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TEORÍA DE CONTROL
CONTROLADORES
Teoría de Control
CONTROLADORES
En ciertas ocasiones se requiere que los sistemas de control se comporten de
manera distinta a lo que lo hacen naturalmente.
Una forma de resolver esta situación es utilizar realimentación, este proceso
compara la medición de la salida real del sistema con la deseada y, en base a esa
diferencia se ejecuta una acción de control que busca minimizar la diferencia
entre las dos señales.
El elemento utilizado para llevar adelante este procedimiento se denomina
controlador.
INTRODUCCIÓN
CONTROLADOR PLANTA
SENSOR
ACCIÓNDE
CONTROLERROR
MEDICIÓN
SALIDA(VARIABLE
CONTROLADA)REFERENCIA
+-
Teoría de Control
CONTROLADORES
El controlador que se utiliza naturalmente es el denominado proporcional , en
el que el error es amplificado y utilizado como acción de control, sin embargo
generalmente con este tipo de control, no se logran los resultados deseados.
Cuando se requiere un mejor comportamiento que el obtenido por este tipo de
acción, se procede a diseñar controladores algo más complejos para lograr el
desempeño deseado.
INTRODUCCIÓN
+-
G(s)
H(s)
E(z)R(z) C(z)
B(z)
Teoría de Control
CONTROLADORES
REQUERIMIENTOS PARA EL DISEÑO DE CONTROLADORES
CONOCIMIENTO DEL SISTEMA O PROCESO A CONTROLAR.
MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA.
DETERMINACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DESEADO.
(ESPECIFICACIONES)
TIPO DE CONTROLADOR A UTILIZAR.
TÉCNICAS DE SINTONÍA DEL CONTROLADOR.
EVALUACIÓN DEL SISTEMA COMPENSADO. (SIMULACIÓN)
REAJUSTE DEL CONTROLADOR.
Para llevar adelante el diseño de controladores se deben ejecutar ciertas acciones para
llegar a resultados satisfactorios.
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
La forma en la que debe comportarse el sistema en condiciones ideales debe ser
especificada por ciertos parámetros que sean fácilmente interpretados .
Las especificaciones más importantes que ha de satisfacer un sistema de control
se refieren a los siguientes aspectos de su comportamiento:
Estabilidad. La condición de estabilidad absoluta es esencial para todo
sistema de control. La estabilidad relativa es un índice del buen funcionamiento
del sistema.
Precisión. La respuesta de un servosistema debe seguir lo más fielmente
posible a la entrada de referencia y por tanto la diferencia entre ambas o error
debe ser mínima.
Rapidez de respuesta. La rapidez de respuesta de un sistema viene dada por
sus características de su respuesta temporal o bien de su respuesta de frecuencia.
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
ESTABILIDAD
La estabilidad absoluta es un requerimiento indispensable para cualquier sistema
de control.
Sin embargo, al momento de especificar el comportamiento de un sistema de
control se debe poder cuantificar el grado de estabilidad necesaria para
determinar su robustez.
Los parámetros que normalmente se utilizan para especificar estabilidad son:
MARGEN DE FASE
MARGEN DE GANANCIA
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
PRECISIÓN
La precisión de un sistema de control se determina a partir del error obtenido
entre la referencia y la señal del proceso medida, luego de extinguido el
transitorio, es decir en régimen permanente.
El error buscado en la totalidad de los sistemas de control es cero, pero es una
situación difícil de conseguir, por eso es necesario tener parámetros que
permitan ponderar la precisión de un sistema de control.
