UniversidaddeGuanajuatoFacultad de MatematicasEl espacio de Teichm uller y la accion delGrupo Modular de Teichm ullerGerardoArizmendiEchegarayDirectordeTesisDr.ManuelCruzLopez8deagostode20082Indice general1.. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolica . . . . . . . . . . . 51.1. SuperciesdeRiemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. GeometraHiperbolicaBidimensional . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. SuperciesHiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Trigonometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. ModelosygruposFuchsianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1. SubgruposdiscretosdeAut(H) . . . . . . . . . . . . . 181.4. Homotopadelazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1. Lazosgeodesicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. AplicacionesCuasiconformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.. ElespaciodeTeichm uller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1. SuperciesdeRiemannmarcadas . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. ElespaciodeFricke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. CoordenadasdeFenchel-Nielsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller . . . . . . 432.4.1. AplicacionesyTeoremasdeTeichm uller . . . . . . . . 503.. ElGrupoModulardeTeichm uller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1. ElGrupoModulardeTeichm uller . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm uller. . . . . . . 58A.. TeoremadeHurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674IndicegeneralIntroduccionLa teora de Teichm uller cae dentro de la intersecci on de muchas areas delasmatematicas,comolosonlatopologa,elanalisiscomplejo,lageometrahiperbolica,entreotras.Recientementeajugadounpapelimportanteenlafsicateorica,particularmenteenlateoradecuerdas.Elestudiodelespaciomoduli desuperciesdeRiemannatravesdel espaciodeTeichm ullerylaacciongrupomodulardeTeichm ullerresultasermuyimportanteeintere-sante.En este trabajo desarrollamos distintas deniciones de este espacio, damosun par de sistemas de coordenadas para el este espacio, por ultimo denimosla accion del grupo modular en el espacio de Teichm uller y probamos que suaccionespropiaydiscontinua.Enel primercaptulodesarrollamoslospreliminaresnecesariosparaelestudio de los capitulos posteriores. Empezamos con la denici n de superciede Riemann, desarrollamos un poco de geometra hiperbolica bidimensional.Explicamoslosllamadosgruposfuchsianos, ascomolahomotopadelazos,por ultimo denimos las aplicaciones conformes y damos algunas propiedadesimportantesdeellas.Enel segundocaptuloempezamos dandounpar deniciones equiva-lentes del espacio de Teichm uller. Introducimos el espacio de Fricke y las co-ordenadasdeFenchel-Nielsenlascualeshanresultadosermuyimportantesenel estudiodel volumendel espaciodeTeichm ullerylametricadeWeil-Petterson. Mas adelante damos otro par de deniciones del espacio de Teich-mullerconaplicacionescuasiconformesydenimos,graciasaestadenicionla distancia de Teichm uller con le damos una topologa, por ultimo probamosquetodosestosespaciossonhomeomorfos.Finalmente, enel tercercaptulointroducimosel grupomodulardeTe-ichm uller y su accion en el espacio de Teichm uller. Probamos que esta accionespropiaydiscontinuayademasquelosestabilizadoressonnitos, conloqueconcluimosqueel espaciodeorbitasT(R)/Mod(R) =T()/esunavariedadcomplejasingulardedimension3g 3.1Supercies de Riemann y GeometraHiperbolicaEn este captulo desarrollamos la teora basica de supercies de Riemann ygeometra hiperbolica necesaria para los captulos posteriores. En la primerasecciondamosladeniciondeunasuperciedeRiemannyenunciamoselteoremadeuniformizacion, quesedebeaKlein, PoincareyKoebe, apartirdelcualelestudiodelassuperciesdeRiemannpuedeversecomopartedelestudiodegruposdiscretosactuandoenelsemiplanosuperioroenelplanocomplejo. El casomasimportantees el gruposdiscretos queact uanenelsemiplanosuperior,loscualessonllamadosgruposFuchsianos.En la segunda seccion presentamos los modelos de la geometra hiperboli-cabidimensional enHyD. Despues entramos al temade las supercieshiperbolicas quesonconlas quetrabajaremos mas adelante enlatesis.Pro-porcionamos algunos resultados delatrigonometrahiperbolicaqueseranmuy utilesparaentenderlageometradelospolgonosen Hyenlassuper-cieshiperbolicas.En la siguiente seccion desarrollamos la teora de modelos y grupos Fuch-sianos, loscualesnospermitirandarunadescripciondel espaciodeFrickeylascoordenadesdeFenchel-Nielsenenelsiguientecaptulo,ademasenun-ciamosciertosresultadosqueserviranparaelestudiodelgrupomodulardeTeichm uller.Enlacuartaseccionnosenfocamosalahomotopadelazosyparticu-larmentealos lazos geodesicos quesonfundamentales enel desarrollodelascoordenadasdeFenchel-Nielsenquesederivandeladescomposicionen6 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicapantalonesdeunasuperciedeRiemann.Enla ultimasecciondamosladeniciondeaplicacioncuasiconformeyenunciamos sin demostracion algunos resultados importantes sobre este tipodeaplicaciones.1.1. SuperciesdeRiemannApartir del TeoremadeClasicaciondeSupercies sabemos quetodasuperciecompactaorientableesunaesferaoeslasumaconexadetoros,estoes, unaesferaconasas. El n umerodeasasquetienelaesferasellamaelgenerodelasupercie.Paraunaexplicaciondetalladadeesteteoremasepuedeconsultar[7].Denicion1.1.1UnasuperciedeRiemannResunvariedadcomplejaunidimensionalconexa.Estosignicaque Res unespaciotopologicoHaussdorf yexiste unacubiertadeRporsubconjuntosabiertos Uyhomeomorsmos zdeUen Ctalquelasfuncionesdetransicionf= z z1dez(U U)az(U U)asonholomorfas.Figura1.SuperciedeRiemann.1.1. SuperciesdeRiemann 7Las parejas (U, z) se llamancartas. Dos sistemas de carta(U, z)y(V, w)sedicencompatiblessi cadavezqueU Vesnovacio, w z1es unafuncionholomorfa. Es claroque lacompatibilidaddene unaclasedeequivalencia. LaclasedeequivalenciadesistemascompatiblesdecoordendadasenReslaestructuracomplejaenR.TambienlallamamosestructuradesuperciedeRiemann.CuandohablamosdefuncionesquevandeSunasuperciedeRiemannaRotrasupercedeRiemannlasllamamosaplicaciones.Decimosqueunaaplicacionf: S RcontinuaesholomorfasiparacualesquiercartaszenRywenSlafuncionw f z1esholomorfa.Ejemplo1.1.2LassiguientessonsuperciesdeRiemann:1. C2. H = z= x + iy C [y> 03. D = w = u + iv C[u2+ v2< 14.C := C Los primeros tres ejemplos sondominios deCpor loqueclaramentesonsupercies de Riemann. ParaCtomamos dos cartas (C, id) y(C 0, f)donde f(z) = 1/zpara C0 y f() = 0. Un ejercicio sencillo es probar queestascartasledanestructuradesuperciedeRiemann.UnaaplicacioncubrienteentreespaciostopologicosXyY esunaaplicacioncontinuaysuprayectivaenlaqueparacadapuntoquey YexisteunavecindadVydeytal que1(Vy)=

AUdondecadaUeshomeomorfoaVy.Si tenemosunaplicacioncubrientede:X Y el conjuntodehome-omorsmosf deXenXtalesque f =esungrupo, esel llamadogrupodetransformacionsdecubiertadelaaplicacioncubrienteylodenotamosporDeck().Dada una supercie de Riemann R, decimos que la tercia (R, , R) es uncubriente, si : R Resunaaplicacioncubriente, as mismollamamosa Rsuperciecubriente, enel casoenel que Ressimplementeconexalellamamoscubrienteuniversal.8 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaA una supercie de Riemann R se le puede contruir un cubriente universalydotarledeunaestructuracomplejadelasiguientemanera.Fijamos unpuntobase p0enR. Sea(C, p) unpareja, donde pes unpuntoarbitrariodeRyCunacurvaregular dep0ap. Decimos quedosparejas(C, p)y(C

, p

)sonequivalentessi p=p

yCeshomotopicoaC

.RecordemosqueunahomotopiaentreCyC

esunafamiliadecurvas Ctconpuntos iniciales poynales ptal queC=C1yC

=C2quevariancontinuamente.Figura2.Homotopadecurvas.Sea Relconjuntodeclasesdeequivalencia[C, p].Daremosunatopologaa Rparaqueesteseauncubrienteuniversal.Paracadapunto p = [C, p]deR, tomamos una vecindad Upde p que es un dominio simplemente conexo enR. Sea Ue pel conjunto de todos los puntos [CCq, q] en Rde tal forma que qes un punto de Upy Cqes una curva arbitraria contenida en Upque va de p aq. ComoUpessimplementeconexo, tenemosunacorrespondenciacanonicaunoaunoentreUpyUe p.ConestosUe p,denimosunsistemadevecindadesfundamentalesde pen R.Tambiendenimosunaestructuracomplejaen Rdetal formaque:R Rseaunaaplicacionholomorfa.Paraesto,paracadapunto p = [C, p]de R,tomamoscarta(Up, zp)talqueUpesundominiosimplementeconexoen R. Si tomamos ze p= zp, observamos que (Ue p, ze p) nos da la estructuracomplejaquedeseamos.Lema1.1.3El grupo de transformaciones de cubierta de (R, , R) de unasuperciedeRiemannRsatisfacelassiguientespropiedades:1. Paracada p, q Rcon( p) =( q), existeunelemento con q= ( p)1.1. SuperciesdeRiemann 92. Para cada p R, existe una vecindad Ude p en R tal que (U)U= ,paratoda id.Enparticular,todoelementoendistintodelaidentidadnotienepuntosjos.3. act ua propia y discontinuamente en R; esto es, para cada subconjuntocompacto Ken R, existe a lo mas un n umero nito de elementos tal que(K) K ,= .Dadouncubrienteuniversal(R, , R),dondeResunasuperciedeRie-mann,elgrupodetransformacionesdecubiertaesisomorfoalgrupofun-damental1(R, p0);masa un,esunsubgrupodeAut(R).R/esunespaciotopologicoHaussdorfconlatopologacocienteyselepuededotardeunaestructuracomplejadelasiguienteforma.Paracadapunto pde Rtomamosunavecindad Ue pde ptalquesatisfacelasegundapropiedaddellemaanterior.Podemossuponerquetenemosunacartaze pen Ue p. Entonces, haciendop=( p), Up=(Ue p), vemosque:Ue p Upes unhomeomorsmo. Tomandozp=ze p 1, concluimos que(Up, zp)peR/deneunaestructuracomplejaen R/.Conesta estructura compleja, (R, , R/) es uncubriente de R/yademas R/es biholomorfoaRbajolacorrespondencia[ p] ( p). DeestaformacadasuperciedeRiemannsecorrespondeaunespaciococienteR/:= x: Rde Runasuperciecubrienteuniversal ysugrupode transformaciones de cubierta. Por el teoremade uniformizacionque acontinuacionenunciamos, ResC,Co H.Teorema1.1.4(TeoremadeUniformizacion)TodasuperciedeRie-mannsimplementeconexaesbiholomorfaaunadelassiguientessuperciesdeRiemann:C,Co H.En el caso que nosotros queremos estudiar la supercie cubriente universalsera H.Elgrupodeautomorsmosde H,Aut(H),correspondealsubgrupodeAut(C)quedejanjo H.NoesdifcilverqueAut(H) =_az + bcz + d: a, b, c, d R; ad bc = 1_AestegrupolollamamoselgrupodetransformacionesdeMobiusreales. Dehecho, esteesel grupodeisometrasde Hquepreservanlaori-entacion(versiguienteseccion).10 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaAdemas, Aut(H) =PSL(2, R) =SL(2, R)/I, donde SL(2, R) es elgrupodematricesdedospordosconentradasenlosrealesydeterminante1.1.2. GeometraHiperbolicaBidimensionalAtodasuperciedeRiemannselepuededotardeunametricaRieman-nianaqueinduceunaestructuraconforme. Laformafundamental asociadaaestametricaestadadaporlaexpresionds2= 2(dx2+ dy2)osimplementeds=[dz[, dondeesunafuncionpositivadelasuperciedeRiemanna R.ParaunametricadeestetipolacurvaturaGaussianaestadadaporK() = 2log ,dondeeselLaplaciano.La metrica hiperbolica de Poincare en el semiplano superior H esta dadaporlaexpresionds2=1y2(dx2+ dy2)odeotraforma(z)[dz[ =2[dz[[z z[= [dz[Imz.Esta asigna una longitud a cada curva regular en H. En general , si C esundominiosimplementeconexoyfunaaplicacionbiholomorfadesobreH,lametricaenestadadapor(z)[dz[ = (f(z))[f

(z)[[dz[.ElgrupoPSL(2, R) =__a bc d_[a, b, c, d R, ad bc = 1_/idact uaen HportransformacionesdeMobiusz az + bcz + d1.2. GeometraHiperbolicaBidimensional 11y deja la metrica invariante. Esto es, si f(z) =az + bcz + d PSL(2, R), entoncesp(f(z))[f

