Teoria unitaria de la amortización. Aplicacionesde las distribuciones a la matemàtica financiera

por

Darío Maravall Casesnoves

PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. RICARDO SAN JUAN

En esta memoria reducimos la amortización discreta en cualquierrégimen de capitalización y cualquiera que sea su modalidad, biensea con los intereses vencidos o anticipados total o parcialmente, ala amortización ordinaria en capitalización compuesta a tanto varia-ble, agotando todas las posibilidades imaginables de criterio de laamortización en capitalización no escindible. Realizamos las mismasinvestigaciones para la amortización continua, reduciendo todos loscasos al de una capitalización escindible. Buscamos todas las inter-pretaciones financieras de la amortización, mostrando que hay unacomún a todos los criterios posibles.

Desarrollamos la teoría de la optimación de la amortización con-table, relativa a la influencia de la presión fiscal sobre el cálculo delas inversiones. Y también una teoría de las operaciones financierasa tanto instantáneo real fijo, cuando la variación del poder adquisi-tivo del dinero es continua, estableciendo previamente la ecuaciónque liga entre sí los tantos instantáneos real y nominal, y el índicede precios.

Se desarrolla a continuación la teoría general de los empréstitoscon obligaciones reembolsables a precios variables, con los interesesanticipados total o parcialmente, y privada o no de los intereses co-rrespondientes al año en que se amortizan ; y también la teoría ge-neral de los empréstitos de rendimientos constantes, de los que esun caso particular el conocido modelo de Lenzi.

— I6 —

Aplicamos quizás por primera vez la teoría de las Distribucionesa la Matemática Financiera, lo que nos permite construir una teoríaunitaria de la amortización y de la ilusión monetaria, estableciendolos formalismos que ligan entre sí los fenómenos homólogos discre-tos y continuos. Se muestra como tiene significación financiera queel tanto instantáneo sea una distribución y no una función.

Y ya fuera de los límites de la Matemática Financiera mosteamosla existencia y resolución de ecuaciones diferenciales .lineales, cuyoscoeficientes son distribuciones, como G-límites de ecuaciones dife-renciales lineales ordinarias (véase bibliografía), y las soluciones delas primeras son funciones O-límites de las funciones soluciones delas últimas ; se llega, pues, a funciones a través de distribuciones.Se demuestra que las ecuaciones lineales en diferencias finitas de coe-ficientes variables, son G-límites de ecuaciones diferenciales lineales,siendo las soluciones de las primeras O-límites de las soluciones delas últimas. Es indudable que a través de las distribuciones se operatina fusión del continuo y del discontinuo, surgiendo el último comoestado límite del primero, aunque este resultado vaya contra la; in-tuición, como ya habíamos señalado en mi anterior memoria «Feno-menología de la difusión» («Rev. Real Acad. de Ciencias», 1066).

1. Amortización discreta en régimen general de capitalización.

Sea un capital C prestado por el^prestamista en el instante ¿0, ha-biendo pactado con el prestatario su amortización mediante n cuotasa{, a£2, ..., a„ en los instantes tlt Í2, ..., tn. Dos modalidades de pactoson posibles : a) la amortización progresiva, b) la igualdad de losvalores de C y de las œ en un instante cualquiera T. Ahora bien*si'el régimen de capitalización esJescindible rige el principio de equi-valencia financiera, en virtud del cual el resultado del segundo mé-todo es independiente del valor particular de T (resultado «a priori»),y veremos más adelante que es el mismo que se obtiene mediante elempleo del primer método (resultado «a posteriori»). Si por el con-trario el" régimen de capitalización es no escindible (caso de la capi-talización simple, por ejemplo), entonces los resultados de ambos mé-todos son distintos, el del primero es único y el del segundo, a suvez, tiene una solución distinta para cada valor particular de T;

- i; —

existe, pues, una infinidad de soluciones distintas dotada de la poten-cia del continuo.

Supongamos primeramente el caso más general de capitalizaciónno escindible y apliquemos el método progresivo. Llamamos a¿, I»,Ct, EI, Rit, a los valores referidos al tiempo tk de las siguientes va-riables : at cuota de amortización pagada al final de ít, It interés delpréstamo durante el intervalo de tiempo de í^ a tk, Ck cuota delcapital C amortizada en el tiempo t*, Et deuda total extinguida en ít,RI deuda residual en ¿t. El cuadro de amortización del préstamo esel siguiente :

[1]

'*'o/,'*.

tn

°k

«1

«2

Ola

h

J,

lì

I«

C¿

c,C3

c„

E¿E,E2

C

R*C

R!R2

0

estando ligadas las distintas variables por las siguientes relaciones :

«¿ = U + C*: E^C^-f C 2 + . . . + (V, RA = C^+...+C„R4-l ~ Sk — C* E¿ ~ Eft_l = C4; Eé + RA — Cí + • ' ' + C« = C

[2]

y la

/s ('*-„<><"1A = RA. ,[«'*-' -1] P]

en la que 8 (ít_i; í) es el tanto de interés instantáneo.

Como consecuencia de [2] y [3] se observa que en este caso laamortización formalmente es equivalente a la de un préstamo encapitalización compuesta durante n años al tanto de interés anualvariable it, definido por:

'*l&(tk_jtf¡jt

.* = *'*-' -i

REV. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1967.

Hl

- i8 -

efectuado, por tanto, con arreglo al siguiente cuadro dezación :

amorti-

zes «A \k Ck Zk Rk ik

0 C1 «j It Ct E, Rt i,2 cc2 la C2 E2 R2 /2

« a« I« C« C O 4

[01

cumpliéndose las relaciones [2], [3] y [4], que puede escribirse así:

1k = ikBk-í' «* = C*+''R*_l [61

Se tiene, pues, el siguiente teorema : toda amortización discretaen régimen general de capitalización, es equivalente a una amortiza-ción en capitalización compuesta de tanto de interés anual variable..

Vamos ahora a considerar la amortización por el segundo méto-do, igualando los valores actuales (para t = ¿0) de las cuotas pagadas-por el prestatario aj, á2, ...,«„ al valor actual del capital prestado C.Rige el mismo cuadro 1 y las relaciones [2], pero no la [3]. En sus-titución de esta última rige la :

—jHia,t)jt h -Ji^iiJi+ ^

Z*A=Iah e = C [ÏÏ

que para k = n, como R„ = O, da la condición que han de cumplirlas a,, ...,«„.

•Sustituyendo en [7] k por k — 1, se obtiene:

'*-! 'A— fò(l0,i)t/t — Jai/,,,«) dt

-n 'o i . X~I 'o"k-\ f + > ok e¿*^iA = l

[«I

— ig —

De [7] y [S] se deduce, temendo en cuenta la cuarta [2] :

Cu = RA-I - R* = «* +

rVl /* •J 8(/0 ,<)¿< J í <fo, ') '</<

A_ 1 -ft(t,,t)át

c-¿«. "A = l

19]

ya que las S de [7] y [8] solamente difieren en el sumando corres-pondiente a at.

Comparando [9] con la primera [2] se obtiene :

U =A-l - / » ( < e , f l r f í

« X"1 *»C > «A í

^J*=1

•*-lfi(ta,t)át jt(t,,t)Jt

[10]

y teniendo en cuenta [8], la [10] se puede escribir:

\

U = R*-i

/ ä ('o, ') ¿í

'A-Ifut,, t) dt

I

= R*-l »A un

que se escribe en la forma [6], haciendo t» igual al paréntesis, o loque es lo mismo :

/ S «o, t) '

[12]

Se obtiene, pues, el mismo resultado que en el caso anterior, esdecir, la amortización es equivalente a otra en capitalización com-puesta de tanto de interés anual variable. El cuadro [5] es válido

con las relaciones [2], [G] y la [12], pero no la [4], que es en loque difiere del caso anterior.

