trigonometría en el cálculo de estructuras

Presentación de PowerPointTrigonometría en el cálculo de estructuras
Al calcular la estructura de una marquesina como la de las fotos se tiene que tener
en cuenta la fuerza que realiza el viento, la carga de nieve si estuviera en una zona
expuesta a nevadas, el peso propio de los materiales que la constituyen y el peso
de un hombre caminando sobre ella para realizar tareas de mantenimiento.
VIENTO
NIEVE
PESO
PROPIO
PESO
En esta asignatura no realizaremos cálculos estructurales, que serán estudiados en
otras asignaturas de la carrera, pero a modo de ejemplo modelizamos la
marquesina con la columna AB y la viga BC sobre la que se encuentran a actúando
el viento, la nieve y el peso propio.
25º
carga que se considera actuando en un
punto preciso, el punto C, las demás
cargas actúan distribuidas a lo largo de
la estructura por lo que para calcular la
resultante de esas cargas se debe
multiplicar la carga por la longitud sobre
la que actúa, que no serán los 5 metros
medidos en horizontal, sino la distancia
inclinada. Aquí es donde la trigonometría
se hace presente para calcular esa
distancia en función de los 25º de
inclinación.
Trigonometría en la topografía
En los planos de mensura, proyectos de loteos, etc. se consignan las distancias
topográficas; es decir medidas según su proyección sobre un plano horizontal.
Con la cinta medimos la distancia real o natural, que está inclinada respecto del
plano horizontal, que salvo excepciones la podemos asimilar a la distancia
geométrica.
que es necesario utilizar la trigonometría.
Trigonometría en el cómputo de materiales
En los planos de proyecto de una vivienda se consignan las distancias proyectadas
sobre un plano horizontal y los cortes que son proyecciones sobre un plano vertical.
Para calcular cuánta madera necesitamos para construir el techo, la cantidad de
tejas o chapa con la cual cubriremos ese techo necesitamos calcular las distancias
inclinadas y no utilizar las horizontales que muestra el plano.
Aquí entra nuevamente en juego la trigonometría.
Triángulos – Aplicaciones en la Arquitectura
La trigonometría estudia la relación
entre los lados y los ángulos de un
triángulo, que es la forma
geométrica que sintetiza el estudio
de los polígonos.
indeformable, por lo que se usa
para dar estabilidad a cualquier
estructura resistente, tanto en el
diseño industrial como en la
arquitectura.
Puente Erasmusbrug en Rotterdam, de Arq. Ben Van
Berkel. Utiliza el triángulo para lograr estabilidad.
Turning Torso, Suecia – Arq. Calatrava -
Triángulos – Aplicaciones en el Diseño y en la Arquitectura
Cuando se busca dar resistencia o estabilidad a un objeto se puede
recurrir al triángulo.
La llamada Cruz de San Andrés impide a las fuerzas aplicadas
lateralmente desestabilizar una estructura.
¿Qué estudiaremos entonces?
Como vimos en los ejemplos anteriores es necesario estudiar los triángulos y cómo
resolverlos, es decir calcular sus ángulos, dimensiones de sus lados, su perímetro y
superficie.
Triángulos rectángulos
Funciones trigonométricas
Ya vimos que el triángulo es una
figura geométrica muy utilizada en
la arquitectura.
elemento que da estabilidad, otras
por diseñar algo distinto como el
caso de las alpinas de la foto y
otras porque la forma del terreno
no deja muchas posibilidades.
tres lados
A
Clasificación dada según sus lados:
Clasificación dada según sus ángulos:
equilátero isósceles escaleno
acutángulo obtusángulo rectángulo
Escalenos
RECUERDA:
Triangulo isósceles: 2 lados iguales y uno desigual
Triangulo equilátero: 3 lados iguales
Bisectrices de un triángulo: son segmentos que dividen los ángulos interiores en dos parte
iguales y se prolongan hasta llegar al lado opuesto a ese ángulo.
acutángulo
A
BC
rectángulo
A
BC
obtusángulo
A
c c co o o
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus lados.
El punto “o” se denomina “incentro”.