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
Teorema del valor final
)(lim)(lim0
ssEteest
rp
)()(1
)( lim
0 sHsG
ssRe
srp
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
)()()( sBsRsE
)()(1
)()()()()(
sHsG
sHsGsRsRsE
)()(1
1)()(
sHsGsRsE
G(s)+
-H(s)
E(s) C(s)R(s) C(s)
B(s)
Teoría de Control
CONTROLADORES
Análisis para distintas entradas
Escalón unitario :
)()(lim1
1
)()(1
1 lim
00 sHsGsHsG
e
ss
rp
)()(lim0
sHsGKps
Kperp
1
1
por lo tanto
Kp : constante de error a la posición
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
1( )R s
s
Teoría de Control
CONTROLADORES
Análisis para distintas entradas
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Rampa unitaria :
)()( lim
1
)()(1
1 lim
00 sHsGssHsGs
e
ss
rp
)()( lim0
sHsGsKvs
Kverp
1
por lo tanto
Kv : constante de error a la velocidad
2
1( )R s
s
Teoría de Control
CONTROLADORES
Análisis para distintas entradas
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Parábola unitaria : 3
1)(
ssR
)()( lim
1
)()(1
1 lim
2
0
20 sHsGssHsGse
s
srp
)()( lim 2
0sHsGsKa
s
Kaerp
1
por lo tanto
Ka : constante de error a la aceleración
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Tipo de Sistema - Clasificación
Tipo de sistema = cantidad de polos en cero
Sistema tipo 0
...11
...11)( 21
bap sTsTs
sTsTKsG
Sistema tipo 1
Sistema tipo 2
...11
...11)( 21
ba sTsT
sTsTKsG
...11
...11)( 21
ba sTsTs
sTsTKsG
...11
...11)(
221
ba sTsTs
sTsTKsG
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Sistema Tipo 0
KsTsT
sTsTKKp
bas
...11
...11lim 21
0
Kerp
1
1
0...11
...11lim 21
0
bas sTsT
sTsTKsKv
Error constante
0
1 rpe Error infinito
0...11
...11lim 212
0
bas sTsT
sTsTKsKa
0
1 rpe Error infinito
Error
Error
Teoría de Control
CONTROLADORES
...11
...11lim 21
0 bas sTsTs
sTsTKKp
01
1
rpe
KsTsT
sTsTKKv
bas
...11
...11lim 21
0
Error =0
Kerp
1 Error constante
0...11
...11lim 21
0
bas sTsT
sTsTKsKa
0
1 rpe Error infinito
Error
ESPECIFICACIONES ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Sistema Tipo 1
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Sistema Tipo 2
...11
...11lim
221
0 bas sTsTs
sTsTKKp
01
1
rpe
...11
...11lim 21
0 bas sTsTs
sTsTKKv
Error =0
01
rpe Error =0
KsTsT
sTsTKKa
bas
...11
...11lim 21
0
Kerp
1 Error constante
cte
Teoría de Control
CONTROLADORES
Tipo de
sistema Kp Kv KaERROR
POSICIÓN
ERROR
VELOCIDAD
ERROR
ACELERACIÓN
0
1
2
)(lim0
sGKps
)(lim0
ssGKvs
)(lim 2
0sGsKa
s
Kperp
1
1 Kv
erp1
Ka
erp1
K
K
K
0 0
0
cteK
1
1
0
0 0
cteK
1
cteK
1
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE
Sistemas Discretos
s
sGHZZ zsGHROCzGH
)( 1 )( )( 1
)(1
)()(
zGH
zRzE
)(1
)(1lim)(1lim
11 zGH
zRz- zEz- e
zzrp
+-
G(s)
H(s)
E(z)R(z) C(z)
B(z)
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE Sistemas Discretos
Escalón unitario : 1
)(
z
zzR
)(lim1
1
1z GH
e
z
rp
)(lim1
z GHKpz
Rampa unitaria : 21
)(
z
TzzR
)(1lim1
1
1zGHz
T
e
z
rp
)(11
lim1
zGHzT
Kvz
Parábola unitaria : 3
2
12
)1()(
z
zzTzR
)(1lim1
1
2
12zGHz
T
e
z
rp
)(11
lim2
21zGHz
T Ka
z
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
RESPUESTA A LAZO CERRADO
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
C s G s
R s G s H s
Para el caso de : ( ) ( ) 1G s H s ( ) 1
( ) ( )
C s
R s H s
Para el caso de : ( ) ( ) 1G s H s ( )
( )( )
C sG s
R s
G(s)+
-H(s)
E(s) C(s)R(s) C(s)
B(s)
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
RESPUESTA A LAZO CERRADO
Para el caso de H=1
|GH|>>1
|GH|<<1
ANCHODE
BANDA
|GH|
1/H
G
GH=G
Teoría de Control
CONTROLADORES
ESPECIFICACIONES
RECHAZO A PERTURBACIONES
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
C s G s
R s G s H s
( ) 1
( ) 1 ( ) ( )
C s
N s G s H s
Para minimizar el efecto de las perturbaciones la ganancia de la
transferencia de lazo abierto debe ser grande.
