fisica ud1

5/10/2018 FISICA UD1 - slidepdf.com

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CURSO DE APOYO

A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBAS

DE ACCESO A LA ESCALA

DE SUBOFICIALES

MINISTERIODE DEFENSA

DIGEREM

SUBDIRECCIîN GENERALDE TROPA Y MARINERIAPROFESIONAL

FUERZAS ARMADAS

PROFESIONALESCURSO DE APOYO

A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES

ÓÓ

FÍSICA1ª parteUnidades didácticas 1, 2 3y



FÍSICA1ª parteUnidades didácticas 1, 2 3y

CURSO DE APOYO

A LA PREPARACION

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES

Ó



FÍSICA1ª parte

5

29

53

Unidad didáctica Pág.

1. APROXIMACIÓN AL TRABAJO CIENTÍFICO

2. FÍSICA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD

3. INTERACCIÓN GRAVITATORIA

SUMARIO



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. PROCEDIMIENTOS QUE CONSTITUYEN LA BASE DEL TRABAJO

CIENTÍFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. FORMULACIÓN Y CONTRASTACIÓN DE HIPÓTESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. DISEÑO Y DESARROLLO DE EXPERIMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. COMUNICACIÓN CIENTÍFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. UTILIZACIÓN DE FUENTES DE INFORMACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. IMPORTANCIA DE LAS TEORÍAS Y MODELOS DENTRO

DE LOS CUALES SE LLEVA A CABO LA INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . 9

3. ACTITUDES EN EL TRABAJO CIENTÍFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. CUESTIONAMIENTO DE LO OBVIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. NECESIDAD DE COMPROBACIÓN, DE RIGOR Y DE PRECISIÓN . . . . . . . . 12

3.3. APERTURA ANTE NUEVAS IDEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. HÁBITOS DE TRABAJO E INDAGACIÓN INTELECTUAL . . . . . . . . . . . . 13

5. MAGNITUDES FÍSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2. SISTEMAS DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3. ECUACIONES DE DIMENSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4.1. EXACTITUD Y PRECISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.5. LA MEDIDA EN EL LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Í N D I C E

-Pág.5-

U.D. 1.- APROXIMACIÓN AL TRABAJO CIENTÍFICO



Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno será capaz de:

• Razonar los pasos de que consta el método científico.

• Aprender las diferentes magnitudes físicas.

• Conocer los sistemas de unidades.

• Dominar las unidades de las magnitudes en los diferentes sistemas.

• Obtener la ecuación de dimensión de una determinada magnitud.

• Diferenciar los distintos tipos de error.

O B J E T I V O S

-Pág.6-

FÍSICA



E l método científico exige observadores agudos, experimentadores ingeniosos,

teóricos con imaginación. También observatorios y laboratorios, quizá gigan-

tescos, y bien provistos de instrumentos. Pero, a veces, basta una pluma, un montón

de cuartillas y una cabeza.

Si dices que un automóvil va muy deprisa, que una vasija con agua y hielo está muy

fría, o que el voltaje de un enchufe es mayor que el de otro, la información que das esmuy incompleta. Un científico querría saber que el automóvil va, por ejemplo, a 140

km/h, que la temperatura de la vasija es de 0ºC, que el voltaje es de 220 voltios. En

toda observación o experimento es necesario medir las magnitudes que intervienen.

I N T R O D U C C I Ó N

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MÉTODO CIENTÍFICO

MAGNITUDES FÍSICAS

TIPOS DE ERRORES

OBSERVACIÓN

HIPÓTESIS

EXPERIMENTACIÓN

CONCLUSIONES

TIPOS DE MAGNITUDES

SISTEMAS DE UNIDADES

ECUACIONES

DE DIMENSIÓN

SISTEMÁTICOS

Y ACCIDENTALES

ABSOLUTO Y RELATIVO

EXACTITUD Y PRECISIÓN

MEDIAARITMÉTICA

DESVIACIÓN

Y DESVIACIÓN MEDIA

RAÍZ CUADRÁTICA

MEDIA

MAPA CONCEPTUAL

-Pág.8-

FÍSICA



1. PROCEDIMIENTOS QUE CONSTITUYENLA BASE DEL TRABAJO CIENTÍFICO

Si buscamos en el diccionario la palabra “ciencia” nos encontramos con dos defini-

ciones:

– Conocimiento cierto de las cosas por sus principios y causas.

– Cuerpo de doctrina que constituye una rama particular del saber humano.

A partir de ellas deducimos que la necesidad del hombre por conocer lo que le rodea y

lo que provoca los fenómenos que observa son los que le han llevado al estudio de su entor-

no a lo largo de los siglos en todas las materias. Pero este estudio debe hacerse de forma

organizada, observando, experimentando y obteniendo resultados que le han permitido lle-

gar a conclusiones o resultados. Todo esto constituye el método científico, cuyas etapas son:

observación, formulación de hipótesis, experimentación y verificación o contraste de las

mismas.

1.1. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMASEl primer paso del método científico consiste en observar un determinado fenómeno de

la naturaleza. Por ejemplo: ¿Por qué determinados materiales se hunden en el agua y otros

no? ¿Por qué unos cuerpos funden a una temperatura y otros a otra?

Esta observación de la naturaleza o del entorno debe ser cuidadosa y exhaustiva, pues-

to que a partir de ella nos plantearemos una serie de problemas que queremos estudiar en

base a unos datos que hemos recogido.

El método científico requiere que lo observado esté relacionado con hechos comunes y

esto conlleva que sea medible. En cualquier caso es necesaria la existencia de un marco de

referencia que dependerá y se adecuará a los enunciados de observación.

1.2. FORMULACIÓN Y CONTRAST DE HIPÓTESIS

Una vez recogidos los datos necesarios para nuestro problema, se estudian y se procede

a elaborar un enunciado capaz de justificar el mayor número de ellos. En nuestro ejemplo,

llegaremos a la conclusión de que los materiales más densos que el agua se hunden,


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E

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mientras que los menos densos flotan, o bien, en el segundo caso, que la temperatura defusión es diferente para cada sustancia porque depende de la naturaleza del cuerpo, de lapresión y de otros factores. Se puede definir “hipótesis” como una explicación provisionalde un determinado fenómeno. Es decir, se puede entender como una propuesta el que algose acepte como verdadero, pero de forma provisional. Así, estará sujeta a posteriores alte-raciones debidas a nuevos datos obtenidos. Una hipótesis debe ser precisa y debe poder someterse a prueba experimental.

Al estudiar el mismo hecho o fenómeno por observadores diferentes, se llegará a unaformulación de hipótesis distintas que posteriormente se contrastarán en base a los datos

obtenidos. Aunque no sean iguales, las conclusiones pueden ser similares.

LABORATORIO DE LA REAL INSTITUCIÓN

1.3. DISEÑO Y DESARROLLO DE EXPERIMENTOS

Tienen por objeto reproducir un fenómeno en condiciones convenientes para su estudio.De esta forma se recogen datos. Por ejemplo: disponemos de una serie de sustancias quevamos echando en agua para ver cuáles flotan y cuáles no. De esta manera podemos con-feccionar una lista de materiales que se hunden en el agua y otra de materiales que flotan.

Los experimentos siempre se diseñarán y realizarán en referencia a una o varias hipóte-sis previas.

FÍSICA

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Para realizar cualquier experimento hay que definir antes las siguientes cuestiones:

– ¿Cuándo se hace?

– ¿Cómo se hace?

– ¿Para qué se hace?

– ¿Cómo debemos interpretar los resultados obtenidos?

Sobre estas experiencias debemos realizar una serie de controles o pautas a seguir:

– Marco teórico que lo encuadre, es decir, qué queremos medir en relación con las

hipótesis.

– Estrategia a seguir.

– Sistema de medida empleado.

– Instrumental que debemos emplear.

– Quién llevará a cabo el experimento, es decir, quién será el experimentador.

– Errores cometidos.

1.4. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

Formulada adecuadamente la hipótesis y una vez realizados los experimentos oportu-

nos, debemos de proceder a su comprobación, esto es, averiguar si es cierta o falsa. Si de

estos experimentos obtenemos los resultados previstos en nuestra hipótesis, podemos decir

que la hipótesis era correcta y en caso contrario nuestra hipótesis será falsa y tendremos que

modificarla de acuerdo con las observaciones realizadas.

Una vez confirmada nuestra hipótesis, se formulan las conclusiones.

En la interpretación de resultados hay que tener en cuenta que una de las fases de la

experimentación anterior es el error o posible error cometido en la medida, que condicio-

nará los resultados obtenidos o su posible interpretación errónea.


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-Pág.11-



1.5. COMUNICACIÓN CIENTÍFICATodos los resultados obtenidos han de darse a conocer a la sociedad y, en particular, al

mundo científico. Para ello existen gran cantidad de revistas especializadas, con mayor o

menor difusión y solvencia, reportajes y programas en televisión.

En otros casos, los congresos científicos reúnen a personas cuyos conocimientos son

superiores a los del gran público. De dichos congresos se obtienen, a veces, normas gene-

rales que se adoptan a nivel internacional en cuanto a determinados campos, como pueden

ser la nomenclatura y formulación química o la terminología de las diferentes ciencias, e

incluso la simbología y las unidades que se han de adoptar para las distintas magnitudesempleadas. En la comunidad científica se utiliza el sistema internacional de unidades

(S.I.U. o, simplemente, S.I.).

CONGRESO SOLVAY DE 1911

1.6. UTILIZACIÓN DE FUENTES DE INFORMACIÓN

Hemos de tener en cuenta que la forma de comunicar los resultados obtenidos o las con-

clusiones resultantes ha de ser clara y lo más exacta posible, para que de esa forma sirva

como punto de arranque para posteriores investigaciones, tanto nuestras como de otros

investigadores. Es decir, a la hora de investigar un fenómeno determinado podemos comenzar

FÍSICA

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-Pág.12-



por las conclusiones que sacaron aquellos que lo hicieron antes que nosotros y que dejaronreflejadas en artículos, libros, etc.

Es probable que tengamos que estudiar muchas cosas que se les pasaron por alto, o bien,

que no estaban lo suficientemente claras para cuando ellos lo hicieron.

Podemos afirmar, que todo lo anterior a las investigaciones actuales han servido como

fuentes de información para los investigadores modernos, que serán a su vez fuentes infor-

mativas para los que vengan después, pues la Física, al igual que otras muchas ciencias,

están en continuo desarrollo.

2.IMPORTANCIA DE LAS TEORÍAS Y MODELOSDENTRO DE LOS CUALES SE LLEVA A CABOLA INVESTIGACIÓN

Las teorías y modelos deben poder explicar cualquier fenómeno conocido. A su vez,

deben permitir predecir fenómenos que aún no son del todo explicables pero que se aseme-

jan a alguno perfectamente conocido y estudiado.

Podemos decir que el conocimiento completo sobre algo, ha de pasar por los siguientes

pasos: aprendizaje, entendimiento y explicación.

Una teoría física debe ser una ley mucho más amplia que una ley que sólo permite

entender determinados aspectos dentro de un marco general. Es decir, no debe ser extre-

madamente particular sino lo más general posible. También debe poder someterse a un con-

trol experimental.

Tampoco es conveniente que la teoría sea muy general, porque en ese caso no se ajus-

taría a casos específicos o concretos dentro de los generales.

Debe ser lo suficientemente amplia para abarcar un extenso campo de acción, pero, a su

vez, lo suficientemente concreta como para que no queden aspectos sin explicar o que sólo

se ajusten a la teoría en casos muy específicos.


TAMadrid9

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GALILEO GALILEI MOSTRANDO SUS EXPERIMENTOS DE CAÍDA DE GRAVES POR UN PLANOINCLINADO A JUAN DE MÉDICIS

3. ACTITUDES EN EL TRABAJO CIENTÍFICO

Existen muchas ocasiones en las que la ciencia se contradice con el sentido común, ocon una explicación más superficial de los fenómenos de la naturaleza.

Ya sabemos que en la Antigüedad, la mera observación de determinados fenómenosnaturales dio lugar a conclusiones erróneas, pero que persistieron durante mucho tiempo.

Tal es el caso de las ideas que tenía Aristóteles acerca del movimiento de los cuerpos. Segúnél, los cuerpos necesitaban la acción constante de una fuerza para mantener su movimien-to. Otro ejemplo puede ser el sistema geocéntrico de Tolomeo de Alejandría (siglo II a.C.),según el cual, todos los planetas giraban alrededor de la Tierra siguiendo órbitas circularesa la vez que describían pequeños círculos con centro en los puntos de la trayectoria, mien-tras que el Sol sólo giraba alrededor de la Tierra.

Este sistema daba una descripción de lo que se observaba con los aparatos de su tiem-po, permitía predecir las futuras posiciones de los cuerpos celestes y aparentemente era loque dictaba el sentido común.

FÍSICA

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Este modelo estuvo vigente durante 13 siglos hasta que Nicolás Copérnico (1473-1543),insatisfecho, como otros muchos, por la falta de precisión en las predicciones que se obte-

nían con las ideas de Tolomeo, comprobó que el movimiento de los cuerpos celestes, tal

como entonces se conocía, podía representarse por una combinación de movimientos cir-

culares uniformes en un sistema centrado en el Sol.

Así, podríamos hablar de muchos más ejemplos.

Por otra parte, el científico suele utilizar un método inductivo, es decir, la repetición de

los resultados en experimentos idénticos le anima a emitir teorías de supuesta validez gene-

ral. Pero esa repetición de resultados no garantiza la continuidad en el futuro, de no ser por-que la naturaleza parece comportarse de acuerdo con un conjunto limitado de leyes,

inmutables en el tiempo y en el espacio.

A lo largo de la historia los científicos han comprobado, ampliado y cambiado dichas

leyes. Por tanto, de las teorías debemos decir, no que son verdaderas, sino que son las mejo-

res disponibles en un momento histórico concreto.

La labor del científico consiste en no dejar de investigar, ni conformarse con los resul-

tados obtenidos. Aquí interviene su afán de superación. Debe estar abierto a nuevas ideas y

métodos tanto teóricos como experimentales.

3.1. CUESTIONAMIENTO DE LO OBVIO

Podríamos pensar que el punto de arranque de una investigación científica sería el plan-

teamiento de un problema sobre un fenómeno al que estamos acostumbrados. Volviendo a

los ejemplos iniciales, ¿por qué unos cuerpos flotan y otros no?, todos sabemos que un trozo

de hierro se hunde en el agua, pero un trozo de corcho, de igual tamaño, flota. Aquí comien-

za el trabajo científico: en el momento en que nos planteamos a qué se debe que uno se

hunda y el otro no.

Si alguien nos preguntara qué funde antes, el hielo o el hierro, contestaríamos que el

hielo. Es algo obvio. Pero, ¿por qué es así? ¿Sabemos a qué se debe?

Comienza así la investigación científica. Y éste fue el punto de partida de muchos cien-

tíficos. Plantearse a qué se deben algunas cosas o fenómenos y no conformarse con la típi-

ca respuesta del “porque sí” o “porque no”.


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3.2. NECESIDAD DE COMPROBACIÓN, DE RIGORY DE PRECISIÓN

Ante el cuestionamiento de lo obvio, el siguiente paso es la comprobación del hecho.

Verificar que el hierro se hunde y el corcho flotan en el agua, a pesar de que lo sepamos con

seguridad. Asegurarnos de que el hielo funde antes que el hierro.

Para la comprobación es necesaria una serie de experimentos que llevaremos a cabo con

el máximo rigor y utilizaremos el mejor material e instrumental para que los resultados

obtenidos de la experiencia sean lo más precisos posible o, por lo menos, que los errores

que vayamos a cometer en las medidas (si hemos de hacerlas) sean los mínimos. De estaforma podremos asegurarnos las mejores conclusiones o lo más próximas a la exactitud.

3.3. APERTURA ANTE NUEVAS IDEAS

Mientras investigamos en el fenómeno que nos ocupa, debemos tener en cuenta que es

muy probable que antes que nosotros, lo haya estudiado ya alguien. De igual manera, tam-

bién es muy probable que seamos varios los que a la vez estamos estudiando el mismo fenó-

meno.

En cualquier caso, debemos abrir nuestra mente al consejo de los demás, investigadores

o no, que podrían ayudarnos en nuestra investigación. Es muy probable también, que mate-

riales e instrumentos más avanzados que los nuestros nos favorezcan el trabajo. O bien que

el estudio de teorías posteriores o más avanzadas a las nuestras o a las que estamos emple-

ando como puntos de partida, también nos faciliten el trabajo.

Siempre habrá alguien que vaya por delante de nosotros en el campo de investigación o

que haya tomado otro camino para demostrar o explicar el mismo fenómeno. Aunque siga-

mos vías diferentes debemos estar siempre abiertos a nuevas teorías e ideas y nunca pensar

que nuestras conclusiones son las mejores o las definitivas.

FÍSICA

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4. HÁBITOS DE TRABAJO E INDAGACIÓN INTELECTUAL

Podríamos pensar que el científico tiene una forma especial de hacer las cosas, pero no

por eso deja de ser una “persona normal”, aunque con una capacidad de razonamiento espe-

cial debido a sus hábitos de trabajo. Diríamos que inventa técnicas y utensilios, propone

hipótesis, experimenta, hace conjeturas, estudia fenómenos. Tiene un sistema o método de

estudio muy particular para el que está entrenado. Sabe pensar de forma distinta, pero no

por ello esa manera de ver las cosas es inaccesible para el resto. Sólo deberían seguir sumismo método de estudio y sus hábitos de trabajo.

Una de las bases de ese hábito de trabajo es la indagación intelectual. Es necesario leer

mucho para saber cómo debemos plantearnos las cosas. Así podríamos analizar un proble-

ma, emitir posteriormente una o varias hipótesis, elaborar estrategias para resolver el pro-

blema que nos ocupa, solucionar el problema y analizar los resultados obtenidos.

Para todo ello siempre será necesaria una buena base intelectual referente al hecho o

fenómeno a estudiar. Debemos saber lo que hicieron los científicos anteriores para no come-

ter los mismos errores, o bien, seguir aquellos caminos que llevaron a buenos resultados.

5. MAGNITUDES FÍSICAS

Se define magnitud como todo aquello que puede ser medido, expresándose el resultado

como una cantidad, una unidad y el error posible en la medición. Por ejemplo: 5 Km ± 10 m

o 35 ± 1°C. Son magnitudes el tiempo, la masa, la fuerza, la velocidad, etc. No serían mag-

nitudes la pureza, el amor, la envidia, etc.

5.1. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

Podemos hacer una doble clasificación: Escalares-Vectoriales y Fundamentales-Deri-

vadas.

Magnitudes escalares: Son aquellas que vienen determinadas o perfectamente definidas

por un número y la unidad correspondiente. Por ejemplo: el tiempo, la masa, la densidad.


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Si decimos, por ejemplo, que el volumen es de 4 litros (número-unidad) o que el tiempoha sido de 2 segundos (número-unidad) queda perfectamente clara la información que quere-

mos transmitir.

Magnitudes vectoriales: Son aquellas que se representan mediante un vector y, por

tanto, para que queden perfectamente definidas debemos conocer su módulo (número que

indica su medida), dirección (la de la recta que lo contiene), sentido (hacia dónde está di-

rigido) y su punto de aplicación (su origen). Por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la

fuerza. Si, por ejemplo, tenemos intención de ir a navegar en un barco de vela, la informa-

ción sobre la velocidad del viento sería incompleta si sólo nos dijeran que es de 50 Km/h.

Sería necesario que nos dijeran también con qué dirección y sentidó está actuando.

Magnitudes fundamentales: Son aquellas que se definen por sí mismas. Son elegidas

en función del sistema de unidades y sirven para poder expresar las magnitudes derivadas.

A continuación se recogen las magnitudes fundamentales en cada sistema de unidades.

FÍSICA

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Existe otra unidad fundamental que es la de carga/corriente. En el sistema internacio-

nal se eligió como unidad de carga, arbitrariamente, el culombio (C). En ese caso, el siste-

ma internacional se llama MKSQ. El sistema que toma como unidad fundamental en

electricidad la de intensidad de corriente, el amperio (A), se designa por MKSA y es el

SI que actualmente se utiliza.

En el sistema cegesimal se toma como unidad de carga la unidad electrostática de carga(uee).

Magnitudes derivadas: Son aquellas que se definen en función de las magnitudes fun-

damentales. Por ejemplo: la velocidad, la superficie, la aceleración, etc. La velocidad se

define como la longitud dividida por el tiempo, la superficie como una longitud por otra

longitud, etc.

Sistema CGS Sistema Internacional Sist. Técnico o Terrestre

Longitud Longitud Longitud

Masa Masa Fuerza

Tiempo Tiempo Tiempo

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5.2. SISTEMAS DE UNIDADES


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Magnitud Ec Dimensión cgs (cegesimal) M.K.S. (S.I.) T. o T.

Longitud L cm m m

Masa M gr Kg utm

Tiempo T s s s

Velocidad = e/t LT-1 cm/s m/s m/s

Aceleración = v/t LT-2 cm/s2 m/s2 m/s2

Fuerza = m·a MLT

-2

dina Newton (N) KilopondioPeso = m·g MLT-2 dina Newton (N) Kp

Trabajo = F·e·cos α ML2T-2 ergio Julio (J) Kpm

E. cinética = 1/2 mv2 ML2T-2 ergio Julio (J) Kpm

E. potencial = mgh ML2T-2 ergio Julio (J) Kpm

Potencia = trabajo/t ML2T-3 ergio/s J/s =watio Kpm/s

Presión = F/área ML-1T-2 baria Pascal (Pa) Kp/m2

Densidad = m/vol ML-3 gr/cm3 Kg/m3 utm/m3

P. específ. = P/vol ML-2T-2 dina/cm3 N/m3 Kp/m3

5.3. ECUACIONES DE DIMENSIÓN

Toda ecuación derivada se puede expresar por medio de un producto, llamado ecuación

de dimensiones, de las unidades fundamentales y expresan la manera de intervenir en su

formación.

Representaremos por L, M y T las unidades, cualesquiera que sean, de longitud, masa y

tiempo (magnitudes fundamentales de los sistemas CGS e Internacional); y por L, F y T las

de longitud, fuerza y tiempo (magnitudes fundamentales en el sistema técnico o S.T.).

En la tabla de unidades anterior se muestran, en la segunda columna empezando por la

izquierda, las ecuaciones de dimensión de las magnitudes que aparecen en la primera

columna. Así, la ecuación de dimensión de la superficie será:

L x L = L2

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5.4. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDASiempre que efectuamos alguna medición, el resultado numérico va acompañado de

algún error debido a diferentes factores como pueden ser la imprecisión de los aparatos uti-

lizados, el procedimiento empleado, equivocaciones accidentales cometidas en la medición,

defectos del operador, etc.

– Atendiendo a las causas del error, los errores se clasifican en sistemáticos y acci-

dentales.

Errores sistemáticos son aquellos que se deben a causas conocidas y pueden ser corre-

gidos o disminuidos en su cuantía. Por ejemplo, el peso de una tienda que marca 0,5 kg de

más.

Errores accidentales son los que se producen al azar y no pueden ser corregidos salvo

que se deseche la determinación. Por ejemplo, error en la operación con la calculadora.

– En cuanto a su acotación o delimitación distinguimos el error absoluto y el relativo.

El error absoluto se define como el valor medido menos el valor real.

Si Vm > Vr entonces Ea > 0 (Error absoluto por exceso)

Si Vm < Vr entonces Ea < 0 (Error absoluto por defecto)

El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor real. Se

suele expresar en tanto por ciento, y nos da una idea de la precisión de la medida realizada:

Si Er > 0 entonces tendremos error relativo por exceso.

Si Er < 0 entonces tendremos error relativo por defecto.

Ejemplo 1:

Supongamos que con una regla graduada en milímetros, medimos dos longitudes de

5 cm y 10 cm. ¿Cómo se escriben correctamente estas medidas? ¿Qué error absoluto y rela-

tivo se comete? Al estar la regla graduada en milímetros, el error absoluto máximo que

podemos cometer será de 1 mm = 0,1 cm.

Er Ea

Vr = 100

Ea = Vm – Vr

FÍSICA

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Ejemplo 2:

Medimos la longitud de un coche y obtenemos como resultado 4,34 m. sabiendo que

el fabricante da como medida real una longitud de 4,35 m, ¿qué error absoluto y relativo

cometemos?

El error absoluto se calcula aplicando la fórmula:

Ea = Vm – Vr = 4,34 – 4,35 = - 0,01 m

Por ser negativo se dice que el error absoluto es por defecto, es decir, hemos medido de

menos, nos hemos quedado cortos.

Para calcular el error relativo:

5.4.1. EXACTITUD Y PRECISIÓN

En la práctica, cuando se va a medir una magnitud no se efectúa una sola medida sino

una serie de determinaciones. Se considerará como valor real la media aritmética de todas

ellas, que se calculará sumando los valores de todas las medidas realizadas y dividiendo por

el número de ellas.

La calidad de una medida depende de su “exactitud” y de su “precisión”.

La exactitud de una medida hace referencia a la proximidad de la media respecto al valor

real. La precisión está relacionada con la menor o mayor dispersión del grupo de medidas.

Hay que hacer notar que una medida es tanto más precisa cuanto menor error relativo

se comete.

Er Ea

Vr = × = × =100

0 01

4 35100 0 229

– ,

,– , %


TAMadrid17

Medida Ea Er Er (%)

(5,0 ± 0,1) cm 0,1 cm 0,1 / 5,0 = 0,02 2 %

(10,0 ± 0,1) cm 0,1 cm 0,1 / 10,0 = 0,01 1 %

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Ejemplo:

Al medir repetidas veces una longitud se han obtenido las siguientes medidas, expresa-

das en mm:

22,9 23,1 23,0 22,8 22,9 22,8 22,9

¿Qué medida tomaremos?

donde despreciamos la segunda cifra decimal por no poder confirmar si es válida, ya que

en nuestras medidas sólo tenemos valores con un decimal.

5.5. LA MEDIDA EN EL LABORATORIO

Ya hemos visto que la realización de medidas conlleva necesariamente una serie de erro-

res. Nunca se tiene la certeza de haber conseguido la medida exacta; se cometen errores debi-

do a múltiples causas, ya que los instrumentos de medida y los sentidos del observador, o

persona que realiza las medidas, tienen un límite de apreciación. Por eso, en ciencias expe-

rimentales se habla de valores más probables de una magnitud, y no de valores exactos.

Hemos visto algunos tipos de error; a continuación vamos a ver otras formas de cuanti-

zación de dichos errores.

Se llama media aritmética simple x– al cociente que resulta de dividir la suma de todos

los valores de una serie de medidas, entre el número de ellas.

Así, si los valores que se han tomado son x1, x2, x3, ..., xn, en una serie de n observa-

ciones, la media aritmética, también llamada promedio, es:

La cercanía de este valor con el real nos indica la exactitud de la medida.

Desviación de un valor de una medida es la diferencia, considerada en valor absoluto,

entre ese valor y la media aritmética de la serie. Se representa por “d”.

Según esta definición, en una serie de medidas cuya media aritmética es x–, la desviación

de un valor xi, es:

d x xi= –

x x x x xn

n=

+ + + +1 2 3 ...

Vr mm=

+ + + + + +

=

22 9 23 1 23 0 22 8 22 9 22 8 22 9

722 9

, , , , , , ,,

FÍSICA

TAMadrid18

-Pág.22-



Al conocer las desviaciones de los diferentes valores de una serie permite establecer elconcepto de “desviación media”.

Desviación media de una serie de medidas es la media aritmética de las desviaciones

de todos sus valores. Se representa por Dm.

Así, si tenemos la serie de valores x1, x2, x3, ..., xn, cuya media aritmética es x–, la des-

viación media es:

Por otra parte, la raíz cuadrática media conocida como desviación típica viene dada

por la expresión:

Cuanto menor sea el valor de esta desviación típica, menor será la dispersión de las

medidas y mayor será la precisión de las mismas.

Sx x x x x x x x

nn

=

( ) + ( ) + ( ) + + ( )1

2

2

2

3

2 2– – – ... –

Dx x x x x x x x

nmn

=

+ + + +1 2 3– – – ... –


TAMadrid19

-Pág.23-



RESUMEN

– El método científico se basa en la observación, la experimentación, la emisión de

hipótesis y conclusiones.

– Magnitud es todo aquello que se puede medir.

– Magnitudes escalares son aquellas que quedan definidas por un número y su unidad.

– Magnitudes vectoriales son aquellas que para definirlas debemos conocer su módu-

lo, dirección, sentido y punto de aplicación.

– Magnitudes fundamentales son las que sirven para expresar las magnitudes deriva-

das. Dependen del sistema de trabajo (C.G.S., S.I., S.T.).

– Magnitudes derivadas son las que se expresan en función de las magnitudes funda-

mentales. También dependen del sistema de trabajo (C.G.S., S.I., S.T.).

– Los sistemas de unidades son el C.G.S. o cegesimal (centímetro, gramo, segundo),

S.I. o internacional, también llamado Giorgi o M.K.S. (metro, kilogramo, segundo)

y técnico o terrestre (metro, utm, segundo).

– Error absoluto es la diferencia entre el valor medido y el valor real. Siempre tiene

unidades. Puede ser por exceso (si nos pasamos en la medida) o por defecto (si no

llegamos a la medida).

– Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Se puede expre-sar en %. Al ser un cociente de magnitudes con iguales unidades, no tendrá uni-

dades.

– La media aritmética de una serie de medidas viene dada por la expresión:

xx x x x

nn

=

+ + + +1 2 3 ...

FÍSICA

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-Pág.24-



– Desviación de un valor de una medida es:

– A partir de la desviación de un valor de una medida se puede calcular la desviación

media de una serie de medidas, a partir de la expresión:

– La raíz cuadrática media se calcula con la ecuación:

S =

( ) + ( ) + ( ) + + ( )x x x x x x x x

nn1

2

2

2

3

2 2– – – ... –

Dx x x x x x x x

nmn

=

+ + + +1 2 3– – – ... –

d x xi= –


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-Pág.25-



EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. Si tomamos para “g” el valor 10 en vez de 9,81, ¿qué error relativo se cometerá?

A. 1,51 % B. 1,71 % C. 1,93 % D. 2,03 %

2. Con una balanza graduada en gramos pesamos un cuerpo de 50 g. ¿Cómo se escribiría correc-

tamente la medida?

A. 500 ± 1 g B. 50 ± 1 g C. (50 ± 1) mg D. (50 ± 1) g

3. La ecuación de dimensión del trabajo en el sistema técnico es:

A. FT B. ML2T-2 C. ML2T-1 D. MLT-2

4. Si te dan tres medidas de la misma masa: 1,2 g; 1,20 g; 1,200 g; ¿cuál es la más precisa?

A. 1,2 g B. 1,20 g

C. 1,200 g D. Las tres son igual de precisas.

5. De las magnitudes que se citan indica las que son vectoriales: Masa, peso, velocidad, fuerza,

trabajo, potencia, aceleración, longitud y tiempo.

A. Peso, velocidad, fuerza y trabajo. B. Peso, fuerza, trabajo y aceleración.

C. Peso, velocidad, fuerza y aceleración. D. Peso, velocidad, fuerza y longitud.

6. Si de una regla que mide 1 m se conoce su longitud con la precisión de una décima de milíme-

tro, indica el error relativo en %.

A. 0,001 % B. 0,01 % C. 0,1 % D. 1 %

7. Se ha medido una distancia de 20 km con un error de 2 m. ¿Cuál es la precisión o error relati-vo de la medición?

A. 0,01 % B. 0,1 % C. 0,001 % D. 1 %

8. De las siguientes medidas indica la que presenta menor error absoluto:

A. 3,8 m B. 3,80 m C. 3,800 m D. 3,8000 m

FÍSICA

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-Pág.26-



9. Supón que deseas conocer los factores que influyen en la estatura de una persona. Señala entrelas siguientes hipótesis la o las que podrían ser válidas en la investigación:

1. La estatura de una persona depende de sus genes.

2. Depende del color de su pelo.

3. Depende de la altura de sus progenitores.

4. Depende del día de su nacimiento.

A. Es válida la 1.

B. Es válida la 3.

C. Son válidas la 1 y la 3.

D. No hay ninguna hipótesis correcta.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

A. El error relativo siempre tiene unidades.

B. El error relativo nunca tiene unidades.

C. El error absoluto nunca tiene unidades.

D. El error absoluto puede no tener unidades.


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-Pág.27-



RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

FÍSICA

TAMadrid24

19. C

10. B

11. C

12. D

13. B

14. C

15. C

16. B

17. A

18. D

-Pág.28-



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. ANÁLISIS DE LA NATURALEZA DE LA FÍSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. LOGROS Y LIMITACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. CARÁCTER TENTATIVO DE LA REALIDAD A TRAVÉS

DE MODELOS. EVOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. HISTORIA Y EVOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. LA INTERPRETACIÓN DE LA REALIDAD A TRAVÉS DE MODELOS . . . . . . 10

2. RELACIONES DE LA FÍSICA CON LA TECNOLOGÍAY LAS IMPLICACIONES DE AMBAS EN LA SOCIEDAD . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. CONSECUENCIAS EN LAS CONDICIONES DE LA VIDA HUMANA

Y EL MEDIO AMBIENTE. VALORACIÓN CRÍTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. INFLUENCIAS MUTUAS ENTRE LA SOCIEDAD, LA FÍSICAY LA TECNOLOGÍA. VALORACIÓN CRÍTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Í N D I C E

-Pág.29-

U.D. 2.- F ÍSICA, TECN OLO GÍ A Y S O CI EDA D



Al finalizar el estudio de esta Unidad Didáctica, el alumno será capaz de:

• Conocer la relación entre la Física y otras ciencias.

• Entender cómo evolucionó la Física.

• Relacionar la Física y la tecnología con la sociedad.

• Comprender los efectos del avance físico-tecnológico sobre el medio

ambiente.

O B J E T I V O S

-Pág.30-

FÍSICA



T odas las ciencias han estado siempre relacionadas entre sí y el paso del tiempo

nos ha traído la evolución de todas ellas y el desarrollo tecnológico en todos los

campos.

Este desarrollo no siempre ha sido todo lo favorable que el hombre hubiese desea-

do, pues, en muchos casos, ha afectado de manera negativa o bien a él o bien al

medio que le rodea y en el que desenvuelve sus actividades.


-Pág.31-

U.D. 2.- F ÍSICA , TECN O LO GÍ A Y S OC I ED A D



QUÍMICA

GEOLOGÍABIOLOGÍA

FÍSICA

AVANCE FÍSICO AVANCE TECNOLÓGICO AVANCE SOCIAL

FÍSICA-SOCIEDAD

MEDIOAMBIENTE

RELACIONES Afectan al

ACÚSTICA

ELECTROMAGNÉTICA

BASURA ESPACIAL

TÉRMICA

LUMÍNICA, ETC.

TIPOS DE CONTAMINACIÓN

FÍSICA-TECNOLOGÍA

TECNOLOGÍA-SOCIEDAD

MAPA CONCEPTUAL

-Pág.32-

FÍSICA



1. ANÁLISIS DE LA NATURALEZA DE LA FÍSICA

Definimos Física como la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las

leyes que tienden a modificar su estado o su movimiento sin alterar su naturaleza.

Está relacionada con otras ciencias y con ellas tiene uno o varios puntos en común, por

ejemplo: Fisicoquímica, Biofísica, Geofísica, etc. Todas estudian la materia en uno u otro

sentido, y todas tienen un amplio campo de estudio. En el caso de la Física, ese campo va

desde lo más pequeño (partículas subatómicas) a lo más grande (el universo).

En cualquier caso, es una ciencia que intenta facilitarnos la vida; por ejemplo, en el estu-

dio de nuevas energías, más económicas y menos contaminantes. Es decir, afecta a varios

aspectos de la actividad humana.

1.1. LOGROS Y LIMITACIONES

La Física, como ciencia, trata de comprender la estructura del Cosmos y de explicar los

fenómenos naturales que en él suceden. De ahí que los físicos se esfuercen por descubrir lasleyes que rigen el comportamiento del universo en que vivimos, ya que su hipótesis funda-

mentales que todos los fenómenos naturales sin excepción se verifican de acuerdo con cier-

tas leyes o principios generales.

El fin que persigue la Física es descubrir esos principios para poder, de este modo, rela-

cionar y comprender los diferentes fenómenos y utilizar posteriormente tales conocimien-

tos para predecir el resultado de las experiencias que se verifiquen. Así, por ejemplo,

basándose en una serie de principios descubiertos por los físicos se han podido proyectar

técnicamente los satélites artificiales y lanzarlos al espacio, como también desentrañar el

átomo y conseguir sus transmutaciones.

1.2. CARÁCTER TENTATIVO DE LA REALIDAD A TRAVÉSDE MODELOS. EVOLUCIÓN

La Física, no es un ciencia moderna, sino que ya antes de Cristo, en la antigua Grecia,

hubo quienes se interesaron por estudiar los elementos constituyentes de la naturaleza e

intentaron unificarlos. Pero la verdadera unificación intentaba conseguir leyes generales

que explicasen los fenómenos naturales.

U.D. 2.- F ÍSICA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD

TAMadrid5

-Pág.33-



En la Antigüedad había una diferencia importante entre el saber teórico y el saber prác-tico.

El saber teórico, considerado como Filosofía, era el saber total. basándose en el afán y

el deseo de conocer. Utilizando la razón, abarcaba toda la realidad. Pero para los filósofos

griegos, la naturaleza estaba gobernada por fuerzas sobrenaturales, las cuales eran las res-

ponsables de todos los fenómenos físicos. No existían leyes generales. Sólo los dioses

manejaban la naturaleza a su antojo. Residían en el monte Olimpo y controlaban terremo-

tos, tormentas, mareas, etc., se relacionaban con el hombre a través de la naturaleza y su

contento o descontento con éste lo manifestaban de muy diferentes maneras, pero siempre

en el mundo natural.

Todo lo que ocurría, bueno o malo, tenía su procedencia en los dioses y no se buscaba

una explicación lógica puesto que, para ellos, esa razón residía en el Olimpo.

No obstante, en la antigua Grecia, hubo algunos científicos importantes que estudiaron

lo que les rodeaba y, de esa manera, llegaron a conclusiones que les permitieron enunciar

leyes y teorías. Así, por ejemplo, cabe destacar a Arquímedes de Siracusa.

Estos científicos se interesaron principalmente por la composición de la materia, consi-

derada como formada por cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra. Emitieron teorías que

intentaban explicar cuál era su base fundamental. Tales de Mileto, por ejemplo, considera-

ba que la materia era agua; Pitágoras pensaba que las relaciones entre los números expli-

caba las leyes del universo; Arquímedes opinaba que existía un quinto elemento que

proporcionaba espiritualidad a los cuerpos.

En cualquier caso, las ciencias representaban partes de la Filosofía.

El saber práctico se consideraba a la técnica. Es decir, la política y las formas de gober-

nar, la agricultura y los métodos de cultivo, la ganadería, la pesca, las tácticas de guerra, etc.

Con todo ello, la técnica necesitaba de una base científica para mejorar, por ejemplo, los

utensilios y herramientas empleados o las armas utilizadas.

Hasta el Renacimiento, en que se adopta el método experimental como fuente de saber

y conocimiento, no podemos decir que se produzca una unificación generalizada de los

científicos. Alcanza su máximo esplendor en la época de Newton, el cual enunció la ley de

gravitación universal en el siglo XVII.

FÍSICA

TAMadrid6

-Pág.34-



ISAAC NEWTON

De esta forma se unen la ciencia empírica y la ciencia teórica o, lo que es lo mismo, los

métodos científicos y la técnica. Ahora la ciencia ayuda, con su base teórica, a crear mejo-

res medios técnicos con los que trabajar y de esta manera surge la tecnología.

En el siglo XVIII, la Ilustración le confiere una gran importancia a la ciencia, de mane-

ra que nace en Sevilla la primera Academia Científica Española, la Regia Sociedad de

Medicina y demás Ciencias.

Ahora se aplica principalmente a la tecnología consiguiendo un gran desarrollo llegan-do a la cúspide cuando James Watt inventó la máquina de vapor en 1769 y dando paso a

la revolución industrial.

El desarrollo y progreso tecnológico ha sido mucho más rápido a partir del siglo XIX,

afectando fundamentalmente a ciencias como la Biología, la Física y la Química, muy rela-

cionadas entre sí desde el punto de vista de aplicación tecnológica.


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-Pág.35-



1.3. HISTORIA Y EVOLUCIÓNLa Física, como ciencia experimental que investiga las propiedades y características de

los objetos naturales, ha suscitado de una u otra forma el interés de todas las culturas y muyespecialmente de aquellos hombres que se han dedicado a desentrañar la íntima estructuradel mundo que les rodea, es decir, la arquitectura del Cosmos.

No se encuentra ningún vestigio de ciencias físico-químicas en las primeras civilizacio-nes orientales. Tan sólo disponían de conocimientos técnicos importantes egipcios y calde-os, que no eran fruto de una ciencia propiamente dicha, sino de un conocimiento

prolongado fruto de inteligencia, intuición y azar. Es en la Grecia clásica cuando como con-secuencia del inicio de la reflexión filosófica, el conocimiento del mundo físico se realizapor procedimientos racionales, si bien no exentos de concepciones un tanto mitológicas ypredeterminadas. El griego Empédocles propuso la teoría de los cuatro elementos (agua,aire, tierra y fuego) como los componentes fundamentales del mundo observable, sobre losque actuaba el amor y el odio como principios integradores y desintegradores. Leucipo,Demócrito y Epicuro son los primeros en postular la existencia de los átomos (corpúscu-los indivisibles) que están en perpetuo movimiento y que por agregación conforman elmundo material, teoría que posteriormente confirmaron la Física y la Química. Otros grie-gos centraron sus especulaciones en ramas muy concretas de la Física como Euclides que

en su Óptica propone la propagación en línea recta de los rayos luminosos, y Arquímedes

(287-212 a.C.), el físico más importante de la Antigüedad, que hizo importantes aportacio-nes a la Estática y la Hidrostática, donde su famoso principio tiene evidentes aplicacionesprácticas.

Durante muchos siglos la Física estuvo condicionada por la autoridad de Aristóteles,influencia que tuvo funestas consecuencias para el desarrollo de esta ciencia, a pesar de losesfuerzos de algunos precursores de la ciencia experimental.

Es en el siglo XVII cuando la Física logra despertar de su profundo letargo, y se sepa-

ra del mundo especulativo gracias a los trabajos de astrónomo Copérnico, la aportación deWilliam Gilbert al estudio del magnetismo terrestre y muy especialmente los de Galileo

en torno a la caída de los cuerpos, y en particular su famosa ley del péndulo. AsimismoNewton (1642-1727), considerado por algunos el físico más grande de todos los tiempos,establece el concepto de masa y formula su teoría de la gravitación universal, coronaciónde los trabajos experimentales de Tycho Brahe y las leyes de Kepler sobre el movimientode los astros, junto con notables aportaciones a la Óptica y a las Matemáticas. Christian

Huygens (1629-1695) deduce el teorema de la energía cinética y aplica la ley del pénduloa la regulación de los relojes. Los trabajos de Pierre Gassendi (1592-1655) y Robert Boyle

FÍSICA

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-Pág.36-



(1627-1691) contribuyeron a despertar la vieja teoría atómica de la materia y al conoci-miento de la existencia del vacío con los trabajos de Torricelli, Pascal y Otto von Guericke.Huyghens, Descartes y Snell hacen importantes aportaciones a la Óptica. La Termodiná-mica empieza a desarrollarse con la teoría del calor con las aportaciones de Fahrenheit

(1686-1736) y Celsius (1701-1744) autores cada uno de las escalas de temperaturas de usomás corriente y que permitieron, con posterioridad, trabajos sobre el estudio de la dilataciónde líquidos, sólidos y especialmente gases (Leyes de Gay-Lussac).

Entre los siglos XVIII y XIX la Termodinámica consigue un desarrollo espectacular,con los trabajos sobre el vapor del ingeniero James Watt que sirvieron de detonante a la

denominada revolución industrial, introduciéndose a nivel teórico los conceptos de calor específico, definición de caloría por Dulong en 1838, destacando especialmente los trabajos de Sadi Carnot que formula el segundo principio de la Termodinámica en su obra“Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas propias para desarro-llar potencia”, una de cuyas aplicaciones que más impacto han tenido sobre el desarrollosocial de la Humanidad han sido los motores de explosión, la aparición del concepto deentropía gracias a Clausius coronando los trabajos de L. Boltzmann una fecunda unión entrela Física y las Matemáticas con la creación de la mecánica estadística.

La electricidad, que había sido más bien objeto de espectáculo que de investigación,

recibió un considerable impulso con los trabajos del ingeniero francés Charles Coulomb

(1736-1806) y que serían completados durante todo el siglo XIX con los de Christian

Oersted y sus famosas experiencias entre magnetismo y corriente eléctrica, Ohm (1787-1854), Ampere (1775-1836) y Faraday (1791-1867). Finalmente los trabajos de Thomas

Young (1773-1829) y Fresnel (1788-1827) defensores de la teoría ondulatoria de la luz, encontraposición a la corpuscular defendida por Newton, permitieron al genial James Clerck

Maxwell (1831-1879) sintetizar electricidad y magnetismo en sus famosas leyes de la teo-ría clásica del electromagnetismo que sería confirmada con posterioridad, de forma experi-mental, por los trabajos de H. R. Hertz (1857-1894), con el descubrimiento de las ondas

que llevan su nombre.

A finales del siglo XIX y principios del XX la Física parecía haber logrado una visióncompleta e integrada de la mecánica y la termodinámica en la mecánica estadística, por unlado, y la electricidad y la óptica por otro con los trabajos de Maxwell. Sin embargo un buennúmero de fenómenos no pudieron explicarse con los modelos teóricos apareciendo ladenominada Física moderna. Ésta se inicia fundamentalmente con la aparición de lostrabajos de Max Planck (1858-1947) y su hipótesis de los cuantos, la determinación de lanaturaleza de los rayos X por Max Von Laue (1879-1960), el descubrimiento de laradiactividad natural, con los trabajos de Becquerel , y la radiactividad artificial


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-Pág.37-



descubierta por el matrimonio Joliot-Curie, y la explicación del efecto fotoeléctrico por Albert Einstein (1879-1955). Todos estos fenómenos desembocaron en una nueva visión

de las teorías físicas vigentes hasta el momento y la nueva física quedó formalizada con las

teorías de la relatividad especial (1905) y general (1915) de Albert Einstein, la nueva visión

del átomo con los modelos de Böhr (1885-1962) y por el desarrollo de la mecánica cuánti-

ca, surgida al no poderse explicar las observaciones sobre el mundo atómico, con las leyes

y teorías tradicionales. Al desarrollo de esta nueva mecánica contribuyeron Louis De

Broglie, con su dualidad onda-corpúsculo, Erwin Schrödinger (1887-1961), Paul Dirac

(1902-1984) y el famoso principio de incertidumbre de Werner Heisemberg (1901-1976).

