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de3

Cálculo Integral 2020-1

TERCER TALLER PREPARCIAL ABRIL2020

EstetallerNashtienecomoobjetivoacercaralestudiantealoscontenidosycompetenciasdelaasignatura.Esunmaterialdeapoyoparalapreparacióndelosparciales.Competencias:

ü Aplicarlosdiferentesmétodosdeintegraciónpararesolverintegralesdefinidaseindefinidas

ü Calculareinterpretarintegralesimpropias.ü Calcularintegralesiteradas.ü Calcularintegralesdoblessobreregionesgenerales.

UNIVERSIDAD DEL ROSARIO

1) Determine las siguientes integrales:

a)

Z1

x2pb2 � x2

dx, con b > 0

b)

Z1

(x2 + 5)3/2dx

c)

Z6x

x3 � 8 dx

d)

Zx2 + x�2

x3 � 3x�1 dx

e)

Z2x� 4

2x3 � 3x2 � 8x+ 12 dx

f)

Z6x2 � 15x+ 22(x+ 3)(x2 + 2)2

dx

g)

Z2x� 1p

x2 + 4x+ 5dx

h)

Zdxp

16 + 6x� x2

i)

Zx

(x+ 1)2(x2 + 1)dx

j)

Z3xp

7� 5x2dx

k)

Zcosx

sen2x+ senxdx

l)

Zx2

(a2 � x2)3/2dx

m)

Z px

x� 4 dx

n)

Z1� x+ 2x2 � x3

x(x2 + 1)2dx

o)

Zsec2✓

tan3✓ � 7tan2✓ + 12tan✓ d✓

p)

Zdx

xp5x2 + 7

q)

Zex

e2x + 3ex � 4 dx

r)

Z1

x�px+ 2

dx

s)

Zsec2x

(4� tan2)3/2dx

t)

Z1� x+ 2x2 � x3

x(x2 + 1)2dx

u)

Z1

x�px+ 2

dx

v)

Ze�x

(9e�2x + 1)3/2dx

w)

Ze5x

(e2x + 1)2dx

x)

Ze2x

e2x + 3ex + 2dx

2) Utilice una sustitución trigonométrica para demostrar que:

Zdxp

x2 + a2= ln(x+

px2 + a2) + C

3) Determine si la integral es convergente o divergente:

Z 1

�1

2

ex + e�xdx

4) Determine la convergencia o divergencia de las siguientes integrales im-propias:

1

de3




a)

Z1

x2pb2 � x2

dx, con b > 0

b)

Z1

(x2 + 5)3/2dx

c)

Z6x

x3 � 8 dx

d)

Zx2 + x�2

x3 � 3x�1 dx

e)

Z2x� 4

2x3 � 3x2 � 8x+ 12 dx

f)

Z6x2 � 15x+ 22(x+ 3)(x2 + 2)2

dx

g)

Z2x� 1p

x2 + 4x+ 5dx

h)

Zdxp

16 + 6x� x2

i)

Zx

(x+ 1)2(x2 + 1)dx

j)

Z3xp

7� 5x2dx

k)

Zcosx

sen2x+ senxdx

l)

Zx2

(a2 � x2)3/2dx

m)

Z px

x� 4 dx

n)

Z1� x+ 2x2 � x3

x(x2 + 1)2dx

o)

Zsec2✓

tan3✓ � 7tan2✓ + 12tan✓ d✓

p)

Zdx

xp5x2 + 7

q)

Zex

e2x + 3ex � 4 dx

r)

Z1

x�px+ 2

dx

s)

Zsec2x

(4� tan2)3/2dx

t)

Z1� x+ 2x2 � x3

x(x2 + 1)2dx

u)

Z1

x�px+ 2

dx

v)

Ze�x

(9e�2x + 1)3/2dx

w)

Ze5x

(e2x + 1)2dx

x)

Ze2x

e2x + 3ex + 2dx

2) Utilice una sustitución trigonométrica para demostrar que:

Zdxp

x2 + a2= ln(x+

px2 + a2) + C

3) Determine si la integral es convergente o divergente:

Z 1

�1

2

ex + e�xdx


1

a)