( )Si ( ) ( ) 1 entonces 0
( )
C sG s H s
N s
G(s)+
-H(s)
E(s)
N(s)
R(s) C(s)++
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
( ) ( ) ( )( )
( ) 1 ( ) ( )
C z D z G zT z
R z D z GH z
1 ( )( ) (1 )
G sG z z
sZ
1 ( ) ( )( ) (1 )
G s H sGH z z
sZ
+-
G(s)
H(s)
E(z)R(z) C(s)
B(z)
D(z)
U(s)U(z)
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
1 2
1 2
1 2
1 2
(1 ....) ( )( )
( ) (1 ....)
a z a zU zD z
E z b z b z
1 2 1 2
1 2 1 2(1 ....) ( ) (1 ....) ( )b z b z U z a z a z E z
1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) .... ( ) ( 1) ( 2) ....u k bu k b u k e k a e k a e k
1 2 1 2( ) ( ) ( 1) ( 2) .... ( 1) ( 2) ...u k e k a e k a e k bu k b u k
Algoritmo de control:
+-
G(s)
H(s)
E(z)R(z) C(s)
B(z)
D(z)
U(s)U(z)
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
En aquellos sistemas en los cuales las especificaciones tienen que ver con la
respuesta en frecuencia o con la estabilidad relativa se pueden utilizar
compensadores, que mediante la incorporación de polos y ceros en el lazo de
control, permiten aproximar al sistema a uno que cumpla con las
especificaciones solicitadas.
Existen técnicas originalmente aplicables a sistemas continuos cuya
implementación se puede realizar en forma digital. El procedimiento se aplica
considerando la planta discreta y realizando la transformación bilineal del
mismo para llevarlo a un plano con condiciones similares a la de los sistemas
continuos.
21
21
wT
wT
z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
La red de Adelanto de Fase es una red cuya transferencia está formada por un
cero en baja frecuencia y un polo en alta frecuencia y cuya ganancia en continua
es unitaria.
Red de Adelanto de Fase
1 ( ) 1
(1 )C
a sG s a
s
Teoría de Control
CONTROLADORES
1
1
2
1
a
asen
a
atg MAXMAX
0
1
a
Ecuaciones de diseño:
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
Red de Adelanto de Fase
MAX
o
20 log a
Teoría de Control
CONTROLADORES
La red de Adelanto de Fase es una red cuya transferencia está formada por un
polo en baja frecuencia y un cero en alta frecuencia y cuya ganancia en continua
es unitaria.
Red de Atraso de Fase
1 ( ) 1
(1 )C
a sG s a
s
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
Red de Atraso de Fase
MIN
o
20 log a
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS
Luego, el compensador resultante se transforma al plano Z utilizando la
transformación bilineal inversa.
Finalmente, la transferencia del compensador D(z) se convierte en una ecuación
de diferencias que realiza la función del compensador diseñado.
12
( 1)
zw
T z
( )
( ) ( ) F ( 1), ( 2),..., ( ), ( 1), ( 2),... ( )
U zD z u k u k u k e k e k e k
E z
Teoría de Control
CONTROLADORES
El sistema de control de la figura tiene una planta cuya transferencia es:
El período de muestreo del procesador digital es T= 0.001 seg.
Se desea diseñar un controlador D(z), tal que el sistema posea : un margen de
fase de 60º, con un ancho de banda de 100 [rad/seg.] y una constante de
velocidad Kv 10 [1/seg.].
Halle el error en régimen permanente para una entrada en rampa del sistema
compensado.
