teoría y cálculo de estructuras
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MSA, una aplicación para cálculo estructural con PythonTRANSCRIPT
Teoría y cálculo deTeoría y cálculo deestructurasestructuras
MSA, una aplicación para cálculoestructural con Python
Vigo, 25 de octubre de 2009. España© 2008, 2009 Jorge Rodríguez Araú[email protected]
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Índice 1. Cálculo de estructuras..................................................................1
1.1 Introducción................................................................................................1 1.2 Cálculo........................................................................................................1
1.2.1 Cálculo de reacciones........................................................................................2 1.2.2 Cálculo de solicitaciones....................................................................................2 1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros...................................................................2
1.3 Resolución de una estructura simple..........................................................2 1.4 Cálculo resistente........................................................................................4
1.4.1 Ejemplo..............................................................................................................5 1.5 Esfuerzos térmicos......................................................................................6 1.6 Pandeo........................................................................................................6
1.6.1 Cálculo a pandeo...............................................................................................7 1.6.2 Longitud de pandeo...........................................................................................7
1.7 Fatiga..........................................................................................................8 1.8 Acciones en la edificación...........................................................................8
2. Determinación de desplazamientos y giros...............................10 2.1 Teoremas de Mohr.....................................................................................10
2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos.......................................10 2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos.....................................11
2.2 Teorema de Castigliano.............................................................................13 2.2.1 Método de la acción unidad.............................................................................13
2.3 Potencial interno.......................................................................................13 2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...............................................14
3. Pórtico simétrico.........................................................................16 3.1 Cálculo de acciones...................................................................................17 3.2 Cálculo de correas de cubierta..................................................................18
4. Estructuras reticuladas...............................................................19 4.1 Introducción..............................................................................................19 4.2 Ejemplo.....................................................................................................19 4.3 Principio de los trabajos virtuales..............................................................20
4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos.........................................21
5. Método de la rigidez...................................................................22 5.1 Introducción..............................................................................................22 5.2 Método......................................................................................................22
5.2.1 Descripción estructural....................................................................................22 5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente.................23
5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra.......................................................................................23 5.2.2.2 Vector de cargas nodales........................................................................................23 5.2.2.3 Matriz de rotación...................................................................................................23
5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura.................24 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura............................................................................24 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura...........................................................................24
i
5.2.4 Introducción de las condiciones de contorno...................................................24 5.2.5 Solución del sistema de ecuaciones.................................................................24 5.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones...................24 5.2.7 Comprobación del equilibrio............................................................................25
5.2.7.1 Equilibrio global......................................................................................................25 5.2.7.2 Equilibrio local.........................................................................................................25
5.3 Barra con carga uniformemente distribuida..............................................25 5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto..........................................................25 5.3.2 Diagramas de esfuerzos..................................................................................26 5.3.3 Deformada.......................................................................................................26
5.4 Comprobaciones.......................................................................................27 5.4.1 Comprobación a resistencia.............................................................................27 5.4.2 Comprobación a deformación..........................................................................27 5.4.3 Comprobación a pandeo..................................................................................28
5.5 Implementación (MSA)..............................................................................28 5.6 Ejemplo.....................................................................................................29
5.6.1 Definición del problema...................................................................................29 5.6.2 Solución...........................................................................................................30
6. Cálculo de una marquesina........................................................34 6.1 Introducción..............................................................................................34
6.1.1 Parametrización...............................................................................................34 6.1.2 Hipótesis de carga...........................................................................................34
6.2 Cálculo de reacciones...............................................................................35 6.2.1 Peso propio......................................................................................................35 6.2.2 Carga de viento...............................................................................................36
6.3 Cálculo de solicitaciones...........................................................................36 6.3.1 Diagramas de esfuerzos..................................................................................37
6.4 Cálculo resistente......................................................................................37 6.4.1 Cálculo de la viga.............................................................................................37 6.4.2 Cálculo del pilar...............................................................................................38
6.5 Cálculo de desplazamientos......................................................................38 6.6 Placas de anclaje.......................................................................................39
6.6.1 Dimensionado de la placa................................................................................40 6.7 Referencias...............................................................................................41
7. Anexo.........................................................................................42 7.1 Principales materiales estructurales.........................................................42 7.2 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos..................................43 7.3 Parámetros elásticos del material.............................................................44 7.4 Otras características de los materiales.....................................................45 7.5 Momentos de inercia.................................................................................45 7.6 Forjados....................................................................................................46 7.7 Cimentaciones...........................................................................................46 7.8 Pasos para la ejecución de una edificación...............................................47 7.9 Matriz de rigidez local 3D..........................................................................48
ii
Cálculo de estructuras
1. Cálculo de estructuras 1.1 IntroducciónUna estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno.Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre si por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro será libre.El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre el que actúan las cargas verticales provenientes del forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los pórticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la acción del viento.Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de elementos estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su función la de resguardar el espacio interior a la edificación.En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los pórticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado en frío, que como elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los cerramientos y transmitir su carga.Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a compresión.Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus dimensiones se conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto para las de la sección, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la línea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma. 1.2 CálculoEl cálculo de una estructura se puede reducir, de forma genérica, a los siguientes tres pasos fundamentales: cálculo de reacciones, cálculo de momentos y cálculo de desplazamientos y giros.
1
Cálculo de estructuras
1.2.1 Cálculo de reaccionesPara el cálculo de reacciones se plantean las ecuaciones de la estática ( ∑ F=0 , ∑M=0 ), y se resuelven las incógnitas.Cuando existan uniones articuladas, dado que permiten libremente el giro entre las dos secciones que unen, se tiene que la suma de momentos vista a cada uno de los lados ha de ser nula, lo que añadirá una nueva ecuación al sistema.Cuando la estructura es hiperestática, o sea, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones ( GH= I−E0 ), se sustituyen las ligaduras necesarias por las reacciones correspondientes hasta que el sistema sea isostático, y se igualan sus desplazamientos a cero.
Tipos de apoyos
Apoyo articulado móvilPermite desplazamiento y
giro
Apoyo articulado fijo Permite giro
EmpotramientoNo permite ningún
desplazamiento
1.2.2 Cálculo de solicitacionesPor norma general, los desplazamientos y giros debidos a esfuerzos normales y cortantes serán despreciables frente a los producidos por flexión o torsión, de tal modo que se puede reducir el problema al cálculo de los momentos.Para ello, se secciona la estructura por cada uno de los tramos en que no existen cambios en los estados de carga y se calculan los esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores en cada una de las secciones según el criterio de signos adoptado. 1.2.3 Cálculo de desplazamientos y girosPara el cálculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de Mohr y Castigliano, explicados más adelante.
1.3 Resolución de una estructura simpleCalcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura.2
Ejes globales
X
Y
Z
Si existe una carga aplicada sobre una rótula, se divide la estructura en dos y se suponen aplicadas en cada parte de la estructura dos cargas que sumarán finalmente la carga aplicada y cuyos desplazamientos serán iguales en ambas partes.