Líneas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices de un triángulo: son aquellas rectas que, siendo perpendiculares a uno
de los lados del triángulo, dividen el segmento o lado al que cortan en dos partes iguales.
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus vértices.
El punto “o” se denomina “circuncentro”.
acutángulo
A
BC
rectángulo
A
BC
obtusángulo
A
Alturas de un triángulo: son los segmentos perpendiculares a los lados que van desde el
vértice opuesto hasta este lado (o hasta su prolongación)
Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto.
El punto “o” se denomina “centro ortogonal” u “ortocentro”.
acutángulo
A
BC
rectángulo
A
Medianas de un triángulo : son cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice
con el punto medio de su lado opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es
igual a 2/3 de la mediana correspondiente.
El punto “o” se denomina “baricentro” (centro de gravedad).
acutángulo
A
BC
rectángulo
A
BC
obtusángulo
A
Ir a Geogebra
Cuando la carga incide en el centro geométrico de un cabezal de fundación de forma cuadrada la carga se distribuye uniformemente en cada pilote de fundación.
Importancia del baricentro
Pero cuando el cabezal es de forma triangular, no es muy intuitiva la ubicación del punto donde ubicar la carga. Ese punto es el baricentro del triángulo. De esa forma se distribuye la carga en forma pareja entre los pilotes.
ANGULOS SISTEMAS DE MEDICIÓN
¿Qué es un ángulo?
Ángulo es un concepto de la Geometría para referirse al espacio
comprendido entre la intersección de dos rectas que parten de un
mismo punto o vértice.
Sistemas de medición:
0º
30º
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
Sistema Sexagesimal (Aquí multiplicas o dividís por 60)
Esta manera de expresar un ángulo se denomina “compleja” porque discrimina grados, minutos y segundos.
Cuando expresamos el valor del ángulo solo en grados diremos que lo estamos haciendo de manera “incompleja”
1grado tiene 60 minutos y 3600 segundos 1 segundo tiene 1/60 minutos y 1/3600 grados
FORMAS DE EXPRESAR UN ÁNGULO
EN SISTEMA SEXAGESIMAL
Para expresar en su forma incompleja debemos pasar los
40´56” a grados
Comenzamos con los minutos:
Seguimos con los segundos
Entonces:
30º
+ 0,666666666667º
+ 0,0155555555556º
Sistema Centesimal (Aquí multiplicas o dividís por 100)
Esta manera de expresar un ángulo se denomina “compleja” porque discrimina grados, minutos y segundos.
Cuando expresamos el valor del ángulo solo en grados diremos que lo estamos haciendo de manera “incompleja”
FORMAS DE EXPRESAR UN ÁNGULO
EN SISTEMA CENTESIMAL
=
Para expresar en su forma incompleja debemos pasar los a gradientes
Comenzamos con los minutos centesimales
1G------- 100M
XG ----- 40M
Seguimos con los segundos centesimales
1G------- 10000S
XG ----- 56S
Entonces:
30G
+ 0,4G
+ 0,0056G
Giro Total: 6,28318... r
Sistema Radial
1 radian es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de
la misma. Equivale, en el sistema sexagesimal, a un ángulo de ….. Vamos a calcularlo
1 radian es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de
la misma. Equivale, en el sistema sexagesimal, a un ángulo de ….. Vamos a calcularlo
Si queremos calcular el perímetro de la circunferencia sabemos que la
fórmula es: 2 x π x radio de la circunferencia lo que equivale, en el
sistema sexagesimal a un ángulo girado de 360º 360º
RADIO
RADIO
Xº = º
en grados sexagesimales
Sistema Radial
a
360º
Equivalencia entre sistemas sexagesimal y centesimal
Convertir 30º sexagesimales a centesimales
Lo podemos ver como una regla de tres simple:
360º 400G
30º =
360º = 33,333 33G 33M 33S
Nota: al ingresar 30º pulsamos la tecla º ´ ´´. Lo mismo hacemos al ingresar 360º
De esta forma le informamos a la calculadora que estamos trabajando con grados
sexagesimales.
Equivalencia entre sistemas centesimal y sexagesimal
Convertir 25G 52M 23S centesimales a sexagesimales
Pulsando la tecla º ´ ´´
Nota: al ingresar 360º pulsamos la tecla º ´ ´´.
sexagesimales.