10
( )31.6
Gp ss s
EJEMPLO
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
1
2
1 10 10( ) 1
31.6 31.6
sTeG z z
s s s s sZ Z
64.948 10 ( 0.9895)( )
( 1)( 0.9689)
zG z
z z
8 51.317 10 ( 3.798 10 )( 2000)( )
31.6
w wG w
w w
8 5
0
1.317 10 ( 3.798 10 )( 2000)lim 0.3164557
31.6w
w wKv w
w w
( ) 31.64557 cK G z
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
0 max100 45ºrad
seg
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO1 1
5.831 1
MAXMAX
MAX
senasen a
a sen
0 241.4p a 0 41.42ca
1
5.83( 41.42)( )
241.4c
wG w
w+
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
1
5.83( 41.42) 2565.2( 41.42)( ) 440 ( ) 440
241.4 241.4CT c
w wG w G w
w+ w+
aplicando la transformación BILINEAL inversa queda:
2336( 0.9594)( )
0.7846CT
zG z
z
1
1
( ) 2336 2241 ( )
( ) 1 0.7846 CT
U z z G z
E z z
( ) 2336 2241 1 0.7846 1u k e k e k u k
El algoritmo de control queda:
La constante de velocidad del sistema compensado queda: 139.24Kv
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
2 2
0.01156( 0.9594)( 0.9895)
[( 0.8937) 0.09585 ]( 0.9544
( ) ( )( )
1 ( ) )
)(
CT PLC
CT P
G z G zG z
G z
z
G zz
z
z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADORES POR CANCELACIÓN
Dado un sistema de control digital se desea encontrar una Transferencia D(z) tal
que la transferencia a lazo cerrado sea una dada T(z).
1 ( )( ) (1 )
G sG z z
sZ
+-
G(s)
E(z)R(z) C(s)
D(z)
U(s)U(z)
C(z)
( ) ( ) ( )( )
( ) 1 ( ) ( )
C z D z G zT z
R z D z G z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADORES POR CANCELACIÓN
Por lo tanto, lo más inmediato es despejar la transferencia del Compensador
D(z) de la ecuación de lazo cerrado T(z). Es decir:
1 ( )
( ) ( ) 1 ( )
T zD z
G z T z
Entonces conocida la Planta Gp(z) y la transferencia deseada T(z) se calcula el
compensador.
Sin embargo no siempre se logran resultados favorables debido a distintas
causas que se enumeran a continuación:
La transferencia del Compensador D(z) debe ser físicamente realizable, es
decir que para que la salida no anticipe a la entrada la cantidad de ceros debe se
a lo sumo igual a la cantidad de polos
La transferencia de la Planta Gp(z) no debe poseer singularidades fuera del
círculo unitario ya que esto originaría que el sistema compensado de esta forma
resulte inestable debido a que no se puede asegurar una cancelación perfecta.
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DEAD-BEAT
1
)(z
zT
Si tuviese retardo Td = Nd T 1
1( )
NdT z
z
Entonces:
( 1)
( 1)
1( )
( ) 1
Nd
Nd
zD z
Gp z z
Se busca una respuesta de lazo cerrado
equivalente a un retardo de una muestra
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DEAD-BEAT
Se pretende con este compensador, que el tiempo de respuesta para el sistema a
lazo cerrado sea mínimo. Esto provoca que la acción de control alterne entre
muestras valores de gran amplitud generando señales como la de la figura.
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DEAD-BEAT
El controlador se diseña considerando que el error entre la entrada y la salida sea
cero en los instantes de muestreo. Sin embargo, esta situación generalmente no
se cumple para la salida continua de la planta.
Teoría de Control
CONTROLADORES
El sistema de control de la figura tiene una planta cuya transferencia es:
El período de muestreo del procesador digital es T= 0.001 seg.
Se desea diseñar un controlador D(z) que minimice el tiempo de respuesta del
sistema a lazo cerrado.
10
( )31.6
Gp ss s
EJEMPLO
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO64.948 10 ( 0.9895)
( ) ( 1)( 0.9689)
zG z
z z
La transferencia de la planta discretizada es:
Como se pide tiempo de respuesta mínimo se va a ensayar un compensador del
tipo Dead-Beat.
La transferencia discreta cumple con la condición de no tener polos ni ceros
fuera del círculo unitario, por lo tanto es posible diseñar el compensador.