Durante este fecundo periodo de la historia de la Física se descubren los tres constituyentes

básicos del átomo: electrón (1879), protón (1910) y neutrón (1932).

Estas teorías y la aplicación de altas energías en los experimentos de partículas elemen-

tales abrieron las puertas a la búsqueda de los constituyentes básicos de la materia (partí-

culas fundamentales) y a la unificación de las interacciones fundamentales (gravitatoria,

electromagnética, fuerte y débil) que intentan englobarse en las denominadas teorías de

gran unificación.

En cuanto al impacto social de la nueva física destacan, por la influencia que tienen en

el gran público, los estudios que comenzaron con los trabajos de Otto Hahn y F. Strass-

mann con el descubrimiento de la fisión nuclear, trabajos que contribuyeron, por desgra-

cia, a la fabricación de las primeras bombas atómicas, y con el posterior descubrimiento de

la fusión nuclear, que permitirá en un futuro disponer de enormes cantidades de energía al

servicio de la humanidad. Son también muy importantes los avances logrados en campos

como el láser, la electrónica, la superconductividad, etc y que permitirán un futuro prome-

tedor a la Física, no sólo por el enorme impacto social de sus descubrimientos, sino por su

contribución a la comprensión de las leyes básicas que regulan el comportamiento de la

materia y sus constituyentes básicos.

1.4. LA INTERPRETACIÓN DE LA REALIDAD A TRAVÉSDE MODELOS

Hemos visto que ya desde la antigua Grecia hubo quienes intentaron justificar los fenó-

menos naturales enunciando leyes y no siguiendo el “camino filosófico” que los atribuía a

los dioses.

FÍSICA

TAMadrid10

-Pág.38-



Con el paso del tiempo el número de personas que se dedicaban al estudio de la natura-leza era cada vez mayor. Las leyes que enunciaban o las hipótesis que emitían eran, con el

tiempo, “más reales” y algunas de ellas siguen vigentes en nuestros días, en cambio otras

se han perfeccionado. También ha habido algunas que se han tenido que desechar por inco-

rrectas, ya que un mayor y mejor estudio han concluido en su invalidez.

Hablábamos en el apartado anterior de la unificación entre la naturaleza, las leyes físi-

cas y la ciencia. Dicha unificación se puede considerar como clasificada o constituida por

una serie de etapas comenzando con Newton y llegando a nuestros días.

Estas etapas son:

1. Newton y la ley de gravitación universal: Esta teoría justifica a qué se debe que

la Tierra atraiga a los cuerpos, por ejemplo, existe una única fuerza, la fuerza de la

gravedad, que rige todos los movimientos astrales y la caída de los cuerpos. A New-

ton también se deben los principios básicos de la Dinámica (rama de la Física que

estudia el efecto de las fuerzas sobre los cuerpos).

2. Joule y el equivalente mecánico del calor: Demostró que el calor no es un fluido

que contenían los cuerpos, como se creía, sino que, al igual que el trabajo, es una

forma de energía, en concreto, una manera de transferir energía de un cuerpo a otro.

3. Faraday y Oersted y la fuerza electromagnética: Dicha fuerza explicaba ambos

tipos de fenómenos, es decir, la electricidad y el magnetismo.

4. Einstein y la teoría de la relatividad: Esta teoría relaciona el tiempo y el espacio

dando lugar a lo que se llama el continuo espacio-tiempo y, como consecuencia,

podemos decir que la masa y la energía son diferentes formas de expresar lo mismo,

es decir, la masa es energía condensada.

5. Planck y la mecánica cuántica: Propuso una dualidad en el comportamiento de la

luz considerada hasta entonces sólo como onda o sólo como partícula. Demostró

que en determinadas condiciones actúa como una partícula y en otras se comporta

como una onda. El proceso inverso, es decir, el asociar una onda a cada partícula en

movimiento fue la base de la hipótesis de De Broglie. Ambas constituyeron los

comienzos de la Mecánica cuántica abandonándose, entonces, los principios de la

Mecánica clásica.

6. A mediados de los años 70 del siglo pasado se estableció un mismo origen para la

fuerza nuclear débil, responsable de algunas desintegraciones, y el electromagnetismo.


TAMadrid11

-Pág.39-



Por otra parte hay que tener en cuenta que la ciencia que nos ocupa, la Física, es un conjunto de muchas ciencias, cada una de las cuales se ocupa de un tipo determinado de fenó-

menos. Dentro de ella hay que distinguir dos partes constituidas por diferentes ramas:

– Física clásica: formada fundamentalmente por la óptica, acústica, mecánica, mag-

netismo, electricidad y termodinámica.

– Física moderna: constituida por la electrónica, mecánica cuántica, termodinámica

estadística, relatividad, física nuclear, física de las partículas, física del estado sólido.

2.RELACIONES DE LA FÍSICA CON LA TECNOLOGÍA YLAS IMPLICACIONES DE AMBAS EN LA SOCIEDAD

El buen estudio y perfecto entendimiento de las leyes de la naturaleza en todos sus cam-

pos ha llevado a un enorme desarrollo tecnológico.

Es obvio que sin el conocimiento de las leyes de la termodinámica no se hubiera inven-

tado la máquina de vapor; al igual que sin un profundo estudio de las leyes de la electrici-dad, todavía estaríamos alumbrándonos con velas.

La relación entre la Física y la tecnología se da en ambos sentidos, porque al igual que

la Física ha ayudado al desarrollo de la tecnología, la necesidad de nuevas tecnologías ha

obligado a un mejor conocimiento de las leyes físicas. Es decir, están íntimamente relacio-

nadas.

El desarrollo de la tecnología ha tenido lugar debido a una serie de necesidades de la

sociedad. A medida que el hombre ha ido progresando, ha creado sociedades más avanza-

das y, en consecuencia, sus necesidades han aumentado. Si comenzamos en las sociedadesmás primitivas, la tecnología era de lo más rústico. Pero si quería mejorar en campos como,

por ejemplo, la agricultura, la ganadería o la pesca necesitaba de herramientas y utensilios

más avanzados. Sin enbargo ese avance tecnológico o esos descubrimientos tecnológicos

eran muy primitivos y, en su mayoría, de forma totalmente accidental.

Al prosperar los conocimientos científicos, también prospera la técnica hasta que llega-

mos a las sociedades de la era moderna en las que la tecnología se apoya totalmente en la

ciencia y en un mejor entendimiento de la naturaleza y sus leyes.

FÍSICA

TAMadrid12

-Pág.40-



En la era moderna, el avance tecnológico es asombroso puesto que el conocimientocientífico es enorme, comparado con épocas anteriores.

Actualmente los cambios en la tecnología se deben fundamentalmente a la necesidad de

aplicar todo conocimiento nuevo a la producción de bienes o mejora de los ya existentes,

siempre íntimamente relacionado con la situación social y económica.

El ajuste entre la productividad, la sociedad y la economía requiere de la creación de

empresas y organismos especiales conocidos como divisiones I+D (Investigación y Des-

arrollo). Consisten fundamentalmente en una base de investigación científica con una serie

de objetivos prácticos y cuyo desarrollo experimental está orientado hacia la producción debienes.

El objetivo fundamental de la Física es capacitarnos para entender y comprender cuá-

les son los componentes fundamentales de la materia y sus interacciones mutuas más sig-

nificativas (gravitacional, electromagnética y nuclear), para poder explicar a través de

éstas los fenómenos naturales observados, tanto a escala macroscópica como microscó-

pica, pues su ámbito de aplicación se extiende desde las vastas profundidades del Cos-

mos cubriendo rangos de magnitud de longitudes de millones de kilómetros, masas del

orden de 1030 kg o más, tiempos de varios miles de millones de años, temperaturas y pre-

siones elevadísimas características de las estrellas y agujeros negros, hasta lo más recón-dito y escondido del átomo y sus componentes básicos con longitudes del orden de 10 -15

metros, masas del orden de 10-31 kg o menos, tiempos del orden de 10-21 segundos (vida

de una partícula elemental) o temperaturas y presiones bajísimas como ocurre en los

espacios intergalácticos. Por ello podríamos considerar la Física como la más fundamen-

tal de todas las ciencias naturales. La Química, ciencia de la naturaleza más próxima a los

contenidos de la Física, trata básicamente de un aspecto particular dentro del conjunto de

los fenómenos naturales: la aplicación de las leyes de la Física a la formación de molé-

culas y a los distintos métodos de transformación de unas sustancias en otras. La Biolo-

gía se apoya en buena parte en la Física y la Química y en los métodos que éstas

proporcionan para explicar a través de sus leyes todos los fenómenos observados en el

mundo de los seres vivos. A la Geología le proporciona un buen número de procedi-

mientos gravimétricos, acústicos, nucleares, mecánicos, etc., para que los geólogos pue-

dan realizar sus investigaciones, etc.

La Física es importante además, no sólo porque proporciona al resto de las Ciencias

de la Naturaleza una amplia base conceptual y una sólida estructura teórica, sino que

desde el punto de vista práctico sus técnicas y métodos tienen una enorme repercusión en

todas las áreas de la investigación aplicada. Enumerar las contribuciones de la Física a las


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-Pág.41-



distintas áreas tecnológicas ocuparía bastantes líneas, baste citar sus contribuciones a laoceanografía, la sismología, la meteorología, la electrónica, la medicina, la arquitectura,etc. Mas no sólo su contribución se aplica al campo científico y tecnológico, sino queincluso contribuye al desarrollo de las humanidades proporcionando métodos y técnicasa la Arqueología, la Paleontología, la Historia, el Arte e incluso el ocio, es decir, haciatodo aquello que nos permite llevar una vida más plena, gratificante y cómoda, o simple-mente, más humana.

En cuanto a su relación con la tecnología todas las ramas de la Física tienen una reper-cusión directa en los distintos entornos tecnológicos. Así han sido espectaculares los cam-

bios tecnológicos producidos en el ámbito de la Electrónica con la construcción de lospoderosos computadores modernos y las tecnologías de la comunicación, la construcciónde centrales nucleares (Física atómica y nuclear), eólicas y solares, los avances en el campode la Óptica (láseres y máseres, microscopía electrónica, etc.) y la Acústica, en la tecnolo-gía de construcción de nuevos materiales y aleaciones (Física del estado sólido), etc. Asi-mismo hay que destacar la gran influencia que ha ejercido la técnica en el desarrollo de laFísica posibilitando la construcción de aparatos más precisos que han posibilitado la reali-zación de experimentos en condiciones hasta ahora inimaginables, como son los experi-mentos desarrollados en vehículos espaciales, o rangos de presiones y temperaturasanteriormente inalcanzables, así como también la toma y procesamiento automático dedatos y el intercambio casi inmediato de datos entre científicos que desarrollan su actividaddentro del mismo campo de investigación, etc. De la unión Física-Tecnología, Tecnología-Física cabe esperar en los próximos años grandes éxitos que permitan un crecimiento auto-sostenido que permitirá a la sociedad unos niveles de vida más desarrollados.

En resumen, casi todas las ramas de la investigación pura y aplicada reciben de la Físi-ca, aparte de un sólido fundamento teórico y cognitivo, potentes técnicas de desarrollo yexperimentación y muy difícilmente podrían avanzar en la consecución de sus objetivos sinel concurso de las modernas técnicas de investigación que la Física proporciona.

2.1. CONSECUENCIAS EN LAS CONDICIONES DE LA VIDAHUMANAY EN EL MEDIO AMBIENTE. VALORACIÓNCRÍTICA

La sociedad no siempre ha aceptado las teorías físicas (recordemos a Copérnico y Gali-leo y sus problemas con la Inquisición), y la tecnología y sus avances tampoco han sido enalgunas ocasiones muy aplaudidos.

FÍSICA

TAMadrid14

-Pág.42-



Algunos descubrimientos físicos, como puede ser la energía nuclear, no han sido siem-pre empleados para el avance de la sociedad con fines pacíficos. Cuando Einstein (consi-derado por muchos como uno de los padres de este tipo de energía) se enteró de las funestasconsecuencias de su teoría, propuso la creación de un código ético universal para preservar el respeto hacia los demás, pero llegó a la conclusión de que todo era inútil. Lo mismo ocu-rrió con otros colaboradores del llamado “proyecto Manhattan”. Dicho proyecto reunía amuchos físicos y técnicos norteamericanos y europeos que trabajaban juntos bajo la direc-ción de Robert Oppenheimer en un laboratorio de Los Álamos con el fin de liberar a Euro-pa de los nazis. Esto se consiguió, pero las consecuencias no fueron todo lo positivas quese deseaba.

Aunque no todos los que se desvincularon de este proyecto lo hicieron por el bien de laHumanidad. Por ejemplo, Edward Teller lo abandonó porque tenía otro tipo de ambiciones:la bomba H.

A. EINSTEIN


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-Pág.43-



La bomba H o la bomba de hidrógeno fue comprobada por primera vez en 1952. Estábasada en reacciones termonucleares. Es una bomba de fusión con un poder de destrucción

mucho más terrible que las de fisión, pues en ellas no hay límite a sus dimensiones. En las

bombas de fisión ordinarias la violencia de la explosión tiende a dispersar la materia fisio-

nable y no puede participar de un modo efectivo en la reacción en cadena. Por otro lado, la

radiactividad es una consecuencia necesaria, más en las armas de fisión que en las de fusión.

Pero la fusión nuclear también puede emplearse con fines pacíficos y la primera vez que

se llevó a cabo de forma no bélica fue en 1957, en laboratorios ingleses y norteamericanos.

En ellos se investigaba el efecto de provocar grandes descargas en tubos llenos de deuterio

(hidrógeno pesado). Si se lograba obtener una temperatura de 106 ºC, se obtenían neutronesdurante la descarga, lo que indicaba que se había conseguido la fusión. Si se logra el per-

feccionamiento en el control de este tipo de reacciones, se conseguirán cantidades ilimita-

das de hidrógeno pesado (por ejemplo, del agua), como combustible de gran energía.

Por otro lado, la aplicación de la energía nuclear en la medicina ha ayudado en muchos

casos de cáncer por aplicación de radiaciones terapéuticas.

Tanto para la investigación biológica o médica, como para establecer unas normas de

seguridad, es de gran interés el concepto de “dosis de radiación”. El cuerpo humano, como

cualquier otro organismo vivo, no puede recibir una dosis ilimitada de radiación porque sepueden producir lesiones irreversibles, por ejemplo, leucemia, cáncer de cualquier otro tipo,

tumores óseos. También existe el peligro de producir efectos genéticos perjudiciales, debi-

do a un aumento en el ritmo de evolución de las células en presencia de la radiación.

El máximo contenido en el cuerpo de, por ejemplo, 90Sr (isótopo radiactivo del estron-

cio) que se permite, es a lo sumo de 1 µC (microcurie). Se llama 1 curie (1 C) a la canti-

dad de sustancia radiactiva cualquiera que experimenta 3,7·1010 desintegraciones por

segundo; es el número de desintegraciones que ocurren en una muestra de radio (Ra) puro

de 1 gramo.

Estos, son sólo algunos de los usos de la energía nuclear, cuyas promesas futuras expre-

san del mejor modo el significado de la ciencia: descubrir los secretos de la naturaleza y

aplicar este conocimiento a problemas de interés científico y necesidades humanas que pue-

den beneficiar a la humanidad.

FÍSICA

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-Pág.44-



ELECTROIMANES DE CUATRO POLOS

Por otra parte, también debemos considerar que, por ejemplo, el desarrollo de la elec-

trónica ha hecho que nuestra sociedad avance en conceptos como la Informática.

Hablábamos antes de la repercusión de la Física en la sociedad, pero nos queda un tema

importante, no falto de polémica, por discutir: ¿Qué pasa con el medio ambiente? ¿Por qué

si la Física se basa en el estudio de la naturaleza puede afectarla, a veces, tan negativa-

mente?

Todos hemos oído hablar de la contaminación, pero no existe sólo la contaminación

atmosférica, sino que hay otros tipos consecuencia directa del avance de la Física y, por

tanto, de la tecnología.


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Cabe destacar las siguientes:

– Acústica: debida a los altos índices de ruido producido en las ciudades.

– Electromagnética: las líneas de alta tensión y los aparatos electrónicos producen

campos eléctricos y magnéticos que afectan a la salud humana.

– Basura espacial: en la órbita terrestre existen muchos restos de cohetes y satélites.

– Térmica: debido a la disipación del calor generado en nuestro planeta se ven afecta-

dos diversos procesos naturales.

– Lumínica: aparece como consecuencia de la gran cantidad de luz necesaria para el

alumbrado de las ciudades y que puede afectar al ecosistema de determinadas especies.

Resumiendo, podríamos decir que siempre existirá conflicto entre el progreso tecnoló-

gico y social consecuencia directa del avance de la Física.

3.INFLUENCIAS MUTUAS ENTRE LA SOCIEDAD, LAFÍSICA Y LA TECNOLOGÍA. VALORACIÓN

CRÍTICA

Ya hemos visto que la sociedad tiene una serie de necesidades que se han de cubrir. La

tecnología pone en práctica métodos que nos permiten vivir cada vez mejor y, para ello, se

fundamenta en una base teórica aportada por la Física y el estudio de ésta sobre la natura-

leza.

Es cierto que para mejorar las sociedades y la calidad de vida, los gobiernos buscan cada

vez más y mejores tecnologías. Para ello requieren una buena economía. Consecuentemen-

te habrá diferencias importantes entre la forma de vivir de unos países y de otros. Aquí se

presenta la primera diferencia importante entre ellos: el llamado primer mundo o mundo

desarrollado y el tercer mundo o mundo subdesarrollado. Con esto desaparece uno de los

principios básicos que pretendía la Ilustración del siglo XVIII: un mundo más igualitario,

más libre y sin diferencias de clases tan grandes.

En el tercer mundo, el desarrollo de la ciencia y la tecnología es prácticamente inexis-

tente y ello repercute en su sociedad. Si nos paramos a mirar siquiera la agricultura, vemos

que los utensilios empleados poco tienen que ver con los métodos del primer mundo. No

existen grandes plantas industriales ni grandes torres petrolíferas. Incluso algo tan simple

como la electricidad es prácticamente nula.

FÍSICA

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MOLINOS DE VIENTO (ENERGÍA EÓLICA)

En cambio, en el mundo desarrollado, lo que imperan son las nuevas fuentes de energía,la conquista del espacio, las telecomunicaciones, por citar sólo algunos ejemplos. Los cien-tíficos tienen todos los medios necesarios para desarrollar sus investigaciones, que vienendeterminadas por la necesidad de nuevas tecnologías que hagan unas sociedades cada vez

más modernas y avanzadas.

Este desarrollo tecnológico es el responsable del aumento del poder humano, del poder de unos gobiernos sobre otros. Pero hay que tener en cuenta que es necesario que, a la vezque aumenta ese poder, también debe aumentar la responsabilidad y el respeto a la natura-leza. Si es ella la que nos ofrece, por ejemplo, las fuentes de energía, debemos evitar queéstas se agoten. No podemos extraer todo lo que queramos de ella sin cuidarla. Por eso,actualmente están muy de moda los estudios sobre energías renovables y no contaminantes,el reciclaje, etc.


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Hay una serie de normas internacionales para aplacar o, por lo menos, intentarlo, losefectos negativos de la ciencia y la tecnología sobre la naturaleza, aunque no todos las res-

petan.

Si agotamos o no respetamos nuestra “fuente de alimentación” técnico-científica, llega-

rá un momento en que se acabe. Es decir, todo lo que afecta a la naturaleza nos afecta tam-

bién a nosotros y a nuestra sociedad. Y en lugar de aumentar la calidad de vida, será cada

vez peor.

Otro de los muchos problemas actuales es el aumento de residuos sólidos producidos en

nuestra sociedad moderna. Tanto en las ciudades como en las industrias se generan grancantidad de este tipo de residuos y la cuestión está en su almacenamiento. En algunos casos

se emplean grandes vertederos situados, casi siempre, a las afueras de las urbes pero pue-

den provocar, y de hecho lo hacen, la contaminación de aguas subterráneas y malos olores

debidos a los procesos de descomposición. En otros casos existen plantas incineradoras,

pero tampoco son la solución puesto que emiten a la atmósfera gases tóxicos e incluso can-

cerígenos.

El avance social requiere, por tanto, de nuevas tecnologías y un mejor estudio de las

leyes físicas que nos permiten evolucionar sin atentar contra la naturaleza y el medio

ambiente y, en consecuencia, contra nuestra sociedad.

De unos años a esta parte, se vienen celebrando anualmente congresos internacionales

en los que se pretende llegar a acuerdos y determinaciones acerca, por ejemplo, del control

de emisiones de gases tóxicos a la atmósfera, el agujero de la capa de ozono, energías reno-

vables no contaminantes, etc... En dichos congresos se dictan una serie de normas que

deben aceptarse a nivel mundial para cuidar la naturaleza y respetar al máximo el medio

ambiente. En algunos de ellos se estudia cómo poder ayudar a sociedades menos desarro-

lladas. De este modo, algunas sociedades del primer mundo apoyan económica, tecnológi-

ca y científicamente a otros que no tienen los medios para ello, pero que necesitan igual que

todos avanzar socialmente y desarrollarse. Así se intenta que las diferencias entre unos yotros no sean tan enormes. En la mayoría de los casos, las sociedades subdesarrolladas tie-

nen grandes materias primas, pero no poseen la tecnología necesaria para explotarlas. Lo

único que necesitan es que las grandes sociedades, las sociedades más avanzadas, les ayu-

den a progresar.

FÍSICA

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RESUMEN

– Física es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden

a modificar su estado o su movimiento sin alterar su naturaleza.

– El avance de esta ciencia ha conseguido que la tecnología evolucione y, a su vez, la

necesidad del desarrollo tecnológico ha obligado a un mayor entendimiento y cono-

cimiento de las leyes de la Física.

– Todo ello ha afectado positiva y negativamente en la sociedad.

– El medio ambiente es el que más ha sufrido estos efectos, sobre todo como conse-

cuencia de los diferentes tipos de contaminación.

– El avance de nuestra sociedad está condicionado al avance de la ciencia y de la tec-

nología.

– En la actualidad se buscan energías renovables no contaminantes del medio ambiente.

– El desarrollo del tercer mundo depende de la ayuda que le puedan prestar las socie-

dades más avanzadas.

– Existen congresos internacionales en los que se determinan normas para cuidar el

medio ambiente y la naturaleza.


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1. La Física se puede considerar:

A. Una ciencia pura y sin relación con otras.

B. Una ciencia obtenida por mezcla de varias ciencias como la Biología, la Química, etc.

C. Una ciencia en sí misma que se relaciona con otras y que intenta facilitarnos la vida.

D. No es una ciencia.

2. La Física tiene sus comienzos en:

A. La Prehistoria. B. La antigua Grecia.

C. La Edad Media. D. La actualidad.

3. El estudio de las leyes de la naturaleza:

A. Ha ayudado al hombre en sus inventos.

B. Favorece el desarrollo de la tecnología.

C. Ha evolucionado con el tiempo.

D. Todas son ciertas.

4. El desarrollo tecnológico:

A. Favorece siempre a la sociedad.

B. Desfavorece siempre a la sociedad.

C. Según los casos, es positivo o negativo para la sociedad.

D. No está relacionado con la sociedad.

5. El medio ambiente:

A. No se ve afectado por el desarrollo tecnológico.

B. Sólo se considera como la parte de la naturaleza que se desarrolla en la superficie terrestre.

C. No tiene relación alguna con la sociedad.

D. Todas son falsas.

FÍSICA

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6. Los aviones supersónicos, los teléfonos móviles, el CD-ROM, el láser:

A. Son consecuencia de un mejor conocimiento de la Física.

B. Son consecuencia del desarrollo social.

C. No afectan al medio ambiente.

D. Se consideran contaminantes de tipo acústico.

7. Indica la respuesta correcta:

A. Los residuos procedentes de la industria no afectan al medio ambiente.

B. Los residuos procedentes de la industria se consideran basura espacial.

C. La industria debería desarrollar procesos eficientes que no produzcan residuos.

D. Todas son verdaderas.

8. La fauna y la flora terrestres:

A. No se alteran por la contaminación.

B. Sólo se altera la fauna pero no la flora.

C. Sólo se altera la flora pero no la fauna.

D. Se alteran las dos.

9. Indica la afirmación correcta:

A. La energía nuclear no tiene aplicaciones pacíficas.

B. La energía nuclear no afecta ni al medio ambiente ni a la sociedad.

C. La energía nuclear produce residuos contaminantes.

D. Todas son ciertas.

10. La llamada “era atómica”:

A. Es un tipo de contaminante térmico.

B. Comenzó con el proyecto Manhattan.

C. Comenzó con el estudio de las leyes de la naturaleza en la antigua Grecia.

D. Todas son falsas.


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-Pág.51-




FÍSICA

TAMadrid24

19. C

10. D

11. C

12. B

13. D

14. C

15. D

16. A

17. C

18. D

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OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. DINÁMICA DE TRASLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. LOS PRINCIPIOS DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. PRINCIPIO DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE D´ALEMBERT . . . . . . . . . . . . . . 61.3. LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL . . . . . . . . . 91.5. MOMENTO ANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR . . . . . . 11

2. LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. UNA REVOLUCIÓNCIENTÍFICA QUE MODIFICÓ LA VISIÓN DEL MUNDO . . . . . . . . . . . . . . 122.1. LEYES DE KEPLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN . . . . . . 153.1. MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. DE LAS LEYES DE KEPLER A LA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. EL TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1. ENERGÍA POTENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. BASES CONCEPTUALES PARA EL ESTUDIODE LAS INTERACCIONES A DISTANCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1. EL CAMPO GRAVITATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2. MAGNITUDES FÍSICAS QUE LO CARACTERIZAN: INTENSIDADY POTENCIAL GRAVITATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6. APLICACIONES AL ESTUDIO DE LA GRAVEDAD TERRESTRE . . . . . . 23

7. APLICACIONES AL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE PLANETASY SATÉLITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.1. VELOCIDAD DE ESCAPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Í N D I C E

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U.D. 3.- I NTERACCIÓN GRAVITATORIA




• Conocer la dinámica de rotación y de traslación.

• Definir lo que es un campo gravitatorio y qué magnitudes lo caracterizan.

• Aplicar lo que son las fuerzas conservativas.

• Distinguir entre potencial y energía potencial del campo gravitatorio.

• Entender el movimiento de los planetas y satélites.

• Utilizar los conceptos aprendidos a la resolución de problemas.

O B J E T I V O S

-Pág.54-

FÍSICA



D esde antes de Cristo el hombre se ha preocupado del estudio del universo. La

escuela pitagórica y Aristóteles, por nombrar algunos, intentaron explicar el

movimiento de los planetas mediante un modelo geocéntrico según el cual la Tierra

ocupaba el centro del universo y aquellos y el Sol giraban en torno a nuestro planeta.

Posteriormente, gracias a los estudios de Copérnico y Galileo, se cambia este

modelo a un sistema heliocéntrico en el que los planetas, incluida la Tierra, giran

alrededor del Sol.

Pero este estudio acerca del movimiento planetario no concluyó ahí. Son muchos los

que, desde entonces, no han cesado de observar el universo y establecer hipótesis y

teorías.


-Pág.55-




DINÁMICADE TRASLACIÓN

DINÁMICADE ROTACIÓN

CAMPOGRAVITATORIO

LEYES DENEWTON

PRINCIPIO DED’ALEMBERT

SISTEMAS DEPARTÍCULAS

MOVIMIENTOTRASLACIONAL

MOMENTOLINEAL

MOMENTOANGULAR

MOMENTO DEUNA FUERZA

MOMENTOGRAVITATORIO

MOMENTOANGULAR

INTENSIDADDEL CAMPO

POTENCIALGRAVITATORIO

ENERGÍAPOTENCIAL

ECUACIÓNFUNDAMENTAL

MAPA CONCEPTUAL

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FÍSICA



1. DINÁMICA DE TRASLACIÓN

La Dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las causas del movimiento y la

forma en que unos cuerpos influyen en el movimiento de otros.

La investigación de las causas del movimiento se planteó desde muy antiguo como tema

central de la llamada “filosofía natural”. Sin embargo, hubo que aguardar hasta el siglo

XVII, época de Galileo y de Newton, para dar el primer paso decisivo en la solución del

problema. Era evidente que se necesitaba una influencia externa para mantener un cuerpo

en movimiento. A esta influencia se le dio el nombre de fuerza, concepto físico que hoy, de

forma precisa, definimos como la causa capaz de producir aceleración o deformación en los

cuerpos.

Pero el concepto de fuerza no es suficiente para explicar los movimientos. Sabemos que

en el movimiento de los cuerpos influye también de forma decisiva una característica propia

que denominamos masa inercial. Expresa de forma cuantitativa la inercia o grado de

dificultad de los cuerpos al moverse.

1.1. LOS PRINCIPIOS DE NEWTON

A Isaac Newton le corresponde el mérito de incluir los conceptos de fuerza y masa en

la Mecánica, sentando firmemente con sus tres leyes fundamentales del movimiento los

pilares de la Dinámica. Estas leyes sólo son válidas para sistemas inerciales, que son

aquellos sistemas de referencia que se encuentran en reposo o movimiento rectilíneo y

uniforme, y en ellos sólo las fuerzas reales producen aceleración.

Veamos las leyes de Newton:

– Primera ley de Newton o principio de inercia: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna

fuerza, o la resultante de las fuerzas aplicadas sobre él es nula, permanecerá en su

estado de reposo inicial o seguirá moviéndose con movimiento rectilíneo y uniforme”.

– Segunda ley de Newton o principio fundamental: “La fuerza neta que actúa sobre

un cuerpo es directamente proporcional a la masa y a la aceleración con que se

mueve”. Matemáticamente:r

r

F m a= u-


TAMadrid5

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– Tercera ley de Newton o principio de acción y reacción: “Cuando un cuerpoejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de

sentido contrario”. Es decir:

1.2. PRINCIPIO DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE D´ALEMBERT

Las leyes de Newton no se cumplen para sistemas no inerciales. Un sistema no inercial

es un sistema de referencia que se desplaza con aceleración respecto a un sistema inercial.

En estos sistemas sólo se cumplen las leyes de Newton si se introducen unas fuerzas

ficticias llamadas fuerzas de inercia. En ellos se miden fuerzas aunque los cuerpos no

tengan aceleración. Esa fuerza llamada fuerza de inercia vale F= –m · as, donde m es la

masa del cuerpo, y as

es la aceleración del sistema no inercial que no tiene por que ser igual

que la de la masa.

Para poder aplicar las leyes de Newton a este tipo de sistemas no inerciales, D´Alembert

introdujo unas nuevas condiciones de equilibrio teniendo en cuenta que, siempre que un

cuerpo se encuentre en un sistema acelerado, con aceleración as, este sufre una fuerza igual

y de sentido contrario de valor Fl

= –m · as, es decir, “la suma de las fuerzas que actúan

sobre cualquier sistema, incluidas las inerciales, ha de ser igual a cero”. Matemáticamente:

1.3. LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Un sistema de partículas es un conjunto de partículas perfectamente delimitado. Cada

una de esas partículas puede considerarse puntual y con alguna característica común quepermite definir el sistema. La posición y la velocidad de cada una influye en las demás.

Los sistemas de partículas se clasifican en:

– Discretos: formados por un número finito de partículas localizadas. Se puede

establecer la masa y la velocidad de cada una de las partículas que lo forman.

– Continuos: no pueden delimitarse las partículas que los forman y además, el

movimiento de las partículas depende de los enlaces que existen en ellas.

En ambos casos el sistema se describe mediante el estudio de algunas magnitudes

globales.

( – ) ( )r

r

r r

F m a F Fs l

u = � + =- -0 0

r r

F F1 2 2 1A A= –

FÍSICA

TAMadrid6

-Pág.58-



El centro de masas es un punto que se comporta como una partícula en la que seconcentra toda la masa del sistema. Si suponemos un sistema de referencia formado por m1,

m2, ..., m

ipartículas, cada una de ellas se encuentra en un punto del espacio que viene

determinado por su vector de posición r1, r2, ..., ri.

Definimos entonces el centro de masas de un sistema de partículas como un punto G tal

que su vector de posición rG cumple:

donde es la suma de todas las masas.

El vector de posición de G tiene por coordenadas r G (xG, yG, zG) que se calculan a partir

de las coordenadas de cada partícula, aplicando las siguientes ecuaciones:

Salvo en algunas excepciones, cuando el sistema de partículas se mueve, también lo

hace el centro de masas y, en ese caso, su velocidad viene dada por la expresión:

y la aceleración del centro de masas será:

Si seguimos considerando este sistema de partículas, cada una de ellas está sometida a

fuerzas ejercidas por las demás. A estas fuerzas se les llama fuerzas internas ( ). También

están sometidas a fuerzas exteriores o fuerzas del exterior del sistema, llamadas fuerzasexternas ( ). Si aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

tenemos:

Si tenemos en cuenta el principio de acción y reacción al sistema de partículas, veremos

que las fuerzas internas se anulan dos a dos porque son iguales y de sentido contrario, con

lo que = 0, y por tanto:

r r

r

r

r

F F m a F M ai iext

i i iext

G- - - -= = u � = u

r

Fiint-

r r r

r

F F F m ai i iext

i i= + = uint

r

Fi

ext

r

Fi

int

r

r

am a

MGi i

=

u-

r

r

vm v

MGi i

=

u-

xm x

My

m y

Mz

m z

MGi i

Gi i

Gi i

=

u=

u=

u- - -; ;

M mi= -

M r m r rm r

MG i i Gi iu = u � =

u--

r r

r

U.D. 3.- INTER ACCI ÓN GRAVITATORI A

TAMadrid7

-Pág.59-



Esta ecuación significa que cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas,dicho sistema se comporta de tal forma que el centro de masa se mueve como si toda la

masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él.

1.4. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se define la cantidad de movimiento o momento lineal de un cuerpo de masa m dotado

de velocidad v, como el producto de su masa por la velocidad. Dicha magnitud se representa

por “p”:

En el SI se mide en kg·m/s. Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y

sentido que el vector velocidad.

Si la masa del cuerpo varía, también varía la cantidad de movimiento, aunque no varíe

la velocidad de éste.

Supongamos que sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza F durante un tiempo 6t.

Dicha fuerza provoca un cambio en la velocidad del cuerpo, comunicándole una aceleración

a. Si escribimos la ecuación fundamental de la Dinámica:

y la relacionamos con la variación de la velocidad a través de la aceleración:

sustituimos esta ecuación en la anterior y operamos:

En la ecuación anterior, , es la variación de la cantidad de movimiento,

siendo .

Por otra parte, el término , se llama impulso, y en el SI se mide en N·m.

También es un vector.

En consecuencia:

r

I p= 6

r r

F t I u =6

6v v v v v final inicial f = < = <r r r r

0

m v pu =6 6

r r

F mv

tF t m v= u � u = u

66

6 6

r

av

t=

66

r

r

F m a= u

r r

p m v= u

FÍSICA

TAMadrid8

-Pág.60-



Es decir, el impulso de una fuerza que actúa sobre una partícula se invierte en variar sucantidad de movimiento o, lo que es lo mismo, el impulso es igual a la variación de la

cantidad de movimiento.

En el caso de un sistema de partículas, si consideramos la velocidad del centro de masas:

La cantidad de movimiento de un sistema de partículas se obtiene como la suma de las

cantidades de movimiento de cada una de ellas:

El momento lineal de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría

toda la masa concentrada en el centro de masas.

1.4.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

Supongamos un sistema aislado, es decir, un sistema sobre el que no actúa ninguna

fuerza exterior:

Vimos antes que en un sistema de partículas, las fuerzas internas se anulaban por ser

iguales dos a dos y de sentido contrario, por lo que:

Teniendo en cuenta la relación entre la resultante de fuerzas, el impulso y la cantidad de

movimiento:

y como la variación (6) implica estado final menos estado inicial:

Esto significa que en un sistema aislado, se conserva la cantidad de movimiento

(p = constante).

6 p p p p p final inicial final inicial= < = � =

r r r r

0

r r

F I p= � = =0 06

r

FT aislado

( ) = 0

r r r r

F F F FT extaislado

= +( ) =int int

r

r r

K

r r r

K

r r r

P p p p m v m v m v m v M vn n n i i T G= + + + = + + + = =-1 2 1 1 2 2

r

r

r r

vm v

MM v m vG

i i

T T G i i= � u = u

--


TAMadrid9

......

-Pág.61-



1.5. MOMENTO ANGULAR O CINÉTICOLlamamos momento angular o cinético L de una partícula de masa m y velocidad v con

respecto a un punto, al momento de su cantidad de movimiento:

donde r es el vector de posición de la partícula y “ ” representa el producto vectorial.

El momento angular es un vector cuyo módulo viene dado por la expresión:

siendo e el ángulo formado por r y v. Su dirección es perpendicular al plano que forman r

y v, y su sentido es el de avance de un tornillo que gire de r a vpor el camino más corto (ver

figura).

REGLA DEL TORNILLO

En el caso de un sistema de partículas, el momento angular se calcula como la suma de

los momentos angulares de cada una de ellas:

r r r

K

r

r r r r

K

r r

r

L L L L r p r p r p Li i i i= + + + = × + × + × = -1 2 1 1 2 2

L r m v= u u usen e

×

r

r

L r mv= ×

FÍSICA

TAMadrid10

... ...

-Pág.62-



1.5.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Si en la expresión de definición del momento angular:

derivamos con respecto al tiempo y desarrollamos la derivada del producto:

Tendremos en cuenta que:

• , con lo que al sustituir en el primer sumando de la ecuación anterior, nos

queda . Este producto es 0 porque un vector forma 0º consigo mismo (sen 0º = 0).

• En el segundo sumando de la expresión anterior, , porque m es una

constante (la masa de la partícula).

• En la ecuación anterior .

Sustituyendo todo en la ecuación principal:

Es decir, la variación del momento angular con respecto al tiempo, es igual al momento

(M) de las fuerzas aplicadas sobre las partículas.

Por tanto, en un sistema aislado, sin fuerzas exteriores que actúen sobre el sistema, el

momento de dichas fuerzas (M

) será nulo:

De aquí se deduce el enunciado del teorema de conservación del momento angular o

cinético: “para una partícula o sistema de partículas aislado, el momento angular se

conserva”.

r r

r r

F M

dL

dt M L constante

ext - = � =

= = � =

0 0

0

dL

dt r m

dv

dt r m a r F M= × u = × u = × =

r r r r

r r

dv

dt a=

r

d mv

dt m

dv

dt

( )= u

r

v mv×

dr

dt v=

r

dL

dt

d

dt r mv

dr

dt mv r

d mv

dt = ×( ) = × + ×

( )r r

r

r

L r mv= ×


TAMadrid11

-Pág.63-



2. LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.UNA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA QUE MODIFICÓLA VISIÓN DEL MUNDO

Los primeros estudios científicos del movimiento de los planetas se remontan a los

griegos, que consideraban que la Tierra era el centro del sistema solar (teoría geocéntrica)

y que los planetas y el Sol giraban alrededor de ella. Todos los cuerpos celestes se

encontraban ordenados con respecto a su distancia a la Tierra, de menor a mayor distancia:

la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.

Ptolomeo, en el siglo II, explicó el movimiento de los planetas teniendo en cuenta la

teoría geocéntrica, suponiendo que los planetas giraban alrededor de la Tierra en órbitas

circulares, estando, a su vez, éstos describiendo circunferencias que tenían como centro la

órbita circular anteriormente dicha. A la órbita que describe cada planeta alrededor de la

Tierra se la denominó deferente o eclíptica, siendo la otra denominada epiciclo. Al

movimiento resultante se le llamó epicicloidal.

Esta teoría se mantuvo hasta que Copérnico (siglos XV-XVI) dio su teoría heliocéntrica,

considerando el Sol como centro del sistema solar y a todos los planetas, incluida la Tierra,girando alrededor de él. Los planetas conocidos por Copérnico, ordenados promediando sus

distancias con respecto al Sol eran: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno.

Esta teoría está en vigencia actualmente y ya había sido descubierta por Aristarco en el siglo

III a.C.

2.1. LEYES DE KEPLER

Basándose en la teoría heliocéntrica de Copérnico y en las observaciones experi-

mentales de Ticho Brahe, Johannes Kepler (1571-1630) obtuvo las leyes que rigen el mo-

vimiento de los planetas:

1ª. El Sol ocupa el centro del sistema solar y todos los planetas giran alrededor de él

en órbitas elípticas, ocupando el Sol uno de los focos.

2ª. El área barrida por el radio vector que une el Sol con cada uno de los planetas en

su movimiento de traslación, es la misma en tiempos iguales, es decir, la velocidad

areolar es constante.

FÍSICA

TAMadrid12

-Pág.64-



SEGUNDA LEY DE KEPLER

3ª. Los cuadrados de los tiempos que tarda cada planeta en dar una vuelta alrededor

del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores; siendo “T” el

periodo de revolución, “k” la constante de proporcionalidad y “a” el semieje mayor

de la elipse:

T2 = k · a3

2.2. LEY DE NEWTON

Isaac Newton (1642-1727), partiendo de los postulados de Kepler y tras simples

operaciones matemáticas, obtuvo la ley de gravitación universal.

La interacción gravitacional está regida por esta ley de Newton, cuyo enunciado es el

siguiente: “La interacción entre dos partículas de masas m1 y m2, situadas a una distancia r,

es radial, directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia que las separa”. Su formulación matemática es:

donde G es la constante de proporcionalidad que recibe el nombre de constante de

gravitación; F y ur son vectores, con lo que aparecerán en negrita, porque de esta forma, y

en adelante, representaremos las magnitudes vectoriales.

r

r

F Gm m

ru

r

=

<

u1 2

2

U.D. 3.- INTER ACCIÓ N GRAVITATORIA

TAMadrid13

-Pág.65-



El vector ur es el vector unitario (es decir, de módulo 1), cuyo sentido es de la masa quetomamos como referencia (m1 por ejemplo), a la m2 (ver figura anterior). La fuerza que

actúa sobre el cuerpo 2 se dirigirá hacia el 1, puesto que la masa 2 es atraída por la masa 1,

con lo que llevará sentido contrario a ur . De ahí que sea necesario introducir el signo menos

en la expresión vectorial de la fuerza. Dicho signo muestra que la fuerza es siempre

atractiva, ya que las masas son positivas en todos los casos.

La fuerza de atracción sobre una masa m (que suponemos situada en el origen)

producida por varias masas m1, m2, …, mn, colocadas a distancias r 1, r 2, …, r n, vale:

Esta suma vectorial resulta, en general, de cálculo complicado.

Cuando se considera una distribución continua de masa, se descompone M en masas

elementales dM y se aplica la ley de Newton del modo siguiente, en donde la integral debe

entenderse como suma vectorial:

2.2.1. LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La constante G se denomina constante de gravitación universal y su medida constituyó

una empresa de gran envergadura debido a su pequeño valor. Este valor se determinó

mediante la balanza de torsión de Cavendish (1731-1810), cuyo esquema es el siguiente:

Cuando las esferas grandes de plomo m1 y m1́ se colocan próximas a las pequeñas m2

y m2́, su atracción gravitatoria causa una torsión en el hilo de suspensión en una cantidad

apreciable. Entonces pueden aplicarse fuerzas externas para contrarrestarla y por lo tanto

medir las fuerzas gravitatorias.

m1

m2

m2́

m1´

r

r

F G mdM

r

ur

= < u u

0 2

rr

F G m mr

ui

ii

n

ri= < u u

=

- 21

FÍSICA

TAMadrid14

-Pág.66-



El valor de G, que sólo puede determinarse experimentalmente, es:

G = 6,67 · 10–11 N · m2/kg2

No debe confundirse con g, puesto que la primera es un escalar y g es un vector y no

es ni universal ni constante.

Este valor tan pequeño frente a la constante de la ley de Coulomb (K = 9 · 10 9 N · m2/C2),

hace que las fuerzas gravitatorias sólo tengan importancia cuando uno de los cuerpos sea de

gran masa, como los cuerpos celestes en general. La fuerza eléctrica es del orden de 1040

veces mayor que la fuerza de atracción gravitatoria. Esta fuerza es, pues, despreciable frente

a la atracción eléctrica entre ambas partículas, por lo que la interacción gravitatoria no setiene en cuenta en absoluto en la mecánica de átomos y moléculas.

3.ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICADE ROTACIÓN

La fuerza total que actúa sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas que actúan

sobre cada una de las partículas que lo constituyen. Pero de todas estas fuerzas, la única que

tiene efecto en relación con el giro del cuerpo es la componente perpendicular al eje de giro.

Vamos a considerar una masa m con movimiento uniformemente acelerado que gira en

un plano, alrededor de un eje perpendicular a él, por el efecto del momento producido por

una fuerza que actúa sobre ella y que es perpendicular al eje. Dicho momento con respecto

al eje es un vector que se calcula como el producto vectorial:

M= r� F

El vector M es perpendicular a r y F, su sentido es el sentido de giro de la partícula y

su módulo es:

M = r · F, ya que sen_ = 1


TAMadrid15

-Pág.67-



Teniendo en cuenta que F

= m · a

, podemos escribir:

M = r · m · a

Como la relación entre aceleración lineal (a) y angular (_) es:

a = r · _

tendremos: M = r · m · r · _ = m · r 2 · _

El producto mr 2 se llama momento de inercia (I), es decir, I = m · r 2, con lo que:

M = I · _

Y en forma vectorial: M

= I · (ecuación fundamental de la dinámica de rotación).

El momento de una fuerza indica cómo varía la rotación de un cuerpo.

Ejemplo:

Sobre una rueda de 0,72 m de radio y momento de inercia I = 48 kg·m2, se aplica

tangencialmente una fuerza de 10 kp en su periferia. Calcular: a) la aceleración angular.

b) La velocidad angular a los 4 segundos si partió del reposo. c) El número de vueltas que

efectúa en los 4 segundos. Dato: 1 kilopondio (kp) = 9,8 newton (N).

a) Teniendo en cuenta las dos definiciones de momento de una fuerza:

igualamos y despejamos el valor de _ :

b) La ecuación que relaciona la velocidad angular (t) con la aceleración angular en un

movimiento acelerado es:

Si parte del reposo to (velocidad angular inicial) es cero y entonces:

c) Para calcular el nº de vueltas, calculamos primero el espacio recorrido en el

movimiento de rotación, a partir de la ecuación correspondiente:

q t _ _/

= u + u u = u u = u u = u =o t t t rad vuelta

radianesvueltas

1

2

1

2

1

21 47 4 11 76

1

21 87

2 2 2, , ,

t _= u = u =trad

ss

rad

s1 47 4 5 882, ,

t t _= +

uo t

r F I r F

I

m kpN

kp

kg mrad su = u � =

u=

u u

u=_ _

0 72 10 9 8

481 472

2, ,

, /

M I = u _ M r F= u

FÍSICA

TAMadrid16

-Pág.68-



3.1. MOMENTO ANGULAR O CINÉTICOUn sólido rígido es un sistema de partículas en el que las distancias entre ellas

permanecen constantes. Si el sólido rígido tiene masa M, cada una de las partículas que lo

forman tendrán de masa mi, cumpliéndose:

Consideremos que cada una de ellas gira alrededor de un eje con un radio ri

y una

velocidad vi. Su momento angular con respecto al centro de su trayectoria (un punto del eje)

es un vector que se obtiene:

Li= r

i� miv

i

cuya dirección es perpendicular a r y v, su sentido es el de giro.

