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TEORÍA PARA CONTESTAR EL TERCER CUADERILLO

DE PENSAMIENTO NÚMERICO Y ÁLGEBRAICO I

ELABORO: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ

GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1°III

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE

RACIONAL

1.-

Ejemplo:

2.-

Ejemplo:

3.-

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES

Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una

de las propiedades de la multiplicación:

4.- Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.

5.- Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.





PRODUCTO DE POTENCIAS

1.- Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es

la suma de los exponentes.

6.-

Ejemplo:

2.- Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el

producto de las bases.

7.-

Ejemplo:

COCIENTE DE POTENCIAS

1.- Potencias con la misma base


la diferencia de los exponentes.

8.-

Ejemplo:





2.- Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el

cociente de las bases.

9.-

Ejemplo:

POTENCIA DE UNA POTENCIA


el producto de los exponentes.

10.-

Ejemplo:

NÚMEROS COMPLEJOS. Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este

conjunto es el no poder resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales.

Definición. Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un imaginario por lo que su representación es a+b i





iyRbabiabaC 1,/,

Si a= 0 se llama imaginario puro. Si b= 0 se llama número real. Entonces: iRC Ejemplos:

4i; -2i; ;3

5i i2 Son imaginarios puros.

9 + 0i; 5 – 0i; i05

3 Degeneran en números reales.

5 + 4i; -2 + 3i; 4 – 8i Son complejos

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. Suma o adición con C.

Para obtener el total de dos complejos, se suman por separado las partes reales y las partes imaginarias, esto es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Ejemplos: (4 + 2i) + (5 – 4i) =

i

i

i

29

45

24

(12 – 3i) + (3 + 16i)=

i

i

i

1315

163

312

Resta o sustracción con C. Para obtener la diferencia de dos complejos se restan (por separado) las partes reales y las partes imaginarias, entonces: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i Ejemplos:

+





(4 + 2i) – (5 – 4i) =

i

i

i

61

45

24

(12 – 3i) – (3 + 16i) =

i

i

i

199

163

312

Potencias de i. Si elevamos a “i” a las primeras cinco potencias, obtenemos:

i= 1

i2= 112

i3= i2 . i= (-1)(i)= -i i4= i2 . i2= (-1)(-1)= 1 i5= i4 . I= (1)(i)= i

Multiplicación con C. Para obtener el producto de dos complejos aplicamos la propiedad distributiva, esto es: (a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) i Ejemplo:

2

2

18920

1815

2420

34

65

ii

ii

i

i

i

Como i2 = -1 (-18) (-1) = 18 el producto es 38 + 9i División con C.

Para obtener el cociente de dos complejos se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y se reduce. Ejemplo:

i

i

24

32

+

5 + 6 i2

4 - 3 i

-15 i - 18 i2

20 + 24 i

20 + 9 i - 18 i2





el conjugado de (4 - 2i) es (4 + 2i)

2

2

416

61248

24

24

24

32

i

iii

i

i

i

i

)1(416

)1(6168

i

20

162 i

20

16

20

2 i

i5

4

10

1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más

cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o

indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación

de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción,

multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por

ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Un número par: 2x





Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen

entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2y3z

PARTES DE UN MONOMIO

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

2da.Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

3er. Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6

MONOMIOS SEMEJANTES

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2y3 z es semejante a 5x2y3 z

OPERACIONES CON MONOMIOS

1. SUMA DE MONOMIOS

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo

coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)x n

Ejemplo:

2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x2y3+ 3x2y3z

2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO





El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente

es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:

5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z

3. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de

los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la

misma base.

axn· bxm= (a · b)xn + m

Ejemplo:

(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. DIVISIÓN DE MONOMIOS

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

Tienen la misma parte literal

El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma

base.

axn: bxm= (a : b)xn − m

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

5. POTENCIA DE UN MONOMIO

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente

que indique la potencia.

(axn)m = am· xn · m

Ejemplos:

(2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9

(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3= −27x6

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:





P(x) = an xn + an − 1 x

n − 1 + an − 2 xn − 2+ .. + a1

1 + a0

Siendo:

an, an−1 ... a1, ao números, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

an es el coeficiente principal

ao es el término independiente

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la

variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO EJEMPLO

PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2

SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2

TERCER GRADO P(x) = x3− 2x2+ 3x + 2

TIPOS DE POLINOMIOS

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el

término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta

el término de

mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomio ordenado





Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a

menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.


P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO


P(x) = 2x3+ 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

POLINOMIOS IGUALES



Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x3

POLINOMIOS SEMEJANTES

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)

Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

Sumamos los monomios semejantes.





P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los

monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el

producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes

literales.

Ejemplo:

3(2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

2. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:

3x2(2x3−3x2+4x−2)= 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

3. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del

segundo polinomio.

P(x) Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios

que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5





OPCIÓN 2

EJEMPLO DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) ÷ Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en

los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 ÷ x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos

del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 ÷ x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 ÷ x2 = 5 x





Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 ÷ x2 = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede

continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más

breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x

— a.

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la

división:

(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x − 3)

1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan

con ceros.

2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.





5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente

término.

6.- Sumamos los dos coeficientes.

