4.5 ANÁLISIS DE MALLAS

En el análisis nodal de las secciones anteriores apricamos la LCK a ros nodos que noson de referencia del circuito. Ahora considerirerno, u" -Ja¿o conocido comoanálisis de malras o anórisis de razos, en el cual la LVK ,. upri.á Jr.dedor de ciertastrayectorias cerradas en el circuito. como veremos, en este caso las incógnitas sonpor lo general corrientes.' En este capítulo nos restringiremos a circuitos pranos,por los cuales entende_mos aquellos circuitos que pueden dibujarse en una superficie prana de tar modo queningún elemento cruce a otro eremento. En este caso, el planó está dividido por loselementos en áreas diferentes de la misma manera que las separaciones de madera ometal en una ventana diferencian las diferentes hojás de vidiio. ellimite cerrado decada área se denomina una maila del circuito. Así una maila es ur, .uro especiar de unlalo, a la cual consideramos como una trayectoria cerrada ¿r.r.-.nto, en el circuitoque no pasan más de una vez por algún nodo o elemento. pn otru, p¿ubras, una malraes un lazo que no contiene elementos dentro de ella.Por ejemplo, el circuito de ra figura 4.r2 esplano y contiene tres malras identi_ficadas mediante las flechas. La malra l contiene lor .i"-.nto, nl, nr, R, y u"r; lamalla2 contiene a Rr, Rn, urzy Rsi y la malla 3 contiene

" ^r, lr,'o, 1r

^,.

FIGURA 4..12 Circuito plono con tres mollos

En el caso de circuitos no planos (es decir, aquellos que no son planos), no pode-mos definir mallas. Así en el analisis que usa ta LVK, lur iruv..to.iui cerradas son la-zos' El procedimiento es el mismo, por supuesto, pero las ecuaciones no se formulancon tanta facilidad. consideraremos el caso más general .n ¿.tuil.-rn el capitulo 6.como ejemplo de aplicación de la LVK, consideremos el circuito de dos mallasde la figura 4.13. Las corrientes en los elementos son 11, 12, E1r. AI apricar la LVKalrededor de la primera malla (que contiene o ugr), tenemos-

Rrlr+R313:Dgr (4.11)

4.5 ANÁLFS DE MALLAS 99

F|GURA 4.'13 eircuito coh dó$ mallos

En forma semejante, alrededor de la otra malla tenemos

Rrlz- R¡I¡: -Dc2 (4.12)

Definimos corriente de mslla como la corriente que fluye alrededor de una malla.La corriente de malla puede constituir la corriente total en un elemento de la malla, opuede ser sólo una porción de la corriente del elemento. Por ejemplo, en la figura 4.13

las corrientes i1 e li son corrientes de malla, con las direcciones mostradas. La corrientedel elemento es la corriente de malla en R, y R2, p€ro la corriente del elemento en R, es la

composición de dos corrientes de malla.En general, las corrientes de los elementos son sumas algebraicas de corrientes

de malia. Esto se ilustra en la figura 4.13 puesto que la corriente en R, es

Ir=jr

la de R2 es

It: it

y la de R3, por la LCK, es

f¡=ll-1":ir-iz

Usando estos resultados, podemos reescribir (a.ll) y (4.12) conto

R¡i, +Rj(ir -i2) :r-'*r

R:i¿-Rr(ir -i2) :-t'rz

Estas son las ecuaciones de malla del circuito.

(4. l3)

Tarnbién hay un método abreviado para escribir ecuaciones de maila, el cual es

semejante al método nodal abreviado de la sección 4.1. Rearreglando (4.131 en laforma

4 MÉTODOS DI ANÁLF|S

observemo: ¡

ciente de la p

coeficientes ;mún a esa m;suma aigebr;en la direcccdondequieraecuación. 1' :lecciona¡ to'¿reloj en la {igciones de ia.sentes excep":