Z 1

3e1�3xdx

b)Z 1

1

lnx

x4dx

c)Z 1

0

dx

x2 + 5x+ 6

d)Z 1

�1

dx

4 + x2

e)Z 1

�1e|x|dx

d)

Z 1

0

dx

x2 + 5x+ 6

e)

Z 0

�1

dx

x2 � 3x+ 2

f)

Z 1

4

x+ 18

x2 + x� 12 dx

g)

Z 1

1(1

x� 1

x+ 1) dx

h)

Z 0

�1ex cos(2x) dx

5) Determine el área de la región en primer cuadrante que está encerrada porlos ejes coordenados y la curva y = e�x

6) Halle el área limitada por la gráfica y =1

x2 � 2x+ 5 y el eje x

7) Calcule las siguientes integrales iteradas:

a)

Z 3

1

Z 5

1

lny

xydydx

b)

Z 2

0

Z ⇡

0rsen2✓ d✓dr

c)

Z ⇡/4

0

Z cos x

0(1 + 4y tan2 x) dydx

d)

Z 1

0

Z y

0x(y2 � x2)3/2 dxdy

8) Verifique mediante un dibujo que la región tipo I es la misma que la regióntipo II. Verifique que las integrales iteradas que se indican son iguales.

a) Tipo I: 12x y px, 0 x 4

Tipo II: y2 x 2y, 0 x 2Z 4

0

Z px

x/2x2y dydx =

Z 2

0

Z 2y

y2x2y dxdy

b) Tipo I: �p1� x2 y

p1� x2, 0 x 1

Tipo II: 0 x p1� y2, �1 x 1

Z 1

0

Z p1�x2

�p1�x2

2x dydx =

Z 1

�1

Z p1�y2

02x dxdy

9) Evalúe la integral doble

Z Z

Rex+3y dA, sobre la región R acotada por las

gráficas y = 1, y = 2, y = x y y = �x+ 5


Z Z

R(x + y) dA, sobre la región R acotada por

las gráficas x = y2 y y = 12x�32

2

de3


a)

Z 1

3e1�3xdx

b)Z 1

1

lnx

x4dx

c)Z 1

0

dx

x2 + 5x+ 6

d)Z 1

�1

dx

4 + x2

e)Z 1

�1e|x|dx

d)

Z 1

0

dx

x2 + 5x+ 6

e)

Z 0

�1

dx

x2 � 3x+ 2

f)

Z 1

4

x+ 18

x2 + x� 12 dx

g)

Z 1

1(1

x� 1

x+ 1) dx

h)

Z 0

�1ex cos(2x) dx

5) Determine el área de la región en primer cuadrante que está encerrada porlos ejes coordenados y la curva y = e�x

6) Halle el área limitada por la gráfica y =1

x2 � 2x+ 5 y el eje x


a)

Z 3

1

Z 5

1

lny

xydydx

b)

Z 2

0

Z ⇡

0rsen2✓ d✓dr

c)

Z ⇡/4

0

Z cos x

0(1 + 4y tan2 x) dydx

d)

Z 1

0

Z y

0x(y2 � x2)3/2 dxdy

8) Verifique mediante un dibujo que la región tipo I es la misma que la regióntipo II. Verifique que las integrales iteradas que se indican son iguales.

a) Tipo I: 12x y px, 0 x 4

Tipo II: y2 x 2y, 0 x 2Z 4

0

Z px

x/2x2y dydx =

Z 2

0

Z 2y

y2x2y dxdy

b) Tipo I: �p1� x2 y

p1� x2, 0 x 1

Tipo II: 0 x p1� y2, �1 x 1

Z 1

0

Z p1�x2

�p1�x2

2x dydx =

Z 1

�1

Z p1�y2

02x dxdy


Z Z

Rex+3y dA, sobre la región R acotada por las

gráficas y = 1, y = 2, y = x y y = �x+ 5


Z Z

R(x + y) dA, sobre la región R acotada por

las gráficas x = y2 y y = 12x�32


Z Z

Rxey

2

dA, sobre la región R acotada por las

gráficas y = x2, x = 0 y y = 4

3

Página2de2




a)

Zdu

up3� u2

du

b)

Zsec

2 x

tanx(tanx+ 1)dx

c)