Obsérvese que la condición necesaria y suficiente para que el re-sultado obtenido por este método sea el mismo que el obtenido pore! método progresivo, es que ít definido por [4] sea igual a it defi-nido por [12], o sea, que el tanto instantáneo sea solamente funciónde t, S (f), o lo que es lo mismo, que la capitalización sea escindible.

Vamos ahora a considerar la amortización por el segundo méto-do, pero igualando los montantes de las cuotas a y del capital pres-tado C. Rige el cuadro [1] y las relaciones [2], pero no la [3]. Ensustitución de esta última rige la :

(?('£. ' ) < / ' fíiftfi}Jl J »('a, i ) <t ¡

\<k/k + y«*«'* = c/°

-—JA = l

[13]

que para k = n, con R„ = O, da la condición que han de cumplirlas i.

Sustituyendo en [13] k por k — 1, se obtiene:

/ * ' ' £ _ , , ' ) « / / k f'^'t:,1'^1 fill^lJt

R*_, e *-' + I>e'*A = - l

=c/" [14]

De [13] y [14], teniendo en cuenta la [4], se deduce:

C* = TV, - R* = «* -f-

ftit„t)jt t _ ( ft<th,,ìjtr- '« V~l '/iCi — > a;, ¿ "__;

A = f

-/ï^^.íU/ -/ïíV"'"

A-I [IB]

ya que las S de [13J y [14] solamente difieren en el sumando corres-pondiente a a*. Comparando [lo] con la primera [2] se obtiene:

U = Cue

f t ( t t ì t ) j f k ^ $i(th.i)Jt

-»'"A = l

/ í (V'>-" --/*"*_i,'V<[16]

> teniendo en cuenta la [8], la [l(>] se puede escribir:

U = R*-i

/ !" \—J í <IÀ. 1} dt

'ile

— 1

- S'^'k-r'""= RA-1 '* [17]

/

que se escribe en In forma [6] haciendo /t ií>'iial al paréntesis, o lo(|ue es lo mismo :

/3 <'*-!•'>•',*-!

'* =

f J(ÍA,()</(

- l [18]

Se obtiene, pues, el mismo resultado que en los dos casos ante-riores, la amortización es equivalente a otra en capitalización com-puesta de tanto de interés anual variable ít. El cuadro [.r>] es válidocon las relaciones [2], [6] y la [18], es en esta última en lo que sedistingue de los dos casos anteriores.

Obsérvese que la condición necesaria y suficiente para que el re-sultado obtenido por este método coincida con el obtenido por el mé-todo progresivo, es que [18] coincida con [4], lo que exige que eltanto instantáneo sea función solamente de /. porque igualando [4]y H8] se obtiene:

i -t *

(t(i¿_t,t)Jt J í í / ^ . O r f r J j ( / A _ r »Wf

, *-l —/* *-l [19]

o sea:n n

f ò (/¿_!, t)dt= {'ò (t k, f) d t [20]

pára cualquier valor de k, lo que únicamente se cumple si 5 dependesolamente de t.

Se puede aplicar también este método de igualación de los valo-res de <x y de C en un instante cualquiera, a un instante genérico T.Si T < íj, se obtiene el mismo resultado que para T = t0 con sólosustituir en la [12] t„ por T y C por [21] :

u— /S(T, t) á t J S f /n, l}dt

Ce T , T < V C e'° ,/„<"!" [21]

por cumplirse la [7] y [8] con dicha sustitución de t0 por T y de.C por [21].

Si T > ín, se obtiene el mismo resultado que para T = ín consólo sustituir en la [18] tn por T, por cumplirse las [7] y [8] condicha sustitución de ÍB por T.

Supongamos ahora el caso más complicado en que t1 <T<í n , ysupongamos que tm < T < tm+i. En este caso, para k < m rige la [18],sustituyendo en ella ín por T. Para k~>m + 1 rige la [12], sustitu-yendo en ella tt por T. Para k = tn + 1 no rigen las [T] y [8] nilas [13] y [14] simultáneamente, sino las :

Rm+le

m-t-,

—J íii, < ) r f <T

("i (th, t)dt

+ y «u/<__'A = l

— C a n , í ) r f < |"5(í0,i)¿í

-f ^.»4-1 «

T I

/5(/A , /)«/í fS(ta,t¡JtI^Cm'1^'

Kmc'm + y a;, e''' =C«"r fA-l

y restando :

R« — R«+I = Cm+i = aw+1 — p

= Cí*

"'TI •

/"íÍT, /1 í/í + ft(lm,í)Jl

]

[22]

[23]

o sea :

23 —

m+i T|ä(T. I) J í + ft(tm,l)Jt

— 1

Por tanto, en este último caso es :

J 8 (T, í) d t

1+/* =

e m~l k > m + 1

/3(T,í)¿J -f f»(tm,t)Jt

; k = m -f 1

/*</*_,, < ) ¿ « + / í ( ' v < > < "

e'*-, ; A < /n -j- 1

[24]

[26]

que muestra la discontinuidad de la fórmula del tanto de interés alpasar de t,,, a ím+.a, y de í,n+1 a í,,1+2. No existe tal discontinuidad sila capitalización es escindible, en cuyo caso las tres fórmulas coin-ciden en una sola.

Las cuotas a satisfacen a la condición que resulta de hacer R„ = Oen la ecuación [22] que le corresponde a n, o sea:

[*(</,. I) dl t ~^ÍT,t)Jt [i(ia,t)Jt

V««'* + JT «*í T =C/° [26]A=wi+l

^_JA = l

Es obvio que conocidos en [5] los i,, ..., ¿n> el problema está re-suelto y el cuadro es constructible. Si se conoce una cualquiera delas columnas, o si se imponen suficientes condiciones a las a, porejemplo la de ser iguales.

Por ejemplo, si se conocen las a*, se calcula :

I.^/.C; C,-»,-!,: E, « C,; R, = C - C, [27]

con lo que se puede calcular :

I2 = Í 2 R, [28]

y se sigue de la misma manera hasta agotar el cuadro.

— 24 —

Si se conocen las Ct, a las cuales les basta con cumplir la últimacondición [2], para que el problema tenga solución, se calculan lasEk, R* por las [2], las I» por las [6] y las xt por las [2].

Si se conocen las E* o las R*, se está en el caso anterior, porquebasta con calcular las C» por las [2]. Si se conocen las lk se calculanlas RI_! por las [6] y las Ct por las [2], con lo que se está en elcaso anterior.

Una vez calculado el cuadro fa] se puede calcular en cualquierinstante tt, el valor, nuda propiedad o usufructo del préstamo encualquier régimen de capitalización, porque es el cálculo en dichorégimen de una renta discreta de términos ajt+1, ...,<*„; G+1, ...,C„;î*+i> • • • » L, respectivamente.

La capitalización simple es un caso particular de la actual (no es-cindible). En este caso particular las fórmulas [4], [12], [18] y [25]correspondientes al método progresivo, a la igualación del valor ac-tual, del montante y del valor en un instante genérico T, se calculancomo se expone a continuación :

La homologa de la [4] como la capitalización es simple y portanto :

»"•'•) = -!+,(,-,„) W

y de aquí :

Ç id t

./ l + «X<-<*_,>

'* = /*" -1 = íIogIl + í (^-^. ]_ l = I-^_^ [30]

La homologa de la [12] es:

.*./ T+7(í-í¿T ,__ i+'(<¿ — /Oi

i it i — / * \[31]

f idt, / - ! • • , - •.(>> .