En o:r:corrientes i:tonces el :g

Este resultaa

Es eviden:eApI;e

El ariá.h;l¡ s*

malia.La rri

ecuacionm ;tes, entoncE

Los eleme¡rlmentos fueri

.t 00

mes

(Rr + R3)ir - R3i2: 1)sr

-R:i¡*(R2+R3)iz:-Ds2

observemos que en la primera ecuación, correspondiente a la primera mana, el coefi_ciente de la primera corriente es la suma de las resistencias en la pri*..u malla, y loscoeficientes de cualquiera otra corriente de malla son el negatiuo aa tu resistencia co-mún a esa malla y la primera malla. EI miembro derecho oi ta primera ecuación es lasuma algebraica de las fuentes de voltaje que impulsan ia prirnera corriente de mallaen la dirección supuesta. Reemplazando la palabra primir" po, ia palabra segundadondequiera que aparezca en las dos últimas frases describiremos la segundaecuación, y así sucesivamente. Este procedimiento abreviado es consecuencia de se-leccionar todas las corrientes de malla en la misma dirección (la de las manecillas delreloj en la figura a.B) y escribir la LVK según las mallas son recorridas en las direc-ciones de las corrientes. por supuesto, el método se aplica sólo si no hay fuentes pre-sentes excepto fuentes de voltaje independientes.

En otro ejemplo, volvamos a la figura 4.r2y definamos ir, i2e r, como lascorrientes de malla mostradas en las mallas l, 2 y 3, respectivamenie. Aplicando en_tonces el método abreviado a la malla l, tenemos

(Rl + n2 + R3)ir - Rziz * R3j3 : psr

Este resultado puede verificarse aplicando la LVK a la malla l, lo que da por resultado

R'ir + Rr(i, - it + R3(ir - i3) : usr

Es evidente que los dos resultados son iguales.Aplicando la LVK a las mallas 2 y 3 de Ia rnisma manera, da

-R2ir + (R2 + R4 + R5)iz - Rsj¡ - -De2

R¡ir - fr5i2 + {R3 + R5 * Rs)it = tsgz

El análisis se completa resolviendo las tres ecuaciones de malla para las corrientes demalla.

La misma simetría que s€ notó en ras ecuaciones nodalesn se presenta en lasecuaciones de nnalla. Si se va a usar la regla de Cramer en la solución de las corriflr-fes, entonces el deterrninante de coeficientes se calcula cornoI

ilrlI

les

A_+R2+Rj -R2 -Rj I

-R2 R2+R4+R5 -R5 |

-R3 -Rs R3 + R5 + Ról

Los elementos de la diagonal son las sr.rrrias de tras resistencias en las mallas y los ele-mentos ft'rera de la diagonai son los negativos de las resistencias comunes a las rnallas

¿.5 ANATISIS DE MAU-A$ ,10{

l.'la

i'rtl

o

correspondientes al renglón y la columna del determinante. Es decir, -R, en elrenglón l, columna 2 o en el renglón 2, columna I es el negativo de la resistencia co_mún a las mallas 1y 2, etc. Así el determinante es simétrico Jon respecto a su diagonal.Esta simetría no se conserva, por supuesto, si están presentes fuéntes dependientes.

EJERCICIOS

usando el análisis de mallas, encontrar i, e i2 en la figura 4.l3 si R, :Rz, : 20, R3 : 4{1, us : 2lV y ur2 : l4Y.RESPUESTA 54, IAusando el análisis de mallas, encontrar i, e l, si el elemento Jr es una fuentede voltaje independiente de 6 v con la terminal positiva en la parte supe-rior.RESPUESTA 2A,IA

EJERCIC|O 4.5.2

Repetir el ejercicio 4.5.2 si el elemento r es una fuente de voltaje depen-diente de 6i, V con la terminal positiva en la parte inferior.RESPUESTA 5A,6A

4.6 CIRCUITOS CON FUENTES DE CORRIENTE

Como en el caso del análisis nodal de circuitos con fuentes de voltaje, el análisis demallas es más fácil si hay fuentes de corriente presentes. Para ilustrar este punto,consideremos el circuito de la figura 4.14(a), el cual tiene dos fuentes d" .o.ri.nt. yuna fuente de voltaje.

4 MÉTODOS DE ANÁLISIS

4.5.1

4.s.2

E

cesitarser eclJi

rest ri; c

Necesiila L\ I.,

tengarisus I oi'

S:

decir.ecua,-iL-

queriirtendrárfacilidacorrier 'de loc;

abiena,

102