Cálculo de estructuras
Dado que en una articulación el momento es nulo, de modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos normal y cortante, dividimos la estructura por las rótulas, de tal modo que:
Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales, y dado que la carga está centrada, ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P.Ahora se pueden representar los tramos AC y EG, de tal modo que:
K B=3 E IL
K F=4 E ILLa rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado,
de tal modo que K=M
. Sabiendo que para barras empotradas K=4⋅E⋅I zL
, y para barras con 3
A BC
L L
EF G
L L
2P
L
D
L
Criterio de signos
N>0
V>0
Mf>0
Mt>0
2P
D
C E
RC=P R
E=P
Mf
+ PL
A BC
P
L L
Mf
- PL
EF G
P
L L
Mf +
- PL
PL/2
Cálculo de estructuras
apoyo articulado K=3⋅E⋅I zL
, se puede utilizar para determinar el giro en el extremo de una barra.Cuando en un determinado punto confluyen más de dos barras, se utilizan los coeficientes de reparto ( C r ) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por cada una de las barras que concurren en el, de modo que:
C r=Kbarra
K=M barra
MSiendo ( K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo), dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el mismo ángulo. 1.4 Cálculo resistenteCada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de forma elástica por el material, de modo que la máxima tensión que debe soportar será la causada por la suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones.
Solicitaciones Tensiones generadas
N Tracción / Compresión =NS
=E⋅ (Ley de Hooke)
V Cortadura =V⋅M e
B⋅I z
M F Flexión =M F⋅yI z
(Ecuación de Navier)
M TTorsión
(barras cilíndricas)=
M T⋅rI p
(Teoría elemental de Coulomb)
Tabla 1: Esfuerzos producidos por cada una de las solicitaciones
En la ecuación de Navier, dado que y es la distancia a la línea neutra, el esfuerzo normal máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad de la sección, motivo por el cual los perfiles laminados empleados en estructuras metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la mayor cantidad posible de material.Como esa distancia es una característica geométrica de la sección, al igual que el momento de inercia, se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente: W z=
I zymax
4
Cálculo de estructuras
Teniendo en cuenta que normalmente los esfuezos debidos al cortante serán despreciables, frente a los del normal y los del momento flector, se tiene que el material debe verificar:NS
M F
W z≤adm
Así, el esfuerzo normal máximo se dará donde la suma de las tensiones debidas al normal y al flector sea máxima, teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas según sean de tracción o compresión.Dado que en el estudio resistente de los materiales se considera que son homogéneos, para garantizar su resistencia en la práctica, hay que considerar un coeficiente de seguridad ( ) sobre su resistencia característica ( f k ), teniéndose que la tensión admisible ( adm ) vendrá dada por:adm=
f kSiendo para el acero s=1,15 , y para el hormigón c=1,5 .
1.4.1 EjemploDeterminar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1 metros respectivamente, verifique la condición de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg, siendo la tensión admisible ( adm = 1600 kg/cm2).
B=0 ⇒RB⋅LAB
3
3 E I=P⋅LBC⋅LAB
2
2 E IP⋅LAB
3
3 E I ⇒ 2 RB⋅L AB
3 =3 P LBC⋅LAB2 2 P⋅LAB
3 ⇒ RB=
3 P⋅LBC2P⋅LAB
2 LAB= 6875 kg
5
LBC
LAB
A B C
P
El estudio de los esfuerzos y la determinación de aquellos que sean máximos es lo que justifica la determinación de los diagramas de solicitaciones.
Cálculo de estructuras
Condición de resistencia IPE 330 max=
M max
W zadm max = 7,01 kg/mm2
max=V max
A
adm
3 max = 2,46 kg/mm2
1.5 Esfuerzos térmicosUn elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra contracciones o dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se encuentren impedidas.Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en función de la variación de la temperatura, de modo que:L f =Li1⋅T donde es el coeficiente de dilatación lineal térmica.Debido a esta dilatación se producirá en la barra una tensión normal de valor:
=⋅T⋅E
1.6 PandeoCuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresión, típicamente pilares metálicos, se puede producir el fenómeno conocido como pandeo.
6
LBC
LAB
A B C
P
RB
Mf
5000 kg·m
2500 kg·m
-
+
Cálculo de estructuras
El pandeo es la pérdida de equilibrio que experimenta una barra prismática de cuerpo elástico sometida a compresión axial. Cuando dicha barra es suficientemente esbelta (larga y delgada), y la carga sobrepasa un cierto valor denominado carga crítica, la barra pasa a estar en equilibrio inestable, lo que significa que la más mínima alteración (que siempre existe) provoca el agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de la carga.De modo que la carga crítica o de pandeo representa el menor valor de la carga de compresión que provoca que la barra pase del equilibrio estable al inestable, pudiendo ceder aún cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de compresión. 1.6.1 Cálculo a pandeoLa carga crítica ( N cr ) se determina a partir de la expresión de la carga crítica de Euler (caso fundamental), conociendo la longitud de pandeo ( L p ), dado que es la longitud equivalente a la que tendría en el caso fundamental.
N cr=2⋅E⋅I min
L p2 donde Imin es el momento de inercia mínimo de la sección.
Por medio del cálculo de la esbeltez ( ) se verifica que se puede aplicar la ecuación de Euler (105 ) y se establece el coeficiente de seguridad a pandeo ( C sp=3,5 ).
=L p
r gmin donde r gmin=IminS es el radio de giro mínimo de la sección.
Así, la tensión crítica se define como : cr=N cr
S=
2⋅E2
1.6.2 Longitud de pandeoSe denomina longitud de pandeo a aquella equivalente a la de una barra biarticulada sometida a un
esfuerzo normal de compresión que tenga la misma carga crítica que la considerada.
Así, la longitud de pandeo ( Lk ) viene dada por el coeficiente de pandeo ( ) según la longitud
7
Existen tres tipos de equilibrio a los que puede estar sometido un cuerpo:
- Equilibrio estable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este retorna a su antigua posición.(esfera sobre superficie cóncava)
- Equilibrio indiferente: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este permanece en su nueva posición. (esfera sobre superficie plana)
- Equilibrio inestable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este se aleja más de su posición inicial. (esfera sobre superficie convexa)
Cálculo de estructuras
real de la barra ( L ), de tal modo que: Lk=⋅L
En el caso de piezas de sección constante
sometidas a compresión centrada, se tiene que:
– Barra biarticulada: =1
– Barra biempotrada: =0,5
– Barra empotrada- articulada: =0,7
– Barra empotrada-libre: =2
1.7 FatigaCuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos variables de forma continuada, se pude producir su rotura aunque en ningún caso se haya sobrepasado su límite resistente.A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin deformación plástica (frágil) por debajo de su resistencia, o incluso de su límite elástico, se lo conoce como rotura por fatiga.Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el material no sufre la rotura por fatiga. A esta tensión se la denomina límite de fatiga ( e ) y consideraremos que su valor admisible vendrá dado por:e , ad=
e
C siendo e=
R
2, y R la tensión de rotura.
1.8 Acciones en la edificaciónLas acciones que pueden aparecer sobre una edificación se dividen en tres grupos:– Acciones permanentes (G)– Acciones variables (Q)– Acciones accidentales (A)Y quedan recogidos en el documento básico, DB SE-AE, del Código Técnico de la Edificación.
Acciones permanentes (G)Acciones que siempre se encuentran presentes.
Peso propioAcciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas
cargas cuyo carácter sea permanente, como en el caso de determinados equipos industriales de ubicación fija.
Acciones variables (Q)Acciones que por su carácter no son permanentes.