/*-« - 1 =« g í+7^-i-w~ _ ! _ ''*'*-Wi-f'^_,-/.)

La homologa de la [18] es:

'i '«r < ¿ < r idt

J !+''('-'*_,) J 1 + Í ( Í - / A )

/*-i '* _ ! ==i1°g[ l+'('»- i*_,)]-log[l + /„-' i)]_ t

— 25 —

LLÜJiZ iíL - ! = '(^~'*-i)" l+ ''('„ -'*> ' ~ !+'('»- '*)

[32}

La homóloga de la [25] es tras el cálculo de dichas'integrales,habida cuenta de la [2] :

¡k =

ídk-tk-i) k > m + ll+ /(/*_! -TÌ '

/ (i„+1 - /„) + ¿2 (íW, - T ) (T - /,„); * = m + l

» (f * — /*_,). 1+ í (T-¿¿) '

¿ < m -f- l

Las fórmulas [25], cuando T = i„, se transforma en las:

l 4- i k =

/«('«.')<"/*->

'« '«/ * ('A_r.') <" - /«"*,')•"ij. 'L

„ *-l *

^ è »Z -f- l

; ¿ < w -f l

[33]

[34]

La discontinuidad en la fórmula del tanto del interés se produceal pasar de im a tm+1, y ya no existe al pasar de tm+l a ím+3. Parak = m, de la segunda [34], se obtiene la:

/* f '« , - , .<><"l 4- /,„ = í/M-i [35]

Lãs fórmulas [30] para tm = T se transforman en las :

í (tí- /*_,} ,. . . . iVk — tk-t]"* = T+T^^T^j- * *^ * + l: '*- T+Í(^-Í*)S¿%er^<"'^ [sei

la discontinuidad se produce al pasar de t,„ a ím+1, pero no al pasarde ím+, a t„,^2. Para fe = m + 1 y A' = m se obtienen, de la primeray segunda [301, las :y segunda [36], las :

>m+t - Í(tm + t - >'»)'• '"' = ' (/« - '«-!> 137]

— 26 —

2. Amortización en régimen general de capitalización con los inte-reses anticipados. Caso mixto.

El resultado fundamental que hemos obtenido en el § 1 es quecualquiera que sea el régimen de capitalización, la amortización dis-creta de todo préstamo es equivalente a la amortización en capitali-zación compuesta a un tanto de interés variable de año en año. He-mos dividido así las cuotas de amortización en dos partes: el interésy la parte de capital amortizado, lo que permite calcular el usufructoy la nuda propiedad en cualquier instante, y en cualquier régimen decapitalización, como el valor de rentas discretas conocidas en este•último régimen de capitalización.

Al calcular la parte de la cuota de amortización correspondienteal interés, se puede extender a cualquier régimen de capitalización laamortización con intereses anticipados, que en definitiva será la amor-tización del préstamo del cuadro [5] con los intereses anticipados.Por tanto, el problema que hemos de resolver es la amortización encapitalización compuesta de tanto variable, con los intereses antici-pados. En este caso, partiendo del cuadro [5], se cumplen las rela-ciones [2], pero no la [6], sino la:

• a* = C* + í* R¿; U = » f t R * [38]

que puede también escribirse, habida cuenta de la cuarta [2] :

<tk = CA + ik (R*_, — Ck) — Ck (1 — ik) -f- if, R*_, [39]

y dividiendo por 1 — it, queda:

-Ar^' + T^r«*-' whaciendo el cambio de notación :

, «k ík ., .. ,

^ = T^7T; 1^77='* W

la [40] se escribe :

a'k = Ck -f t k R*_, [42]

— 27 —

que es de la misma forma que [6]. Por tanto, la amortización'en ca-pitalización compuesta a tanto variable y con los intereses anticipa-dos, es equivalente a otra amortización, también en capitalizacióncompuesta a otro tanto variable, y con los intereses vencidos (amor-tización ordinaria). Su cuadro sería :

años ak' \k C¿ F,¿ R¿ f k0 C1 «', I,' C< E, R, i,'2 o'2 V C2 E2 R2 z'.,'

a.„ [43]

comparando con [5] se observa que en ambos cuadros son igualeslas Q, E*, RJ, pero distintas las otras variables; definidas las«'*, i't por las [41] y las I'* por:

|A' = *VRA-, ' [44]

Una vez calculado el cuadro [43] se obtiene el [5] de la- amorti-zación con los intereses anticipados, mediante [41], pero los I* vie-nen dados por la segunda [38]. Calculado el cuadro [5] se está yaen condiciones de calcular el usufructo, nuda propiedad y valor delpréstamo en cualquier régimen de capitalización, como el cálculo ,delvalor de una renta discreta conocida en dicho régimen de capitali-zación.

Obsérvese en [39] que si el tanto de interés es constante, iguala ¿, se obtiene :

:C*+T-^-R*_, [4o]1 _ ,: « ' i _ t-

que muestra el resultado ya muy conocido de que cuando el tantode interés es constante, la amortización con los intereses anticipadosde un préstamo de un capital C coincide con la amortización con losintereses vencidos de un capital C (í — i), al tanto constante ¿/(1 — i).

Vamos ahora a resolver el problema de la amortización en capi-talización compuesta a tanto variable con los intereses anticipados ycon cuota de amortización a constante. Por ser at = * constante, es:

-r~- [46]1 - 2 * l '

— 28 —

y el capital C ha de ser amortizado con Ias n cuotas i\, ..., a'K a lostantos variables anuales í',, ..., i'„, definidos por [41], a los que co-rresponden los factores de descuento v\, ...,?/„, definidos por:

•=!-/* [471I + »Y

Por tanto, se cumple que :

C = o,' »,' -f- ct2' v,' vt' -]~ ... -f- O"' "«' "'»-i • • • »i ' [48]

y efectuando las sustituciones [46] y [47], [48] queda:

C = a [ l + ( l -i¿ + (l -i-,)(í-«•,)+-.. -f (l - » „ ) . . . (l - »vi [49J

que da la cuota a que resuelve el problema. Cuando z\ = ... = in = iconstante, coincide con el conocido resultado a que antes hemos he-cho referencia.

Puede darse el caso mixto en que parte de los intereses se paguenanticipadamente y otra parte por vencido. En ese caso vamos a hallarla interpretación financiera de esta clase de intereses. Sea i el tantoanticipado e i' el vencido, vamos a llamar j al tanto vencido equiva-lente a la superposición de los dos tantos i e i'. En este caso el pres-tatario por cada 1 — i pesetas que recibe en préstamo al principio delaño, paga al fin del mismo 1 -f i', luego ha de cumplirse que :

<l-i)(\+j)=\ + i' [50]

de la que se deduce que:

'•"£?--'--TÊT '6"

Supongamos ahora que la amortización es con esta última moda-lidad de pago, de modo que cada año i,, e i'* son los tantos de interésanticipado y vencido respectivamente; se cumplen las relaciones [2],pero no la [fi] ni la [38], sino la:

«* = C* -f ik R* + «Y R*-,: U = f* R* + ik R*_, [52]

- 29 -

3a cual puede escribirse, habida cuenta de la cuarta [2] :

a.k = C¿ (t — ¡k] + (¡k -r »V) KA_! [53]

y dividiendo por 1 — 4 se obtiene :

°* <~ i '*-!-'*' n r - j i~r-7r = C,+-r-7rR,_1 [04]

y haciendo los cambios :

, «A . „ ik -f- »V ,,_.ik = —; -.— ; '* — - ' .— 55]l — í¿ i — ?*

se obtiene :

vt" = CA + «V K*_,; ]A" = ÍA' R*_, [56]

que es de la misma forma que [6]. Por tanto, este problema es equi-valente a! de la amortización con intereses vencidos, tal como resultade cambiar en el cuadro [5], -/*, It, •;"»., por a"t, I"t, í"t, estando de-finida esta última por [55] y dejar iguales C», Ej., Rt. Una vez calcu-lado este cuadro, se calcula el definitivo calculando a*, It, por las fór-mulas [55] y [52], con lo que queda resuelto el problema.