(z)[ =2az+bcz+d az+bcz+d1(cz + d)2==2[(az + b)cz + d az + b(cz + d)[=2[(az + b)(c z + d) (a z + b)(cz + d)[==2[(ad bc)(z z)[=2[z z[=1ImzMas a un, PSL(2, R) corresponde al grupo de isometras de H que preser-vanorientaci on,Isom+(H).Lasgeodesicassoncurvasquelocalmentemini-mizan distancia, las isometras mandan geodesicas en geodesicas. No es difcilprobarqueenestemodelodelplanohiperbolico,lasgeodesicassonarcosdecrculo euclideanos perpediculares al eje real. Tambien, para cualesquiera dospuntosenelplanohiperbolicoexisteunageodesicaquepasaporellos.Laaplicacion H Ddadaporz z iz + iesunaaplicacionbiholomorfade Hsobreeldiscounitario D.De la misma manera que se probo que los elementos de PSL(R) preservanlametricaen Hsepruebaquelametricainducidaenestemodeloesds2=4(du2+ dv2)1 (u2+ v2)2obienD(z)[dz[ =2[dz[1 [z[2,lastransformacionesdeltipoei

z w1 wz, [w[ < 1, Rdejanesta ultimametricaja.Laaplicacionanterioresconforme, porloquemandacircunferenciasyrectasencircunferenciasyrectasademaspreservaangulos, loquenosdice12 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaquelas geodesicas enestemodelosoncircunferencias ydiametros ortogo-nales a D. Aplicando la formula de la curvatura Gaussiana a estas metricasobservamosquetienencurvaturaconstante 1.ClasicaciondeIsometrasSea Isom+(H), ,= id.Entoncesa) esparabolicasiysolosi esconjugadaaunatraslacionz z + 1. EnestecasotieneunpuntojoenH.b) es elptica si y solo si es conjugada a una rotacion z eiz (en el modelodeldisco).Enestecasotieneunpuntojoen H.c) es hiperbolicasi ysolosi es conjugadaaunahomoteciaeuclideanaz z>0. Enestecasotiene2puntosjosenH, estaesunatraslacionsobreunageodesica.1.2.1. SuperciesHiperbolicasDenicion1.2.1SeaSunasupercie topologicaorientable sinfronterade generog >1.Unatlas /topologicode Sse llamahiperbolicosi tiene las siguientespropiedades:(1) (U) H, (U, ) /.(2) Si (U, ) /y(U

,

) /, entonces, paracadacomponenteV deU U

existeunaisometram Isom+(H)tal que

1coincideconmen(V ).Denicion1.2.2Sea S una supercie topologica orientable con frontera. Un atlas / topologicodeSsellamahiperbolicositienelassiguientespropiedades:(1) Paratodop Sexisteunsistemacoordenado(U, ) /conp Utalque(U) Hes:-Unsectordecirculodeangulov en(p),sipesunvertice.-Unmediodiscoen(p),sipesunpuntoordinarioenlafrontera.-Undiscoabiertoconcentroen(p),sipesunpuntointerior.1.2. GeometraHiperbolicaBidimensional 13(2) Si (U, ) / y (U

,

) / entonces para cada componente Vde U U

existeunaisometram Isom+(H)tal que

1coincideconmen(V ).Larestricciondeangulosv esporconveniencia.Al igual que otros tipos de atlas, es posible extender todo atlas hiperbolicoaun unicoatlasmaximal.Denicion1.2.3Sea Suna supercie. Un atlas hiperbolico maximal en Sse llama una estruc-tura hiperbolica. Sse llama completa si su metrica hiperbolica es completa.En supercies con estructura hiperbolica los conceptos de geodesica, angu-lo,area,etc..,setransportandelplanohiperbolicodemaneranatural.Teorema1.2.4(Poincare)SeaPunpolgonohiperbolicoen H.de4gla-dos. Supongamos que ordenamos sus aristas en dos conjuntos ajenos a1, ..., a2gy b1, ..., b2gdemaneraqueparacadai existeunaisometraTi: H Horientable que lleva aisobre biinvirtiendo la orientacionde bi. Supong-amosademasquelosverticesseidenticanpormediodelasTisyquelasumadelos angulos interiores enestos vertices es 2. Entonces el grupo:= T1, ..., T2g)act uaenHpropiaydiscontinuamente, ylibredepuntosjos.AdemasPesunaregionfundamental de.Teorema1.2.5SeaSunasuperciehiperbolicaysea Isom+(S) unsubgrupoqueact uapropiaydiscontinuamenteylibredepuntosjosenS.Entonces, Stieneuna unicaestructurahiperbolicatal quelaproyeccionnatural : S Sesunaisometralocal.Demostracion.Denimoselatlas /

enSusandoelatlas /enS.Paratodoq Stomamosq

1(q)ytomamos(U, ) /conp Udediametrotanpeque nodetalformaquelarestriccion[UdeaUesunhomeomorsmo, entoncesdenimosque((U), ([U)1)seaunelementode /

. EsteatlasdeneunaestructuradiferenciableenSysatisfacelascondicionesdeladenicionanterior.Laproyeccionnatural:S SesuncubrienteRiemannianoyporlotantoSescompleta. Launicidadesclara. 214 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaObservacion1.2.6Los dos teoremas anteriores nos dicenque si unpolgono hiperbolico Pcumplelascondicionesdel teoremadePoincareentoncesH=Sesunasuperciehiperbolicacompleta.Podemos ahora hacer la construccion de una supercie hiperbolica. En Dtomamos un 4gagono regular alrededor del origen. Entonces, la suma de losangulos interiores de toda la familia de estos 4gagonos vara continuamentedesde0hasta(4g 2)ycomog> 1entonces(4g 2)> 2.Figura3.Octagonosregularesen H.Por lo tantoexiste un4g-agonoregular centradoen0cuyasuma deangulos interiores es 2. Si tomo la forma normal de una supercie orientablede generog >1(a1b1a11b11...b1g), entonces se puede mandar cadaaiasucorrespondientea1isimplementehaciendounatranslacionsobrebihastamandar un vertice de ai en uno de a1iy despues aplicando una rotacion sobreelverticedea1i;deigualmanerasepuedehacerparalosbis.Entonces,P,conlaidenticaciondadaporestasisometras,esunasuperciehiperbolicadegenerog.1.2.2. TrigonometraAcontinuaci onproporcionamosunaseriederesultadosdetrigonometrahiperbolicanecesariosenelcaptulosiguienteConsideremos la forma bilineal h(X, Y ) = x1y1 +x2y2x3y3, X, Y R3,dondexi, yisonlascoordenadasdeX, Y ,respectivamente.Lastransforma-1.2. GeometraHiperbolicaBidimensional 15cioneslinealesL, M GL(3, R)dadasporL=__cos sin 0sin cos 00 0 1__, M=__cosh 0 sinh 0 1 0sinh 0 cosh __dejanahjo.Seael grupogeneradopor LyMenGL(3, R). Consideramos elhiperboloideH= X R3[h(X, X) = 1, x3> 0.NoesdifcilprobarquesirestringimosaHlapseudometricaasociadaalaformadiferencialh1= dx21 + dx22 dx23, estaesunametrica.Ademasconestametrica = Isom+(H)yHesisometricoa H.Lesunarotacionenel origendeanguloyMesunatraslaciondedistancia . Para triangulos en el plano hiperbolico, denotamos por a, b, c losladosdelostriangulosypor, , loscorrespondientesangulosopuestos.Estasletrastambiendenotanlaslongitudesdelosmismos.Figura4.Triangulohiperbolicoen H.Teorema1.2.7Lasiguienteformulasecumpleparatriangulosgeodesicosenel planohiperbolico.cosh c = sinh a sinh b cos + cosh a cosh b,cos = sin sin cosh c cos cos sinh a/ sin = sinh b/ sin = sinh c/ sin 16 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaDemostracion.Supongamos que el triangulo Ten H es de tal forma que seencuentraenp0, el origen, estaenMc(p0)yestaenL(Ma(p0)),como se muestra en la gura. La isometra LMc primero traslada a Ten ,enviando a p0, y luego rota Tsobre p0un angulo . Entonces, LMcdeja el triangulo en una posicion como la de la gura, solo que ahora, con b, enlugar de c y en lugar de . Claramente, el producto LMaLMbLMclleva a Ta su posicion original. Entonces, este producto es la identidad, y lasiguienterelacionsecumple:MaLMb= LMcL.Sicalculamoslascomponentesdelaidentidadanteriorobtenemosnueveidentidades,cuatrodelascualessonlasdelteorema. 2Denicion1.2.8Sieselangulosubsecuentedellado,entoncesdenimosN:= LSi (, ) es unpar de lados consecutivos conangulo/2, con = 1,entoncesdenimosN:= L/2MSieselladosubsecuentedelangulo,entoncesdenimosN= MTeorema1.2.9Parauntriangulogeneralizadoa, , b, , c, tenemos:NaNNb= (NNcN)1.Lossiguientesteoremassesiguendelteoremaanterior.Teorema1.2.10Para cualquier pentagono geodesico, de angulos rectos, conladosconsecutivosa, b, , c, tenemosque:cosh c = sinh a sinh b,cosh c = coth coth 1.3. ModelosygruposFuchsianos 17Teorema1.2.11Para cualquier hexagono geodesico convexo, de angulosrectos,conladosconsecutivosa, , b, , c, losiguientesecumple:cosh c = sinh a sinh b cosh cosh a cosh bsinh a sinh = sinh b sinh = sinh c sinh coth sinh = cosh cosh b coth a sinh b.Teorema1.2.12Seanx, y, zn umerosrealespositivos. Entoncesexisteun unicohexagonogeodesicodeangulosrectos, conladosa, , b, , c, tal quex = a,y= byz= c.Demostracion. Launicidadsesiguedel teoremaanterior. Laexistenciaviene de las siguiente construccion: Considera las geodesicas perpendiculares, y en H como en la gura. Sea Bla linea que corresponde a los puntosen H a distancia b de que caen en el mismo lado que de . En el modelodel semiplanosuperior, Bes unalinearecta(Euclideana). ConsideraunageodesicatangenteaB.MuevesobreBhastaqueladistanciadeasea b, despues traza la perpendicular com un a y . Esto da la construccion.2Teorema1.2.13Enunhexagonogeodesico, de angulos rectos, conladosconsecutivosa, , b, , c, ,dondecintesectaa,tenemosque:cosh c = sinh a sinh b cosh + cosh a cosh b1.3. ModelosygruposFuchsianosSi unasupercie cubriente universal Rde unasupercie de RiemannReselsemi-planosuperior H,llamamosasugrupodetransformacionesdecubierta un modelo Fuchsiano. Identicando H con D, a veces consideramosunmodeloFuchsianocomounsubgrupodeAut(D).Atraves de dominios fundamentales se puede ver geometricamente lacorrespondenciaentremodelos Fuchsianos ysupercies deRiemann. Paraesto daremos la denicion de lo que es un dominio fundamental de un grupoFuchsiano.Denicion1.3.1UnconjuntoabiertoFdel semiplanosuperiorHes undominiofunda-mentalparasiFsatisfacelassiguientestrescondiciones:18 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaa) (F) F= paracada con ,= id.b) H =

