Calculo y teoría de los números

Calculo Infinitesimal • Parte de las matemáticas

que se ocupa de las

operaciones con

cantidades infinitamente

pequeñas.

• Incluye dos campos

principales, calculo

diferencial y calculo

integral, que están

relacionados por el

teorema fundamental del

cálculo.

Historia• Tiene su origen en la antigua geometría griega.• Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos

formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal.• En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales,

Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y lastangentes (integración y Derivación en términos modernos)

• Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670)quienes demostraron que los problemas del área y la tangente soninversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

• En el siglo XIX analistas matemáticos establecieron fundamentos sólidosbasados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron conprecisión los conceptos de límite en términos de Ɛ y Δ y de derivada,Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind yWeierstrass con los números reales.

• El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casitodas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculonumérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicoscuya principal característica es la continuidad de sus elementos, enespecial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicosmodernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología,etc. hacen uso del cálculo

Teoría del númeroLa teoría de números es la ramade matemáticas que estudia laspropiedades de los númerosenteros (Z) y contiene unacantidad considerable deproblemas que son fácilmentecomprendidos .Se estudiannúmeros enteros sin empleartécnicas procedentes de otroscampos de la matemática. Adicha teoría pertenecen , entreotras, las cuestiones dedivisibilidad, el máximo comúndivisor, la factorización de losenteros como producto denúmero primos.De lo anterior constituyenenunciados típicos el pequeñoteorema de Fermat y el teoremade Euler que lo extiende

Historia• La teoría de números, iniciada por Gauss, encontró un continuador en

Diríchlet. Así como también Sophie Germain quien hizo importantes

contribuciones a dicha teoría.

Más tarde en 1896 Kummer hizo progresar el estudio del "teorema de Fermat" . Uno de los primeros intereses de Fermat era, números perfectos y números amigables, lo que lo llevó a trabajar en divisores enteros. Leopold Kronecker, que desarrolló además la teoría de los "cuerpos de números“aseguraba, toda la matemática debía fundarse sobre el concepto de número natural.

• Hermann Minkowsi en 1896 hizo conocer una "geometría de los números" que

inicia una nueva dirección en los estudios de teoría de números.

• En el siglo XX cabe mencionar progresos en el tratamiento de las ecuaciones

díofánticas, los ingleses Godofrey Harold Hardy y John ELittlewood y el ruso IvanMVinogradov, se ocuparon de la hipótesis de Goldbach logrando importantes resultados .

• Uno de los problemas de teoría de números, el de las “particiones", iniciado por Euler logró progresos en 1917 .

• Comenzando a principios del siglo XIX, los siguientes acontecimientos tomaronlugar gradualmente: la teoría de números como un campo de estudio, la subdivisión aproximada de la teoría de números en sus modernas sub-campos, y la teoría analítica de números y algebraicos,

Conjetura de Goldbach• El matemático Christian Golbach escribió una carta

dirigida a Euler, con fecha 7 de Junio de 1742, en la

que afirmaba haber observado que todo número

par mayor que 2 podía escribirse como suma de

dos primos. Para la matemática una conjetura es

una afirmación que se supone cierta pero que no

fue probada, ni refutada hasta la fecha. La

resolución de la conjetura de Goldbach está

considerada como uno de los problemas más

difíciles de la matemática.

Teorema • “Todo número par mayor que 2 se puede escribir

como la suma de dos números primos.” Ejemplos:

4= 2+2 8= 3+5 14= 7+7= 11+3

• Obras influidas por esta conjetura:

En cine

La conjetura de Goldbach forma parte de la trama

de la película española “La habitación de Fermat”

(2007)

También aparece en la película “Proof”, conocida

como “La verdad oculta”.(2005)

Aritmetización del análisis

• Uno de los temas fundamentales en el proceso defundamentación del cálculo fue la construcción ola validación de los números reales. Para ello, variosmatemáticos se orientaron a ofrecer diferentesdefiniciones y construcciones de estos números,donde por supuesto lo decisivo giraba alrededorde los irracionales. En esa dirección, hicieronimportantes aportes Weierstrass, Richard Dedekind(1831 - 1916), Georg Cantor (1845 - 1918), CharlesMéray (1835 - 1911) y tiempo después el filósofobritánico Bertrand Russell (1872 - 1970).