En este caso mixto la cuota, cuando es constante (y.k — a), vale :

c = a f _ L _ _ . L^í* + ( t - f , ï . . ( i -^ i1 1 -f »,' + (i + /,') n -f V) ^ • • • (i + *v>. . . (t + «y» J P'J

J si además los tantos ?'* e i't son constantes ;' e i', la anterior sesimplifica en la :

on-fl..f4-+(J-)' + ...+(4-1-1 M

que equivale a la amortización de un préstamo de capital C (1 — ;') altanto (/,+ î')/(l — i) con los intereses vencidos.

3. Amortización continua.

En el supuesto de amortización continua por el método progresi-vo, las funciones del cuadro de amortización, con las mismas nota-

— 3" —

dones que en el caso discreto son y. (t), I (í), C (í), E (í), R (í), liga-das por las relaciones:

t

E (r) -f R (/) = !; E (/) = f .C (i) ¿t; .

'tt

K(t) = \-jc(t)<lt; -|5_ = - C <*) = --^f-

'oa (/) = C (/) + I (i); I (/) = R (t) ò (/, /) [59J

habiendo supuesto unitario el préstamo (en caso contrario hay quemultiplicar los valores de las funciones anteriores por el importe Cdel capital prestado). Sean i„ y ¿, los instantes inicial y final del prés-tamo.

R (í) ha de cumplir las dos condiciones :

l? f /0 i= l : R (/,) = (! [fiu]

y ha de ser por lo general una función monòtona, no creciente y po-sitiva .

E (t) es por lo generai monòtona, no decreciente y positiva. C (i)es por lo generai positiva y tal que :

/,

(c(t)dt = \ [611

'o

Si se conoce C (t), se calculan E (í), R (t), I (í), -j. (í) por este or-den a partir de [39]. Si se conoce I (í) se calculan R (O, E (í), C (í),a (O por este orden a partir de [59]. Si se conocen R (í) o E (f) secalcula C (í) por [59] y se está en el caso anterior.

Si se conoce <x (f), se calcula R (t), y se està en el caso anterior.El calculo se efectua a partir de la ecuación diferencial, consecuen-cia de [59] :

d R {t) - R (t\ ò ít. t) + a d) = O [62Jdt

con las dos condiciones [60]. Una de ellas basta para determinarR (í), la otra exige que a (í) cumpla una cierta condición ; no puedeser una función arbitraria.

Conocidos a(t), C (ï), I (í), se pueden calcular estas rentas con-

— 3' —

tinuas en cualquier régimen de capitalización, lo que da en cualquierinstante el valor, la nuda propiedad y el usufructo en dicho régimende capitalización.

Obsérvese que esta amortización es equivalente a otra en régimenescindible con tanto instantáneo S (í, í), o To que es lo mismo a unacapitalización compuesta con tanto instantáneo variable 5 (f, í) es îahomòloga de la [4].

Si la amortización no es progresiva, existen las mismas posibili-'dades que las analizadas en el § 1. Vamos a comenzar por el métodobasado en la igualación del valor actual, entonces es :

-fí<it.i)<íi i -f»(ta,t)jí

*(fl« * + L(i)e '" dt=\ [63]

que es la homologa de la [7]. Haciendo í = í,, habida cuenta dela [60], se obtiene la condición que ha de cumplir la función n ( t ) :Como :

C(/)= ^1_; I(/) = B ( / ) _ C ( 0 [64]

derivando la [63] se obtiene :

; t-J 8 (*„ ,« )« / í —fS(í,,l)Jt

[-^r--w<'«•<>]< " + ° w < '° =o i««

o sea:

¿ R ( / ) - R (/) S (/„/> +a (/) = O [66]dt

luego teniendo en cuenta la segunda [64] es :

<l (t) = R (t) 8 (i0, l) = R (/) -^r '8 (í,, í) d t [671

— 3* -

que muestra la equivalencia coït la amortización en un régimen ck-capitalización escindible de tanto instánteo :

*i /»

"TF / 3Co.')¿' = 3Co.') [68]

con lo que tenemos ya resuelto el problema, y estamos en condicio-nes de calcular el valor, nuda propiedad y usufructo del préstamo encualquier régimen de capitalización, como el cálculo del valor de unarenta continua conocida en el dicho régimen de capitalización. La[68] es homologa de la [12].

Vamos ahora a utilizar el método basado en la igualación del mon-tante. En este caso se cumple que :

<i- _ / " » ( ' . * > < / » / -f»(t,s>J, -/3 </„,<) ¿f

* , r ... t . . 'aR (í) « + f a ( t ) e ' dt=e '" [69]

que es Ia homóloga de Ia [13]. Haciendo en [67] / = í,, habida cuen-ta de la segunda [60], se obtiene la condición que ha de cumplir lafunción a (í). Derivando la [69] se obtiene :

/i /,,, -J»(/,.)¿* - f t ( t , * - i j i

|_£| L + R(/ )^-^3(/ ,«)rf«]< +«(0« =0 P»]

o sea :

r f RO - B / . , d-f RO-rf/ ' " ' dt

t

'\

í f, (t, t)dz+ a (i) =0 [71]

que habida cuenta de las [64] da :

'i

l(í) = -RW-^-/"8(/.»)rfa [73]

- 33 —

que muestra que esta amortización es equivalente a otra en régimende capitalización escindible de tanto instantáneo :

t—¿T.Jt(t.,)äS==t(t,ti+f-**£:!Läs [73]

/ 'i

que es el homólogo del [18].Comparando entre sí [02], [66] y [71] se observa que la condi-

ción necesaria y suficiente para que los tres métodos sean equivalen-tes es que :

i,l n

S (/,/) = 8^./) = --^-J l(Í,z)ds [74]

o sea, que 8 sea independiente de la primera variable, o lo que es lomismo que el régimen de capitalización sea escindible, que en defini-tiva es un régimen de capitalización compuesta continua de tanto ins-tantáneo variable en vez de .constante.

Por último, vamos a utilizar el método de igualación de la sumade los valores de las cuotas pagadas y de la deuda residual al capitalprestando en un instante T cualquiera. Como en § 1 si T < í'0, la so-lución se obtiene sustituyendo en [00] í(, por T; si T>£ , , la solu-ción se obtiene sustituyendo en [78] í, por T. Pero si / 0 - < T < f 1 ,el cálculo es más complicado y vamos ahora a realizarlo.

Para íc < t < T, se tiene que :

— ft(t,,)j* , —f»(i,i)j, ft(t„,t)jt

[75]K (í) e + f a ( t ) e ~ iif = f

'a

cuya derivada es :

JR(t)dt f R(/)-^-j"8(/ ,«)rf8 + «(0 = 0 *o< '<T [76]

ecuación diferencial que con la primera condición [00] se puede in-tegrar. Obsérvese que es de la misma forma que la [71] con sólo

RIÎV. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1907. 3

- 34 —

cambiar tl por T. El tanto instantáneo de [76] es el homólogo delùltimo [25].