Equivalencia entre sistemas sexagesimal y radial
Convertir 30º sexagesimales al sistema radial
360º 2π rad
30º = 30º 2π
360º = 0,167 π rad 0,523 rad
Nota: al ingresar 30º pulsamos la tecla º ´ ´´. Lo mismo hacemos al ingresar 360º
sexagesimales.
Equivalencia entre sistemas radial y centesimal
Convertir 0,167 π rad al sistema centesimal
400G2π rad
2π = 33,3333G
Nota: Aquí no trabajamos con grados sexagesimales, por lo tanto no pulsamos la tecla º ´ ´´
33G 33M 33S
Equivalencia entre sistemas radial y sexagesimal
Convertir 0,166 π rad al sistema sexagesimal
360º2π rad
2π = 30º
Nota: al ingresar 360º pulsamos la tecla º ´ ´´.
sexagesimales.
Equivalencia entre sistemas centesimal y radial
Convertir 20G 42M 33S al sistema radial
400G 2π rad
20G 42M 33S
400 = 0,102 π rad
Nota: Aquí no trabajamos con grados sexagesimales, por lo tanto no pulsamos la tecla º ´ ´´
0,3208 rad
TRIANGULOS RECTÁNGULOS
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
+ =
+ =
c2 = a2 + b2
Teorema de Pitágoras
NO PODÉS USAR PITÁGORAS!!!!!!
Para la resolución de triángulos rectángulos se utilizan las funciones
trigonométricas.
Funciones que veremos:
No se pueden aplicar a la resolución de triángulos oblicuángulos.
Proyecto de
Según el ángulo que consideremos serán los catetos.
¿Cuál es la hipotenusa?
Los valores de las funciones son iguales para los tres triángulos
∝ =
Aquí te presentamos una tabla de conversión de
pendientes en % y grados de inclinación de techo.
La pendiente de 5% significa que:
100 unidades
5 unidades
conocer el ángulo de inclinación del techo o caño que
estamos colocando
Es decir que la tg del ángulo es la PENDIENTE EXPRESADA
EN PORCIENTO.
Supongamos que tenemos que determinar, en este caso,
dos superficies:
B- La superficie de la cubierta
A-
Para la superficie en planta vemos que hay 5 tramos de 2
metros a lo largo y de frente mide 10 metros. Por tratarse de
un rectángulo la superficie será: 5tramosx2mx10m= 100m2
c
c

c
Para calcular la superficie de un faldón, necesito conocer el
valor de c y ya que dicha superficie es la de un
rectángulo: cx10m
Cos = 5m/c c= 5m/cos c= 5,220153254 m
B- Finalmente la superficie de la cubierta será la de un
faldón multiplicada por dos:
H= 1,5m
Supongamos que tenemos que determinar, en este caso, :
A- La altura “H”
= 16º
A-
Para calcular H, necesito conocer el valor de c Como el faldón es un rectángulo su superficie es igual a :
cx10m= 52,2015 m2
10m = 5,22015m
sen =
Supongamos dos faldones iguales, inclinados 25º respecto de la horizontal.
Computaremos la cantidad de tejas coloniales con que cubriremos el techo
sabiendo que para cubrir 1 m2 son necesarias 28 tejas.
25º
7 m
1 0 m Los 7 metros de la figura están medidos en su proyección
horizontal, por lo que debemos “desproyectarlos” sobre el
plano inclinado, ya que de otro modo la superficie de 7m x
10m = 70m2 sería irreal ya que está calculada sobre el
plano horizontal. (Sería la superficie en planta)
Tomaremos como base para el cálculo un faldón y a la
superficie calculada la multiplicaremos por dos para tener
la total.
cos 25º = 3,86
up del faldón = 3,86 m x 10 m = 38,6 m2 up total= 38,6 m x 2 = 77,2 m2
1 m2
77,2 m2
28 tejas
= 2161,6 tejas ~
Cómputo de tejas para un techo inclinado
En los planos de proyecto de una vivienda se consignan las distancias diseñadas
sobre un plano horizontal y los cortes que son proyecciones sobre un plano vertical.
