tema2 ud1-a

Probabilidades y Estadística I

TEMA 2

Medidas características de una distribución de frecuencias


Esquema inicial

1. Introducción

2. Medidas de Centralización

3. Medidas de Dispersión

4. Medidas de Forma

5. Medidas de Relación

6. Representaciones gráficas. Diagrama de caja

7. Transformaciones de datos


1. Introducción

OBJETIVO

Resumir las características más importantes de los datos en un conjunto reducido de números.

Centralización Uniformidad

Dispersión Particularidad

Forma Simetrías/concentración

Relación Relación entre variables

C∈

D∈

F ∈

R∈

(1/2)

R

R

R

R


- Distribución de frecuencias absolutas: { } kiin ,...1=

- Distribución de frecuencias relativas: { } kiif ,...,1= - Distribución de frecuencias absolutas acumuladas: { } kiiN ,...1= - Distribución de frecuencias absolutas relativas: { } kiiF ,...1=

1. Introducción (2/2)

ENUNCIADOS GENERALES

Sea x1, x2, ...., xn un conjunto de n datos

Sea X una variable estadística y sean x1’,x2’,...,xk’ sus modalidades (valores diferentes o marcas de clase).

ó

Datos explícitos

Datos implícitos


Esquema inicial

1. Introducción



4. Medidas de Forma





2. Medidas de centralización (1/15)

Una forma de representar de forma sintética (agregada) la información contenida en una serie numérica

Criterio Medida Uso

Repeticiones Moda Medidas nominales

Orden Mediana Medidas ordinales

Valor numérico Media Medidas de intervalo

¿Cuál es el centro de los datos?



Moda

2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 Mo= 9

2, 5, 7, 9, 10, 11, 12 Mo no existe

2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Mo= 4 y 7 (bimodal)

Datos explícitos(idea intuitiva)


0 1 2 3 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Mo


Datos implícitosModa (idea intuitiva)



Moda (definición formal)

Sea X una variable estadística y {x’1,x’2,...,x’k} el conjunto finito de modalidades. Sea {n1,n2,...,nk} su distribución de frecuencias absolutas y {f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

Se dice que x’p es la moda de la serie cuando

np= max {n1,n2,...nk}

fp= max {f1,f2,.…,fk}


0 1 2 3 40

3

69

12

15

18


Moda Plurimodalidad

Unimodal

(características)



Mediana

Es el valor que deja a cada lado el 50% de los datos en la serie ordenada

3, 4, 5, 6, 8, 8, 10

3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 10

M = 6

M = 5.5

3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 10 M = 5

Datos explícitos(idea intuitiva)

7 datos

8 datos

8 datos



MedianaDatos

implícitos

5 6 7 8 94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5

M

(idea intuitiva)



Mediana (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos y sea x(1) ≤ x(2) ....≤ x(k) la serie ordenadade menor a mayor.

( )

( ) ( )

j

j j+1

n +1x si j2Mn +1si j < j 1

2 2

== + < +

x x

Sea X una variable estadística y F(x) su función acumulativa de frecuencias relativas. Se define la mediana como la solución de la siguiente ecuación funcional

F(x) = ½

Datos explícitos

Datos implícitos



Mediana (características)

Es poco sensible a asimetrías

MM



Mediana (características)

Es insensible a valores atípicos

M M



Media aritmética (idea intuitiva)

Centro de gravedad de los datos



Media aritmética (definición)

1 2 nx x .... x n

+ + +

Datos explícitos

∑∑

=

===k

i

k

iii

ii n

xnxfX

1

1'

'Datos

implícitos



Media aritmética (características)

Cuanto más asimétrica sea más se desplaza la media hacia la cola




Es muy sensible a valores atípicos




Es un operador lineal (equivale a la regla de tres)

a X bY a X bY+ = +


Esquema inicial

1. Introducción



4. Medidas de Forma





3. Medidas de dispersión (1/11)

MOTIVACIÓN



Una forma de representar cuánto discrepan los valores de una serie de datos

Distancia media a la media

Varianza/Desviación típica Medidas de intervalo

Orden Cuartiles/Percentiles Medidas ordinales

Discrepancia Rango Medidas nominales

¿cuánto se alejan de lo uniforme los valores de una serie ?

Criterio Medida Uso



Rango (idea intuitiva)

Rango 1 Rango 2



Rango (definición formal)

Sea X una variable estadística y {x’1,x’2,...,x’k} el conjunto finito de modalidades. Sea {n1,n2,...,nk} su distribución de frecuencias absolutas y {f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

Rg X = Max X − Min X = x’k − x’1

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