Para T < í < tlt se tiene que :

/ T í

— Jí(-i,l)¿i T j t, (t, ¿) J z t — $ò(r,t)dt

R (t) í + f «(t)e' + í a (t) e dt =

»o

cuya derivada es :

d K (t)dt

J 5 ('o, ') d t

[771

R (t) ò (T, t) -f <z (f) = 0; T < t < í, [781

ecuación diferencial que con la última condición [60] se puede inte-grar. Obsérvese que es de la misma forma que la [66] con sólo cam-biar ta por T. El tanto instantáneo de [78] es el homólogo del pri-mero [25]. En resumen, el tanto instanáneo vale:

dfa<t<T, -Irfw-M-f-^*.dit i

/ 0 = T , Ò(T, T); T <*</!, 8 (T. ¿)

[791

que para í = T dan el mismo valor. La discontinuidad en la fórmuladel tanto instantáneo se da para t = T, pero no así para el valor deltanto instantáneo que es continuo por dar las dos fórmulas el mismo*valor parya t = T.

Si en [75] y en .[77] hacemos f ¡= T, obtenemos para R (T) el mis-mo valor, Io que comprueba la compatibilidad de ambas ecuaciones-diferenciales.

Si en [75] hacemos t = t0, como R (Z„) = 1, obtenemos una iden-tidad, pero si en [77] hacemos t = tlt como R fo) = O, obtenemos :

tf li t, sí di r't —ft(-v,f\dt fS(t„t)Jt

[80J

• J <,<!,& di M

\ i(t\t' dt-\- l a (t) g T dt=¿*

— 35 —

que es la condición .que ha de cumplir la función v. (í) y que sirve paracalcularla ; por ejemplo, si se hace a = constante, [80] es la homo-loga de la {26],

Obsérvese que se pasa de los tantos de interés de la amortizacióndiscreta [4], [12], [18] y [25] a los tres tantos de interés [74] yal [79] de la amortización continua, sustituyendo it por log(l;+ i*),y en esta última función de í hay que cambiar /(f*)—/(í*-i) porf (0> y ^*-3 ó ^* Por ^ Además hay que cambiar el extremo ín. por elnuevo extremo ít (finales del préstamo). Así es que [4] da lugar a:

*

ik -" log (1 +i¿ = \*(t¿_vt)dt-+l (tk_v t) - S (/, t) [81]f*-i

que es el caso de la amortización progresiva.

La [12] da lugar a :

fé

ik-+ log (t + /A) = í 3 (*„. i\dt) - B (<•„, i) [82]

'* - i

La [18] da lugar a :

'«f A - » l o R ( l - } - » A ) = | Ò ( / A _ , ; / ) r f / - / l ( t k , f ) d t

'*-! '*

rf /'— l S (í, s) í/ s [83]

dt Jt

La primera [25] da lugar a :

¡k _, lop (t _j_ ik) = / 5 (T, /) / _* ï (T, /) [84]

'*-1

í

- 36 -

como la segunda [79]. La tercera [25] da lugar a:

T T

iÂ-*log(l + it)= l *(tk_vt)dt - lì(tk,i)dt-

l i (t, z)} d z [35]dt

como la primera [79]. En cuanto a la segunda [25] da lugar a:

'm+l T T + BJt

fA -* Ipg (l + '¿ï = í 8 <T, t ) d t + j * C«. t)Jt-+-lj- l t ( T , t ) < i i +* <m T

T T + eo1'

+ — / * ï < T ; í j r f ' = — / S ( T , T ) r f / = 8(T,T) ; 0< 6 < 1 [8G]dt J d t J

T - ( I — e > ¿ / T- ( j — « ) < / /

al efectuar la sustitución de f m + ] — í » , por d í, y ser í,,, <T«m+t.La justificación de estos cambios es debido a las propiedades de

las Distribuciones (véase el § 8).

En el caso de capitalización simple en virtud de [27], los trestantos [74] son, respectivamente :

1! + / ( / _*„ ) '

d

rf_ /•' idz~~dTJ i + / r* - / )

= -^Tlog[1 + '·(''-^] = T+7k^r 187]

y los tantos [79] son :

______ /0<,<T: TTÍ77^T, T<.<., [88]

resultados que se obtienen tnmlíién a partir de la [31] haciendo lasmismas sustituciones que en las fórmulas [81] a [80].

En la amortización continua no hay diferencia entre los intereses

- 37 —

anticipados y los vencidos por ser infinitesimal el intervalo entre elpago de cuotas.

4. Interpretaciones financieras de la amortización.

Como resultado del § 1 y del § 2, hemos llevado todas las modali-dades de amortización discreta cualquiera que sea el régimen de ca-pitalización y cualquiera que sea la forma de pago de los intereses auna amortización en capitalización compuesta de tanto de interésanual variable, cuyo cuadro es el [5]. Por esta razón se verifica que :

[89]

con lo que C se puede descomponer en sumandos ß„, tales que :

fr

y" ß/, =;C; p/, = a* », .. . »A [90]J^Í

que multiplicando por las r, factores de capitalización inversos delos factores de descuento r, se puede escribir en Ins dos formas:

p/, >- , . . . f/, = a/,; p/, r, . . . r„ = a/, r/^, .. ;•„, >•/, — \ -f- Ú [91]

La primera muestra que cada cuota de amortización y. sirve parapagar una parte ß del capital prestado C más los intereses devenga-dos por p hasta el instante en que se hace efectiva i. en la amortiza-ción en capitalización compuesta de tanto variable equivalente a ladada.

La segunda muestra que también cada cuota i y los intereses de-vengados desde la fecha en que se hace efectiva hasta el final del prés-tamo, sirve para pagar una parte ß del capital prestado y los interesesdevengado por p hasta la liquidación de! préstamo. Ambas interpre-taciones son iguales en virtud de la equivalencia financiera que rigepara la capitalización compuesta.

Sin recurrir a la amortización equivalente, también puede hallarseutict interpretación financiera a las distintas modalidades de amorti-

- 33 -

zaclón discreta, a partir de las fórmulas establecidas en el § 1. Porejemplo, en el caso de la [25] se puede hacer :

fmt,,t)jtp***

fHih,i)dt

\<h<m

'A-fS{T,t)dt

ai, e T ; »i < A < n

[92]

cumpliéndose la primera [90]. De [92] se sigue que para h < m,cada cuota de amortización a más los intereses devengados desde lafecha en que se hace efectiva hasta el instante T, sirve para pagaruna parte ß del capital prestado más los intereses devengados por ¡4desde el instante inicial del préstamo hasta el instante T. Mientrasque para h >> m, cada cuota a descontada en el intervalo de tiempode T al instante en que se hace efectiva, sirve para pagar una parteß del capital prestado más los intereses devengados desde el instanteinicial del préstamo hasta T.

En caso de qiie T coincida con tb es :

T

f*(it,t)di [93]PA «'" »• a/,

y le son aplicables las dos interpretaciones anteriores por igual. Esdecir, que <x„ sirve para pagar una parte $h del capital prestado máslos intereses devengados hasta el momento en que se hace efec-tiva aA.