Su módulo vale:

L i = r i · mi · vi, ya que r i y mi vi son perpendiculares

Teniendo en cuenta que en el movimiento circular vi = t · r i, sustituimos en la ecuación

anterior y obtenemos:

L i = r i2 · mi · t

Si tomamos el sólido rígido, su momento de inercia es:

3.1.1. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO

Al derivar la expresión anterior con respecto al tiempo y considerando que I es

constante:

y como ; tendremos . Si . Es

decir, en el sólido rígido L 1 = L

2 = L 3 = .... = constante.

“Si el momento de las fuerzas exteriores aplicadas al sólido es nulo (M= 0), el momento

angular (L ) permanece constante”.

r r

MdL

dt L constante= � = � =0 0

dL

dt I M= u =

rr

_d

dt

t_=

r

dL

dt

d I

dt I

d

dt = = u

( )t t

I m r L L r m I i i i i i

= u = = u u = u u- --2 2, por tanto, ; y vectorialmente =r r

r rr

r

t t L I t

M mi

= -


TAMadrid17

-Pág.69-



3.2. DE LAS LEYES DE KEPLER A LA LEY DE NEWTON

Basándose en las leyes de Kepler, Newton demostró su famosa ley de gravitación

universal. Para ello admitió que la órbita descrita por la Tierra alrededor del Sol podía

considerarse aproximadamente como una circunferencia.

Consideremos el siguiente esquema:

Sea m la masa del planeta que se mueve siguiendo su órbita alrededor del Sol.

El área dS barrida por el vector R en el tiempo dt es:

siendo _ = 90º. Su velocidad areolar:

(por la segunda ley de Kepler)

Como , se deduce al sustituir:

El radio R es constante; esto implica que la velocidad angular t, también debe serlo y,

en consecuencia, el movimiento del planeta es, según esta aproximación, un movimiento

circular uniforme.

dS

dt R R R constante= u u u = u u =

1

2

1

22

t t

v R= t

dS

dt R v constante= u u =

1

2

dS R v dt = u u u u

1

2sen _

TIERRA

R

V

F´

F

SOL

FÍSICA

TAMadrid18

-Pág.70-



En todo momento, dicho planeta está sometido a una fuerza centrípeta por parte del Sol:

Por la tercera ley de Kepler, ; valor que sustituido en la anterior nos da:

siendo constante.

Esta es la fuerza con que el Sol atrae al planeta.

Pero, por la ley de la acción y reacción, el planeta a su vez, atraerá al Sol con una fuerza

igual en módulo de sentido contrario, F´; es decir:

siendo M la masa del Sol y R el radio de la órbita del planeta.

Igualando las dos expresiones resulta:

donde vemos que las constantes k1 y k2 son proporcionales, respectivamente, a las masas

de ambos astros:

De donde y . Sustituyendo estos valores en la ecuación respectivade F o de F´ se obtiene:

fórmula que expresa la ley de gravitación universal y que se refiere a la fuerza entre

partículas.

F Gm M

R= u

u2

k Gm2 =k GM1=

k

M

k

mG

1 2= =

k m

Rk

M

Rk m k M1 2 2 2 1 2u = u � u = u

F k M

Rv = u2 2

k k 1

24=

/

Fk

m

Rk

m

R= u = u

4 2

2 1 2

/

T k R2 3

= u

F m a mv

Rm R m R

T n= u = u = u u = u u £

¤¥¦

22

22

t/


TAMadrid19

-Pág.71-



4. EL TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS

Si una partícula sobre la que actúan una o más fuerzas regresa a su posición inicial, en

un viaje cíclico, con igual energía cinética (Ec = 1/2

· mv2) que la que tenía inicialmente,

decimos que las fuerzas actuantes son conservativas. Si regresa a su posición inicial con

más Ec o con menos que la que tenía inicialmente, no se ha conservado la capacidad para

hacer trabajo y por lo menos una de las fuerzas que están actuando se puede calificar de no

conservativa.

Podemos definir una fuerza conservativa desde el punto de vista del trabajo (W) hecho

por la fuerza sobre la partícula: “una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por dicha

fuerza sobre la partícula que se mueve siguiendo un circuito completo cualquiera es cero”.

Si tenemos en cuenta que el W = 6Ec (teorema de las fuerzas vivas o del trabajo y la

energía):

• Si 6Ec = 0 � W = 0 (fuerzas conservativas)

• Si 6Ec & 0 � W & 0 (al menos una de las fuerzas no es conservativa)

También puede definirse una fuerza conservativa de una tercera forma. Supongamos

que una partícula va de A a B siguiendo una trayectoria 1 y regresa de B a A por una

trayectoria 2. Si la fuerza que actúa sobre ella es conservativa, el trabajo hecho sobre la

partícula por esa fuerza para el circuito completo será cero:

WAB (1) + WBA (2) = 0 � WAB (1) = - WBA (2) � -WBA (2) = WAB (2) �

� WAB (1) = WAB (2)

“Una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre la partícula que se mueveentre dos puntos depende solamente de esos puntos y no de la trayectoria seguida”.

4.1. ENERGÍA POTENCIAL

Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector r o de las coordenadas x, y, z

de la partícula es tal que el trabajo puede expresarse como la diferencia entre los valores de

una cantidad Ep(x, y, z) evaluada en los puntos inicial y final. La cantidad Ep(x, y, z) se

llama energía potencial y es una función de las coordenadas de la partícula.

FÍSICA

TAMadrid20

-Pág.72-



Los cambios que se producen en la Ep indican el trabajo realizado por las fuerzas delcampo. Como el trabajo no depende de la trayectoria seguida, sino sólo de los estados

inicial y final, la Ep tampoco dependerá más que de la posición del cuerpo.

Si consideramos dos estados, A (inicial) y B (final):

WAB = EpA – EpB = – (EpB – EpA) = – 6Ep

Es decir, “en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo realizado por esas fuerzas es

igual a la variación de Ep cambiada de signo”. Este es el teorema de la Ep.

Al conocer la relación entre W y Ep, si tenemos en cuenta que el W se puede definir como

el producto escalar de dos vectores (F y 6r) y que da lugar a una magnitud escalar (W):

W = F · r � 6Ep = – F · 6r

Si consideramos cantidades infinitesimales en lugar de incrementos (6):

Si la integración se hace entre dos estados, inicial (A) y final (B), obtenemos la

diferencia de potencial.

Existe otro teorema, llamado teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas, según

el cual:

WAB = 6Ec = EcB – EcA

Igualando con la expresión del teorema de la energía potencial:

6Ec = - 6Ep � 6Ec + 6Ep = 0 � 6(Ec + Ep) = 0 � Ec + Ep = constante

O bien:

6Ec = - 6Ep � EcB – EcA = - (EpB – EpA)

Reagrupando términos:

EcA + EpA = EcB + EpB

Esta expresión constituye el principio o teorema de conservación de la energía mecánica

(Em), que es la suma de la Ec y la Ep, para un campo conservativo.

En el caso de fuerzas no conservativas, el trabajo depende de la trayectoria seguida y no

se puede aplicar el teorema anterior.

dEp F dr dEp F dr Ep F dr= < u � =< u � =< u 0 0 0 r r r


TAMadrid21

-Pág.73-



5.BASES CONCEPTUALES PARA EL ESTUDIODE LAS INTERACCIONES A DISTANCIA

5.1. EL CAMPO GRAVITATORIO

Toda masa m crea a su alrededor un campo de fuerzas, es decir, ejerce fuerzas sobre

cualquier otro cuerpo de masa m´ situado dentro del campo; y, además, hace que cambien

las propiedades des espacio que la rodea, tanto si existe m´ como si no.

5.2. MAGNITUDES FÍSICAS QUE LO CARACTERIZAN:INTENSIDAD Y POTENCIAL GRAVITATORIO

Para explicar todo esto debemos definir una nueva magnitud vectorial llamada

intensidad de campo gravitatorio g: “la intensidad de campo gravitatorio g en un punto se

define como la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto”. Es un vector:

cuyo módulo es y se mide en N/kg en unidades del S.I. La fuerza gravitatoria

sobre una masa m colocada en ese campo es F = m · g.

El campo gravitatorio es un campo conservativo, es decir, el trabajo realizado por las

fuerzas del campo sobre una partícula que describe una trayectoria cerrada, es nulo.

La energía potencial gravitatoria vale:

Podemos definir una magnitud similar a la energía potencial gravitatoria pero que

depende sólo de la masa m que crea el campo y no de la masa m´ que se coloca en él. Esta

magnitud se llama potencial y se representa V.

“El potencial en un punto del campo indica el trabajo que hay que realizar para

transportar la unidad de masa desde el infinito hasta este punto”, o bien, “el potencial en

Ep Gm m

r= < u

u v

g Gm

r= u 2

r

r

r

g Fm

G mr

ur= = < u u’ 2

FÍSICA

TAMadrid22

-Pág.74-



un punto de un campo gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa en esepunto”:

La diferencia de potencial entre dos puntos, A y B, cuyas distancias al origen son r A y

r B, respectivamente, es:

6.APLICACIONES AL ESTUDIO DE LA GRAVEDAD

TERRESTRE

Si aplicamos los conceptos anteriores a la Tierra debemos suponer que:

– A las distancias con respecto a su superficie hay que sumarles el radio terrestre,

r = RT + h, donde RT es el radio de la Tierra y h es la distancia del cuerpo a la

superficie terrestre.

– La distribución de la masa terrestre es homogénea y la distancia al centro de la Tierra

desde cualquier lugar de su superficie es la misma.

Con todo esto, tendremos que el módulo del campo gravitatorio creado es:

siendo MT la masa de la Tierra.

g GM

R hT

T

= u+( )2

V V Gm

rG

m

r A B

A B

< =< u + u

V Ep

mG

m

r=

v=< u


TAMadrid23

-Pág.75-



En las proximidades de la superficie terrestre, h es despreciable frente al radio de la

Tierra, es decir, podemos hacer la aproximación RT + h � RT, obteniéndose entonces la

expresión:

Si introducimos los valores correspondientes a la masa y el radio terrestres y el de la

constante de gravitación universal, se obtiene el valor aproximado 9,8 m/s2

.

La fuerza que se ejerce sobre una masa m situada a una altura h sobre la superficie

terrestre es:

En las proximidades de la superficie terrestre (h se desprecia frente a RT) a esta fuerza

se le llama peso: P = m · 9,8.

F GM m

R hm gT

T

= uu

+

= u( )2

g GM

RT

T 0 2= u

FÍSICA

TAMadrid24

-Pág.76-



La energía potencial de una masa m colocada a una altura h de la superficie terrestre es:

y en el sistema internacional se mide en julios (J).

Por otra parte, el potencial gravitatorio viene dado por la expresión:

y en el S.I. se mide en J/kg. Su valor en la superficie terrestre es:

Ejemplo:

Calcular el valor de la gravedad en un punto situado a 100 km de la superficie de la

Tierra. Dato: RT � 6400 km.

En el punto en el que debemos calcular la gravedad tenemos:

Igualando ambas expresiones:

En la superficie de la Tierra:

Si igualamos obtenemos:

GM m

Rmg g G

M

RT

T

T

T

uu

= � = u2 0 0 2

F GM m

R

P m g

T

T

= uu

= u

2

0

GM m

R hmg g G

M

R hT

T

T

T

uu

+

= � = u+( ) ( )2 2

F GM m

rG

M m

R h

P m g

T T

T

= uu

= uu

+

= u

2 2( )

V GM

RT

T 0 = < u

V GM

R hT

T

= < u+( )

Ep GM m

R hT

T

=< uu+


TAMadrid25

-Pág.77-



Dividimos ambas expresiones:

Sustituyendo los valores:

7.APLICACIONES AL ESTUDIODEL MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES

Supongamos un planeta o un satélite de masa m moviéndose alrededor de otra masa M.

Por el principio de conservación de la energía mecánica podemos escribir:

E = Ec + Ep = constante

Consideremos tres casos, para los que recordaremos que las expresiones corres-

pondientes a la energía cinética y a la potencial son:

1) Si la E = 0, sustituyendo en el principio de conservación, obtenemos:

Esto significa que para cualquier valor de r corresponde un valor positivo de la energía

cinética y aunque r tienda a infinito, su valor será muy pequeño, el cuerpo m siempre tendrá

una determinada velocidad, es decir, que se moverá indefinidamente. Su velocidad será nula

en el infinito.

1

20

1

22 2mv G

M m

rmv G

M m

r< u

u= � = u

u

Ec mv

Ep GM m

r

=

= < uu

1

22

g m sm

m

m s= uu

u +

=9 86 4 10

6 4 10 10

9 52

6 2 2

6 5 2 2

2, /

( , )

( , )

, /

g

g

GM

R h

GM

R

R

R hg g

R

R h

T

T

T

T

T

T

T

T 0

2

2

2

2 0

2

2=

u+

u=

+

� = u+

( )

( ) ( )

FÍSICA

TAMadrid26

-Pág.78-



2) Si la E > 0:

En este caso la energía cinética no se anulará nunca pues aunque tomemos r en el infinito,

el factor tiende a 0, es decir, es despreciable frente a la energía cinética, quedando

> 0. Es el mismo caso de antes pero ahora la velocidad será apreciable aún

en los puntos más alejados.

3) Si la E < 0:

La energía potencial, en valor absoluto, será mayor que la energía cinética. Al aumentar

la energía potencial, en valor absoluto, se hará menor y, por tanto, la cinética también

disminuirá pero conservan el mismo valor negativo de energía.

Evidentemente, siempre habrá un valor de r para el cual se anule la energía cinética. Este

valor será un valor límite de r, que ya no puede aumentar más, pues, a partir de aquí, la

energía cinética sería negativa, y esto no tiene sentido físico. Por tanto, el cuerpo m no

podrá alejarse de M más allá de esta distancia límite. Este es el caso de los planetas y

satélites artificiales.

Tomemos como ejemplo los cuerpos en órbitas circulares. Para que un cuerpo de masa

m mantenga la órbita circular en torno a un cuerpo que lo atrae de masa M, se ha de dar la

igualdad: Fg = Fc, donde Fg es la fuerza gravitatoria y Fc la centrípeta. Esta fuerza

centrípeta es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que gira y vale

, donde ac es la aceleración centrípeta y su valor es . Sustituyendo en la

igualdad:

y multiplicando ahora ambos miembros por 1/2 tenemos:

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

22

2GMm

rm

v

rmv G

M m r

rG

M m

r⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

⋅ ⋅

= ⋅

⋅

GMm

rm

v

r⋅ = ⋅2

2

av

rc =

2

Fc m ac= ⋅

Ec Ep mv GMm

r+ < ⇔ − ⋅ <0

1

202

1

22

mv

− ⋅GMm

r

Ec Ep mv GMm

r+ > ⇔ − ⋅ >0

1

202

U.D. 3.- INTERACCI ÓN GRAVITATORIA

TAMadrid27

-Pág.79-



Volviendo a la ecuación de la energía:

Es decir, es una energía total negativa.

Si las órbitas son elípticas el resultado es el mismo pero cambiando el radio de la órbita

por el semieje mayor de la elipse.

7.1. VELOCIDAD DE ESCAPE

Hemos visto que el cuerpo m puede alejarse indefinidamente de su campo gravitatorio

si la energía es mayor que 0 o como mínimo si esa energía era 0. De aquí podemos deducir

el valor mínimo que ha de tener la velocidad de un cuerpo para que pueda escapar del

campo gravitatorio al que está sometido. Si en la ecuación:

hacemos E = 0, tenemos:

correspondiendo esta ecuación de la velocidad a la velocidad mínima de escape.

1

20

1

2

2 22 2 2mv G

Mm

rmv G

Mm

rv

G M

rv

G M

r− = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

⇒ =

⋅ ⋅

E mv GMm

r= −

1

22

E constante mv GMm

rG

Mm

rG

Mm

rG

Mm

r= = − = − = −

1

2

1

2

1

22

FÍSICA

TAMadrid28

-Pág.80-



RESUMEN

— Ley de gravitación universal: “Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente

proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia que los separa”. La ecuación matemática correspondiente es:

siendo G = 6,67·10-11 Nm2/kg2

— El momento de una fuerza con respecto a un eje es un vector cuyo módulo

vale M = r · F, su dirección es perpendicular a r y a F, su sentido es el sentido de

giro y nos indica cómo varía la rotación de un cuerpo.

— La ecuación fundamental de la dinámica de rotación es M = I · _, donde I es el

momento de inercia (es diferente para cada sólido) y _ es la aceleración angular

producida.

— El momento angular o cinético es un vector de módulo L = r · m · v, siendo r el radio,

m la masa y v la velocidad del cuerpo que gira.

— Teorema de conservación del momento angular o cinético: “Si el momento de lasfuerzas exteriores aplicadas al sólido es nulo (M = 0), el momento angular L

permanece constante”.

— Teorema de la energía potencial: “En un campo de fuerzas conservativo, el trabajo

realizado por ellas es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo”.

W = – 6Ep

— Teorema de la energía cinética: “El trabajo es igual a la variación de la energía

cinética”.

W = 6Ec

— Toda masa crea a su alrededor un campo de fuerzas y hace que cambien las

propiedades del espacio que la rodea.

— La intensidad de campo gravitatorio, g, en un punto es la fuerza por unidad de masa

situada en dicho punto. Su módulo vale:

g Gm

r= u 2

F Gm m

r= u

u v2


TAMadrid29

-Pág.81-



— La energía potencial gravitatoria viene dada por la expresión:

— El potencial en un punto del campo es el trabajo que hay que realizar para transportar

la unidad de masa desde el infinito hasta ese punto y vale:

— La diferencia de potencial entre dos puntos es:

— El campo gravitatorio terrestre a una distancia h de la superficie de la Tierra es:

— El campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra vale:

— La fuerza ejercida sobre una masa m situada a una altura h sobre la superficie

terrestre viene dada por:

— Su energía potencial es:

— El potencial gravitatorio creado es:

— La velocidad mínima de un cuerpo para escapar del campo gravitatorio al que está

sometido es:

(M es la masa del cuerpo que crea el campo gravitatorio)vG M

r=

u u2

V GM

R hT

T

= < u+

Ep GM m

R hT

T

= < u+

F GM m

R hT

T

= u+( )2

g GM

R

T

T 0 2

= u

g GM

R hT

T

= u+( )2

V V Gm

rG

m

r A B A B

< = < u + u

V Gm

r=< u

Ep Gmm

r= < u

v

FÍSICA

TAMadrid30

-Pág.82-



EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un cilindro gira alrededor de un eje con una velocidad angular de 600 rpm (revoluciones por

minuto). Su masa es de 1 kg y su radio de 5 cm. Tangencialmente se aplica una fuerza constante

de frenado de 0,1 kp. Calcular: a) La aceleración angular de frenado. b) El tiempo que tarde en

pararse el cilindro. c)El número de vueltas que da hasta que se para. Dato: Momento de inercia

del cilindro I = 1/2

· mr2.

a) Para calcular la aceleración angular empleamos la ecuación obtenida de igualar las dos

definiciones de momento de una fuerza:

Como debemos utilizar unidades del S.I. hacemos las siguientes transformaciones:

Sustituimos:

b) Si se va a parar la velocidad angular final t = 0 y la aceleración angular a será negativa.

Transformamos a unidades del S.I.:

Despejando el tiempo de la ecuación del movimiento:

c) Calculamos el espacio angular con la ecuación del movimiento:

q t _

/

= + = u + < u =

u =

02 21

262 83 1 6

1

239 2 1 6 50 35

50 351

28

t t rad

rad vuelta

rad vueltas

, , ( , ) , ,

,

t t _t t

_= + u � =

<=

<

<=0

0 0 62 83

39 21 6t t s

,

,,

t/

0 6001

60

2

162 83= u u =

rev

min

min

s

rad

revrad s, /

_ =u

u=

2 0 981 0 05

39 22,

,, / N

kg mrad s

F kp N kp N

r cm m cm m

= u =

= u =<

0 1 9 8 0 98

5 10 0 052

, , / ,

/ ,

r F I r F

I

r F

m r

F

m ru = u � =

u=

u

u u

=

u

u_ _

1

2

2

2


TAMadrid31

-Pág.83-



2. Calcular la aceleración de la Tierra hacia el Sol sabiendo que la Tierra describe una órbita casicircular de 1,5·108 km de radio y lleva una velocidad de 30 km/s. A partir de esa aceleración

calcular la masa del Sol.

En el movimiento de planetas sabemos que se cumple la igualdad entre la fuerza gravitatoria y

la centrípeta:

Igualando:

Calculamos la aceleración centrípeta o normal de giro de la Tierra alrededor del Sol:

Y a partir de aquí la masa del Sol:

3. Un cilindro de 10 kg de masa y 0,1 m de radio, está girando a 1000 rpm respecto a un eje que

pasa por su centro. ¿Cuál es la fuerza tangencial necesaria para detenerlo, si queremos que

frene, tras recorrer 1500 vueltas, contadas a partir del momento en que se aplica la fuerza de

frenado? Dato: I (cilindro) = 1/2 · m · r2.

Hacemos la transformación de unidades correspondiente:

Aplicamos la siguiente igualdad para calcular la fuerza:

r F I FI

r

mr

r

mru = u � =

u= =_

_ _ _1

22

2

t /

q/

0 1000 21 160 104 7

15002

19424 7

= u u =

= u =

revmin rad rev mins rad s

vueltasrad

vueltarad

, /

,

M kgS =

u u u

u� u

<

<

6 10 1 5 10

6 67 102 10

3 11 2

11

30( , )

,

av

R

m s

mm sn = =

u

u= u <

2 4 2 2

11

3 23 10

1 5 106 10

( ) ( / )

,/

M a g M M R

M a RGT n

S T S

nu = u � =u

2

2

Fg GM M

RS T

= u 2

Fc M aT n= u

FÍSICA

TAMadrid32

-Pág.84-



Debemos calcular el valor de la aceleración angular, y para ello consideramos la ecuación delmovimiento uniformemente acelerado en el que la velocidad final es cero porque el cuerpo se

parará:

El valor negativo demuestra que el cuerpo disminuirá su velocidad, en este caso, hasta anularla.

Sustituyendo en la expresión de la fuerza:

4. Supongamos que la distancia entre dos asteroides es de 4,15·104 km. La masa de uno de ellos

(asteroide A) es 0,03 veces la del otro (asteroide B). Calcular en qué punto, entre ambos, un

objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción entre los dos asteroides.

Consideremos que el punto de equilibrio es un punto llamado P que se encuentra a una distancia

r del asteroide B y, por tanto, a una distancia d – r del asteroide A, siendo d la distancia entre A

y B. En ese punto, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, es decir,

FA

+ FB

= 0, de donde se deduce que FA

= FB. Escribimos las ecuaciones correspondientes,

llamando m a la masa del objeto:

Igualamos:

De donde deducimos:

Este equilibrio no es estable puesto que si se separa ligeramente el objeto de su posición de

equilibrio hacia cualquiera de los dos asteroides será atraído por éste.

rd

M

M

km

A

B

=

+

=

u

+

=

1

4 15 10

1 0 0335373 18

4,

,,

GM m

d rG

M m

rd r M r M d r

M

Mr

A B

B A

A

B

uu

<( )= u

u� <( ) u = u � <( ) = u2 2

2 2 2 2

F GM m

r B

B= u

u2

F GM m

d r A

A= u

u

<( )2

F N =

u u=

10 0 1 0 58

2 0 29, ,

,

t t _q _t t

q2

02

202 2 2

22

2

0 104 7

2 9424 70 58= + � =

<=

<

u= <

,

,, /rad s


TAMadrid33

-Pág.85-



5. Dos satélites artificiales de masas m y 2m, respectivamente, describen órbitas circulares delmismo radio (r = 2R, siendo R el radio de la Tierra). Calcula la diferencia de las energías

mecánicas de ambos satélites.

Calculamos primero la energía potencial de cada uno de ellos:

Ahora calculamos la velocidad orbital y para ello igualamos la fuerza centrípeta con la fuerzade atracción gravitatoria:

Esta velocidad es la misma para los dos satélites; con lo que sus energías cinéticas serán:

La energía mecánica de cada uno de ellos será:

Y, por tanto, su diferencia será:

6 E E E GM m

RG

M m

RG

M m

RT T T

T

T

T

T

T

= ( ) < ( ) = < u uu

< < u uu£

¤¥¦

= u uu

1 2

1

4

1

2

1

4

E Ec Ep GM m

RG

M m

RG

M m

RT T

T

T

T

T

T

( ) = + = u uu

< uu

= < u uu

2 2 2

1

2

1

2

E Ec Ep GM m

RG

M m

RG

M m

RT T

T

T

T

T

T

( ) = + = u uu

< u uu

= < u uu

1 1 1

1

4

1

2

1

4

Ec mv m GM

RG

M m

R

Ec mv m GM

R

GM m

R

T

T

T

T

T

T

T

T

12

22

1

2

1

2 2

1

4

1

2

2

2

1

2

= u = u u u = u uu

= u = u u = u uu

Fg Fc GM m

rm

v

rv G

M

rT T

= � uu

= u � = u2

22

Ep GM m

R

Ep GM m

RG

M m

R

T

T

T

T

T

T

1

2

2

2

2

= < uu

= < uu

= < uu

FÍSICA

TAMadrid34

-Pág.86-




1. Un volante de 3 m de diámetro gira a 100 rpm y se para en 1 minuto. Calcular el número de

vueltas que da hasta que se para.

A. 315 vueltas. B. 50 vueltas. C. 1980 vueltas. D. 3000 vueltas.

2. Sobre una rueda de 80 cm de diámetro y momento de inercia 50 kg·m2, se aplica

tangencialmente en su periferia una fuerza de 10 kp. Calcular la aceleración angular.

A. 0,784 rad/s2

. B. 8 rad/s2

.

C. 0,784 m/s2. D. Ninguna de las anteriores.

3. Un cilindro de momento de inercia 1/2 mr2, gira alrededor de un eje, con una velocidad angular

de 600 rpm. Su masa es de 10 kg y se le aplica una fuerza de 9,8 N hasta que su velocidad

angular se reduce a la mitad en 5 segundos. Calcular su radio de giro.

A. 0,31 cm. B. 3,1 m. C. 0,31 m. D. 3,1 cm.

4. Calcular el campo gravitatorio a una distancia de 500 km sobre la superficie terrestre.

A. 5,8·1010 N/kg. B. 8,4·106 N/kg.

C. 5,8·106 N/kg. D. 8,4 N/kg.

5. Si una masa de 630 kg es atraída con una fuerza de 6,5·1010 kp por otra masa m´ situadas a 25 m

una de otra, ¿cuánto vale m´?

A. 9,5·1021 kg. B. 9,5·10-21 kg.

C. 1,05·10-22 kg. D. 3,8·1020 kg.

6. Calcular el peso de un cuerpo de 200 g de masa en un punto situado a 230 km de la superficie

terrestre. Datos: masa de la Tierra = 6·1024 kg; radio de la Tierra = 6400 km.

A. 1,82 kp B. 1,82 N C. 1,23 N D. 0,82 kp

7. ¿En qué punto, sobre la superficie terrestre, el campo gravitatorio vale la mitad de la gravedad?

A. 8,17·1013 m. B. 2,64·103 m.

C. 8,39·106 m. D. 2640 km.


TAMadrid35

-Pág.87-



8. Desde un punto situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5 partes del radioterrestre se desea poner en órbita un satélite artificial. ¿Qué velocidad hay que comunicarle?

A. 2,5·107 m/s. B. 5·103 m/s.

C. 2,7·105 km/h. D. 5·103 km/h.

9. Calcula el potencial gravitatorio que crea la Tierra en un punto situado a 6500 km de su centro.

A. – 6,16·10-7 J/kg B. 6,16·10-7 J/kg

C. 6,16·107 J/kg D. – 6,16·107 J/kg

10. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en Venus y de nuevo mide su peso,

observando que es de 600 N. Considerando que el diámetro de Venus es, aproximadamente, el

mismo que el de la Tierra, calcula la masa de Venus. Dato: masa de la Tierra 6·1024 kg.

A. 8,3·1025 kg. B. 5,2·1023 kg.

C. 3,62·1023 kg. D. 5,14·1024 kg.


FÍSICA

TAMadrid36

11. B 12. A 13. C 14. D 15. A

16. B 17. D 18. B 19. D 10. D

-Pág.88-



CURSO DE APOYO

A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES


DIGEREM


FUERZAS ARMADAS


A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES

FÍSICA2ª parteUnidades didácticas 4 y 5

ÓÓ




CURSO DE APOYO

A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBASDE ACCESO A LA ESCALA

DE SUBOFICIALES

Ó



FÍSICA2ª parte

5

37


4. VIBRACIONES Y ONDAS

5. PTICA

SUMARIO

Ó



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. MOVIMIENTO OSCILATORIO: EL MOVIMIENTO VIBRATORIO

ARMÓNICO SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO

ARMÓNICO SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE . . . 9

1.3. ENERGÍA ELÁSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. MOVIMIENTO ONDULATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. MAGNITUDES Y CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. ESTUDIO FENOMENOLÓGICO DE LA INFLUENCIA DEL MEDIO

EN LA VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. APLICACIONES . . . . . . . . . 14

2.3.1. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO . . . . . . . . . . . . . . 18

3. ESTUDIO CUALITATIVO DE ALGUNAS PROPIEDADESDE LAS ONDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1. DIFRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. REFLEXIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. REFRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4. PRINCIPIO DE HUYGENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5.1. INTERFERENCIA DE DOS ONDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5.2. ONDAS ESTACIONARIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. CONTAMINACIÓN SONORA, SUS FUENTES Y EFECTOS . . . . . . . . . 21

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Í N D I C E

-Pág.5-

U.D. 4.- V I BR AC IO NE S Y ONDAS



Al finalizar el estudio de esta Unidad Didáctica el alumno será capaz de:

• Manejar las magnitudes generales del movimiento ondulatorio, sabiendo

diferenciarlas y relacionarlas perfectamente.

• Diferenciar los distintos tipos de ondas.

• Razonar los fenómenos de reflexión, refracción, difracción e interferencia y

saber aplicarlos a los fenómenos ondulatorios.

• Aplicar los conceptos vistos en la unidad a la resolución de ejercicios.

O B J E T I V O S

-Pág.6-

FÍSICA



M uchos de los fenómenos que nos rodean son de tipo ondulatorio. Por ejemplo:

la luz, el sonido, las olas producidas en la superficie del agua, las ondas de

radio y televisión.

En esta unidad estudiaremos algunos de estos fenómenos físicos en los que hay

transporte de energía sin necesidad de que haya transporte de materia.

Algunos de ellos propagan la energía con ondas que necesitan un medio material

para propagarse, como el sonido; y hay otros que no necesitan un medio material

elástico para propagarse, por ejemplo, la luz y, por tanto, su energía puede

transmitirse incluso en el vacío.

Estudiaremos el movimiento vibratorio armónico simple, conocido como

movimiento armónico simple o MAS, y el movimiento ondulatorio. Ambos son muy

parecidos en cuanto a conceptos y magnitudes, pero a la vez son muy diferentes y

ello se refleja en las diferentes leyes que los rigen.


-Pág.7-




MAPA CON CEPTUA L

MOVIMIENTO

ARMÓNICO SIMPLE

Elongación

Amplitud

Período

Frecuencia

Ley de Hooke

Energía elástica

relacionado

con}{

MOVIMIENTOONDULATORIO

Período

Longitud de onda

Frecuencia

Velocidad depropagación

Principio deHuygens

Princ. desuperposición

Difracción

Reflexióny refracción

relacionado

con}{

-Pág.8-

FÍSICA



1.MOVIMIENTO OSCILATORIO: EL MOVIMIENTOVIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Un cuerpo oscila si se mueve periódicamente alrededor de su posición de equilibrio, por

ejemplo, el movimiento de un péndulo es oscilatorio, o bien, un objeto suspendido de un

muelle, al separarlo de su posición de equilibrio y dejarlo en libertad, oscila en torno a dicha

posición.

Consideremos el sistema de la figura:

El cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio (punto O) y lo alargamos hasta el

punto P. Al soltarlo comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración. Una vez rebasado

este punto, disminuirá su velocidad hasta llegar al punto P´, donde se parará. Después

volverá a moverse hacia el punto O y así sucesivamente. Si no existen rozamientos, el

cuerpo estará oscilando indefinidamente desde el punto P hasta el punto P´.

Una de las principales características de este movimiento es que su aceleración no es

constante.

Se trata de un movimiento rectilíneo para el que necesitamos una ecuación que nos

proporcione la posición del cuerpo en cada instante, es decir, una ecuación del tipo:

Antes de establecer esa ecuación definiremos algunas características importantes de este

movimiento:

— Elongación (y): distancia a la que se encuentra el cuerpo del punto de equilibrio.

— Amplitud (A): es la elongación máxima o distancia entre el origen y el punto P o el

punto P’.

— Periodo (T): tiempo empleado en realizar una oscilación completa, es decir, el

tiempo que tarda, partiendo del punto P, en volver a dicho punto P.

y y t= ( )

5


P PP

P’P’

-Pág.9-



— Frecuencia (f): es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, es decir, por

segundo. Es la inversa del periodo:

La ecuación del movimiento armónico simple es:

siendo:

A = amplitud

ω·t + δ = fase del movimiento

δ = constante de fase, o ángulo de fase

Se cumple la siguiente relación:

llamándose frecuencia angular o pulsación a la magnitud ω.

Según esto, la ecuación del movimiento armónico simple se puede escribir también de

las siguientes formas:

1.1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL MOVIMIENTOVIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE

La velocidad de un movimiento se obtiene derivando, con respecto al tiempo, la

ecuación de la posición de la partícula que se mueve. Si derivamos en nuestro caso:

vd A t

dt A t=

⋅ ⋅ +( )[ ]= ⋅ ⋅ ⋅ +( )

sencos

ω δ ω ω δ

y A f t= ⋅ ⋅ ⋅ +( )sen 2π δ

y AT

t= ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

sen2π

δ

ω π

π = = ⋅2

2T

f

y A t= ⋅ ⋅ +sen( )ω δ

f T

T f

= ⇔ =1 1

FÍSICA

6

-Pág.10-



O también, sustituyendo ω en función del periodo T o de la frecuencia f, obtenemos las

siguientes ecuaciones:

Para obtener la ecuación de la aceleración, derivamos la ecuación de la velocidad con

respecto al tiempo:

En función del periodo:

y en función de la frecuencia:

Como y = A · sen (ω · t + δ ), podemos escribir:

En general, podemos decir que la aceleración es directamente proporcional a la

elongación pero de signo contrario o, lo que es lo mismo, se puede escribir como:

siendo k la constante de proporcionalidad.

Ejemplo 1:

Un cuerpo oscila con un MAS según la ecuación:

y t= ⋅ ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

4 22

sen π π

a k y= − ⋅

a yT

y f y= ⋅ = ⎛⎝

⎞⎠

⋅ = ⋅( ) ⋅ – – – ω π

π 2

222

2

a A f f t= − ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ +[ ]2 2

2

π π δ sen

a AT T

t= − ⎛⎝

⎞⎠

⋅ ⎛⎝

⎞⎠

⋅ +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2 2

2π π

δ sen

a dvdt

A t= = − ⋅ +( )ω ω δ 2sen

v A f f t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( )2 2π π δ cos

v AT T

t= ⋅ ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

2 2π π δ cos


7

-Pág.11-



Calcula: la elongación, la velocidad, la aceleración, la fase, el per odo y la frecuencia en

el instante t = 2 s.

Para todos los cálculos debemos tener en cuenta que π viene en radianes. Si lo expresa-

mos en grados sexagesimales recordamos que, π = 180°,.

Por tanto:

Calculamos la fase:

Para hallar el periodo tenemos en cuenta su relación con la frecuencia angular:

y la frecuencia, a partir de su relación con el periodo:

Ejemplo 2:

Supongamos una masa que se mueve con un MAS y que inicialmente se encuentra en

reposo a 2 m de su posición de equilibrio. Si la frecuencia es de 0,15 Hz, escribe las

ecuaciones correspondientes a la posición, la velocidad y la aceleración.

Según los datos del problema, la amplitud vale A = 2 m y la frecuencia angular:

ω = 2π f = 2π ·0,15 = 0,3·π rad/s

f T

s Hz= = = =−1 1

11 11

ω π π

ω

π

π = ⇒ = = =

2 2 2

21

T T s

ω δ π π

π π π

t t rad + = + = ⋅ + =2

2

2 2

2

9

2

m s= − ° = −16 810 162 2 2π π sen /

a t t= − ( ) +⎛⎝

⎞⎠

= − +⎛⎝

⎞⎠

= − ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

=4 2 22

16 22

16 2 22

2 2 2π π

π π π

π π π

π sen sen sen

π π = ° = ° =8 810 8 90 0cos cos / m s

ν π π π

π π π

π = ⋅ ⋅ ⋅ +⎛

⎝

⎞

⎠

= ⋅ ⋅ ⋅ +⎛

⎝

⎞

⎠

= ° + °( ) =4 2 2

2

8 2 2

2

8 720 90cos cos cost

y m= ⋅ ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

= ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

= ⋅ ° + °( ) = ⋅ ° = =4 2 22

4 42

4 720 90 4 810 4 90 4sen sen sen sen senπ π

π π

π2

90= °

FÍSICA

8

i

-Pág.12-



Para calcular la constante de fase consideramos un tiempo t = 0:

y (t = 0) = 2 · sen (ωt+δ) = 2 · sen (0 + δ) = 2 · sen δ

Por definición, para un tiempo t = 0 s, la elongación es igual a la amplitud; además en

el enunciado nos dicen que inicialmente está a 2 m de su posición de equilibrio:

y (t = 0) = 2

Igualamos:

Con lo que sustituyendo en las ecuaciones generales, como y = Asen (ωt+δ):

1.2. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICOSIMPLE

La fuerza responsable de la aceleración de este movimiento se puede calcular si tenemos

en cuenta que:

(que se conoce como Ley de Hooke)

Donde K se conoce como constante elástica.

El signo negativo significa que esa fuerza siempre se opone al movimiento, es decir, es

una fuerza recuperadora o elástica y es de tipo conservativo. Este tipo de fuerzas las

podemos encontrar también en los muelles u objetos elásticos.

Por otra parte, se puede obtener que:

, ya que a = – ω2

yk = ω

2

F m a

a k y

F m k y m k y Ky= ⋅

= − ⋅

⎫⎬⎪

⎭⎪= ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ = – – –

a t t= − ⋅( ) ⋅ +⎛

⎝

⎞

⎠

= − +⎛

⎝

⎞

⎠

2 0 3 0 3

2

0 18 0 3

2

2 2, sen , , sen ,π π π

π π π

v t t= ⋅ ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

= +⎛⎝

⎞⎠

2 0 3 0 32

0 6 0 32

, cos , , cos ,π π π

π π π

y t= ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

2 0 32

sen , π π

2 2 1 12

= ⋅ ⇒ = ⇒ = =sen sen senδ δ δ π

arc


9

-Pág.13-



1.3. ENERGÍA ELÁSTICA

Al tratarse de fuerzas conservativas, podemos definir una energía potencial, que

depende únicamente de la posición, cuya variación entre dos puntos es igual al trabajo

realizado por la fuerza elástica cuando el cuerpo se mueve de uno a otro punto. Con lo que

tendremos:

F = – K · x = – k ·mx

siendo x el desplazamiento desde la posición de equilibrio. La energía potencial elásticaserá:

Esta energía potencial será máxima cuando x = A.

Para el MAS podemos deducir también su energía cinética que es de la forma:

y será máxima cuando x = 0.

Como se cumple:

ET

= Ec + Ep

conocidas ambas energías se puede llegar a:

que es la misma para cualquier instante.

Ejemplo:

Al colgar una masa de 1 kg en un muelle, este se deforma 0,1 m. Al quedar la masa otra

vez en equilibrio se separa otros 0,1 m de la posición de equilibrio y se deja en libertad.

Calcular: a) la constante elástica, b) la aceleración, c) el periodo, d) la energía total del

movimiento.

E m A K AT = =1

2

1

22 2 2

ω

Ec m A x= −( )1

22 2 2

ω

Ep K x m x= ⋅ ⋅ =1

2

1

22 2 2

ω

W Ep= – ∆

FÍSICA

10

-Pág.14-



a) La fuerza que deforma el muelle es el peso de la masa, es decir:

Por otro lado: F = K · y; considerada ahora positiva porque el signo negativo sólo

indica que se opone al movimiento.

Igualando ambas expresiones obtenemos:

b) La aceleración del movimiento es negativa, con lo que ahora, al tomar las

expresiones:

e igualar obtenemos:

c) Sabemos que:

Igualamos:

Por otra parte, conocemos la relación:

con lo que, igualando tenemos:

22 2

1

980 63

π

π π

T

K

mT

m

K s= ⇒ = = = ,

ω

π

=

2

T

− =

−

⇒ =ω ω 2 y

Ky

m

K

m

aky

m=

−

a y= − ω 2

ma Ky a Ky

mm s= − ⇒ =

−

=

− ⋅

= −

98 0 1

19 8

2,, /

F Ky= − F ma=

mg Ky K mg

y N m= ⇒ = =

⋅

=

1 9 8

0 198

,

, /

F P m g= = ⋅


11

Ky−

-Pág.15-



d) Para calcular la energía total aplicamos la ecuación:

2. MOVIMIENTO ONDULATORIO

Llamamos onda al fenómeno de transmisión de una perturbación, que conlleva un

transporte de energía, de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte neto de

materia entre ambos.

Esta misma definición puede utilizarse para el movimiento, que puede ser:

— Unidimensional: si tiene lugar en una dimensión.

— Bidimensional: si es en dos dimensiones.

Podemos clasificar las ondas según:

a) La naturaleza del medio en que se propagan: existe un transporte de energía. Pueden

ser:

— Ondas materiales: precisan de medio material para propagarse y se originan al

perturbar dicho medio. La velocidad con que se propagan depende de la

elasticidad del medio.

— Ondas electromagnéticas: no necesitan de ningún medio para propagarse, sino

que lo hacen en el vacío.

b) La dirección en que se produce la perturbación:

— Onda transversal: la perturbación inicial se produce en dirección perpendicular

a la propagación. Por ejemplo, la perturbación inicial tiene lugar verticalmente,

pero la onda avanza horizontalmente.

— Onda longitudinal: la perturbación inicial tiene lugar en la misma dirección que

el avance de la onda.

c) La forma de avance de la onda: Si al producir una perturbación en un medio

determinado, unimos posteriormente los puntos alcanzados por ésta, obtenemos el

E K A J T

= = ⋅ ⋅ =

1

2

1

298 0 1 4 92 , ,

FÍSICA

12

-Pág.16-



frente de ondas y según su forma geométrica tendremos: ondas circulares, esféricas,

planas, etc.

En el caso de ondas electromagnéticas, en lugar de ondas hablamos de rayo, que se

define como la perpendicular al frente de ondas.

2.1. MAGNITUDES Y CARÁCTERÍSTICAS DE LAS ONDAS

Supongamos una cuerda sujeta por un extremo a la pared y por el otro, nosotros la

mantenemos tensa. Al sacudirla una vez provocamos una perturbación que se propaga a lo

largo de la cuerda hasta que llega a la pared. Esa perturbación se llama pulso de onda. Si

lo repetimos de forma periódica generamos un tren de ondas periódico que, en general y

por comodidad, llamaremos simplemente ondas, cuyas magnitudes son:

— Periodo: se representa por la letra T y es el tiempo que transcurre entre dos pulsos

sucesivos. Se mide, en el S.I., en segundos.

— Longitud de onda: viene dada por la letra λ y es la distancia entre dos pulsos sucesivos,

o bien, la distancia que avanza la onda en un tiempo T. Se mide en metros, en el S.I.

— Frecuencia: se representa por la letra f y es el número de pulsos por unidad de

tiempo. Se mide, en el S.I., en hertzios (Hz) o segundos –1 (1 Hz = 1 s –1). Es la inversa

del periodo.

— Velocidad de propagación: es la velocidad con que se propaga la onda. Viene dada

por la letra v y en el S.I. se mide en m/s. Se relaciona con el periodo y la frecuencia

a través de la longitud de onda según las expresiones:

2.2. ESTUDIO FENOMENOLÓGICO DE LA INFLUENCIADEL MEDIO EN LA VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN

Hemos visto antes que las ondas materiales requieren de un medio para propagarse. El

medio ideal para ello se llama medio perfectamente elástico y en él no existe pérdida de

energía.

v T v f = = ⋅λ λ ;

f T

T f

= ⇔ =1 1


13

-Pág.17-



También hemos visto que la velocidad con que estas ondas se propagan depende de las

características del medio. Veamos algunos ejemplos:

— Velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda:

donde: T = tensión de la cuerda.

µ = masa por unidad de longitud.

— Velocidad del sonido:

siendo: c = constante.

T = temperatura absoluta del aire.

— Velocidad de propagación de una onda longitudinal en un sólido:

donde: Y = coeficiente de elasticidad del sólido.ρ = densidad del sólido

— Velocidad de propagación de una onda longitudinal en un muelle estirado:

siendo: L = longitud del muelle.

K = constante elástica del muelle.

m = masa del muelle.

2.3. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS. APLICACIONES

Se definen las ondas armónicas como aquellas cuyos pulsos vienen descritos por

funciones matemáticas de tipo seno o coseno, lo que implica que las partículas del medio

en que se propagan estas ondas vibran con un MAS, cuya ecuación era:

y A t= ⋅ ⋅( )sen ω

v LK

m=

vY

=ρ

v c T =

vT

=µ

FÍSICA

14

-Pág.18-



Los movimientos ondulatorios periódicos pueden descomponerse en sumas de infinitas

ondas armónicas. Esto constituye el teorema de Fourier.

Si consideramos un tren de ondas armónico, la ecuación que describe la posición de

cada punto en el instante inicial es:

siendo A y k constantes.

Si con el paso del tiempo el tren de ondas se propaga hacia la derecha con una velocidad

v, la ecuación será:

siendo: k (x – vt) = fase.