Z p1� x2x2

dx

d)

Z2x2 � 5x� 2

(x� 2)2(x� 1) dx

e)

Zx2 + 5x� 5

x3 + 7x2 + 12xdx

f)

Zdxp

2 + 3x� 2x2

g)

Zdxp

9x2 + 6x� 8dx

h)

Z p2x2 + 6 dx

i)

Zx3px2 � 4

dx

j)

Z1

x(x+ 2)dx

k)

Z3x+ 10

x2 + 2xdx

l)

Z �2x+ 4(x2 + 1)(x� 1)2 dx

o)

Z6x� 1

x3(2x� 1) dx

p)

Z ⇡/2

0

p1 + cos(4x) dx

2) Determine si la integral es convergente o divergente:Z 1

�1

2

ex + e�xdx


a)

Z �1

�1

1

x3dx

b)

Z 1

0

x

x2 + 1dx

c)

Z 1

�1xe�x

2

dx

d)

Z 1

�1

ex

ex + 1dx

e)

Z 1

2

1

x3dx

f)

Z 1

1

e�px

px

dx

4) Calcule el área de la región que se encuentra bajo la gráfica de y = ex,arriba del eje x y a la izquierda de x = 1

5) Se estima que dentro de t años un conjunto de apartamentos produciráutilidades a la razón de 10000 + 500t dólares al año. Si las utilidades segeneran a perpetuidad y la tasa de interés anual predominantes permanece

fija en 10 % capitalizado continuamente, ¿cuál es el valor presente del

conjunto de apartamentos?


a)

Z 4

1

Z 2

0(6x2 � 2x) dydx

b)

Z 1

0

Z 2

1(4x3 � 9x2y2) dydx

c)

Z 1

0

Z 1

0xy

px2 + y2 dydx

d)

Z 4

1

Z 2

1(x

y+

y

x) dydx

17) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = x3 + 4y sobre la región que se

muestra en la figura

8) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 8x + ey sobre la región que semuestra en la figura

9) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 2xy sobre la región que se muestraen la figura

2

7) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = x3 + 4y sobre la región que semuestra en la figura



2

7) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = x3 + 4y sobre la región que semuestra en la figura



2

Página3de3


Los datos sugieren que entre 1 p.m. y las 6 p.m. en un d́ıa normal, lavelocidad del tráfico en la salida es aproximadamenteS(t) = t3 � 10, 5t2 + 30t + 20 millas por hora, donde t es el número dehoras después de las 11:00 a.m.. Calcule la velocidad promedio del tráficoentre la 1:00 p.m. y las 6:00 p.m.

6) La ecuación de demanda para un producto es p =50

q + 5y la ecuación de

oferta es p =q

10+ 4, 5

a) Halle el punto de equilibrio.

b) Determine el excedente de consumidores bajo equilibrio del mercado.

c) Determine el excedente de los productores bajo equilibrio del mer-cado.

7) Durante los próximos 5 años, las utilidades de un negocio en el tiempo t seestiman igual a 50.000t por año. El negocio se va a vender a un precio igualal valor presente de esas futuras utilidades. ¿A qué precio debe venderseel negocio si el interés se compone continuamente a una tasa anual del7%?

8) La población de cierta comunidad t años después del año 1990 está dado

por P (t) =e0,2t

4 + e0,2tmillones de habitantes. ¿Cuál fue la población prome-

dio de la comunidad la dćada de 1990 a 2000?

9) En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico de ciertopáıs, se determinó que la curva de Lorenz para la distribución del ingresode los profesores de educación secundaria está descrita mediante la función:S(x) y la de los profesores de preescolar mediante la función P (x). (Eleje x representa el porcentaje acumulado de la población y el eje y elporcentaje acumulado de los ingresos de cada grupo).

a) Encuentre el valor de S(0, 7) e interprete lo que representa dichoresultado.

b) Determine a partir de la observación de sus gráficas. ¿Cuál pro-fesión tiene una distribución de ingreso más equitativa? Justifique suelección.