En el caso de la amortización continua, como las ecuaciones dife-renciales [62], [66], [71], [76] y [78] se escriben, en forma unifica-da, así :

-^ÎI îL_R(<)î( / ) + a(0-0 [94]

cuya integral, habida cuenta de la segunda [60], es:

ír ' -ftwjt, j

=|i- I a(t)e '• y>

t t.' -fi(t)dt f»(t)dt

R ( Í ) = | I - | «(/), '« I/. [95]

— 39 —

v por la primera [60] la condición que ha de cumplir o. (í), se obtienehaciendo í = t1 en [95], es:

/-f t (i) á i

a (f) e cit = 1 [96]

por tanto, es :

-/«(<)</< -''a ( t ) e '» = ? ( / ) ! P W ^ O ; J p ( / ) r f f = l

de la que se sigue que:

</ê d) d t

«(O-p w«" ;

'i 'if l (t) d i f 8 (/)</(

*(/)«' = ?( / )< ' •

[97]

[98]

«ue muestra que la cuota infinitesimal a. (t) d t sirve para pagar una

parte ß (f) d í dei capital prestado más los intereses devengados por

la misma desde el instante inicial del préstamo hasta el instante < en

que se hace efectiva la cuota. O también que dicha cuota más los

intereses devengados desde el instante en que se hace efectiva hasta

la liquidación del préstamo, sirve para pagar el montante de la parte

ß (t) d t, del capital prestado al tanto equivalente 8 (i).

Sin recurrir a la amortización equivalente se pueden buscar otras

interpretaciones financieras de la amortización continua basadas en

las formulas del § 3. Por ejemplo, de la [77] haciendo t = tt y habi-

da cuenta de la [97] y de la segunda [60], se tiene que:

T J'a '.»,¿\j,

l a d] e' d t -{-

/o

que muestra que :

'• -fl(T,t)Jt 'i fl(t,,t\dt

l a(t)e T dt— i p(í)í / 0 dt= \ [99]

P (O «'•/''to,,')-" a(í)et

/«('.=)'/-

—/á (T, t) J t

a (t) e'

i0<t<T

T</^ / ,

t'001

— 40 —

resulta, pues, que al igual que para la amortización discreta, parat o < t < T la cuota de amortización a (í) d t más los intereses deven-gados desde í a T, sirve para pagar la parte & (ti) d t del cpital pres-tados más ios intereses devengados desde í0 a T. Mientras que paraT < í < f j, la cuota a (í) d í descontada de í a T, sirve para pagarel importe del montante de la parte ß (i) d t de capital prestado des-de í. a T.

5. Optimación de la amortización contable.

Hasta ahora nos hemos ocupado únicamente de la amortizaciónfinanciera, pero junto a ésta existe otra amortización llamada conta-ble, esencialmente distinta de la anterior. Consiste ésta en que cuan-do una empresa realiza una inversión de A pesetas, puede contabi-lizar la amortización de esta cantidad en sus balances anuales duranten años, mediante n cuotas a,, ..., an, que han de cumplir la condición:

2"^= A [101]/= i

de modo que si Q1; ..., Qn son sus casirrentas en estos años (dife-rencias entre ingresos y gastos) brutas respecto a la fiscalidad, esdecir, sin descontar los impuestos ; por efecto de la contabilidad an-terior los impuesto a pagar son :

¿(Q,-*i), ...,&(Q„-a„) (to?I

en las que k es el tanto por uno impositivo, debido a que de las ca-sirrentas brutas hay que descontar las cuotas de amortización paracalcular el impuesto. Por tanto, las casirrentas netas que son lascasirrentas brutas, descontados los impuestos, son :

Qi-*(Qi-«i) = Qt(i-*) + *«i; . . . ; Q „ ( i - * ) + *«« [iQSj

y el -«goodwill» de la inversión G, si i es el tanto de interés de laactualización, vale:

<l-^Z-OT^ + ¿TT^-A = G [1041JQ

_Lf = l • ' • f = l

— 4' —

en donde solamente hay un sumando variable por efecto de la amor-tización contable, que es el :

«ZinV ^.f=iPor tanto, cuanto mayor sea la 2 de [105] con la condición [101],

mayor será el «goodwill», y la inversión más beneficiosa. Pero tam-bién han de cumplirse las condiciones :

»f^-Qf- / = 1 - 2 n [1061

porque si Qp — ap < O, para algún p, entonces para ese p la dismi-nución de impuesto es k QP, igual que si QP — af = O, en vez dekap, que es la disminución de impuesto cuando se cumple la [106],

Conviene, pues, que los a„ decrezcan con p, cumpliéndose la [101],para que resulte máxima la [105]. Ahora bien, por lo general lasleyes fiscales no permiten escoger los <i¡> a capricho de la empresa,sino sometidos a ciertas condiciones, y en ese caso de dos amorti-zaciones contables, que forzosamente han de cumplir la [101], da elmáximo provecho para la empresa, la que hace máxima la [105] sus-tituyendo las íip que no cumplen las [106] por las Qr correspon-dientes.

Este es, pues, el criterio de selección de amortizaciones contables,con miras a la rentabilidad de las inversiones. El método no se alterasi i y k son variables en vez de constante.

(i. La ilusión monetaria con variación continua del poder adquisitivodel dinero. Operaciones financieras a tanto instantáneo realconstante.

Si p (í) representa el índice de precios en el instante t, y ¡i (í0> Ola cantidad de bienes y servicios que pueden comprarse en el mismoinstante t, con el montante de una peseta impuesta en el instante i„,en régimen de capitalización de tanto instantáneo S(í0, í)> se cum-ple que :

i/3(l„, !)</<

H(Í 0 , / ) / ( / ) W« [107J

— 42 —

verificándose, por tanto, que :

n( /„ , / J /> ( /« ) = l (108]

Tomando logaritmos en [107] y derivando, se cumple que:

|x-(/o./) . j^^. [l)19]

¡l(/01/) ^ /(/} 10 ' l J

y haciendo :

&£-»•« """la integral de [109], habida cuenta de la [108], es:

i t

fa(ta,t)<lt f o (.tu, l) J t , j | j ,

^o'^TTTV''0 =it(/o, 'o)«'b

/ l'oi

[110] y [111] muestran que u (/„, í) es el tanto instantáneo del inte-rés real, que resulta tras la eliminación de la variación del poder ad-quisitivo del dinero, expresada por [108]. De [109] se sigue que:

o i/o, 0=s (<o. o--^- = 8 ( / „o -«MÍ *w = y§- t112!

siendo :

¡fndidl

p(t\ = p(t¿e'* [113]

la [112] es la relación que existe entre los tantos instantáneos de in-terés real o (ín, /) y nominal S (í0, t) y el índice de precios /> (í)-

De [112] se sigue que conocido T. (í), el régimen de capitaliza-ción para el que el tanto instantáneo real de interés es constante(a = a), es el régimen escindible de tanto instantáneo 8 (í) dado por :

8 (0=«-f t W [114]

que nos permite desarrollar la teoría de las operaciones financieras

— 43 —

a tanto instantáneo real constante y calcular el rendimiento dé lasinversiones teniendo en cuenta la variación continua del poder adqui-sitivo del dinero.

En particular, si los precios varían exponencialmente (s = b), eníonces:

ç(í) = íj-fí [U5]

y la capitalización es compuesta, o sea, escindióle de tanto instan-táneo constante: ct'+ b.

1. Empréstitos con obligaciones rcembolsables a precios variables eintereses anticipados parcial o totalmente. Empréstitos de ren-dimiento constante.

