias permanecen igual ya que son planas, entonces se toma que las lneas AB y AB generaran el ngulo. Y gracias a eso y como se ve en la figura, la deformacin unitaria cortante proporciona una forma de obtener la longitud del arco AA que es la otra es con el ngulo de giro que seria Igualando obtenemos:

Esto demuestra que la deformacin unitaria a corte en una flecha (eje) circular vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.La deformacin mxima se genera en la superficie del eje donde .

Eliminando con la ecuacin anterior, se puede expresar la deformacin a cortante a una fraccin del radio de la flecha.

fORMULA DE LA TORSINSi se est trabajando en el rango elstico, es decir, que los esfuerzos cortantes producidos por el par de torsin sean menores al de cedencia, se puede utilizar la Ley de Hooke para relacionar la deformacin unitaria cortante y el esfuerzo cortante. LEY DE HOOKE

Se multiplica por G a la ecuacin , obteniendo: Que es igual a Esta ecuacin muestra que el esfuerzo a cortante es linealmente proporcional a la distancia que se est estudiando.Figura 7

Recordando que y sustituyendo , se escribe: Que es igual a Como y c son constantes, se reescribe como:

La integral mostrada representa el momento polar de inercia J de la seccin transversal respecto a su centro, quedando finalmente:

Despejando para :

Hay que recordar que , en caso de que el elemento sea hueco donde . Adems donde es la distancia del centro al punto donde se desea evaluar.modelo 1: Un eje cilndrico empotrado a un muro, se somete a un par de torsin T=1.2KN*m, obtenga el mximo esfuerzo cortanteEn este problema se sustituyen los valores tal y como se dan en la fomula

Modelo 2: Un eje cilndrico hueco es sometido a un par de torsin T=30 Kip*in. Determinar el esfuerzo mximo y el minimo presentado en el miembroEn este problema para encontrar el esfuerzo maximo se sustituye en la formula tal y como se dan los datos, sin enmbargo el momento polar J debe ser una diferencia de los radios. Para obtener el esfuerzo minimo se sustituye a c por la distancia al radio interior.

X1 in2.546 Ksi2 in

ngulo de torsinPara obtener el ngulo de giro , suponiendo que se est trabajando en el rango elstico, se sigue el siguiente procedimiento. Se sabe que la relacin entre el ngulo de giro y la deformacin mxima a cortante es la siguiente: Figura 8

Utilizando la Ley de Hooke, cuando el cortante es mximo se obtiene que:

Despejando para :

Se conoce tambin que la frmula de cortante a torsin es:

Igualando con , se expresa:

Despejando para , se reescribe:

Ahora se iguala con y se despeja para :

En esta ltima ecuacin, se expresa en radianes. La frmula muestra que el ngulo de giro es proporcional al par de torsin al que se somete el eje y aplica solamente si G y su seccin transversal circular no varan en el elemento. Si dicho miembro cuenta con mdulos de rigidez distintos, la ecuacin cambia a:

En caso de que la seccin transversal circular no sea la misma a lo largo del elemento, el ngulo por el que una cara del elemento gira respecto a otra es:

Donde J es una funcin de x determinable. Integrando en x de 0 a L, se obtiene el ngulo total de giro del eje:

Es importante notar que las frmulas mostradas aplican cuando un elemento tiene un soporte fijo y el giro se presenta en su extremo libre. Modelo 3Una barra hueca con seccin transversal con G = 77.2 GPa se somete a un par de torsin T = 13 KN*m. Determinar el ngulo de giro en el miembro mostradoSe debe recordar que J debe ser una diferencia de los radios.

Modelo 4Si una barra con seccin transversal circular y G = 65 GPa presenta un ngulo de giro 4. Determinar el par de torsin T que se le aplica.Se despeja de la frmula para T y se evalan los datos tras transformar los grados a radianes.