(F).c) LafronterarelativaFdeFen HtienemedidaceroconrespectoalamedidadeLebesgueenelplano.EstascondicionesnosdicenqueunasuperciedeRiemannR= H/sepuedeconsiderarcomoFconpuntosenFidenticadosbajoel grupodetransformacionesdecubierta.Existen diversas maneras de construir regiones fundamentales para mod-elosFuchsianos.UnadeellaseslaconstrucciondelaregionfundamentaldeDirichlet, queconsisteentomarunpuntoz0en Hyjarseenlaregiondelospuntosztalqueladistanciadez0azesmenoraigualquelade(z0)az.Luegointersectartodasestasregionessobrelos id.1.3.1. SubgruposdiscretosdeAut(H)Aut(H)tieneunatopologanatural,latopologacompacto-abierta.EstatopologaesequivalentealatopologadePSL(2, R)bajolaidenticaci onhecha anteriormente, que a suvez es la inducida por la de SL(2, R).EnSL(2, R)unasucesion Ann=1deconAn=_anbncndn_convergeaA =_a bc d_siysolosian, bn, cnydnconvergenaa, b, cyd,respectivamente,cuandontiendea .UnsubgrupodeAut(H)sedicequeesdiscretosiesunsubconjuntodiscreto de Aut(H). Un subgrupo discreto de Aut(H) se llama grupoFuch-siano.UnsubgrupodiscretodeAut(D)tambiensellamagrupoFuchsiano.UngrupoFuchsianoesalomasunconjuntonumerable.Lema1.3.2Para un subgrupo de Aut(H) las siguientes proposiciones sonequivalentes:1. esungrupoFuchsiano.1.3. ModelosygruposFuchsianos 192. No existen sucesiones de elementos mutuamente distintos de que con-verjanenAut(H).Demostracion.Si no es Fuchsiano entonces tiene puntos de acumulaci onloqueimplicaquelasegundaproposicionnosecumpla.Supongamosahoraque una sucesion nn=1 de elementos distintos de convergen a un elemento Aut(H).SiconsideramoslaconvergenciaenSL(2, R),larepresentaci onde matrices nos dice que (n)1n=1converge a en Aut(H). Como (n)1n+1 y (n)1n+1 ,= id para toda n, entonces id no es un punto aisladode,porloquenoesdiscreto. 2Lema1.3.3Sea n=1unasucesionde Aut(H) que converge uniforme-mente en compactos de H a una funcion holomorfa fdenida en H (fpuedeserlafuncionconstante ).Entonces,fesunelementodeAut(H)ofesunafuncionconstantecon R.Teorema1.3.4ParaunsubgrupodeAut(H)lassiguientesproposicionessonequivalentes:1) esungrupoFuchsiano.2) act uapropiaydiscontinuamenteen H.Demostracion.Claramente de la denicion, 2) implica 1). Reciprocamente,supongamosquenoact uapropiaydiscontinuamenteen H.Entoncesten-emosunpuntoz0 Hyunasucesion nn=1deelementosdistintosdetal quen(z0)tiendeaw0 Hcuandontienea . Como nn=1esunafamilianormal,tomandounasubsucesion,siesnecesario,podemossuponerque nn=1converge uniformemente en subconjuntos compactos de H a unafuncionholomorfadenidaen H.Porellemaanterior,tienequeserunelementodeAut(H).Entonces,noesFuchsianoporellema1.3.2.2Teorema1.3.5SeaungrupoFuchsianodeAutHtal quecualquierele-mentode idnotienepuntos jos enH. Si es abelianoentonces escclico.Lema1.3.6Seany dos elementos deungrupoFuchsiano. Si eshiperbolicoy ,= id,unadelassiguientesocurre:20 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaLospuntosjosdeycoinciden.ynotienenpuntosjosencom un.Lema1.3.7(Shimizu) Sea un grupo Fuchsiano que contiene a la traslacion0= z + 1.Entonces,paratodo cuyarepresentacionmatricial esA =_a bc d_a, b, c, d Rad bc = 1secumpleque [c[ 1dadoquec ,=0. Masa un, si 0noesunapotenciade alg unelemento de , entonces, cualesquiera dos puntos enel dominoD= z H [ y 1;01). Podemos ademas suponer que a =,b = c = 0yd = 1/a,enestecasol(L) =_1dyy= log = 2 log() = 2 log adeaquiobtenemos4 cosh2(l(L)/2) = (el(L)/2+ el(L)/2)2= (a + 1/a)2= (a + d)2dedondetenemoslaarmacion. 2Teorema1.3.10SeaunmodeloFuchsianodeunasuperciedeRiemanncerradadegenerog( 2).Entonces unicamenteposeeelementoshiperboli-cosdistintosdelaidentidad.Demostracion. La prueba se da mas adelante ocupando geometra hiperboli-ca. 21.4. HomotopadelazosDenicion1.4.1Sea Suna supercie de Riemann conexa y sean x0, x1 S. Una trayectoriaenSqueuneax0conx1esunaaplicacioncontinua:[0, 1] Stal que(0) = x0 y (1) = x1. Si ademas x0= x1, decimos que es un lazo basadoenx0.22 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaDenicion1.4.2Sean ,dos lazos en S. Decimos que y son homotopicamentelibressiexisteunaaplicacioncontinuaF: [0, 1] [0, 1] StalqueF(t, 0) = (t)F(t, 1) = (t)F(0, s) = F(1, s)Figura6.HomotopalibreProposicion1.4.3Ser homotopicamente libres es unarelacionde equiv-alenciaenel conjuntode todos los lazos enS. Denotaremos con (S) alconjuntode clases de lazos modulolarelacionde equivalenciade ser ho-motopicamentelibres.Recordemosquesi GesungrupoInt(G)denotael grupodetodoslosautomorsmosdeGdelaformag h1 gh,paraunahenG.Lema1.4.4Si es un lazo en Sy es una curva en Stal que (1) = (0),entonces1eshomotopicamentelibrea.Teorema1.4.5Existe una aplicacionbiyectivaentre 1(S)/Int(1(S)) y (S).Demostracion. Sea x HyT 1(S) =Deck(S/S).Tomemosahorauncamino que una x con T( x), denimos el lazo en Spor = . Denotemos1.4. Homotopadelazos 23por[T]alaclasedeTmoduloInt(1(S))ypor[]alaclasedemodulohomotopalibre.Denamoslasiguienteaplicacion : 1(S)/Int(1(S)) [T] []Laaplicacionestabiendenida: [] nodependedelaeleccionde yaqueHessimplementeconexo. Tampocodependede x. Paraverestotomemos y H y ,

en H que unen a x con yy ycon T( y), respectivamente. ComoHessimplementeconexo,porellemaanterior,eshomotopicamentelibrea

;estoes,nuestradenicionnodependedelpunto x.Por otra parte, sea un lazo en S, x 1((0)) y un levantamiento de tal que (0) = x. Entonces, existe un unico Te 1(S) tal que Te ( (0)) = (1).Deigualforma,laaplicacion : 1(S) 1(S)/Int(1(S))[] [Te ]estabiendenida.Sea y 1((0)). Entonces, existe 1(S)tal que( y)= x. Sea otrolevantamientodetalque (0) = y;as,1Te ((0)) = 1Te ( y) =1Te ( x) = 1( (1) = (1), y por unicidad tenemos que Te= 1Te . Estoes, Te y Te, denen la misma clase modulo Int(1(S)). Por ultimo, tenemosque si y son homotopicamente libres, podemos levantar la homotopa conloque[T]quedaja;asi,estabiendenida.Finalmente,esclaroqueysoninversasentresi. 21.4.1. LazosgeodesicosProposicion1.4.6Si Sesunavariedadhiperbolicacompletaycompacta,entonces, cualquier elemento no trivial de 1(S) act ua en H como una isometrahiperbolica.Demostracion. Seaf 1(S)unelementonotrivial. Entoncesf esunaisometra. Comolaaccioneslibre, entoncesfnoesunaisometriaeliptica.Supongamos por otra parte que f es parabolica. Entonces, existe una sucesionxnde Htalquelad(xn, f(xn))tiendea0cuandon .Deaquitenemos24 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolicaque existen lazos no triviales tan peque nos como queramos lo que contradicelacompacidaddeS. 2Lema1.4.7SeaSunasuperciehiperbolica. SeacunacurvacerradaenlaclasedehomotopalibredeunageodesicacerradaenSysean cy levantamientos homotopicos enel cubriente universal D. Entonces, c y tienenlosmismospuntosal innito.Demostracion. El subgrupo cclico de transformaciones de cubierta que dejainvariantea dejatambieninvariantea c. Entonces, existeunaconstanted>0tal quedist(c(t), (t)) dparatodot R, ydeaqui sesiguequetienenlosmismospuntosalinnito. 2.Proposicion1.4.8SeaSunasuperciehiperbolicacompletaycompacta.Entonces,cualquierelementonotrivialde1(S)contieneunlazogeodesico.Demostracion. Seaunlazonotrivial enSyT1([]). Entonces,T esunaisometrahiperbolica. Luego, existeuna unicalineageodesica ,T-invariante. La proyecci on en Sde es un lazo geodesico que representa lamismaclaseque.Paraprobarlaunicidad, seaotrageodesicacerradaenlaclasedeho-motopalibredey. Si levantamoslahomotopaa H, paraobtenerlev-antamientos homotopicos y , entonces, por el lemaanterior, tienenlosmismos puntos al innito y por lo tanto como son geodesicas coinciden comoconjuntodepuntos.2Teorema1.4.9Sea Suna supercie hiperbolica completa y compacta. Sean1, ..., slazossimplesnotrivialesenS, quenoseintersectanporpares, yademas nosonhomotopicamentelibres. Entonces, existenlazos geodesicossimples1, ..., squenoseintersectanporpares, nohomotopicamtelibres,tales que ies homotopicamente libre aipara i = 1, ..., s. Ademas, los lazosestan unicamentedeterminados.Demostracion.La unicidad se deriva claramente de la proposicion anterior, i.e.,la unicaeleccionparanuestrolazogeodesicoieslaqueestaenlamismaclasedehomotopalibrequei.1.5. AplicacionesCuasiconformes 25Veamosqueestaeleccioncumpleconelteorema,estoes:a) Sii ,= j,inoeshomotopicamentelibreaj.b) Sii ,= j,inoseintersectaconj.c) iesunlazosimple.a) Supogamos queies homotopicamentelibreaj. Comolahomotopalibre es una relacion de equivalencia, esto dira que ies homotopicamentelibreaj,loqueesunacontradiccion.b) Observemosquepodemoslevantarlahomotopaentreiyi, entoncesporel ultimolemaprobado iy itienenlosmismospuntosal innito.Deigualformapasapara jy j.Supongamosqueiyjseintersectanentoncespodemossuponerquesuslevantamientosseintersectanycomono tienen los mismos puntos, estos estan alternados en D y por el teoremade la curva de Jordan los levantamientos de i y jse intersectan lo cualesunacontradiccion.c) La prueba de que es simple ocupa las mismas ideas, basicamente es levan-tar la curva y observar que si ise autointersecta entonces podemos hacerdoslevantamientosquetienendistintospuntosal innitoyentonceslomismopodemoshacerconiloquenosdicequeseautointersecta. 21.5. AplicacionesCuasiconformesLa dencion analtica de una aplicacion cuasiconforme depende de la no-ciondeabsolutamentecontinuaenlineas,queabreviamosACL.Lafuncionf(z) = u(x, y) +iv(x, y)esACLsiparacualquierrectanguloenconladosparalelosalosejesxyy,ambosu(x, y)yv(x, y)sonabsolutamentecontin-uos en casi cualquier linea horizontal y vertical enR. Entonces las funcionesuyvtendranderivadasparcialesux, uy, vx, vycasientodosladosde.Lasderivadasparcialescomplejassonpordencion,fz= 1/2(fxify) y f z= 1/2(fx + ify).Denicion1.5.1Seafunhomeomorsmodeundominio Taundominio T

.EntoncesfesK-cuasiconformeoK-qcsi26 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolica1. fesACLen;y2. [f z[ k[fz[casientodoslados,dondek = (K 1)/(K + 1) < 1Llamamosal nmodelosK(1)tal quefesK-qclamaximadilataciondefyladenotamosporKfoK(f).Teorema1.5.2.1. El inversodeunaaplicacionK-qcestambienK-qc.2. K-cuasiconformidadeseconformementeinvariante.Estoes,paracua-lesquieraaplicacionesconformeshygdedominiosDyD

,respectiva-mente,yparacualquieraplicacionK-qcfdeDsobreD

,lacomposi-ciong f h1estambienK-qc.3. ParacualquieraplicacionK1-qcf deundominioDyparacualquieraplicacionK2-qcgdef(D),lacomposiciong fesK1K2-qc.Proposicion1.5.3SifescuasiconformeenundominioD,entoncesfz ,=0casientodosladosdeD.Delaproposicionanterior,paracualquieraplicacioncuasiconformefdeundominioD,podemosconsiderarlacantidadf=f zfzcasientodosladosdeD.EstafesunafuncionmedibledeD,ysatisfaceess. supzD[f(z)[ Kf 1Kf+ 1< 1LlamamosafladilatacioncomplejadefenD.Proposicion1.5.4Paracualesquieraaplicacionescuasiconformesfygdeun dominio D, la dilatacion compleja gf1de la composicion gf1esta da-daporgf1 f=fzfzg f1 fg, casientodosladosdeD.1.5. AplicacionesCuasiconformes 27DenotamosporL(D)el espaciodeBanachcomplejodetodaslasfun-cionesmediblesenundominioD.Aqui,lanormaestadadapor||= ess. supzD[f(z)[, L(D).Sea B(D)1la bola unitaria L(D)[ ||< 1 de L, y llamemosacadaelementodeB(D)1uncoecientedeBeltrami enD. Primeronote-mosqueunaaplicacioncuasiconformecondilatacioncomplejaprescritaesesencialmente unica,dehechotenemoselsiguienteteoremaylassiguientesproposiciones.Teorema1.5.5SeaunelementoarbitrariodeB(D)1. Suponqueexisteunaaplicacioncuasiconformef condilatacioncomplejaf=. Entoncespara cada aplicacion conforme h en f(D), la composicion hftiene la mismadilatacioncompleja.Recprocamenteparacadaaplicacioncuasiconformecong= ,lacom-posiciong f1esunaaplicacionconformedef(D).Proposicion1.5.6Para cualquier coeciente de Beltrami B(C)1, existeunhomeomorsmofdeCsobreCqueesunaaplicacioncuasiconformedeCcondilatacioncompleja.Masa un, f esta unicamentedeterminadoporlassiguientescondicionesdenormalizacion:f(0) = 0, f(1) = 1, f() = .Llamamos aestaf, laaplicacioncanonica-qc deC, olaaplicacioncuasiconformecanonicadeCcondilatacioncompleja,ylodenotamosporf.Proposicion1.5.7Sea un elemento arbitrario de B(H)1. Entonces existeunaaplicacioncuasiconformewde Hsobre Hcondilatacioncompleja.Masa un, w(lacual puedeserextendidaaunhomeomorsmode Hensi mismo) esta unicamente determinadopor las siguientes condiciones denormalizacion:w(0) = 0, w(1) = 1, w() = .Llamamos aestaw, laaplicacioncanonica-qcdeH, olaaplicacioncuasiconforme canonica de Hcondilatacion compleja, ylo denotamos porw.28 1. SuperciesdeRiemannyGeometraHiperbolica2El espacio de Teichm ullerExisten varias deniciones del espacio de Teichm uller de genero g 2 quesonequivalentes. Enestecaptulointroduciremosalgunasdeellas, veremoslabiyecci onentreellas, ademasdaremosdossistemasdecoordenadasparaeste espacio, el primero esta modelado con grupos Fuchsianos, que nos permi-tiraverlocomounsubconjuntodeR6g6,elsegundosistemaestamodeladoa traves de la estructura hiperbolica de una supercie de Riemann de generog 2, as comoenlaexistenciadeladescomposicionenpantalonesdelamisma. Estonospermitiradarunabiyecci ondel espaciodeTeichm ullerTgconelconjunto(R+)3g3R3g3.EnlaprimerasecciondamosdosdenicionesdelespaciodeTeichm uller,laprimeraconsuperciesmarcadasylasegundacondifeomorsmos,luegoexihibimosunabiyeccionentreellas.EnlasiguientesecciondenimoselespaciodeFrickeyprobamosqueseidentica con el espacio de Teichm uller. Para esto ocupamos fuertemente losresultados del captulo anterior en la seccion de modelos y grupos fuchsianos.Mas adelante desarrollamos las coordenadas de Fenchel-Nielsen y probamosque se identica con el espacio de Fricke. Esta seccion se basa en los resulta-dos de la geometra de polgonos hiperbolicos as como de la homotopa libreensupercieshiperbolicas.Por ultimointroducimosdosnocionesnuevasdeespaciodeTeichm ullerutilizandoaplicacionescuasiconformes, mostramosademassuidenticacionconlas primeras dos yademas vemos larelacionque tiene el espaciodeTeichm ullerconlasdiferencialescuadraticasholomorfas.30 2. ElespaciodeTeichm uller2.1. SuperciesdeRiemannmarcadasEntodoestecaptulosuponemos queRes unasuperciedeRiemanncerradadegenerog 2. Ademasdeestosiemprepensamosquetenemosuna aplicacion cubriente universal : H R y recordamos que R es isomor-foa H/donde, el grupodetransformacionesdecubiertadel cubriente(H, , R),esungrupofuchsianoqueasuvezseidenticacon1(R, p).Unsistemacanonicodegeneradoresp= [Aj], [Bj]gj=1del grupofun-damental 1(R, p)deunasuperciedeRiemannRsellamaunamarcaenR. Dos marcas py p son equivalentes si existe una curva Coen Rtal quepara1 j g,[A

j] = [C1o AjCo]y[B

j] = [C1o BjCo].SeanpyqmarcasensuperciesdeRiemannRySdegenerog 2,respectivamente. Dospares(R, p)y(S, q)sedicenequivalentessi existeuna aplicacion biholomorfa h : S R tal que la marca h(q) es equivalenteap. Laclasedeequivalenciade(R, p)sedenotapor[R, p], ysellamasuperciedeRiemannmarcadadegenerog.Denicion2.1.1El espacio de Teichm uller de genero g es el conjunto de todas superciesdeRiemannmarcadasdegenerogylodenotamosporTg.Fijamos una supercie de Riemann cerrada R de genero g. Consideremosun par (S, f) arbitrario que consiste de una supercie de Riemann cerrada Syundifeomorsmof:R Squepreservaorientacion.Dospares(S, f)y(S