• Klein le llamó: "El padre de la Aritmetización"

Algunos de sus libros fueron publicados fuera de

Austria (Chequia pertenecía a Austria) por culpa

de la censura Se le prohibió que publicara sus

trabajos, pero él siguió escribiendo Durante algún

tiempo coincidió con Cauchy. Escribió a un alumno

suyo que se había encontrado y visitado varias

veces con Cauchy. Sus ideas sobre Aritmetización

del calculo, definición de límite, derivada,

continuidad y convergencia las desarrolló a la vez

que Cauchy pero de forma independiente.

Nicolás de Oresme • Nació en Normandía 1325 y murió en 1382

• Matemático y astrónomo francés. Estudió y enseñó

en París. Fue un genio intelectual perteneciente a la

escolástica tardía y probablemente el pensador más

original del siglo XIV. Fue también un teólogo

reconocido y obispo de Lisieux, además traductor y

consejero del rey Carlos V de Francia.

• En su obra Algorismus proportionum trabaja en el

cálculo de potencias con exponentes enteros y

racionales, e incluso deja entrever la posibilidad de

potencias de exponente irracional. En un trabajo

posterior, De proportionibus proportionum. Señala que

una proposición, merece ser señalada: dadas dos

magnitudes, es más probable que sean

inconmensurables que lo contrario.

• El Tractatus de latitudinibus formarum, donde las

funciones aparecen por primera vez dibujadas. Todo

lo que varía, se lo puede imaginar como una

cantidad continua representada mediante un

segmento rectilíneo

John Napier Merchiston Castle

• Nació en el año 1550 en el castillo deMerchiston (Edimburgo) y falleció enEdimburgo el 4 de abril de 1617. A los treceaños, en 1563 comenzó sus estudios en laUniversidad de Saint-Andrews, de la que salióaños más tarde para viajar .

• De regreso a Merchiston en 1571 dedico suvida a los estudios de matemáticas yteología, la administración de su patrimonioy los cargos públicos.

• Inventó los logaritmos , que dio a conocer en1614, fruto de un estudio de veinte años.

• Las aportaciones de Napier fueron acogidaspor Edward Wright, y por Henry Briggs y mástarde en Oxford.

• Se recuerda también a Napier en la historiade la trigonometría: teorema de Napier yanalogías de Napier.

Henry Briggs • Nació en 1561 y murió en1630

• Fue el primer profesor de Geometría del“Gresham College” de Londres. Estuvo

dedicado un tiempo a la Astronomía –el

estudio de los eclipses- y fue seguidor de

Kepler.

• Visitó a Napier en Edimburgo, con el motivo

de discutir la sugerencia de cambiar los

logaritmos de Napier

• Creó unas tablas para la navegación,

• En 1624 publicó su Aritmética Logarítmica untrabajo que contenía los logaritmos de treinta

mil números naturales a catorce decimales .

• Descubrió en una forma un tanto oculta y sin

la prueba, el teorema del binomio

Bonaventura Cavalieri • Nació en Milán en 1598 y murió en Bolonia

1647.

• Fue un matemático italiano pertenecientea la orden de los jesuatos. Fue alumno deGalileo Galilei, y enseñó matemática enBolonia (1629).

• Trabajó en los problemas de la óptica y demovimiento.

• Desarrolló un enfoque geométrico para elcálculo. Como aplicación, se calcula lasáreas bajo las curvas - una integral primera -que se conoce como fórmula decuadratura de Cavalieri

• Se caracteriza por el principio de Cavalieri.desarrolló un "método de los indivisibles",que se utiliza para determinar las áreas yvolúmenes. Fue un paso importante en elcamino al moderno cálculo infinitesimal.

Pierre de Fermat • Nació el 17 de Agosto de 1601 y murió 12

de Enero de 1665• Fue un jurista y matemático francés apodado

el «príncipe de los aficionados».• Fermat fue junto con Rene Descartes uno de

los principales matemáticos de la primeramitad del siglo XVII

• Descubrió el calculo diferencial antes queNewton y Leibniz fue cofundador de la teoríade probabilidades junto a Pascal eindependientemente de Descartes, descubrióel principio fundamental de la geometríaanalítica. Sin embargo, es más conocido porsus aportaciones a la teoría de números enespecial por el conocido como últimoteorema de Fermat.

• Espiral de Fermat• Números amigos• Números primos• Pequeño teorema de Fermat• Teorema sobre la suma de dos cuadrados• Último teorema de Fermat

Isaac Newton• Nació en Lincolnshire en el año 1642 y murió en

Londres en el año 172

• Se orientó hacia la investigación en Física yMatemáticas, y a los 29 años ya había formuladoteorías que señalarían el camino de la cienciamoderna hasta el siglo XX.