Para calcular la cantidad de tejas con que cubriremos un techo a dos aguas
necesitamos calcular las distancias inclinadas y no utilizar las horizontales que
muestra el plano.
RECUERDEN QUE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO, RECTÁNGULO O NO,SE
NECESITA CONOCER AL MENOS TRES DATOS DEL MISMO Y POR LO MENOS UNO
DEBE SER EL VALOR DE UN LADO.
TRIÁNGULOS
Escalenos
Isósceles
RECUERDA:
Triangulo isósceles: 2 lados iguales y uno desigual
Triangulo equilátero: 3 lados iguales
Para resolver triángulos oblicuángulos se utilizan los teoremas del seno
y del coseno.
A veces se puede descomponer el triángulo en dos triángulos
rectángulos y utilizar las funciones trigonométricas. Esto ocurre
generalmente cuando el triángulo es isósceles.
Calcular la altura H y los ángulos α y β en el triángulo isósceles de la
figura
= º − (º + º ´ , ´´)
β = 59º 1´ 50,27´´

β
= , º ´ , ´´ = 4,9988 ≅5 m
= , º ´ , ´´= 4,9988m ≅ 5 m
= º ´ , ´´ =4,9988m≅5 m
Resolución de triángulos oblicuángulos
Las funciones trigonométricas estudiadas, seno, coseno , tg así
como el teorema de Pitágoras, solo se pueden emplear en triángulos
rectángulos.
En cambio el teorema del seno y el teorema del coseno pueden
utilizarse en cualquier tipo de triángulo, sea este rectángulo u
oblicuángulo.
A
BC
Es una proporción entre las longitudes de los lados de
un triángulo y los senos de sus
correspondientes ángulos opuestos..
Se puede usar tanto para triángulos rectángulos como oblicuángulos
• Sirve para encontrar el valor de los lados y los ángulos de los
triángulos
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Ejemplo: Calcular la medida de la barra BC y los ángulos α y γ sabiendo que el ángulo β es de 46º , la barra AC mide 2,6 m y la barra AB mide 3,2 m.
BC = 2,6 ∝
2,6
∝ = 180° − 62º 17´36,78´´ − 46° = 71º 42´ 23,22´´
BC = , º´,´
´º = 3,43 m
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos
Teorema del “Coseno”
α
A
B
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del
ángulo formado por estos dos lados
Se puede usar tanto para triángulos rectángulos como oblicuángulos
Sirve para conocer todos los ángulos y todos los lados de un
triángulo.
Ejemplo: Calcular la medida de la barra BC y los ángulos β y γ sabiendo que el ángulo α es de 71º 42´23,22´´ , la barra AC mide 2,6 m y la barra AB mide 3,2 m.
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos α
BC2 = 2,62 + 3,22 – 2 x 2,6 x 3,2 x cos 71º42´23,22´´
BC2 = 11,77695 BC = √11,77695 = 3,43 m
Cálculo de la barra BC:
Como conocemos dos lados consecutivos y el
ángulo entre ellos comprendido, es claro que
debemos usar el teorema el teorema del coseno.
∝ = ° − (º ´, ´´ + °) = º ´ , ´´
Cos β = , − , − ,
− , , = 0,694465196
AC2 = CB2 + AB2 – 2.CB.AB.cos β
2,62 = 3,432 + 3,22 – 2 x 3,43 x 3,2 x cos β
Cálculo del ángulo β :
b
a

DATOS:
entre ellos
b
b
a
β
DATOS:
son dato
opuesto a ninguno de
los ángulos.
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRÍÁNGULO ES SIEMPRE DE 180º=200G =1 π radián
USAMOS EL TEOREMA DEL COSENO
CUANDO LOS DATOS SON….
CUANDO LOS DATOS SON….
Superficie de un triángulo
Para calcular la cantidad de cerámicos a utilizar, la cantidad de chapa
para el techo, la cantidad de vidrio a usar o la cantidad de pintura
necesaria para pintar la fachada necesitamos conocer primero la
superficie o área.