8
L
β = 1β = 2β = 0,5 β = 0,7
Cálculo de estructuras
Sobrecarga de uso
Acciones climáticas
Viento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a la superficie expuesta y vienen determinadas por la presión dinámica del viento (función del emplazamiento geográfico de la obra), por un
coeficiente de exposición (función de la altura del punto considerado y del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente eólico de
presión (función de la forma y orientación de la superficie).En construcciones diáfanas sin forjados intermedios (naves) hay que considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos
dado que pueden dar lugar a succiones en el interior.
Nieve Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud, y de un coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulación de
nieve.
Térmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando se encuentran impedidas, las dilataciones y contracciones causadas por las
variaciones térmicas.Tanto en estructuras metálicas como de hormigón no se contemplan mientras no existan elementos continuos de más de más de 40 m de longitud, en cuyo caso, para evitar su aparición, se colocan juntas de
dilatación.
Acciones accidentales (A)Acciones cuyo carácter es fortuito y eventual.
SismoLas acciones debidas a movimientos sísmicos son contempladas por la
Norma de construcción sismorresistente (NCSE).
IncendioLas acciones producidas por un incendio son contempladas por el
documento básico de seguridad en caso de incendio (DB-SI).
Impacto
Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea) producidas, normalmente, por la colisión de un vehículo, típicamente, en garajes y
naves.El análisis del problema de impacto suele reducirse a la determinación de la carga estática equivalente, o sea, aquella que aplicada sobre la
estructura provocaría la misma deformación que la de impacto.A partir de las diferentes acciones posibles, se generan una serie de hipótesis de cálculo, por medio de sumas ponderadas según el tipo de acción y efecto, favorable o desfavorable, que servirán para el correcto diseño y dimensionado de la estructura.
9
Determinación de desplazamientos y giros
2. Determinación de desplazamientos y girosHay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su mismo sentido, mientras que un momento causa un giro. Así, la deformación k será aquella correspondiente a la acción exterior F k , de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento (), y si se trata de un momento (M) es un giro ().
2.1 Teoremas de Mohr
2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos
Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones, dividido por la rigidez a flexión ( E I z ).AB=∫
A
B M F
E I zdx
Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con respecto a la tangente en un punto de la viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambos puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo, dividido por la rigidez a flexión.B t A=∫
A
B
x BM F
E I zdx
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en voladizo que presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q.
M f=−q⋅x⋅x2
10
Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que utilizar
momentos torsores ( M T ) y la rigidez a torsión ( G I p ).
L
A B
q
x
A
Determinación de desplazamientos y giros
A=∫0
L q⋅x2
2 E Idx= q⋅L3
6 E I
A=∫0
L q⋅x2
2 E I⋅x dx= q⋅L4
8E I
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A.
Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de superposición, los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. Así:
Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que combinados, compondrán los de la estructura inicial. 2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutosLa determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada.Dada una viga, a la que llamaremos primitiva, definimos la viga conjugada de la primera como aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya única carga sea repartida de valor en cada sección igual al momento flector dividido por la rigidez ( E⋅I z ), en la correspondiente sección de la primitiva.Además, la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de sustentación:a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante articulaciones, los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma.b) Si un extremo de la viga primitiva está volado, el correspondiente extremo de la conjugada debe estar empotrado, y viceversa.c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por
11
φ
δ
P
A B
C
L L
M
A B
PC (II)
Mf
- PL
Mf
- M
(I)A B
CM +
Determinación de desplazamientos y giros
articulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada, y viceversa.Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido de giro es dextrógiro cuando el esfuerzo cortante en la sección de la viga conjugada es positivo.Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual al momento flector en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector en la sección de la viga conjugada es positivo.EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr.
Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos flectores que proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada.
M f=ML
⋅x−M
Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema de Mohr.
Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que provoca el momento M.
12
M
L
A B
M/L
Mf
-M
M A B
M/L
M/E
I
ML/2EI
2L/3L/3
Determinación de desplazamientos y giros
De modo que : A=M L3 E I
2.2 Teorema de CastiglianoEl teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección determinada, dado que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del sistema con respecto a la acción causante del desplazamiento en dicha sección.k=
∂U∂F k
2.2.1 Método de la acción unidadLa forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de Mohr, las cuales simplifican enormemente los cálculos. Así:1. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente, se supone y al final se iguala a cero.2. Se calculan las solicitaciones, teniendo en cuenta que normalmente bastará con calcular el momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables.3. Se derivan respecto a la carga, de tal modo que:N 1=
∂ N∂F k
M F1=
∂M F
∂F k M T 1
=∂M T
∂ F k4. Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dará la deformación producida por cada solicitación.N=∫
L
N⋅N 1
S⋅Edx M F
=∫L
M F⋅M F 1
E⋅I zdx M T
=∫Lf tM T⋅M T 1
G⋅I pdx
NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación simbólica que alguna otra carga, habrá que cambiársela para poder realizar la derivación, así como asignársela si viene dada por un valor numérico. 2.3 Potencial internoCuando un cuerpo es sometido a deformación se generan unas fuerzas internas que producirán un trabajo conocido como energía de deformación o energía interna. Esta energía vendrá dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema.El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuación de Clapeyron:
13
φ
Determinación de desplazamientos y giros
W ii=12P i⋅ i
Y el trabajo indirecto o mutuo: W ij=P i⋅ij⋅P j , donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recíprocos son iguales, o sea W ij=W ji ∀ i≠ j .Por ejemplo, para un sistema cargado con una fuerza y un momento:U= 1
2P A
12M B=
12P2⋅ AA
12M 2⋅BBP⋅M⋅AB
Como el potencial interno no es función lineal de las acciones, no es aplicable el principio de superposición a la energía interna. Sin embargo, la energía interna puede ser determinada por medio de la suma de las energías de deformación debidas a cada una de las solicitaciones, cuyas expresiones son:U N =∫
L
N 2
2⋅E⋅Sdx U M F
=∫L
M F2
2⋅E⋅I zdx
U V=∫Lf c
V 2
2⋅G⋅Sdx U M T
=∫Lf t
M T2
2⋅G⋅I pdx
De modo que finalmente tendremos que la energía total del sistema vendrá dada por la suma de las producidas por cada solicitación.U TOTAL=U NU VU M F
U MTComo las energías de tracción y cortadura suelen ser despreciables cuando coexisten con las de flexión y torsión, el problema se reducirá a la determinación de la energía interna debida a flexión. 2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-BettiEl cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas de acciones distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo.
∑ F i I ⋅i II =∑ F j II ⋅ j I Así:1. Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento.2. Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos puntos donde 14
Determinación de desplazamientos y giros
existen cargas aplicadas en el sistema (I).3. Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado.EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema de Betti.Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento.
De este modo: M⋅A II =P⋅B I
Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale: A II =−PL⋅L /2
B I =−M L2
2Que como tiene signo menos, significa que el desplazamiento será hacia arriba.
15
A B
PC
L L
A BC
L L
M(I) (II)
A B
PC (II)
Mf
- PL
Pórtico simétrico
3. Pórtico simétricoUno de los conjuntos estructurales más recurrido, en las edificaciones industriales, es el pórtico rígido biempotrado a dos aguas. Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentación y a los que se encuentra rígidamente unido el dintel.