Si consideramos que ya existe una fase inicial δ (constante) tendremos:

que representa la ecuación de propagación del tren de ondas armónico. En esta ecuación:

— “y” representa la distancia de cada punto a la posición de equilibrio y se mideperpendicularmente al avance de la onda, que supondremos alineada con el eje X.

— “A” es la amplitud y representa la máxima separación, medida verticalmente, de un

punto respecto a la posición de equilibrio.

Como vemos, la ecuación anterior es función de dos variables, la posición y el tiempo,

de forma que si mantenemos fija una de ellas, podemos obtener cómo varía dicha variable

con respecto a la otra.

Teniendo en cuenta que la función se repite si dos puntos están separados una distancia

2π /k, llamaremos longitud de onda λ a la expresión:

y número de onda k a la expresión:

que representa el número de longitudes de onda que hay en la distancia 2π.

k =2π

λ

λ π

=2

k

y x t A k x vt, sen( ) = ⋅ −( ) +[ ]δ

y x t A k x vt, sen( ) = ⋅ −( )

y A kx= ⋅ ( )sen


15

-Pág.19-



Con todo ello la ecuación de ondas se puede escribir como:

Si sustituimos , tendremos:

Utilizando las expresiones de la frecuencia angular ω = 2π · f , o la de la frecuencia

, obtenemos:

En el caso de ecuaciones de tipo coseno, o en las que aparece una constante dentro del

argumento del seno, las ecuaciones anteriores siguen siendo válidas. Sólo hay que tener en

cuenta las siguientes relaciones:

Por otro lado, si la diferencia de fase entre dos puntos es 2π, se dice que los puntos están

en fase y su estado de vibración es el mismo, ya que al ser la función seno periódica, y su

periodo 2π, la elongación es la misma, es decir, y = y´.

Dijimos que la función se repite cada , es decir, tiene un periodo espacial, y

también podemos decir que tiene un periodo temporal T, transcurrido el cual también serepite la función. Diremos, entonces, que esta ecuación es doblemente periódica.

Ejemplo 1:

Determinar las magnitudes características de una onda que se propaga por una cuerda,

con una ecuación de ondas de la forma:

y x t x t, , sen ,( ) = ⋅ −( )0 02 4 0 2

λ π

=2k

sen cos senπ

α α α π

2 2−( ) = = − −( )

y x t A kx t, sen( ) = ⋅ −( )ω

y x t Ax

ft, sen( ) = ⋅ −( )2π λ

f T

=

1

y x t Ax t

T , sen( ) = ⋅ −( )2π

λ

vT

=λ

y x t A x vt, sen( ) = ⋅ −( )2π

λ

FÍSICA

16

-Pág.20-



Comparamos la ecuación del enunciado con la ecuación general:

y obtenemos los siguientes datos:

A = 0,02 m k = 4 m –1 v = 0,2 m/s

A partir de ellos podemos obtener las siguientes magnitudes:

Ejemplo 2:

Escribir la ecuación de una onda que se propaga por una cuerda, conocidos los

siguientes datos:

f = 2,5 Hz v = 3 m/s A = 1 cm

Calculamos primero las magnitudes características de la onda:

Con estos datos podemos escribir cualquiera de estas expresiones:

y x t x t, , sen ,( ) = ⋅ −( )0 01 1 6 3π

ω π π π = ⋅ = ⋅ =2 2 2 5 5 f rad s, /

k m= = =−2 2

1 21 6 1π

λ

π π

,,

λ = ⋅ = ⋅ =v T m3 0 4 1 2, ,

T f

s= = =1 1

2 50 4

,,

ω π π = = ⋅ =2 2 0 13 0 8 f rad s, , /

f T

Hz= = =1 1

7 850 13

,,

T v

s= = =λ

π 2

0 27 85

,,

λ π π π

= = =2 2

4 2k m

y x t A k x vt, sen( ) = ⋅ −( )


17

-Pág.21-



2.3.1. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cada una de las partículas del medio en el que se propaga la onda tiene una energía total

de la forma:

siendo v la velocidad de vibración de las partículas del medio.

En el caso en que la partícula alcance su máxima elongación tendremos:

(ya que y = A y v = 0)

Definimos intensidad de onda (I) en un punto como la energía que atraviesa, por unidad

de tiempo, la unidad de superficie situada en dicho punto, perpendicularmente a la dirección

de propagación. Se mide, en el S.I., en W/m2 (vatio/metro2). Según esto, es proporcional al

cuadrado de la amplitud.

El nivel de intensidad (B) es:

y se mide en decibelios. En esta expresión I es la intensidad de un sonido e I0 es el valor correspondiente a un nivel tomado como referencia. Para el aire I0 = 10 –12 W/m2.

Cuando una onda se propaga, se produce una disminución de su intensidad, lo que

supone una disminución de la amplitud de onda. Esta disminución se puede deber a:

— Una atenuación de la onda al propagarse: a medida que avanza la onda, la energía

inicial se reparte entre mayor número de partículas del medio.

— Una absorción de la onda por el medio: parte de la energía de la onda se pierde

debido a rozamientos, viscosidad, etc, es decir, es absorbida por el medio, lo que

produce un debilitamiento de la onda que se conoce como absorción.

B I I

= ⋅100

log

E m A= 12

2 2ω

E mv m y= +12

12

2 2 2ω

y x t x t, , sen ,( ) = ⋅ −( )0 01 1 6 5π π

y x t x

t, , sen,

,( ) = ⋅ −⎛⎝

⎞⎠0 01 2

1 22 5π

y x t

x t

, , sen , ,( ) = ⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟0 01 2 1 2 0 4π

FÍSICA

18

-Pág.22-



3.ESTUDIO CUALITATIVO DE ALGUNAS

PROPIEDADES DE LAS ONDAS

3.1. DIFRACCIÓN

Es la propiedad que tienen las ondas de bordear los obstáculos con los que se

encuentran. Pero sólo se produce este fenómeno cuando el tamaño del obstáculo es

comparable a la longitud de onda.

3.2. REFLEXIÓN

Es la propiedad que tienen las ondas de cambiar de dirección cuando, al propagarse, se

encuentran con un obstáculo. Es una especie de “rebote” de las ondas con el obstáculo.

Un ejemplo muy conocido es el eco, que se produce cuando un sonido encuentra un

obstáculo, según lo cual deberíamos estar oyendo constantemente el eco de los sonidos y,

en realidad, es lo que ocurre, pero no lo apreciamos porque nuestro oído no puede distinguir

dos sonidos si no los recibimos con una diferencia de tiempo de, al menos, 0,1 segundos.

Otro ejemplo podría ser lo que ocurre con las ondas producidas en el agua de un

estanque cuando llegan a la pared del mismo.

3.3. REFRACCIÓN

Cuando una onda al propagarse encuentra en su camino una superficie que separa dos

medios de distinta naturaleza, en parte se refleja (como hemos visto) pero en parte sigue

propagándose por el otro medio. Al tratarse de medios diferentes, también serán diferentes

las velocidades de propagación en cada uno de ellos.

Al pasar de un medio a otro, no sólo cambia la velocidad, sino también la dirección de

propagación.

Definimos, entonces, la refracción como el cambio en la dirección de propagación de

una onda al atravesar la superficie de separación de dos medios.

Un ejemplo muy conocido de refracción es el de la luz. Al introducir un palo en el agua,

parece que está doblado. La refracción de la luz es la que nos produce esa impresión.


19

-Pág.23-



3.4. PRINCIPIO DE HUYGENS

Huygens pretendía encontrar un método a partir del cual se pudiese construir, en un

momento dado, el frente de ondas si se conocía ese frente en un instante anterior.

Supuso que cada uno de los puntos del frente de ondas, cuando fuera alcanzado por la

perturbación, emitiría de nuevo ondas con las mismas características que la onda original,

es decir, se convertía en una fuente secundaria de ondas.

Aunque este principio sólo se puede aplicar a ondas materiales, se admite también para

ondas electromagnéticas.

3.5. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

“Cuando dos o más ondas se propagan por un medio, la perturbación resultante en cada

punto del medio es igual a la suma de las perturbaciones que producirían cada una de las

ondas por separado”.

Este principio nos ayuda a estudiar lo que ocurre cuando varias ondas se propagan por

un medio, simplemente sumando los efectos de cada una de ellas.

3.5.1. INTERFERENCIA DE DOS ONDAS

Se llama interferencia a la coincidencia de dos o más ondas en un punto del medio en

el que se propagan. Aunque dos ondas coincidan, cada una de ellas se sigue propagando sin

modificarse tras la interferencia.

Nos podremos encontrar con los siguientes casos:

— Interferencia constructiva: la perturbación que resulta de la superposición es mayor que las ondas originales.

— Interferencia destructiva: la perturbación que resulta de la superposición es menor

que las ondas originales.

3.5.2. ONDAS ESTACIONARIAS

Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas iguales pero que

se propagan en sentidos opuestos. Como consecuencia habrá puntos del medio que tendrán

FÍSICA

20

-Pág.24-



amplitud nula y permanecerán constantemente en reposo. Estos puntos se llaman nodos. Si

dichos puntos permanecen en reposo no se podrá transmitir energía más allá de ellos, es

decir, la energía no se propagará.

4.CONTAMINACIÓN SONORA, SUS FUENTESY EFECTOS

Hablábamos antes de la sensibilidad del oído y los sonidos que puede percibir. Dicha

sensibilidad viene definida por los siguientes factores:

— Umbral de audición: intensidad sonora mínima de los sonidos audibles.

— Umbral de dolor: intensidad por encima de la cual la audición es dolorosa.

Pero incluso sonidos con una intensidad por debajo del umbral de dolor son molestos y

pueden producir trastornos en el organismo.

Las principales fuentes de contaminación sonora se encuentran en las grandes ciudades

debido al ruido de los motores de los vehículos, al volumen alto de la música en diferentes

lugares, a la maquinaria utilizada en la industria o en las obras urbanas, etc.

Esta contaminación sonora se puede prevenir con medios preventivos, paliativos y

educativos. Los medios preventivos consisten en controlar los niveles de ruido antes

mencionados. Los paliativos se llevan a cabo con la instalación de pantallas acústicas en los

bordes de carreteras próximas a núcleos habitados. Y los educativos se basan en la

formación de los ciudadanos con miras a una actitud responsable y favorable frente a una

conservación del medio ambiente sin contaminación sonora.


21

-Pág.25-



RESUMEN

— El movimiento armónico simple (MAS) se caracteriza por las siguientes

magnitudes: elongación, amplitud, periodo y frecuencia; y su ecuación general es:

— La fuerza responsable de la aceleración del movimiento armónico simple viene

dada por la ley de Hooke cuya ecuación es la siguiente:

F = –m · ky = –Ky (K= cte. elástica)

y en la que el signo negativo indica que dicha fuerza siempre se opone al

movimiento.

— Una onda es el fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro del

espacio, que conlleva un transporte de energía pero no de materia.

— El movimiento ondulatorio se caracteriza por el periodo, la frecuencia, la longitud

de onda y la velocidad de propagación.

— Difracción es la propiedad que tienen las ondas de poder bordear obstáculos.

— La reflexión es una propiedad de las ondas por la que éstas cambian su dirección

cuando encuentran un obstáculo.

— Se conoce como refracción al cambio en la dirección de una onda cuando ésta

atraviesa la superficie que separa dos medios distintos.

— Según el principio de Huygens, cualquier punto del frente de ondas se convierte en

una fuente secundaria de ondas cuando es alcanzado por la perturbación.

— El principio de superposición indica que si dos o más ondas se propagan por un

medio, la perturbación que resulta es igual a la suma de perturbaciones de cada una

de las ondas iniciales.

— Interferencia es la coincidencia de dos o más ondas en un punto del medio. Puede

ser constructiva o destructiva.

— Podemos prevenir la contaminación sonora con medios preventivos, paliativos y

educativos.

y A t= ⋅ ⋅ +sen( )ω δ

FÍSICA

22

-Pág.26-




1. Una partícula describe un MAS cuya ecuación es:

en unidades del S.I. Calcula: a) su periodo; b) la posición y la velocidad de la partícula

para t = 0.

a) Comparamos la ecuación dada en el enunciado con la ecuación general:

y obtenemos:

Para calcular el periodo utilizamos la relación que guarda éste con la frecuencia

angular:

b) La posición para un tiempo t = 0 se obtiene sustituyendo dicho tiempo en la

ecuación general:

Para calcular la velocidad de la partícula, derivamos la expresión de la posición:

2. Se sabe que una masa describe un MAS cuyo periodo es de 3 s. Calcula la ecuación desu movimiento sabiendo que en el instante inicial la velocidad es nula y se encuentra a

1,5 cm a la derecha de la posición de equilibrio.

Si su velocidad es nula significa que la masa se encuentra en uno de los extremos de su

oscilación, es decir, x = ± A. De aquí deducimos que A = 0,015 m.

Para calcular la fase inicial (δ) tenemos en cuenta que la posición inicial es 0,015 m. Si

la ecuación general es:

x A t = ⋅ +( )sen ω δ

vdx

dt A t m s= = − +( ) = − ⋅ ⋅ ⋅ +⎛

⎝⎞⎠

= −ω ω δ π

sen , sen / 0 3 100 100 02

30

x m= ⋅ ⋅ +( ) =0 3 100 02

0, cosπ

ω π π

ω

π = ⇒ = = =2 2 2100

0 063T

T s,

A m rad s rad = = =0 3 1002

, ; / ;ω δ π

x A t = ⋅ +( )cos ω δ

x t = ⋅ +( )0 3 1002

, cosπ


23

-Pág.27-



Sustituimos:

Calculamos ahora la frecuencia angular:

Con lo que la ecuación será:

Si consideramos la relación trigonométrica:

podemos escribir la ecuación de la forma:

3. Una masa de 2,2 kg se une a un muelle cuya constante elástica es de 10 N/m y el sistema

comienza a oscilar. Si la amplitud del movimiento es de 1 cm, calcula: a) la energía total

del sistema; b) la energía cinética y la energía potencial cuando el cuerpo pasa por un

punto P que se encuentra a 0,5 cm del punto de equilibrio; c) la velocidad máxima y la

que tiene al pasar por el punto P; d) la fuerza ejercida por el muelle cuando la masa pasa

por P; e) el periodo de oscilación.

a) Sabemos que en este movimiento de oscilación, la energía mecánica o total es

constante:

Tomando la última igualdad:

b) En el punto P sabemos que x = 0,005 m:

Ep Kx J = = ⋅ ⋅ = ⋅−

1

2

1

210 0 005 1 25 102 2 4, ,

Em KA J = = ⋅ ⋅ = ⋅−

1

2

1

210 0 01 5 102 2 4,

Em Ec Ep mv Kx mv KA= + = + = =12

12

12

12

2 2 2 2máx

x t= ⋅0 01523

, cosπ

sen cosα π

α +( ) =2

x t= ⋅ ⋅ +

( )0 015

2

3 2, sen

π π

ω π π

= =2 2

3T rad s /

0 015 0 015 0 015 0 0 015 12

, , sen , sen , sen sen= ⋅ +( ) = ⋅ ⋅ +( ) = ⋅ ⇒ = ⇒ =ω δ ω δ δ δ δ π

t rad

FÍSICA

24

-Pág.28-



Para calcular la Ec utilizamos la expresión:

Em = Ec + Ep ⇒ Ec = Em – Ep = 5 · 10 –4 – 1,25 · 10 –4 = 3,75 · 10 –4 J

c) Calculamos la velocidad máxima:

y en el punto P:

d) Utilizando la ley de Hooke:

e) El periodo será:

4. Un cuerpo oscila con un MAS de 4 cm de amplitud. Su masa es de 50 g y cuando la

elongación es de 3 cm, su velocidad es de 15 cm/s. ¿Cuál es el periodo del movimiento

y la velocidad máxima del cuerpo?

Para calcular el periodo utilizaremos la ecuación:

pero necesitamos primero la constante elástica k, que obtendremos a partir de la

ecuación de la energía:

Podemos simplificar el 1 / 2 de cada sumando y obtenemos:

KA mv Kx K mv

A x N m

2 2 22

2 2 2 2

0 05 0 15

0 04 0 0310 7= + ⇒ =

+

=

⋅

−

=

, ,

, ,, /

Em KA mv Kx= = +

1

2

1

2

1

22 2 2

T m

K = 2π

T m

K s= = =2 2

2 2

102 95π π

,,

F Kx N = = ⋅ =10 0 005 0 05, ,

Ec mv v

Ec

m m s= ⇒ = =

⋅ ⋅=

−

1

2

2 2 3 75 10

2 2 0 018

2

4,

, , /

Em mv v Emm

m s= ⇒ = =⋅ ⋅

=

−12

2 2 5 102 2

0 0224

máx ,, /


25

2

N m / 1,6

-Pág.29-



Ahora sustituimos en la ecuación del periodo:

Si consideramos la ecuación general del movimiento, al derivar con respecto al tiempo

obtenemos la ecuación de la velocidad:

La velocidad máxima se alcanza cuando cos ωt = ± 1, y por tanto:

También podríamos haber utilizado la igualdad:

5. Una partícula de 2 kg describe un MAS del que se conocen los siguientes datos: A = 20

cm; T = 1,5 s. Calcula: a) su velocidad máxima; b) su aceleración máxima; c) el valor

máximo de la fuerza restauradora; d) la energía mecánica máxima; e) el valor de las

cuatro magnitudes anteriores cuando la elongación es x = 10 cm.

a)

b) Para obtener la aceleración, primero derivamos la expresión general de la velocidad

con respecto al tiempo:

La aceleración máxima se alcanza cuando x = ± A:

c) F m a N máx máx ,= ⋅ = ⋅ =2 3 5 7

a AT

A m smáx,

, , / = = ⎛⎝

⎞⎠

⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ =ω

π π 22 2

22 2

1 50 2 3 5

adv

dt A t x= = ⋅ = ⋅ – sen – ω ω ω

2 2

v A AT

m smáx ,,

, / = ± = ± ⋅ = ± ⋅ =ω

π π 20 2

2

1 50 84

Em KA mv vKA

mm s= = ⇒ = =

⋅=

1

2

1

2

1 6 0 04

0 050 226

2 22 2

máx máx

, ,

,, /

v A AT

m smáx ,,

, / = ± = ± ⋅ = ± ⋅ =ω

π π 20 04

2

0 430 58

x A t vdx

dt A t = ⋅ ⇒ = =sen cosω ω ω

T s= =20 0510 7

0 43π ,,

,

m s, / = 0 58

FÍSICA

26

1,11

1,11

0,226

1,6

-Pág.30-



d)

e) Como la Em es constante:

Calculamos primero la constante elástica:

Ahora sustituimos:

Por otra parte:

la energía mecánica sigue teniendo ese valor porque, como ya se ha dicho,

permanece constante.

6. Una onda sinusoidal de 5 m de amplitud se propaga hacia la derecha con un periodo de

10 s. Halla la elongación en el origen a los 2 s de comenzar el movimiento desde la

posición de equilibrio. Si en ese instante (t = 2s) la elongación de un punto que se

encuentra a 1 cm del origen hacia la derecha es nula, calcula la longitud de onda.

Volvemos a tratar un MAS en el que se comienza desde la posición de equilibrio, por lo

que y = 0 cuando t = 0. La ecuación del movimiento para el punto x = 0 será:

y x A t AT

t m=( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅( ) = ⋅ =02

5210

2 5 72 4 75sen sen sen sen ,ω π π

Em J = 0 706,

F ma N = = ⋅ =2 1 75 3 5, ,

a x

T

x m s= ⋅ = ⎛⎝

⎞⎠

⋅ =⎛

⎝

⎜⎞

⎠

⎟ ⋅ =ω

π π 22 2

2 2

1 5

0 1 1 75

,

, , /

v m s=−( )

=35 0 2 0 1

20 72

2 2, ,, /

F K A K F

AN mmáx

máx

,/= ⋅ ⇒ = = =

7

0 235

Em mv Kx KA vK A x

m= + = ⇒ =

−( )1

2

1

2

1

22 2 2

2 2

Em mv J = = ⋅ ⋅ =

1

2

1

2 2 0 84 0 706

2 2

máx , ,

U.D. 4 . - VI BR AC IO NE S Y ONDAS

27

0

-Pág.31-



La ecuación de la onda que se propaga hacia la derecha es:

Sustituimos:

7. Un hombre tira una piedra en el centro de un estanque circular de 7 m de radio

produciendo una perturbación que origina un movimiento ondulatorio en la superficie.

La longitud de onda es 1 m y tarda 10 s en llegar al borde del estanque. Calcula: a) la

frecuencia del movimiento; b) la amplitud, si a los 0,3 s la elongación en el origen es

de 5 cm; c) la elongación a los 10 s en un punto que se encuentra a 20 cm del foco

emisor.

a) Para calcular la frecuencia según la ecuación , necesitamos hallar primerola velocidad de propagación de las ondas:

con lo que:

b) La ecuación del movimiento será:

de donde podemos despejar el valor de la amplitud:

Ay

f t=

⋅ ⋅( )sen 2π

y A t A f t= ⋅ ⋅ = ⋅ ( )sen senω π 2

f s Hz= = =−0 70 7 0 71,, ,

vxt

m s= = =710

0 7, /

f v

= λ

4

10

0 020

10 0 02

4

0 05⇒ − = ⇒ =⋅

=, ,,

π π

λ λ

π

π m

0 5210

22

0 01410

0 020= ⋅ ⋅ − ⋅( ) ⇒ −⎛

⎝⎞⎠ = ⇒sen , sen

,π π

λ

π π

λ

y A t kx AT

t x= ⋅ −( ) = ⋅ −( )sen senω π π

λ

2 2

FÍSICA

28

. .

-Pág.32-



Según el enunciado del ejercicio, cuando t = 0,3 s, y = 0,05 m:

c) La ecuación del movimiento también se puede escribir de la forma:

Sustituyendo los valores obtenemos:

y m cm= ( ) = = = 0 052 2 0 7 1021

0 2 0 052 2448 0 054 5 4, sen , , , sen , ,

y A f t x= ( )sen 22

A m cm=

( )= = =

0 05

2 0 7 0 3

0 0575 6

0 052 5 2,

sen , ,

,sen ,

, ,

U.D. 4 . - VI BR AC IO NE S Y ONDAS

29

0,049 4,90

0

-Pág.33-




1. Una onda es...

A. Un desplazamiento de materia.

B. Una propagación de energía.

C. La consecuencia de tirar una piedra en un estanque.

D. Una propagación de materia y energía cinética.

2. La reflexión de una onda es...

A. Un cambio de longitud de onda.

B. Un cambio de dirección.

C. Un cambio de tiempo.

D. Ninguna de las anteriores.

3. La refracción de una onda es...

A. Lo mismo que la reflexión pero en el agua.

B. Un cambio en la dirección de la onda al atravesar una superficie que separa dos medios

diferentes.

C. Un cambio en la dirección de la onda al atravesar una superficie que separa dos medios

iguales.

D. Lo mismo que la difracción pero en el aire.

4. El movimiento ondulatorio se caracteriza por...

A. Periodo y frecuencia.

B. Periodo y longitud de onda.

C. Longitud de onda y frecuencia.

D. Ninguna de las anteriores.

5. Si una onda tiene como ecuación: su aceleración y su periodo son:

A. a = 5 · cos (500t – 4 x) T = 79,6 s

B. a = –25 · sen (500t – 4 x) T = 0,12 s

C. a = –2500 · sen (500t – 4 x) T = 0,012 s

D. a = 5 · sen (500t – 4 x) T = 7,96 s

y t x= ⋅ −( )0 01 500 4, sen

FÍSICA

30

-Pág.34-



6. Si el sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s, halla la mínima longitud de

onda correspondiente a 100 kHz.

A. 3,4 mm.

B. 3,4 cm.

C. 34 m.

D. 3,4 m.

7. Determinar la longitud de onda de un sonido de 500 Hz en el agua y en el hierro, sabiendo que la

velocidad de propagación del sonido en estos medios es, respectivamente, 1430 m/s y 5100 m/s.

A. 2,86 m y 10,2 m.

B. 28,6 m y 10,2 m.

C. 28,6 m y 1,02 m.

D. 2,86 m y 1,02 m.

8. Si una masa se mueve con un MAS e inicialmente se encuentra en reposo a 3 cm de su posición

de equilibrio, escribe la ecuación de su movimiento si el periodo es de 15 s.

A. y = 3 · sen 0,13π t

B. y = 0,03 · sen 0,13 π t

C. y = 3 · sen

(0,13π t + –– π

)2D. y = 0,03 · sen (0,13π t + –– π

)2

9. Escribe la ecuación de una onda que se propaga por una cuerda, a partir de los siguientes datos:

λ = 2,7 m; T = 3 s; A = 1,5 cm.

A. y = 0,015 · sen 0,74 π (x – 0,9t)

x tB. y = 0,015 · sen 2π ( –– – –– )2,7 3

C. y = 0,015 · sen (0,74π

x – 0,6π

t)

D. Todas son correctas.

10. Calcular la frecuencia y la longitud de onda de una onda que tiene por ecuación:

y(x, t) = 1,3 · sen 2,1 ( x – 4t)

A. f = 4 Hz; λ = 2,1 m

B. f = 1,37 Hz; λ = 299 cm

C. f = 0,525 Hz; λ = 0,95 m

D. f = 2,1 Hz; λ = 1,3 cm


31

-Pág.35-




FÍSICA

32

1. B

2. B

3. B

4. D

5. C

6. A

7. A

8. D

9. D

10. B

-Pág.36-



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MAPA CONCEPTUAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

DESARROLLO DE CONTENIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. CONTROVERSIA SOBRE LA NATURALEZA DE LA LUZ. . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. ANÁLISIS DEL MODELO CORPUSCULAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. ANÁLISIS DEL MODELO ONDULATORIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. INFLUENCIA DE LOS FACTORES EXTRACIENTÍFICOS

EN SU ACEPTACIÓN POR LA COMUNIDAD CIENTÍFICA. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ CON EL MEDIO . . . . . 8

2.1. ALGUNOS FENÓMENOS PRODUCIDOS POR EL CAMBIO DE MEDIO . . . . . 9

2.1.1. REFLEXIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2. REFRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3. ABSORCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4. DISPERSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. ÓPTICA GEOMÉTRICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1. COMPRENSIÓN DE LA VISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. FORMACIÓN DE IMÁGENES EN ESPEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. FORMACIÓN DE IMÁGENES EN LENTES DELGADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4. APLICACIÓN AL ESTUDIO DE ALGÚN SISTEMA ÓPTICO . . . . . . . . . . . . . . 22

4. ESTUDIO CUALITATIVO Y EXPERIMENTAL DE LOS FENÓMENOS DE

DIFRACCIÓN, INTERFERENCIAS, DISPERSIÓN Y ESPECTROVISIBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1. VISIÓN DEL COLOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2. ESPECTROSCOPÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Í N D I C E

-Pág.37-

U.D. 5.- ÓPTICA




• Comprender la doble naturaleza de la luz.

• Conocer la dependencia de la velocidad de la luz con el medio por el que se

propaga.

• Aplicar y diferenciar los conceptos de índice de refracción absoluto y

relativo.

• Razonar los fenómenos de reflexión, refracción, dispersión y absorción.

• Diferenciar los conceptos de espejos y lentes.

• Aplicar los conceptos vistos en la unidad a la resolución de ejercicios.

O B J E T I V O S

-Pág.38-

FÍSICA



La Óptica es la rama de la Física que se ocupa de la propagación y elcomportamiento de la luz. En un sentido amplio, la luz es la zona del espectro

de radiación electromagnética que se extiende desde los rayos X hasta lasmicroondas, e incluye la energía radiante que produce la sensación de visión. Elestudio de la óptica se divide en dos ramas, la óptica geométrica y la óptica física.

Desde la antigüedad, el hombre ha intentado buscar explicación al fenómenoluminoso y por eso han existido teorías con respecto a este tema. Pero sólo algunasde ellas eran capaces de justificar algunos hechos, tales como la refracción, reflexióno dispersión de la luz.

El que se admitiese una teoría o que otra fuera más aplaudida y apoyada, dependíasólo del prestigio y la popularidad del científico que la proponía.

Posteriormente, era la experiencia la que determinaba cuál era la correcta o la másidónea para explicar un determinado fenómeno o todos ellos.


-Pág.39-

U.D. 5.- ÓPTICA



MA PA C ON CE PTUA L

Modelo corpuscular

Teoria Newton

LUZ

Dualidad onda-corpúsculo

Modelo ondulatorio

Teoria Huygens

Propiedades de la luz

Reflexión

Refracción

Dispersión

Absorción

Óptica geométrica

Espejos

Lentes

-Pág.40-

FÍSICA



1.CONTROVERSIA SOBRE LA NATURALEZA

DE LA LUZ

En la antigüedad, los griegos concebían la luz como ciertos rayos que, emitidos por los

ojos, incidían sobre los objetos, permitiendo verlos. Posteriormente se invirtió la hipótesis,

afirmando que eran los objetos los que emitían rayos.

Tanto una hipótesis como la otra son incapaces de explicar por qué no se emiten rayos

en la oscuridad. De ese modo se planteó una nueva hipótesis que identifica la luz como algo

procedente del Sol o de los cuerpos incandescentes.

Llegar a identificar ese “algo” ha supuesto un debate permanente en la historia de la

ciencia durante los últimos siglos.

1.1. ANÁLISIS DEL MODELO CORPUSCULAR

Hacia el año 1700, Newton, en su tratado sobre óptica, afirmaba que la luz está

compuesta por partículas luminosas, distintas para cada color, que emitidas por el focoluminoso llegan al ojo y producen la sensación correspondiente. Esta hipótesis se apoyaba

en los siguientes hechos:

— La trayectoria seguida por los corpúsculos es rectilínea y, por tanto, la luz se propaga

en línea recta.

— Al interponer un obstáculo en el camino de la luz, no deja pasar los corpúsculos y se

forma la sombra.

— La reflexión de la luz puede explicarse como resultado del choque y posterior rebote

de los corpúsculos sobre la superficie reflectora.

No obstante, dando por válida esta hipótesis, quedaban algunos hechos sin explicar,

como por ejemplo:

— Los cuerpos que emiten luz deben perder masa, debido a la emisión de corpúsculos.

Sin embargo, no se observa tal pérdida.

— Además de reflejarse, la luz se refracta; incluso pueden ocurrir ambos fenómenos

simultáneamente. ¿Por qué determinados corpúsculos se reflejan y otros se

refractan?

5

U.D. 5.- ÓPTICA

-Pág.41-



— Aparte de estos problemas, aparecen otros, que no podemos analizar en profundidad,

entre los que destaca la interpretación de Newton para la refracción: supone aceptar

que la velocidad de la luz aumenta al pasar del aire al agua, cuando experimentos

posteriores indicaron que ocurre exactamente al revés.

1.2. ANÁLISIS DEL MODELO ONDULATORIO

Huygens, contemporáneo de Newton, propuso una hipótesis radicalmente distinta sobre

la naturaleza de la luz. Según él, la luz es una onda que se propaga igual que las ondas que

hemos estudiado anteriormente. Los hechos experimentales que avalaba esta concepción

son los siguientes:

— Los cuerpos que emiten luz no pierden masa.

— La propagación rectilínea de la luz y la reflexión pueden ser explicados

ondulatoriamente, sin recurrir a partículas materiales.

— La refracción también puede ser explicada así y se obtiene, además, la respuesta

correcta a la velocidad de propagación de la luz en el aire y en el agua.

Sin embargo, la teoría ondulatoria de Huygens también dejaba muchas cosas por

explicar. Así, por ejemplo:

— Si la luz es un fenómeno ondulatorio, necesita de un medio material para propagarse.

Por tanto, no debería propagarse en el vacío.

— Si la luz es un fenómeno ondulatorio, deben presentarse fenómenos de interferencia

y difracción que en aquel entonces no se habían observado.

1.3. INFLUENCIA DE LOS FACTORES EXTRACIENTÍFICOSEN SU ACEPTACIÓN POR LA COMUNIDAD CIENTÍFICA

La hipótesis que prevaleció fue la de Newton, bien por el prestigio de éste o por su

mayor sencillez. No obstante, quedaban muchos fenómenos por explicar, continuando, por

tanto, las investigaciones sobre la naturaleza de la luz.

En el siglo XIX, Fresnel y Young observaron que la luz podía producir fenómenos de

interferencia y difracción, lo cual de ningún modo podía explicarse con las ideas de

Newton.

FÍSICA

6

-Pág.42-



Por otra parte, al medir Foucault la velocidad de la luz en diferentes medios, vio que al

propagarse por el aire y refractarse en el agua, dicha velocidad disminuía, tal como sededucía de la hipótesis ondulatoria de Huygens.

Estos datos permitieron que se aceptaran las ideas de Huygens sobre la naturaleza

ondulatoria de la luz.

1.4. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO

La luz se manifiesta unas veces con carácter corpuscular, es decir, como si se tratara deun conjunto de partículas, y en otros casos tiene comportamiento ondulatorio.

Un ejemplo de la naturaleza corpuscular de la luz es el efecto fotoeléctrico, estudiado

por Einstein. Según este efecto se obtenían electrones libres cuando incidía un rayo de luz

sobre un metal. Esto se debía a una absorción de energía procedente del rayo de luz por

parte de los electrones, los cuales salen del metal con una cierta energía cinética. Pero un

aumento de la energía incidente no aumenta la energía cinética de los electrones emitidos,

sino que dicha energía varía con la frecuencia de la luz, de forma que, por debajo de

determinada frecuencia, no se emiten electrones. Los resultados obtenidos implicaban que

la forma que tiene la luz de interaccionar con los electrones es en cantidades discretasllamadas cuantos. La energía de cada cuanto viene dada por la expresión:

donde ν es la frecuencia de la radiación y h es la constante de Planck cuyo valor es

6,626·10–34 J·s.

Estas cantidades de energía se llaman fotones.

Ejemplos de la naturaleza ondulatoria de la luz son la difracción y la interferencia que

no se pueden explicar basándose en la naturaleza corpuscular.Después de todo esto podemos deducir que la luz tiene una doble naturaleza,

ondulatoria-corpuscular. Es decir, está constituida por unos corpúsculos fundamentales

(fotones) que se caracterizan por su energía y su cantidad de movimiento (relacionada con

su velocidad), y que a la vez llevan asociada una onda. Ambas naturalezas no se manifiestan

nunca a la vez.

Louis de Broglie propuso que si el fotón lleva asociada una onda, existe la relación:

ph h

p= ⇒ =

λ λ

E h= ⋅ν

U.D. 5.- ÓPTICA

7

-Pág.43-



donde p es la cantidad de movimiento o momento lineal del fotón ( p = m · v), h es la

constante de Planck y λ es la longitud de onda.

Generalizó esta conclusión para toda la materia y, en consecuencia, cualquier partícula

en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud de onda viene dada por la expresión

anterior.

2.

DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ

CON EL MEDIO

En el siglo XIX ya se conocía el valor, bastante aproximado, de la velocidad de la luz en

el vacío (c = 3 · 108 m/s), pero esta velocidad no es la misma en todos los medios.

Su valor está determinado por una magnitud llamada índice de refracción del medio, o

índice de refracción absoluto del medio, y se representa por la letra “n”. Se define como

el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad que tiene en dicho medio:

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad de la luz en el otro medio.

El índice de refracción depende de las características físicas de cada medio.

El índice de refracción absoluto siempre tiene que ser mayor que 1, ya que siempre c›v.

También se puede calcular el índice de refracción relativo entre dos medios a partir de

la siguiente ecuación:

“El índice de refracción relativo del medio 1 respecto al medio 2 es el cociente entre el

índice de refracción absoluto del medio 1 dividido por el índice de refracción absoluto del

medio 2”.

nn

n

c

v

c

v

v

vr = = =

1

2

1

2

2

1

nc

v=

FÍSICA

8

-Pág.44-



2.1. ALGUNOS FENÓMENOS PRODUCIDOS POR EL CAMBIO

DE MEDIO

Al pasar la luz de un medio a otro se producen una serie de fenómenos, tales como:

reflexión, refracción, absorción y dispersión.

2.1.1. REFLEXIÓN

La reflexión es el cambio de dirección que experimenta el rayo luminoso cuando incide

sobre la superficie iluminada, sin abandonar el medio por el cual se propaga. Es decir,cuando la luz incide sobre un cuerpo, éste la devuelve al medio en mayor o menor

proporción según sus propias características. Gracias a este fenómeno, nosotros podemos

ver las cosas.

No todos los cuerpos se comportan de la misma forma frente a la luz que les llega debido

a que existen dos tipos de reflexión: la reflexión especular y la reflexión difusa. Esto explica

que podamos vernos en espejos o en superficies metálicas pulidas, pero no en un trozo de

madera o de papel.

El siguiente esquema corresponde a la reflexión especular:

Al tratarse de una superficie lisa, los rayos reflejados son paralelos.

La siguiente figura corresponde a la reflexión difusa:

En este caso los rayos son reflejados en distintas direcciones debido a la rugosidad de

la superficie.

U.D. 5.- ÓPTICA

9

-Pág.45-



Con el siguiente esquema estudiaremos las leyes de la reflexión:

Las leyes de la reflexión son:

— El ángulo de incidencia (αi) es igual al ángulo de reflexión (αr).

— El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano.

2.1.2. REFRACCIÓN

Es el cambio de dirección que sufre un rayo de luz al atravesar la superficie que separados medios de propagación. Veamos la figura siguiente:

Normal

Rayo reflejadoRayo incidente

Medio A

Medio B

α i α r

Rayo refractadoαR

Normal

Rayo reflejadoRayo incidente

Medio A

Medio B

α i α r

FÍSICA

10

-Pág.46-



Las leyes de la refracción son las siguientes:

— El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano.

— El ángulo de incidencia (αi) es distinto del ángulo de refracción (αR).

— La relación entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción

es constante, y a esta constante se le llama índice de refracción (n):

— Ley de Snell: Cuando la luz pasa de un medio de índice de refracción ni a otro medio

de índice de refracción nR, los ángulos de incidencia (αi) y de refracción (αR)

cumplen la relación:

Ejemplo 1:

El índice de refracción del diamante es 5/2 y el del vidrio es 3/2. Calcular el índice de

refracción relativo vidrio-diamante.

Aplicamos la ecuación que relaciona los índices de refracción de dos medios distintos:

Ejemplo 2:

Un rayo se propaga en el aire e incide sobre la superficie de una placa de vidrio con un

ángulo de 45º. Calcular el ángulo de refracción. Datos: índice de refracción del aire = 1;índice de refracción del vidrio = 1,5.

Aplicando la ley de Snell:

n nn

ni i R R R

i i

R

R⋅ = ⋅ ⇒ =

⋅

=

⋅

= ⇒ = =sen sen sensen sen º

,, arcsen , , ºα α α

α

α

1 45

1 50 47 0 47 28 12

nn

nr

= = =1

2

5

23

2

5

3

n ni i R R

⋅ = ⋅sen senα α

sen

sen

α

α

i

R

constante n= =

U.D. 5.- ÓPTICA

11

3

5 5

3

-Pág.47-



2.1.3. ABSORCIÓN

Se llama absorción al fenómeno por el cual algunos gases son capaces de absorber de

algún modo la luz de ciertas longitudes de onda, de la luz blanca que pasa a su través,

produciendo líneas negras en el espectro.

Todo gas o vapor absorbe, a cualquier temperatura, las mismas radiaciones que es capaz

de emitir si estuviera incandescente. Esto se conoce con el nombre de ley de Kirchhoff .

2.1.4. DISPERSIÓN

Fue Newton quien, en 1666, descubrió que cuando un haz de rayos de luz natural (luz

blanca) se hacía pasar a través de un prisma óptico se descomponía en otros colores más

simples. El prisma dispersa o separa los colores simples que componen la luz blanca o

cualquier otra luz compleja (luz policromática).

Este fenómeno se debe a que las distintas radiaciones que constituyen una luz

policromática, no se propagan con la misma velocidad al atravesar los medios transparentes

y, por tanto, se desvían con diferente ángulo de refracción y con ello se separa en las

diferentes luces simples o monocromáticas que la forman.

Al recoger en una pantalla o placa fotográfica las radiaciones que salen del prisma, se

obtiene un conjunto de colores que constituyen el llamado espectro visible.

Este espectro se forma porque el índice de refracción del prisma varía para cada

frecuencia.

Llamamos dispersión a la separación de un rayo de luz en sus componentes debido al

diferente índice de refracción.

La velocidad de una onda viene dada por el producto de la frecuencia y la longitud de

onda de dicha onda. Si el índice de refracción varía para cada onda con las diferentesfrecuencias, quiere decir que cada una tiene distinta velocidad. Si la frecuencia es constante,

si cambia la velocidad debe variar también la longitud de onda.

Si consideramos una onda que incide desde el vacío en un medio cuyo índice de

refracción es n, tendremos:

— En el vacío:

— En el medio: v

v

= ⋅ ⇒ =λ ν ν

λ

c

c

= ⋅ ⇒ =λ ν ν λ

0

0

FÍSICA

12

-Pág.48-



Igualando:

Si tenemos en cuenta que: , es el índice de refracción del medio; podemos escribir:

donde: λ0 = longitud de onda en el vacío.

λ = longitud de onda en el medio considerado.

n = índice de refracción del medio.

Ejemplo:

Si el índice de refracción del aceite es 1,45, calcula el valor de la longitud de onda (en

nm) del color violeta en ese medio, sabiendo que su frecuencia es 7,5·1014 Hz.

Dato: 1 nm = 10–9 m.

Calculamos primero la longitud de onda correspondiente al color violeta en el vacío:

Ahora calculamos la longitud de onda en el aceite:

Transformamos los metros en nanometros:

2 76 101

102767

9, ⋅ ⋅ =

−

−m

nm

m

nm

λ λ

= =⋅

= ⋅

−

−07

74 10

1 452 76 10

n

m

,,

λ ν

0

8

14

73 10

7 5 104 10= =

⋅

⋅= ⋅

−c

m

,

λ λ

=0

n

c

v

n=

c v v

c c

v

λ λ λ λ λ

0

0 0= ⇒ = ⋅ =

U.D. 5.- ÓPTICA

13

-Pág.49-



3. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Estudia la trayectoria de la luz cuando se refleja o se refracta en la superficie de separación

entre medios. Al conjunto de medios materiales que están limitados por superficies de

cualquier naturaleza se le llama sistema óptico. Los sistemas ópticos pueden ser:

— Estigmáticos: todos los rayos que parten de un punto se unen en otro.

— Astigmáticos: todos los rayos que parten de un punto no se juntan en otro.

Denominaremos rayo de luz a la línea de avance que es perpendicular al frente de onda.

Los rayos se caracterizan porque se propagan siempre de la misma forma en cualquier

sentido, es decir, se dice que son reversibles en su propagación. Además, son independientes

entre sí, cuando dos o más rayos se cruzan no ven afectada su trayectoria.

Si los rayos de luz que parten de un punto se concentran en otro, este segundo punto es

la imagen del primero.

Se dice que un sistema es centrado cuando todas las superficies de separación de medios

tienen un eje común de simetría.

La lupa, el microscopio o los telescopios son instrumentos que funcionan aprovechando

las leyes estudiadas en apartados anteriores.

Por otra parte, hay que hacer notar que si vemos la imagen de un objeto, es porque llega

a nuestros ojos luz que impresiona nuestra retina.

¿Por qué nos vemos al otro lado del espejo si allí no hay nadie?

¿Por qué se hacen más grandes los objetos cuando miramos a través de una lupa?

Para contestar estas preguntas debemos estudiar el funcionamiento de los espejos y las

lentes, pero antes, conoceremos cómo funciona nuestra visión.

3.1. COMPRENSIÓN DE LA VISIÓN

Los instrumentos de óptica destinados a obtener la imagen de un objeto se clasifican en

dos grandes grupos: instrumentos de proyección, que forman una imagen real que se recoge

FÍSICA

14

-Pág.50-



sobre una pantalla, e instrumentos oculares o de observación subjetiva que, con la ayuda del

ojo, forman una imagen real en la retina del observador.

El ojo, receptor normal de la luz, nos pone en comunicación con el mundo exterior en

cuanto a fenómenos luminosos se refiere; como instrumento óptico consta de los siguientes

medios refringentes o refractarios: la córnea, el humor acuoso, el cristalino y el humor vítreo.

La córnea es invariable, no así el cristalino, que es elástico y está sostenido en su lugar

por ligamentos que lo unen al músculo ciliar, gracias al cual puede cambiar de forma; de este

modo es posible obtener la acomodación, es decir, la formación sobre la retina de imágenes

nítidas de los objetos luminosos cuya distancia a la retina varía desde el infinito (punto

remoto) hasta casi 25 centímetros (punto próximo); delante del cristalino se encuentra

situado el iris, diafragma cuya abertura recibe el nombre de pupila y tiene por misión regular

la cantidad de luz que entra en el ojo, dilatándose o contrayéndose automáticamente.

Todas estas partes: la córnea, el humor acuoso, el cristalino y el humor vítreo, están

separadas por superficies curvas de revolución, con sus centros en línea recta. En la parteposterior del ojo y por debajo de dicha línea recta, se encuentra el nervio óptico, cuya

expansión tapiza el interior del ojo, formando la retina, sobre la cual se forman las imágenes.

Se llama diámetro aparente o ángulo visual de un objeto al ángulo que forman sus

extremos con el centro óptico del ojo. La distancia desde este punto hasta la retina es de 15

milímetros. La imagen retiniana es tanto mayor cuanto más cerca del ojo se encuentre el

objeto. El máximo tamaño de la figura se alcanza cuando la distancia del objeto al centro

óptico del ojo es igual a la distancia mínima de la visión neta. El ojo miope tiene ventaja en

la visión directa al tener el punto próximo a distancia menor que el ojo normal.

U.D. 5.- ÓPTICA

15

-Pág.51-



-Pág.52-



Al llegar al espejo estos rayos se reflejan, y podemos construir sus correspondientes

rayos reflejados.

El rayo OM se refleja sobre sí mismo por incidir perpendicularmente al espejo. El rayo

ON se refleja en la dirección NN´.

A nuestro ojo llegarán los rayos divergentes OM y NN´. El cerebro interpreta que estos

rayos han sido emitidos por un foco común que en realidad no existe. En este caso el

hipotético foco se encuentra prolongando los rayos en sentido contrario. Al ojo le parecerá

que los rayos proceden de O´, ignorando la reflexión que ha tenido lugar previamente. El

ojo “ve” el punto O´ tras el espejo, como la imagen del punto O. Como el punto O´

realmente no existe, se dice que la imagen es virtual.

En conclusión, la imagen que se forma en un espejo plano es virtual y simétrica respecto

al plano del espejo.

3.2.2. ESPEJOS ESFÉRICOS

Su superficie está constituida por un casquete esférico. Pueden ser de dos tipos:

— Cóncavos: cuando la superficie que refleja es la interior.

— Convexos: si la superficie que refleja es la exterior.

