La topografía (de topos, "lugar", y grafos, "descripción") es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie de la Tierra, con sus formas y detalles; tanto naturales como artificiales (ver planimetría y altimetría). Esta representación tiene lugar sobre superficies planas, limitándose a pequeñas extensiones de terreno, utilizando la denominación de geodesia para áreas mayores. De manera muy simple, puede decirse que para un topógrafo la Tierra es plana (geométricamente), mientras que para un geodesta no lo es.

Para eso se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional, siendo la X y la Y competencia de la planimetría, y la Z de la altimetría.

Tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un métodotrigonométrico, además

de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por

lo que bien merece el título de padre de lageodesia. Por referencias obtenidas de

un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día

del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y

la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba

situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la

eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la

misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la

Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el

mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la

ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría.

Según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad, Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (un proto-cuadrante solar). Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5.000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio ático-italiano de 184.8 m, que era el que se usaba comúnmente por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido fue de 6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error de menos del 1%.

Eratóstenes cometió algunos pequeños errores en su cálculo:

Supuso que la tierra es perfectamente redonda. Un grado de latitud no mide exactamente lo mismo en cada lugar, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el ecuador hasta 111,7 km en los polos, por eso no podemos asumir que 7 grados entre Alejandría y Siena tendrán la misma distancia que 7 grados entre Alejandría y alguna ciudad de Turquía.

Si hacemos la resta de las longitudes (las líneas verticales del mapa) hay una diferencia de 3 grados (Eratóstenes suponía que estaban en la misma longitud).

La distancia real entre Alejandría y Siena (hoy Asuán) no es de 924 km (5 mil estadios ático-italiano de 184,8 m por estadio), sino de 843 km ; 81 km de diferencia -Distancia aérea y hasta el centro de las ciudades.-

Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre la línea del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen a la tierra verticalmente el 21 de junio). Hoy día está a 72 km (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la tierra fluctúan de entre 22,1 y 24,5 º en un período de 41 mil años, hace 2 mil años estaba ubicada a 41 km

La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2.200 años debió ser de 7,5 o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2 o 1/50 parte. Puesto que para aquella época no existía el cálculo diferencial e integral, para medir el ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás,2 que no permite una medida tan precisa como la que se requiere.

Si rehacemos el cálculo de Eratóstenes con la distancia y medida angular exacta desde Alejandría hasta el punto en el mapa que se encuentra en la misma longitud de la de Alejandría y situado justo en la línea del trópico de cáncer, obtenemos el valor de 40,074 km.3 Solo 66 km o un 0,16% de error de la circunferencia real de la tierra medida por satélites avanzados, que es de 40,008 km, lo que demuestra la validez de su razonamiento. Esta ligera diferencia es debido a que la distancia entre Alejandría y la línea del trópico de cáncer es 1/46 parte de una circunferencia, pero la tierra no es una esfera perfecta.

150 años más tarde, Posidonio rehizo el cálculo de Eratóstenes y obtuvo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente. Quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se habría llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad.

El trabajo de Eratóstenes es considerado por algunos el primer intento científico en medir las dimensiones de nuestro planeta,4 ya que se hicieron otros cálculos y se perfeccionaron siglos después por estudiosos tales como el califa Al-Mamun y Jean François Fernel.

En el solsticio de verano los rayos solares inciden

perpendicularmente sobre Siena. En Alejandría, más al norte,

midiendo la altura de un edificio y la longitud de la sombra que

proyecta, se puede determinar el ángulo formado con el plano de la

eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena,

ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas

ciudades. Conocida ésta, basta medir el arco de circunferencia y

extrapolar el resultado a la circunferencia completa (360º).

La idea se le ocurrió por primera vez a Eratóstenes de Cirene, científico griego nacido por el año 280 a.C. Eratóstenes no tenía perro y tal vez fue gracias a esta providencial canofobia que, cuando tenía enfrente una vara, en vez de arrojarla lejos, pensaba en otras aplicaciones.

Los griegos de la época de Eratóstenes sabían que la Tierra era redonda. No es cierto que Colón fuera el primero en proclamar la redondez del mundo, suscitando el escarnio de sus contemporáneos. Lo que no sabían era de qué tamaño era la pelota mundial.