Cuando el pórtico es metálico es necesaria la comprobación a pandeo, pero en el plano perpendicular al mismo, el pandeo se encontrará impedido gracias a la acción de arriostramiento de las correas y del muro de cerramiento perimetral.Este conjunto presenta la particularidad de ser simétrico, tanto de material, como de geometría, como de condiciones de sustentación, de modo que su resolución teórica se simplifica notablemente.Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos, cuya suma será igual a la primera. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno antisimétrico (las cargas a un lado del eje de simetría son de sentidos contrarios a los que le corresponderían si fuesen simétricas).
La simplificación que conlleva la descomposición del problema en dos, viene de que, en la sección situada en el plano de simetría, en la parte simétrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo cortante son nulos (δH = φ = V = 0), mientras que en la parte antisimétrica lo son el desplazamiento vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (δV = N = Mf = 0).A la estructura con carga simétrica se la denomina también como no traslacional, dado que sus 16
Ilustración 1: Pórtico rígido
A
B C
E
D
15
6
5
A
B
MC
E
D
Mφ = 0δH = 0
V = 0
Simétrico
A
B
MC
E
D
MδV = 0
N = 0
Mf = 0
Antisimétrico
+
Pórtico simétrico
nudos no sufren desplazamiento lineal si sólo se tiene en cuenta la flexión. 3.1 Cálculo de accionesUna nave industrial de 15x30 m2 presenta una estructura constituida por pórticos rígidos a dos aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera, con una separación entre los mismos de 5 m. La cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich, que se apoya en la estructura a través de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1,5 m. Esta edificación presentaría una serie de acciones que para el cálculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y directamente aplicadas sobre el pórtico.
ACCIONESAcciones permanentes (G)
Peso propio (G)- Peso de los paneles- Peso de las correas
Acciones variables (Q)Sobrecarga de uso (Q1) - Sobre carga de mantenimiento
Viento (Q2)Nieve (Q3)Para el cálculo de la sobrecarga de uso, dado que la cubierta sólo es accesible para personal de mantenimiento, según CTE (DB-SE AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles únicamente para conservación es de 1 kN.Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia, de modo que el momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente.
Momento máximo(se produce en el centro x = L/2)
Viga biarticulada con carga puntual en el centro
M c=P⋅L4
Viga biarticulada con carga uniformemente repartida M c=
q⋅L2
8
17
L
A BP
L
A B
q
Pórtico simétrico
Así, la carga distribuida que genera el mismo momento máximo que una puntual ( P = 100 kg) viene dada por q= 2⋅P
L , de tal modo que para L = 5 m: q = 40 kg/mFinalmente, como la distancia entre correas ( d ) será de 1,5 m y la carga es absorbida por una
única correa ( qd ), tendremos una sobrecarga superficial de 26,67 kg/m2.
3.2 Cálculo de correas de cubiertaLas correas son los elementos resistentes cuya misión es soportar el peso de los cerramientos, en particular, el peso de la cubierta. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que actuarán como soporte del faldón del tejado cuando la cubierta es inclinada. En este caso, el momento flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil, con lo que se trata de un caso de flexión desviada, y por tanto, habrá que resolverlo por superposición.
De este modo, se tiene que la tensión máxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas según los ejes del perfil.M z
W zM y
W yadm [flexión desviada]
Una viga que cubre tres o más vanos, o sea, que tiene más de tres apoyos, se la conoce como viga continua, y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexión, y por tanto una menor flecha, aunque es muy sensible a los asientos diferenciales.
M max=q⋅L2
10
18
L
q
L L
α
yq
zα
q
qz = q·sen α
qy = q·cos α
Estructuras reticuladas
4. Estructuras reticuladas 4.1 IntroducciónLas estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si sólo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a compresión. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá.Para la resolución de una estructura reticulada todas las cargas deben estar aplicadas en los nudos, para de ese modo considerar que todas las barras se encuentran sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). Así, cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos, y cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho de encontrarse cargada. Además, recordar que cuando la barra está sometida a tracción, el nudo lo está a compresión, y viceversa.Si la estructura es hiperestática interiormente ( GH=3b – 2⋅n > 0, donde b es el número de barras y n el de nudos), para su resolución hay que eliminar un número de barra igual a GH y sustituirlas por las fuerzas que ejercerían, fijando las condiciones que imponían sus coacciones. 4.2 EjemploDeterminar los esfuerzos normales en las barras, cuando la barra que se encuentra cargada es la BC.
19
Ilustración 2: Modelo estructural para soporte de colectores solares
A
B
C
L · cos(α)
L · s
en(α
)
α
L
Estructuras reticuladas
GH=3b – 2⋅n = 3 + 3 – 2·3 = 0 Estructura isostática⇒1. Cálculo de reacciones.
RHA=qv⋅LAB
RVA= q p⋅LAC2
2−qv⋅LAB
2
2 /LAC
RVC=q p⋅LAC2
2qv⋅LAB
2
2 /LAC
4.3 Principio de los trabajos virtualesSi superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de desplazamientos arbitrarios compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud infinitesimal (desplazamientos virtuales), el incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicación de los desplazamientos será igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo será igual al trabajo virtual interno.20
A
B
C
LAC
LAB
qp
qv
A
B
C
qp·L
AC
qv·L
AB
RHA R
VCR
VA
D
Estructuras reticuladas
4.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientosEn estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P.T.V. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales, de tal modo que:1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).2. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio).Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido, y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido, o a un momento de igual dirección y sentido, y punto de aplicación que el giro que se busca.3. Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que para sistemas de nudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por:=∑ N i '
N i⋅LS Edonde:
N i son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de
fuerzas real. N i ' son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de
fuerzas virtual.
21
Método de la rigidez
5. Método de la rigidez 5.1 IntroducciónUn sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos ( L ) y sus desplazamientos ( D ) a través de la matriz de rigidez ( S ) de la estructura.
L=S⋅D La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que el método se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural.1. Descripción de la estructura.2. Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas nodales equivalente.3. Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del vector de cargas global de la estructura.4. Introducción de las condiciones de contorno.5. Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de ecuaciones).6. Cálculo de solicitaciones en los extremos de las barras.7. Cálculo de reacciones. 5.2 Método
5.2.1 Descripción estructuralLa estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X, Y, Z) respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus cargas.Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x, y, z) respecto al cual se definen sus características, así como las acciones aplicadas sobre ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geométrico de la barra, mientras que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la sección transversal de la barra.22
Ilustración 3: Sistema de referencia local
h
tw
y
zx
b
Entrada de datosEntrada de datos
Algoritmo de cálculoAlgoritmo de cálculo
Salida de resultadosSalida de resultados
Método de la rigidez
5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente
5.2.2.1 Matriz de rigidez de barraLa matriz de rigidez ( k ) de una barra respecto al sistema de referencia local ( x , y , z) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial ( 1 ) y final ( 2 ) de la barra se define de forma única como:
k=[E AL
0 0 −E AL
0 0
0 12 E IL3
6 E IL2 0 −12 E I
L36E IL2
0 6 E IL2
4 E IL
0 −6 E IL2
2 E IL
−E AL
0 0 E AL
0 0
0 −12 E IL3
−6 E IL2 0 12 E I
L3−6 E IL2
0 6 E IL2
2 E IL
0 −6 E IL2
4 E IL
] Así, por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra ( f ) con los desplazamientos nodales en ejes locales ( d ). 5.2.2.2 Vector de cargas nodalesLas cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que, aplicadas en los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales, siendo estas cargas equivalentes ( p ) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo. 5.2.2.3 Matriz de rotaciónDado que una barra puede presentar una orientación arbitraria ( ), medida en el sentido levógiro, se define la matriz de rotación ( r= f ) para convertir los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:
r=[cos sin 0 0 0 0
−sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 −sin cos 00 0 0 0 0 1
]Así, la matriz de rigidez de la barra en el sistema de referencia global ( K ), se define como:
23
Método de la rigidez
K=r t⋅k⋅rY el vector de cargas global de la barra, como:P=−r t⋅p
5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura
5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructuraLa matriz de rigidez de la estructura ( S ) se construye como la suma de las rigideces correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. Para ello se identifican las submatrices que componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posición correspondiente en S.S=∑ K K=[K 11 K 12
K 21 K 22] 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructuraEl vector de cargas de la estructura ( L ) se construye como la suma de las cargas aplicadas en cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.