, g) se dicen equivalentes si gf1: S S

es homotopico a una aplicacionbiholomorfah : S S

.Sea[S, f]laclasedeequivalenciade(S, f).Denicion2.1.2El espaciodeTeichm uller deResel conjuntodetodaslasclasesdeequivalencia[S, f]ylodenotamosporT(R).2.2. ElespaciodeFricke 31ElespaciodeTeichm ullerdegenerogseidenticaconelespaciodeTe-ichm uller deunasuperciedeRiemanncerradaRdegenerog. Paraveresto, jamos una marca en R con punto base p0. Para cada punto [S, f] enT(R),unamarcaf()enSdeterminaunpunto[S, f()]enTg.[S, f()]nodependedel representantede[S, f] enT(R), estosevedel lema2.4.2.Entonces,denimoslaaplicacion: T(R) Tgcomo([S, f]) = [S, f()]paratodo[S, f] T(R).Teorema2.1.3Laaplicacion: T(R) Tgesbiyectiva.Demostracion. Supongamos primero que los pares (S, f) y (S

, g) son taltesque[S, f()] = [S

, g()].Estosignicaqueexisteunbiholomorsmoh : S S

talqueh(f())esequivalenteag().Asquelacurvadiferenciablequeuneah(f(p))cong(p).Estacurvainduceelisomorsmo: 1(S

, h(f(s0))) 1(S

, g(s0)),demodoque h f() =g(). El teoremadeNielsen, implicaqueexisteunhomeomorsmof0homotopocialaidentidadtalquef0 h feshomotopicoag,yporlotanto[S, g] = [S, f0 h f].Ademas,f0 h f f1eshomotopicoah,entonces,[S1] = [S2, f0 h f].Porlotantoesinyectiva.Consideremosunelemento[S,

] Tg,porelteoremadeNielsenexisteunhomeomorsmof : R Stal que [S, f()] =[S,

]. Entonces, esposibleprobarqueexisteundifeomorsmof0queseahomotopicoaf.22.2. ElespaciodeFrickeEnestasecciondeniremosunsistemadecoordenadas,llamadaslasco-ordenadasdeFrickeenel espaciodeTeichm ullerTgdegenerog 2. ParaestousaremosunsistemacanonicodegeneradoresdemodelosFuchsianos.32 2. ElespaciodeTeichm ullerComolodenimosantes,elespaciodeTeichm ullerTgdegenerog(2)consistedetodas las supercies marcadas [R, ] degenerog, donde=[Aj], [Bj]gj=1es un sistema canonico de generadores del grupo fundamental1(R, p0). Si 1 j gdenotamos por j, ja los elementos de correspon-dientesa[Aj],[Bj]en1(R, p),respectivamente.UnmodeloFuchsianode Rtiene laambig uedadcausadapor losautomorsmos internos de Aut(H); i.e., para cada Aut(H), el grupo

=1es un grupo Fuchsiano deRtambien. Se pueden dar condiciones paraasignarun unicomodeloFuchsianoacadamarcaenR.Estascondicionessonllamadascondicionesdenormalizacion:1. gtiene sus puntos jos repulsor y atractor en 0 y , respectivamente.2. gtienesupuntojoatractoren1.Proposicion2.2.1DadaunamarcaenunasuperciedeRiemannRdegenerog 2,unsistemacanonicodegeneradores j, jgj=1deunmodeloFuchsiano de R que satisface las condiciones de normalizacion con respectoaestadeterminadoporel punto[R, ]enTg.Demostracion. Supongamos queR

y

sontales que[R, ] =[R

,

]enTg. Entonces, existe unbiholomorsmof : R R

tal que f() esequivalente a

. Un levantamiento fde fa H, que es un elemento de Aut(H),satisface

j= f j f1y

j= f j f1,De la condicion 1) tenemos que f(z) = zpara alg un > 0. Finalmente, porlacondicion2)gy

gtienensupuntojoencom unen1,entonces = 1,loqueimplicaque f= id.2Lema2.2.2Sea j, jgj=1el sistemacanonicodegeneradoresdel modeloFuchsianonormalizadoparaunpunto[R, ]enTg.Siunelemento(z) =(az + b)/(cz + d)de j, jgj=1nocoincidecong,entoncesbc ,= 0.Demostracion.Enelcasob = c = 0,tenemosquelospuntos jos desonel0e ;entonces,ygconmutanloqueesunacontradiccion.Sib = 0yc ,= 0,tenemos que 0es unpunto jo de, como tambien lo es deg.Pero,2.2. ElespaciodeFricke 33porel lema1.3.6, noesFuchsiano. Porel mismoargumento, deb ,=0yc = 0obtenemosunacontradiccion. 2De acuerdo con este lema, el sistema canonico de generadores del modeloFuchsianonormalizadoparaunpunto[R, ] enTgseescribedemanera unicadelaformaj=ajz + bjcjz + dj, aj, bj, cj, dj R, cj> 0, ajdj bjcj= 1,j=a

jz + b

jc

jz + d

j, a

j, b

j, c

j, d

j R, c

j> 0, a

jd

j b

jc

j= 1paracadaj= 1, ..., g 1.PodemosdenirlacoordenadasdeFrickedelasiguientemaneraTg: Tg R6g6[R, ] (a1, c1, d1, a

1, c

1, d

1, ..., ag1, cg1, dg1, a

g1, c

g1, d

g1).Caberecalcar queenestadenicionnoaparecenbj ni bj

. LaimagenFg= Tg(Tg)sellamael espaciodeFrickedeunasuperciedeRiemanndegenerog.Sutopologaesladesubespaciode R6g6.Teorema2.2.3Lafuncion Tg: Tg R6g6esinyectiva.Demostracion. Loquequeremosprobaresquecadapunto Tg([R, ])=(a1, c1, d1, ..., a

g1, c

g1, d

g1) enFgdeterminade manera unicael sistemacanonicodegeneradoresdelmodeloFuchsianonormalizadoparaelpunto[R, ] enTg. Paraj ,=g, bjseobtienedelarelacionajdj bjcj=1concj>0, deestemodojestadeterminadodemanera unica. Analogamentejestadeterminadodemanera unica.Ahoraveamosquegygestandeterminadosdemanera unica. Delascondiciones de normalizacion para , g= zcon > 1 y gtiene un puntojoenz= 1,loqueimplicaqueag + bg= cg + dg.Ademas, de la relacion del grupo fundamental gj=1[j, j] = id, haciendo= g1j=1[j, j] tenemos que g= gg1g. Sea (z) = (az+b)/(cz+d),conad bc = 1.Delasentradasdelaecuacionanteriortenemosque:(a 1)ag + bcg= 0,34 2. ElespaciodeTeichm uller(a )bg + bdg= 0,cag + (d 1)cg= 0,cbg + (d 1)dg= 0.De estas ecuaciones, si multiplicamos por b la tercera, ocupamos el hechodequead bc = 1ysustituimoselvalorde(a 1)agenesta,tenemosque(1ad)ag+(d1)(a1)ag= 0, como ag ,= 1, obtenemos a1 = (1d).Comoeshiperbolicaa ,=1,d ,=1,loqueimplicaque=(a 1)/(1 d).Estodeterminagdemanera unica.Comoa ,= 1yd ,= 1,delasdosprimerasecuacionestenemosag=bcg1 a, dg=cbg1 dSustituyendoestasecuacionesenlaecuacionag+ bg=cg+ dgtenemosque(a + b 1)(1 a)cg=c + d 11 dbg.Enestecaso, si c + d=1, a + b =1, ydelarelacionad bc =1,tenemosquea + d=2,loqueesdenuevounacontradiccion.Porlotanto,gestadeterminadademanera unica. 22.3. CoordenadasdeFenchel-NielsenSepuededescomponerunasuperciehiperbolicaenpantalones(esferascon 3 discos removidos). La construccion de esta descomposicion consiste entomar un conjunto maximal de curvas cerradas simples no homotopicamentelibres entre si. De esta eleccion, por los resultados del primer captulo, se tienequepodemossustituircadacurvaporunageodesicacerradaysimpleensumismaclasedehomotopa,loquenosdaunadescomposicionenpantalonescongeodesicascomofronteras.La idea de la parametrizacion del espacio de Teichm uller con coordenadasde Fenchel-Nielsen es que la estructura hiperbolica de cada pantal on esta de-terminada por la longitud de sus 3 fronteras geodesicas. Despues de observaresto se tiene que toda supercie hiperbolica completa compacta se obtiene de2.3. CoordenadasdeFenchel-Nielsen 35pegar estos pantalones de alguna forma; es aqu donde vienen otros paramet-ros, los parametros de giro a la hora de pegar. Veremos que estos parametrosdeterminanacadapuntodel espaciodeTeichm uller, loquenosdaraunabiyeccionconelconjunto(R+)3g3R3g3.Empezaremosestudiandolaestructurahiperbolicadeunpantal onopardepantalonesPquepordenicionseraunespaciotopologicohomeomorfoaS2(D1 D2 D3),dondeS2eslaesferayDiesundisco.Lema2.3.1SeaPunpardepantalonesconfronterasL1,L2yL3,entoncesexistenunicasgeodesicasCijdetal formaqueCijesortogonal aLiyLj.Mas a un si i, j ,= i

, j

entonces Cij

Ci

j en particular los Cijs dividenacadaLkendosarcosnotriviales.Figura7.ConstrucciondelageodesicaortogonalaLiyLj.Demostracion.SeaijunacurvasimplequeuneaLiconLj.SitomamosP

unacopiadePylaidenticamos por las respectivas fronteras (LiconL

i) entoncesobtenemos una supercie Q de genero 2, la union de ijcon

ijes una curvacerradaenQypodemosconsiderarCijla unicageodesicasimpleenlaclasede homotopa de ij

ij. Si Cijes la restriccion deCija P, entonces Cijunea la frontera Licon Lj; mas a un, la estructura hiperbolica deQ es simetricaconrespectoalasfronteras, i.e., si intercambiamosPconP

laestructurahiperbolica es la misma. ComoCij es unica, debe de ser simetrica con respectoalasLks,loqueimplicaqueCijesortogonalaLiyLj.Si i, j ,= i

