6- equilibrio perfecto de nash

Economa Industrial

E ilib i P f tEquilibrio Perfectod N hde Nash

Prof. Carlos Navarro

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Preliminares

El tipo de juegos que analizaremos para definir el equilibrio perfecto de Nash, son juegos dinmicos con informacin completa

Se entiende por informacin completa cuando cada j d l i hi t i d l jjugador conoce la secuencia o historia del juego (siempre sabe donde est dentro del juego)

Estudiaremos un nuevo conceptos de equilibrio: Estudiaremos un nuevo conceptos de equilibrio: Equilibrio Perfecto de Nash en Subjuegos (EPNS).

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Cmo se soluciona este tipo de juegos?

La forma de solucionar este tipo de juegos es la induccin regresiva (backward induction)L id di idi l j l t bj i La idea es dividir el juego completo en subjuegos e ir solucionando cada uno de ellos de atrs hacia delante.Considere el siguiente ejemplo Considere el siguiente ejemplo

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Ejemplo UnoI D

T=1

D4

I D

T 2 Dos40

I D

T=2

Uno22T=3 2

I D

04

60

4

EjemploEjemplo(cont.) Uno

I D

T=1

D4

I D

T 2 Dos40

I D

T=2

Uno22T=3 2

I D

04

60

5


I D

T=1

D4

I D

T 2 Dos40

I D

T=2

60

22 02

6


I D

T=1

24

I D

240

Note que, en equilibrio, el jugador 2 no juega! El equilibrio debe denotar qu pasa en todos los nodosEl equilibrio debe denotar qu pasa en todos los nodos para cada jugador independientemente de si el jugador llega a ese nodo o no.g En este caso escribimos el EPNS: ( ){ }III ,,

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Acciones versus estrategias

En los juegos secuenciales s es muy importante distinguir, para cada jugador, entre el conjunto de estrategias y el conjuntos de accionesconjuntos de acciones.

Considere el siguiente ejemplo:

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Acciones versus estrategias (cont.)

Uno

I D

El jugador Uno tiene dos acciones (I,D) y dos estrategias (I D)

DosDos

estrategias (I,D). El jugador Dos tiene

igualmente dos accionesI DI D

igualmente dos acciones (I,D), pero cuatro estrategias: (I,I), (I,D),

24

62

42

00

g ( ) ( )(D,I), (D,D).

9


Uno

I D

Cul es el equilibrio perfecto de Nash en subjuegos (EPNS) en este

DosDos

subjuegos (EPNS) en este caso?

El jugador Dos juega D siI DI D

El jugador Dos juega D si el jugador Uno juega I, por lo tanto, el equilibrio de

24

62

42

00

qNash este subjuego es (I,D)

10


Uno

I D


DosDos


El jugador Dos juega I si elI DI D

El jugador Dos juega I si el jugador Uno juega D, por lo tanto, el equilibrio de Nash

24

62

42

00

qeste subjuego es (D,I)

11


Uno

I D


DosDos


Habiendo encontrado elID

Habiendo encontrado el equilibrio de todos los subjuegos, el EPNS es:

24

42

j g(D,(D,I))

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Definiciones:

Una estrategia es un plan completo que especifica todas las posibles acciones para el jugador, en cada uno de los eventos en lo que el jugador debe actuareventos en lo que el jugador debe actuar.

Una estrategia es un EPNS si: 9 Es un equilibrio de Nash para todo el juego9 Es un equilibrio de Nash para todo el juego9 Los planes de accin (estrategias) para cada uno de los subjuegos

son tambin equilibrios de Nash,

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Amenazas vacas

Se dice que una amenaza es vaca si no es ptimo para el jugador cumplirla.C id l i i t j l l A t Considere el siguiente ejemplo: la empresa A est pensando entrar a competir en un mercado dominado por la empresa B Sus acciones son Entrar (E) o No Entrarla empresa B. Sus acciones son Entrar (E) o No Entrar (NE).

La empresa B amenaza a la empresa A diciendo que siLa empresa B amenaza a la empresa A diciendo que si entra, ella Pelear (P).

La otra posibilidad de la empresa B es Coludir (C).p p ( ) Considere el siguiente juego secuencial entre A y B.

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Amenazas vacas (cont.)

A

E NE

BB

C PC P

5060

-200

0110

0110

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Amenazas vacas (cont.)

A

E NE


BB


Habiendo encontrado elC PC P

Habiendo encontrado el equilibrio de todos los subjuegos, el EPNS es: (E;

5060

j g (C,(C,P))

Las amenazas vacas no -200

0110

0110

alteran el equilibrio.