L=∑ P P=[P1
P2] 5.2.4 Introducción de las condiciones de contornoLas filas y columnas de cada desplazamiento impedido se ponen a cero, salvo el elemento de la diagonal que se igual a uno, y se elimina la acción (carga) correspondiente. 5.2.5 Solución del sistema de ecuacionesLa resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales ( D ) en función de sus cargas ( L ), de tal modo que:
D=S−1⋅L
5.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones
– Las solicitaciones ( f ) en los extremos de cada barra se calculan por medio de la matriz de rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos, y se aplica una transformación para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.F=K⋅D f =r⋅F
– Las reacciones ( R ) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el resultado de 24
Para resolver estructuras reticuladas hay que
igualar los momentos de inercia a 0 ( I z=0 )
Método de la rigidez
sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo más las cargas que sobre el se encuentran aplicadas.R=∑ F
5.2.7 Comprobación del equilibrio
5.2.7.1 Equilibrio globalPara comprobar los resultados obtenidos por el método de la rigidez se aplican las ecuaciones de equilibrio global de la estructura, cargas frente a reacciones.∑ F X=0 ∑ F Y=0 ∑M Z=0
5.2.7.2 Equilibrio localPara verificar la precisión del cálculo se plantean las ecuaciones locales de cada barra.∑ F x=0 ∑ F y=0 ∑M z=0La precisión de la solución final se mide a través del cálculo del error cuadrático medio de los errores determinados a través de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.
∑ F x=N 1N 2F x1F x2
∑ F y=V 1V 2F y1F y2
∑M z=M 1M 2M z1M z2V 2 – F y2 L
5.3 Barra con carga uniformemente distribuidaReacciones de empotramiento perfecto generadas por una carga uniformemente distribuida.
5.3.1 Reacciones de empotramiento perfectoLas reacciones de empotramiento perfecto son las que aparecen cuando una barra cargada se encuentra empotrada.Para el cálculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el centro.
25
21
q
L
Método de la rigidez
Dado que la carga está aplicada de forma simétrica las reacciones y momentos generados son iguales en ambos extremos, pero dado que los momentos tienen sentidos opuestos, los signos serán distintos según sea levógiro (positivo) o dextrógiro (negativo).V 1=V 2=−q⋅L
2
M 1=−M 2=q⋅L2
12
5.3.2 Diagramas de esfuerzosLa ley de momentos ( M x ) de una barra sometida a la acción de una carga uniformemente distribuida ( q ) vine dada por:
M x =M 1V 1⋅x−q⋅x⋅x2
x∈[0, L]
Y por tanto, el momento flector máximo, que es aquel donde la derivada vale cero:V 1 – q⋅x=0 ⇒ x=
V 1
q
M max=M 1V 1
2
2⋅q
5.3.3 DeformadaLa ecuación de la elástica o deformada ( y x ) se obtiene a partir de la ecuación diferencial de la línea elástica:y ' ' x =
−M x E⋅I zIntegrando:
y ' x=−1
E⋅I z M 1 xV 1x2
2 q x3
6 C1
26
V1
M2
M1
V2
q·L
M1
V1
x
Método de la rigidez
y x =−1
E⋅I z M 1x2
2 V 1x3
6 q x4
24 C1 xC2
y ' 0=C1=1 y y 0=C2=1
5.4 ComprobacionesPara calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los criterios de tensión, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que indican que el material soportará la tensión a la que se encontrará sometido en la estructura bajo las condiciones previstas, el segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones máximas admisibles bajo un determinado uso, y el tercero el de estabilidad.Así, para el dimensionado de los elementos estructurales habrán de verificarse los estados límite de servicio (ELS) y último (ELU).– Estado límite último de resistencia.– Estado límite de servicio de deformación.– Estado límite último de pandeo. 5.4.1 Comprobación a resistenciaSe ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del material minorada (tensión última del material).Así, la resistencia de una sección a solicitación compuesta ( N + M + V ):
NA
M z
W zM y
W y≤ f yd siempre que V1
2Av
f yd3
con f yd=f y =u y Av=h⋅tw
Para el acero más típicamente usado en España, S275JR, la tensión de límite elástica: f y=275 N/mm2. 5.4.2 Comprobación a deformaciónSe ha de comprobar bajo cargas sin mayorar la limitación de flecha, la cual se especifica según servicio en forma de flecha máxima relativa, que es aquella cuyo valor es función de la longitud del tramo.
f f admLa flecha de un elemento estructural es el desplazamiento en la dirección normal a su directriz, siendo por tanto el valor puntual de la deformación ( y x ) que sufre una pieza sometida a flexión (27
Método de la rigidez
M x ). 5.4.3 Comprobación a pandeoSe ha de comprobar, bajo cargas mayoradas, la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos sometidos a compresión como los pilares metálicos. Dado que si se alcanza la carga crítica ( N cr ), el equilibrio del elemento estructural pasará a inestable y cualquier perturbación, por pequeña que sea, provocará una curvatura inicial que irá creciendo hasta llegar al colapso de la pieza, dando lugar al fenómeno de pandeo.Así, se definen los coeficientes de pandeo ( ) según las condiciones de vínculo en los extremos, con lo que se obtiene la longitud de pandeo ( Lk=⋅L ), y con ella la carga crítica de Euler:
N cr= Lk
2
⋅E⋅I
Finalmente, la comprobación a pandeo: ≤ cr=2⋅E
2
=Lk
i [esbeltez mecánica]
i= IA [radio de giro]Para que la teoría de Euler sea aplicable: ≥103,9 , aunque hay que tener en cuenta que se recomienda que no supere 200.En la antigua Norma Básica de la Edificación, la comprobación a pandeo se realiza por medio de la
determinación de unos coeficientes de pandeo ( = u
cr) tabulados, que se determinan en función de
la resistencia del material ( f y ) y de la esbeltez mecáncia ( ) del perfil. Teniéndose:N⋅A
MW z
≤u
5.5 Implementación (MSA)Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para cálculo matricial (Numpy) y representación gráfica (matplotlib).Con la unión de estos “softwares” se tiene una herramienta de programación similar a MATLAB, multiplataforma, open source y con coste cero.28
Método de la rigidez
Aunque “MSA” se encuentra en desarrollo se puede descargar la última versión disponible en la página del proyecto:
http://code.google.com/p/msapy/Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto, se esperan sugerencias, comentarios, colaboraciones...