U.D. 5.- ÓPTICA

17

-Pág.53-



Los espejos esféricos constan de los siguientes elementos:

— Centro de curvatura (C): centro de la superficie esférica.

— Radio de curvatura (R): distancia que existe entre C y la superficie del espejo.

— Centro del espejo (O): origen del sistema de coordenadas.

— Eje principal o eje óptico: recta que pasa por C y O.

— Foco (F): es el punto del eje por el que pasan los rayos paraxiales (son los que

forman con el eje óptico ángulos tan pequeños, ≤ 10º, que el seno y la tangente

pueden sustituirse por el valor del ángulo) o sus prolongaciones cuando inciden

paralelos al eje.

— Distancia focal (f): distancia entre O y F.

Los rayos que inciden sobre el espejo paralelos al eje óptico se reflejan y cortan al eje

en un punto (foco) si son cóncavos, o en sus prolongaciones si son convexos. Si los rayos

son próximos al eje (rayos paraxiales), estos puntos de corte coinciden prácticamente en

uno solo.

Uno de los elementos más útiles a la hora de los cálculos es la distancia focal. Esta

distancia focal es igual a la mitad del radio de curvatura, tanto si el espejo esférico es

cóncavo como si es convexo. La única diferencia entre ellos es el convenio de signos que

se sigue, puesto que para el espejo cóncavo se considera el radio negativo y para el convexo,

positivo.

En el caso de los espejos esféricos la construcción de imágenes es muy sencilla si se

utilizan los rayos principales:

a) Imagen formada en espejos cóncavos:

FÍSICA

18

-Pág.54-



Tenemos varias posibilidades según donde se encuentre el objeto:

— Si el objeto está entre el infinito y el centro de curvatura, la imagen es real, invertida

y menor que el objeto.

— Si se encuentra entre el centro de curvatura y el foco, la imagen es real, invertida y

mayor que el objeto.

— Si está entre el foco y el espejo, la imagen es virtual porque se forma al prolongar

los rayos reflejados, y además es derecha y de mayor tamaño.

b) Imagen formada en espejos convexos:

En el caso de espejos convexos, las imágenes son siempre virtuales, derechas y de

menor tamaño que el objeto, independientemente de dónde se coloque éste.

Se llama aumento lateral A al cociente entre el tamaño de la imagen y el del objeto:

donde: y = tamaño del objeto

y´= tamaño de la imagen

s = distancia del objeto al centro del sistema

s´ = distancia de la imagen al centro del sistema.

Ay

yss

= =

−' '

U.D. 5.- ÓPTICA

19

-Pág.55-



A partir de esa ecuación y con una serie de desarrollos matemáticos, se llega a la

siguiente expresión, conocida como ecuación de los espejos, o ley de Descartes.

donde s y s´ representan lo mismo que antes, y f es la distancia focal.

Combinando las dos expresiones anteriores se puede resolver cualquier ejercicio de

espejos esféricos.

3.3. FORMACIÓN DE IMÁGENES EN LENTES DELGADAS

Se denomina lente a todo material transparente y homogéneo, limitado por caras curvas.

Una de ellas puede ser plana.

Una lente puede considerarse como una asociación de dos dioptrios. Un dioptrio es la

superficie de separación entre dos medios con distinto índice de refracción, isótropos y

homogéneos.

Se llama eje óptico a la recta que une los centros de curvatura de las superficies esféricas

que forman sus caras, y centro óptico al punto en el que el eje óptico corta la lente.

Si el espesor de una lente en el eje óptico es despreciable frente a los radios de las caras

de ésta, la lente se denomina delgada.

Hay diferentes clases de lentes, según sean las superficies que las limitan. En la figura

siguiente se aprecian los principales tipos, distinguiendo entre lentes delgadas convergentes

y divergentes:

Las lentes convergentes se caracterizan porque todo haz de rayos paralelos que las

atraviesa, converge al salir de ellas en un punto denominado foco.

1 1 1s s f '

+ =

FÍSICA

20

-Pág.56-



En las divergentes, todo haz de paralelos que las atraviesa diverge al salir de ellas; su

prolongación hacia atrás se corta en un punto llamado foco virtual.

En las lentes convergentes, las características de la imagen dependen de la distancia del

objeto a la lente. Nos encontraremos con los siguientes casos:

— Objeto lejano: la imagen que se obtiene es real e invertida. En este caso, el objeto se

encuentra a una distancia de la lente superior a la distancia focal. El tamaño de la

imagen depende de la distancia del objeto a la lente.

— Objeto cercano: el objeto se encuentra a una distancia de la lente inferior a la

distancia focal y la imagen que se obtiene es virtual, derecha y de mayor tamaño.

Foco virtual

Foco

U.D. 5.- ÓPTICA

21

-Pág.57-



En las lentes divergentes siempre se obtiene el mismo tipo de imagen, sea cual sea la

posición del objeto. La imagen es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

3.4. APLICACIONES AL ESTUDIO DE ALGÚN SISTEMA ÓPTICO

Cuando se trata de aparatos que dan imágenes reales, su aumento queda determinado

por la relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto. En los instrumentos de

observación, se define como la relación entre el tamaño de la imagen retiniana dada por el

aparato y el de la imagen producida en la visión directa.

La lupa es el instrumento óptico más sencillo; se reduce a una lente convergente que se

interpone entre el ojo y el objeto a observar que, de ordinario, es de dimensiones

relativamente pequeñas. Da una imagen virtual situada delante del ojo entre el punto

próximo y el punto remoto. Al enfocar se modifica, en general, la distancia de la lupa al

objeto, de modo que se pueda ver la imagen sin necesidad de acomodación. Para un ojo

normal el objeto debe estar en el plano focal de la lupa.

La eficacia o aumento de la lupa se define por la expresión:

donde tg α es el ángulo visual aparente bajo el cual se ve el objeto sin lupa, y tg β es el

ángulo bajo el cual se ve con lupa.

También se puede escribir de la forma:

donde d es la mínima distancia de la visión distinta y f es la distancia focal. Según esto, es

inversamente proporcional a la distancia focal de la lupa, es decir, directamente a su

potencia; también es proporcional a la distancia de la visión neta.

Ad

f =

A =tg

tg

β

α

FÍSICA

22

-Pág.58-



Con la lupa o microscopio simple se logran aumentos del orden de 25; para obtener

aumentos superiores se recurre al microscopio compuesto o, simplemente, microscopio.Consta esencialmente de un objetivo, lente convergente que ha de producir del objeto (y)

una imagen real y mayor (y´). Se enfoca de tal manera que se vea la imagen virtual de y´

sin necesidad de acomodación, lo cual ocurre para un ojo normal cuando y´ se forme en el

segundo foco. Al continuar propagándose los rayos desde este punto, encuentran a una

segunda lente convergente, el ocular, que hace el papel de lupa y es la que da, por tanto, la

imagen virtual de y´ que, además, es mayor e invertida respecto al objeto; la imagen

definitiva se halla en el infinito; para que esto ocurra, el objeto se ha de colocar exactamente

en el foco anterior del sistema objetivo-ocular.

El aumento del microscopio es directamente proporcional a las distancias del objetivo y

del ocular al intervalo óptico y a la mínima distancia d, de visión nítida. La expresión es:

siendo ∆ la longitud o intervalo óptico y f’1 y f ’2 las distancias focales del objetivo y del

ocular, respectivamente.

A la expresión se le llama potencia del microscopio.

Otro instrumento óptico es lo que se llamaba el anteojo astronómico que sirve para

observar objetos lejanos y consta de dos sistemas ópticos centrados, equivalentes a lentes

convergentes: el objetivo, que forma una imagen real y más pequeña del objeto, y el ocular,

que desempeña el mismo papel que en el microscopio, es decir, formar, de la imagen real

dada por el objetivo, una imagen virtual.

Los objetos examinados por el anteojo se encuentran, ordinariamente, a distancias tan

grandes del instrumento, que la imagen formada por el objetivo, se encuentra en el foco del

ocular, el cual en estas condiciones dará la imagen virtual en el infinito.

El aumento se calcula teniendo en cuenta que los rayos que provienen del objeto, muy

alejado, penetran en el ojo formando el mismo ángulo a con que llegan al objetivo, y se define,

como la razón del ángulo subtendido desde el ojo por la imagen final, al ángulo subtendido

desde el ojo, sin anteojo, por el objeto. Por tanto, podemos definir el aumento por la expresión:

A =tg

tg

β

α

D f f

=

⋅

∆

' '1 2

A d f f

= ⋅⋅

∆

' '1 2

U.D. 5.- ÓPTICA

23

-Pág.59-



o también:

donde el signo negativo indica que la imagen es invertida; f1́ es la distancia focal del objetivo

y f2́ es la distancia focal del ocular.

Mientras que la imagen invertida no es una desventaja para observaciones astronómicas,

esto no es práctico cuando se desea observar objetos terrestres. En los anteojos terrestres

se produce una imagen directa intercalando una lente, o un sistema de lentes, entre el

objetivo y el ocular. El conjunto constituye el sistema óptico del catalejo, que tiene la

desventaja de exigir un tubo largo.

Otra forma de conseguir la inversión es el uso de los prismáticos: se efectúan cuatro

reflexiones en dos prismas de reflexión total con sus secciones principales perpendiculares

entre sí y sus bases perpendiculares a los ejes del objetivo y el ocular.

El sistema óptico de un anteojo reflector, llamado comúnmente telescopio, es en

esencia, el mismo que el de un anteojo astronómico; como objetivo se usa un espejo

parabólico construido de vidrio plateado. Después de formada la imagen real en el plano

focal, se observa con un ocular, pero para evitar que el propio observador se interponga en

la marcha incidente y quite luminosidad, es necesario desviar los rayos; para esto el

telescopio de Newton tiene un pequeño espejo plano desviado 45°. Existen otros

dispositivos, como el de Grégory y el de Cassegrain, que emplean un espejo cóncavo el

primero y convexo el segundo.

La cámara fotográfica consta esencialmente de una lente convergente o un sistema de

lentes que recibe el nombre de objetivo; una caja opaca a la luz y una placa sensibilizada

para recibir la imagen. La cámara fotográfica produce sobre la placa una imagen real de los

objetos exteriores, situados entre el infinito y el doble de la distancia focal del objetivo.

El objetivo debe producir una imagen perfecta, para lo cual es menester que tenga

corregidas sus aberraciones (aparición de imágenes deformadas o confusas con defectos),

sobre todo el astigmatismo (aberración producida por un objeto luminoso apartado del eje

óptico, pero cuyo haz de rayos se limita por medio de un diafragma, que es un disco

pequeño horadado que sirve para regular la cantidad de luz que se ha de dejar pasar) y la

curvatura (aberración que se produce cuando la imagen de un segmento rectilíneo

perpendicular al eje óptico es un arco de curva situado en un plano perpendicular al eje).

Una de las cualidades más apreciadas en un objetivo es la claridad, la cual podemos medir

por la iluminación de la imagen correspondiente a un objeto de brillo determinado.

A f f

= −''

1

2

FÍSICA

24

-Pág.60-



Los aparatos de proyección producen en una pantalla una imagen muy amplificada de

objetos de dimensiones relativamente pequeñas. Constan principalmente de una lenteconvergente, el objetivo, que puede estar constituida por un objetivo fotográfico, en el cual

el objeto pasa a ocupar el lugar de la placa en la cámara fotográfica, es decir, queda situado

entre el foco principal de la lente y el doble de la distancia focal, pues entonces es cuando

produce una imagen real y amplificada. Como la distancia de la pantalla al objetivo suele

ser grande frente a su distancia focal, se puede considerar que el objeto está prácticamente

en el foco de la lente y, por tanto, el aumento del aparato de proyección, que es la relación

entre el tamaño de la imagen y el del objeto, es igual a la relación entre la distancia de la

pantalla al objetivo y su distancia focal.

Si el aparato está destinado a la proyección de objetos transparentes se llama diáscopo;

si de objetos opacos, epíscopo; si está destinado a ambas cosas a la vez, epidiáscopo. Como

los rayos de luz que salen del objetivo son recogidos por la lente y distribuidos luego por

toda la pantalla, se necesita una gran iluminación, la cual se logra con un arco voltaico o

con lámparas de incandescencia muy potentes. Para concentrar los rayos sobre el objeto que

se desea proyectar, se emplea un sistema de lentes llamado condensador, cuya misión es

desviar la luz del manantial hacia dentro, de modo que pueda pasar a través de la lente

proyectora. Suprimiendo el condensador, la luz que pasa a través de las partes exteriores de

la diapositiva no incidiría sobre la lente proyectora y sólo se formaría sobre la pantalla la

imagen de una porción de ella.

4.ESTUDIO CUALITATIVO Y EXPERIMENTAL DE LOSFENÓMENOS DE DIFRACCIÓN, INTERFERENCIAS,DISPERSIÓN Y ESPECTRO VISIBLE

Se llama difracción a la curvatura de las ondas cuando pasan cerca del borde de un

obstáculo o a través de pequeñas aberturas. Los factores que pueden observarse para la luz

bajo condiciones prósperas es la mayor evidencia de la naturaleza ondulatoria de la luz. Si

la luz se refleja casi paralelamente a la superficie de un disco de vinilo (un LP), podemos

ver el juego de colores iridiscente del arco iris debido a que las diferentes longitudes de

onda de la luz son difractadas por diferentes cantidades cuando son reflejadas por los

pequeños canales espaciados regularmente y que cubren la superficie del disco. De hecho,

una superficie cubierta por canales o pequeñas lomas espaciadas pueden ser utilizadas como

sustitutos para el prisma en un electroscopio.

U.D. 5.- ÓPTICA

25

-Pág.61-



Estos retículos de microscopio se hacen por máquinas especiales que hacen ranuras

extremadamente pequeñas en metales o vidrio, con una punta de diamante. Pueden llegar atener incluso seis mil o más ranuras en un centímetro y es capaz de dar mucha mayor

dispersión que cualquier prisma.

El fenómeno de la interferencia puede ser producido por lo que se llaman fuentes

coherentes que son aquellas que emiten ondas de luz de la misma longitud de onda o

frecuencia, estando siempre ambas en fase o con una diferencia de fase constante.

Cuando observamos, por ejemplo, los colores que produce la luz del sol sobre una

burbuja de jabón, dichos colores son provocados por la interferencia de las ondas de luz

reflejadas desde el frente hacia atrás de las superficies de las películas transparentes finas.Esto se produce porque dos haces de ondas que llegan al mismo plano suman sus efectos si

llegan en fase o los contrarrestan si llegan desfasados. Esto se conoce como principio de

superposición. Thomas Young descubrió este principio de interferencia. El espesor de la

película es típicamente del orden de la magnitud de la longitud de onda de la luz. Las

películas delgadas depositadas en los componentes ópticos tales como los lentes de las

cámaras pueden reducir la reflexión y mejorar la intensidad de la luz transmitida. Los

cubrimientos delgados en ventanas pueden mejorar la reflexión para la radiación infrarroja

mientras tiene menos efecto en la radiación visible. De esta manera es posible reducir el

efecto de calor de la luz de sol en un edificio.

Dependiendo del espesor, una película delgada puede ser perfectamente reflejante o

perfectamente transmitir la luz de una determinada longitud de onda. Estos efectos resultan

tanto de interferencias constructivas como destructivas.

En cuanto al fenómeno de la dispersión podemos decir que fue el científico inglés

Rayleigh quien lo explicó. Vimos que la dispersión consistía en la separación de un rayo de

luz en sus componentes debido a su diferente índice de refracción.

El aire está lleno de miles de moléculas de nitrógeno y oxígeno. Estas moléculas están

diseminadas al azar. Los fotones de luz pueden cambiar estas moléculas en una oscilación.Si esto sucede, las moléculas absorben y emiten fotones. Los fotones emitidos son

dispersados también al azar por la colocación al azar de las moléculas.

Vimos que fue Newton quien observó que al hacer pasar un rayo de luz policromática a

través de un prisma, éste descomponía el rayo inicial en sus rayos constituyentes de luz

monocromática. Al conjunto de colores lo denominó espectro.

La luz que está más cerca de la parte ultravioleta del espectro electromagnético, se

dispersará más abiertamente que la que está cerca de la parte infrarroja del espectro. Esto

se debe a que las moléculas de nitrógeno y oxígeno tienen frecuencias naturales que se

FÍSICA

26

-Pág.62-



utilizan en la zona del ultravioleta. Mientras más cercana sea la frecuencia a la frecuencia

natural del objeto, la amplitud de oscilación será más larga. Como la frecuencia de la luz seaproxima a la frecuencia UVA (esto significa colores como el azul o el violeta), la amplitud

de oscilación será más grande y los fotones serán dispersados más ampliamente.

El cielo entonces, parece ser azul porque cuando la luz blanca del sol es dispersada, el

color azul se dispersa más. No parece ser violeta, como sea el violeta se dispersaría más,

pero no hay mucha luz violeta en la luz solar. El lado rojo del espectro puede viajar a través

de la atmósfera más lejos porque no se dispersa mucho. Pero el cielo no siempre es azul.

Por momentos, durante el amanecer o el ocaso, el cielo parece ser rojizo. Esto se debe a que

los rayos del sol se aproximan a la Tierra, más moléculas por las que penetrar. La luz azul

se dispersa muy lejos, y las luces roja y anaranjada son las únicas que pueden pasar a través

de la atmósfera.

Los colores del arco iris son el “espectro básico” desde el que se compone toda la luz

visible. Aunque estos colores se combinan sin problemas, algunas veces están divididos en

el rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta. La luz visible está hecha de estos

“componentes espectrales”.

Isaac Newton mostró que un prisma triangular no sólo puede separar un rayo de luz

solar en los colores del arco iris (eso ya era conocido), sino también que, cuando un segundo

prisma junta los diferentes colores de nuevo, se vuelve a obtener luz blanca. Por lo tanto, la

luz blanca es una combinación de los colores del arco iris y el prisma separa los colores

porque el ángulo con el que se refracta un rayo de luz cuando entra en el cristal, difiere de

un color al siguiente.

5. APLICACIONES

5.1. VISIÓN DEL COLOR

A pesar de la explicación del arco iris, el rompecabezas del color aún desconcierta a los

científicos. Sabemos, por ejemplo, que la combinación del amarillo y el azul da el verde o

que la combinación del rojo y el azul da el violeta. Según esto, el verde y el violeta, ¿son

colores básicos o es la combinación de otros colores? Esto fue resuelto por el científico

escocés James Clerk Maxwell quien demostró que existían dos tipos de color, dependiendo

U.D. 5.- ÓPTICA

27

-Pág.63-



de si eran percibidos por el ojo humano o por un instrumento. El “color espectral”

corresponde a los colores del arco iris y sus combinaciones. La medida con que cada partedel espectro del arco iris contribuye a un rayo de luz se puede determinar dividiendo el rayo

con un prisma. El “color percibido” es el comunicado al cerebro por el ojo humano.

Un instrumento que utilice prismas, como puede ser el espectrógrafo, revelará que el

color verde del arco iris y el verde formado por el azul y el amarillo no son los mismos. Sin

embargo, el ojo humano no puede notar la diferencia.

Nuestro ojo contiene tres tipos de células sensitivas, cada una usando una banda de color

diferente, una banda centrada en el rojo, otra en el amarillo y otra en el azul. Cuando vemos

verde, están estimuladas las células sensitivas al amarillo y al azul, pero nuestros ojos nopueden distinguir si eso ocurre porque vemos ambos colores mezclados o porque vemos

sólo un color (verde del arco iris), que está a medias entre esas dos bandas de color.

Cualquier color que vemos, incluido el marrón, el verde oliva y otros que están ausentes

en el arco iris, es una impresión en la conducta de nuestro cerebro cuando combina las

señales de esas tres bandas de color. Las personas daltónicas no tienen algunos tipos de

células oculares y su mundo está a falta de ciertos colores o incluso (para los que sólo

disponen de un tipo de célula) ningún color.

Así es como se basan en los tres colores primarios, rojo, amarillo y azul, la televisión decolor y las impresoras de color. Estos aparatos no reproducen el color espectral de los

objetos que muestran, pero, aún así, son capaces de representar cualquier color que nuestros

ojos pueden ver.

5.2. ESPECTROSCOPÍA

Las cargas eléctricas al ser aceleradas originan ondas electromagnéticas, siendo por

tanto el origen de la radiación electromagnética. Estas ondas electromagnéticas secaracterizan en cada caso por su frecuencia y su longitud de onda, ya que su velocidad de

propagación en el vacío es siempre “c” (velocidad de la luz).

Por ello, las ondas electromagnéticas suelen clasificarse, según su frecuencia, en

diferentes grupos. Pero esta clasificación no permite establecer unos límites determinados

para cada grupo, al existir fuentes que generan simultáneamente ondas electromagnéticas

de frecuencias muy distintas.

FÍSICA

28

-Pág.64-



Al conjunto de todos estos tipos de ondas electromagnéticas se le llama espectro

electromagnético en el que suelen diferenciarse las siguientes zonas, ordenadas de menora mayor frecuencia:

— Radio ondas u ondas de radio: suelen utilizarse en telecomunicaciones. Son las

ondas de radio y televisión. Se generan en circuitos electrónicos.

— Microondas: empleadas en radares o en la banda UHF de televisión (Ultra High

Frecuency) y en hornos microondas. También se generan en circuitos electrónicos.

— Infrarrojos (IR): producidos por los cuerpos calientes y se emplean en medicina,

industria, etc.

— Visible: son los que impresionan nuestra retina, permitiéndonos la visión. En estazona se diferencian los distintos colores.

— Ultravioleta (UVA): se debe a los electrones acelerados de átomos y moléculas

excitados. La mayor fuente de este tipo de radiación es el sol, que al interaccionar con

los gases atmosféricos ioniza gran parte de sus átomos y moléculas produciendo iones.

— Rayos X: se producen en las oscilaciones atómicas de la materia. Su mayor

aplicación es en la medicina, pero debemos tener en cuenta que este tipo de

radiación es muy dañina produciendo graves lesiones en tejidos y organismos vivos.

— Rayos gamma: se producen en determinadas sustancias radiactivas debido a la

desintegración nuclear. Son las radiaciones más energéticas, por tener mayor

frecuencia y, por tanto, menor longitud de onda; son muy peligrosas y abundantes

en los reactores nucleares.

Los colores abordados en el espectro visible son los colores espectrales. Son

importantes en la naturaleza dos formas de distribución de color:

1. En la luz emitida por los sólidos, los líquidos o los grandes cuerpos de gas denso

como el Sol, los colores se distribuyen continuamente. Su distribución exacta (el

espectro del cuerpo negro) depende de la temperatura a la que se produce, una mano

cálida irradia en su mayoría en el IR, una barra de hierro está al “rojo cereza”, el

filamento de una lámpara es “amarillo brillante” y la luz solar es “blanco candente”.

U.D. 5.- ÓPTICA

29

-Pág.65-



2. Los colores de la luz emitida por átomos o moléculas individuales en un gas

rarificado no están distribuidas de forma continua, sino que están concentrados enestrechas bandas del espectro. Los colores son característicos del tipo de átomo o

molécula que los emiten. Estas estrechas bandas se conocen como líneas

espectrales, porque en la mayoría de los espectrógrafos la luz entra a través de una

estrecha rendija, de tal forma que cada emisión surge como una línea en la imagen

resultante. Por ejemplo, se dice que las llamas de una fogata son “amarillo naranja”.

Un espectrógrafo revelará que el color proviene de dos líneas estrechamente

espaciadas, características del sodio, que irradia su luz aún en el calor moderado de

un fuego. Las luces de la calle pueden contener una pequeña cantidad de vapor de

mercurio, que emite en una luz azulada, pero no roja. Debido a que su cobertura delespectro del arco iris es incompleta, los colores vistos con esas luces a menudo

parecen ser no naturales. Las lámparas fluorescentes también contienen mercurio,

pero para crear una luz más suave tienen una capa fluorescente por dentro del cristal

que absorbe los colores chillones del mercurio y los vuelve a irradiar en una

distribución de color más uniforme. Las luces de neón funcionan de forma similar,

con pequeñas cantidades de otros gases produciendo los colores apropiados.

Algunas luces de la calle también contienen vapor de sodio y se pueden reconocer

por su color amarillo-anaranjado.

Los científicos del siglo XIX observaron y catalogaron el espectro de muchas sustancias.

Esto proporcionó una herramienta para analizar la composición de los metales y otras

sustancias, que aún se usa ampliamente.

También el Sol emite líneas espectrales. Las primeras observadas fueron las líneas

oscuras que sugieren un aumento de la absorción de la luz, no un incremento de emisión.

Los átomos fríos absorben la misma longitud de onda que la que emite cuando está caliente,

por ejemplo, la luz procedente de una lámpara de filamento, brillando a través de un tubo

con vapor de mercurio demasiado frío para emitir luz, desarrollará líneas oscuras de la

misma longitud de onda que la emitida por el vapor de mercurio caliente. En el caso de laluz solar, se saca la conclusión de que la absorción no ocurre en la atmósfera terrestre sino

en la solar.

La luz solar contiene muchas líneas de emisión brillantes, características del hidrógeno,

calcio y otros elementos. Una línea amarilla, descubierta en 1868, fue primero identificada

como la línea amarilla del sodio, pero no tenía la frecuencia correcta y no se adaptaba al

espectro de ninguna otra sustancia conocida. El astrónomo Lockyer propuesto finalmente que

era de una nueva sustancia, desconocida en la Tierra y estaba en lo cierto: el “helio” (de Helios,

el Sol) fue identificada en el material terrestre por Ramsay quien posteriormente lo aisló.

FÍSICA

30

-Pág.66-



RESUMEN

— La luz tiene doble naturaleza: unas veces se comporta como un corpúsculo y otras

como una onda. Ambas naturalezas no se manifiestan nunca a la vez.

— La velocidad de la luz depende del medio por el que se propaga.

— El índice de refracción absoluto de un medio es el cociente entre la velocidad de la

luz en el vacío y la velocidad de propagación en ese medio. Viene dado por la

expresión:

— El índice de refracción absoluto siempre tiene que ser mayor que 1.

— El índice de refracción relativo del medio 1 respecto del medio 2 es el cociente entre

el índice de refracción absoluto del medio 1 entre el índice de refracción absoluto

del medio 2:

— Reflexión es el cambio de dirección que experimenta el rayo luminoso cuandoincide sobre la superficie iluminada, sin abandonar el medio por el que se propaga.

— Refracción es el cambio de dirección que sufre un rayo de luz cuando atraviesa la

superficie que separa dos medios de propagación.

— Ley de Snell: cuando la luz pasa de un medio de índice de refracción ni a otro de

índice de refracción nR, los ángulos de incidencia (αi) y de refracción (αR) cumplen

la ecuación:

— Dispersión es la separación de un rayo de luz en sus componentes debido al diferenteíndice de refracción.

— Absorción es el fenómeno por el que algunos gases absorben la luz de ciertas

longitudes de onda.

— Espejo es toda superficie lisa y pulimentada capaz de reflejar los rayos que inciden

sobre él.

— Lente es todo material transparente y homogéneo, limitado por caras curvas. Pueden

ser convergentes y divergentes.

— Espectro es el registro de las ondas electromagnéticas.

n ni i R R

⋅ = ⋅sen senα α

nn

n

v

vr

= =1

2

2

1

n

c

v=

U.D. 5.- ÓPTICA

31

-Pág.67-




1. Hallar el índice de refracción de la luz en el agua, si la velocidad de la luz en ese medio

es de 225000 km/s.

Sabemos que el índice de refracción viene dado por la ecuación:

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v es, en este caso, la velocidad de la luz

en el agua.

Sustituimos los valores y obtenemos:

2. Calcular la energía correspondiente a una radiación cuya longitud de onda es de 315 nm.

La energía de la radiación viene dada por la hipótesis de Planck, cuya ecuación es:

donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación. Por tanto,

debemos calcular primero dicha frecuencia a partir de su relación con la longitud de

onda:

Con lo que sustituyendo en la primera ecuación obtenemos:

E J s s J = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −

6 626 10 9 52 10 6 31 1034 14 1 19

, , ,

ν λ

= =

⋅

⋅

= ⋅ = ⋅−

−c m s

nmm

nm

s Hz3 10

31510

1

9 52 10 9 52 108

9

14 1 14 / , ,

E h= ⋅ν

nkm s

km s= =

300000

2250001 33

/

/ ,

nc

v=

FÍSICA

32

-Pág.68-



3. Si un rayo luminoso incide sobre una superficie de vidrio con un ángulo de 45º y el

índice de refracción de esta superficie es 1,5; calcula el ángulo de refracción, si el índicede refracción del aire es 1.

El rayo luminoso viene por el aire e incide sobre el vidrio. Aplicando la ley de Snell

relacionamos ambos medios:

Despejamos:

Sustituimos los valores:

4. Calcula la velocidad de propagación de la luz en el aceite, si el índice de refracción es

1,45.

Recordamos la definición de índice de refracción:

que, en este caso, relaciona la velocidad de la luz en el vacío y en el aceite.

Despejamos la velocidad de la luz en el aceite:

vc

n

m sm s= =

⋅

= ⋅

3 10

1 452 07 10

88 /

,, /

nc

v=

sensen º

,, arcsen , , ºα α refracción refracción=

⋅

= ⇒ = =

1 45

1 50 47 0 47 28 12

sen senα α

refracciónaire incidente

vidrio

nn

=⋅

n naire incidente vidrio refracción⋅ = ⋅sen senα α

U.D. 5.- ÓPTICA

33

-Pág.69-



5. Los índices de refracción absolutos del cuarzo y del diamante son 1,54 y 2,42,

respectivamente. Calcula: a)el índice de refracción del cuarzo con respecto al diamante;b)el índice de refracción del diamante con respecto al cuarzo; c)¿en cuál de los dos

medios se propaga la luz con mayor velocidad?

a) El índice de refracción del cuarzo con respecto al diamante será:

b) El índice de refracción del diamante con respecto al cuarzo es:

c) Calculamos la velocidad con que se propaga en el cuarzo:

y la del diamante:

Según los resultados obtenidos, la luz se propaga a mayor velocidad en el cuarzo que en

el diamante.

nc

vv

c

nm s

d

d

d

d

= ⇒ = =

⋅

= ⋅

3 10

2 421 24 10

88

,, /

nc

vv

c

nm s

c

c

c

c

= ⇒ = =

⋅

= ⋅

3 10

1 541 95 10

88

,, /

nn

nr

diamante

cuarzo

= = =

2 42

1 541 57

,

,,

nn

nr

cuarzo

diamante

= = =

1 54

2 420 636

,

,,

FÍSICA

34

-Pág.70-




1. Calcular la longitud de onda de una radiación luminosa cuya frecuencia es de 200 Hz.

A. 1,5·106 m B. 1,5·107 m C. 6·1010 m D. 1,6·10–11 m

2. Si un objeto está a 2 m de su imagen en un espejo plano, ¿a qué distancia del objeto está el

espejo?

A. 0,5 m B. 2 m C. 1 m D. 4 m

3. El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s y en el gas carbónico a 265 m/s.

Hallar el índice de refracción relativo entre ambos medios, cuando el sonido se propaga de aire

a gas.

A. 1,28 B. 1,18 C. 0,78 D. Ninguna de las anteriores.

4. Sabiendo que la luz verde tiene una longitud de onda de 5000·10-10 m, hallar su frecuencia.

A. 6·105 Hz B. 2·108 Hz C. 2·107 Hz D. Ninguna de las anteriores.

5. Calcula la velocidad de la luz en el agua, si su índice de refracción en este medio es de 1,3.

A. 3,2·108 m/s B. 2,3·10-6 m/s C. 2,3·10-8 m/s D. Ninguna de las anteriores.

6. Calcular el índice de refracción relativo agua-vidrio, sabiendo que el índice de refracción de la

luz en el vidrio es 1,5 y para el agua es 1,3.

A. 1,15 B. 1,35 C. 0,86 D. Ninguna de las anteriores.

7. Un rayo de luz incide sobre una superficie de vidrio con un ángulo de 32º. Calcula el ángulo de

refracción si el índice de refracción del vidrio es 1,5 y el del aire es 1.

A. 0,353º B. 20,68º C. 0,78º D. 52,64º

8. Una radiación luminosa tiene una frecuencia de 1015 Hz. Calcula la energía de dicha radiación.

A. 6,626·10-19 J B. 6,626·10-18 J C. 66,26·10-19 J D. 0,662·10-17 J

9. ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación del ejercicio anterior?

A. 300 nm B. 3·10-5 m C. 2,8·106 m D. 280 nm

U.D. 5.- ÓPTICA

35

-Pág.71-



10. Si el espectro luminoso está limitado por longitudes de onda comprendidas entre 7600 y 3800 Å,

¿será visible una onda electromagnética cuya frecuencia es de 8,57·1014 Hz? Dato: 1 Å =10–8 cm.A. No, porque su longitud de onda es menor que la longitud de onda inferior.

B. No, porque su longitud de onda es mayor que la longitud de onda superior.

C. Sí, porque su longitud de onda está comprendida entre esos límites.

D. Sí, porque no tiene nada que ver con los límites de longitud de onda.


FÍSICA

36

1. A

2. C

3. C

4. D

5. D

6. C

7. B

8. A

9. A

10. A

-Pág.72-



CURSO DE APOYO

A LA PREPARACION

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES


DIGEREM


FUERZAS ARMADAS


A LA PREPARACION

DE LAS PRUEBAS


DE SUBOFICIALES





-Pág.1-

CURSO DE APOYO

A LA PREPARACI N

DE LAS PRUEBASDE ACCESO A LA ESCALA

DE SUBOFICIALES

Ó



FÍSICA

5


SUMARIO

3ª parte

57

6. INTERACCI N ELECTROMAGN TICA

7. INTRODUCCI N A LA F SICA MODERNA

-Pág.3-

Ó

Ó Í

É



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. CAMPO ELÉCTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. INTERACCIÓN ELÉCTRICA. LEY DE COULOMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. MAGNITUDES QUE CARACTERIZAN AL CAMPO ELÉCTRICO . . . . . . . . . . . . . . 91.3. TEOREMA DE GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. CAMPO MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1. LEY DE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE CARGAS ELÉCTRICAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS

UNIFORMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. FUERZAS SOBRE CARGAS MÓVILES SITUADAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS . . .. 252.4. CREACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS POR CARGAS EN MOVIMIENTO. ESTUDIO

EXPERIMENTAL DE ALGUNOS CASOS CONCRETOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. FUERZAS MAGNÉTICAS ENTRE DOS CONDUCTORES RECTILÍNEOS . . . . . . . . . .292.6. LEY DE AMPÈRE. APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7. EXPLICACIÓN DEL MAGNETISMO NATURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1. FLUJO MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. LEYES DE FARADAY-HENRY Y DE LENZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS MEDIANTE VARIACIONES DEL FLUJO

MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. IMPORTANCIA DE LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. IMPACTO MEDIO

AMBIENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. APROXIMACIÓN HISTÓRICA A LA UNIFICACIÓN DE LA ELECTRICIDAD,EL MAGNETISMO Y LA ÓPTICA: SÍNTESIS ELECTROMAGNÉTICA . . . . . . 394.1. ECUACIONES DE MAXWELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS CAMPOS CONSERVATIVOS(GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE CAMPOS CONSERVATIVOSY NO CONSERVATIVOS (ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Í N D I C E

-Pág.5-

U.D. 6.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA



Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno será capaz de:

• Entender el concepto de carga eléctrica.

• Diferenciar los tipos de cargas existentes.

• Aplicar correctamente la ley de Coulomb y el teorema de Gauss.

• Comprender los conceptos de campo eléctrico y magnético.

• Distinguir los términos de energía potencial, potencial y diferencia depotencial y aplicarlos a la resolución de ejercicios.

• Aprender qué relación existe entre el magnetismo y la corriente eléctrica.

• Discernir entre los campos creados por una corriente rectilínea, una espira y

un solenoide.

O B J E T I V O S

-Pág.6-

FÍSICA



L a historia de la electricidad parece que empezó hace unos 2500 años, cuando

Thales de Mileto frotó un trozo de ámbar y observó que podía atraer cuerpos

ligeros. El ámbar (elektron, en griego) había adquirido, al frotarlo, algo que se llamó

electricidad. Han de transcurrir más de 20 siglos para que se demuestre que, no sólo

el ámbar sino otras muchas sustancias se electrizan por frotamiento y se inicie el

estudio moderno de la electricidad.

La Electrostática es la parte de la Física que se ocupa del estudio de las cargas

eléctricas en reposo.

Por otra parte, cada vez existen más dispositivos de uso habitual que tienen su

fundamento en las propiedades magnéticas de ciertos materiales (cintas de música y

de vídeo, los discos de ordenador, las tarjetas de crédito, etc.).

Todos los objetos están constituidos por materiales que pueden ser magnetizados de

una forma determinada, por lo que son capaces de almacenar información

“magnética” de unos determinados datos. Así, por ejemplo, una cinta de músicaalmacena información sonora, o un disco de ordenador, información escrita, etc.

Los fenómenos eléctricos y magnéticos parecieron inicialmente independientes

hasta que Oersted descubre que una corriente eléctrica crea un campo magnético, y

Faraday observa que un campo magnético puede producir una corriente eléctrica. Se

inicia así el Electromagnetismo.


-Pág.7-

U.D. 6.- I NTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA



MAPA CONCEPTUAL

CAMPO ELÉCTRICO

Ley de Coulomb

Intensidad del campoeléctrico

Energía potencial eléctrica

Potencial eléctrico

Teorema de Gauss

CAMPO MAGNÉTICO

Ley de Lorentz

Ley de Ampère

– campo creado por una

corriente eléctrica – campo creado por una

espira

– campo magnético creadoen el interior de unsolenoide

– electroimán

ELECTROMAGNETISMO

Flujo

Ley de Lenz

Ley de Faraday-Henry

-Pág.8-

FÍSICA



1. CAMPO ELÉCTRICO

1.1. INTERACCIÓN ELÉCTRICA. LEY DE COULOMB

La interacción eléctrica se define como la fuerza de atracción o de repulsión entre doscargas. Se atraen si son opuestas (positiva y negativa) y se repelen si son iguales (las dospositivas o las dos negativas).

Esta interacción eléctrica es la mejor comprendida y quizás la de mayor importancia

desde el punto de vista de la vida cotidiana. Las fuerzas que actúan en los átomos ymoléculas son esencialmente de origen eléctrico y, por tanto, esta interacción es la quefundamentalmente determina la estructura interna de los diversos cuerpos.

El estudio de las fuerzas entre partículas cargadas fue realizado por Coulomb, queenunció su ley, obtenida experimentalmente, de la siguiente forma:

“La interacción electrostática entre dos partículas cargadas, q1 y q2, es directamenteproporcional al producto de dichas cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa”. La dirección de esta fuerza es la de la recta que une las cargas.

La expresión matemática de esta ley es:

F = ur

Si tomamos, por ejemplo, la q1 como referencia, el vector unitario ur se dirige desde lapartícula 1 a la partícula 2.

Veamos los diferentes casos con los que nos podemos encontrar:

— Si q1 y q2 son del mismo signo, el producto q1·q2 es positivo y la fuerza que actúasobre la q2 tiene el mismo sentido que el vector unitario:

F1→2

q1(+) q

2(+)

ur

F1→2

q1(–) q

2(–)

ur

k q q

r⋅

⋅1 22

5


➝ ➝

➝

➝

➝

➝

➝

-Pág.9-



— Si una carga es positiva y la otra es negativa, el producto es negativo y la fuerza que

actúa sobre la partícula 2 va en sentido opuesto al del vector unitario:

La ley de Coulomb es válida para distancias superiores a 10 –4 m.

1.1.1. UNIDAD DE CARGA: DEFINICIÓN DE CULOMBIOEn el sistema internacional de unidades (MKSA), vimos que, se introduce como cuarta

unidad fundamental el amperio (A), que se define de la siguiente forma:

“Un amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida entre dosconductores rectilíneos y paralelos, de longitud infinita, de sección transversal despreciable,colocados en el vacío y separados 1 m uno del otro produce, sobre estos conductores, unafuerza de 2·10 –7 N por metro de longitud”.

Este valor de 2·10 –7 N fue elegido para dar al amperio el mismo valor que, en un

principio tenía, cuando se utilizaba un sistema de unidades menos apropiado.

En el S.I. (MKSQ) la unidad de carga es el culombio (C). “Un culombio es la cantidadde electricidad que atraviesa en un segundo una sección de un conductor por el que circulauna corriente constante de un amperio”.

1 culombio = 1 amperio x 1 segundo ⇔ 1 C = 1 A · 1 s

La unidad natural de cantidad de electricidad es el electrón. Experimentalmente se haencontrado que su carga eléctrica es de 1,6 · 10 –19 C. Por tanto, el número de electrones quehay en un culombio será:

En electricidad teórica, se utiliza aún la unidad electrostática de carga, denominadafranklin. Si tomamos el coeficiente de proporcionalidad de la ley de Coulomb igual a launidad, queda:

Fq q

r=

⋅1 22

11 6 10

6 25 101918C

C electrónelectrones

, /,

⋅= ⋅−

F1→2

q1(+) q

2(–)

ur

FÍSICA

6

➝

➝

-Pág.10-



Esta elección determina la unidad de carga, que es “aquella carga cuya fuerza de

interacción con otra carga igual situada a la distancia de 1 cm en el vacío, es de 1 dina”.

1.1.2. LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

Cuando se colocan en el vacío dos cargas de 1 C, separadas 1 m la una de la otra, seobtiene una fuerza de, aproximadamente, 9·109 N. Luego, si en la ecuación matemática de laley de Coulomb, despejamos la constante k y sustituimos los valores anteriores, obtenemos:

Para simplificar la forma de muchas expresiones matemáticas utilizadas en electricidad,es conveniente expresar k de la siguiente forma:

donde la nueva constante ε0 se denomina permitividad del vacío. De acuerdo con el valorasignado a k, su valor es:

Por tanto, escribiremos la ley de Coulomb de la forma:

F = ur

Si sobre una carga “q” actúa un sistema discreto (es decir, constituido por un númeroconcreto) formado por “n” cargas puntuales (o, lo que es lo mismo, situadas en un puntodeterminado), basta ver que la ecuación anterior tiene carácter vectorial y, haciendo uso del

principio de superposición, la fuerza total (F) ejercida sobre “q”, será la suma vectorial delas fuerzas F1, F2, ..., Fn, con que actúan por separado cada una de las cargas q1, q2, ..., qn,sobre q:

F = ur1 + ur2 + ... + urn

F = uri

donde uri es el vector unitario en la dirección de la recta que une q con q1, q2, ..., qn.

14 0

21

π ε ⋅

=

∑qq

r

i

ii

n

14 0

2π ε ⋅

⋅q q

r

n

n

14 0

2

22π ε

⋅⋅q q

r

14 0

1

12π ε

⋅⋅q q

r

14 0

1 22π ε

⋅⋅q q

r

k k N m

C

C

N m= ⇒ = =⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅

−14

14

1

4 9 10 8 85 100 0 9 2

2

122

2π ε ε π π ,

k =1

4 0πε

F k q q

r

k F rq q

N mC C

N m

C

= ⋅⋅

⇒ =⋅⋅

=⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅1 2

2

2

1 2

9 2 29

2

29 10 1

1 1 9 10


7

➝ ➝

➝ ➝ ➝

➝

➝ ➝ ➝ ➝

➝ ➝

➝

-Pág.11-



Si se trata de la acción de una distribución continua de cargas sobre una carga q, hay que

descomponer el sistema en infinitos elementos de carga “dq” y considerar la suma (laintegral) total de todas ellas. Tendremos entonces:

F = ur

Cuando las cargas puntuales no están en el vacío, sino en un medio aislante odieléctrico, sigue siendo válida la ley de Coulomb, pero la constante k se modifica:

donde ε es la constante dieléctrica o permitividad del medio. Se obtiene a partir de lapermitividad del vacío (εo) y la permitividad relativa (εr) específica para cada material. Esdecir:

Ejemplo 1:

Una carga puntual positiva de 2 µC se encuentra separada 50 cm de otra carga negativade 5 µC. Determinar la fuerza de atracción cuando se encuentran en el aire.

Transformamos las unidades de carga y distancia al sistema internacional:

q1 = 2 µC = 2·10 –6 C

q2 = -5 µC = -5·10 –6 C

r = 50 cm = 0,5 m

Aplicamos la ley de Coulomb:

El signo negativo corrobora que se trata de una fuerza de atracción.

F k q q

r

N m

C

C C

m N = ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅( )= −

− −1 2

29

2

2

6 6

2 29 102 10 5 10

0 50 36

,,

ε ε ε = ⋅0 r

k =1

4π ε

14 0

2π ε ⋅ ∫ q

dq

r

FÍSICA

8

➝ ➝

-Pág.12-



Ejemplo 2:

Calcula el valor de una carga puntual sabiendo que, situada en el vidrio, ejerce unafuerza de atracción de 0,67 N sobre otra carga, cuyo valor es de 3 µC, separada de laprimera 20 cm. Dato: εr (para el vidrio) = 6.

En este caso debemos utilizar la expresión de k en función de la permitividad del medio,puesto que ahora no están las cargas en el vacío.

De la ley de Coulomb, despejamos el valor de la carga, que consideraremos que es, porejemplo, q1:

Calculamos ε:

Sustituimos en la expresión de q1, y obtenemos:

Como en el enunciado dice que las cargas se atraen, y la carga citada era de 3 µC, esdecir, positiva, la que acabamos de calcular debe ser negativa:

q1 = – 6 µC

1.2. MAGNITUDES QUE CARACTERIZAN AL CAMPOELÉCTRICO

El campo eléctrico viene determinado por una serie de magnitudes: intensidad delcampo eléctrico en un punto, energía potencial eléctrica y potencial eléctrico. Veamos cadauna de ellas.

q N

C

N mm

CC C1

112

22 2

66

0 67 4 5 31 10 0 2

3 106 10 6=

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅= ⋅ =

−

−−

, , ,π

µ

ε ε ε = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

− −0

12 112

28 85 10 6 5 31 10rC

N m, ,

Fq q

rq

F rq

= ⋅⋅

⇒ =⋅ ⋅1

441 2

2 1

2

2π ε

πε


9

-Pág.13-



1.2.1. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO EN UN PUNTO

Definimos la intensidad del campo eléctrico (E) en un punto, como la fuerza eléctricaejercida sobre la unidad de carga positiva (qo) situada en ese punto:

E = F/q0 ⇒ F = E · q0

donde F y E son vectores.

De esta ecuación se deduce que E puede medirse en N/C. Cuando es una sola cargapuntual “q” la que crea el campo eléctrico, podemos aplicar directamente la ley de

Coulomb, y escribir:

E = ur = ur

Si queremos representar el campo eléctrico en un punto P, debemos tener en cuenta queE está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa:

De lo anterior se deduce que E es un vector con la dirección de F y cuyo sentido puedeser el mismo o contrario a la fuerza, según el signo de la carga que crea el campo.