Se pueden usar tanto para triángulos rectángulos como oblicuángulos
C
A
B
“c” es la base, entonces:
Area=
Cálculo del área de triángulos
Ejemplo: Dada la planta triangular de un departamento calcular su superficie:
Datos: Lados = 11,74 m; 7,13 m; 13,78 m; β = 31,12º
= 13,78 11,74 31,12º
2 = 41,80 2
6,068 m es la altura del triángulo
=
Cálculo del área de triángulos
Ejemplo: Dada la planta triangular de un departamento calcular su superficie:
Datos: Lados = 11,74 m; 7,13 m; 13,78 m;
)).().(.( cpbpappA =
2 = 16,325
Á = 16,325 16,325 − 11,74 16,325 − 7,13 (16,325 − 13,78)
Á = 1751,5884 = 41,85 2
necesario realizar algunos cálculos para el
cómputo de la misma:
de las cuales una está resaltada en color rosa en
la figura.(Son 10 en total).
B- La pendiente de la cubierta.
C- Los metros cuadrados de vidrio necesarios
para cubrir la aberturas de las cuales una se
encuentra coloreada en color verde en la
figura.(Son 10 en total). Discriminar por S1,S2,S3.
Datos :
5 m
EJERCITACIÓN: 5 m
Gráfico no sujeto a escala de una de las cubiertas y su
proyección sobre el plano horizontal.
SUPERFICIE
Estos son los datos con los manejaremos para resolver el
problema en la siguiente pantalla
A- La superficie total de las cubiertas inclinadas de las cuales una está resaltada en
color rosa en la figura.(Son 10 en total).
5 m
m
SOLUCIÓN:
Como son diez cubiertas iguales, la superficie total será la de un triángulo x 10
Con los datos que tenemos debemos elegir que fórmula usar para calcular la superficie de un triángulo,
revisando que tengamos al menos tres datos para resolverlo:
2 asencbA = )).().(.( cpbpappA =
El triángulo es isósceles y su base mide 5m, por otro lado su altura proyectada sobre el plano
horizontal mide 3,4202m en tanto que el ángulo de inclinación de la cubierta es de 70º
El triángulo es isósceles y su base mide 5m, por otro lado su altura proyectada sobre el plano
horizontal mide 3,4202m en tanto que el ángulo de inclinación de la cubierta es de 70º
2 asencbA =
= º
asencbA =
Respuesta al punto A
superficie cubierta:
= 25 m2
= 250 m2
SUPERFICIE
de:
entonces:
274,7477419% pendiente de la cubierta
C- Los metros cuadrados de vidrio necesarios para cubrir la aberturas de las cuales una se encuentra
coloreada en color verde en la figura.(Son 10 en total). Discriminar por S1,S2,S3.
1- Calculo de S1: H/3= 9m/3 H/3= 3m
=
,

=
,
=
,

=
,
3-Calculo de S3: 3x (H/3)= (9m/3)x3 =9m
S3+S2+S1= 3,6 m9m
= 16,2m2 S3= 16,20m2 – (S1+S2) S3= 16,2m2 – (1,80m2 + 5,4m2 )= 9m2
Problema
En este chalet alpino calcular la superficie de techo a cubrir con chapa, en ambos faldones, si la
altura de cumbrera es de 5,20 m y el ángulo entre faldones es de 50º 38’ 26”. El chalet tiene una
profundidad de 7 m.
Calcule también el volumen de aire a climatizar, teniendo en cuenta que el chalet tiene un alero
de 0,70 m en el frente y en el contra-frente.
Que ancho debería tener la ventana para que tenga el mismo modulo de la superficie cubierta en
planta, si el lado menor mide 0,90 m de altura,
cos 50º38′26"
Sup. Techo: 2(5,7526m x 7m) = 80,5364 m2h
LL
5,20m
Problema
Calcule también el volumen de aire a climatizar ( interior), teniendo en cuenta que el chalet tiene
un alero de 0,70 m en el frente y en el contra-frente.
tan 50º38′26"
Sup. Frente : 2(2,46m). 5,20
5,20m
L
Problema
Que ancho debería tener la ventana para que tenga el mismo modulo de la superficie cubierta en
planta, si el lado menor mide 0,90 m de altura,
5,20m
L
4,92 = 1,4227

trigonometría en el cálculo de estructuras

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