Las estructuras reticulares sólo admiten cargas en los nudos, mientras que las de nudos rígidos, también admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra. 5.6 Ejemplo
5.6.1 Definición del problemaEl problema se define en el archivo “input.csv” como: Material;Tipo;E[N/m2];fyd[N/m2];M0;MAT;29000;330;Propiedades;Tipo;A[m2];Iz[m4];Wz[m3];P0;PROP;0,12;0,006;0,001; Nudos;X[m];Y[m];Tipo;FX[N];FY[N];MZ[Nm];N0;2,40;1,80;rj;0;0;0;N1;0;0;fs;0;0;0;29
2
1
0
250
0
1
2,40 2,40
1,80
I = 0,006A = 0,12E = 29000
Descarga MSA
[ Requiere Python, Numpy y matplotlib ]
Método de la rigidez
N2;4,80;1,80;fs;0;0;0;Barras;Ni;Nf;qy[N/m];Tipo;B0;1;0;0;PROP;B1;0;2;-250;PROP; 5.6.2 Solución
Informe de resultados
Nudos Coordenadas CargasX [m] Y [m] FX [N] FY [N] MZ [Nm]
0 2.4 1.8 0 0 01 0.0 0.0 0 0 02 4.8 1.8 0 0 0
Barras Propiedades CargasL [m] A E Iz qy [N/m]
1/0 3.00000 0.12 29000 0.0060000 00/2 2.40000 0.12 29000 0.0060000 -250
30
Método de la rigidez
Nudos ReaccionesRX [N] RY [N] MZ [Nm]
0 0.00 0.00 0.001 204.49 184.84 46.472 -204.49 415.16 -247.32
Esfuerzos
31
Método de la rigidez
32
Método de la rigidez
Barras N1 V1 M1 N2 V2 M21/0 274.50 25.18 46.47 -274.50 -25.18 29.070/2 204.49 184.84 -29.07 -204.49 415.16 -247.32
Desplazamientos
Nudos DesplazamientosdX [m] dY [m] gZ [rad]
0 0.141029 -0.582434 -0.1499991 0.000000 0.000000 0.0000002 0.000000 0.000000 0.000000
______________________________
Informe generado mediante MSA, con la aplicación del método matricial de la rigidez.
MSA - Copyright 2009, Jorge Rodríguez Araújo ([email protected]).
33
Cálculo de una marquesina
6. Cálculo de una marquesina 6.1 IntroducciónEl problema consiste en resolver el cálculo de la estructura metálica de una marquesina, cuyo modelo se plantea a continuación, aunque quedará pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de la cimentación necesaria.
6.1.1 Parametrización
6.1.2 Hipótesis de cargaLa estructura estará afectada por las acciones debidas al peso propio, la sobrecarga de nieve y la sobrecarga de viento; estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de ponderación según su clase (acción permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable).CTE-DB-SE-AEAsí, para la determinación de las acciones actuantes se tendrán en cuenta:
– Peso propio de la estructura.– Carga permanente debida al peso de la cubierta y las correas que la soportan.– Sobrecarga de viento según la zona eólica, la situación topográfica y la altura de la estructura.– Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de su inclinación y de la altitud de la localización de la obra.
34
b/cos α
a/cos α
D
H
a
L
α
A
B
C
L·sen αb·tan α
a·tan α
b
Cálculo de una marquesina
Se descompone en dos y se aplica superposición: (I) + (II)
6.2 Cálculo de reacciones
6.2.1 Peso propio
V D=q p⋅L
M D=q p
2⋅cos⋅b2−a2
35
A
B
C
D
qp
qv
A
B
C
D
qp
(I)
VD
MD
Cálculo de una marquesina
6.2.2 Carga de viento
H D=qv⋅L⋅sin
M D=qv2
⋅tan2 ⋅b2−a2
6.3 Cálculo de solicitacionesPara encontrar las solicitaciones internas se descomponen las cargas, de modo que: +
Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud ( L ) de la viga es:w N=q p⋅sin qv⋅sin ⋅cos
wV=q p⋅cos – qv⋅sin ⋅sin
36
HD
MD
A
B
C
D
qv
(II)
α
(I)qp
qp·cos αα
qp·sen α
αα
(II)
qv
qv·cos αq
v·sen α L·sen α
Cálculo de una marquesina
6.3.1 Diagramas de esfuerzos
6.4 Cálculo resistenteEl cálculo resistente responde a que las tensiones máximas no sobrepasen el umbral admisible por el material, y dado que los valores máximos se producen en las mismas secciones, se tiene que:max=
N max
ANmax
M max
W zMmax
≤ adm
6.4.1 Cálculo de la vigaTanto el esfuerzo normal máximo como el momento flector se darán en la barra BC, justo antes del nudo:x= b
cos [desde B]
37
D
A
B
C
M
-
-
D
A
B
C
N
+-
-
D
A
B
C
V
+-
+
Cálculo de una marquesina
Esfuerzo normal máximo: N max=wN⋅b
cos
Momento flector máximo: M max=w v⋅b2
2⋅cos2
Dado que el momento flector en la viga, desde los extremos al nudo, vale: M=−w v⋅x2
2
6.4.2 Cálculo del pilarAunque el pilar (barra CD) se encontrará arriostrado por las correas de la cubierta se realizará su comprobación a pandeo.Esfuerzo normal máximo: N max=qp⋅L
Momento flector máximo: M max=wv
2⋅cos2 b2– a2
En el pilar hay que tener presente su orientación, dado que el módulo resistente encargado de soportar el esfuerzo de flexión cambiará según esta. 6.5 Cálculo de desplazamientosDado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el desplazamiento tanto del normal como del cortante serán despreciables, se tiene que el desplazamiento máximo de la estructura, que se da en el extremo B de la viga, será causado por el momento flector, de tal modo que:
B=C⋅bCB⋅cosPor Mohr:=∫
0
L q x2
2E Idx= q L3
6 E I
=∫0
L q x2
2 E I⋅x⋅dx= q L4
8E I
38
Cálculo de una marquesina
6.6 Placas de anclajeDebido a que el hormigón de la cimentación no resistiría las tensiones transmitidas directamente por el pilar metálico se utilizan bases de apoyo. De este modo, se aumenta la superficie de apoyo entre pilar y cimentación hasta disminuir la tensión a valores admisibles para el hormigón.
Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el pilar, las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormigón la fijan a la cimentación, inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.39
Geometría VigaH [m] 3 Perfil IPEL [m] 5 Dimensión 400α [º] 35 E [N/mm²] 210000
a [m] 1 A [mm²] 84500b [m] 4 1160000
Nmax [N] 67488,13Cargas Mmax [N·m] 107467,78
20000 0,8
5000 92,64
13820,76 93,44
18027,99
PilarReacciones Perfil HEB
100000 Dimensión 300
14339,41 E [N/mm²] 210000
201502,09 A [mm²] 14900
1680000Nmax [N] 100000
Mmax [N·m] 201502,09
6,71
119,94
126,65
Wz [mm3]
qp [N/m] σ
Nmax [N/mm²]
qv [N/m] σ
Mmax [N/mm²]
wN [N/m] σ
max [N/mm²]
wV [N/m]
VD [N]
HD [N]
MD [N·m]
Wz [mm3]
σNmax
[N/mm²]
σMmax
[N/mm²]
σmax
[N/mm²]
Pilar
Cartela
Placa deanclaje
Perno
Hormigón de limpieza
Zapata
Cálculo de una marquesina
– Placa base: se confecciona a partir de chapas cuyos espesores (e) más usuales se encuentran entre 22 mm y 40 mm (22, 25, 30, 40).– Cartelas de rigidez: aumentan la rigidez de la placa base (a partir de espesores de placa de 30 mm), con unos espesores que se suelen encontrar entre los 12 y los 15 mm (12, 14, 15).– Pernos: constituyen el elemento de unión entre el cimiento y la base, y por tanto, la fijan a la cimentación. Se colocan, al menos, 4 pernos en pilares empotrados y 2 en apoyados (articulación), con un diámetro mínimo de 20 mm (20, 25, 32).