, j

,entoncesyi

j

i

j nosonhomotopicasij

ij. Porel teorema1.4.9,Cij Ci

j = .Ademas,lospuntosnalesdelosCijssondistintosencadaLk.236 2. ElespaciodeTeichm ullerDeestaformasepuededescomponeraPendoshexagonosH1yH2deangulosperpendiculares, enlosque3desusladostienenmedidasC12, C13yC23. Entoncescomoestoshexagonostienen3ladosiguales, loscualesnosonconsecutivos, del teorema1.2.12sabemos quesonisometricos (unoesreejadodelotro)porloquelaslongitudesdelosladosrestantessonL1/2,L2/2yL3/2. AdemassabemosqueC12, C13yC23estandeterminadosporL1,L2yL3.Figura8.Descomposiciondepantal onenhexagonosdeangulosrectos.Dedondesesigueelsiguienteteorema:Teorema2.3.2SeaPunpardepantalonesconfronterasgeodesicasL1,L2yL3. Dadosa1, a2, a3 R, existeuna unicaestructurahiperbolicaenPtalquel(L1) = a1,l(L2) = a2yl(L3) = a3.Dada una supercie de Riemann R. Si la cortamos alrededor de geodesicassimplesajenasentresihastaqueyanopodamoshacerlo,cadacomponenteconexa sera un par de pantalones ( la gura muestra una manera de hacerlo),al conjuntodelasgeodesicasutilizadasaqui lollamamossistemadecurvasmaximal y lo denotamos por L. Como ya hemos visto, la estructura hiperboli-caencadapardepantaloneses unica. EstaclaroqueRsereconstruyealpegarestospantalonesdeunamaneraconveniente.Podemos considerar unsistemadecoordenadas parael espaciodeTe-ichm uller Tg, el par que consiste en el conjunto de todas las longitudes de lasgeodesicas que utilizamos en la descomposicion y el conjunto de los llamadosparametrosdegirousadosparapegarlospantalones. EstesistemageneralasllamadascoordenadasdeFenchel-Nielsen.Daremosunadeniciondees-tas coordenadas y probaremos que dan un sistema global de coordenadas enTg. Lasiguienteproposicionesunaconsecuenciadirectadelatopologadesupercies.2.3. CoordenadasdeFenchel-Nielsen 37Figura9.Distintasdescomposicionesenpantalonesdesuperciedegenero2.Proposicion2.3.3Sea L= LjNj=1unsistemadecurvasmaximal, yseaT= PkMk=1 la descomposicion en pantalones correspondiente a L. Entonces,M= 2g 2yN= 3g 3.Demostracion. Cada pantalon tiene 3 fronteras y cada frontera se identicaconotra,porloque3M= 2N.Entoncessolohayquedemostrarlaproposi-cion para el n umero de pantalones. Procederemos por induccion, para el casog= 2, se necesitan 2 = 2g 2 pantalones (la gura anterior muestra la formadehacerlo).Figura10.Construccionconpantalonesdeunasupercie.AhoraseaR, unasuperciedegenerog 1descompuestaen2(g 1) 2pantalones, considera R

la supercie que corresponde a cortar R a lo largo dela frontera de un pantal on. Sea S una supercie de genero 2, cortada alrededorde la frontera de uno de los pantalones de su descomposicion. Si conectammoslas dos fronteras de R

conlas de Sobtenemos unasupercie de generog, enlaque el n umerode elementos de ladescomposicionenpantalonesaumentoen2. Dedondeel n umerodeelementos deladescomposiciones(2(g 1) 2) + 2 = 2g 2.2Sea[R, ] Tgysea L= LjNj=1unsistemadecurvas maximal enR. Paratodatenel espaciodeFrickeFg, denotamospor[Rt, t] el punto38 2. ElespaciodeTeichm ullerenTgcorrespondienteat.Podemosdeterminardemanera unicaunsistemaLt= Lj(t)Nj=1decurvasmaximales.Estolohacemostomandounhomeo-morsmo f: R Rtque preserve las marcas. Luego, para cada Ljen L, seaLj(t)la unicageodesicaenlaclasedehomotopadelacurvaf(Lj)enRt.Elsistema Lj(t)Nj=1esunsistemadecurvasmaximales.Denimoslj(t)lafuncion de longitud de la curva cerrada Lj(t) entonces de la proposicion 1.3.9querelacionalalongituddelageodesicaconlatrazadelamatrizasociadaalelementodequelacubre,tenemosqueLema2.3.4Lafunciondelongituddeunageodesicaesanalticareal.SeaLj L.SeanP1yP2en TtalesqueLjesfronteradeambas.Comotodo pantal on es la union de dos hexagonos isometricos (reejados),P1y P2admiten reexiones J1 y J2 (que mandan un hexagono al otro)). Tomamos unpunto jo de Jk en L para cada Pk y lo denotamos ck. Fijamos una orientacionenL.Sea[Rt, t] unpuntoenTgcorrespondienteat Fg. Paratodat, seaP1(t), P2(t) las componentes conexas deRtLtcorrespondientes a P1y P2,respectivamente. Recordemosqueckesel puntonal enLjdelageodesicaDkque une a Ljcon otra frontera, digamos, Lken Pk. Denotemos por Lk(t)alacomponentedelafronteracorrespondientedePk(t)aLk, delamismamaneraseextiendenlasdenicionesdeDk(t)yck(t)i.e. ck(t)esunpuntojodelareexiondeDk(t).Sea T(t) el arco orientado en Lj(t) de c1(t) a c2(t). Como Lj(t) tiene unaorientaciondadaporladeLjpodemosdenirlalongitudhiperbolicaconsigno(t)deT(t).Seaj(t) = 2(t)lj(t)2.3. CoordenadasdeFenchel-Nielsen 39Figura11Entonces j(t) esta bien denida modulo 2. Llamamos a j(t) el parametrodegiroconrespectoaLj.Lema2.3.5Paracadaj, exp(ij(t))estabiendenidayesanalticarealenFg.Demostracion. Fijaj, paracualquier t enFgseatel grupofuchsianorepresentadoport. TomaunelementodetquecubraaLj(t), ydenotalopor(t). Ahoraparacadakseak(t)el elementodetquecubreal Lk(t)ysatisfacequelageodesica Dk(t), conectandoA(t) yAk(t) condistanciamnima, seproyectasobreDk(t), dondeA(t)yAk(t)sonlosejesde(t)yk(t)respectivamente.Supongamos quelos puntos jos de(t),1(t) y2(t) varananaltica-mente real en Fg. Entonces, tomando conjugacion con un elemento de Aut(H)de tal forma que (t) va a (t)(z) = (t)z((t) 1) los puntos jos de k(t)correspondientesak(t)varananalticamente(real)enFgparatodak.Luegock(t)eslaproyecciondel puntodeinterseccion ck(t)de Dk(t)aA(t). Entonces, si probamos que ck(t) varaanalticamente real enFg, laarmacionsesiguedeladenicionde(t)yellemaanterior.Para probar esto, ja ky sean p1y p2los puntos jos de k. Sean ck(t) =40 2. ElespaciodeTeichm ulleriyk(yk 0).Comoy2k +_p1p22_2=_p1 + p22_2vemosquelavariacionelanalticareal.2Figura12Hastaahorahemos denidounaaplicacionanaltica(real) : Fg(R+)3g3(S1)3g3;(t) = (l1(t), . . . , l3g3(t), exp(i1(t)), . . . , exp(i3g3(t)))Lema2.3.6Fijaunaramacontinuaunivaluadadelparametrodegiroj(t)enFgparatodaj.Entonces(t) = (l1(t), . . . , l3g3(t), 1(t), . . . , 3g3(t))esanalticaenFg.Masa un:Teorema2.3.7 esunhomeomorsmodeFgsobre(R+)3g3R3g3.Enparticular da un sistema de coordenadas en Fg, y por lo tanto en Tg. (EstassonlasllamadascoordenadasdeFenchel-Nielsen)2.3. CoordenadasdeFenchel-Nielsen 41Demostracion.Primero veamos que es inyectiva. Supon que (t1) = (t2) para algunost1yt2enFg,SeaRtilasupercierepresentadaportiy Ti= Pk(i)2g2k=1ladescomposicionenpantalonesdeRticorrespondienteaP, paracadai(i=1, 2). Porel teorema2.3.2existeunaaplicacionconfomegk, dePk(1)aPk(2)querespetalacorrespondenciadelafronterasparacadak.Masa unds1= (gk)(ds2)dondedsies lametricahiperbolicaenRti. Enparticular, cadagkes unaisometrahiperbolicadelacerraduradePk(1)sobrelacerraduradePk(2).Comoj(t1) = j(t2).Lasgkssepuedenpegarenunhomeomorsmohquepreservamarcas. ComohesholomorfaenRtexceptoporunn umeronitode curvas analticas, h es holomorfa en todo Rtipor el teorema de Painleve.Entonces h es bilolomorfa lo que dice que t1= t2. Por lo tanto es inyectiva.Ahora probaremos la suprayectividad. Sea (a1, . . . , a3g3, 1, . . . , 3g3) (R+)3g3 R3g3, seaRunasuperciedeRiemanncondescomposicionenpantalones T= Pk2g2k=1paracadaPk Tsea(Lk,1, Lk,2, Lk,3) Llasfronteras de Pk. Entonces existe un unicopantal onP

ktal que las longi-tudes de los L

ks de P

ksoniguales a ak,j3j=1. Sea P

=P

k2g2j=1, en-tonceslaideaespegarlosP

kscomoestabanpegadoslosPksdetalformaquesi R

consurespectivamarcacorrespondeat

Fgentonces(t) =(a1, . . . , a3g3, 1, . . . , 3g3).Para esto ja Ljen L y sean P1 y P2 los elementos de Tque se identicanenLj,seanP

1yP

2loselementoscorrespondientesaP1yP2en T

.Yseanc

1yc

2los correspondientes puntos comoenladenicionde j.Entonces,paracadajpegamosP

1yP

2detalformaqueladistanciajdec

1ac

2seajaj/2 (modaj).Delacontrucci onanterioresclaroquelj(t

)=ajyj(t

)=2j/aj(=j) (mod2). HaciendoTj: R

R

el girodeDehnconrespectoaL

j(lacurvaenR

correspondienteaLj). podemosencontrarn1, . . . , n3g3talque [R

, (Tn11 ) Tn3g33g3h)()] corresponde a un punto digamos t

, quesatisface (t

) = (a1, . . . , a3g3, 1, . . . , 3g3).42 2. ElespaciodeTeichm ullerFigura13.GirodeDehn.Un giro de Dehn Tjcon respecto a L

jes, por denicion un homeomorsmode R

sobre R

que corresponde a la siguiente ciruga: corta R

en L

jy vuelveapegar despues deunarotacionde2. NotaqueaplicandoTj, podemoshacer que el valor de jaumente en 2 mientras que cualquier otro

j(j

,= j)semantienejo.Entoncesporellema2.3.4 escontinua.PorotraparteelteoremadeTeichm uller(Teorema2.4.19)establecequeFgeshomeomorfoaR6g6,entonceselteoremadeBrowersobreinvarianzadedominiosimplicaque esunhomeomorsmo.Hemosprobadoque esbiyectivayademasescontinua. Porotroladoel teorema??armaqueFgeshomeomorfoa R6g6. Entoncesel siguienteteoremaimplicaque esdehechounhomeomorsmo.2Teorema2.3.8TeoremadeinvariazadedominiosdeBrowerSean un entero mayor que 1. Sea : RnRnuna funcion continua e inyectiva.EntoncesD = (Rn)esundominio,yesunhomeomorsmode RnsobreD.Observacion2.3.9MasadelanteestudiaremoselgrupomodulardeTeichm uller,esimportanteremarcar que este grupo es generado, precisamente, por giros de Dehn en unconjuntonitodecurvas, estehechofueprobadodemaneraindependienteprimeropor Dehnydespues por Nielsen. Entonces, es posibleestudiar laacciondelgrupomodularatravesdelascoordenadasdeFenchel-Nielsen.2.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 432.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm ullerEn esta seccion daremos otras formas de denir el espacio de Teichm ullerdeunasuperciedeRiemanngenerog 2.SeaRunasuperciedeRiemannjadegenerog 2. Paratodaapli-cacioncuasiconformef: R Sconsideramoslapareja(S, f).Decimosque(S1, f1) y (S2, f2) son equivalentes si f2f11es homotopica a una aplicacionconformedeS1sobreS2.Denotamospor[S, f]laclasede(S, f).Denicion2.4.1El conjuntodeclasesdeequivalencia[S, f], esel espaciodeTeichm ullerdeRylodenotamosporT(R).SiideslaaplicacionidentidadenR,llamamosa[R, id]elpuntobasedeT(R).Sea Rlasuperciecubrienteuniversal deR. Paracualquierhomeomor-smof: R S, existeunhomeomorsmo f, queesunlevantamientodef, de Ralasuperciecubrienteuniversal SdeS. Decimosquef esunaaplicacioncuasiconformeoK qcsiellevantamiento fescuasiconformeoKqc. Por la invarianza conforme de aplicaciones cuasiconformes (Teorema1.5.2),estadenicionnodependedellevantamiento f.Consideramos ahora un modelo Fuchsiano de R. Podemos suponer quenoesconmutativo. El casoconmutativocorrespondeaungrupocclicocomoseveenel teorema1.3.5, enestecasolasuperciecociente H/noescompactaynonosinteresa. Masa unqueel conjuntodepuntosjosdeelementos de if contieneal menos 3elementos, ademas contiene3elementosquenoconmutanentresi.Consideramosel levantamiento f : H Hdeunaaplicacioncuasicon-formef : R Squeja0,1e (f esta unicamentedeterminada, yeslarestricciondeunaaplicacioncuasiconformedeCa H). Llamamosafellevantamientocanonicodefconrespectode.Apartirdeestelevantamientof,podemosdenirunhomomorsmo(in-yectivo)f: PSL(2, R),dadoporf() =f f1, .44 2. ElespaciodeTeichm ullerLa imagen de bajo fla denotamos por 1:=f f1. Entonces, f:1esunisomorsmoyS= H/1.Lema2.4.2Sean[S1, f1], [S2, f2] T(R). Entonces [S1, f2] =[S2, f2] enT(R)siysolosif1= f2,dondefjesellevantamientocanonicodefjparacadaj=1,2.Demostracion. Supongamosque[S1, f1]=[S2, f2].Componiendoconunaaplicacion conforme, podemos suponer que S1= S2, y que f1 es homotopico af2. Una homotopa entre f1y f2se escribe como una familia a un parametroft1t2deaplicacionesdeRaS1.Seaf1ellevantamientocanonicodef1con respecto de . Entonces, la homotopa ft tiene un unico levantamientoFt, bajolacondicionqueF1=f1, y Ftdaunahomotopaentref1yunlevantamientoF2de f2. Sea y z H. Entonces, Ft(z)[1 t 2 yf1 f11( Ft(z))[1 t 2 tienen los mismos puntos inicialesf1 (z), yla misma proyecci on ft [ 1 t 2 en S1. Entonces, ambas curvas de hechocoinciden. En particular, el punto nalF2(z) coincide conf1 f11( F2(z)).Comozesarbitrario,concluimosqueF2 F12= f1().Comoademas es tambienarbitrario, ycomo0, 1, e es unpuntojodealgunodeloselementosde id, observamosqueF2ja0,1, e. Dehecho, supongamosque0esunpuntojoatractordeunelementohiperbolico0. Entonces,F2 0 F12=f1(0)estambienhiperbolico, ytienea0comopuntojoatractor.DeaquiconcluimosqueF2(0) = 0.AcabamosdedemostrarqueF2coincideconel levantamientocanonicof2def2conrespectoa,yporlotantof1= f2.Reciprocamente, supongamos quef1=f2=. Entonces, paracada obtenemos:fj = () fj, j= 1, 2.Paracadatenel intervalo[0, 1] ycadaz H, seagzlageodesicaqueconectaf1(z) yf2(z). Denotemos por f(z, t) el punto que divide gzen razont : (1 t).Entonces, ft(z) =f(z, t 1)[1 t 2esunahomotopaentref1yf2.Deloanteriortenemosqueft = () ft, , t [1, 2].2.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 45Porlotanto, cadaftseproyectaaunaaplicacioncontinuaftdeRsobreS1= S2,ytenemosahoraunahomotopaentref1yf2.Figura12.Homotopiaentref1yf2.2Apartirdeestelema,denimosT#() =_f: PSL(2, R)[fesunaaplicacioncuasiconformedeCtalquef() =f f1esungrupoFuchsiano_LlamamosaT#()elespacioreducidodeTeichm ullerde.Sepuedeprobar quedos aplicaciones cuasiconformes fjsatisfacenquef1= f2si y solo sif1=f2en L(). Aqu, L() es el conjunto de los puntosde acumulaci on del conjunto (z0)[ . Por otro lado denimos el espaciodeTeichm ullerT()deungrupoFuchsianodelasiguienteforma.SeaQC() el conjuntodeaplicaciones cuasiconformes wenCtal queww1sontambiengrupos Fuchsianos. Decimosquew1,w2 QC() sonequivalentessiw1= w2en R.Denotamospor[w]laclasedeequivalenciadew.EntoncesdenimosT() := [w][w QC().46 2. ElespaciodeTeichm ullerLlamamosaT()elespaciodeTeichm ullerde.ObservemosentoncesquedosaplicacionesequivalentesenT()tambienlosonenT#().Luego,T#()esuntipodeespacioreducidodeT().ElsiguienteteoremanosdicequeT()coincideconT#()cuandoR=H/esunasuperciedeRiemanncerrada.Lema2.4.3Supongamos que Res compacta. Dos aplicaciones cuasicon-formesfj: R Sj(j =1, 2)satisfacenf1=f2si ysolosif1=f2enR.Demostracion.Supongamosquef1=f2en R.Entonces,paratoda ,lastransfor-maciones de Mobius f1() y f2() coinciden en R. Entonces, f1= f2paratoda ,loquenosdicequef1= f2.Reciprocamente, supongamos que f1=f2=. Fijemos un puntoz0 H. Entonces, porel lema1.3.3paratoda Rexisteunasucesionnn=1entalquelmnn(z0) = .Masa un,lasucesion nn=1con-verge localmente uniformemente en H a una funcion constante , esto por elteorema1.3.3.Comofj n(z0) = (n) fj(z0),si hacemosel lmitecuandon , podemosconcluirquef1()=f2().Comoesarbitrario,vemosquef1=f2en R. 2Usandoesteresultadopodemosprobar:Proposicion2.4.4SeaunmodeloFuchsianodeunasuperciedeRie-mannR. Entonces, el espaciodeTeichmullerT(R) deRseidenticaconT#() (como conjuntos). Mas a un, si R es compacta, entonces T(R) tambienseidenticaconT().Demostracion.La aplicacion que : T(R) T#(), dada por ([S, f]) =f, estabiendenidayesinyectivaporel lema2.4.2. Ademasparacadafcomo en la denicion de T#(), tomamos 1= f(). Entoncesfse proyectaa una aplicacion cuasiconforme fde R = H/ sobre S= H/1, y determinaun punto [S, f] T(R), por lo que la aplicacion tambien es suprayectiva. Lasegundapartedelaproposicionsesiguedellemaanterior.22.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 47Si tomamos un punto [S, f] T(R) y nos jamos en la dilatacioncom-pleja del levantamiento canonicofde fcon respecto de , entonces tenemosquef() f=f , .Entonces, para casi cualquier punto z H por la regla de la cadena tenemosque:(f()