10) Integre:

2

a)

Ztan5✓sec4✓d✓

b)

Zcos(3x)cos(2x)dx

c)

Zsec3xdx

d)

Zx4e5xdx

e)

Zsen(8x)cos(7x)dx

f)

Zsec4✓

ptan✓ d✓

g)

Zcos3x

psenxdx

h)

Z(x3 + 2x2 + 5x� 2)ex/4 dx

i)

Zln (x+ 1)

2(x+ 1)dx

j)

Zx4e5xdx

k)

Z(csc3✓cot5✓ � ln

p✓ � ln3) d✓

l)

Z(csc4xcot10x� sen3x� tan3x)dx

11) Cuatro regiones están delimitadas por las gráficas de las funciones: f(x) =2px; g(x) = x2 � 3x;h(x) = 3 � x. Tomando como referencia los cortes

mostrados en la gráfica:

a) Formule la expresión (sin resolver) para calcular cada una de lascuatro áreas indicadas ( R1, R2, R3, R4)

b) formule el área de regiónd R2 desde otro punto de vista (si for-muló tradicionalmente ahora hágalo desde el punto de vista del eje y(tipo2))

Taller elaborado por Lida Marina Jaime Hernández (Ĺıder de

Cálculo Integral), con la colaboración de Juvitza Campos, Dalila

Fajardo, Silvia Solano, Claudia Vela, Natalia Moreno, Richar Riaño

(Profesores de la materia CI)

3

a)

Ztan5✓sec4✓d✓

b)

Zcos(3x)cos(2x)dx

c)

Zsec3xdx

d)

Zx4e5xdx

e)

Zsen(8x)cos(7x)dx

f)

Zsec4✓

ptan✓ d✓

g)

Zcos3x

psenxdx

h)

Z(x3 + 2x2 + 5x� 2)ex/4 dx

i)

Zln (x+ 1)

2(x+ 1)dx

j)

Zx4e5xdx

k)

Z(csc3✓cot5✓ � ln

p✓ � ln3) d✓

l)

Z(csc4xcot10x� sen3x� tan3x)dx

11) Cuatro regiones están delimitadas por las gráficas de las funciones: f(x) =2px; g(x) = x2 � 3x;h(x) = 3 � x. Tomando como referencia los cortes


a) Formule la expresión (sin resolver) para calcular cada una de lascuatro áreas indicadas ( R1, R2, R3, R4)

b) formule el área de regiónd R2 desde otro punto de vista (si for-muló tradicionalmente ahora hágalo desde el punto de vista del eje y(tipo2))





3

Página2de2


Departamento de MatemáticasSEGUNDO TALLER NASH

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1) Integre (Método por partes)

a)

Z5xcos(2x)dx

b)

Zx4ln(x)dx

c)

Ze�2x cos(4x) dx

d)

Zepxdx

e)

Ztan�1xdx

f)

Zln 5px

x7dx

2) Halle el área acotada entre las curvas (Dibuje la región).

a) y = 1 +px, y = 3+x3

b) f(x) = �x2 + 4x+ 2, g(x) = x+ 1c) y = x2 + 1, y = 3� x2, x = �2, x = 2d) y = senx, y = cosx, x = 0, x = ⇡/2

e) y = |x|; y = x2 � 2f) x = 1� y2; x = y2 � 1

3) La distribución del ingreso de cierto páıs está descrita por la curva de Lorentz

y = 0.94x2 + 0.06x en donde x es la proporción de captadores de ingresos yy es la proporción del ingreso total recibido. ¿Qué proporción recibe el 20%de la gente más pobre? Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de

Lorentz.

4) Durante varias semanas el departamento de carreteras ha estado registrando

la velocidad del tráfico en una carretera en cierta salida del centro. Los datos

sugieren que entre 1 p.m. y las 6 p.m. en un d́ıa normal, la velocidad del tráfico

en la salida es aporoximadamente S(t) = t3 � 10, 5t2 +30t+20 millas por hora,donde t es el número de horas después de las 11:00 a.m.. Calcule la velocidadpromedio del tráfico entre la 1:00 p.m. y las 6:00 p.m.


q + 5y la ecuación de oferta

es p =q

10+ 4, 5



c) Determine el excedente de los productores bajo equilibrio del mercado.