Sean K,, ...,Kn los precios de reembolso en los n años que durala amortización, C el nominal de las obligaciones, i el tanto del inte-rés anticipado e ¿' el tanto del interés vencido ; Nu ..., Nn los núme-ros de obligaciones amortizadas en los n años, y N,*, ..., Nn", losnúmeros de obligaciones vivientes al final de dichos años (despuésde la amortización correspondiente al año). La cuota œh a pagar enel año /i es :

u = NA KA 4- N^ '_ t C»" 4 N¡C Í = NA (K* - C » j -f NJ_1 C ((+ f) [116]

ya que:

N ^ _ I = NA + N I Í+ ,+ . . . + N B = N * + NJ [117]

Si las cuotas a , , . . . , a H satisfacen una relación de recurrència:

OA = a*<!*.., + **; A = 2,3, . . . , « [U8]

sustituyendo en [118] las a y las N" por sus valores [116] y [117],se tienen n — 1 ecuaciones lineales en N,, ..., Nn, que junto a la:

N , - f N 1 + . . . + N J , = N [1191

— 14 —

siendo N el número total de obligaciones, resuelve el problema deícálculo del cuadro de amortización del empréstito.

En particular, si las y. son constantes, igualando a.h a a^, se ob-tiene :

N A _ , (K*_j - C O + N* _ 2 C (i + O = N¿ 'K/, - C í) + N£_ t C (f + »') [120]

y habida cuenta de la [117], es:

NA,, (KA_, - c ô = MÍ (KA -f C O [121]

de la que se sigue que :

N* = N«nir1±^7 [122]JLJ- K»,+ , — (^ 1

m = J

que llevada a [119] da:

M = N, il + V TT JM + Cr 1 t123lL AM*-*«-0 1]

que permite calcular N\ en función de N, y llevando este valor a[122], se obtiene Nft en función de N:

A - lKm + C ¿'n

N/, = N ^—1 [124]

i o- V Km + CÏ/-' v — r •

/»=1.J KM + 1 - C «

que resuelve totalmente el problema. La cuota constante a vale :

a = N«(K»+C»') . [12fi]

Si las obligaciones estuviesen privadas de intereses vencidos elaño en que se amortizan, en vez de [116] sería válida la:

a/, = N¿ KA -f N¿ C »" + N¿ C z = NÄ [ K/, - C (» f- ,-)] -f N^_ 1 C (« + i") [126]

— 45 —

por tanto, la solución se obtiene a partir de la solución del caso an-terior, sustituyendo K„ — Ci por K „ — C ( i · + t ' ) > Para e' cálculo delas NI, ..., N„, y la [125] sería ahora:

a = V„K«. [127]

Vamos ahora a proyectar un empréstito de rendimiento constanteen el primer caso antes investigado. Si j es el tanto del interés cons-tante, el valor actual en el momento de la emisión del empréstito,de una obligación amortizada en el año h, es :

Ka r ., i r • — ÜA

(l-f/i^ *~¡y + ñ, - (1+// ' ~ L " ' " IJ"l-*\jc'V,, + c'\,, = 7rT7?+c[' + (I+H«¡i, t1281

por ser KA su precio de reembolso, y haber disfrutado antes de suamortización de una renta anual de h términos C i'', y de otra anti-cipada de h términos Ct. Si el rendimiento ha de ser constante, seha de cumplir que :

^ + + v+J^l^-^^+^+v^*}«^ [l291

•de la que se sigue que :

K* = K*_, (1 +/) +C[f + (l +J) >} («J_íi> - a-} (1 + »* - K*., (1 +» +

+ c[,+(1+y)..1ü+^-(t+.r-(1+yl^

= K*_, (1 +f) - C \i' + (1 -h» i] [130]

que es la relación de recurrència que liga entre sí los precios de reem-bolso de una obligación en años sucesivos. Por tanto, dados C, j, i,i' y K0 (precio de emisión de las obligaciones), se calculan por [130]los K,, ..., Kn, y se está ya en el primer caso general antes resuelto.

El qtie el rendimiento es constante cualquiera que sea el año h enque se compra la obligación, con tal de que se adquiera al precio dereembolso ~Kh correspondiente a ese año, es consecuencia directa dela equivalencia financiera que rige para la capitalización compuesta,ya que en el instante de la emisión son iguales los valores actuales 'de K,, y K f t+m disponibles en los años h y h + m respectivamente,-

_ 46 -

aumentados cada uno en el valor actual de la renta disfrutada por!a obligación antes de su amortización. Por tanto, el valor actual deKA es el de KE+1 más la renta entre los años h y h + m, porque larenta entre los años O (año de la emisión) y h es común. Se siguepor la equivalencia financiera, que también en el año h serán igualesel valor actual de K,, (que ahora coincide numéricamente con K/,) yel de KA + m más el valor actual de la renta entre los años h y m.

Si las obligaciones estuviesen privadas de intereses el año de suamortización, entonces en [128] hay que sustituir a ¿-y por fl¿ _,],-,ya que el último término de dicha renta no existe en este caso. Demodo que en el cálculo de [129] y [130] todo es igual salvo el coefi-ciente de C if, que ahora es :

Í'ÍTÍT y-ai=n¡jH'+^-/i 4_ /I-A-H (1-4- »!-* + *= d+;)-ÍL+2Í 7 - d+»*-' = -a+» usi]

y [130] es ahora :

KA = [Ki_, - C(/ + O]C +/) [132]

lo que resiielve el problema en este segundo caso.

8. Las ecuaciones en diferencias finitas G-líinites de las ecuacionesdiferenciales, y la amortización discreta G-límite de la conti-nt«!. El tanto instantáneo como distribución.

En las ecuaciones del § 3 la cuota de amortización a (i), la partede capital amortizado C (í) y el tanto instantáneo 8 (tot í), únicamentefiguran bajo el signo integral. Asimismo en las ecuaciones dei § fi eldicho tanto instantáneo, así como la derivada logarítmica del índicede precios: - (í) y el tanto instantáneo real: <s(t0,ti, también figu-ran únicamente bajo el signo integral.

Ello significa que aunque dichas funciones no tengan sentido finan-ciero, si lo tienen las integrales, las fórmulas anteriores subsisten, sise substituyen las funciones por distribuciones. Las cuales son G-límites de funciones (tomando el límite en el sentido de la G-topolo-gía) y asimismo las integrales de § 3 y § 6 tienen límites, que son los

— 47 —

O-límites (tornado el O-límites en el sentido de la O-topología) delas integrales de las funciones, cuyo G-límite es la distribución (véasebibliografía).

Fijémonos, por ejemplo, en la fórmula [H3J, si - (í) es la distri-bución :

z (/j = J>%*B ( / — th— fi) [133]A = l

siendo 8 la distribución delta de Dirac, y a menor que la más pequeñade las diferencias íj — t0, tz — tlt ..., tn — f«-!, se sigue de [113] y[133] que:

p(«V =/('«)«*'; p Ci) =/ Co)'~'+~'; • • •;/C«) = /K'o)e*'+'"+** [i34]

de las que se deduce que:

««• = -*_; <s»-A;. . . ;A«. = ïrL [135]

/O /*] /••

en las que representamos por abreviar p (f,) por p,.

Y de la [112] si el tanto instantáneo es la distribución :

M

S {/„, 0 = 2" log (1 + ù) S (/ - /A - a) [136J/i = l

se sigue que :

-2'* = ia{/0( 0 = _2L loß(1 +°A) Í Í Í —'* — fl); log(l + o/.) = l°g(1 +»'*)—*/. U371

'*/"s(f„,0^i

/* - ' = (l + ak) - (l + /*) i'"* - -p— (l + /,) [1381fk-\

con lo que se obtienen los resultados conocidos, cuando el poder

_ 48 -

adquisitivo del dinero varía de manera discreta en vez de continua.Obsérvese cómo la teoría que hemos desarrollado en el § 7, es unateorìa unitaria de las operaciones financieras a tanto de interés renidado «a priori», ya que los fenómenos discretos debidos a la ilusión-monetaria son G-límites de los fenómenos continuos.

