Teoria de Nombres

Composicio de formes quadratiquesbinaries i eliminacio del teorema de

Dirichlet en el teorema deHasse-Minkowsky

Elena ManresaSanti MolinaSergi PinoJuanjo Rue

17 de gener de 2005

Prefaci

En el present treball pretenem donar una demostracio alternativa del cas n = 4 del teorema(fort) de Hasse-Minkowski, que no es basi en el teorema de la progressio aritmetica deDirichlet. Tal i com senuncia a [3]:

Teorema 1 (Hasse-Minkowski) Una forma quadratica no degenerada a coeficients racionalsrepresenta zero sobre Q si, i nomes s, el representa sobre tots els completats Qv

Leliminacio del teorema de Dirichlet es fa a partir de resultats coneguts per K.F. Gausssobre formes quadratiques binaries per dotar-les destructura de grup abelia, les anome-nades classe de formes binaries ambigues, lestudi dels generes, les classes dequivalencia aZp i el grup de Witt.

Els autors

1

Index

1 Composicio de formes quadratiques binaries 4

1.1 Preliminars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Primeres definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Finitud de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Representacio delements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Dotacio destructura de grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Duplicacio i Generes 12

2.1 Generes, genere principal i duplicacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Formes enteres equivalents als p-adics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Classes ambigues 17

3.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Nombre de formes ambigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Estudi del grup O+(f)/(O+(f))2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Nombre de classes ambigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Teorema dexistencia 25

4.1 Teorema dexistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 El grup de Witt de Q 28

5.1 Definicio del Grup de Witt sobre un cos K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

INDEX

5.2 Grup de Witt sobre R i sobre Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3 Calcul del grup de Witt dels racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3.1 Artilleria tecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3.2 Demostracio de lobjectiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Eliminacio del teorema de la progressio aritmetica 37

3

Captol 1

Composicio de formesquadratiques binaries

En aquest captol dotarem al conjunt de formes quadratiques binaries amb coeficients a Zamb discriminant fixat destructura de grup. La majoria de definicions son les tpiques deles emprades en el cas de ser aquestes formes sobre un cos.

1.1 Preliminars

1.1.1 Primeres definicions

Sigui f(X) = f(x, y) = ax2 + bxy + cy2, amb a, b, c Z; daqu en endavant la denotaremde la forma f = [a, b, c], o f si no cal que indiquem els seus coeficients. Aix mateix, entot el que es segueix denotarem per forma a tota forma quadratica binaria sobre Z.

Definicio 1 Diem que la forma f = [a, b, c] es primitiva si (a, b, c) = 1.

Definicio 2 El discriminant de la forma f = [a, b, c] es D = D(f) = b2 4ac.

Definicio 3 La forma f representa a si hi ha una parella de enters (x0, y0), no nulsmutuament, pels quals f(x0, y0) = a. Direm a mes que el representa primitivament si(x0, y0) = 1.

Anem ara a veure la equivalencia de formes: com ara ens trobem en un anell amb elementsinvertibles 1, necessariament les matrius invertibles han de tenir aquest valor com adeterminant. Recprocament, si una matriu te determinant 1, es invertible en lanell Z.

Definicio 4 Donades dues formes f i g, diem que

4

CAPITOL 1. COMPOSICIO DE FORMES QUADRATIQUES BINARIES

1. f es propiament equivalent a g (i ho escriurem f g) si existeix una matriuT M22(Z), amb det(T ) = 1, de tal forma que f(X) = g(T (x)).

2. f es impropiament equivalent a g (i ho escriurem f i g) si existeix una matriuT M22(Z), amb det(T ) = 1, de tal forma que f(X) = g(T (x)).

Observacio 1 En el que veurem despres, dues formes estaran en la mateixa classe sii sonpropiament equivalents.

En el que segueix direm que dues formes son equivalents si ho son propiament, i en el casque ho siguin impropiament es fara notar quan sescaigui.

1.1.2 Finitud de classes

En el que segueix necessitarem resultats basics en el que no usem teora p-adica. Comencemenunciant una proposicio:

Proposicio 1

SL2(Z) = T =(

1 10 1

), U =

(0 11 0

)

Prova:No entrarem en detalls, pero el que cal fer es donada A SL2(Z), escriure-la de la forma:

A = T r1U s1T r2U s2 . . . T rnU sn

Per a trobar la expressio implcita dels exponents, nomes cal usar lalgorisme dEuclidesaplicat als coeficients de la matriu A. (De fet, multiplicar per T ens permet reduir el valorabsolut dels coeficients, mentre que multiplicar per S el que ens permet es permutar files)2

A partir daquest resultat podem trobar representacions equivalents duna forma de formesmolt concretes. En particular:

Proposicio 2 Donada f = [a, b, c], llavors:

1. f [, b(2a), c].