No existe retardo en la planta.
La transferencia del compensador es :
5 52.021 10 ( 1)( 0.9689) 1 2.021 10 ( 0.9689)( )
( 0.9895) 1 ( 0.9895)
z z zD z
z z z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DAHLIN
1
1
)(
Teq
qz
qzT
1( )
( )Nd
qT z
z z q
Entonces:1 (1 )
( ) ( ) ( 1)
Nd
Nd
z qD z
Gp z z q z q
Si tuviese retardo Td = Nd T
Debido a que el salto entre muestras sucesivas de la salida es menor que en
Dead-Beat, disminuye la amplitud de la acción de control.
Se busca una respuesta de lazo cerrado de primer
orden
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DAHLIN
En este caso se busca un sistema con un tiempo de respuesta mas grande. Esto
se logra ubicando el polo dominante a lazo cerrado a una frecuencia menor lo
que provoca una respuesta amortiguada. Sin embargo es posible que ocurra que
la respuesta continua tenga oscilaciones entre muestras.
Teoría de Control
CONTROLADORES
El sistema de control de la figura tiene una planta cuya transferencia es:
El período de muestreo del procesador digital es T= 0.001 seg.
Se desea diseñar un controlador D(z) que permita que el sistema a lazo cerrado
responda sin sobrepico y con una constante de tiempo de 0.1 segundos.
10
( )31.6
Gp ss s
EJEMPLO
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO64.948 10 ( 0.9895)
( ) ( 1)( 0.9689)
zG z
z z
La transferencia de la planta discretizada es:
Se pide una respuesta que puede ser resuelta con un compensador Dahlin.
La transferencia discreta cumple con la condición de no tener polos ni ceros
fuera del círculo unitario, por lo tanto es posible diseñar el compensador.
No existe retardo en la planta.
52.021 10 ( 1)( 0.9689) 0.0099502 2011.05 ( 0.9689)( )
( 0.9895) 1 ( 0.9895)
z z zD z
z z z
La transferencia del compensador es :
10.1 seg.
0.99
T
q e
1 0.01
( )0.99
qT z
z q z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
Se desea que D(z) debe ser tal que se cumplan simultáneamente las siguientes
especificaciones:
El sistema compensado debe tener error nulo para la entrada específica a
partir de un número finito de muestras .
D(z) debe ser físicamente realizable.
La salida continua del sistema en régimen permanente no debe poseer
oscilaciones entre muestras cuando el sistema discreto llegó a régimen
permanente.
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
N
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
La trasferencia de lazo cerrado T(z) que cumple con estas especificaciones tiene
la forma: 1
0 1 ... ( )
M M
M
M
z zT z
z
1
0 1( ) ... M
MT z z z
O también:
Donde M n , y n es el orden de la planta
Error en régimen permanente:
)()(1
)(1)()()()(zGpzD
R(z)zTzRzCzRzE
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
R(z) es de la forma Pz
zAzR
11
)()(
A(z) es un polinomio sin singularidades en z = 1
P=1 (escalón)
P=2 (rampa)
P=3 (parábola)
1)( zA
1 )( zTzA
2 1 1 1( )
2
T z zA z
En régimen permanente:
1 1
11 1
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 0lim lim lim
1P
k z z
A z T ze kT z E z z
z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
1
11
( ) 1 ( ) ( ) 1 0lim lim
1P
k z
A z T ze kT z
z
El error cero se cumple si:
N(z) debe contener al menos un término.
11 ( ) 1 ( )P
T z z N z
Con N(z)= polinomio en potencias de
)( )()( zNzAzE
1( ) 1 1 ( )P
T z z N z
1z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
Realizabilidad física:
Calculando la respuesta impulsiva de Gp(z):
- - -1 - -
1( ) ... ...r r r i
r r r iGp z g z g z g z
Lo mismo para T(z):
- - -1 - -
1( ) ... ...k k k j
k k k jT z t z t z t z
Entonces el compensador D(z):
1
1
1 1
1 1
...1( )
1 ... 1 ...