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Juegos secuenciales finitos

Considere la situacin donde dos individuos estn negociando cmo repartir $1.El j d U l j d D t f i El jugador Uno propone al jugador Dos tomar una fraccin ( ) del dlar y dejar ( ) al jugador Dos.El jugador Dos acepta o rechaza la oferta; si la acepta el

1s 11 s El jugador Dos acepta o rechaza la oferta; si la acepta el

juego se acaba y cada cual se lleva la fraccin del dlar negociado.negociado.

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Juegos secuenciales finitos (cont.)

Si el jugador Dos rechaza la oferta, entonces hace una contra-oferta para el perodo siguiente donde le propone al jugador Uno aceptar una fraccin ( ) y l quedarse consjugador Uno aceptar una fraccin ( ) y l quedarse con una fraccin ( ).

El jugador Uno acepta o rechaza la oferta; si la acepta el

2s21 s

El jugador Uno acepta o rechaza la oferta; si la acepta el juego se acaba y cada cual se lleva la fraccin del dlar negociado.g

Si el jugador Dos rechaza la oferta, el jugador recibe, en el siguiente perodo, una fraccin ( ) y jugador Dos recibe Suna fraccin ( ).

El juego se presenta en la siguiente figuraS1

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Uno(Ofrece)


(Ofrece)

DosDos(Rechaza)(Acepta)

Dos1s 11 sT=1 (Ofrece)

UU

1 1T 1

Uno(Rechaza)

Uno(Acepta)

T 2 FIN2s 21 sT=2

T=3

FIN

S S119

S


Sea r la tasa de inters. Comenzando atrs, tenemos que, para que el jugador Uno

t l f t T 2 idacepte la oferta en T=2, es requerido que:Ss 2

Igualmente, el jugador Dos ofrecer si y slo si:r

s + 122s

Ss +

111 2 r+1

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Juegos secuenciales finitos (cont.)S* Entonces . (ver ejercicio 6.3; pag. 98)r

Ss += 1*2

El jugador Uno puede resolver el problema del jugador Dos

Entonces, l anticipa en T=1 la oferta que recibir en T=2. Si el jugador Uno ofrece al jugador Dos , har la

i i t i( )11 s

siguiente comparacin:

( ) ssss 1111 *21*21( ) rsrs ++ 1111 11

21


Por otra parte, el jugador Uno debe escoger entre y el valor hoy de lo que recibir en T=2:

* Ss

1s

( )2121 11 rSs

rss ++

Esto indica que el jugador Uno ofrecer (ejercicio 6.4; pag. 100):

* 11 Ss +=

E t f t EPNS l t t l T 1 l j d U

( )21 111 rrs +++= Esta oferta es un EPNS; por lo tanto, el T=1 el jugador Uno

ofrece , el jugador Dos acepta y se acaba el juego.*1s

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El problema aqu es que nunca se llega al ltimo Juegos secuenciales infinitos

subjuego para comenzar la induccin regresiva. En el grfico anterior, suponga que en vez de FIN el

juego comienza de nuevo con el jugador Uno ofreciendojuego comienza de nuevo con el jugador Uno ofreciendo una fraccin .

Es decir, el juego que analizamos antes comienza otra1s

Es decir, el juego que analizamos antes comienza otra vez en T=3

Considerando esta situacin como un subjuego sabemos l ilib i d N h l j d fque el equilibrio de Nash es que el jugador ofrezca

( )2*1 1111 Ss ++=

en T=3 (lo que sera T=1 en el juego finito); oferta que el jugador Dos aceptar

( )211 rr ++

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jugador Dos aceptar.

Escribimos la oferta que hace el jugador Uno en T=3 como

Juegos secuenciales infinitos (cont.)q j g

funcin de S:

( ) ( )*111 SSs +=

Suponemos que es el pago ms alto que hace

( ) ( )21 111 rrSs +++AS g

indiferente al jugador Dos entre aceptar o no la oferta del jugador Uno en T=3:( ) 1 S A( ) ( )2*1 11 11 rSrSs A +++=

Entonces debe ser cierto que en T=1:

( ) AA SSs =*124

( ) SSs1

Sea la oferta que produce el pago ms bajo, pero

Juegos secuenciales infinitos (cont.)BS q p p g j , p

suficiente, para que el jugador Uno acepte, entonces:

( )* 11 SSs BB +S

Para el primer perodo tambin ser el pago ms

( ) ( )21 111 rrSs +++=BS ( )gbajo, por lo tanto en T=1 debe ser cierto que: ( ) BB SSs =*1

( ) En general para todo se cumple que por lo tanto:

S ( ) SSs =*1( ) S* 1( ) ( ) Sr

Sr

Ss =+++= 2*1 11

11

25

De esta forma resolviendo nos queda:

Juegos secuenciales infinitos (cont.)SSS BA == qSSS

( )rSSS +==+ 111

1

( ) rSSrr ++++ 2111 2

El jugador Uno ofrece , el jugador Dos acepta y se termina el juego. r

rs ++=

21*

1

y j g

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