2. f [c,b, a]

Prova:

5

CAPITOL 1. COMPOSICIO DE FORMES QUADRATIQUES BINARIES

1. Apliquem sobre la matriu de f el canvi corresponent a Tn per a una certa n:

(Tn)TMf (Tn) =(

2a b+ 2nab+ 2na 2c+ 2nb+ 2n2a

)Podem llavors prendre n de la forma que c |b + 2na| < c, i aquest n es el queens va be per al nostre proposit.

2. Basta aplicar el canvi U sobre la matriu de f per a obtenir el resultat desitjat.

2

Amb aixo, ja ho tenim gairebe tot per a demostrar que tenim un nombre finit de classes.Amb precisio:

Proposicio 3 La relacio es defineix un nombre finit de classes dequivalencia si eldiscriminant es negatiu.

Prova:Llevat dequivalencia, de la proposicio anterior podem supossar que f es de la forma[a, b, c], on 0 |b| < c i c a (si no es aix, podem aplicar de forma successiva 1 i 2 dela proposicio anterior fins a obtenir una forma equivalent de la forma propossada) Tenim,doncs, que |b| a c. Si ara el discriminant es negatiu, aleshores:

4a2 4ac = b2 D a2 D

I aix, doncs, a

|D|3 . Com a nomes pot prendre un nombre finit de valors, de fet b i

c nomes poden prendre un nombre finit de valors, i per tant tindrem un nombre finit desolucions. 2

En el cas en que el discriminant sigui positiu, haurem de refer el raonament. En aquest cas,el que fem primer es definir una nova transformacio. Donada f = f1 = [a, b, c] = [a0, b0, c0],definim la forma f2 = Rf1 = [a2, b2, c2] segons:

a2 = c

b+B2 0(2a2)D |2a2| < b2 |a2| > . . . ja que daquesta forma estemobtenint una successio decreixent no fitada inferiorment de nombres naturals. Suposant,llavors, que |a2n| |a2+2n|, llavors es facil comprobar que [an, bn, an+1] compleix que

|a| < 12

D

6

CAPITOL 1. COMPOSICIO DE FORMES QUADRATIQUES BINARIES

0 < b 0 el grup G es trivialii. Si D < 0 aleshores G te dos elements

3. p = 2

i. Si 2 - D el grup Gp es trivialii. Si 2|D aleshores

D = 4d (d Z2)

i tenim els seguents

ii. d 1(mod 4). Aleshores G2 es trivialii. d 1(mod 4). Aleshores G2 es Z/2Zii. Si 2|d pero 23 - d Aleshores G2 es Z/2Zii. 23 - d Aleshores G2 es Z/2Z Z/2Z

15

CAPITOL 2. DUPLICACIO I GENERES

Prova: En aquesta demostracio, farem servir que ens podem mirar-nos les formes a Qp ia R, utilitzar la teoria alla desenvolupada. Aixo ve donat pel fet que si tenim f i g duesformes enteres p-adiques binaries que son equivalents a Qp aleshores

Mg = MTMfM

comMf , Mg son matrius amb coeficients a Zp, forcosamentM ha de ser de GL2(Zp)(mirantvaloracions a ambdos costats). Per veure 1. nomes cal tenir en compte que les classe de-quivalencia de formes p-adiques venen donades pel rang, el determinant d = D/4 ilinvariant de Witt, que en el cas de formes binaries es el smbol de Hilbert. Linvari-ant de Witt es pot aplicar doncs a classes dequivalencia, ja que com el seu propi nomindica linvariant de Witt es un invariant de la classe dequivalencia. En 1., si D esunitat aleshores (1, d) = 1 i en cas contrari tenim que per f1 el smbol de Hilbert es

(r, r1d) = (r,d) =(rp

)vp(d)= (1)vp(d) = 1

En el cas de p = tenim les classes dequivalencia classificades per la signatura i per tantel que ens diu el lema.En el cas de 2 quan D = 4d (d Z2) cada classe conte una forma

fu = ux2 u1dy2

onu = 1, 3, 5 o 7

A mes a mesfu fv

si i nomes si fu representa v modul 8. 2

Com que per cada discriminant D, Gp es trivial quasi per tots els p -excepte un nombrefinit-, tenim que el grup producte

p,Gp

es finit. Enunciem com a consequencia del lema anterior la seguent

Proposicio 10 Sigui el nombre de diferents primers senar que divideixen D i sigui

={

1 si D < 0;0 si D > 0;

=

00 si 2 - D o D = 4d, d 1 (mod 4)2 si 25|D1 altrament

Aleshores lordre del grup p,Gp

es2++

16

Captol 3

Classes ambigues

En aquest captol tractarem les propietats dun subgrup de classes que denominarem class-es ambigues.

3.1 Definicions

Comencarem amb una serie de definicions:

Definicio 10 Donat C FD = G, direm que C es una classe ambigua si C2 = E

Es evident que el conjunt de classes ambigues formen un su