k k
k k
r r k k
r r k k
t z t zT(z)D z
Gp(z) T(z) g z g z t z t z
( ) ( 1)
1( ) ...k r k r
k r k rD z d z t z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
Ecuaciones de diseño:
1
0 1( ) ... M
MT z z z
1 1 2
1 21 ( ) 1 1 ...P
T z z b z b z
La transferencia T(z) debe ser tal que cumpla las dos ecuaciones y luego:
1 ( )
( ) ( ) 1 ( )
T zD z
Gp z T z
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
Sistemas con polos y ceros inestables:
1
1min
min
1
( ) ( )1
i
i
Tér osjestables
j
Tér os inestables
c z
Gp z F zp z
1
1
1 ( )
( ) 1- ( ) ( )1
j
j
i
i
p zT z
D zT z F zc z
El compensador de cancelación resulta:
La transferencia del compensador no debe cancelar los polos o ceros fuera del
círculo unitario
Teoría de Control
CONTROLADORES
CONTROLADORES DIGITALES
COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO
Entonces la expresión de T(z) debe incluir a los ceros con módulo mayor que 1:
1 -1
0 1( ) ... 1 M
M i
i
T z z z c z
1 1 2 1
1 21 ( ) 1 1 ... 1 P
j
j
T z z b z b z p z
Se ve que la cantidad mínima de términos ya no depende del orden de la
planta y de la entrada, sino también de los términos inestables
y la expresión de (1-T(z)) debe incluir a los polos con módulo mayor que 1:
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
Considere el sistema de lazo cerrado mostrado en la figura:
El mismo posee una transferencia discreta de la planta :
Se desea encontrar un controlador digital D(z) tal que la salida c(k) siga sin
error en régimen permanente una entrada en forma de rampa de pendiente
unitaria. Además, se desea que se alcance el mencionado régimen permanente
en un número finito de muestras y, que a partir de de ese instante no existan
oscilaciones en la respuesta de c(t). Halle el controlador cuya expresión sea
mínima.
3 2
1 1 862 1 518( ) ( )
3 718 2 718
sT
p
e , z - ,Gp z G s
s z , z , zZ
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
Para cumplir con las especificaciones se debe diseñar un compensador de
Tiempo Finito.1,862( 0,8153)
( )( 1)( 2,718)
zGp z
z z z
La relación entre polos y ceros es 2 y además uno de los polos esta fuera del
círculo unitario. El sistema debe tener error nulo a la rampa.
Por lo tanto las ecuaciones de diseño quedan:
2 3
2 3
21 1 2 3
( )
14.
( )
1 ( ) 1 1 2.718 1 718 6.436 2.718T z
z
T z z z
T z z z z z
los coeficientes 0 y 1 son cero debido al retardo.
Este sistema no tiene solución ya que en (1-T(z)) no puedo hacer cero el
término en z-1
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
La solución para encontrar el compensador de tiempo finito es agregar un
término en la expresión de T(z).
2 3 4
2 3 4
21 1 1
( )
1 ( ) 1 1 2.718 1
T z z z z
T z z z z
Desarrollando las ecuaciones queda:
2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
( )
( ) 4,718 4,718 6,436 2,718 6,436 2,718
T z z z z
T z z z z z
Resolviendo por igualación de coeficientes
2
3
4
4,718
15,823524
27,647048
12,823524
Teoría de Control
CONTROLADORES
EJEMPLO
La transferencia a lazo cerrado debe ser :
El compensador queda:
El controlador resulta inestable, pero no es crítico ya que la planta también lo es.
2
4
15,82 27,65 12 82( )
,z zT
zz
2 28,498 ( 0,8736) 0,21( )
( 0,8153)( 1)( 4,718
73
)D z
z z
z
z
z
2
2
215,82 ( 0,( 1)( 2,718)( )
8736) 0,217
1,862( 0,8153) ( 1) ( 2,718)( 4,718)
3zz z zD z
z z z z
2
4 2
1 ( ) ( 1)( 2,718)( )
( ) 1 ( ) 1,862( 0,815
15,82 27,65 12,82
15,82 27,65 12,3 82)
z zT z z z zD z
Gp z T z zz z z