Reacciones en soportesEn el tema la frmula de torsin, era necesario calcular primero los pares de torsin internos a lo largo del eje a travs de la esttica, con el diagrama de cuerpo libre del corte y diciendo que la suma de los pares ejercidos en esa porcin es cero.Pero, hay casos donde no se pueda hacer as, que son cuando los pares externos no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del eje completo. En esos casos se debe complementar con relaciones que tomen en cuenta las deformaciones del eje y la geometra del problema. Estos problemas se les llaman estticamente indeterminados. Modelo 5Se tiene una viga con seccin transversal circular, montada entre 2 muros. Si se le aplica un par de torsin T=15 Kip*in, determine la reaccin en los puntos A y BSe debe tener presente que la suma de sean igual al momento aplicado y los ngulos de giro de un extremo como de otro deben ser los mismos a partir de ah se igualan las formulas y se obtienen los resultados

Y

Ejes de transmisinLos principales elementos que deben tomarse en cuenta al fabricar un eje de transmisin son la potencia que debe transmitirse y la velocidad de rotacin del eje.La potencia generada por la rotacin de un cuerpo rgido sujeto a un par de torsin T es:

Donde es la velocidad de rotacin en radianes por segundo. Sin embargo, , donde es la velocidad de rotacin en revoluciones por segundo. Se tiene entonces que la unidad de frecuencia son los hertz (Hz) que equivalen a . Sustituyendo la relacin mostrada en , se llega a:

Las unidades resultantes de la potencia seran los watts (W) o , ya que las unidades de T son y las de . Finalmente, para poder disear el elemento de manera correcta se debe obtener el par de torsin T al que se le someter, despejando a T de la ecuacin anterior (). Posterior a la eleccin del material se debe verificar que: NOTA: Si se emplean las unidades del sistema ingls, las relaciones son las siguientes:

Modelo 6Se tiene un motor que otorga 150Kw de potencia a un eje circular que gira a una frecuencia de 30Hz. Determine el dimetro del eje si el esfuerzo cortante no debe superar 45MPaSolamente se ingresan los datos en las formulas presentadas en la seccin para obtener los resultados

cONCENTRACION DE ESFUERZOSSe recomienda dar un repaso al tema frmula de torsinFigura 9

La frmula de torsin es para un eje circular con seccin transversal uniforme que aparte de todo como se dijo en el apartado del Comportamiento de elementos cilndricos, est sujeto en los extremos por placas rgidas, pero esto es solo para facilitar la teora, cuando estamos en la prctica los pares de torsin se aplican en los acoplamientos de brida, en las juntas, en los engranes que conectan al eje. Figura 2

La frmula de la torsin en un eje de seccin transversal circular variable, se podr utilizar pero con un enfoque diferente ya que el cambio en el dimetro de sus seccin es casi inmediato, as que las concentraciones de los esfuerzos ltimos ocurrirn en ese punto, nombrado A en la figura. Esto puede resumirse usando un filete y su respectivo

K es un factor de concentracin de esfuerzos. Depende de la razn de los dos dimetros y de la razn del radio del filete al dimetro del eje ms pequeo como se muestra en la grfica.Modelo 7Se tiene un eje escalonado como se muestra en la figura que gira a 600rpm. Determine la potencia mxima que puede transmitir si el esfuerzo cortante mximo es 45MPaSe sustituyen los datos en las formulas presentadas y se coteja la tabla para poder obtener el valor de K

Deformaciones plasticasComo se sabe, un material tiene su etapa elstica y su etapa plstica, hasta ahora hemos trabajado con su etapa elstica, materiales es dctiles y para ello usamos la ley de Hooke, pero si traspasamos su resistencia a la fluencia o si el material es frgil con un diagrama no lineal de esfuerzo-deformacin a cortante la ley de Hooke no podr ser utilizadaPrimero lo que ya se sabe: la deformacin a corte vara linealmente con la distancia desde el eje de la flecha que es la frmula: que es lo que se muestra en la primera graficaFigura 10

Continua ver que pasa despus del valor mximo del esfuerzo cortante se ha definido en la segunda grfica. Entonces para obtener la tercera grafica se siguen los siguientes pasos: Determinar el valor de del diagrama esfuerzo-deformacin a corte que corresponde a Se usa la ecuacin Para cada valor , se determina el valor de la deformacin Se obtiene el esfuerzo cortante que corresponde al valor Se grafica contra para tener la distribucin de esfuerzoPara determinar el par T que corresponde a la distribucin de fuerzas obtenidas: Eligiendo un elemento anular con las siguientes caractersticas; radio , espesor y con rea entonces:ONote como la curva que corresponde a la grfica contra representar el valor de en las anteriores ecuaciones.Ahora se trabajara con el par ltimo que causa la falla del eje. El cual es obtenido con el esfuerzo cortante ltimo del material siendo igual al esfuerzo mximo. De la formula se podr obtener su equivalente al esfuerzo mximo correspondiente:

: Es un esfuerzo que se denomina mdulo de ruptura a torsin, del material dado. Sirve para obtener el par ltimo de un eje hecho del mismo material y diferentes dimensiones despejando .El valor de ruptura siempre ser mayor que el valor real del esfuerzo cortante ultimo .En casos particulares puede desease determinar la distribucin de esfuerzos y el par T para un ngulo de giro dado con la frmula:

Donde se determina para cualquier valor dado de Se grafica el diagrama esfuerzo deformacin Se obtiene el valor correspondiente para Se grafica entonces contra Se calcula T al gusto, analtica o numricamenteElementos elastoplsticosPara esta seccin trataremos con un comportamiento plstico de un eje sometido a torsin pero considerando el caso perfecto de un eje circular slido hecho de un material elastoplstico[footnoteRef:1] [1: Un material elastoplstico se dice que presenta plasticidad perfecta, si sea cual sea el valor de las tensiones en un punto, la superficie de fluencia no cambia ni de forma ni de posicin en el espacio abstracto de tensiones.] Figura 12Figura 11

Se comienza con el caso de un eje circular al cual se le aplicara un esfuerzo cortante que no sobrepase el esfuerzo de cedencia , de esta manera se incluye la ley de Hooke y la distribucin de esfuerzos, en la grfica queda como en la primera figura. Ahora se contina aumentando el par hasta llegar a que llegando al lmite del comportamiento elstico del eje. Sustituyendo en la formula y despejando el valor de se llega a la siguiente formula: y como se considera en el lmite elstico entonces a esta se le conoce como el par de torsin mximo elstico. Recordando que para un eje circular tenemos que sustituimos para tener

Por fin se entra en el campo plstico cuando aumenta el par an ms, que genera una regin plstica en el eje, alrededor del ncleo elstico, esta regin tendr un radio como se ve en la figura con dos secciones de diferente color, el radio continuara creciendo hacia el eje conforme el par ascienda hasta que la deformacin sea completamente plstica.

Retomando la frmula: para obtener el valor del par T correspondiente a un radio dado del ncleo elstico. Identificamos nuestra curva para para , y que ser igual a para . Quedaran los siguientes clculos:

Tomando la ecuacin despejando y sustituyendo en esta ltima se obtiene:

La distribucin de la deformacin, cuando el ncleo todava existe, es lineal por tanto se puede seguir usando la siguiente ecuacin y se puede usar para expresar el radio a partir del ngulo . Se obtiene igualando a la deformacin de cedencia en la ecuacin mencionada y se despeja el valor de la distancia

Sea el ngulo de giro al inicio de la cedencia, es decir, cuando . Haciendo a y a se tiene que:

Dividiendo la ecuacin de entre la de c, las dos ltimas, se obtiene:

Cuando se introduce la esta frmula en la del par torsionante se expresara de la siguiente forma Modelo 8Un elemento con seccin transversal circular hecho de un material elastoplstico con una resistencia de cedencia al corte de 60 ksi y G= 11.2*106 psi, se somete a un par de torsin T=. Determine el radio del ncleo elstico y el ngulo de giro del eje.Se determina primero posteriormente despejar la ecuacin para y finalmente obtener a partir de

Esfuerzos residualesEn esta seccin veremos qu pasa cuando a un elemento lo llevamos hasta tener una deformacin plstica, y despus, le quitamos el par torsionante. La reduccin del esfuerzo y de deformacin unitaria, en el punto considerado tendr lugar a lo largo de una lnea recta, el valor final del esfuerzo no ser normalmente cero, ya que habr un esfuerzo residual en la mayora de los puntos, y podr ser negativo o positivo. El esfuerzo decrecer hasta que haya alcanzado un valor igual a su mximo valor en C menos el doble de la resistencia de cedencia del material.Figura 13

Se volver a utilizar un material elastoplstico con la grfica de esfuerzo-deformacin a cortante. Suponiendo que la relacin entre y en cualquier punto es lineal y que el esfuerzo no traspasa la barrera de ms de , podr utilizarse la ecuacin para conocer el ngulo al cual el eje se destuerce al disminuir el par a cero. La descarga del eje ser representada por una lnea recta en el diagrama mostrado a la derecha, donde el ngulo de giro no regresa a cero. Figura 14