6) La gerencia de una cadena nacional de puntos de venta de comidas rápidas está

vendiendo una franquicia a 10 años en la ciudad Cleveland. La experiencia pre-

via en negocios similares indica que dentro de t años dicha franquicia generaráutilidades a la razón de f(t) = 10000+500t dólares por año. Si la tasa de interésde capitalización continua permanece fija al 9%, ¿cuál es el valor presente de la

franquicia?

7) La población de cierta comunidad t años después del año 1990 está dado por

P (t) =e0,2t

4 + e0,2tmillones de habitantes. ¿Cuál fue la población promedio de la

comunidad la dćada de 1990 a 2000?

8) Integre:

a)

Ztan5✓sec4✓d✓

b)

Zcos(3x)cos(2x)dx

c)

Zsec3xdx

d)

Zx4e5xdx

e)

Zsen(8x)cos(7x)dx

f)

Zcos3x

psenxdx

g)

Z(x3 + 2x2 + 5x� 2)ex/4 dx

h)

Zeln x cos(ln x)

xdx

i)

Zx4e5xdx

j)

Z(csc4xcot10x� sen3x � tan3x)dx

9) Cuatro regiones están delimitadas por las gráficas de las funciones:

f(x) = 2px; g(x) = x2 � 3x;h(x) = 3� x. Tomando como referencia los cortes


a) Formule la expresión (sin resolver) para calcular cada una de las cuatro

áreas indicadas ( R1, R2, R3, R4)

b) formule el área de regiónd R2 desde otro punto de vista (si formuló tradi-cionalmente ahora hágalo desde el punto de vista del eje y (tipo2))

Taller elaborado por Lida Marina Jaime Hernández (Ĺıder de Cálculo

Integral), con la colaboración de Luz Adriana Pineda, Juvitsa Cam-

pos, Dalila Fajardo, Silvia Solano (Profesoras de la materia CI)

Tomando como referencia los puntos de corte mostrados en la gráfica

a. Formule la expresión (sin resolver) para calcular cada una de las cuatro áreas indicadas.

b. Formule el área de la región R$ desde otro punto de vista (si la formuló tradicionalmente ahora hágalo desde el punto de vista del eje y)

5. La función de oferta y demanda de cierto producto, están dadas respectivamente

por:

p = g(x) = 52 + 2x y p = f(x) = 100 − x$. Determine el superávit del consumidor y productor, suponiendo que se ha

establecido el punto de equilibrio.

6. Encuentre el coeficiente de desigualdad de la distribución de ingreso dada por la curva,y = 4G4H x

$ + 44H x, en donde xes la proporción acumulada de captadores de ingresos y y es la proporción acumulada del ingreso nacional.

7. Resolver las integrales:

a. ItanJθsecGθdθ b. I√x$ + 162x$ dx

c. I(arcsenx)$dx d. I secGθ√tan θ dθ

N/G

O

e. Ie$P cos 3xdx f. ∫ e

RP senbxdx

g. IT$U$VW4XT h. ∫ √T1)Y ln(TH) XT

i. I ln ZT + [T$ − 1Z XT j. IT\]^_U`T√1 − T$

XT


P (t) =e0,2t



8) Integre:

a)

Ztan5✓sec4✓d✓

b)

Zcos(3x)cos(2x)dx

c)

Zsec3xdx

d)

Zx4e5xdx

d)

Zsen(8x)cos(7x)dx

e)

Zcos3x

psenxdx

f)

Z(x3 + 2x2 + 5x� 2)ex/4 dx

g)

Zeln x cos(ln x)

xdx

h)

Zx4e5xdx

h)


9) Cuatro regiones están delimitadas por las gráficas de las funciones: f(x) =2px; g(x) = x2� 3x;h(x) = 3�x. Tomando como referencia los cortes mostra-

dos en la gráfica:








P (t) =e0,2t



8) Integre:

a)

Ztan5✓sec4✓d✓

b)

Zcos(3x)cos(2x)dx

c)

Zsec3xdx

d)

Zx4e5xdx

d)

Zsen(8x)cos(7x)dx

e)

Zcos3x

psenxdx

f)

Z(x3 + 2x2 + 5x� 2)ex/4 dx

g)

Zeln x cos(ln x)

xdx

h)

Zx4e5xdx

h)


9) Cuatro regiones están delimitadas por las gráficas de las funciones: f(x) =2px; g(x) = x2� 3x;h(x) = 3�x. Tomando como referencia los cortes mostra-

dos en la gráfica:







y la ecuación de oferta es

p = 10ln(q + 20)� 26

Determine el excedente de los consumidores y de los productores bajoequilibrio del mercado. Redondee sus respuestas al entero más cercano.