Estos resultados son también generalizabas a las teorías del § 1y del § 3. Sea la ecuación diferencial lineal :

**!/'/' b} + / ( / 'a ] x ( í t a' b] " 1 b] ° [139]

cuya integral general es :

/ t-fl(t,a\dt ' f/(t,a)dt

x{t,a,b) = t* Uo- / *('•*)** ¿ ¿ j [140]

Si existen las distribuciones F (í), $ (f), tales que :

F(/) = G-lim/(í, a); 4> (/) = G-lim ^ (/, ¿) [I4l]fl->- 00 è ->- 00

entonces existen los O-límites :

i t0-!im ¡ / { f , a ] d t ; 0-lim / tp (t, ò) d t\ x (t) = 0-lim x (í, a, í) [142]Í Ï - > C O . / b -> CO J rt-»-OOtí-»-CO

el último es una función, que es la solución de Ia G-ecuación dife-rencial :

ddt*} +F(')*(') + Q(/) = 0 [143]

porque aun cuando F (a), 4> (í) no son funciones, sino distribuciones,por el contrario existen las integrales :

/ í

l F (t) d t; \<S>(t)dt [144]

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que si son funciones, y la solución de [143] es una función que sim-bólicamente puede escribirse :

- f t ( i } J t l ftd>dtX(i] = í '• \Xg - i O (t) e'" dt\ [145]

Un caso particular del anterior, es el

dx(1)ai

+/M *<*) + *« = O [146]

en el que / (í) es una función, y 4> (í) la distribución :

<t (¿) = J5T1 n¿ S (í - /A — a) [147]

con el mismo significado para las letras que en [133]. La [145] daen este caso para x (f*), que representamos por xk, el valor :

'* '*-ff(i)dtr „ //(')¿í-j

x (/A) = xk e '« *« - ¿1 a/' ^0 í148]L /,=i J

que comparada con las ecuaciones en diferencias finitas del § 1, mues-tra cómo éstas son G-lírnites de acuaciones diferenciales y cómo laamortización discreta es un G-límite de la amortización continua,permitiendo las distribuciones construir una teoría unitaria de la amor-tización.

La ecuación en diferencias finitas de la que es solución [149], esG-limite de la ecuación diferencial [146], porque en [141] í> (í), de-finido por [147], es G-límite de funciones continuas e incluso deri-vables.

Si en [148] hacemos :

* t = R 4 : *o = C; /(/)=-5(/) [1491

REV. DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1967. t

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se .obtienen las ecuaciones de la amortización discreta en régimen decapitalización continua generalizada.

Cuando /(í) en [148] es la distribución [147] cambiada de signo,[148] haciendo :

** = R*: *o = C [150]

vale :

», - (n- < • > . . - d + v [c - J; Tr^---J [.su••- ^ !, J

que es la ecuación de la amortización en capitalización compuestaordinaria (discreta) de tanto de interés variable de año en año.

De la [151] se deduce la ecuación en diferencias finitas :

•** = *,_, ( ï + ' * > - « * • I«««!

de la que [151] es la solución. Por tanto, toda ecuación en diferen-cias finitas lineal de coeficientes variables, tal como la:

**=**-!/* + ** [153I

es G-limite de la ecuación diferencial lineal :

-Í^L=f(t,c)x t)4-v(t.c) [154]

siendo :

G-l¡m/(/, í)= V log / A 8 ( f—¿A-a ) 1

¿Tí f[155]

G-lim 9 (í, c] — íog vi, ? (t — t h — a\kíi

La solución de [153] por [145] es :

* hV ' ' •" ' -S \nff¡-

[156]

I. i-m,-r * -2 ir*/,.-!,=-« í= i *.+2^«^''"'

L /.=i J

— si —

que; puede escribirse también :

[ k -j A A *

^0+2;^;^ =*»!]/•+2> n ¿ t157*A — l * ' J » = 1 A = l j=fi+lluego [154] puede escribirse como [143] con F (í) y $ (í) dados por[155] cambiados de signo.

Obsérvese, pues, cómo manejando las distribuciones en los cálcu-los intermedios se llega a expresar la solución final como una función.

9. Las distribuciones, los principios de mínimo y las ecuaciones di-ferenciales del Cálculo de Variaciones. La fusión del continuoy el discontinuo.

Obsérvese, por lo visto en el § 8, cómo a través, o mejor dicho,por medio de las distribuciones se opera una fusión del continuo yel discontinuo, surgiendo este último como un G-limite del primero,resultado que ya habíamos mostrado en mi memoria citada al prin-cipio de la actual. Este proceso de fusión era desconocido del Aná-lisis Matemático Clásico, y ha surgido como consecuencia de las Dis-tribuciones y de lo que hemos llamado G-topologías.

Al igual que utilizando las distribuciones hemos construido unateoría unitaria de la amortización discreta y de la continua, se puedeconstruir también una teoría unificada de las funciones de frecuenciadel Cálculo de Probabilidades, porque las probabilidades discretaslas podemos representar por distribuciones de la forma [133], y enconsecuencia las probabilidades discretas son G-límites de probabili-dades continuas (véase bibliografía).

Hay una tendencia muy marcada en la Ciencia moderna, casi di-ríamos que una moda a la que es muy difícil escapar, consistente entrasladar los principios de mínimo de la Física a las otras Ciencias.El paso final a que Hevan estos principios de mínimo es el estable-cimiento de las ecuaciones diferenciales del Cálculo de Variaciones.Pues bien, hasta la aparición de las Distribuciones, mientras la Cien-cia se contentó con el uso de funciones solamente, no ha habido con-flicto entre la nulidad de las variaciones de las integrales de los prin-cipios de mínimo y las correspondientes ecuaciones diferenciales,existía una equivalencia matemática entre ambas cosas. La situación

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conflictiva entre ambas ha surgido, a mi modo de ver, desde que apa-recen las distribuciones, porque a partir de entonces las ecuaciones•diferenciales pierden su sentido, se transforman en inobservables ma-temáticos, mientras que por el contrario la nulidad de las integralesconserva el sentido, porque la integral conserva el sentido, a pesarde que la función subintegrai lo ha perdido por transformarse estaúltima en una distribución. Así es que la solución formal de lasecuaciones diferenciales mediante series convergentes, alguna de cu-yas derivadas no son convergentes (derivadas que intervienen en laecuación diferencial) aun cuando carece de sentido intrínseco fueradel signo integral si lo tiene bajo este signo, debido a que la integralformal de la serie divergente es una serie convergente, y lo que enel Cálculo de Variaciones ha de ser cero, no es la expresión diferen-cial subintegral que es un inobservable matemático, sino la integralde dicha expresión diferencial, que sí es un observable matemático.

BIBLIOGRAFÍA

Véanse las memorias del autor publicadas en esta Revista : La G-compactación de un espacio topològico, las distribuciones y las co-rrientes (1955) y Teorías esto castiças del interés, del usufructo y deta nuda propiedad (19G6) ; las publicadas en la «Revista MatemáticaHispano-Atnericana : G-Topologías y Teoría de las Distribuciones(19(>á) ; en la revista «Trabajos de Estadística» : Ensayo de Axiomá-tica del Cálculo de Probabilidades (19G4). Y los libros editados porDossat : Filosofía de ¡as Matemáticas y Teoría de la InvestigaciónMatemática.