El campo E creado en un punto por un sistema discreto de cargas puntuales q1, q2, ..., qn,se obtiene al considerar en ese punto el campo debido a cada una de las cargas por separadoy obtener la suma vectorial correspondiente:

E = uri

Cuando la distribución de cargas es continua, el campo eléctrico E creado en un puntoP se obtiene dividiendo la carga total en elementos “dq” de carga, calculando el campoinfinitesimal creado por cada una de ellas y sumando (integrando):

E = ur1

4 02

π ε

dq

r ∫

14 0

21

π ε

q

r

i

ii

n

=

∑

E

q1(+) P

E

q2(–) P

14 0

2π ε ⋅

q

r

14 0

02

0

π ε ⋅

⋅q q

rq

FÍSICA

10

➝ ➝ ➝ ➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝ ➝

➝

➝ ➝

➝

➝

➝➝

-Pág.14-



Un campo eléctrico puede representarse por las llamadas líneas de fuerza, que son

tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos. Representan las trayectoriasque seguiría una carga positiva abandonada en el interior del campo eléctrico.

Cuando se trata de una carga puntual aislada, las líneas de fuerza divergen, si la cargaes positiva, o convergen, si la carga es negativa, radialmente a dicha carga:

Un campo eléctrico uniforme se representa por líneas de fuerza paralelas yequidistantes:

El número de líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie colocadaperpendicularmente al campo eléctrico, se conviene en que sea proporcional al valor delcampo eléctrico.

En las siguientes figuras se representan las líneas de fuerza en el caso de dos cargas dela misma magnitud y de distinto signo y para dos cargas positivas iguales:


11

-Pág.15-



Ejemplo:

Consideremos una carga puntual positiva de 1,2·10 –8 C situada en el vacío creadora delcampo eléctrico y separada de otra carga positiva unidad ¿A qué distancia hay que situarlapara que la intensidad del campo sea de 2700 N/C?

Como ambas cargas están situadas en el vacío, utilizamos la expresión:

de donde despejamos la distancia entre ambas cargas:

1.2.2. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

Si consideramos una carga eléctrica “q” situada en un punto A donde está actuando uncampo eléctrico, el trabajo necesario para trasladar esa carga desde A hasta otro punto B(con velocidad constante) es:

es decir, el trabajo se utiliza para variar o cambiar la energía potencial del sistema. Estavariación de energía potencial no depende de la trayectoria que se ha seguido para llegardesde A hasta B, porque el campo eléctrico es un campo conservativo.

W Ep A B→ = ∆

rk q E

N m

CC

N C

m cm=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

−9 10 1 2 10

27000 2 20

92

28,

,

E k q

r= ⋅ 2

FÍSICA

12

-Pág.16-



Pero la energía potencial absorbida de la carga no se puede calcular, sino que, por

convenio se toma un origen de referencia de energías potenciales en el infinito. Por tanto,en nuestro caso, el origen es el punto A y, en consecuencia, su energía potencial es nula; ytendremos:

Entonces, definimos la energía potencial de una carga “q” en un punto como el trabajonecesario para trasladar la carga desde el infinito hasta dicho punto.

1.2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico en un punto es la energía potencial de la unidad de carga positivasituada en dicho punto:

En el sistema internacional, el potencial eléctrico se mide en voltios (V). Un punto delcampo tiene un potencial de 1 V si una carga de 1 C situada en él tiene una energía potencial

de 1 J.

1.2.4. POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

Si tenemos en cuenta que la energía potencial es el trabajo, y que este está relacionadocon la fuerza y el espacio, podemos llegar a:

No es un vector, es una magnitud escalar.

Considerando la relación del apartado anterior con la energía potencial, podemoscalcular el trabajo para trasladar una carga “q” desde A hasta B de la siguiente forma:

W Ep Ep q V q V q V V A B B A B A B A→ = − = ⋅ − ⋅ = −( )

V

Ep

qW q

F rq

q q

rr

q

q

r E r= = =⋅

=

⋅⋅

⋅

= ⋅ = ⋅0 0 0

0

02

0 0

14 1

4π ε

π ε

V Epq

=0

W Ep Ep Ep Ep Ep A B B A B B→ = = − = − =∆ 0


13

-Pág.17-



siendo VB-VA la diferencia de potencial (ddp) entre A y B que queda definida como el

trabajo necesario para trasladar la unidad de carga positiva desde A hasta B.En el seno de un campo eléctrico existen muchos puntos que tienen el mismo potencial.

Se llama superficie equipotencial de un campo eléctrico, al lugar geométrico de todos lospuntos que poseen el mismo potencial.

El potencial en un punto del campo depende del radio. Para una carga puntual, todos lospuntos que están a la misma distancia serán superficies equipotenciales. En este caso,superficies esféricas.

Al trasladar una carga de un punto a otro de una superficie equipotencial el trabajo

efectuado es nulo. Si tomamos dos puntos A y B de una misma superficie equipotencial secumple:

por cuanto en los puntos A y B existe el mismo potencial. Como dr es tangente a lasuperficie equipotencial y E no es nulo, el único factor que anula el producto es cos α; loque quiere decir que α = 90º. Siendo α el ángulo que forma el campo con la superficie

equipotencial en un punto dado, en todo punto las líneas del campo han de serperpendiculares a las superficies equipotenciales.

Por otra parte, si el campo es nulo, también ha de ser nulo VA – VB según la ecuaciónanterior, y en ese caso VA = VB, es decir, los dos puntos tienen el mismo potencial. Así ocurre en un conductor cargado: como en su interior el campo es nulo, todos sus puntostienen el mismo potencial (no nulo).

Ejemplo 1:

Una esfera metálica, que puede ser considerada como puntual, está situada a 50 cm deuna carga de 2·10 –5 C creadora del campo. Determinar el potencial adquirido por la esferametálica.

Podemos resolver el ejercicio a partir de la siguiente expresión:

V k qr

N m

C

Cm

V = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

−

9 10 2 100 5 3 6 109

2

2

55

, ,

V V E dr E dr A B

r

r

r

r

− = ⋅ = = ∫ ∫ 1

2

1

2

0cosα

FÍSICA

14

➝ ➝

-Pág.18-



E jemplo 2:

Supongamos que el potencial en dos puntos del espacio es igual a 10 y –5 V,respectivamente. a) ¿Qué trabajo hay que realizar para trasladar una carga de 5 C desde elprimer punto hasta el segundo? b) ¿Y si trasladamos la carga del segundo punto al primero?

a) Sabemos que el trabajo está relacionado con la diferencia de potencial:

El signo negativo indica que la carga se desplaza sola, espontáneamente, disminuyendo

su energía en 75 J.

b)

En este caso, tendremos que realizar nosotros un trabajo de 75 J para llevar la cargadel segundo punto al primero.

1.2.5. RELACIÓN ENTRE LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO

Y EL POTENCIAL ELÉCTRICO

Si se conoce E en todos los puntos del campo eléctrico, se pueden dibujar las líneas defuerza y después trazar un conjunto de superficies equipotenciales mediante unassuperficies normales a las líneas de fuerza.

Y recíprocamente, conocidos los valores del potencial creado por un campo, se puedendibujar las superficies equipotenciales. Las líneas de fuerza se pueden encontrar trazandolíneas perpendiculares a esas superficies. El campo es más intenso donde la separación delas superficies equipotenciales sea menor.

V

E

W q V V C V J 2 1 1 2 5 10 5 75→ = ⋅ −( ) = ⋅ − −( )[ ] =

W q V V C V J 1 2 2 1 5 5 10 75→ = ⋅ −( ) = ⋅ − −( ) = −


15

➝

-Pág.19 -



Buscaremos, matemáticamente, el equivalente del segundo proceso gráfico que

acabamos de citar, deduciendo el valor del campo en función del potencial.Supongamos que E es la intensidad en un punto de un campo radial. Para desplazar la

unidad de carga positiva una distancia “dr” en contra del campo, hemos de hacer un trabajo,cuyo valor es:

E·dr

Si el desplazamiento tiene la misma dirección que la intensidad del campo, ese trabajoelemental vale:

Y este trabajo es, precisamente, la diferencia de potencial dV, entre los extremos de dr.Así:

y diremos que: “la intensidad del campo es igual a la derivada del potencial con relación a

la dirección del campo, cambiada de signo”.

A la derivada se le llama gradiente del potencial, y tendremos:

y representa un vector que indica la dirección según la cual el potencial varía con la máximarapidez; su módulo es igual a la variación máxima del potencial por unidad de longitud.

Por tanto, en ⎜Er⎜= , ⎜Er ⎜representa la componente del campo E en la dirección delas líneas de fuerza (son rectas si el campo es radial) y es la misma que la de dr.

El valor de ⎜Er ⎜ es positivo si es negativa, es decir, si V es decreciente; y será

negativa si V es creciente.

En consecuencia, el vector campo, E, positivo, va dirigido hacia los potencialesdecrecientes, y lo mismo ocurre con las líneas de fuerza del campo.

dV

dr

dV

dr

E d V r = – gra

dV dr

dV E dr EdV drr r= − ⇒ = −

dV dW q

E dr E drr r= = = −cos º180

dV dW q

= =

FÍSICA

16

➝

➝ ➝

➝ ➝ ➝

➝

➝

➝

➝

-Pág.20-

+



En el campo creado por una sola carga positiva q los potenciales disminuyen al

aumentar la distancia a la carga ; por ello, el sentido de la intensidad del campoque se dirige hacia los potenciales decrecientes es alejándose de la carga q.

Si unimos dos conductores que están a diferente potencial pasarán cargas del que tienemás potencial al que tiene menos, hasta que se igualen los potenciales.

Si el campo no fuera radial, el gradiente del potencial tendrá, en general, trescomponentes que, referidas a los ejes de coordenadas, representarán las derivadas de Vrespecto de x, respecto de y y respecto de z.

1.3. TEOREMA DE GAUSS

Consideremos una porción infinitesimal de área. Se puede asociar al área un vector, dS,cuyo tamaño es igual al área en m2 y cuya dirección es perpendicular a la superficie. Es loque se llama elemento vectorial de área.

Supongamos un área S dividida en elementos de área, dS. Escogemos uno de ellos y

determinamos E en ese lugar. Formamos el producto escalar de esos dos vectores E·dS. Esteproducto es un escalar infinitesimal. Es positivo si el ángulo formado por los dos vectoreses < 90°, negativo si es > 90° y nulo si es 90°.

Si integramos, el resultado es:

E·dS

Es lo que se llama flujo de campo eléctrico a través de S. Es una magnitud escalar.

Φ = ∫ s

dS

α

E

V k qr= ⋅⎛⎝ ⎞⎠


17

➝

➝

➝

➝ ➝ ➝

➝ ➝

-Pág.21-



El flujo de un campo vectorial puede presentarse tanto a través de superficies abiertas

como cerradas. Para el caso especial de una superficie cerrada se expresa:

El flujo se mide, en el sistema internacional, en voltio·metro (V·m).

La ley o teorema de Gauss para el campo eléctrico se enuncia de la siguiente forma: ”elflujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que encierra en su interioruna carga q, es igual al cociente entre la carga y la constante dieléctrica del medio”. Si elmedio es el vacío, la expresión matemática de dicha ley es:

En esta expresión, la carga representa la suma algebraica de las cargas encerradas dentrode la superficie. Igualando las dos definiciones que hemos visto de flujo, tendremos:

Al aplicar esta fórmula hay que tener en cuenta que se aplica sólo a superficies cerradas,que dS es la perpendicular con sentido hacia fuera de la superficie y que, en general, E varía

de un punto a otro a lo largo de la superficie S y no puede sacarse de la integral comoconstante.

1.3.1. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

El teorema de Gauss puede utilizarse para calcular el campo eléctrico correspondiente adiferentes distribuciones de carga. Veamos algunos ejemplos:

a) Distribución de carga en los conductoresSea un conductor en equilibrio electrostático, es decir, con sus cargas en reposo. En

estas condiciones, el campo eléctrico en el interior del conductor, E, debe ser nulo, pues deno serlo, las cargas no estarían en reposo, contra lo que hemos supuesto; las cargas sedesplazarían por la acción de la fuerza F = qE.

En consecuencia, el flujo que atraviesa de dentro a fuera una superficie gaussiana (unasuperficie cerrada muy próxima al conductor por la parte interna) es nulo, por serlo E:

Φ = ⋅ = ∫ E Sd si = 00 E

E S⋅ = ∫ dq

ε 0

Φ = qε 0

Φ = ⋅ ∫ E Sd

FÍSICA

18

➝ ➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝ ➝ ➝

➝

-Pág.22-



Según la ley de Gauss e igualando:

Es decir, “dentro del conductor no hay ninguna carga; ésta se distribuye solamente porla superficie”.

b) Campo eléctrico creado en un punto exterior por una esfera cargada

Sea una esfera de radio R cargada con una carga q. Para hallar la intensidad del campoen un punto P exterior a la esfera, trazamos con radio r una superficie esférica gaussianaconcéntrica con la esfera dada.

La superficie esférica gaussiana vale, por definición:

Como el área de la esfera es 4·π·r2, tendremos:

Según Gauss, e igualando:

Φ = = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅

⋅q

E r Er

qε

π π ε 0

22

04 1

4

Φ = = ⋅ ⋅ ∫ E dS E r4 2π

Φ = ⋅ = ° = ∫ ∫ ∫ E Sd E dS E dS cos0

dS

r

E

P

R

Φ = = ⇒ =q

qε 0

0 0


19

➝

➝

➝ ➝

-Pág.23-



Conclusión: “el campo creado por una esfera cargada con una carga q, en un punto

exterior es el mismo que el creado por esa misma carga considerada puntual en el centro dela esfera”.

c) Campo eléctrico entre dos láminas paralelas

El campo eléctrico entre dos láminas conductoras paralelas con cargas iguales yopuestas se puede considerar uniforme cuando la separación entre ellas es muy pequeñacomparada con su longitud.

Para calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto entre las láminas por elteorema de Gauss, suponemos una superficie gaussiana dS.

Si suponemos que es la densidad de carga de la lámina, y E es la intensidad del

campo uniforme entre las láminas, el flujo elemental dΦ que pasa a través de la superficiegaussiana por la parte derecha será:

Igualando:

E dSdq dS

E= = ⇒ =ε

σ

ε

σ

ε 0 0 0

d dq

Φ =ε 0

d E dS E dSΦ = ⋅ = ° =E Sd cos0

σ =qdS

E

dS

+ –

FÍSICA

20

➝

➝

➝

➝ ➝

-Pág.24-



2. CAMPO MAGNÉTICO

Al manejar un imán notamos que la fuerza con la que atrae a un objeto disminuye conla distancia. También notamos que, cuando el imán y el objeto están muy separados, no sepercibe ningún tipo de atracción. Entonces se dice que el objeto ha salido del campomagnético del imán.

Definimos, pues, campo magnético producido por un imán como la región del espacio

en donde se manifiestan las fuerzas magnéticas producidas por un imán.Si en el interior de un campo magnético colocamos limaduras de hierro, comprobaremos

que éstas se disponen según unas líneas características que se llaman líneas de fuerza. Laslíneas de fuerza son curvas que van del polo norte hasta el polo sur del imán.

La similitud que existe entre el comportamiento de los imanes y de las cargas eléctricassugiere la posibilidad de que exista una relación entre los fenómenos eléctricos ymagnéticos.

En un principio se trató de comprobar si la presencia de un imán producía variaciones

en la fuerza que ejercen las cargas eléctricas entre sí, o si, por el contrario, la presencia decargas eléctricas afectaba a la fuerza magnética que ejercen los imanes. Todos los intentosresultaron negativos.

Oersted pensó que ya que las cargas en reposo no afectan a los imanes de ningún modo,quizá la corriente eléctrica, circulando a través de un alambre, provocase perturbaciones.Para comprobarlo, conectó los dos polos de una pila eléctrica con un alambre de platino ysituó una brújula a escasa distancia. La aguja, orientada en principio en dirección norte-sur,giró, orientándose perpendicularmente al alambre. Esta experiencia es la primera pruebaexperimental de que existe una relación entre electricidad y magnetismo. Es el

electromagnetismo.

2.1. LEY DE LORENTZ

Cuando hemos estudiado la atracción entre masas gravitatorias o cargas eléctricas, lohemos hecho definiendo un campo de fuerzas (campo gravitatorio y campo eléctrico). Paraestudiar las fuerzas magnéticas definiremos primero el concepto de campo magnético.


21

-Pág.25-



Campo magnético es la región del espacio en que se ponen de manifiesto los efectos

magnéticos.El campo eléctrico lo estudiamos mediante una carga de prueba “q” sobre la que aparece

una fuerza F cuando se coloca en el campo; el campo magnético puede estudiarse tambiénmediante una carga móvil sobre la que el campo magnético ejerce una fuerza F, quedepende de la carga q, de la velocidad v de la carga respecto al observador (con sudirección, sentido y módulo) y de una propiedad del campo magnético. A esta propiedad delcampo magnético la llamamos inducción magnética, y la designamos por B.

El vector inducción B se define por la relación:

F = q · (v ^ B)

cuyo módulo es:

F = q · v · B · sen θ

siendo θ el ángulo formado por los vectores v y B.

Llamamos v1 = v · sen θ, a la componente de v en la dirección perpendicular a B.

El módulo de B será:

Según esto: el valor de la inducción magnética en un punto es el valor de la fuerza porunidad de carga que se mueve en ese punto perpendicularmente al campo magnético y a lafuerza con velocidad unidad.

La unidad de B en el sistema internacional es el tesla (T) que equivale a:

1 1 1T N sC m

N A m

=⋅

⋅=

⋅

B F

q v F

q v=

⋅ ⋅=

⋅senθ 1

F

B

v

θ

FÍSICA

22

➝

➝

➝

➝ ➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝

➝➝

π

F es perpendicular

al plano π

formadopor B y v

➝

➝ ➝

-Pág.26-



Con frecuencia se utiliza otra unidad, el gauss. La relación entre ambas es:

Para la definición de B, hemos seguido el mismo camino que para la definición delcampo eléctrico E. De la expresión F = q · E, medíamos E como la fuerza F sobre la unidadde carga en reposo. En el campo magnético debemos medir la fuerza sobre la unidad decarga en movimiento con velocidad unidad, porque el campo magnético no ejerce acciónalguna sobre cargas en reposo.

Según la ecuación F = q · (v ∧ B), la dirección de B es aquella en que debería moversela carga para que el campo magnético no ejerciera ninguna fuerza sobre ella. En efecto, siv es paralelo a B, el producto vectorial v ∧ B es nulo (porque θ = 0° y sen θ = 0) y F = 0.

Si la carga q se encuentra en una zona del espacio en la que existen un campo eléctrico(E) y un campo magnético (B), sobre ella actuarán dos fuerzas: la fuerza eléctrica (q · E) yla fuerza magnética [q · (v ∧ B)]. La suma de ambas nos dará la fuerza total, llamada fuerzade Lorentz.

Según esto, la ley de Lorentz establece que: la fuerza que actúa sobre una carga eléctricaen una región del espacio en la que coexisten un campo eléctrico y un campo magnético es:

F = q · E + q · (v ∧ B)

2.2. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE CARGAS ELÉCTRICASEN CAMPOS MAGNÉTICOS UNIFORMES

Un campo magnético uniforme es aquel en el que el vector B es el mismo en todos lospuntos. Supongamos para los casos siguientes que E = 0.

Según la posición entre el vector velocidad v y B, tendremos diferentes casos:

a) v y B son paralelos:

En este caso θ = 0° ⇒ sen θ = sen 0° = 0 ⇒ F = 0.Como sabemos que F = m · a, al ser la fuerza nula, la aceleración también debeserlo ya que la masa no lo es.Es decir, la carga se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, ya que no existeaceleración.

1 104 T gauss=


23

➝

➝ ➝ ➝ ➝ ➝

➝ ➝➝ ➝

➝ ➝

➝ ➝ ➝

➝ ➝

➝ ➝ ➝

➝

➝

➝➝

➝➝

➝

➝➝

➝

➝

➝ ➝

➝

-Pág.27-



b) v y B son perpendiculares:

En este caso θ = 90° ⇒ sen θ = sen 90° = 1 ⇒ F = q · v · B (valor máximo de estafuerza). La carga se mueve con un movimiento circular uniforme cuya fuerzacentrípeta viene dada por la fuerza anterior y tendremos:

que es el radio de la trayectoria. El tiempo que tarda en recorrer la circunferencia,es decir, el periodo será:

y como , sustituimos y obtenemos:

Si tenemos en cuenta que:

sustituimos en el periodo:

c) v y B forman un ángulo cualquiera θ:

En este caso, la trayectoria es helicoidal. Al proyectar dicha trayectoria en un planoperpendicular a B se obtiene una circunferencia de radio:

Rm v

q B=

⋅ ⋅⋅senθ

T R

q B Rm

mq B

=⋅ ⋅

=⋅

2 2π π

Rm v

q B

vq B R

m

=⋅

⋅

⇒ =⋅ ⋅

T v R

Rv

= =2 2π π

ω =v

R

T = 2π ω

F mv R

q v B Rm vq B

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅⋅

2

FÍSICA

24

➝➝

➝➝

-Pág.28-



2.3. FUERZAS SOBRE CARGAS MÓVILES SITUADAS EN

CAMPOS MAGNÉTICOSSupongamos un conductor rectilíneo como el de la figura:

Llamamos intensidad de corriente al cociente entre la carga total ∆q que atraviesa unasección del conductor de área S y longitud L, entre el intervalo de tiempo, ∆t:

Si despejamos el valor de ∆q:

la fuerza de Lorentz sobre la carga será:

F = ∆q · v · B · senθ = (I · ∆t) · v · B · senθ = I · (∆t· v) · B · senθ = I · L · B · senθ

y en forma vectorial:

F = I · (L ∧ B)

que corresponde a la fuerza magnética sobre el conductor de longitud L por el que circulala corriente I y que forma un ángulo θ con el vector B.

El sentido del vector L es el de la corriente. La fuerza es perpendicular al conductor yal campo magnético.

∆ ∆q I t= ⋅

I qt

=∆∆

F

B

V 1

S

L


25

➝

➝

➝

➝

➝ ➝ ➝

➝

➝

I➝

θ

-Pág.29 -



Si en lugar de un conductor rectilíneo, consideramos una espira rectangular:

Se llama momento M del par de fuerzas sobre dicha espira:

M = I · (S ∧ B)

Y cuyo módulo vale: M = I · S · B sen α

siendo S el área de la espira, I la intensidad de la corriente que circula por ella, B el campomagnético y α el ángulo que forman B y S.

2.4. CREACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS POR CARGASEN MOVIMENTO: ESTUDIO EXPERIMENTALDE ALGUNOS CASOS CONCRETOS

Ya vimos que por las investigaciones de Oersted se dedujo que una corriente eléctricadesviaba una aguja imantada igual que lo hace un imán. Con esto se puso de manifiesto que

las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, como había sugerido Ampère.Estudiaremos algunos casos concretos.

2.4.1. CAMPO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA E INDEFINIDA

Si atravesamos un cartón con un hilo conductor y esparcimos limaduras de hierro, cuandocircula corriente por el conductor aparece un espectro como el que se representa en la figura.Si colocamos pequeños imanes, éstos se orientan en círculos concéntricos también.

FÍSICA

26

➝

➝ ➝ ➝

➝ ➝

-Pág.30-



Si se invierte el sentido de la corriente, las agujas se colocan en sentido contrario.

Esto nos indica el sentido del campo en relación con el sentido de la corriente. Paraconocerlo podemos utilizar la regla de la mano derecha, en la que el pulgar indica el sentidode la corriente, y los dedos de la mano al cerrarse, el sentido de las líneas del campomagnético. Por tanto, la dirección y el sentido del campo magnético cuando la corriente esrectilínea, está en un plano perpendicular a la corriente.

El módulo del campo magnético viene dado por la ley de Biot y Savart:

siendo:

a = la distancia, en metros, del conductor al punto en el que buscamos el valor delcampo.

I = la intensidad de la corriente que pasa por el hilo, en amperios.

µ0 = la permeabilidad magnética del vacío. Es una constante cuyo valor es 4 π·10 –7

(T· m/A).

B I a

=⋅µ

π

0

2


27

-Pág.31-



2.4.2. CAMPO CREADO POR UNA CORRIENTE CIRCULAR (ESPIRA)

Si el conductor está formado por una espira circular, siguiendo el mismo procedimientoutilizado para la corriente rectilínea, nos encontramos con el siguiente espectro:

Se observa que las líneas de fuerza entran por la cara anterior de la espira y salen por laposterior.

Si ahora colocamos frente a la espira una aguja magnética, se orientará según lasposiciones que muestra la siguiente figura:

La parte frontal de la espira es el polo sur, mientras que la posterior es el polo norte.

Si invirtiésemos el sentido de la corriente, se invertiría también la orientación de los

imanes.

El módulo del campo magnético en el centro de la espira de radio “a” y recorrida poruna corriente de intensidad I es:

donde µ0 representa lo mismo que en el apartado anterior.

B I

a=

⋅µ 0

2

FÍSICA

28

-Pág.32-



Ejemplo 1:

Calcular el campo magnético debido a un conductor rectilíneo, por el que circula unacorriente de 2 A, situado en el vacío, a una distancia de 40 cm.

Aplicando la ley de Biort y Savart:

Ejemplo 2:

Calcular el campo magnético creado en el centro de una espira circular de 40 cm deradio, por la que pasa una corriente de 3 A.

2.5. FUERZAS MAGNÉTICAS ENTRE DOS CONDUCTORES

RECTILÍNEOS

Consideremos dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan dos corrientesde intensidades I1 e I2, del mismo sentido y separados por una distancia “r”.

B I

a

T m A

A

mT =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

−

−µ π 0

7

6

2

4 10 3

2 0 4 4 71 10, ,

B I a

T m A

A

mT =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−

−µ

π

π

π

0

7

6

2

4 10 2

2 0 4 10,


29

-Pág.33-



El primer conductor genera un campo magnético que viene dado por la expresión:

que ejerce una fuerza sobre un segmento de longitud L del segundo conductor, dada por:

donde θ es el ángulo entre B1 e I2, que en este caso es de 90° (sen 90° = 1), con lo que laexpresión anterior queda de la forma:

La fuerza que ejerce el campo magnético creado por el segundo conductor sobre elprimero, se calcula igual. Si I1 y I2 tienen el mismo sentido, los conductores son atraídospor ambas fuerzas; y si son de sentidos opuestos, los repelen entre sí.

A partir de la expresión anterior se define el amperio que, como ya vimos, es la unidadde intensidad de la corriente eléctrica en el Sistema Internacional. Si en la expresión de lafuerza consideramos r = 1 m, I1 = I2 = 1 A, y teniendo en cuenta el valor de µ0:

llegamos a:

“Dos conductores rectilíneos paralelos situados en el vacío a un metro de distancia estánrecorridos en el mismo sentido por corrientes de un amperio, si se atraen con una fuerza de2·10 –7 N por metro de longitud”.

2.6. LEY DE AMPÈRE. APLICACIONES

Tomando la expresión del módulo del campo magnético para un conductor rectilíneo:

B I a

B a I =⋅

⇒ ⋅ = ⋅µ

π π µ

002 2

F L

I I r

N

A A A

m N m

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

−

−µ

π

π

π

0 1 2

72

7

2

4 10 1 1

2 1 2 10

µ π π 0 7 724 10 4 10= ⋅ ⋅ = ⋅− −T m

A N A

F I L B I L I

r12 2 1 2

0 1

2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅µ

π

F I L B12 2 1= ⋅ ⋅ ⋅ senθ

B I r1

0 12= ⋅µ

π

FÍSICA

30

-Pág.34-



El primer miembro se llama circulación del vector B a lo largo de una línea cerrada.

Dicha circulación se define como la suma a lo largo de la línea de los productos B·dL.“La circulación de B a lo largo de una línea cerrada es µ0 veces la intensidad de la

corriente o corrientes encerradas en ella”.

La expresión matemática correspondiente es:

Esto constituye la ley de Ampère en la que dL son los elementos diferenciales delongitud de la línea cerrada.

Veremos algunas aplicaciones de esta ley.

2.6.1. CAMPO CREADO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE

Un solenoide es un conductor arrollado de forma helicoidal, por lo que equivale a unaserie de espiras iguales y paralelas a través de las cuales circula una corriente. Su espectrocorresponde al de un imán recto.

El módulo del campo magnético en el interior del solenoide es:

siendo:

N = número de espiras del solenoide.

L = longitud del solenoide, en metros.

I = intensidad que pasa por él, en amperios.

µ0 = la permeabilidad magnética del vacío, 4π·10-7 (T·m/A), es decir, lo mismo que enlos casos anteriores.

B N I L

= ⋅ ⋅µ 0

B L⋅ = ⋅ ∫ ∑d µ 0 I


31

➝

➝ ➝

➝

➝ ➝

➝

-Pág.35-



Si dentro de un solenoide introducimos una barra cilíndrica de hierro dulce, el campo

magnético que se crea es mucho más intenso. A este dispositivo se le llama electroimán.

Ejemplo:

Calcular el campo magnético en el interior de un solenoide de 20 cm de longitud y 60espiras, por el que pasa una corriente de 3 A.

2.6.2. ELECTROIMÁN

El electroimán es un trozo de hierro en torno al cual se arrolla en espiral un cable conductor.Frecuentemente este conjunto se encuentra en el interior de un disco también de hierro.

Cuando por los cables del electroimán no circula corriente eléctrica, el disco de hierrono presenta ninguna propiedad magnética; pero, cuando circula corriente, el campomagnético creado por ella, hace que el disco se imante y pueda atraer objetos metálicoscomo si fuera un imán.

Los electroimanes se suelen utilizar como grúas transportadoras de objetos de hierro oacero. Si el electroimán se coloca sobre el cuerpo a transportar y se acciona el paso decorriente, ese cuerpo se verá atraído fuertemente por el disco y podrá ser elevado ytransportado. Suprimiendo la corriente, dicha atracción cesará y el cuerpo caerá por supropio peso.

2.7. EXPLICACIÓN DEL MAGNETISMO NATURALDesde muy antiguo es conocido el hecho de que existe un mineral llamado magnetita,

que posee la propiedad de ejercer fuerzas de atracción sobre un determinado tipo desustancias: hierro, cobalto, níquel, que reciben el nombre de materiales magnéticos.

A las sustancias que son fuertemente atraídas por la magnetita se les denominaferromagnéticas. A las sustancias que son atraídas débilmente por un imán se les denominaparamagnéticas (aluminio, por ejemplo), y a las otras sustancias que son repelidasdébilmente por un imán se les llama diamagnéticas.

B N I L

T m A

espiras A

mT =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

−

−µ π 0

7

34 10 60 3

20 1 13 10,

FÍSICA

32

-Pág.36-



A la magnetita se le denomina imán natural.

Asimismo, ciertos materiales, como el acero, pueden adquirir artificialmente la propiedadde atraer materiales magnéticos, constituyéndose de esta forma los imanes artificiales.

Los imanes poseen unas zonas en las que se manifiesta intensamente la fuerza deatracción que se ejerce sobre el hierro. Estas zonas se llaman polos magnéticos y coincidencon los extremos del imán.

Todo imán posee dos polos magnéticos, que se denominan polo norte y polo sur.

Dos imanes se repelen cuando se enfrentan los polos del mismo nombre y se atraen

cuando se enfrentan por los polos de distinto nombre.

3. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

El descubrimiento de la inducción electromagnética se debe a una serie de experimentosde Faraday realizados al acercar o alejar un imán a una espira.

Las conclusiones fueron que en determinadas condiciones se puede inducir una fuerzaelectromotriz y generar una corriente eléctrica sin emplear ninguna fuente de alimentación.Es a lo que llamamos inducción electromagnética.


33

-Pág.37-



3.1. FLUJO MAGNÉTICO

Al igual que hemos representado el campo eléctrico por medio de líneas de fuerza, lainducción magnética B puede representarse por medio de líneas de inducción. Una línea deinducción es una línea trazada de manera que en todos sus puntos sea paralela al campomagnético.

El conjunto de líneas de inducción que atraviesa una superficie S se llama flujomagnético Φ.

La determinación del número de líneas de fuerza es arbitraria.

Por convenio se toma el número de líneas de fuerza por unidad de superficie normal alflujo, igual al valor de B.

En el sistema de unidades MKSA:

“Un campo magnético de inducción B igual a 1 tesla viene representado por una líneade inducción por cada m2. Una línea de inducción así definida se llama weber”.

Por tanto, la inducción magnética B es el flujo por unidad de superficie normal a B ypuede llamarse, por lo mismo, densidad de flujo.

Para una superficie S normal a B tenemos:

Para una superficie cualquiera infinitesimal, ds, el flujo valdrá:

donde α es el ángulo que forma B con la normal a dS, y dS es un vector perpendicular alplano tangente a dS y de módulo el valor de la superficie dS en el sistema de unidadesconsiderado.

Resumiendo:

Weber es la unidad de flujo magnético en el sistema MKSA.

11

1 2gaussmaxwell

cm=

11

1 2T weber

m=

d B dsΦ = ⋅ ⋅ = ⋅cosα B Sd

BS

B S= ⇔ = ⋅Φ Φ

FÍSICA

34

➝ ➝

➝ ➝ ➝

dS

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Maxwell es la unidad de flujo magnético en el sistema electromagnético.

La relación entre ambos se obtiene de la siguiente forma:

1W b = 1T · 1m2 = 104 gauss · 104 cm2 = 108 maxwell

3.2. LEYES DE FARADAY-HENRY Y DE LENZ

Después del descubrimiento de Oersted, en 1820, de que las corrientes eléctricas puedenproducir efectos magnéticos, comenzaron muchos investigadores a buscar un posible efecto

contrario, esto es, si podría utilizarse un imán para producir corriente eléctrica.

En 1824, Faraday comenzó a realizar experiencias de ese tipo, pero no detectabaninguna corriente cuando colocaba un imán cerca o en el interior de la espira. Después denumerosos intentos de este tipo, abandonó el trabajo, pero volvió a él de nuevo en 1831, yen agosto del mismo año sus experiencias se vieron coronadas por el éxito. Faraday observóque el modo de producir corriente en la espira era distinto del que había imaginado en unprincipio. El colocar simplemente una espira en reposo dentro de un campo magnético noera suficiente. Debía haber un movimiento del campo respecto a la espira o bien variar la

intensidad del campo magnético. En realidad, en los primeros experimentos había probadomover el imán a través de la espira, con lo que se modificaba el campo magnético que laatravesaba, pero, como vio después, para detectar la corriente que así se produce senecesitaba un arrollamiento de muchas espiras y un galvanómetro (aparato que mide laintensidad y determina el sentido de una corriente eléctrica) mucho más sensible del queutilizaba, y también un campo magnético más intenso. En uno de los experimentosrealizados con éxito en 1831, utilizó un electroimán en lugar del imán, con el siguienteresultado: “sólo se induce corriente en un conductor cuando éste está en movimientorelativo a través de las líneas de fuerza magnética”.

En realidad, el fenómeno de las corrientes inducidas lo había descubierto, un año antesque Faraday, el físico americano Joseph Henry. Parece ser que Henry había sospechadodurante algún tiempo que los fallos iniciales en la observación de corrientes inducidaspodrían atribuirse a la poca intensidad de los imanes empleados. Como Henry habíatrabajado en la construcción de electroimanes muy potentes, utilizó uno de ellos. Colocabaentre los polos del electroimán una barra de hierro dulce o armadura, arrollaba a sualrededor un conductor en forma de espiras aisladas entre sí y sus extremos los conectabaa un galvanómetro. A falta de una llave, establecía e interrumpía la corriente en el conductordel electroimán introduciendo y sacando las placas de la batería del electrolito.


35

-Pág.39 -



Así pues, mientras se modificaba el campo magnético en la armadura, se inducía

corriente en el arrollamiento alrededor de ella. Desgraciadamente para Henry, en la historiade este descubrimiento, él volvió a sus pesadas ocupaciones de la enseñanza al final de lasvacaciones de verano sin haber publicado sus descubrimientos. Posteriormente, cuando seanunció el descubrimiento de Faraday, hizo apresuradamente algunos experimentos más yen julio de 1832, publicó un artículo con todos sus resultados. En él tuvo buen cuidado demanifestar la prioridad de Faraday en la publicación.

Si fuese éste el final de la historia, no valdría la pena de repetirla, pues ciertamente hayque considerar a Faraday como el descubridor efectivo de las corrientes inducidas. Sinembargo, Henry, en el último párrafo de su artículo de julio de 1832, mencionaba un

descubrimiento mayor, que ni Faraday ni ningún otro habían descrito antes: mientrasaumenta la corriente en un arrollamiento (después que se ha conectado a una batería) seinduce una corriente opuesta, aunque pequeña, en el mismo arrollamiento, cuyo efecto es,que el tiempo requerido para que la corriente en el arrollamiento alcance su valor finalestacionario sea mayor que lo sería de otro modo. Inversamente, cuando la corriente en elarrollamiento decrece, se induce una corriente en el mismo arrollamiento, cuyo efecto esprolongar el tiempo requerido para que la corriente del arrollamiento cese. Este importantefenómeno se conoce con el nombre de autoinducción, para distinguirlo de la inducciónmutua, antes discutida, en que la variación de la corriente en uno de los circuitos, induceuna corriente en otro circuito que se encuentra en sus proximidades.

Resumiendo, la ley de Faraday-Henry queda reducida a lo siguiente:

“La fuerza electromotriz inducida (ε) en un circuito es la variación del flujo magnéticopor unidad de tiempo”.

Matemáticamente:

Si en lugar de tener una espira, tenemos N espiras, la ecuación anterior se transforma en:

Lenz (1804-1865) se dedicó simultáneamente también a estos estudios. Con unconocimiento parcial del descubrimiento de Faraday y sin ninguno acerca del de Henry, nosólo realizó estudios similares, sino que formuló un principio como ley de Lenz, quepermite predecir el sentido de la corriente inducida, en cualquier circunstancia. Es unprincipio básico en teoría de electricidad y, de hecho, no es sino una aplicación a lainducción electromagnética, del principio de conservación de la energía.

ε = ⋅ N d dtΦ

ε =d dtΦ

FÍSICA

36

-Pág.40-



Lenz razonaba de este modo: toda corriente eléctrica puede realizar trabajo, aunque sea

inducida por un campo magnético variable, y, por tanto, debe realizarse un cierto trabajopara producir la corriente. Cuando se crea una corriente inducida, que representa energía,en una arrollamiento, el agente responsable de la producción de corriente inducida (porejemplo, la mano que aproxima un imán hacia el arrollamiento) debe proporcionar estaenergía. Por lo tanto, el sentido de la corriente inducida debe ser tal que su propio campomagnético se oponga a la acción que produce la corriente. Por ejemplo, si el polo norte deun imán se aproxima a un arrollamiento, la corriente inducida en él debe ser en tal sentidoque convierta la cara de la espira más próxima al imán en un polo norte también; los dospolos norte producen entonces fuerzas de repulsión mutua, y ésta es la razón por la que elexperimentador debe realizar un cierto trabajo para aproximar el imán. El trabajo realizado

es el origen de la energía de la corriente inducida en las espiras, cuando se aproxima elimán.

No es fácil imaginar cómo el trabajo realizado por la mano sobre el objeto pueda a suvez convertirse en energía de una corriente en una espira que se encuentra a cierta distancia.Sin embargo, esto no destruye la validez de la idea de inducción de corrientes, sino que esun síntoma de las limitaciones de nuestra imaginación. Todo pasa como si se efectuase unatransferencia “a través” del espacio entre el imán y la espira, aun cuando no exista unaimagen válida y sencilla para explicar el mecanismo de esta transferencia. Por analogía conel caso de la acción gravitatoria a distancia, de aquí en adelante admitiremos que laexistencia de tal energía en una región dada de los campos eléctricos y magnéticos nosasegura la posibilidad de que tengan lugar estas transferencias de energía de una región aotra.

Resumiendo, la ley de Lenz establece: “el sentido de una corriente inducida es siemprecontrario (se opone) a la variación del flujo que la produce”.

Si reunimos en una sola ecuación las dos leyes (Faraday-Henry y Lenz), tendremos:

Para N espiras, escribiremos:

ε = − ⋅ N d dtΦ

ε = − d

dt

Φ


37

-Pág.41-



3.3. PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS MEDIANTE

VARIACIONES DE FLUJO MAGNÉTICOSupongamos una espira de área S inicialmente perpendicular a un campo magnético.

Cuando la espira gira con velocidad angular constante (ω), el flujo que la atraviesa es:

siendo α el ángulo entre B y S y que equivale a ωt, con lo que:

Sustituyendo en la expresión de la fem (fuerza electromotriz) y haciendo la derivada:

Si ahora suponemos que se trata de una bobina de N espiras, en lugar de ser una espira,tendremos:

Si ω t = 1 ⇒ ε = N · B · S · ω , y se le llama fem máxima, ε0, con lo que la expresiónanterior se transforma en:

ε = ε0senω t = N. B. S. W. senwt

Esta expresión es la fuerza electromotriz sinusoidal (es función del seno del ángulo)inducida en una bobina. A la corriente inducida se la llama corriente alterna porque elsentido de dicha corriente cambia periódicamente con el tiempo.

3.4. IMPORTANCIA DE LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.IMPACTO MEDIO AMBIENTAL

La importancia de la inducción electromagnética radica en la producción de corrienteeléctrica. Ésta se puede obtener en centrales termoeléctricas, hidroeléctricas, eólicas,geotérmicas, nucleares, maremotrices, etc. Se diferencian en la fuente de obtención de laelectricidad. Veamos las fuentes primarias de las que obtienen dichas centrales esaelectricidad:

ε ω ω ω = − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N d

dt N

d

dt B S t N B S t

Φcos sen

ε ω ω ω = − = − ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ ⋅d dt

d dt

B S t B S tΦ cos sen

Φ = ⋅ ⋅ B S tcosω

Φ = ⋅ = ⋅ ⋅B S B S cosα

FÍSICA

38

➝ ➝

ω ω ⋅ tsen

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— Termoeléctricas: al quemar combustible fósil, por ejemplo, carbón, petróleo, gas.

— Hidroeléctricas: aprovechando la energía potencial del agua que transporta, porejemplo, un río.

— Eólicas: energía del viento.

— Geotérmicas: energía del subsuelo.

— Nucleares: la fisión de los núcleos atómicos.

— Maremotrices: la energía de las mareas.

La producción de la energía eléctrica afecta al medio ambiente en diferentes aspectos,según sea la central. Por ejemplo, las centrales termoeléctricas contaminan la atmósfera poremisión de gases e incluso por la generación de residuos sólidos de la combustión; lascentrales nucleares contaminan al generar grandes cantidades de residuos muy tóxicos; lascentrales eólicas necesitan grandes extensiones de terreno y afectan al medio alterando suflora y su fauna; etc.

Incluso el transporte y la distribución de la energía obtenida también influyen en elmedio ambiente. Las líneas de alta tensión han provocado que algunas aves se hayanelectrocutado y, además, se están estudiando las alteraciones que pueden producir en lasalud humana.

4. APROXIMACIÓN HISTÓRICAA LA UNIFICACIÓNDE LA ELECTRICIDAD, EL MAGNETISMO Y LAÓPTICA: SÍNTESIS ELECTROMAGNÉTICA

Los trabajos de Oersted, Faraday y sus contemporáneos, pusieron de manifiesto unaíntima relación entre la electricidad y el magnetismo: una carga eléctrica y un polomagnético pueden ejercerse fuerzas mutuamente, con tal que estén en movimiento relativo.Este postulado fundamental, establecido por Faraday con su modelo de líneas de fuerza, fueel punto de partida de los trabajos sobre electricidad del físico inglés J. C. Maxwell. Lasbases de Faraday y las de Maxwell, fueron radicalmente distintas. Así como Faraday ha deconsiderarse como uno de los mayores experimentadores, Maxwell, aunque hábilexperimentador, figura entre los mejores físicos teóricos de la historia. En sus trabajos sobreelectricidad, Maxwell fue el heredero intelectual de Faraday.


39

-Pág.43-



Maxwell quedó impresionado por la explicación de Faraday, de la interacción según el

modelo de fuerzas que se extienden por todo el espacio que rodea a los cuerpos queinteractúan.

Al igual que Faraday, Maxwell, no podía aceptar la noción de campo desprovisto deexistencia material propia, aunque fue lo suficientemente inteligente para admitir que laconcepción de una acción a distancia “puede haber sido y aún puede ser útil para lacoordinación de los fenómenos”.

Faraday, a pesar de su deseo de buscar una imagen física y mecánica, había dejadopendiente la pregunta de cómo se originaban las líneas de fuerza. Sin embargo, admitía queestas líneas pudiesen ser el resultado de condensaciones del éter, dado que la idea de un éterelástico que llenaba todo el espacio, era, en aquel tiempo una imagen familiar, utilizada paraexplicar cómo la luz y las radiaciones de los cuerpos calientes podían propagarse en elvacío; por ejemplo, en el vacío que existe entre nuestro sol y otras estrellas y la Tierra;siempre suponiendo que el vacío se encontraba lleno con el éter que todo lo invadía,Faraday escribía: “no es del todo improbable que si existe un éter, tendría otra utilidadaparte de servir de simple propagador de la radiación”, mostrando así su predileccióncaracterística por la unificación de los distintos campos de estudio. Maxwell comenzó adesarrollar una imagen más clara de cómo intervienen las líneas de fuerza en el mecanismode transmitir las fuerzas magnéticas y eléctricas a través del éter. Después, utilizando este

modelo como base, procedió a traducir la descripción de los fenómenos eléctricos ymagnéticos, en términos matemáticos.

El conjunto de ecuaciones del campo que obtuvo Maxwell con su “traducción”, estáexpresado en el lenguaje del cálculo. Pueden servir como postulados y los fenómenos quedescriben incluyen los más familiares que hemos visto.

Estas ecuaciones de Maxwell permitieron predecir descubrimientos posteriores como,por ejemplo, las ondas electromagnéticas. Calculó la velocidad de propagación de dichasondas en el vacío a partir de la ecuación:

siendo: C = velocidad de las ondas = velocidad de la luz.

ε0 = constante dieléctrica del vacío

µ0 = permitividad magnética del vacío

La síntesis electromagnética se expresa matemáticamente a través de las ecuaciones deMaxwell y unifica en una sola teoría la electricidad, el magnetismo y la óptica.

c m s=⋅

= ⋅1 3 100 0

8

ε µ /

FÍSICA

40

c

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4.1. ECUACIONES DE MAXWELL

Estas ecuaciones, ya mencionadas en el apartado anterior, expresan matemáticamentelas leyes experimentales del electromagnetismo, recogiendo las ya vistas:

1ª ecuación: expresa la ley de Gauss.

2ª ecuación: recoge la ley de Ampère-Maxwell.