f) fz= ( fz )

(f()

f) fz= (fz )

Dedondeobtenemosquef= (f )

/

casientodopuntode H, .Reciprocamente, si estaecuacionsecumpleparacada , entoncespodemos ver que f() pertenece a Aut(H) y por lo tanto f() es un grupoFuchsiano, lo que dice quefse proyecta a una aplicacion cuasiconforme entreRy H/f().Unafuncionacotadaymedibleen Hquesatisfacelaecuacionanteriorse llama una diferencial de Beltrami con respecto de. Denotamos porB(H, ) elconjunto de lasdiferenciales de Beltramien Hconrespecto de.Ademas,denominamosB(H, )1= B(H, ) [|| 1.LlamamosatodoelementodeB(H, )1coecientedeBeltrami conre-spectode.Deigualmanera,llamamosauna(1, 1)-forma = (z)d z/dzenRtalque ||=ess. supzR[(z)[ < unadiferencial deBeltrami enR.DenotamosporB(R)al conjuntodetodaslasdiferencialesdeBeltrami enRydenimosB(R)1deunaformaanaloga.LLamamosacadaelementodeB(R)1uncoecientedeBeltramideR.Observacion2.4.5Pordenicion,B(R)yB(H, )seidenticanconnormas.Ademas, paracadaaplicacioncuasiconformef deRsobreotrasuper-ciedeRiemann, ladilatacioncomplejaf B(H, )1del levantanmientocanonicofde fdetermina naturalmente un elemento de B(R)1. LlamamosaelcoecientedeBeltramidef,ylodenotamosporf.48 2. ElespaciodeTeichm ullerParacualesquierados puntos p1=[S1, f1], p2=[S2, f2] T(R), seanTf1,f2el conjuntodetodaslasaplicacionescuasiconformesgdeS1sobreS2quesonhomotopicosaf2 f11.Denimosd(p1, p2) = infgFf1,f2log K(g),donde, K(g) es la maxima dilatacion de g (i.e., la del levantamiento de g). SepuedeprobarqueddeneunametricaenT(R).LlamamosaestadistancialametricadeTeichm ullerentrep1yp2.Observacion2.4.6Laproposicion1.5.4implicaquelog K(f g1) = ess. sup log__1 +f g1 g f___1 fg1 gf__Teorema2.4.7ElespaciodeTeichm ullerT(R)escompletoconrespectoaladistanciadeTeichm uller.Demostracion. TomemoscualquiersucesiondeCauchy pn= [Sn, fn]n=1enT(R)conrespectoad. Paratodo>0podemosencontrarN

tal queparatodasn, m N

,existeunaaplicacioncuasiconformefn,mhomotopicaa fmf1nque satisface que |n,m|< , donde n,m= fn,m. En particular,podemos encontrar una subsucesion pnjj=1y una sucesion fnj,nj+1j=1deaplicacionescuasiconformestalesque|nj,nj+1|< 2j, j= 1, 2, 3, .Seap0el puntobasedeT(R). Como d(p0, pn)n=1estaacotada, podemosasumirqueK(fn) < KparatodanconKsucientementegrande.ComoK(fnj,nj+1) 1 + 2j1 2j 1 + 42jvemosquegj= fnj1,nj fnj2,nj1 fn1,n2 fn1es una aplicacion cuasiconforme de R sobre Snj, homotopica a fnjy satisfaceK(gj) K j1

j=1(1 + 42j).2.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 49Entonces, K(gj)j=1 es una sucesion acotada. Denotamos por K1 al supremode K(gj).Sea gjel levantamiento canonico de gjcon respecto de . Entonces, j= gj B(H, )1y |j| k1= (1 K1)/(1 + K1)(< 1).Ademas,12|j j+1| ____j j+11 jj+1____= |nj,nj+1| 2jparacadaj. Enparticular, jj=1esunasucesiondeCauchyenB(H, ).Luego, =lmjjexisteenB(H, ), ycumpleque || k1. Seaflaaplicacioncanonica-qcde H.LuegopodemosprobarquefperteneceaQC().Seap = [S, f]elpuntodeterminadoporf.Comotanh_d(pnj, p)2_____ j1 j____11 (k1)2|j |,observamos quepnjconverge ap. Como el lmite de una sucesion de Cauchyes unico,pnconvergetambienalamismap.Estoimplicalacompletitud. 2Sijamosunpunto[R1, f1] T(R)arbitrario.Haciendo[f1]([S, f]) = [S, f f11], [S, f] T(R),podemos denir una aplicacion [f1]: T(R) T(R1) de T(R) sobre el espaciodeTeichm ullerT(R1)conpuntobase[R1, id].Masa un,Proposicion2.4.8La aplicaciondenida [f1]: T(R) T(R1) es unhomeomersmoisometricoconrespectodelasdistanciasdeTeichm uller.Enparticular,T(R1)eshomeomorfoaT(R).Demostracion. Como[f11]: T(R1) T(R)eslaaplicacioninversade[f1], claramente[f1]esunabiyecci on. Paracualesquieradospuntosp=[S, f], q =[S

, g]T(R), lafamilia Tf,gde aplicaciones cuasiconformeshomotopicas a g f1 en la denicion de la distancia de Teichm uller coincideconlafamilua Tff11,gf11,dedondeesclaroque[f1]esunaisometra. 2Llamamosaestaaplicacionunatraslaciondel espaciodeTeichm ullerT(R).LoanteriornosdicequelosT(R)ssonmutuamentehomeomorfosparacualquiersuperciedeRiemannRdel mismogenero(g 2). Estoes, no50 2. ElespaciodeTeichm ullerdependedelpuntobase.DeestaformapodemosdenotaraesteespacioporTg, yllamarloespaciodeTeichm uller degenerog 2. Probaremos aho-raqueT(R) yTgdenidos enestapartecoincidenconaquellos denidosanteriormente.2.4.1. AplicacionesyTeoremasdeTeichm ullerUnafamilia= jde funciones holomorfas jenzj(Uj) se llamadiferencialcuadraticaholomorfaenRsisatisface.k(zk) = [j zjk(zk)](z

jk(zk))2enUj Uk,dondezjk= zj z1k.Denotamospor A2(R)al espaciovectorial complejodetodaslasdifer-encialescuadraticasholomorfasenR.Unafuncionholomorfa(z)en Htalque((z))