Ahora se toman los esfuerzos medidos cuando el par est en su esplendor T y por otra los esfuerzos debidos al par igual opuesto que se aplica para descargar el eje. El primer grupo genera el comportamiento elastoplstico del material durante la fase de carga y el segundo grupo el comportamiento lineal del mismo material durante la fase de descarga. La suma de ambos resultara en la distribucin de esfuerzos residuales en el eje.La ecuacin debe verificarse despus de que se retira el par.Figura 15

Modelo 9Del ejemplo anterior determine el ngulo de torsin permanente y la distribucin de los esfuerzos residuales despus de que se retira el par de torsin de .Con los datos del problema anterior se utilizan las formulas mostradas en la seccin para poder determinar los datos requeridos

Elementos no circularesLas ecuaciones obtenidas anteriormente son vlidas nicamente en elementos de seccin transversal circular ya que se parta del supuesto que la seccin transversal permaneca plana y sin distorsin, sin embargo, en un miembro con seccin transversal cuadrada la nica manera en que puede mantener su apariencia es si se gira 90 o 180. Para poder analizar el comportamiento de este tipo de elementos se inicia por considerar un elemento cbico ubicado en una de las esquinas superiores de la seccin transversal, donde se observa que la cara del elemento perpendicular al eje y la cara perpendicular al eje z son parte de la superficie libre de la barra todos los esfuerzos en dicha cara deben ser 0. Se escribe: Figura 17Figura 16

Entonces, se puede deducir que no se presentan esfuerzos a lo largo de los bordes del miembro, mientras que los esfuerzos mximos se presentan a lo largo de la lnea central de cada una de las caras del miembro.Si L es la longitud de una barra con un ancho a y un alto b, sometida a un par de torsin T, la ecuacin para encontrar el mximo esfuerzo cortante y el ngulo de giro son:

Los coeficientes y dependen de la razn y se dan en la siguiente tabla:

1.00.2080.1406

1.20.2190.1661

1.50.2310.1958

2.00.2460.229

2.50.2580.249

3.00.2670.263

4.00.2820.281

5.00.2910.291

10.00.3120.312

0.3330.33

Tabla 1. Coeficientes para barras rectangulares en torsin.

Si se requiere determinar los esfuerzos en elementos no circulares sujetos a carga torsional es recomendable acudir a otras bibliografas ya que en esta solo se tratan pocas secciones transversalesElementos huecosUna gran cantidad de elementos que se someten a torsin son cilindros circulares slidos o huecos, sin embargo, existen tambin miembros sometidos a torsin cuya seccin no es circular, por ejemplo, las alas de los aviones, los fuselajes, entre otros. Las condiciones para que se puedan determinar la torsin en miembros de paredes delgadas son: El miembro debe ser cilndrico, es decir, su seccin transversal debe permanecer invariable. La seccin transversal debe ser cerrada, es decir, que no haya rendija longitudinal en el elemento. El espesor de la pared debe ser pequeo en relacin con las dimensiones transversales del elemento. Los extremos no deben tener restriccin de alabeo[footnoteRef:2]. [2: Alabeo:Deformacindeunasuperficieplanadecualquiermaterial,poraccindelcalor,humedad,etc.,demaneraquenopuedacoincidirconunplano.]

Aunque el espesor t puede variar con la posicin circunferencial se puede partir del supuesto que el esfuerzo cortante es constante en el espesor, y es paralelo a la curva mediana que define a la seccin transversal. (Craig, 2002) Esta aseveracin permite definir una cantidad llamada flujo cortante, que es:

En la figura el esfuerzo cortante en la cara AB en A es . En consecuencia, un esfuerzo cortante de la misma magnitud debe actuar en la cara AD, se escribe:Figura 18

Y en la cara BC:

Debido a que se supone que el miembro no est sujeto a carga axial, se obtiene que:

Ya que A y B son puntos arbitrarios en la seccin transversal, la ecuacin anterior demuestra que q es independiente del lugar en la seccin transversal, es decir, que es independiente de s. Por lo cual:

Una vez que se comprende la ecuacin anterior, es necesario relacionar a q con el par de torsin T. La fuerza incremental , debido al flujo cortante , sobre un elemento diferencial de rea de la seccin transversal se muestra en la figura. La fuerza en dicho elemento de seccin transversal es:

Y acta tangente a la curva mediana Cm. El momento de la fuerza respecto a un punto arbitrario O de la seccin transversal se expresa como:

En la cual es la distancia perpendicular del punto O a la lnea de accin de la fuerza dFs. Para obtener el par de torsin sobre la seccin transversal, se suman las contribuciones en torno a la curva Cm, dando lugar a:

Ya que q es una constante solo se evala alrededor de Cm. De esta manera se forma un tringulo con rea:

Por consiguiente,Figura 19

Igualando y , se obtiene:

Combinando la frmula anterior con , se llega a la ecuacin del esfuerzo cortante que acta sobre una seccin transversal de un miembro cerrado, que es:

Para calcular el ngulo de torsin, se utilizan las relaciones de deformacin unitaria-desplazamiento y esfuerzo-deformacin unitario. El resultado es:

La relacin existente entre el par de torsin y momento polar de inercia, para un eje circular es:

Pero debido a que no se est trabajando con un eje circular, la frmula sufre los siguientes cambios:

Modelo 10Se tiene un tubo cuadrado cuya seccin transversal es de 60 mm por 80mm. Determine el esfuerzo cortante en cada una de las 4 paredes de una porcin de dicho tubo cuando se le aplica un par de torsin de 6 si el espesor es uniforme. Es importante observar que el rea que se utiliza se obtiene restando la mitad del espesor a cada medida, posteriormente se pueden usar las formulas.

Ejercicios1.-Dada la viga circular de 0.5 in de dimetro empotrada a la pared, calcule el par de torsin mximo cuando el es de 20 ksi.2.-Una barra hueca con dimetro interior de 30 mm y exterior de 50 mm, se somete a un par de torsin T=10kNm. Calcular el esfuerzo cortante mximo.3.-Determine el par de torsin T que har que una barra circular hueca gire 6. El radio interior es de 12 mm, el exterior de 18 mm, su longitud es de 1.1 m y su mdulo de rigidez es de 77.2 GPa.4.-Un eje circular slido se somete a un par de torsin T= 13 kipsin, si su longitud es de 20 in, su radio de 1.5 in y G= 10.8 x 106, calcular su ngulo de torsin.*5.-Un eje circular unido a soportes fijos se somete a un par T=250 Nm como se muestra en la figura. Determine las reacciones en los soportes A y B.

*6.-Un eje circular unido a soportes fijos es sometido a un par de torsin T= 1.1 kipsin como se muestra en la figura. Si del soporte A al punto de apli9cacin del par T se hizo una perforacin obteniendo un radio interno de 0.5 in y uno externo de 0.9 in, calcular las reacciones en los soportes.

7.- Un motor elctrico le proporciona 15 hp a una bomba mediante un cilindro slido que gira a 920 rpm. Si el miembro soporta un esfuerzo cortante mximo de 22 ksi, determine el radio mnimo requerido.8.- Un tubo de 54 mm de dimetro exterior con un esfuerzo cortante permisible de 85 MPa debe transmitir 132 kW a 38 rev/s. Calcular el dimetro interior mximo permisible. *9.- Un eje escalonado como se muestra en la figura debe girar a 600 rpm, si transmite una potencia de 300 hp, determine el esfuerzo cortante presentado en el elemento.

10.- Un eje circular slido de 0.8 m de longitud y de 40 mm de dimetro es sometido a un par de torsin T= 3.3 kNm, si se sabe que el elemento es elaborado con un material elastoplstico con una resistencia de cedencia al corte de 250 MPa y G= 39 GPa. Determinar el radio del ncleo elstico y el ngulo de giro del eje. 11.- Con los datos del ejercicio anterior determine el ngulo de torsin permanente y la distribucin de los esfuerzos residuales.*12.-Determine el mximo par de torsin para la siguiente seccin si

Apndice1.-T= 0.49 kipin2.- 468.103 MPa3.- T= 972N4.- 5.- TA= 153.85 y TB= 96.15 6.- TA= 713 y TB= 387 7.- r = 0.31 in8.- d= 50.9 mm9.- 4.25 psi10.- y 11.- y 262.61 MPa12.- T= 1.217 kNBibliografaBeer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2009). Mecnica de Materiales. D.F.: Mc Graw Hill.Bickford, W. (1997). Mecnica de slidos. Mxico: Mc Graw Hill.Craig, R. (2002). Mecnica de Materiales. Mexico: Cecsa.Hibbeler, R. (2006). Mecnica de Materiales. Mxico: Pearson Educacin.