3ª ecuación: describe la ley de Faraday-Henry.

4ª ecuación: expresa el flujo del vector inducción magnética.

5. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE DISTINTOS CAMPOSCONSERVATIVOS (GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO)

Tanto las analogías como las diferencias entre ambos campos se obtienen comparandolas expresiones:

Ambos son campos centrales, puesto que su dirección es la de la recta que une un puntocon el lugar en el que se encuentra la carga o la masa que crea el campo. Los dos soninversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que existe entre ambos, es decir,entre el punto considerado y la carga o la masa. Si son centrales, podemos asociarles unaenergía potencial.

E = ⋅k q

r2 urg ur= ⋅G

M

r2

B S⋅ = ∫ dS

0

E L B S⋅ = ⋅ ∫ ∫ d dC S

d dt

–

B L E S⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ d dµ µ ε 0 0 0

CS

I d

dt

E S⋅ = ∫ dS

qε 0


41

➝ ➝

➝ ➝ ➝ ➝

➝ ➝ ➝ ➝

➝ ➝

➝ ➝ ➝➝

-Pág.45-



La constante G es universal por lo que el campo gravitatorio que crea una masa no

depende del medio que la rodea. Pero la constante k varía de un medio a otro. De hecho, lapresencia de un medio material hace que la interacción eléctrica sea más débil, cosa que noocurre con la interacción gravitatoria.

Otra diferencia importante es que le campo gravitatorio siempre está dirigido hacia elcuerpo que lo crea, pero el campo eléctrico puede estar dirigido hacia la carga o fuera deella, según el signo que tenga. Es decir, el campo gravitatorio siempre tiene el mismosentido, en cambio, el campo eléctrico tiene diferentes sentidos.

Debemos tener además en cuenta que el campo gravitatorio no se altera si la masa está

en movimiento. Pero si la carga se mueve aparece, además de la interacción eléctrica, lainteracción magnética.

6. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE CAMPOSCONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS(ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO)

Ambos campos tienen su origen en las cargas eléctricas y ejercen fuerzas sobre cargasen movimiento, como vimos en apartados anteriores.

Ahora bien, las diferencias fundamentales entre ellos son las siguientes:

— El campo eléctrico también puede ejercer fuerzas sobre cargas en reposo, y elmagnético no.

— El campo eléctrico es un campo conservativo, con lo que podíamos asociarle un

potencial debido a que el trabajo eléctrico no depende de la trayectoria seguida. Encambio, el campo magnético no es conservativo, por tanto, el trabajo sí depende dela trayectoria y no podremos definir un potencial para describir dicho campo.

— En cuanto a las líneas de fuerza del campo eléctrico son abiertas porque comienzanen una carga y se pueden extender hasta el infinito. Pero las del campo magnético,nacen en un polo y acaban en otro, es decir, son cerradas.

FÍSICA

42

-Pág.46-



RESUMEN

— Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen.

— La ley de Coulomb mide la fuerza con la que dos cargas se atraen o se repelen:

donde q1 y q2 son las cargas y r es la distancia que las separa.

— El campo eléctrico es la región del espacio donde se ponen de manifiesto fuerzas detipo eléctrico y se calcula mediante la intensidad del campo:

— Potencial eléctrico es el trabajo que hay que realizar para transportar la unidad decarga positiva desde fuera del campo hasta un punto en el interior de él:

— Diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos A y B del campo es el trabajonecesario para trasladar la carga desde el punto A al B, ambos del interior delcampo:

— El flujo eléctrico viene definido a través de superficies abiertas o cerradas:

— Se denomina campo magnético a la región del espacio en donde se manifiestanfuerzas magnéticas.

— Toda corriente eléctrica produce un campo magnético y todo campo magnéticoproduce una corriente eléctrica.

— La fuerza a la que está sometida una carga que se mueve en el interior de un campomagnético es:

F q v B= ⋅ ⋅ ⋅ senα

Φ = ⋅ = ∫ E Sdq

ε 0

V V W

q B A A B− = →

1

V W q

=1

E Fq

=1

F k q q

r= ⋅

⋅1 22


43

➝ ➝

➝ ➝➝ F = q (v B)^

-Pág.47-



— La ley de Lorentz nos proporciona la fuerza que actúa sobre una carga eléctrica en

una región del espacio en la que coexisten un campo eléctrico y un campomagnético:

— El campo magnético creado por una corriente eléctrica rectilínea es:

— El campo magnético producido por una espira viene dado por:

— El campo magnético creado por un solenoide es:

— La ley de Faraday-Henry y la ley de Lenz se resumen en la expresión:

— Las ecuaciones de Maxwell resumen las leyes del electromagnetismo.

— La síntesis electromagnética unifica en una sola teoría la electricidad, elmagnetismo y la óptica.

ε = − d dtΦ

B N I L

=⋅ ⋅µ 0

B I a

=⋅

⋅µ 0

2

B I a

o=

⋅⋅

µ

π 2

FÍSICA

44

F = q E + q (v B)^ ➝ ➝ ➝

➝

-Pág.48-




1. Una partícula α (q = 3,2·10 –19 C) penetra dentro de un campo magnético de densidad deflujo 2 weber/m2, con una velocidad de 2 · 106 m/s, formando un ángulo de 45º con elcampo. Halla la fuerza ejercida sobre esa partícula.

Según el enunciado del ejercicio, la densidad de flujo es de 2 weber/m 2, que equivalena 2 teslas, es decir, nos están dando el valor de la intensidad del campo magnético.

Utilizando la expresión del módulo de la fuerza magnética:

y sustituyendo los datos, tendremos:

2. Una partícula con masa m = 3,6·10 –18 kg y carga q = 1,6·10 –8 C, inicialmente en reposo,se acelera hasta una velocidad de 3000 m/s por la acción de un campo eléctrico uniformede 3,2·104 N/C. Hallar: a) el espacio recorrido por la partícula; b) la diferencia depotencial entre los puntos extremos del recorrido.

a) Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, cuya ecuación es:

de la que despejamos el espacio:

Si tenemos en cuenta que:

Igualando ambas expresiones tendremos:

q E m a aq E

mm s⋅ = ⋅ ⇒ =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

−

−

1 6 10 3 2 103 6 10

1 42 108 4

1814 2, ,

,, /

F q E

F m a

= ⋅= ⋅

sv v

a=

−202

2

v v as2

02 2= +

F N = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− −3 2 10 2 10 2 45 9 05 1019 6 13, sen º ,



45

-Pág.49 -



Sustituyendo ahora en la ecuación del espacio y sabiendo que la velocidad inicial

(v0 = 0) porque parte del reposo:

b) Para calcular la diferencia de potencial:

3. Considera tres cargas puntuales de 1, 3 y 5 µC, respectivamente, situadas en los vértices

de un cuadrado de 10 cm de lado. Calcula: a) el potencial en el centro C del cuadrado;b) la carga que habría que colocar en el vértice vacío para que el potencial en el puntoC fuera nulo.

a) Calculamos primero la distancia de cada carga al centro C:

Por el teorema de Pitágoras, la distancia, d, del vértice al centro C es la hipotenusadel triángulo rectángulo de lados iguales a 0,05 m, con lo que:

El potencial en C es la suma de los potenciales de cada carga:

donde podemos sacar factor común:

Sustituimos los datos teniendo en cuenta que las cargas están en µC y deben ir enC, por lo que multiplicaremos por 10 –6 C/µC:

V

N m

Cm

CCC

V C =⋅ ⋅

⋅⋅ + +( ) ⋅ = ⋅−

−9 10

7 101 3 5 10 1 14 10

92

2

36 5

µ µ

,

V k d

q q qC = ⋅ + +( )1 2 3

V V V V k qd

k qd

k qd C = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅1 2 3

1 2 3

d m= + = ⋅ −0 05 0 05 7 102 2 3, ,

{ }0,1 m

0,05 md

C

EV d

V E d V = ⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− −3 2 10 3 16 10 1 012 104 8 3, , ,

s m=−

⋅ ⋅= ⋅ −3000 0

2 1 42 103 16 10

2 2

148

,,

FÍSICA

46

2

2 5 6

-Pág.50-



b) A la carga que colocaremos en el cuarto vértice la llamaremos q. Sabiendo queahora el V

C= 0:

4. Una partícula α entra, con una velocidad de 5 · 105 m/s, perpendicularmente a un campomagnético uniforme de 8,2 teslas. Calcular: a) el radio de la circunferencia quedescribirá; b) la fuerza magnética sobre ella; c) el periodo del movimiento. Datos: las

partículas a tienen una carga de 3,2 · 10 –19

C y una masa de 6,5 · 10 –27

kg.

a) Para calcular el radio de la circunferencia que describirá, debemos tener en cuentaque las fuerzas que actuarán sobre la partícula serán la fuerza magnética:

y la fuerza centrífuga:

Al entrar perpendicularmente al campo, el ángulo α = 90º ⇒ sen α = sen 90º = 1,quedando la primera expresión de la forma:

Igualando ambas expresiones, podemos despejar el radio:

Sustituyendo los valores:

b) Para calcular la fuerza magnética utilizamos la primera ecuación, teniendo encuenta el valor del ángulo α = 90°, y, en consecuencia, sen 90° = 1:

F = q · v · B = 3,2 · 10 –19 · 5 · 105 · 8,2 = 1,3 · 10 –12 N

R m=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

−

−−6 5 10 5 10

3 2 10 8 21 2 10

27 5

193,

, ,,

q v B mv R

Rm v

q v Bm vq B

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅

⋅ ⋅=

⋅⋅

2 2

F q v B= ⋅ ⋅

F m a mv Rc= ⋅ = ⋅

2


9 107 10

1 3 5 10 0 99

36⋅

⋅⋅ + + +( ) ⋅ = ⇒ = −−

−q q Cµ

V k d

q q q qC = ⋅ + + +( ) =1 2 3 0


47

2

-Pág.51-



c) El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, y viene dado por la

ecuación:

5. Se tienen dos cargas de –3 y 2 nC, respectivamente, situadas en el vacío a una distanciade 30 cm. Calcular el punto P de la recta que las une en el que la intensidad del campoeléctrico es nula.

Tenemos tres posibles situaciones del punto P con relación a las cargas.

1er caso: El punto P se encuentra entre las dos cargas.

Podemos ver gráficamente que esos dos vectores no se pueden anular, ya que ambos

tienen el mismo sentido. Por tanto, el punto P no está entre las cargas.

2.° caso: El punto P está fuera de las cargas, en su misma recta, hacia q1.

Si suponemos que el punto P se encuentra a una distancia “x” de q1, y sabiendo quela distancia entre las cargas es de 0,3 m, el punto se encuentra a “0,3 + x” metros dela carga q2.

Para que la intensidad del campo eléctrico sea nula, se debe cumplir:

E1 = E 2

E1

E2

x

0,3 m

q1(–) q

2(+)

P

E1

E2

x

P

q1(–) q

2(+)

T m

q Bs=

⋅⋅

=⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅−

−−2 2 6 5 10

3 2 10 8 21 5 10

27

198π π ,

, ,,

FÍSICA

48

➝

➝

➝ ➝

-Pág.52-



Escribiendo el valor de cada intensidad en función de su carga y su distancia:

Simplificando y sacando raíces cuadradas en ambos miembros, la expresión anteriorqueda de la forma:

Como las distancias no pueden ser negativas, el resultado obtenido indica que tampocoes este caso.

3er caso: El punto P está fuera de las cargas, en su misma recta, hacia q2.

El planteamiento es el mismo que en el segundo caso, sólo que cambiando lasdistancias. Ahora la distancia de la primera carga al punto P es 0,3 + x, y la distancia dela segunda es x.

Por tanto, el punto P se encuentra a 1,32 m de la segunda carga, en el sentido de laprimera a la segunda, es decir, a la derecha de la q2 según nuestro planteamiento.

1 730 3

1 41 1 73 1 41 0 3 1 32,,

, , , , ,+

= ⇒ ⋅ = ⋅ +( ) ⇒ = x x

x x x m

k q

d k

q

d x x⋅ = ⋅ ⇔ ⋅

+( )=

⋅− −1

12

2

22

9

2

9

23 10

0 32 10

,

E E1 2=

E1

E2

x

0,3 m

q1(–) q

2(+)

P

1 73 1 410 3

1 73 0 3 1 41 1 62, ,

,, , , – ,

x x x x x m=

+⇒ ⋅ +( ) = ⋅ ⇒ =

k q

d k

q

d x x⋅ = ⋅ ⇔ ⋅

=⋅

+( )

− −1

12

2

22

9

2

9

23 10 2 10

0 3,

0,3 mx

P


49

➝ ➝

-Pág.53-




1. Para desplazar una carga de 2 C entre dos puntos, se ha tenido que realizar un trabajo de 60 J.Hallar la diferencia de potencial entre dichos puntos.

A. 15 V B. 1,25 V C. 120 V D. 30 V

2. Entre dos esferas cargadas eléctricamente, que distan entre sí 6 metros, se ejerce una fuerza de50 N. Sabiendo que la carga de una de ellas es de 0,05 C, calcular la carga de la otra.

A. 4·10 –6 C B. 6·10 –6 C C. 8·10 –6 C D. 12·10 –6 C

3. Dos esferas provistas de cargas iguales se repelen con una fuerza de 480 N cuando se colocana 3 cm de distancia. Averiguar la carga de cada una de ellas.

A. 2,18·10 –5 C B. 3,43·10 –6 C C. 6,93·10 –6 C D. Ninguna de las anteriores

4. La diferencia de potencial entre los dos polos de un enchufe es de 220 V. Calcular la carga quetendrá que circular para realizar un trabajo de 1500 J.

A. 0,12 C B. 62,5 C C. 6,82 C D. Ninguna de las anteriores

5. Calcular el potencial de una carga de 2 C a 3 metros de distancia.

A. 6 V B. 18 V C. 6·10 –9 V D. 6·109 V

6. Se desplaza una carga de 10 C desde un punto que está a 3000 V de tensión hasta otro que se

encuentra a 2000 V. Calcular el trabajo.

A. 10000 W B. 10000 J C. – 10000 W D. – 10000 J

7. Un solenoide de 2000 espiras y 4 cm de longitud es atravesado por una corriente de 5 A.Calcular la inducción del campo magnético creado en su interior.

A. 0,314 T B. 0,814 T C. 0,614 T D. 0,914 T

FÍSICA

50

-Pág.54-



8. Calcular el número de espiras que debe tener un solenoide de 10 cm de longitud, si se deseaque, al ser atravesado por una corriente de 2,35 A de intensidad, el campo magnético creado ensu interior tenga una inducción de 0,25 teslas.

A. 7846 B. 8466 C. 5846 D. 9846

9. Un solenoide de 5 cm de longitud está formado por dos devanados de 1000 y 1500 espiras, queson recorridos por corrientes de 1 y 3 A, respectivamente, ambas con el mismo sentido.Calcular la inducción magnética del campo creado en su interior.

A. 1,38 T B. 0,138 T C. 0,12 T D. 0,02 T

10. ¿Cuál ha de ser la intensidad de corriente que, circulando por una espira de 10 cm de radio, délugar en el centro un campo magnético de 10-5 teslas?

A. 0,59 A B. 2,59 A C. 1,29 A D. 1,59 A


51

-Pág.55-




FÍSICA

52

1. D

2. A

3. C

4. C

5. D

6. D

7. A

8. B

9. B

10. D

-Pág.56-



OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3MAPA CONCEPTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4DESARROLLO DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. FENÓMENOS QUE NO SE EXPLICAN CON LA FÍSICA CLÁSICA . . . . 52. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. HIPÓTESIS DE PLANCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Y LOS ESPECTROS DISCONTINUOS:INSUFICIENCIA DE LA FÍSICA CLÁSICA PARA EXPLICARLOS. . . . . 8

5. COMPORTAMIENTO CUÁNTICO DE LAS PARTÍCULAS (PROTONES,ELECTRONES, ...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

6. HIPÓTESIS DE DE BROGLIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137. RELACIONES DE INDETERMINACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148. PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159. DESARROLLO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO QUE SUPUSO LA

FÍSICA MODERNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10. RADIACTIVIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1810.1. LEYES DEL DESPLAZAMIENTO RADIACTIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1910.2. LEY DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010.3. RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL O INDUCIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11. APLICACIONES DE LA FÍSICA MODERNA: FÍSICA NUCLEAR . . . . . . 2312. FUERZAS NUCLEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

12.1. MODELOS NUCLEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613. ENERGÍA EN LAS REACCIONES NUCLEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

13.1. FISIÓN Y FUSIÓN NUCLEARES. APLICACIONES Y RIESGOS . . . . . . . . . .2914. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS PARTÍCULAS ELEMENTALES 30

14.1. TEORÍA DE LOS QUARKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.2. INTERACCIONES FUNDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.3. PARTÍCULAS E INTERACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14.3.1. NÚMEROS CUÁNTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3514.4. TEORÍAS DE UNIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Í N D I C E

-Pág.57-

U.D. 7.- INTRODUCCIÓN A LA F ÍSICA MODERNA




• Entender los postulados de la relatividad especial.

• Comprender las hipótesis y los principios de la Física cuántica.

• Analizar lo que es la radiactividad.

• Distinguir entre fisión y fusión nucleares.

• Valorar los últimos modelos y teorías que explican cómo está constituida lamateria.

O B J E T I V O S

-Pág.58-

FÍSICA



H an sido muchos los científicos que, con sus estudios y experimentos, han

ayudado a clarificar de qué y cómo está constituida la materia.

La Física clásica era incapaz de explicar determinados fenómenos que quedaron

perfectamente clarificados con los postulados, hipótesis y teorías de la Física

cuántica o moderna.

El camino no ha sido fácil. A veces la casualidad de los acontecimientos, otros elestudio profundo durante años, han llevado a los científicos a establecer teorías que

en algunos casos son complicadas de entender.

En otros casos, dichas teorías sólo son aplicables a casos o condiciones extremas.

Pero lo que siempre se ha buscado ha sido una teoría capaz de explicar fenómenos

que aparentemente no tenían nada que ver entre sí. Son las teorías de unificación.


-Pág.59 -




FÍSICA CLÁSICA

FÍSICA MODERNA

FÍSICA CUÁNTICA

Evoluciona hasta

– Efecto fotoeléctrico – Espectros – Efecto Compton

Para explicar

– Hipótesis de Planck – Hipótesis de De Broglie – Principio de incertidumbre – Principio de complementariedad

– Radiactividad – Fuerzas nucleares – Modelos nucleares – Energía nuclear – Fisión nuclear – Fusión nuclear

A través de

Estudia

MAPA CONCEPTUAL

-Pág.60-

FÍSICA



1.FENÓMENOS QUE NO SE EXPLICAN

CON LA FÍSICA CLÁSICA

Vimos en unidades anteriores que la Física clásica era incapaz de explicar fenómenostales como las emisiones de radiaciones electromagnéticas de los cuerpos, el efectofotoeléctrico, los espectros discontinuos, interacciones entre la materia del tipo electrón-átomo o el comportamiento ondulatorio de partículas materiales.

A partir de 1925, se desarrolló la denominada Física cuántica que describe el compor-tamiento de unos entes físicos, llamados entes cuánticos, sustituyendo a las partículas y a lasondas.

A finales del siglo pasado, los físicos, satisfechos con sus descubrimientos, llegaron apensar que el edificio de las ciencias físicas estaba prácticamente completo.

Sin embargo, en muy pocos años se realizaron varias experiencias que fueron decisivaspara que este aparentemente sólido edificio se derrumbase con gran estrépito.

Los espectros continuos de emisión, la teoría de la relatividad, el efecto fotoeléctrico, elefecto Compton, el comportamiento dual de las ondas electromagnéticas y otros

fenómenos, se encargaron por sí solos de derribar el fastuoso edificio. Desde entonces, lascosas no son tan fáciles.

El continuo desajuste que se producía entre las fórmulas empíricas utilizadas paraexplicar la realidad y ésta misma, sirvieron para acelerar un fenómeno que era imparable:se trataba de romper con las leyes y teorías de la física que ahora denominamos “clásica”;para ello, era necesario tener, además de una mente brillante, la imaginación y atrevimientonecesarios para arrinconar los resultados de miles de años de investigación.

El edificio comenzó a desplomarse cuando en 1900 Planck resolvió el problema, al

anunciar que había encontrado una fórmula empírica que se ajustaba a los datosexperimentales.

Sin embargo, Planck no estaba satisfecho con su trabajo, ya que la expresión no pasabade ser un puro juego matemático, para el que, muy a su pesar, había tenido que establecerciertas hipótesis que chocaban frontalmente con la concepción física de la realidad en vigoren esos momentos.

U.D. 7.- I NTRODUCCIÓN A LA F ÍSICA MODERNA

5

-Pág.61-



2. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Desde siempre se ha buscado un sistema de referencia absoluto con respecto al cualreferir todo movimiento (movimiento absoluto). Pero el estudio del movimiento se vecondicionado por el sistema de referencia que se elige. Por ejemplo, si consideramos elmovimiento de un avión, no será el mismo para un pasajero de éste que para alguien que loobserva desde tierra.

Hasta ahora nos había bastado con tener en cuenta las transformaciones de Galileo para

pasar de un sistema de referencia a otro que se mueve respecto al primero con movimientouniforme.

De hecho, el principio de relatividad de Galileo afirma que las leyes de la dinámicadeben ser las mismas en todos los sistemas de referencia, si se mueven con velocidadconstante unos respecto a otros. Sin embargo, la luz no verifica este principio, ya que suvelocidad de propagación es constante, independientemente del sistema de referenciautilizado.

En tales sistemas, que denominamos inerciales, se cumple el principio de conservaciónde la cantidad de movimiento y se encuentra la definición de fuerza, lo que nos permite

explicar en cada momento el comportamiento del sistema desde el punto de vista dinámico.Sin embargo, las últimas experiencias nos indican que algo está mal. Debemos revisar

nuestros postulados de partida, modificando aquellos que sean incorrectos. Esto es lo quehizo Albert Einstein.

En 1905, Einstein, enunció su conocida teoría de la relatividad restringida o especial,basada en dos postulados:

— Primer postulado: “las leyes de la física pueden expresarse mediante ecuacionesque poseen la misma forma, en todos los sistemas de referencia que se muevan avelocidad constante unos respecto a otros, es decir, sistemas de referencia inercialesentre sí”. Es decir, no existen sistemas de referencia absolutos.

— Segundo postulado: “el valor de la velocidad de la luz es de 3·108 m/s en el vacío,y no depende del observador que lo mide ni del movimiento de la fuente luminosa.Por tanto, esta velocidad es absoluta”. Este segundo postulado nos indica que noexiste la simultaneidad de sucesos para cualquier observador, es decir, si dossucesos son simultáneos para un observador, no tienen que serlo para otro.

La teoría de la relatividad justifica la distinta velocidad con la que transcurre el tiempoen sistemas de referencia que se encuentran en movimiento relativo.

FÍSICA

6

-Pág.62-



3. HIPÓTESIS DE PLANCK

Hemos visto antes que Planck encontró una fórmula empírica que se ajustaba adeterminados datos experimentales, pero que dicha fórmula no le satisfacía losuficiente por estar en contraposición con la concepción física de la realidad que setenía entonces.

Planck pensaba que la emisión de energía se debía a la presencia de osciladoresmicroscópicos.

Su hipótesis surgió como consecuencia del estudio del “cuerpo negro”. Este era unhipotético material que absorbía toda radiación y, posteriormente, la emitía en todas lasposibles longitudes de onda dando lugar a un espectro continuo de emisión. Imaginaba queeste cuerpo negro estaba formado por estos osciladores, cada uno de ellos vibrando con unafrecuencia propia y diferente de la de los demás.

Es aquí donde Planck introduce el elemento que rompe con la concepción clásica de larealidad. Esta ruptura se produce cuando formula la siguiente hipótesis:

“Cada oscilador puede absorber o emitir energía en forma de radiación electromagnéticaúnicamente en cantidades que son proporcionales a su frecuencia de vibración”. O bien,“los cuerpos emiten la energía de manera discontinua en forma de paquetes o cuantos”.Estos cuantos se llamaron posteriormente fotones.

La ecuación correspondiente a esta hipótesis es:

donde: ∆E = energía de la radiación

h = constante de Planck. Es una constante universal cuyo valor es 6,626·10-34 J·sν = frecuencia de la radiación

c = velocidad de la luz en el vacío

λ = longitud de onda de la radiación

Las consecuencias que se derivan de los trabajos de Planck son decisivas: la luz estácuantizada, siendo emitida o absorbida por los osciladores en “paquetes” que son múltiplosenteros del cuanto de energía (h · ν).

∆ E h hc

= ⋅ = ⋅ν λ


7

-Pág.63-



Sin embargo, el reconocimiento de que la teoría clásica de la luz necesitaba una revisión

en profundidad, vino de la mano de una nueva experiencia: el efecto fotoeléctrico. Estaexperiencia, junto con el efecto Compton, contribuyeron a establecer la concepción actualde la luz, a la que se atribuye un comportamiento dual como onda y como corpúsculo.

4. EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Y LOS ESPECTROSDISCONTINUOS: INSUFICIENCIA DE LA FÍSICACLÁSICA PARA EXPLICARLOS

Como dijimos, la Física clásica era incapaz de explicar efectos o experiencias talescomo el efecto fotoeléctrico y los espectros. El problema estaba en que experimentos comoestos se basaban en una nueva partícula, el fotón. Para estudiarlos era necesario tener encuenta la mecánica relativista de Einstein. Ello es preciso porque, al ser el fotón unapartícula sin masa, la energía cinética asociada al mismo no puede calcularse con laexpresión clásica. Además el comportamiento de las partículas elementales (protones,neutrones y electrones), cuando se mueven a velocidades próximas a la de la luz, tampocose ajusta a las ecuaciones clásicas de la mecánica.

El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por la superficie de un metalcuando incide sobre él luz de una determinada longitud de onda.

Cuando un cuanto de radiación (un fotón) choca contra un electrón, puede o nocomunicarle suficiente energía para arrancarlo del metal, si la energía es suficiente, elelectrón será arrancado; pero si es inferior, el electrón no saldrá. Para que un electrón puedaser extraído de un átomo, es preciso comunicarle una energía que, como mínimo, será iguala la energía que lo retiene en él. Si el electrón recibe una energía superior a la precisa parala extracción, la diferencia entre ambas se manifestará en forma de energía cinética del

electrón.La energía cinética máxima de los electrones emitidos (Ecmáx) depende de la frecuencia

de la radiación incidente (ν), y por debajo de esa frecuencia (frecuencia umbral),característica de cada metal, no hay emisión de electrones:

Es decir, la energía del fotón incidente se emplea en arrancar al electrón de la superficiedel metal, y el resto, en comunicar energía cinética al electrón emitido.

Ec h h h Ec hmáx máx= − ⇒ = +ν ν ν ν 0 0

FÍSICA

8

-Pág.64-



De la ecuación anterior se deduce la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

donde m es la masa del electrón (9,1 · 10 –31 kg) y v es la velocidad con que son emitidoslos electrones, que será, despejada de la ecuación anterior:

Ejemplo 1:

Se sabe que la frecuencia umbral del potasio es de 4,6 · 1014 Hz. Calcular la energía cinéticamáxima de un electrón liberado del potasio por una radiación de frecuencia 1,6 · 1015 Hz.

Aplicamos la ecuación del efecto fotoeléctrico y tenemos en cuenta que los Hz son lomismo que los s –1:

Ejemplo 2:

La longitud de onda umbral para un cierto metal es igual a 2700 Å. Calcula la velocidadde los electrones emitidos en el caso de iluminar el metal con luz de 1500 Å de longitud deonda. Dato: masa del electrón = 9,1 · 10 –31 kg

Debemos tener en cuenta la relación que existe entre frecuencia y longitud de onda:

y, en consecuencia, la frecuencia umbral vendrá dada en función de la longitud de onda

umbral:

El valor de la energía cinética es:

Ec m vmáx = ⋅ ⋅12

2

ν λ 0

0=

c

ν λ

=c

Ec h h h J s s J máx , , , ,= − = ⋅ −( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅( ) = ⋅− − −

ν ν ν ν 0 034 15 14 1 19

6 626 10 1 6 10 4 6 10 7 55 10

vh

m=

⋅ −( )2 0ν ν

h h m vν ν − = ⋅ ⋅0 212


-Pág.65-



Sustituyendo en la expresión del efecto fotoeléctrico todas las ecuaciones anteriores:

Transformamos las longitudes de onda de Å a cm:

λ = 1500 Å · 10-8 cm / Å =1,5·10 –5 cm

λ0 = 2700 Å · 10-8 cm / Å =2,7·10 –5 cm

Una vez despejada la velocidad, sustituimos los datos:

Por otra parte, vimos que al hacer pasar un rayo de luz blanca a través de un prisma, sedescomponía en radiaciones más simples en todas las longitudes de onda constituyendo elespectro continuo.

Pero los espectros también pueden ser discontinuos al contener solo radiaciones de

determinadas longitudes de onda. Estos espectros son característicos de cada elementoquímico y presentan rayas agrupadas en series espectrales en una determinada zona delespectro.

El que cada elemento presente su propio espectro hace suponer que las longitudes deonda de las radiaciones deben estar relacionadas entre sí por alguna expresión matemática,lo que demostraría que en el átomo sólo son posibles determinados estados energéticos.

Al estudiar el espectro del hidrógeno, Balmer encontró que las longitudes de onda de lasradiaciones correspondientes a las rayas observadas guardaban una relación. Posteriormente,

Lyman, Paschen y otros encontraron relaciones similares en otras zonas del espectro.Fue Rydberg quien dedujo una relación general para todas ellas. Dicha relación viene

dada por la ecuación:

siendo RH la constante de Rydberg, cuyo valor es 109740 cm –1; y cumpliéndose siempreque m > n.

1 1 12 2λ

= ⋅ −⎛⎝

⎞⎠

Rn m

H

v m s=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

−⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅= ⋅

−− −

−

2 6 626 10 3 10 11 5 10

12 7 10

9 1 101 14 10

34 105 5

316

,, ,

,, /

Ec h h m v hc

hc

h c v

h c

mmáx = − ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ −⎛⎝

⎞⎠

⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ − ⎞⎠

ν ν λ λ λ λ 0

2

0 0

12

1 12

FÍSICA

10

-Pág.66-

−⎛⎝ λ 0

1 1



Esta fórmula supone la existencia de niveles de energía discretos.

Los valores de n indican la serie espectral correspondiente y m las rayas dentro de cadaserie. Así:

— Serie de Lyman: n = 1; m = 2, 3, 4, ...

— Serie de Balmer: n = 2; m = 3, 4, 5, ...

— Serie de Paschen: n = 3; m = 4, 5, 6, ...

— Serie de Brackett: n = 4; m = 5, 6, 7, ...

Y así sucesivamente.

Intentando explicar el porqué de los espectros, Böhr propuso un nuevo modelo atómico,según el cual las transiciones de electrones entre diferentes niveles energéticos producen laemisión o la absorción de fotones, con energía y longitud de onda concretas, y que originanrayas espectrales separadas. De esta forma, los espectros atómicos demuestran lacuantización de la materia.

Ejemplo 1:

Calcular la energía correspondiente a la segunda línea de la serie de Balmer.

La serie de Balmer corresponde a un valor de n = 2 y m = 3, 4, 5, ... La segunda líneade esta serie corresponde al segundo valor de m, es decir, 4.

Calculamos primero la longitud de onda a partir de la expresión:

Sustituimos los datos:

Utilizando la ecuación correspondiente a la hipótesis de Planck, calculamos la energía:

∆ E hc

J scm s

cm J = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅−

−−

λ 6 626 10 3 10

4 86 104 1 1034

10

519, /

,,

1 109740 12

14

20576 25 120576 25 4 86 102 2

1 5

λ λ = ⋅ −⎛

⎝⎞⎠

= ⇒ = = ⋅− −, , ,cm cm

1 1 12 2λ

= ⋅ −⎛⎝

⎞⎠

Rn m

H


11

-Pág.67-



Ejemplo 2:

¿ A qué valor de m corresponde una longitud de onda de 4339 Å, sabiendo que es unatransición en la serie de Balmer? ¿De qué línea se trata?

Transformamos los Å en cm, teniendo en cuenta que 1 Å = 10-8 cm:

4339 Å · 10-8 cm /Å = 4,339 · 10 –5 cm

Si se trata de la serie de Balmer, sabemos que n = 2, con lo que:

Los valores de m en la serie de Balmer comienzan con m = 3, 4, 5, ... Como el valorobtenido (m = 5) es el tercer valor de m, se trata de la tercera línea.

5. COMPORTAMIENTO CUÁNTICO DE LASPARTÍCULAS (PROTONES, ELECTRONES, ETC.)

Rutherford propuso un modelo para explicar la estructura del átomo según el cual esteconsta de un núcleo central y de una corteza de electrones. El núcleo atómico es unas100.000 veces más pequeño que el diámetro del átomo. Sin embargo, la masa atómica estácontenida prácticamente toda ella en el núcleo, el cual está formado por Z protones y (A – Z)neutrones, siendo Z el número atómico y A el número másico del átomo considerado.

El número de protones nucleares determina, pues, el número atómico y el número denucleones, representa el número másico del núcleo.

La palabra nucleón sirve para designar a las dos partículas elementales que integran elnúcleo atómico: el protón y el neutrón. Se llaman así ambas partículas porque se tiende a

considerar que no son dos partículas distintas, sino dos estados diferentes de una mismapartícula, el nucleón, que en un caso posee carga positiva (protón) y en otro no tieneninguna carga (neutrón).

Cada elemento químico se representa en física nuclear por su símbolo químicocorrespondiente acompañado de dos números: un subíndice, que representa el númeroatómico (Z) y un exponente que es el número másico (A). Así, 12

6C representa el núcleoatómico de número atómico 6 y de número másico 12. Contiene, por tanto, 6 protones, y12 – 6 = 6 neutrones. Es el elemento químico carbono.

1 1 1 11 1

112

1109740 4 339 10

52 2

2 2 5λ

λ

= ⋅ −⎛⎝

⎞⎠

⇒ =

−⋅

=

−⋅ ⋅

=

−

Rn m

m

n R

H

H ,

FÍSICA

12

-Pág.68-



El número de núcleos atómicos existentes es mucho mayor que el de elementos

químicos conocidos, ya que a cada uno de los isótopos (átomos de un mismo elemento conigual número atómico y diferente número másico) de un elemento le corresponde un núcleoatómico distinto, pues poseen los mismos electrones. Hay núcleos atómicos estables ynúcleos radiactivos. Algunos de los núcleos radiactivos se han obtenido artificialmentemediante transmutaciones nucleares.

Resulta difícil comprender cómo pueden hallarse empaquetadas las cargas positivas enun espacio tan reducido sin que se dispersen por efecto de la repulsión electrónica.

La estabilidad del núcleo se atribuye a las fuerzas nucleares.

6. HIPÓTESIS DE DE BROGLIE

Teniendo en cuenta la doble naturaleza de la luz, comportándose ésta como onda y comocorpúsculo, Louis de Broglie estableció que a partir de la hipótesis de Planck, es decir, lateoría de los cuantos:

y la teoría de la relatividad de Einstein:

igualando ambas expresiones:

siendo p la cantidad de movimiento de la luz, e igual al producto de la masa por lavelocidad.

Pero esta expresión es sólo válida para la luz.

Las propiedades corpusculares de la luz, que a su vez tiene propiedades ondulatorias,llevaron a Louis de Broglie a pensar que pudiera darse la situación recíproca, es decir, queun ente corpuscular como cualquier partícula material, presentase también propiedadesondulatorias. Generalizó la expresión anterior a toda partícula en movimiento estableciendoque “a todo corpúsculo en movimiento corresponde una onda cuya longitud de onda

hc

m ch c

m c

hm c

h p

⋅ = ⋅ ⇒ =⋅⋅

=⋅

=λ

λ 22

∆ E m c= ⋅ 2

∆ E hc

= ⋅ λ


13

-Pág.69 -



depende del momento lineal de esa partícula, al cual es inversamente proporcional,

verificándose”:

donde m es la masa de la partícula y v su velocidad.

Ejemplo:

Calcula la longitud de onda asociada en los siguientes casos: a) una persona de 70 kgmoviéndose a 2 m/s; b) un electrón de 9,1·10-31 kg moviéndose a 1000 m/s.

a) Aplicando la hipótesis de De Broglie:

Esta longitud de onda es mucho menor que el tamaño de la persona, por lo que losefectos ondulatorios (la onda) serán imperceptibles.

b) Utilizando la misma expresión:

En este caso, este valor de la longitud de onda es mayor que el tamaño de lapartícula, por lo que sí se apreciarán los efectos ondulatorios.

7. RELACIONES DE INDETERMINACIÓNUna de las consecuencias más importantes de la doble naturaleza onda-corpúsculo de la

materia es el principio de indeterminación de Heisenberg.

Según la Física clásica, si conocemos la posición y la velocidad iniciales de unapartícula podemos predecir con exactitud su velocidad y su posición al cabo de un ciertotiempo, ∆t. Pero esto no es posible a nivel de partículas microscópicas para las que esimposible la determinación simultánea y exacta de su posición y velocidad.

λ = ⋅ =

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅

−

−

−hm v

J s

kg m s m

6 626 109 1 10 1000 7 3 10

34

31

7,, / ,

λ =⋅

=⋅ ⋅

⋅= ⋅

−−h

m v J s

kg m sm

6 626 1070 2 4 7 10

3436,

/ ,

λ = =⋅

h p

hm v

FÍSICA

14

-Pág.70-



El principio de indeterminación o incertidumbre explica que “el producto de la

incertidumbre ∆x de la medida de las coordenadas de la partícula, por la incertidumbre ∆pxde la medida simultánea de su cantidad de movimiento ha de ser mayor o igual que laconstante de Planck”.

Matemáticamente:

Hay que entender que cuando se refiere a incertidumbre, se ha de interpretar como elerror cometido en la medida o bien de la posición o bien de la cantidad de movimiento (queestá relacionada, como hemos visto, con la velocidad).

En realidad, lo que este principio establece es que no se podrán medir de formasimultánea, y eso es lo importante, la posición y la velocidad de una partícula, porque elerror cometido en la medida de cualquiera de ellas será superior a la propia medida.

8. PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD

Como hemos visto los efectos ondulatorios sólo se ponen de manifiesto cuando laspartículas son muy pequeñas, es decir, partículas subatómicas, y no son apreciables enpartículas con masa grande. Esto nos lleva a la conclusión de que el comportamiento de lamateria puede interpretarse, unas veces, mediante una teoría corpuscular y, otras, según lateoría ondulatoria.

Esta interpretación la llevó a cabo Böhr en el llamado principio de complementariedad.Según este principio “no es posible reunir en una sola imagen los resultados de los

experimentos que dan resultados ondulatorios y corpusculares. Solo la totalidad de losresultados describe completamente el sistema observado. La descripción del sistema comoonda o como partícula es un caso límite de algo para lo que no existe un modelo clásico”.

Es decir, cualquier teoría que intente explicar el comportamiento de los entes cuánticosdebe llevar a idénticos resultados que cuando la física clásica se aplica a sistemasmacroscópicos.

∆ ∆ x p h x⋅ ≥


15

-Pág.71-



9.DESARROLLO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO

QUE SUPUSO LA FÍSICA MODERNA

En los años que van de 1808 a 1905, la biología, la química y la física introdujeronalgunos conceptos notablemente semejantes. Se vio en cada uno de estos campos, lautilidad de considerar la existencia de ciertas magnitudes o entidades fundamentales decarácter discreto. Así Dalton (1808) propuso que la materia consistía en átomos discretosque mantenían su integridad en todas las reacciones químicas. En biología, Scheliden, paralas plantas (1838) y Schwann, para los animales (1839), proponían la teoría de las células,por distintas combinaciones de las cuales se consideraba estaba formado el tejido vivo. Eltrabajo de Gregor Mendel (1865) condujo a la idea tan fructífera de que la sustancia quegobierna la herencia, contiene una estructura de entidades definidas, o genes, que setransmiten de una generación a otra, sin cambio.

Entre tanto, el calor, la electricidad y la luz, campos de la física que en el siglo XVIII sehabían estudiado en términos de fluidos imponderables, se estaban reconstruyendo de unamanera similar. La teoría cinética de Joule (1847) identificaba el calor sensible con elmovimiento de los átomos y moléculas. En electricidad se descubría el electrón (1897),partícula cargada con la menor unidad de carga negativa. Finalmente se vio que también la

energía de los focos de radiación y la misma radiación estaba cuantizada (1900 y 1905). Enresumen, era como si estas nuevas imágenes en las ciencias surgiesen de un cambiosemejante en el modelo mental utilizado para explicar los fenómenos –cambio en el cual laidea directora no es ya la de un continuo, sino la de una partícula o cuanto. Este cambiopuede ser debido, en parte, al desarrollo de nuevos y mejores instrumentos y técnicas, queabrieron nuevos campos a la observación. Por otra parte, estas técnicas fueron estimuladasa menudo por hipótesis que, con el tiempo, ayudaron a reafirmarlas. Para comprender estasanalogías de nuevos conceptos, cada uno de los cuales revolucionó su campo de aplicación,debe tenerse en cuenta la posibilidad de un cambio de tono y orientación en todo el campode las ciencias, no ligada a ninguna causa única.

Aplicaciones de la teoría del fotón

Dejando a un lado las dificultades que pueda tener una representación de la dualidadonda-fotón, la teoría del fotón ha demostrado ser sumamente adecuada para explicar,predecir y estimular nuevos descubrimientos –que en definitiva, es la última prueba que seexige para establecer la validez de una teoría científica. Podemos ilustrar la potencia de lateoría del fotón, refiriéndonos en concreto a dos ejemplos.

FÍSICA

16

-Pág.72-



a) Fluorescencia. Se dice que un material es fluorescente si emite inmediatamente

radiación, cuando se le somete a la acción de un agente, frecuentementeinvisible, como un haz de electrones o luz ultravioleta. Debido a la acción de laradiación incidente, la fluorescencia emitida es de una frecuencia igual o menorque la de la radiación incidente (regla de Stockes). Esto parecía ser un enigma,hasta que la teoría cuántica de la luz dio su explicación inmediata. Cuando unfotón incidente, de energía hν, es absorbido por un oscilador de la sustanciafluorescente, ése pasa a oscilar en uno de sus niveles de energía más altos. Lososciladores tienden a permanecer un tiempo muy corto en estos niveles deenergía más elevados; después vuelven rápidamente a su nivel primitivo,emitiendo de nuevo energía en forma de radiación. Un oscilador puede por tanto,

en una transición de este tipo, emitir un fotón de la misma energía hν que haabsorbido, o si existen otros niveles de energía entre el original y el final, volvera su nivel original en dos o más etapas; en este último caso, emitirá dos o másfotones de menor frecuencia, pero la suma de sus energías será igual a la delfotón absorbido. Ha de notarse aquí, que en esta explicación se admite laposibilidad de que un oscilador experimente cambios de energía entre niveles,sean o no inmediatos, pero estas variaciones deben ser a saltos discretos en undiagrama de niveles de energía.

b) Fotones de los rayos X . En 1895, Röntgen descubrió que un haz de lo que entoncesse llamaba rayos catódicos (que pronto se vio se trataba de un haz de electrones),daba lugar a un nuevo tipo de radiación, cuando chocaba contra un obstáculo talcomo el vidrio del tubo en que se hacía la experiencia. Con el tiempo se vio que losrayos X, nombre que les dio Röntgen, no eran sino radiación electromagnética defrecuencia muy elevada y fundamentalmente análogos a las ondas de radio, la luzvisible y otras radiaciones; esta radiación se la considera hoy como parte integrantedel espectro total de radiación.

Hoy en día, los rayos X se generan en un tubo de vacío bombardeando un obstáculo

metálico que constituye el ánodo, con electrones emitidos por un cátodo caliente. En ciertosentido, este es un efecto inverso del fotoeléctrico: en lugar de liberarse electrones de unasustancia por los fotones que inciden sobre ella, aquí son los fotones los que se emiten,cuando la sustancia es bombardeada por electrones. Podemos imaginar provisionalmenteque en el obstáculo (ánodo) la energía cinética de un electrón incidente, es vuelta a emitiren forma de un fotón, después de la interacción entre el electrón y los átomos del ánodo.Por lo tanto, cabe esperar que la energía del fotón de rayos X sea, a lo sumo, igual a la

energía cinética del electrón incidente, o sea . Pero la energía adquirida por elhv mv=12

2


17

-Pág.73-



electrón, durante su aceleración desde el cátodo al ánodo, vale V AC · qe (potencial por carga

del electrón). Así que finalmente podemos poner,

Se ha visto que esta ecuación predice correctamente la frecuencia, pero solamente lafrecuencia máxima de los rayos X emitidos por un tubo dado; además de esta frecuenciamáxima, dada por la ecuación anterior, existe un espectro continuo, de frecuencias másbajas, y esto es lógico. Antes de que un electrón interactúe con los átomos dando lugar a laemisión de un fotón, pueden ocurrir otros procesos que modifiquen su energía cinética. Porejemplo, los electrones pueden ser frenados por colisiones con los átomos del ánodo; de

hecho, el ánodo sufre un calentamiento tal que generalmente necesita ser refrigerado paraevitar su deterioro o destrucción. La energía cinética del electrón libre, como no estáasociada con ningún fenómeno periódico u oscilatorio, no está cuantizada y, por tanto,puede cederla el electrón, tanto de un modo continuo como a saltos.

10.RADIACTIVIDAD

Se entiende por radiactividad la propiedad que presentan los núcleos atómicos de ciertosisótopos de modificar espontáneamente su constitución emitiendo simultáneamente unaradiación característica.

La radiactividad puede ser natural y artificial. Radiactividad natural es la quemanifiestan los isótopos que se encuentran en la naturaleza, y la radiactividad artificial esla que ha sido provocada por transformaciones nucleares artificiales.

La radiactividad natural fue descubierta por Becquerel en 1896, un año después deldescubrimiento de los rayos X, al pretender buscar una radiación parecida a estos rayos enlos cuerpos fluorescentes que resplandecían al ser sometidos a la acción de un rayo de luz.

Becquerel observó la radiactividad en un trozo de mineral de uranio, porque velaba lasplacas fotográficas envueltas en papel negro cada vez que lo colocaba encima de ellas.

Era una radiación penetrante semejante a los rayos X; pero se emitía espontáneamentedesde los átomos de uranio. Hizo diferentes ensayos y en distintas condiciones pero laintensidad de la misteriosa radiación era siempre la misma.

h V q AC eν = ⋅

FÍSICA

18

-Pág.74-



Era evidente que esta nueva propiedad de la materia, que se llamó radiactividad, no

dependía de la forma física o química en que se encontraban los átomos, sino que era unapropiedad que radicaba en el interior mismo del átomo.