6.6.1 Dimensionado de la placaEl dimensionado de la placa consiste en la determinación de sus dimensiones (a, b), que dependen de la resistencia del hormigón, y espesor (e), que depende de la resistencia a flexión de la placa.Para la determinación de las dimensiones (a, b) de la placa se asume que la tensión de compresión sobre el hormigón se distribuye uniformemente en una zona (y) cuya extensión es menor que 1/4 de la longitud de la placa (a) y que la tracción (T) es absorbida por los pernos.Así, se plantean las ecuaciones de equilibrio, que quedarían definidas como:40
b
a
d
B
A
N
V
M
H
Cálculo de una marquesina
TN=b⋅y⋅ c ∑ F=0
MN⋅a2 −d =b⋅y⋅c⋅a−d− y2 ∑M=0
Así, si se establecen unas determinadas dimensiones para la placa se puede resolver el sistema. Dado que se puede despejar “y” en la ecuación de equilibrio de momentos para sustituirla en la de equilibrio de fuerzas, y de este modo obtener la tensión que debe soportar el perno (T). Asumiendo que:a = 16 + ap + 16(cm.)b = 8 + bp + 8 (cm.)d = 6 cmsólo habrá que comprobar que y < a/4 como se había supuesto. En caso contrario se aumentarán las dimensiones de la placa hasta que se cumpla que y < a/4.Para determinar el espesor de la placa (e) se ha de verificar su comportamiento a flexión. Para ello se define el vuelo como: v=
a – a p
2, de modo que:
Si y≤v : M=b⋅y⋅c⋅v – y2
Si y≥v : M=b⋅c⋅v⋅v2
Teniéndose que: e≥ 6⋅Mb⋅ u
, dado que: MW
≤ u y W=b⋅e2
6.
Cuando el espesor sale mayor de 30 o 35 mm se debe pasar a poner cartelas, lo que aumentará el módulo resistente de la placa. 6.7 Referencias[1] CTE-DB-SE-AE: Código técnico de la edificación. Documento básico. Seguridad estructural. Acciones en la edificación.[2] CTE-DB-SE-A: Código técnico de la edificación. Documento básico. Seguridad estructural. Acero.
41
N
V
M
T
d
yσ
c
ap
bp
Anexo
7. Anexo 7.1 Principales materiales estructuralesLos principales materiales estructurales son el acero, el hormigón armado y el hormigón prefabricado.El hormigón armado se compone de hormigón y acero. El hormigón aporta la resistencia a compresión y actúa como protección para la armadura de acero, tanto ante corrosión como ante el fuego, que aporta la resistencia a tracción y a esfuerzos cortantes. La armadura está formada por barras de acero corrugado para que se cumpla la necesaria adherencia entre el acero y el hormigón, que permite que este material compuesto se comporte como un todo.
ACERO HORMIGÓN ARMADOHORMIGÓN
PREFABRICADO
Consideraciones del diseño
VENTAJAS:Rapidez de montaje y menor peso para la misma resistencia DESVENTAJAS:Problemas de corrosión, resistencia al fuego, pandeo y fatiga
VENTAJAS:Coste, rigidez y óptimo comportamiento frente a efectos atmosféricos y al fuego.DESVENTAJAS:Menos espacios diáfanos
VENTAJAS:Rapidez de montaje y elevada resistenciaDESVENTAJAS:Precio elevado
Elementos estructurales
Perfiles laminados (IPE, HEB,...) o conformados y sus combinaciones.
Pilares y vigas (porticos).Forjados.
Losas y vigetas.
Enlaces Uniones remachadas, atornilladas o soldadas.Para que el comportamiento de las uniones sea el de un nudo rígido se sueldan, en los perfiles laminados de acero, una serie de placas metálicas para crear continuidad, rigidizadores.
Nudos rígidos realizados in situ y las juntas de dilatación para evitar esfuerzos térmicos.
Tabla 2: Comparativa de los principales materiales estructurales
Propiedades del acero
Módulo de elasticidad (E) 210000 N/mm2
Módulo de rigidez (G) 81000 N/mm2
42
Anexo
Coeficiente de Poisson (µ) 0,3
Densidad (ρ) 7850 kg/m3
Coeficiente de dilatación térmica (α) 1,2·10-5 1/ºC
7.2 Propiedades mecánicas de los materiales elásticosCuando un material es sometido a esfuerzos de tracción o compresión presentará dos tipos de comportamiento (elástico y plástico) según la magnitud de los esfuerzos a que se encuentre sometido.En un primer lugar experimentará una deformación de carácter elástico, dado que el material recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan su deformación. La resistencia a la deformación, en caso de ser lineal el intervalo, viene dada por medio del módulo elástico ( E ), y su relación se conoce como Ley de Hooke.Si el esfuerzo sobrepasa un punto conocido como límite elástico ( Re ) del material, el cuerpo se deformará de manera permanente o plástica.Si el esfuerzo continua, se alcanza el punto conocido como resistencia a tracción ( Rm ), que es el valor máximo de tensión que puede soportar un material sin que se produzca la estricción y posterior rotura del material cuando se encuentra sometido a tracción.Estos valores se leen sobre la curva que se obtiene al realizar el ensayo de tracción sobre una muestra de material, curva convencional de tracción.Así, en el ensayo de tracción realizado sobre una barra de acero corrugado de dimensiones iniciales: 100 mm de longitud y 8,03 mm de diámetro, se obtuvo la siguiente curva de tracción, cuyos valores de tensión ( ) y elongación ( ) vienen dados por:= F
S0 =
L−L0
L0, siendo S0=
D 02
4
43
Anexo
Tras la rotura, la probeta presentaba una longitud final entre los puntos calibrados de 113,39 mm y un diámetro de 5,72 mm en la zona de estricción, siendo de este modo los valores finales obtenidos:Límite elástico ( Re ) = 493,65 MPaMódulo elástico ( E ) = 61,02 MPaResistencia a tensión ( Rm ) = 590,68 MPaEn materiales como el acero, debido a que el límite elástico no se encuentra bien definido, pero sin embargo, se aprecia claramente la zona de cedencia1, se toma como valor representativo la tensión de fluencia ( f ), dado que además, se comprueba que la resistencia a tracción suele estar en torno a 0,8 veces el límite de fluencia.De este modo, para definir el esfuerzo normal máximo que puede soportar un material (admisible) se define un coeficiente de seguridad ( C s ) que garantizará que en ningún punto se excede su resistencia a tracción, de tal modo que:adm=
f
C s
7.3 Parámetros elásticos del materialEl comportamiento elástico lineal de un material queda caracterizado por tres parámetros interrelacionados:– El módulo elástico o módulo de Young ( E ) establece la relación entre el esfuerzo normal y la deformación lineal provocada:
1 La región de cedencia es aquella que aparece al final de la región elástica y que se caracteriza por una rápida deformación plástica del material sin un aumento de la carga.