(z)2= (z), z H, .es por denicion una forma automorfa holomorfa de peso 4 con respectode. Denotamos por A2(H, ) al espaciovectorial complejodetodas lasformasautomorfasholomorfasdepeso 4conrespectoa.Deestasdenicionesvemosque, A2(R)estacanonicamenteidenticadoconA2(H, ).Una aplicacion cuasiconforme localmente afn es una aplicacion entre su-perciesdeRiemanntalqueparaalgunaconstantek(0 k < 1)f z= kfzparaalgunacoordenadalocalzalrededordecasicualquierpuntoenR.Masprecisamente,estamosinteresadosenaplicacionescuasiconformesfentresuperciesdeRiemanncuyocoecientedeBeltramifsatisfacef= k||conunaenA2(R).Seak 0.SeaA2(R)1= A2(R)[ ||1< 1elespaciovectorialcomplejodonde||1=_ _R[(z)[dxdy.Por ahora, consideramos el caso en el que tenemos una supercie de Rie-manncerrada.Enestecaso,A2(R)esunespaciodeBanachcomplejo.Masa un,atravesdelteoremadeRiemann-Rochsepuedeprobarquesudimen-sioncomoespaciovectorial complejoes3g 3, lapruebadeestosepuedeencontraren[3].ConsideremoslaaplicacionT : A2(R)1 T(R),denidaporT () = [S, f], A2(R)1,dondef : R S=f(R)esunaaplicaciondeTeichm ullerpara ,=0yf= idpara = 0.Enel restode laseccionprobaremos que T : A2(R)1T(R) es unhomeomeorsmo(suprayectivo).EmpezaremospordemostrarqueT(R)yTgdenidosenestasecciondelcaptulocorrespondenalosdenidosenlaprimeraseccion. Usamoslano-tacionT(R)antyTantgparalosdenidosanteriormente. Estoes, T(R)anteseldenidoapartirdedifeomorsmosdeRyTantgeseldenidoatravesdesupercies de Riemann marcadas. Recordemos que T(R)anty Tantgse identif-ican como se establece en el teorema 2.1.3 y que la topologa de Tgesta dadadetalformaque Tg: Tg Fgesunhomeomorsmosuprayectivo.Por otraparte,sijamosunamarca = [Aj], [bj]gj=1enR,tenemoslaaplicacion: T(R) Tantgdadapor([S, f]) = [S, f()], [S, f] T(R),donde f() = f([Aj]), f([Bj])gj=1. Por el lema 2.4.2, la proposicion 2.2.1 yel teorema 2.2.3, esta bien denida y es inyectiva. Recordemos ademas queT(R)antyTantgseidenticaronconlamisma,porloqueessuprayec-tiva.Tenemosentonceselsiguientelema:52 2. ElespaciodeTeichm ullerLema2.4.9Lasaplicaciones: T(R) Tantgy T : T(R) Fgsonbiyectivas,enparticularFg= Tg (T(R)).DenimosT = TgT : A2(R)1 T(R) Fg. Tenemos el siguiente:Lema2.4.10LaaplicacionT : A2(R)1 Fgescontinua.Deigualmanera,tenemoselsiguientelema.Lema2.4.11Laaplicacion Tg : T(R) Fgescontinua.LainyectividaddeT sederivadelsiguienteteoremadeunicidaddeTe-ichm uller.Teorema2.4.12Sea f una aplicacionde Teichm uller para unelemento A2(R)1,ysea T () = [S, f].Entoncescadaaplicacioncuasiconformef1deRenSqueeshomotopcoafsatisface|f1| |f|.Masa un,laigualdadsecumplesiysolosif1= fLas prueba de estos lemas y este teorema se pueden encontrar en el quintocaptulode[6].Corolario2.4.13Lasaplicaciones T yT soninyectivas.Demostracion.Por el lema 2.4.9, es suciente probar la inyectividad de T .Supongamosque T (1)= T (2)paraalgunos1, 2 A2(R)1.SeafjunaaplicaciondeTeichm ullerparajy T (j)=[Sj, fj] parcadaj. Entoncesexiste una aplicacion conforme h de S1sobre S2tal que h f1es homotopicaaf2.Entonceselteoremaanteriornosdiceque|f1|= |hf1| |f2|.Delamismaforma,comoh1 f2eshomotopicaaf1,tenemosque|f2| |f1|.Entoncesconcluimosque |f1|= |f2|,loqueimplicaqueh f1=f2.Enparticularf1= f2.Porlotantosi 1=0, entonces2=0. Si 1 ,=0, entonces |1|1=|2|1,y1/[1[ = 1/[2[casientodosladosdeR.Porloqueconcluimos2.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 53que2/1espositivoencasi todosladosdeR. Como2/1esmeromofa,tiene que ser constante. Esto es, existe una constante positiva c tal que 1=c2.Pero |1|1= |2|1nosdicequec=1,conloque1= 2,quepruebalainyectividadde T . 2Lema2.4.14La imagenT (A2(R)1)de A2(R)1bajoT : A2(R)1 Fges unabiertoyT esunhomeomorsmosobresuimagen.Demostracion. Porellema2.4.10yelcorolario2.4.13,T sabemosqueescontinuaeninyectiva. ComoA2(R)1eshomeomorfoa R6g6, el teoremadeinvarianzadedominiosdeBrowerdalaarmacion. 2Lema2.4.15La aplicacion T : A2(R)1 T(R) es un homeomorsmo sobresuimagen.Demostracion. Como Tes inyectiva, T1esta bien denida en E= T (A2(R)1).Como T1=T1 (T ),loslemas2.4.11y2.4.14implicanque T1escontinuaenE.Falta probar que T es continua. Para esto jaemos un punto A2(R)1arbitrario,yseap = T () = [R1, f1].Consideralatraslacion[f1]: T(R) T(R1) del punto base, que manda p al punto base [R1, id] de T(R1). Sabemosque[f1]esunaisometra.DenimoslaaplicacionT1= Tg [f1]1 T1: A2(R1)1 Fg.ComoT1(0) = Tg ([S, f]) =T (),ellema2.4.14implicaqueT11T =(T1)1 [f1] T : A2(R)1 A2(R1)1estabiendenidaenalgunavecindadde,yesunhomeomorsmosobresuimagen.Entonces,T escontinuaensiysolosiestoesciertoparaT1enelorigen.Ahora, tomamosunasucesion nn=1enA2(R1)1tal que |n|1 0cuando n . Como la dilatacion maxima de una aplicacion de Teichm ullerparanesiguala(1 +|n|1)/(1 |n|1)paracadan,tenemosqued(T1(0), T1(n) log 1 +|n|11 |n|1 0(n ).Entonces, T1escontinuaenelorigen. Comoesarbitraria,concluimosque T escontinua. 254 2. ElespaciodeTeichm ullerFinalmenteprobaremoslasuprayactividadde T , paraestoocuparemosunoscuantoslemas.Lema2.4.16LosespaciosT(R)yFgsonconexos.Demostracion. Basta probarlo para T(R). Fijamos un punto [S, f] T(R),y sea f= . Para cada t con 0 t 1, sea ftuna aplicacion cuasiconformedeRcuyocoecientedeBeltrami seat. SeaSt=ft(R). Entonces, obten-emosunacurvacontinua [St, ft] [ 0 t 1enT(R)queconecta[R, id]con [S, f]. Entonces, T(R) es arco-conexo. Por lo tanto T(R) es arco-conexo.2Lema2.4.17Las aplicaciones TyTson suprayectivas. Esto es, T (A2(R)1) =T(R)yT (A2(R)1) = Fg.Demostracion.Como Tg es suprayectiva por el lema 2.4.9, basta pro-barlopara T .Porloslemas2.4.11y2.4.14,tenemosE= T (A2(R)1) = (T )1(T (A2(R)1)),queesunabiertoenT(R). Masa un, el lemaanteriorimplicaqueT(R)esconexo. Entonces, laarmacionsesiguesi lafronteraEdeEesvacaenT(R).Supongamos lo contrario y tomemos una elemento [S, f] E. Entonces,existe una sucesion nn=1en A2(R)1tal que T (n) [S, f], y |n|1 1cuando n para cada n y fnuna aplicacion de Teichm uller para n. SeaT (n) = [Sn, fn]. Por la hipotesis, existe una aplicacion cuasiconforme hndeSnsobreSqueeshomotopicaaf f1nparacadantal que |hn| 0cuandon .Enparticular,paraunaciertak < 1,tenemosque|gn| k, n = 1, 2, ,dondegn= h1n f.Porotraparte,comogneshomotopicaafn,elteorema2.4.12implicaque|gn| |fn|= || 1 (n ).locualesunacontradiccion,porloqueEdebedeservacia.2Como corolario a este lema, obtenemos el siguiente teorema de existenciadeTeichm uller.2.4. ConstruccionAnalticadeEspaciosdeTeichm uller 55Teorema2.4.18Para cualquier aplicacion cuasiconforme f: R S, existeunaaplicaciondeTeichm ullerhomotopicaaf.El lema2.4.17terminalapruebadel teoremadeTeichm uller. Estoes,hemosprobadoelsiguienteteorema.Teorema2.4.19Laaplicacion T :A2(R)1 T(R)esunhomeomorsmosuprayectivo.Enparticular,T(R)eshomeomorfoaA2(R)1Alolargodeestaprueba,hemosprobadoquetodaslasrepresentacionesqueconsideramoscomoel espaciodeTeichm ullerdeunasuperciedeRie-manncerradadegenerog 2sonmutuamentehomeomorfas.Corolario2.4.20Los espacios T(R), T(R)ant, Tg, Tantg, Fgy R6g6sonhomeomorfosentresi.56 2. ElespaciodeTeichm uller3El Grupo Modular de Teichm ullerEnestecaptuloestudiamoslaacciondelgrupomodulardeTeichm ullerMod(R) en el espacio de Teichm uller T(R). El resultado principal del captuloesquelaaccionespropiaydiscontinuaylosestabilizadoressonnitos.El espaciomoduli desuperciesdeRiemanncerradasdegenerog, Mg,i.e., el conjuntodeclases deequivalencias conformes [S] desupercies deRiemannSdegenerogseidenticaconel espaciodeorbitasdelaacciondeMod(R)enT(R).Entonces,podemosestudiaralespaciomoduliMgme-dianteelespaciodeTeichm ullerT(R)ylaacciondelgrupomodulardeTe-ichm uller.Enparticular,portodoloqueestudiamosenelcaptuloanterior,Mgesunavariedadcomplejasingulardedimension3g 3.3.1. ElGrupoModulardeTeichm ullerSeaQC(R)el grupodehomeomorsmoscuasiconformesdeRenR. YQC0(R) el subgrupodehomeomorsmoscuasiconformeshomotopicosalaidentidad.Denicion3.1.1El GrupoModulardeTeichm uller, Mod(R), delasuperciedeRie-mannResMod(R) := QC(R)/QC0(R).AlelementodeMod(R)denidoporunaaplicacionf0: R Rlodeno-tamospor[f0].Laacciondeunelemento[f0] Mod(R)enT(R)estadadapor[f0]([S, f]) := [S, f f10]58 3. ElGrupoModulardeTeichm ullerparacada[S, f] T(R). A[f0]seleconocecomounatransformacionmodular de Teichm uller de T(R). Estaaccionestabiendenida, dosaplicacioneshomotopicastedenenlamismaaccion, esporesoquehemostomadoelcocienteconlasaplicacioneshomotopicasalaidentidad.SeaunmodeloFuchsianodeR.Seawiunlevantamientodeunaapli-cacioncuasiconformefideRenRconwi(wi)1=parai=1, 2.Porelmismoargumentoqueenlapruebadel lema2.4.2, donde[S1, f1]=[S2, f2]si ysolosi f1=f2, observamos que[f1] =[f2] enMod(R) si ysolosiw2= w1 0secumpleenelejereal Rparaalg un0 .Dosaplicacionescuasiconformesen Hquesatisfacenquewi(wi)1=(i = 1, 2)sedicenequivalentessiexisteunelemento0entalquew2=w1 0en R.Denotamospor[w]laclasedeequivalenciadew.Denicion3.1.2El grupomodulardeTeichm ullerMod()deesel grupodetodasestasclasesdeequivalencia[w].Laacciondeunelemento[w] Mod()enT()estadadapor[w]([w]) := [ w w1]paratodo[w] T(),dondeesunelementodeAut(H)detalformaque w w1je 0, 1 e . Por construccion, es claro que Mod() es isomorfoaMod(R).Porlaidenticaci ondeT()conT(R), ladistanciadeTeichm ullerenT(R)induceladistanciadeTeichm ullerenT().EntoncesobservemosquelaacciondeMod(R)enT(R)coincideconlatraslacionquedenimosenel captuloanterior ylaproposicion2.4.8dicequeestatraslaciones unaisometra,tenemoselsiguiente:Teorema3.1.3Paracualquier elemento[w] Mod(), el automorsmo[w]deT()denidopor[w]esunaisometraconrespectoaladistanciadeTeichm uller.3.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm ullerProbaremosahoraqueel grupomodulardeTeichm ulleract uapropiaydiscontinuamente en el espacio de Teichm uller T(). Esto es, si K T() es3.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm uller 59unsubconjuntocompacto,entonces[h : h(K) K ,= [ < .Sabemosqueel grupomodularact uacomoungrupodeisometrasconladistanciadeTeichm uller. Entonces, probar queact uademanerapropiaydiscontinuasereduceaprobarque:1. Lossubgruposdeisotropasonnitos.2. Lasorbitassondiscretas.Probaremosquelasorbitassondiscretasprimero, loharemosenvariospasos:Lema3.2.1ParacadasubconjuntocompactoK HyenteropositivoM,existealomasunn umeronitodeelementos conmnzK(z, (z)) M,dondeesladistanciadePoincareen H.Demostracion. Supongamosqueexisteunasucesion nn=1deelemen-tosmutuamentedistintosental quecadansatisface(zn, n(zn)) Mparaalg unznK. ComoKes compactoy(H, ) es completo, toman-dounasubsucesionsi es necesario, podemos asumir quezn z0 Kyn(zn) w0 Hcuandon .Comoes unafamilianormal enH,nn=1converge encompactos aunafuncionholomorfa noconstante fdenidaen H. Entonces, f(z0)=w0. Comow0 H, el lema1.3.3muestraquefperteneceaAut(H).Entonces,comoexisteunasucesionconvergenteen, porel lema1.3.2, noesunsubgrupodiscretodeAut(H), loqueesunacontradicci on.2Sea = L R : LesunageodesicaenR. Recordemos que denotamosporl(L)alalongitudhiperbolicadeL.Proposicion3.2.2El conjuntodelongitudeshiperbolicas l(L) : L detodaslasgeodesicascerradasenunasuperciedeRiemmanRdegenerog 2esdiscretoen R.Mas a un, paral >0, existe alomas unn umeronitode geodesicascerradasenRconlongitudl alomas.60 3. ElGrupoModulardeTeichm ullerDemostracion. Supongamos que existe una sucesion Lnn=1 de geodesicascerradas mutuamente distintas en R tal que cada Ln satisface que l(Ln) Mparaalg unn umeropositivoM.SeaFundominiofundamentalparaqueescompactoen H. Tomemosunelementon tal queel ejeAndenseproyecteaLnyqueF An , = . Entonces nn=1esunasucesiondeelementos mutuamente distintos de tal que mnzF (z, n(z)) = l(Ln) Mparacualquiern.Estocontradiceellemaanterior. 2Si conjugamos con una transformacion de Mobius, una transformacion deMobiushiperbolicaA,sepuedeescribirdelaforma.A(z) = z, donde > 1.EnestecasollamamosaelmultiplicadordeA.Denicion3.2.3La longitud del espectro de un grupo Fuchsiano es el conjunto LS() de todoslosn umerospositivoslog ,dondeeselmultiplicadordeunelemento.Claramente LS() es el conjunto de de todas las posibles longitudes degeodesicasenlasupercie H/.Laproposicion1.3.9daunarelacionanalticarealentrelatrazacuadraunelementodeAutHylalongituddelageodesicaalacual seproyectasueje, porlotanto, comoel teoremaanteriornosdicequeel conjuntodelongitudesdegeodesicasesnito,tenemoselsiguientecorolario.Corolario3.2.4El conjunto tr2() [ es discreto en R, donde tr2()denotael cuadradodelatrazade.Necesitamos saber cuales curvas cerradas en H/ determinan al grupo .El siguienteteoremadaunarespuestaparcial aestapreguntasi laslongi-tudesestanasociadasageneradoresespeccosde.Elteoremadicequesiconocemosel valorabsolutodelastrazasdeunn umerograndeperonitodeelementosde, entoncesestadeterminadosalvoconjugacionconunatransformaciondeMobius. Recordemos queGamma =i(R, p0) ypor lotantoesnitamentepresentado.Teorema3.2.5SeaunmodeloFuchsianodeunasuperciedeRiemanncerradadegenerog 2. Sea Ajmj=1unsistemadegeneradores para.Supongamosqueal ejedeA2intersectael ejedeA1deizquierdaaderecha.3.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm uller 61Entonces, existe una transformacion de Mobius D tal que el elementos DAjD1para j= 1, 2, . . . , n son funciones analticas reales de los valores absolutos delas trazas de un n umero nito de palabras en A1, . . . , An. Si es normalizadode manera que A1tenga un punto jo atractor en y un punto jo repulsoren0yA2tengapuntojoatractoren1,entoncesDeslaidentidad.Demostracion. Podemos asumir que esta normalizado. Esta normal-izacionsehaceatravesdeconjugacionconunatransformaciondeMobiusD.Entonces,A1estarepresentadaporunamatrizdelaformaA =_m 00 m1_, m > 1.Porotrolado,supongamosqueA2estarepresentadaporunamatrizB=_ _ SL(2, R).Bpuedeserescogidadetal formaque, , yseanmayoresque0.Como B(1) = 1 es obvio que += +. El n umero m puede ser calculadode[trA[ = m + m1ylosn umerosypuedensercalculadosde + = [trB[ y m + m1= [trAB[.Como1eslarazpositivadelaecuacioncuadraticaB(z) = z,entonces,2= +_( + )24. Estodeterminaayporlotantotambiena= + .Entonces,vemosquelasmatricesAyBestandeterminadasporlosvaloresabsolutosdelastrazasdeA, ByAB.Ahora, sea Cuna matriz representando un elemento Aj, j 3. PodemosescogerCenSL(2, R)talqueC=_a bc d_cona + d 0, ad bc = 1Recordemosquelaidentidad(trP)(trQ) = tr(PQ) + tr(P1Q),62 3. ElGrupoModulardeTeichm ulleres valida para matrices en SL(2, C). Si conocemos los valores absolutos de lastrazas del lado derecho de esta ecuacion, entonces sabemos que el termino conmayor o igual valor absoluto del lado derecho debe de ser positivo. Luego, la unicatrazadesconocidaenlaecuacionestadeterminada.Deestaecuacion,esposibleencontrarlatrazasdeAC, BCyABCdelosvaloresabsolutosdelas trazas deAC, A1C, BC, B1C, ABCyA1BC. Finalmente, lasentradasdelamatrizCseobtienendelasrelacionesa + d = [trC[, ma + m1d = trACa + c + b + d = trBCma + mc + m1b + m1d = trABCEntonces podemos calcular lamatrizC, dondeCes cualquieradeloselementos deAj, apartir delos valores absolutos delas trazas dealgunaspalabrasenelementosdeA1, . . . , An,loquecompletalaprueba.2LlamamosalconjuntonitoS0depalabrasenlosgeneradores,cuyaex-istenciaestadadaporelteoremaanterior,unconjuntomoduli.ElsiguientecorolarioesdirectoCorolario3.2.6Supongamosque:

esunisomorsmodegruposFuchsianos

yquepreservalaintersecciondelosejesdeA1yA2,dondeAj,1 j n,sonunconjuntodegeneradorescomoenelteoremaanterior.Supongamos ademas que [tr(A)[ = [tr((A))[ paracadaAenel conjuntomoduli S0. Entonces, existe una transformacion de Mobius Dtal que (A) =DAD1paratodoAen.Un ultimoresultadonecesarioes el siguiente lemaque se debe aTe-ichm uller,lademostracionpuedeconsultarseen[?,Gar1]Lema3.2.7Supongamos que A1y A2son transformaciones de Mobius cadaunacondos puntos jos ymultiplicadores 1>1y2>2. Supongamosquewesunhomeomorsmocuasiconformede CcondilatacionKtal quew A1= A2 w.Entonces,K1log 2 log 1 K log 2.Comenzaremoslapruebadequelaaccionespropiaydiscontinua.Paraprobarquelasorbitassondiscretasusamostresresultados:3.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm uller 631. ladiscretezdelalongituddelespectrocomoseexpresaenelteorema3.2.2;2. laexistenciadeunconjuntomoduli nitocomoseveenel teorema3.2.5ysucorolario;y3. la desigualdad para la distorsion de la longitud de una geodesica hiperboli-ca bajo la accion de una aplicacion cuasiconforme como se ve en el lemaanterior.Teorema3.2.8Seael modeloFuchsianodeunasuperciedeRiemanncompacta,entonceselgrupomodulardeTeichm ullerMod()act uapropiaydiscontinuamenteenT().Demostracion.Probaremosprimeroquelasorbitassondiscretas.Sea S0un conjunto moduli para , cuya existencia esta garatizada por elteorema3.2.5.Paracadaelementolog ienLS(S0),sealog +i= mnlog LS()[ log() > log iysealog i= maxlog LS()[ log() < log i,silog ieselmenorelementodeLS(),sealog i= 0.SeaKi= mn_log +ilog i,log ilog i_yK0elmnimodeKi,dondelog iestaenelconjuntonitoLS(S0).SeahunelementodeMod().Entonces, hdeterminaunautomorsmodeporconjugacionyporlotanto, unapermutaci ondeLS(). Delade-sigualdaddellemaanteriorsabemosqueladilatacionK(h)delaaplicacioncuasiconformehsatisfaceK(h) max_log (A)log (h(A)), log (h(A))log (A)_paratodoAen.PerosiK(h) < K0,comolog (h(A))estaenLS()paratodoA, vemos quelog (h(Ai)) =log (Ai) paracadaAienel conjuntomoduli S0. Por el corolariodel teorema3.2.5, estoimplicaqueexisteuna64 3. ElGrupoModulardeTeichm ullertrasformaciondeMobiusDtalqueheselautomorsmoA DAD1,yhjaelorigenenT().Hemos demostrado entonces que el origen en T() no es equivalente bajoMod()aalg unotropuntoenT()cuyadistanciadeTeichm ulleralorigenseamenorque12 log K0.EsteargumentosepuedetransladaracualquierpuntoenT(),debidoaque la aplicacion de traslacion es una isometra en T() y por lo tanto pruebaquelasorbitassonconjuntosdiscretos.Ahoraprobaremosquelosgruposdeisotropasonnitos.Porladenicion,esfacilverqueelgrupodeisotropadeMod()en[id]esisomorfoaN()/, dondeN()esel normalizadordeenAut(H). Si N()entonces= yademaslarelacionmoduloeslamismaqueen Mod(R) y claramente [] deja jo a [id] con la accion. [w] esta en el grupodeisotropade[id] entoncesexiste Aut(H)tal quew=en Rperoentonces N().Por otro lado, cada elemento N() induce un automorsmo conforme[] en H/denidopor[]([z])=[(z)] paracualquier[z] H/. Esfacilver que la aplicacion [] es un homomorsmo de N() sobre Aut(H/)cuyokerneles.Porlotanto,N()/esisomorfoaAut(H/).PorlotantoelteoremasesiguesiAut(H/)esnito.Peroestosedebeal clasico TeoremadeHuritz, del cual por completitud damos una pruebaenelapendice.2ConclusionesHemos denidoel grupomodular deTeichm uller deunasuperciedeRiemannMod(R)yelgrupomodulardeTeichm ullerdeungrupofuchsianoMod(). Denimos la accion de Mod(R) en T(R), as como la de Mod() enT().HemosprobadoademasquelaacciondeMod()enT()espropaydiscontinua,congruposdeisotropanitos.Como hemos mencionado el espacio de orbitas T(R)/Mod(R) se identicaconMgel espaciomoduli desuperciesdeRiemann. Estonosdicequeelconjunto de orbitas es una variedad compleja singular de dimension compleja3g 3.3.2. DiscontinuidaddelGrupoModulardeTeichm uller 65Los trabajos de Ahlfors y Bers introdujeron una estructura compleja. En[9] Royden demostro con esta estructura Mod(R) se identica con Aut(T(R))/Z2parag= 2yconAut(T(R))parag> 2.66 3. ElGrupoModulardeTeichm ullerAp endice ATeorema de HurwitzSeaf:R SunafuncionholomorfanoconstanteentresuperciesdeRiemann, paracadap Rexistencoordenadaslocaleszenpywenf(p)detalformaquez(p) = w(f(p)) = 0yw f z1() = n.DenicionA.0.9Si n>1, entonces p=z1(0) es unpuntoderamicaciondef. Anseleconocecomoel n umeroderamicaciondef enpyf sedicequetienemultiplicidadnenp.Denimostambienbf= bf(p) = n 1.LemaA.0.10Seaf: R SunaaplicacionholomorfanoconstanteentresuperciesdeRiemann.Seaq Y .El n umeromf:=

pf1(q)(bf(p) + 1)esnitoynodependedel puntoq.DenicionA.0.11Seaf : R Sunafuncionholomorfanoconstante entre supercies deRiemann.Eln umerototalderamicacionBfdefsedenecomoBf=

pRbf(p)Estees nito, debidoaquebf(p) es ceroexceptoenunn umeronitodepuntosenR.68 ApendiceA. TeoremadeHurwitzTeoremaA.0.12(RelaciondeRiemann-Hurwitz) Sea f: R SunafuncionholomorfaentresuperciesdeReimann. SuponqueRtienegenerogyStienegenero.Entoncesg= n( 1) + 1 + Bf/2,donde n es el grado de f(la cardinalidad de f1(q) es n para casi todo q Y ).Una prueba detallada se puede ver en [3]. La ecuacion se sigue de consid-erarunatriangulacionadecuadadeSqueselevanteaunatriangulaciondeR. Luego uno puede expresar las caracteristicas de Euler de R y Sde maneraquelaecuacionsesigainmediatamente.TeoremaA.0.13(TeoremadeHurwitz)SeaRunasuperciedeRie-mann compacta de genero g 2.Entonces el grupo Aut(R) de automorsmosholomorfosdeResnitoytienealomas84(g 1)elementos.Demostracion. Observemos queobviamenteAut(R) act uapropiaydis-continuamenteenR. Porlotanto, R/Aut(R)esunasupeciedeRiemanncompactaylaproyeccion: R Sesunaaplicacionholomorfanocon-stanteentresuperciesdeRiemanncompactas.EstaaplicaciontienegradonitoN. Claramenteeste n umeroes tambienel n umerode elementos deAut(R),estoes,elordendeAut(R).ConcluimosentonesqueAut(R)tieneordennitoN.Ahora:R R/Aut(R)esunafuncionholomorfanoconstantecuyospuntosderamicacionp1, . . . , prtambiensonpuntosjosdeelementosnotrivialesdeAut(R).SeaAut(R)pjelestabilizadordepjenAut(R).Denote-mos por vjel numero de elementos de Aut(R)pj. El orden de ramicacion deenpjesclaramenteb(pj) = vj 1 = ordAut(R)pj 1.Observa despues que hay N/vjpuntos distintos de R que son equivalentesapjbajolaacciondeAut(R).Entonceseln umerototalderamicaciondeesB=r

j=1Nvj(vj 1) = Nr

j=1(1 1vj).69DelaaRelaciondeRiemann-Hurwitz,llegamosaque2g 2 = N(2 2) + Nr

j=1(1 1vj)dondeeselgenerodeR/Aut(R).Lapruebasesiguedeanalizarlossiguientes3casos.CasoI: 2.Enestecasolaecuacionimplicaque2g 2 2N o N g 1.CasoII:= 1.Enestecasolaecuaciondiceque2g 2 = Nr

j=1(1 1vj)Si r=0, entoncesg=1queesunacontradicci onalahipotesis. Porlotantor 1.Peroentonceslaecuacionimplicaque2g 2 12N oN 4(g 1).CasoIII:= 0.Enestecasolaecuacionseescribedeestaforma2g 2 = N(2 +r

j=1(1 1vj)),Apartirdeestaecuacioncomog>1, 2 +

rj=1(1 1vj)= 2 + r

rj=1(1vj) es mayor que0. Observemos entonces quecomo1/vj1/2, sir 5entonces2 + r r

j=1( 1vj) 2 + r r/2 12loquenosdicequeN 4(g 1).Para r = 4, el mnimo valor de 2 +r

rj=1(1vj) = 2

rj=1(1vj) que esmayorque0es1/6,loquenosdicequeN 12(g 1).70 ApendiceA. TeoremadeHurwitzPor ultimoparar=3, 2 + r

rj=1(1vj)=1 1/v1 1/v2 1/v3, perola mayor fraccion menor que uno que puede formar al sumar 3 recprocos deenteroses1/2 + 1/3 + 1/7,dedonde1 1/v11/v21/v3 1/42.PorlotantoN 84(g 1)2Bibliografa[1] BenedettiR.yPetronioC.: LecturesonHyperbolicGeometry,UNI-VERSITEXTSpringer-VerlagBerlin,1992.[2] Buser P.: Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces,BirkhauserBoston,Mass.,1992.[3] Farkas H.M.y Kra I.: Riemann Surfaces, volumen 71 de Graduate textinMathematics,Springer-VerlagBerlin-Heidelberg-NewYork,1980.[4] Gardiner, F.P.: Quasiconformal Teichm uller theory, AMS Mathemat-icalSurveysandMonographs,2000.[5] Gardiner, F.P.: Teichm ullerTheoryandQuadraticDierentials, Wi-leyNY,1987.[6] Imayoshi,Y. y Taniguchi, M.: AnintroductiontoTeichm ullerSpaces,Springer-VerlagTokio,1992-1999.[7] MasseyW.S.:AlgebraicTopology;anIntroduction,GraduatetextinMathematicsSpringer-VerlagNewYork,1967.[8] RamsayA.: IntroductiontoHyperbolicGeometryUNIVERSITEXTSpringer-VerlagNY,1992.[9] Royden H.L.:Invariant metrics on Teichm uller space, ContributiontoAnalysis, a collection of papers dedicated to L. Bers, Academic Press,London,1974.72 Bibliografa[10] Seppala M.: Geometry of Riemman Surfaces and Teichm uller Spaces,North-HollandHolland,1991.