Pocos años después, los esposos Curie descubrieron el polonio y el radio, elemento esteúltimo un millón de veces más radiactivo que el uranio.

Hoy día se conocen muchos elementos radiactivos naturales que, de ordinario, son delos elementos más pesados. Por encima del elemento de número atómico 83 (bismuto),todos los núcleos naturales son radiactivos.

La radiactividad es un fenómeno que se origina exclusivamente en el núcleo de los

átomos radiactivos.Las radiaciones que emiten los cuerpos radiactivos son de varias clases:

— Rayos α: corresponden a núcleos de helio (He2+).

— Rayos β: corresponden a electrones que se mueven a altísima velocidad.

— Rayos γ: corresponden a una radiación electromagnética, muy parecida a los rayosX, pero de mayor energía.

Las radiaciones α y β son de naturaleza corpuscular, es decir, están constituidas porpartículas, núcleos de helio y electrones, respectivamente. En cambio, la radiación

γes una

auténtica radiación, de la misma naturaleza que los rayos X.

10.1. LEYES DEL DESPLAZAMIENTO RADIACTIVO

Estas leyes, enunciadas por Soddy en 1913, se refieren a los tres tipos de radiación y alo que le ocurre a un núcleo al emitir dichas radiaciones.

Nos encontraremos con tres posibles casos debidos a los tres posibles tipos de radiación:

a) Si un núcleo X emite una partícula α:

Si una partícula α es un núcleo de helio, es decir, 42 He, el núcleo X se transforma

en otro núcleo, Y, con Z dos unidades menor y A cuatro unidades menor.

b) Si un núcleo X emite una partícula β:

Z A

Z A X Y → ++1 β

Z A

Z A X Y → +−

−24 α


19

-Pág.75-



Considerando que una partícula β es un electrón, es decir, 0 –1e, el nuevo núcleo tiene

el mismo número másico A y su número atómico Z es una unidad mayor. Pero siestamos hablando de electrones deberíamos justificar su existencia en el núcleo.Esto lo hizo Pauli al proponer que cuando un neutrón se descompone da lugar a unprotón, un electrón y otra partícula sin carga y de masa muy pequeña a la que llamóantineutrino (v – ):

c) Si un núcleo X emite radiación γ:

En este caso no se transforma en otro núcleo, sino que sigue siendo el mismo perocon menor energía. Si emite radiación es porque previamente ha absorbido energíallegando a un estado excitado ( X *) y al emitir la radiación γ vuelve a su estadofundamental (X).

10.2. LEY DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

Cuando un átomo adquiere energía se excita; pero esta estructura del átomo es inestable yen un tiempo muy pequeño, del orden de 10 –8 segundos, el átomo vuelve a su estadofundamental perdiendo energía al emitir uno o varios fotones. Con los núcleos no ocurre esto.Muchos núcleos pueden permanecer en estado inestable durante mucho tiempo. la mayorparte de las desintegraciones naturales tienen lugar en elementos pesados, como ya hemosvisto; y muchos de estos núcleos han existido como núcleos inestables desde que se formaron.

Las desintegraciones se producen al azar; pero, no obstante, obedecen a determinadasleyes:

a) En un momento dado, una muestra radiactiva posee muchos núcleos inestables a los

que se le aplican los métodos estadísticos.b) El número de núcleos ∆N que se desintegran en un tiempo ∆t, es decir, la velocidad

con que se desintegra un cuerpo radiactivo, es proporcional al número N de átomospresentes.

Este enunciado se conoce como ley de desintegraciones radiactivas. Matemáticamentese expresa de la siguiente forma:

∆∆

∆ ∆ N t

N N N t= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅λ λ

Z A

Z A X X ∗ → + γ

n p e→ + +− ν

FÍSICA

20

-Pág.76-



El signo negativo indica que el número de átomos presentes disminuye con el tiempo.

λ se llama constante radiactiva y se define como la fracción de átomos que sedesintegran por segundo, por cada átomo radiactivo presente en la muestra.

Tras una serie de desarrollos matemáticos se llega a la siguiente expresión:

Esta ecuación es la expresión de la desintegración en el tiempo de un cuerpo radiactivoy dice que “el número de átomos de un cuerpo radiactivo disminuye exponencialmente conel tiempo”. “N0” representa el número de átomos presentes para un tiempo t = 0.

Recibe el nombre de periodo de semidesintegración, T, de una sustancia radiactiva eltiempo necesario para que el número de átomos radiactivos de una muestra se reduzca a lamitad. Según esto:

Sustituyendo en la ecuación anterior:

Para poder despejar el valor de T debemos aplicar logaritmos neperianos, debido a queT se encuentra como exponente de una potencia de base “e”:

Esta expresión relaciona la constante radiactiva con el periodo de semidesintegración.

Se llama vida media, T´, de un cuerpo radiactivo, la media de la vida de todos losátomos radiactivos presentes en la muestra; se obtiene sumando la vida de todos los átomosy dividiendo por el número de átomos radiactivos existentes en el momento inicial. Resultaser el inverso de la constante radiactiva:

La constante radiactiva, λ, también está relacionada con la actividad radiactiva de lamuestra, que se define como el número de desintegraciones que experimenta por segundo.Es decir:

Actividad radiactiva:dN dt

N = ⋅λ

′ =T 1λ

ln ln lnln ,1

2 22 0 693

= ⇔ − = − ⋅ ⇒ = =− ⋅e T T T λ λ

λ λ

N N e eT T 0

0212= ⋅ ⇔ =

− ⋅ − ⋅λ λ

N N

cuando t T = =0

2

N N e t= ⋅ − ⋅

0λ


21

-Pág.77-



En el sistema internacional se mide en becquerel (Bq): un becquerel equivale a una

desintegración por segundo. También se utiliza el curio (Ci). La equivalencia entre ambas es:

10.3. RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL O INDUCIDA

La radiactividad inducida se produce al bombardear un núcleo estable con otraspartículas apropiadas. Si la energía de estas partículas tiene un valor adecuado, las

partículas penetran dentro del núcleo bombardeado y forman un nuevo núcleo, que, en casode ser inestable, se desintegra radiactivamente; así se origina la radiactividad artificial oinducida.

Fue descubierta por los esposos Curie (1934) al bombardear núcleos de boro y aluminiocon partículas α. Observaron que las sustancias bombardeadas emitían radiaciones despuésde retirar el cuerpo radiactivo que emitía las partículas de bombardeo.

El proceso de estas reacciones nucleares es el siguiente:

Y luego:

La ecuación está ajustada en cuanto a la conservación de la carga, indicada por lossubíndices, y en cuanto a la conservación de la masa señalada por los exponentes.

El núcleo formado, 3015 P, es inestable y se produce un reajuste interno lo que da lugar a la

expulsión de un positrón, es decir, de un electrón positivo (cuyo símbolo 01e indica que tiene de

carga +1, y de masa, prácticamente, cero), y se forma un núcleo estable, de silicio, 30

14Si.

Muchos de los núcleos formados en las reacciones con partículas α y emisión deneutrones son inestables, es decir, resultan núcleos radiactivos por inducción, que sedesintegran luego emitiendo positrones. Tales son los núcleos:

1530

1430

10 P Si e→ + =( )T 2,5 minutos

1427

1327

10Si Al e→ + =( )T 4, 9 segundos

1122

1022

10 Na Ne e→ + =( )T 2,6 años

1530

1430

10 P Si e→ + (periodo, T = 2,5 minutos)

1327

24

1530

01 Al He P n+ → +

1 3 7 1010Ci Bq= ⋅,

FÍSICA

22

-Pág.78-

α



11.APLICACIONES DE LA FÍSICA MODERNA:

FÍSICA NUCLEAR

No siempre que se produce una transformación de núcleos atómicos al bombardearloscon otras partículas se obtienen isótopos radiactivos; es frecuente transmutar un núcleo enotro estable por bombardeo; el proceso se denomina desintegración atómica o nuclear.

La primera desintegración atómica fue obtenida por Rutherford en 1919 bombardeandonúcleos de nitrógeno con partículas alfa (α); en esta reacción nuclear aparecieron núcleosde oxígeno y protones cuyas trazas examinó en una cámara de niebla.

La reacción es la siguiente:

En cuanto se conocieron las experiencias de desintegración de núcleos por bombardeocon partículas α, los físicos empezaron a diseñar y a construir aparatos capaces decomunicar altas energías a las partículas empleadas como proyectiles en estas experiencias.

Un proyectil nuclear con carga debe poseer elevada energía para poder llegar al núcleosin ser repelido por los campos eléctricos que poseen tanto los electrones corticales

(negativos) como los protones del núcleo (positivos).Las partículas cargadas usadas como proyectiles en las desintegraciones nucleares,

además de las partículas alfa, son los electrones, protones y deuterones (núcleos de deuterio,que es uno de los isótopos del hidrógeno). Para acelerar estas últimas partículas ycomunicarles elevada energía, se emplean los ciclotrones, bevatrones y aceleradoreslineales.

Estos aparatos emplean campos eléctricos y magnéticos potentes cuidadosamentedispuestos para hacer que las partículas su muevan dentro de un sincrotón y comunicarlesenergía de un modo continuo y acumulativo, aumentando progresivamente su velocidad.

Como ejemplos de desintegraciones con estas partículas, citamos:

a) Desintegración nuclear con protones (11 H ):

b) Desintegración con deuterones (21 H ):

1327

12

1225

24 Al H Mg He+ → +

49

11

36

24 Be H Li He+ → +

714

24

817

11 N He O H protón+ → + ( )


23

-Pág.79 -



c) Desintegración con partículas α (42 He ):

La física nuclear de hoy domina todo el panorama de la ciencia física. Evidentementese han realizado importantes trabajos en otros campos de la física y también en otrosaspectos de la misma, pero la física nuclear contemporánea ha alcanzado un clima notablede descubrimientos y comprensión de la Naturaleza. Se han conquistado estas alturasdebido a la gran cantidad de líderes de la ciencia empeñados en la aventura. Además, laconquista ha aumentado en velocidad y perspectiva desde sus orígenes en tiempos de lostrabajos de los Curie el comienzo de siglo, debido a una movilización nacional por la

investigación conjunta en física nuclear, química y técnica tanto en este país como en elextranjero.

Los principales sucesos están tan recientes que el orden conceptual aún sigue de lejos alorden del desarrollo histórico. Partiendo del descubrimiento de la radiactividad, la físicanuclear nos presenta problemas relativos a fuerzas nucleares, reacciones termonucleares yotras investigaciones que se encuentran en las fronteras del conocimiento.

12. FUERZAS NUCLEARES

Son las que mantienen unidos en el núcleo atómico a los protones y neutrones que loconstituyen.

Ni las fuerzas gravitatorias ni las electromagnéticas pueden explicar la estabilidad delnúcleo.

En cuanto a las fuerzas eléctricas, éstas son de repulsión pues provienen de las cargaspositivas de los protones.

Luego, además de las fuerzas eléctricas de repulsión, hemos de admitir la existencia deotras fuerzas de un tipo nuevo, las fuerzas nucleares, responsables de la estabilidad nuclear.Dada la estabilidad de los núcleos, hemos de admitir que la fuerza repulsiva eléctrica esinsignificante frente a la fuerza nuclear.

Las fuerzas gravitatoria y eléctrica se denominan fuerzas de acción a distancia.

1327

24

1430

11 Al He Si H + → +

FÍSICA

24

-Pág.80-



Al parecer, tanto las cargas eléctricas como las masas gravitatorias ejercen sus fuerzas

neutras a distancia intercambiándose “partículas”.Las cargas eléctricas se lanzan fotones una a la otra o se intercambian fotones. La fuerza

eléctrica será debida a los fotones.

Análogamente, la fuerza gravitatoria se supone que es debida al intercambio degravitones. Los cuerpos de masas m1 y m2 se intercambian gravitones y de esa interacciónresulta la fuerza mutua de atracción gravitatoria.

Las fuerzas nucleares actúan entre los protones, entre los neutrones y entre los protonesy neutrones, con la misma intensidad en los tres casos. Son, por tanto, independientes de la

carga de los constituyentes del núcleo. Por otra parte, se diferencian esencialmente de lasfuerzas gravitatoria y eléctrica en que éstas se extienden teóricamente hasta el infinito,mientras que las nucleares tienen un alcance muy pequeño, prácticamente sólo actúan adistancias del orden de 10 –13 cm. Desaparecen bruscamente. Fuera del átomo no hayvestigios de dichas fuerzas.

La teoría del intercambio de partículas admite que, tal vez, la fuerza nuclear se deba auna partícula lanzada a un lado y a otro entre los protones y los neutrones.

Pero si la fuerza desaparece bruscamente, entonces la partícula intercambiada debe tenermasa (lo que no ocurre con los fotones y gravitones creadores de fuerzas permanentes; éstosno tienen masa).

El científico japonés Yukawa, creador de esta teoría, llamó a esta partículaintercambiada mesón y predijo que su masa era de unas 200 veces la del electrón.

Experimentalmente se buscó esta partícula y se encontró que existían dos clases demesones: los mesones pi (π), llamados piones; y los mesones mu (µ), llamados muones.Hay tres piones, π+, π0, π –; y dos muones, µ+ y µ –.

Como se da el caso de que los mesones π tienen interacciones nucleares con los protones

y los neutrones, y los mesones µ no, probablemente los mesones π (piones) son laspartículas intercambiadas y sirven de aglutinante entre protones y neutrones en el núcleo.

Actualmente se clasifican los nucleones en:

— Fermiones: partículas que constituyen la materia (protones y neutrones).

— Bosones: partículas que transmiten las fuerzas (mesones).

Ambos tipos están constituidos por partículas más elementales llamadas quarks.


25

-Pág.81-



12.1. MODELOS NUCLEARES

Por efecto de las fuerzas nucleares los protones y neutrones están empaquetados enforma bastante compacta.

Para explicar las propiedades de los núcleos se han propuesto varios modelos o formasde cómo pueden estar los nucleones en el núcleo atómico, entre otros, los dos siguientes:

a) Modelo nuclear de la gota líquida.b) Modelo nuclear de la estructura en capas.

Aunque no se excluyan, cada uno de ellos destaca aspectos diferentes del núcleo.

El modelo de la gota líquida, propuesto por Bohr en 1936, admite que los protones yneutrones están mezclados al azar, como las moléculas de agua que forman una gotita. Larazón de esta teoría parece fundarse en la densidad casi uniforme de todos los núcleos delos elementos químicos (densidad nuclear ~ 1014 g/cm3).

Los nucleones tienen dentro del núcleo movimientos al azar en todas las direccionesigual que las moléculas en la gota líquida.

Algunos nucleones pueden alcanzar en sucesivos choques con otros nucleones energíasuficiente para superar la barrera de las fuerzas nucleares que los mantenían unidos y

escapar del núcleo. Sería la emisión de partículas α.Se puede dar una explicación parecida a los procesos de bombardeo nuclear y la fisión

que le sigue. Al introducirse una partícula en el núcleo puede hacer que los nucleonesadquieran energía suficiente y rompan el equilibrio que los mantenía unidos y se excinda elnúcleo en dos fragmentos.

El modelo nuclear de capas concéntricas fue ideado principalmente por Mayer, en1950. Según este físico, las partículas del núcleo se distribuyen en niveles energéticosdentro del núcleo, de modo parecido a como están colocados los electrones en la corteza delátomo. Admite esta teoría que en el núcleo existen capas o niveles formados por protonesy neutrones, en función de la energía de enlace de los nucleones. Resultan núcleosparticularmente estables cuando el número de protones y de neutrones de los diversosniveles iguala a alguno de los números mágicos 2, 8, 20, 28, 50, 82 ó 126. Se dice entoncesque los “niveles están completos”; este hecho recuerda a los niveles totalmente llenos deelectrones. Los más estables son los formados por números mágicos de protones y deneutrones como ocurre en los núcleos de 4

2 He ; 168O ; 40

20Ca; 20882 Pb ; etc.

Con el modelo nuclear de capas se llega a explicar satisfactoriamente la emisiónespontánea de las radiaciones α, β, γ; pero no llega a justificar la escisión o fisión nuclear.

FÍSICA

26

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Ninguno de los modelos o teorías propuestas en la Física nuclear explican

satisfactoriamente todas las propiedades observadas en los núcleos.Es éste, quizá, uno de los campos más apasionantes de la investigación en la Física

teórica.

Uno de los criterios que, a modo de principio, ha contribuido mucho al avance de laFísica, en éste como en otros aspectos de la investigación, es el llamado principio de lamáxima simplicidad.

“Los fenómenos de la Naturaleza deben explicarse con unos pocos principios sencillos,pues una teoría o hipótesis tiene más garantías de acercarse a la verdad cuanto más sencillaes su concepción”. Así se ha llegado a desarrollar, en gran parte, la mecánica ondulatoria,partiendo de unos principios de Heisenberg y de De Broglie nada complejos.

13. ENERGÍA EN LAS REACCIONES NUCLEARES

En los ejemplos citados de desintegraciones nucleares se observa en todos ellos que la

carga total se conserva: es decir, la suma de subíndices en el primer miembro es igual queen el segundo. No se ha encontrado hasta ahora ningún proceso nuclear en que no seconserve la carga. Por ejemplo:

Como vemos, la suma de subíndices del primer miembro (4 + 2 = 6) es igual a la sumade subíndices del segundo miembro (6 + 0 = 6).

Pero con la masa no ocurre lo mismo. Es también observable que la suma de los

números másicos (exponentes) en ambos miembros de las desintegraciones nucleares esigual. Pero cuando se toma la masa atómica real de los cuerpos que reaccionan, y no elnúmero entero más próximo a ella, no coincide con la masa atómica de los productos de lareacción. Consideremos la desintegración de nitrógeno con partículas alfa (4

2 He ):

Si en lugar de emplear números másicos se utilizan unidades de masa atómica, uma,(1,66 · 10 –24 g/uma), que corresponden a la doceava parte de la masa del isótopo 12 delcarbono, es decir, 12C; tendremos:

714

24

817

11 N He O H + → +

49

24

612

01 Be He C n+ → +


27

-Pág.83-



— Masa de los cuerpos iniciales:

— Masa de los productos de la reacción:

— Aumento de masa:

Este aumento de masa proviene de la pérdida de energía cinética total del sistema;energía perdida que se calcula por la ecuación relativista:

Esta energía desaparecida, junto con las energías cinéticas del oxígeno y del protón,proviene de la energía con que incide la partícula alfa en la desintegración nuclear.

Por tanto, en las reacciones nucleares no se conserva la masa, pero sí se conserva laenergía total, considerando la masa como una forma más de energía.

Por otra parte, la gran estabilidad del núcleo se manifiesta en la gran energía que senecesita para desintegrarlo. Esa estabilidad se debe a la masa transformada en energía

cuando se forman los núcleos.

Es fácil observar que la masa de los núcleos es menor que la suma de las masas de losnucleones que lo forman.

Así, por ejemplo, el núcleo de helio que consta de 2 protones y 2 neutrones, deberíatener de masa la suma de la de estas 4 partículas:

Sin embargo, la masa determinada experimentalmente es: He = 4,0026 uma.

Hay, por tanto, una pérdida de masa:

¿Qué ha pasado con la masa desaparecida? Se cree hoy que esa masa se transforma enenergía cada vez que se juntan 2 protones y 2 neutrones para constituir un núcleo de helio.

La energía nuclear de enlace en el núcleo de helio sería, en este caso,

que equivale a 629 · 106 Kcal/mol.

∆ ∆ E m c uma MeV uma MeV = ⋅ = ⋅ =2 0 0293 931 27 28, / ,

∆m uma= − =4 03190 4 0026 0 0293, , ,

2 2 2 1 00728 2 1 00867 4 03190m m uma H N + = ⋅ + ⋅ =, , ,

∆ ∆ E m c uma MeV uma MeV = ⋅ = ⋅ =2 0 00036 931 0 335, / ,

∆m uma= − =18 01178 18 01142 0 00036, , ,

m m umaO H + = + =17 00450 1 00728 18 01178, , ,

m m uma N He+ = + =14 00753 4 00389 18 01142, , ,

FÍSICA

28

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Esto quiere decir que para descomponer un mol de núcleos de helio en sus protones y

neutrones habría que gastar 629 millones de kilocalorías. Este valor representa lo que sellama la energía de enlace o ligadura que existe entre los nucleones de ese núcleo.

Hemos dicho que la pérdida de energía se calcula a partir de la ecuación relativista:

donde hay que tener en cuenta que ∆m se llama defecto de masa y se calcula a partir de lasiguiente expresión:

donde: Z = número de protonesmp = masa del protón (1,00728 uma)

A = número de protones + número de neutrones

mn = masa del neutrón (1,00867 uma)

Mexp = masa experimental del núcleo considerado

Hemos dicho que a la energía anterior, correspondiente al defecto de masa, se le llamaenergía de enlace o energía de ligadura. Es diferente para cada núcleo; dividiendo estaenergía por el número de nucleones del núcleo (suma de protones más neutrones) se obtiene

la energía de ligadura o de enlace por nucleón.

13.1. FISIÓN Y FUSIÓN NUCLEARES. APLICACIONES Y RIESGOS

La fisión o escisión nuclear consiste en romper un núcleo pesado en otros dosaproximadamente iguales, de masa intermedia. Se produce de ordinario empleando neutronescomo proyectiles. Por ejemplo, un neutrón choca con un núcleo de uranio 235

92U produciendoun núcleo 236

92 U inestable, el cual se rompe en dos núcleos, uno de teluro 13752Te y otro de

circonio 9740 Zr y emite dos neutrones.

Algunos de estos procesos producen núcleos que se desintegran emitiendo neutrones, ycomo la fisión original emite más neutrones que los necesarios para iniciarla, una vezempezada la reacción se puede mantener por sí misma: es lo que se llama una reacción encadena.

Cuando la reacción en cadena se controla en su velocidad y desarrollo se tiene un reactornuclear, empleado en la industria energética (centrales nucleares) y en los transportes.

92235

92236

52137

4097

012U U Te Zr n→ → + +

∆m Z m A Z m M p n exp= ⋅ + − ⋅ −( )

∆ ∆ E m c= ⋅ 2


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Si se produce en tiempo brevísimo, esta reacción da origen a la bomba atómica A.

En la fusión nuclear dos o más núcleos ligeros se unen para dar otro más pesado. Laenergía de activación necesaria para iniciar el proceso de fusión es elevadísima, contemperaturas del orden del millón de grados. En el Sol, la temperatura es suficiente para queallí se verifique la fusión de los núcleos de hidrógeno, lo que origina la energía que ese astroirradia por los espacios. Cada kilogramo de hidrógeno consumido en la reacción global defusión desprende una energía equivalente a la combustión de 22.000 toneladas de carbón(hulla).

Dicha reacción de fusión podría ser:

con formación de deuterio 21 H y helio 3

2 He en pasos intermedios.

Dada la temperatura tan elevada que exige la fusión nuclear, también llamada reaccióntermonuclear, parece muy difícil que se logre esa reacción en la Tierra. Sin embargo, lagran energía desprendida en la fisión nuclear, permite obtener la fusión de núcleos ligeros.Esto se consigue en la bomba de hidrógeno (bomba H).

El desprendimiento regulado, controlado de la enorme cantidad de energía liberada enla fusión, abre al hombre perspectivas de energía prácticamente inagotables desde el día enque este proceso pueda ser industrializado como lo ha sido el de la fisión nuclear.

14. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIODE LAS PARTÍCULAS ELEMENTALES

Son las últimas y más pequeñas unidades representativas de la materia.Se clasifican según dos criterios:

a) Según el valor de espín (4º número cuántico que indica el sentido de giro delelectrón en torno a sí mismo):

— Bosones: tienen espín entero (s = 0, 1, 2, ...). Por ejemplo el fotón.— Fermiones: tienen espín semientero (s = 1/2, 3/2, ...). Por ejemplo el electrón, el

protón, el neutrón.

4 211

24

10

H He e→ +

FÍSICA

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b) Según su estructura interna:

— Leptones: son fermiones sin estructura interna, es decir, son partículaselementales. Hay seis: electrón (e –), muón (µ –), tauón ( τ –), neutrino electrónico(νe), neutrino muónico (ν

µ) y neutrino tauónico (ν τ).

— Hadrones: tienen estructura interna, es decir, no son partículas elementales y sepueden desintegran dando más partículas. Pueden ser:

– Mesones: son bosones e incluyen los piones. Al desintegrarse producenleptones y fotones.

– Bariones: son fermiones. Incluyen protones y neutrones, entre otros.

14.1. TEORÍA DE LOS QUARKS

Se debe a Gell-Mann y Zweig que en 1964 propusieron esta teoría, según la cual losconstituyentes elementales de la materia son unas partículas que se pueden agrupar en:

— Quarks: son seis. Tres de ellos con carga eléctrica –1/3 y los otros tres con +2/3

de la carga del protón. Los quarks se caracterizan por una propiedad llamadacarga de color existiendo tres tipos posibles. Si consideramos entonces el colortendremos 6 · 3 = 18 quarks. Los seis quarks básicos son: up (arriba), down (abajo),strange (extraño), charm (encanto), top (cima) y bottom (fondo). Al combinar un upy un down se obtiene un protón. Si combinamos un up y dos down obtenemos unneutrón.

— Leptones: son seis. Los tres primeros, electrón (e-), muón (µ) y tauón ( τ), tienencarga eléctrica negativa y los otros tres no tienen carga eléctrica y se llamanneutrinos.

Tanto quarks como leptones tienen sus correspondientes antipartículas. Al combinar losseis quarks se obtienen los hadrones. Los bariones están constituidos por tres quarks y losmesones, por un quark y un antiquark (antipartícula del quark).

Con este modelo, a partir de 18 quarks y 6 leptones se constituyen todas las formasconocidas de la materia. Para justificar todas las fuerzas de interacción conocidas senecesitan 12 partículas más. Por tanto, es 36 el número mínimo de partículas elementales,además de sus correspondientes antipartículas.


31

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14.2. INTERACCIONES FUNDAMENTALES

Las interacciones fundamentales son cuatro:

— Gravitatoria: es la de menor intensidad y se da entre todas las partículas.

— Nuclear débil: es más intensa que la anterior pero menos que la electromagnética.Se da entre leptones y hadrones.

— Electromagnética: es de mayor intensidad que las dos anteriores. Se da entrefotones y partículas con carga eléctrica o momento magnético.

— Nuclear fuerte: es la más intensa de todas. Se da entre quarks.

14.3. PARTÍCULAS E INTERACCIONES

Vimos, que según la teoría del japonés Yukawa, existían partículas responsables de lasfuerzas de interacción. Esa partícula intermediaria se llama partícula mediadora o decampo.

Para los cuatro tipos de interacciones vistas, las partículas responsables son:

— Gravitones: responsable de la gravitatoria.

— Bosones vectoriales: responsables de la nuclear débil.

— Fotones: responsables de la electromagnética.

— Piones: responsables de la nuclear fuerte.

Hoy parece manifiesto que los núcleos atómicos están constituidos por protones yneutrones. Y éstos, junto con los electrones, constituyen las partículas que forman toda lamateria existente. Sin embargo, en lo que precede hemos mencionado otras partículas comoel neutrino, el positrón y los mesones que aparecen en procesos nucleares.

Vimos que las partículas elementales son, ciertamente, las últimas y más pequeñasunidades representativas de la materia. esta afirmación se basa en un hecho sorprendente.

Cuando dos partículas elementales chocan entre sí con una energía muy alta, suelenfragmentarse y muchas veces lo hacen en innumerables trozos; pero resulta que esos trozosno son más pequeños que las partículas de cuya destrucción proceden; siempre resultan detales choques las mismas clases de partículas que ya se conocen desde hace años. Por esto,para describir con la máxima perfección posible este proceso, no debemos decir que las

FÍSICA

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partículas se rompen al chocar sino que surgen nuevas partículas como consecuencia de la

energía del choque, de acuerdo con las leyes de la relatividad.De esta manera, la igualdad de Einstein ∆ E = ∆m · c2 nos permite asegurar que las

partículas elementales hoy día conocidas son realmente las formas más pequeñas queexisten.

Puede afirmarse que “todas las partículas están hechas de la misma sustanciafundamental, que puede denominarse energía o materia”. Se puede hacer otra formulación:

“La energía, como sustancia fundamental, se hace materia desde el momento en que setransforma en partícula elemental”. (Heisenberg en “Ley natural y estructura de la materia”.

Conferencia pronunciada el 3-VI-1964).

Las partículas elementales son, por tanto, los sillares más simples de la naturaleza.

En realidad sólo hay dos partículas básicas, verdaderas: leptones (ligeras) y bariones(pesadas). Ambas reciben el nombre común de fermiones y se pueden presentar en diversosestados.

Las partículas ligeras o leptones son el electrón (e), el muón (µ), el neutrino electrónico(νe) y el neutrino mesónico (ν

µ).

Las partículas pesadas o bariones son el protón (p), el neutrón (n), el hiperón delta (∆),el hiperón sigma (Σ) y el hiperón xi (Ξ). Los fermiones se caracterizan porque su númerocuántico de spin vale 1/2.

El barión de menor energía es el protón (por tanto, el más estable). El neutrón y loshiperones poseen más energía y constituyen estados metaestables.

A cada partícula le corresponde su antipartícula, de características análogas (la mismamasa, la misma vida) pero con carga eléctrica diferente. Así existe el electrón positivo (e – )(o positrón), el antiprotón ( p – ) y antineutrino (ν – ).

Las partículas elementales cuyo spin es un número entero se llaman bosones; son dos:

— El fotón que es el cuanto del campo electromagnético, y los mesones π y K que sonlos cuantos del campo mesónico (nuclear).

— Los electrones pueden absorber o emitir fotones, cuantos del campo electromagnético,así como los nucleones pueden emitir o absorber mesones, cuantos del campomesónico.


33

-Pág.89 -



En la siguiente tabla se da una visión sinóptica de las partículas fundamentales:

Comparando los tres cuadros de leptones, bariones y mesones, podemos caracterizarcada grupo por su masa. Los leptones (ligeros) tienen una masa igual o inferior a la delelectrón (menos el muón). Los bariones (pesados) tienen una masa igual o superior a la delprotón. Los mesones (medianos) tienen una masa intermedia entre la del electrón y la delprotón.

Cuando una partícula se encuentra en el universo con su antipartícula se aniquilanmutuamente transformándose en energía, en forma de fotón; así:

Entre las partículas se pueden presentar cuatro tipos de fuerzas o interacciones:

a) La interacción fuerte o nuclear es la más intensa de las cuatro. Se da entre protón-neutrón y sólo alcanza unos 10 –13 cm.

− ++ →10

10e e γ ( )fotón

PARTÍCULAS SÍMBOLO CARGA SPINElectrón

Muón

Leptones

Neutrino-e

Neutrino-µ

Fermiones

Protón

Neutrón

Bariones Hiperón ∆

Hiperón Σ

Hiperón Ξ

Campo

Electro- Fotónmagnético

Bosones

Campo Mesón πMesónico Mesón K

e

µ+ y µ

–

νe

νm

p

n

∆

Σ+, Σ –, Σ0

Ξ0, Ξ-

γ

π+

, π –

, π0

K+, K-, K0

-e

+e, –e

0

0

+e

0

0

+e, –e, 0

0, –e

0

+e, -e, 0+e, -e, 0

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1

00

{ {

{

{{

{

FÍSICA

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-Pág.90-



b) Le sigue la fuerza electromagnética que vale 1/100 de la fuerte. Decrece con el

cuadrado de la distancia y su alcance es, teóricamente, ilimitado. Actúa entrepartículas que tienen carga eléctrica y es la fuerza que mantiene unidos loselectrones al núcleo para formar los átomos, y a éstos entre sí para constituir lasmoléculas.

c) La interacción débil es sólo 10 –14 veces la interacción fuerte. Tiene corto alcancee interviene en la desintegración de algunos núcleos radiactivos.

d) La fuerza gravitatoria es, con mucho, la interacción más débil, pues viene a ser10 –39 veces la interacción nuclear y carece de importancia en el interior de losátomos.

En las cuatro interacciones se conservan la energía, el momento lineal, el momentocinético y la carga eléctrica.

14.3.1. NÚMEROS CUÁNTICOS

Así como los electrones corticales del átomo se caracterizan por poseer unos númeroscuánticos que nos indican la energía que poseen, también las partículas elementales se

caracterizan por otros números cuánticos que rigen las interacciones entre ellas.

Estos números cuánticos son:

1) El número bariónico, B, es la masa atómica expresada en unidades atómicas y sirvepara distinguir las partículas ligeras (leptones) de las pesadas (bariones). Así elprotón y el neutrón tienen de barión B = 1 mientras que el antiprotón y antineutrónposeen de número bárico, B = -1.

2) El spin, J, viene a ser una medida del momento cinético de la partícula en larotación sobre su eje. Tienen spin cero, es decir, carecen de momento cinéticopropio los mesones π (piones). El spin de las partículas es siempre un númeroentero o semientero de la unidad (h = constante de Planck). Así los electrones,

protones, neutrones... tienen de spin 1/2; el fotón tiene 1 de spin; no se ha encontradoninguna partícula con spin superior a 2.

3) La carga eléctrica, Q, distingue a las partículas de sus antipartículas. Así, elelectrón es negativo y el positrón es positivo; el protón es positivo y el antiprotónes negativo, etc.

h2π


35

-Pág.91-



4) El spin isotópico, I, no tiene nada que ver con el spin ordinario. Se llama así porque

se mide de modo análogo. Se introdujo para indicar que el nucleón puede existir endos estados de carga diferente: protón y neutrón. Se dice que forman un doblete decarga, por corresponder a dos estados del nucleón, uno positivo y otro neutro. Elmesón π (pión) se presenta formando un triplete, π+, π –, π0, así como tambiénforman triplete el mesón K (K+, K-, K0) y el hiperón sigma Σ (Σ+, Σ –, Σ0).

5) El número de estados diferentes de carga en cada partícula elemental, constituye lamultiplicidad, M, que está ligada con el número cuántico de isospín por laigualdad:

Así, por ejemplo, la multiplicidad de los mesones π y K es 3; y su spin isotópico:

6) La paridad, P, existe en aquellas partículas en las que se puede distinguir entrederecha e izquierda, cosa que ocurre en la interacción fuerte, de modo que P puedevaler +1, o bien –1.

7) La hipercarga, Y, está relacionada con la carga media Q –

y con la extrañeza S. Lacarga media Q

–es la media aritmética de la carga eléctrica de las partículas que

forman un multiplete.Por ejemplo, la carga media del nucleón es:

y la del pión:

La hipercarga es el doble de la carga media:

La hipercarga del nucleón es 1; y la del mesón π (pión), cero.

8) La extrañeza, S, es una cualidad que se conserva en los procesos de interacciónfuerte entre partículas y está relacionada con la hipercarga y el número bariónicopor la igualdad:

S Y B= −

Y Q= 2

Q =− +

=1 1 0

3 0

Q =+

=1 0

212

I M

=−

=−

=1

23 1

2 1

M I = +2 1

FÍSICA

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Según esto, la extrañeza del protón es:

Es decir, no tiene extrañeza. Sí la tienen los mesones K (+1 y –1).

En las interacciones fuertes se conservan los cinco números cuánticos siguientes: el demasa atómica, B, barión; el spin isotópico I; el spin J; la paridad P, la carga eléctrica Q, yla hipercarga Y.

Menos el fotón, el protón, el electrón y los dos neutrinos, que son partículasabsolutamente estables (mientras no entren en relación con su correspondienteantipartícula), las demás partículas se desintegran en periodos más o menos cortos, comopor ejemplo el neutrón:

Forma un protón, un electrón y un antineutrino; y los mesones p originan:

(positrón, neutrino electrónico y antineutrino muónico)

(electrón, antineutrino electrónico y neutrino muónico)

(fotones gamma)

14.4. TEORÍAS DE UNIFICACIÓN

Estas teorías intentan reunir las cuatro interacciones fundamentales.

Experimentalmente se ha llegado a la conclusión de que la interacción nuclear débil yla interacción electromagnética apenas se diferencian a altas energías. Su diferencia sólo se

pone de manifiesto a baja energía.De aquí, la primera teoría de unificación dando lugar a la interacción electrodébil, la

cual predice la existencia de los bosones vectoriales. Estos bosones vectoriales son trespartículas de intercambio, una de ellas es eléctricamente neutra y las otras dos tienen carga.

La segunda teoría de unificación, llamada teoría de la gran unificación, predice que amuy altas energías se produce la posibilidad de un interacción fuerte-electrodébil.

Por último, la unificación de las cuatro interacciones daría lugar a una única fuerza. Esla idea de la supergravedad.

π γ γ 0 → +

π ν ν µ

−−→ + +1

0e e

π ν ν µ

+ → + +10e e

01

11

10n H e→ + +− ν

S = − =1 1 0


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RESUMEN

— La teoría de la relatividad justifica la distinta velocidad con la que transcurre eltiempo en sistemas de referencia que se encuentran en movimiento relativo.

— La hipótesis de Planck establece que la materia emite energía en forma de pequeñospaquetes o cuantos llamados fotones.

— La energía de dichos fotones viene dada por la expresión:

— Cuando sobre la superficie de un metal incide un rayo de luz de una determinadafrecuencia, emite electrones. Es el efecto fotoeléctrico.

— Los espectros atómicos demuestran la cuantización de la materia.

— De Broglie asocia una onda a toda partícula en movimiento. La longitud de ondacorrespondiente viene dada por la ecuación:

— Según Heisenberg no se pueden medir simultáneamente la posición y la velocidadde una partícula.

— Radiactividad es la propiedad que presentan determinados núcleos atómicos demodificar su constitución espontáneamente, a la vez que emiten una radiacióncaracterística.

— Las radiaciones pueden ser α, β o γ.

— La ley de las desintegraciones radiactivas establece que el número de núcleos quese desintegran en un tiempo determinado es proporcional al número de núcleospresentes.

— El periodo de semidesintegración de una sustancia radiactiva es el tiempo necesariopara que el número de átomos radiactivos de una muestra se reduzca a la mitad.

— Vida media es la media de la vida de todos los átomos radiactivos de una muestra.

′ =T 1λ

T =ln 2

λ

∆

∆

N

t

N = − ⋅λ

λ =⋅

hm v

∆ E h hc

= ⋅ = ⋅ν λ

FÍSICA

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-Pág.94-



— La constante radiactiva, λ, es el número de desintegraciones por unidad de tiempo.

— Las fuerzas nucleares mantienen unidas a protones y neutrones en el núcleoatómico.

— En todas las desintegraciones nucleares hay una pérdida de energía debida aldefecto másico.

— La fisión nuclear consiste en la escisión de un núcleo pesado en otros de masaintermedia.

— En la fusión nuclear, dos o más núcleos ligeros se unen para dar otro más pesado.

— Las partículas más pequeñas representativas de la materia son las partículasfundamentales.

— Según la teoría de los quarks, las partículas fundamentales son 36, además de suscorrespondientes antipartículas.

— Las interacciones fundamentales son la gravitatoria, la nuclear débil, laelectromagnética y la nuclear fuerte.

— La unificación de las cuatro interacciones da lugar a la idea de la supergravedad.


1. Cuando el 23993 N emite una partícula β da lugar a un núcleo radiactivo que por posterior

desintegración da lugar a U y a una partícula α. Escribir ambas reacciones.

La primera desintegración produce una partícula β, es decir, 0 –1e y a otro núcleo ( A Z X ):

Sabiendo que se tiene que cumplir:

239 = A + 0

93 = Z – 1

Obtenemos: A = 239, Z = 94. Por tanto, la primera reacción es:

93239

94239

10 Np X e→ + −

93239

10 Np X e Z

A→ +−


39

Np

-Pág.95-



En cuanto a la segunda reacción, sabemos que se emite una partícula α, es decir, 42 He,

y U. Establecemos la reacción:

Igualando:

239 = A´ + 4

94 = Z´ + 2

Resolviendo obtenemos: A´ = 235, Z´ = 92. Con lo que podemos escribir:

2. Al bombardear núcleos de litio, con protones, se forman dos partículas α. Calcular laenergía cinética (en MeV) de cada una de estas partículas α. Datos: masa del protón =1,00783 uma; masa del litio = 7,01601 uma, masa del helio = 4,00260 uma; 1 uma = 931MeV.

Escribimos primero la reacción que tiene lugar:

La energía cinética correspondiente a la energía liberada por una disminución de masa:

El signo negativo indica que la masa ha disminuido. Como esa ∆m se ha transformado

en energía:

Esta energía es la correspondiente a las dos partículas α, con lo que cada una llevará unaenergía cinética de:

Ec MeV = =17 35

2 8 67, ,

∆ E umaMeV uma

MeV = ⋅ =0 01864 931 17 35, ,

∆m uma= − = −8 00520 8 02384 0 01864, , ,

m umainicial = + =1 00783 7 01601 8 02384, , ,

m uma final = ⋅ =2 4 00260 8 00520, ,

∆m m m final inicial= −

37

11

24

24 Li H He He+ → +

94239

92235

24

X U He→ +

94239

24 X U He Z

A→ +''

FÍSICA

40

-Pág.96-



3. El periodo de semidesintegración del radio es de 1620 años. Hallar la actividad

radiactiva de una muestra de 2 gramos de isótopo puro de radio (

226

88 Ra). Dato: 1 Ci =3,7 · 1010 Bq.

Calculamos primero la constante radiactiva del radio:

El número de átomos de Ra presentes en una muestra de 2 gramos se calculasabiendo que en 1 mol de Ra (226 gr) hay un número de Avogadro de átomos, esdecir, 6,023 · 1023 átomos. Entonces:

La actividad radiactiva será:

Transformamos los Bq en Ci:

4. Supongamos una muestra inicial de yodo-131 de 231 gr. Sabiendo que su periodo desemidesintegración es de 8 días, ¿cuánto yodo quedará al cabo de un mes y medio?Considera un mes de 30 días.

Si el número de átomos de una sustancia se calcula como:

siendo m (gr) la masa en gramos y NA el número de Avogadro que indica el número deátomos que existen en un mol de sustancia.

Si además tenemos en cuenta la relación:

podemos escribir:

m N

m N

e A A

t= ⋅ − ⋅0 λ

N N e t= ⋅ ⋅

0 – λ

N m gr N A

=( )

7 25 101

3 7 101 9610

10,,

,⋅ ⋅⋅

= BqCi

BqCi

λ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅− N segundo

Bq1 36 10 5 33 10 7 25 10 7 25 1011 21 10 10, , , ,desintegraciones

N mos

mos

mol

átomosmol

átomos= ⋅ ⋅ = ⋅2226

6 023 10 5 33 1023 21gragra

, ,

T T

añossegaño

seg= ⇒ = =

⋅ ⋅= ⋅ − −ln ln ln

,,

2 2 2

1620 3 1536 101 36 10

7

11 1

λ λ


41

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Calculamos λ a partir de la expresión:

Y ahora calculamos t (1 mes y medio):

Sustituimos en la ecuación y obtenemos:

5. Calcular la energía cinética y la velocidad de los electrones emitidos por cierto metal,cuando se ilumina su superficie con una luz cuya longitud de onda es de 1638 Å. Datos:masa del electrón = 9,1 · 10 –31 kg; frecuencia umbral del metal = 7,3 · 1014 Hz;1 Å = 10 –10 m.

Aplicaremos la ecuación:

Para ello calculamos la frecuencia de la radiación a partir de su relación con la longitud

de onda, transformándola previamente en metros:λ = 1638 Å · 10 –10 m/Å = 1,638 · 10 –7 m

Sustituyendo en la ecuación:

Sabiendo que la energía cinética viene dada por la ecuación:

Despejamos la velocidad:

vEcm

m s= =⋅ ⋅

⋅= ⋅

−

−2 2 7 3 10

9 1 101 27 10

19

316,

,, /

Ec mv=12

2

Ec J s J máx , , , ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅( ) = ⋅− −6 626 10 1 83 10 7 3 10 7 3 1034 15 14 19

ν λ

= =⋅

⋅= ⋅−

c m s

m Hz

3 101 638 10

1 83 108

715/

,,

Ec h h hmáx = − = −( )ν ν ν ν 0 0

m e gr= ⋅ =− ⋅ ⋅ ⋅−

231 4 731 10 3 888 106 6, ,

t mesesdías

messegundosdía

seg= ⋅ ⋅ = ⋅1 5301

864001 3 888 106, ,

λ = =

⋅= ⋅ −1 2 1 2

8 864001 10 6 1nT n

díassegundos

día

seg –

FÍSICA

42

-Pág.98-




1. Calcular la longitud de onda de la radiación cuya energía vale 3,6·10-19 J.

A. 5,52·10 –7 m B. 6,4·10 –3 m C. 3,2·10 –7 m D. Ninguna de las anteriores.

2. La tercera línea de la serie de Lyman corresponde a:

A. n2 = 2 B. n2 = 1 C. n2 = 3 D. n2 = 4

3. ¿Cuál es la velocidad de un electrón cuya onda asociada tiene una longitud de onda de 3650 Å?

A. 1325 m/s B. 4311 m/s C. 1630 m/s D. 1995 m/s

4. Un átomo con A = 35 y Z = 17 contiene:

A. 17 neutrones. B. 35 protones. C. 18 neutrones. D. 35 electrones.

5. Si un núcleo emite una partícula α:

A. Su número másico disminuye en dos unidades.

B. Emite a la vez una partícula β.

C. Su número atómico aumenta en cuatro unidades.

D. Su número atómico disminuye en dos unidades.

6. Si el periodo de semidesintegración de un núcleo atómico es 3,7 días, su constante radiactivavale:

A. 9,41·10 –7 s –1. B. 2,17·10 –6 s –1. C. 1,06·106 s –1. D. 4,61·105 s –1.

7. Cuando se irradia la superficie de un metal con una luz cuya longitud de onda es 7,21·10-8 cm,emite electrones con una velocidad de 3,8 · 105 m/s. ¿Cuál es la frecuencia umbral de dichometal?

A. 4,16·1017

Hz. B. 5,32·1015

Hz. C. 9,1·10 –31

Hz. D. 6,7·10 –21

Hz.

8. Un elemento X-146 tiene un periodo de semidesintegración de 4,15 días. ¿Cuántos núcleosquedan, después de dos semanas, de una muestra de 3 moles?

A. 6,02·1023 núcleos.

B. 5,32·1015 núcleos.

C. 1,74·1023 núcleos.

D. Ninguno de los anteriores.


43

-Pág.99-



9. Las fuerzas nucleares mantienen unidos a:

A. Protones y neutrones.B. Protones y electrones.

C. Electrones y neutrones.

D. Ninguno de los anteriores.

10. La fisión y la fusión nucleares:

A. Son reacciones entre electrones.

B. Afectan sólo al núcleo atómico.

C. Son consecuencia de la radiactividad natural.D. Ninguna es correcta.


FÍSICA

44

1. A

6. B

2. D

7. A

3. D 4. C

9. A

5. D

10. D8. C

fisica ud1

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