En un papiro que encontró en la biblioteca de Alejandría, Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Siena (hoy Asuán), situado al sur de Alejandría, donde era fama que los rayos del Sol caían a plomo el día del solsticio de verano. Esto se sabía porque en Siena había un pozo muy profundo en cuyas aguas se podía ver reflejado el Sol justo al mediodía en el solsticio de verano. Clavando una vara en el suelo en Alejandría un solsticio de verano de aquellos, Eratóstenes observó que allí el Sol no pasaba exactamente por el cenit. La vara proyectaba sombra en Alejandría, mas no en Siena.

Pensando geométricamente (en particular aplicando el principio de los ángulos alternos internos), Eratóstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en Siena, pero en Alejandría hacen un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual al que formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría. Llamemos a este ángulo A.

Una vez medido el ángulo A, Eratóstenes contrató a un camellero para que se fuera caminando a Siena y midiera la distancia entre las dos ciudades. En unidades contemporáneas, la distancia resultó ser de cerca de 840 kilómetros.

El ángulo A, como comprobó Eratóstenes, era de alrededor de 7.5°. La distancia de Alejandría a Siena, le dijo el cansado camellero, era de unos 5250 estadios. Un estadio es una medida antigua que equivale a cerca de 157.5 metros. Con esta interesante información en manos, Eratóstenes se dijo: el ángulo A (7.5°) es la cuadragésima octava parte de un círculo completo (360°), por lo tanto, la distancia entre Alejandría y Siena (5250 estadios) debe estar en la misma proporción a la circunferencia total de la Tierra, o

sea, ésta debe ser 48 veces 5250 estadios, o 252,000 estadios:

---360° (círculo completo) ------------- circunferencia Tierra --------------------------------------------=----------------------------------------- - --------------A -----------------------------distancia Alejandría-Siena

De donde: (360° /A) x distancia Alejandría-Siena = circunferencia Tierra

Es decir: (360 / 7.5) x 5250 = circunferencia Tierra -------------------------- = 252,000 estadios Como 1 estadio = 157.5 metros:

circunferencia Tierra = 40,000 kilómetros, aproximadamente

El resultado de Eratóstenes está asombrosamente próximo a la cifra que se obtiene con métodos modernos y más exactos.

Cerca de un siglo más tarde, alrededor del año 150 a.C., otro científico, llamado Posidonio, determinó la circunferencia de la Tierra por otro método, que implicaba medir la altura sobre el horizonte de la estrella Canopus, la más brillante del cielo nocturno después de Sirio. En un punto de sus cálculos Posidonio echó mano de las cifras de Eratóstenes, lo cual no le impidió obtener un valor de la circunferencia de la Tierra que discrepaba considerablemente del de su antecesor. Muy ufano, Posidonio anunció que la Tierra tenía un perímetro de 180,000 estadios, o sea, 28,350 kilómetros --equivalente a unos ¾ del valor que había obtenido Eratóstenes. Cuando un marino ambicioso llamado Cristóbal Colón trató de convencer a los cosmógrafos de la corte de Isabel la Católica de que se podía llegar de España a China navegando hacia el oeste, tomó prestado el cálculo de Posidonio de la circunferencia de la Tierra.

La geometría en la Topografía toma un lugar muy importante, desde luego es uno

de los requisitos conocer algunos fundamentos de esta.

Esta nos ayudara a resolver problemas en el momento laboral.

La geometría en todos sus estudios plana, espacio, analítica, descriptiva son la

base para el estudio de la TopografIa.

La geometría es una parte de las matemáticas mediante la cual se estudian las

propiedades y las medidas de las figuras en el plano y en el espacio.

Se distinguen varias clases de geometría:

Algorítmica. Aplicación del álgebra a la geometría para, por medio del cálculo,

resolver ciertos problemas.

Analítica. Estudio de figuras mediante un sistema de coordenadas y métodos

de análisis matemático.

Plana. Se consideran las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

Del espacio. Se estudian las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo

plano.

Proyectiva. Se tratan las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Descriptiva. Objetivos:

1. Solución de los problemas de la geometría del espacio por medio de

operaciones efectuadas en un plano.

2. Representación de las figuras de los sólidos en un plano.

EJEMPLOS DE APLICAION:

I. Al calcular áreas triangulares aplicamos el teorema de Herón.

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de

Alejandría,1 relaciona el área de un triángulo en términos de las

longitudes de sus lados a, b y c:

Donde s es el semiperímetro del

triángulo:

II. Para determinar ángulos, o medidas de secciones triangulares:

III. Las vistas, proyecciones, trazos es importante en un diseño para ver en

diferentes perpectivas.

IV. Áreas y volúmenes:

V. Los planos de un objeto en 3D.