44
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300
100
200
300
400
500
600
700
Curva de tracciónEnsayo de tracción de una barra de acero corrugado
ε [mm/mm]
σ [M
Pa]
fRe
Rm
Anexo
=E
– Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de tracción se observa que además se estrecha, mientras que cuando se acorta por estar sometido a compresión se ensancha. Así, se tiene que la deformación en la dirección de aplicación del esfuerzo provoca una variación proporcional de la dimensión transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson ( ).= contraccióntransversal
alargamiento longitudinal
– Finalmente, se tiene que ambos se relacionan por medio del módulo de elasticidad transversal (G ), que proporciona el esfuerzo cortante que provoca una determinada deformación angular:
G= E21
=G
7.4 Otras características de los materialesUn material dúctil es aquel que puede deformarse sin romper, mientras que es frágil cuando se rompe con facilidad, mejor dicho, cuando se rompe sin deformación (rotura rápida y sin previo aviso).Así, mientras que la rotura de un material dúctil se caracteriza por presentar una reducción de sección denominada estricción, la de uno frágil se caracteriza por ser plana, dado que no existe deformación plástica apreciable ya que la propagación de la fisura es muy rápida.La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energía en el intervalo plástico, y por tanto indica la cantidad de trabajo que se puede hacer sobre un material antes de que se produzca la fractura.Como consecuencia de la variación de la temperatura el material se deforma (contracción o dilatación) proporcionalmente a un coeficiente de dilatación que produce la aparición de tensiones en su interior si sus movimientos están impedidos.Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica un esfuerzo, puede deformase y romper a cargas inferiores a las determinadas a través del ensayo de tracción. A este fenómeno de deformación plástica por debajo del límite elástico cuando el material se encuentra sometido a temperatura se lo denomina termofluencia. 7.5 Momentos de inerciaEl momento de inercia ( I z ) es una característica geométrica de la sección respecto a un eje, normalmente el que determina la línea neutra, y se define como:
45
Anexo
I z=∫S
y2ds
El momento de inercia polar ( I p ) se define como la suma de los productos de las áreas elementales por los cuadrados de las respectivas distancias al polo.I p=∫
S
r2ds=I xI y
Las expresiones de algunos momentos típicos son: Sección rectangular Sección circular
I z I z=B⋅H 3
12I z=
⋅R4
4
I p I p=⋅R4
2Tabla 3: Momentos típicos
7.6 ForjadosAl menos existen cuatro tipos de forjado de hormigón armado, los cuales son:– Forjado unidireccional: es el forjado clásico formado por bovedillas que reparten el peso a las viguetas, que son las encargadas de transmitir la carga a las vigas. Por encima del conjunto vigueta-bovedilla va una capa de compresión formada por los negativos, el mallazo y el hormigón, siendo los negativos las varillas de acero encargadas de soportar los momentos flectores negativos.– Forjado reticular o bidireccional: es el forjado típico de plantas de aparcamiento, dado que distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en ambas direcciones).– Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metálicas, dado que mejora la unión entre ambos.– Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado mediante una serie de alvéolos que los atraviesan longitudinalmente.
7.7 CimentacionesLas cimentaciones son las encargadas de transmitir las cargas al terreno, de tal modo que su 46
El teorema de Steiner puede facilitar el cálculo del momento de inercia al simplificar la integral.
Dado que el momento de inercia de una sección respecto a un eje e' que no pasa por el centro de gravedad es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo e que pase por el centro de gravedad, mas el producto de la sección total por el cuadrado de la distancia entre esos dos ejes:
I e'= I ed 2S
Anexo
tipología y dimensiones vendrán determinadas por las características de este.Así, el estudio geotécnico es el encargado de facilitar las características resistentes y de composición del terreno, necesarios para el cálculo de la cimentación y selección de los materiales utilizables según la agresividad química del terreno.La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presión admisible, siendo esta especificada a partir de una determinada cota.Para establecer la cota de referencia sobre la que se especificarán las diferentes condiciones del terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela, de tal modo que, por ejemplo, la capacidad de soporte del terreno vendría especificada como: el terreno nos ofrece una tensión admisible de 1,5 kg/cm2 una vez superada la pequeña alteración superficial (-1,00 m) hasta (-2,00 m), cota a partir de la cual ya contamos con 2,0 kg/cm2.Las cimentaciones típicas son superficiales, pudiendo ser:– Mediante zapatas aisladas, con o sin arriostramiento, pero apoyadas a partir de la cota – 1 m.– Mediante zapatas corridas, en zanjas que alcancen como mínimo -1 m, rellenas de hormigón en masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarán las definitivas zapatas.De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendrá dado por la carga a transmitir y la tensión admisible del terreno según la cota final de apoyo de la zanja.
7.8 Pasos para la ejecución de una edificación1. Solicitud y concesión de permisos y licencias2. Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno, nivelado, replanteo de cimentaciones y excavación de los elementos de cimentación.3. Cimentaciones4. Estructura y forjados5. Cubierta y faldones6. Cerramientos y tabiquería (división interna)7. Pavimentos y solados8. Pintadas y alicatados (baños)9. Falsos techos y aislamientos térmicos y acústicos10. Urbanización exterior, aparcamientos y jardines47
Anexo
7.9 Matriz de rigidez local 3D
48
k=E⋅AL
0 0 0 0 0
012⋅E⋅I z
L3 0 0 06⋅E⋅I zL2
0 012⋅E⋅I y
L3 0−6⋅E⋅I y
L2 0
0 0 0G⋅I pL
0 0
0 0−6⋅E⋅I y
L2 04⋅E⋅I yL 0
06⋅E⋅I zL2 0 0 0
4⋅E⋅I zL
−E⋅AL
0 0 0 0 0
0−12⋅E⋅I z
L3 0 0 06⋅E⋅I zL2
0 0−12⋅E⋅I y
L3 0−6⋅E⋅I y
L2 0
0 0 0−G⋅I pL
0 0
0 06⋅E⋅I yL2 0
2⋅E⋅I yL 0
0−6⋅E⋅I z
L2 0 0 02⋅E⋅I zL
−E⋅AL
0 0 0 0 0
0−12⋅E⋅I z
L3 0 0 0−6⋅E⋅I z
L2
0 0−12⋅E⋅I y
L3 06⋅E⋅I yL2 0
0 0 0−G⋅I p
L 0 0
0 0−6⋅E⋅I y
L2 02⋅E⋅I yL
0
06⋅E⋅I zL2 0 0 0
2⋅E⋅I zL
E⋅AL
0 0 0 0 0
012⋅E⋅I z
L3 0 0 0−6⋅E⋅I z
L2
0 012⋅E⋅I y
L3 06⋅E⋅I yL2 0
0 0 0G⋅I pL 0 0
0 06⋅E⋅I yL2 0
4⋅E⋅I yL
0
0−6⋅E⋅I z
L 2 0 0 04⋅E⋅I zL
BibliografíaLibros
[L1] Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. José Antonio González Taboada.
Enlaces[E1] Cálculo de estructuras. Enrique Nieto García.
Normativa[N1] Código técnico de la edificación (CTE).
i