17) Demuestre la fórmula de reducción:

Zcosnxdx =

1

ncosn�1xsenx+

n� 1n

Zcosn�2x dx

Utilice la fórmula enterior para hallar:

Zcos6xdx

18) Demuestre la fórmula de reducción:

Z(lnx)ndx = x(lnx)n � n

Z(lnx)n�1dx

Utilice la fórmula anterior para hallar:

Z(lnx)3 dx





4

4. En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorenz para la distribución del ingreso de los profesores de educación secundaria está descrita mediante la función: S(x)y la de los profesores de preescolar mediante la función P(x). (El eje x representa el porcentaje acumulado de la población y el eje y el porcentaje acumulado de los ingresos de cada grupo).

a) Encuentre el valor de S(0.7) e interprete lo que representa dicho resultado. b) Determine a partir de la observación de sus gráficas, ¿Cuál profesión tiene una distribución de

ingreso más equitativa? Justifique su elección

5. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante está dada por:

p = 300(x + 3)x+ + 7x + 6

donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando se demandan x unidades. Suponiendo que el equilibrio de mercado ocurre en el punto (x, p) = (10, I+9++ ) . Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio de mercado.

6. Halle el área acotada entre las curvas, según se indique:

a. Calcula el área comprendida entre la curva V = 3G+ − G + 1 el eje G y las rectas G =0VG = 4

b. Dadas la hipérbola GV = 6 y la recta G + V − 7 = 0, calcula el área comprendida entre ellas.

c. Halla el área sombreada:

Los datos sugieren que entre 1 p.m. y las 6 p.m. en un d́ıa normal, lavelocidad del tráfico en la salida es aproximadamenteS(t) = t3 � 10, 5t2 + 30t + 20 millas por hora, donde t es el número dehoras después de las 11:00 a.m.. Calcule la velocidad promedio del tráficoentre la 1:00 p.m. y las 6:00 p.m.


q + 5y la ecuación de

oferta es p =q

10+ 4, 5



c) Determine el excedente de los productores bajo equilibrio del mer-cado.

7) Durante los próximos 5 años, las utilidades de un negocio en el tiempo t seestiman igual a 50.000t por año. El negocio se va a vender a un precio igualal valor presente de esas futuras utilidades. ¿A qué precio debe venderseel negocio si el interés se compone continuamente a una tasa anual del7%?

8) La población de cierta comunidad t años después del año 1990 está dado

por P (t) =e0,2t

4 + e0,2tmillones de habitantes. ¿Cuál fue la población prome-

dio de la comunidad la dćada de 1990 a 2000?

9) En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico de ciertopáıs, se determinó que la curva de Lorenz para la distribución del ingresode los profesores de educación secundaria está descrita mediante la función:S(x) y la de los profesores de preescolar mediante la función P (x). (Eleje x representa el porcentaje acumulado de la población y el eje y elporcentaje acumulado de los ingresos de cada grupo).

a) Encuentre el valor de S(0, 7) e interprete lo que representa dichoresultado.

b) Determine a partir de la observación de sus gráficas. ¿Cuál pro-fesión tiene una distribución de ingreso más equitativa? Justifique suelección.

10) Integre:

2

X

6) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 2xy sobre la región que se muestra en lafigura

7) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 8x + ey sobre la región que se muestraen la figura


Integral), con la colaboración de Juvitsa Campos, Silvia Solano, Luz

Adriana Pineda, Dalila Fajardo (Profesoras de la materia CI)

6) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 2xy sobre la región que se muestra en lafigura

7) Evalúe la integral Iterada de f(x, y) = 8x + ey sobre la región que se muestraen la figura


Integral), con la colaboración de Juvitsa Campos, Silvia Solano, Luz

Adriana Pineda, Dalila Fajardo (Profesoras de la materia CI)

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