7.- Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8.- El último número obtenido, 56, es el resto.

9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos

coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) ÷ (x − 2)

BINOMIO AL CUADRADO





(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

Ejemplos

1.- (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

2.- (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

SUMA POR DIFERENCIA

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

Ejemplo

1.- (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

2.- (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)2 − (y³)2 = 4x4 − y6

BINOMIO AL CUBO

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

Ejemplos

1.- (x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27

2.- (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 − 33 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27

TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplo

(x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 −

2x=

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

SUMA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

Ejemplo

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

DIFERENCIA DE CUBOS

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Ejemplos

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Ejemplos

(x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 = x2 + 5x + 6

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el

valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.





Ejemplos

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:

(x4 − 3x2 + 2)÷ (x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

TEOREMA DEL FACTOR

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

RAÍCES DE UN POLINOMIO

Son los valores que anulan el polinomio.

Ejemplo

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x2 − 5x + 6

P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

1.- Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente

del polinomio.

2.- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).

3.- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

Ejemplo

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4.- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5.- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que

es lo mismo, admite como factor x.

Ejemplo

x2 + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6.- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en

factores.

Ejemplo





P(x) = x2 + x + 1

CÁLCULO DE LAS RAÍCES Y FACTORES DE UN POLINOMIO

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el

teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo

Q(x) = x2 − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0

Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

Las raíces son: x = −2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

SACAR FACTOR COMÚN

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1.- x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2.- 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule;

debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es

irreducible.

3.- x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1.- x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2.- x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2





TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Ejemplos


1.-

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

2.-

La raíz es x = 2.

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala

a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el

polinomio descompuesto será:

ax2 + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

Ejemplos


1.-

Las raíces son x = 3 y x = 2.

2.-

TRINOMIOS DE CUARTO GRADO DE EXPONENTES PARES





Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos

1. x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

Las raíces son x = 3 y x = −2.

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

2. x4 − 2x2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A DOS

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html





Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1.- Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2.- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3.- Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (−1)3 + 3 · (−1)2 − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como

venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces

enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.





2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Raíces racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores

del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2

Probamos por: .

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas





son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Ejemplo

son equivalentes porque:

(x+2) · (x− 2) = x2 − 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha

fracciónpor un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es

equivalente a la dada.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la

fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la

fracción por un polinomio.

Ejemplo

Definición

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos

fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

PASOS PARA REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR

Nos valdremos de las fracciones siguientes:





1.- Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común

múltiplo, que será el común denominador.

x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)

x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)

m.c.m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)

2..- Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y

el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON EL MISMO DENOMINADOR

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica

con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:

SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR

Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones

algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.





Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador

es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los

denominadores.

Ejemplo

Multiplicar las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:





El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el

producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con

denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo

Dividir las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

CONCLUSIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más

cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o

indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de

las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

VALOR NUMÉRICO

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las

letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la

expresión.

MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen

entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.





El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

OPERACIONES CON MONOMIOS

SUMA DE MONOMIOS

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo

coeficiente es la suma de los coeficientes.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente

es el producto del coeficiente de monomio por el número.

PRODUCTO DE MONOMIOS

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma

base.

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma

base.

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an x n + an - 1 x

n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x

1 + a 0

Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

ao es el término independiente.

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la

variable x.

POLINOMIO COMPLETO

Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de

mayor grado

POLINOMIO ORDENADO

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a

menor grado.

POLINOMIOS IGUALES







Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO


OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el

producto de los coeficientes del polinomio por el número.

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

PRODUCTO DE POLINOMIOS

1.- Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

2.- Se suman los monomios del mismo grado.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en

los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos

del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del

divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:

D = d · c + r

REGLA DE RUFFINI

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve

para hacer la división, llamado regla de Ruffini .

(x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )





1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan

con ceros.

2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente

término.

6.- Sumamos los dos coeficientes.

7.- Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.

8.- El último número obtenido es el resto.

9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos

coeficientes son los que hemos obtenido.

IDENTIDADES NOTABLES

BINOMIO AL CUADRADO

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

BINOMIO AL CUBO

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor

numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

TEOREMA DEL FACTOR

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).





OBSERVACIONES

1.- Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.

2.- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x −a).

3.- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan.

4.- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5.- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que

es lo mismo, admite como factor x.

6.- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en

factores.

MÉTODOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

IGUALDADES NOTABLES

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A DOS.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

1.- Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2.- Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

3.- Dividimos por Ruffini.

4.- Por ser la división exacta, D = d · c

5.- Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que

obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:





P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

FRACCIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha

fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es

equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la

fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos

fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

1.- Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común

múltiplo, que será el común denominador.

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el

resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

SUMA Y DIFERENCIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL DENOMINADOR

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica

con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR

En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador, posteriormente

se suman los numeradores.

PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS





El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador

es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los

denominadores.

COCIENTE DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el

producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con

denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Números complejos.

Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este conjunto es el no

poder resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales.

Definición.

Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un

imaginario por lo que su representación es a+b i

iyRbabiabaC 1,/,

teorÍa para contestar el tercer cuaderillo de … · teorÍa para contestar el tercer cuaderillo...

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