• Newton coincidió con Leibniz en eldescubrimiento del cálculo integral, quecontribuiría a una profunda renovación de lasMatemáticas.

• Formuló las tres leyes fundamentales delmovimiento: la primera ley de Newton o ley de lainercia, la segunda o principio fundamental dela dinámica, y la tercera, que explica que porcada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpoexiste una reacción igual de sentido contrario.

• De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es lamás conocida: la ley de la gravedad, que segúnla leyenda le fue sugerida por la observación dela caída de una manzana del árbol.

Gottfried Wilhelm Leibniz • Nació el 1 de Julio de 1646 y murió el14 de

Noviembre de 1716

• Fue un filósofo, lógico, matemático, jurista,bibliotecario y político alemán

• Fue uno de los grandes pensadores de lossiglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "Elúltimo genio universal". Realizó profundas eimportantes contribuciones en las áreas demetafísica, epistemología, lógica, filosofía dela religión, así como a la matemática, física,geología, jurisprudencia e historia

• Ocupa un lugar igualmente importante tantoen la historia de la filosofía como en el de lasmatemáticas

• Inventó el cálculo infinitesimalindependientemente de Newton y sunotación es la que se emplea desdeentonces. También inventó el sistema binario,fundamento virtualmente de todas lasarquitecturas de las computadoras actuales

Leonhard Euler • Nació el 15 de abril de 1707 y murió el18 de

septiembre de 1783• Fue un matemático y físico suizo. Se trata del

principal matemático del siglo XVIII y uno delos más grandes y prolíficos de todos lostiempos. Realizó importantes descubrimientosen áreas tan diversas como el cálculo o lateoría de grafos. También introdujo granparte de la moderna terminología y notaciónmatemática, particularmente para el áreadel análisis matemático.

• Trabajó prácticamente en todos los ámbitosde las matemáticas: geometría, calculo,trigonometría, algebra, teoría de números,además de física continua, teoría lunar yotras áreas de la física. Adicionalmente,aportó de manera relevante a la lógicamatemática con su diagrama de conjuntos

Sophie Germain • Nació el 1 de abril de 1776 y murió el 27 de junio de

1831

• Fue una matemática francesa, Nació en París ycomenzó a estudiar matemáticas a la edad detrece años

• Fue autodidacta, mantenía correspondencia conGauss-, sobre todo después de leer la obra de éste:Disquisiciones aritméticas.

• En 1809 a 1815 Sophie abandona su trabajo sobre lateoría de números y se concentra en los estudios defísicamatemática con una investigación acerca dela teoría de la elasticidad.

Anécdota: se disfrazaba de hombre para poder entrar a estudiar en lugares de matemáticos (donde solo dejaban entrar varones).

Augustin Louis Cauchy • Nació el 21 de agosto de 1789 y murió el

23 de mayo de 1857.

• Empezó a educarse tempranamente

con su padre . Era ingeniero.

• Fue pionero en el análisis matemático y

la teoría de grupos de permutaciones.

También investigó la convergencia y la

divergencia de las series infinitas,

ecuaciones diferenciales, determinantes,

probabilidad y física matemática.

• Toma el concepto tradicional de

integral, como suma y no como

operación inversa

Georg Friedrich Bernhard

Riemann• Nació en Breselenz, actual Alemania en

1826 y murió en Selasca, Italia en 1866.

• Se dedicó a la docencia.

• Hizo contribuciones básicas a la teoría delas funciones de una variable compleja, ala física matemática y a la teoría denúmeros.

• Él fue quien permitió calcular las integralesa partir de la definición como un límite desumas.

• En su corta vida contribuyó a muchísimasramas de las matemáticas: integrales deRiemann, aproximación de Riemann,método de Riemann para seriestrigonométricas, etc.

• Pese a la importancia de todas estascontribuciones, la más conocidaaportación fue su geometría noeuclidiana, basada en una axiomáticadistinta de la propuesta por Euclides.

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

• Nació 22 de diciembre de 1887 ymurió el 26 de abril de 1920

• Fue un llamativo autodidacta

• Algunos de sus hallazgos son:Propiedad de los números altamentecompuestos, las funciones de particióny sus asíntotas, función theta deRamanujan

• Ha logrado notables progresos ydescubrimientos en las áreas relativasa: Funciones Gamma, formasmodulares, series divergentes, serieshipergeométricas, teoría de losnúmeros primos.

• Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural quese puede expresar como la suma dedos cubos de dos maneras diferentes.