ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO

4º ESPA TARDE

CEPA Gustavo Adolfo Bécquer Profesora: África

TEMA 5.2. PROBABILIDAD

1. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS 2. TEORÍA DE PROBABILIDADES

2.1. TIPOS DE SUCESOS 2.1. UNIÓN DE SUCESOS 2.3. INTERSECCIÓN DE SUCESOS

3. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD 4. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 5. REGLA DE LAPLACE 6. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

6.1. DIAGRAMAS DE ÁRBOL 6.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 6.3. TABLAS DE CONTINGENCIA

1. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Un experimento o un fenómeno se dice que es aleatorio, cuando es imposible saber de antemano el resultado del mismo. En otro caso se dirá que es determinista.

Ejemplos de experimentos aleatorios:

- El resultado del lanzamiento de los dados. - El resultado del sorteo de una lotería. - El lado del que cae una moneda lanzada al aire. - La carta que se saca de un mazo de naipes bara-

jado.

Son experimentos deterministas: - El resultado de tener agua durante dos horas a veinte grados bajo cero. - El resultado de una reacción química. - El próximo avistamiento del cometa Halley.

Suele haber cierta confusión entre los términos posible y probable. Cuando puede darse un fenómeno, decimos que éste es posible: es posible que a tu profesor de Matemáticas lo parta un rayo; lo anterior, que nadie desea que ocurra, es afortunadamente poco pro- bable. En la práctica, los fenómenos poco probables los damos por imposibles.

Es la aleatoriedad de tantos fenómenos, lo que confiere ese carácter imprevisible a nues- tras vidas; sin la presencia del azar, nuestro destino se regiría en base a un sistema de leyes exactas. No obstante, siempre podremos tener alguna medida de la imprevisión de determinados fenómenos: sabemos que, en condiciones normales, aunque sea posible, lo más probable es que no tengamos un accidente en un viaje; o que si le hacemos un segu- ro a una casa, lo más fácil es que no se incendie a los dos meses, lo que supondría una pérdida para la compañía aseguradora.

2. TEORÍA DE PROBABILIDADES

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resulta- do que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resulta- dos y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Al llevar a cabo un experimento aleatorio, no podemos predecir el resultado concreto que se va a obtener, pero sí saber cuáles son los posibles resultados. Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representamos por la letra E (o bien por la letra griega Ω)

Espacio muestral de lanzar un dado: E=1,2,3,4,5,6. Espacio muestral de lanzar una moneda E=C,+

Suceso : es todo subconjunto (es una parte) del espacio muestral. Se representa por una letra mayúscula. Ejemplos: -Al lanzar una moneda, que salga cara A=cara -Al lanzar un dado, que sea par, P=2,4,6

Ejemplo: Al extraer consecutivamente tres bolas de una bolsa que contiene bolas blancas y negras, el espacio muestral será E = (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n). Algunos sucesos a partir de este espacio muestral serían los siguientes:

- Suceso A = extraer tres bolas del mismo color = (b,b,b); (n, n,n) - Suceso B = extraer al menos una bola blanca = (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b);

(n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b) - Suceso C = extraer una sola bola negra = (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)

2.1. TIPOS DE SUCESOS

a) Suceso elemental: es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado, un suceso elemental es “sacar 5”.

b) Suceso compuesto: si está formado por más de un resultado. Por ejemplo, al tirar

un dado, un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

c) Suceso seguro, E: está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo, al tirar un dado, obtener una puntuación que sea menor que 7.

d) Suceso imposible, : es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo, al tirar un

dado, obtener una puntuación igual a 7. Se representa por

e) Sucesos compatibles: dos sucesos, A y B, son compatibles, cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es ob- tener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental co- mún.

f) Sucesos incompatibles: dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen

ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

g) Sucesos independientes: dos sucesos, A y B, son independientes cuando la pro- babilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Así al lanzar dos dados, los resultados son independientes.

h) Sucesos dependientes: dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabi-

lidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. así, extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

i) Suceso contrario, A ,: el suceso contrario a A es otro suceso que se realiza

cuando no se realiza A. Se denota por A . Son sucesos contrarios sacar par e im-

par al lanzar un dado.

2.2. UNIÓN DE SUCESOS (“O”) (o uno u otro)

La unión de los sucesos A y B ( A B ), es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos, A o

B, o ambos. A B se lee como "A o B".

Ejemplo: consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = "sacar par" B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = 2, 4, 6 B = 3, 6 A B = 2, 3, 4, 6

2.3. INTERSECCIÓN DE SUCESOS (“Y”) (se deben cumplir las 2 condiciones a la vez)

La intersección de los sucesos A y B( A B ), es el suceso formado por todos los elemen- tos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren si-

multáneamente A y B. A B se lee "A y B".

Ejemplo: consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = "sacar par" , B = "sacar múltiplo de 3".

Calcular A B .

A = 2, 4, 6 B = 3, 6 A B = 6

3. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

Los fenómenos aleatorios, es decir, aquellos en los que interviene el azar, a pesar de no ser predecibles con toda seguridad obedecen a ciertas leyes. Estas leyes nos permiten en muchos casos saber con qué grado de probabilidad puede ocurrir un suceso entre todos los posibles del espacio muestral. Si lanzamos un dado diez veces puede ocurrir que salga tres veces el cinco, lo cual re- presentaría una frecuencia relativa muy por encima de la esperada. Pero si aumentamos el número de tiradas se debe ir aproximando progresivamente al 1/6, según la Ley de los grandes números. Si el dado no está trucado, cada una de las caras tiene la misma pro- babilidad de salir. Por eso decimos que son sucesos equiprobables.

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa al aumentar el número de repeticiones del experimento que lo origina.

4. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1. 0 P( A) 1 . La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1

2. P(E) 1

3. P( ) 0

La probabilidad del espacio muestral es 1

La probabilidad del suceso imposible es 0

4. P( A) 1 P( A) . La probabilidad del suceso contrario es 1 menos la probabilidad del suceso en cuestión.

Ejemplo: sea el experimento de lanzar un dado al aire y los sucesos A = “salir par al lanzar un

dado”y A = “salir impar al lanzar un dado”

P(A) = 1 – P(A) = 1 -

5. P( A B) P( A) P(B) P( A B) . La probabilidad de la unión es la suma de las proba-

bilidades, restándole la probabilidad de la intersección.

5. REGLA DE LAPLACE

Al realizar un experimento aleatorio en el que hay “n” sucesos elementales, todos igual- mente probables (“equiprobables”), entonces si A es un suceso, la probabilidad de que

ocurra el suceso A es: P( A)

nº de casos favorables

nº de casos posibles

Ejemplos:

1. Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: CC, C+, +C, ++ Casos favorables: 1; casos posibles 4

P( A) nº de casos favorables

nº de casos posibles

P(CC ) 1

= 0,25 (25%) 4

2. En una baraja de 40 cartas, cuando se extrae una al azar, el número de casos posibles sería 40. De este modo, la probabilidad de que salga un as será:

P (A) =

Y la probabilidad de que la carta sea de copas sería:

P (B) =

6. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

Se dice que un experimento aleatorio es compuesto, cuando está formado por varios ex- perimentos aleatorios simples realizados de forma consecutiva. Por ejemplo lanzar tres monedas al aire, lanzar un dado y una moneda,…

6.1. DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Para conocer los posibles resultados de un experimento aleatorio, realizamos un diagra- ma de árbol.

Ejemplo: al lanzar una moneda 3 veces. La probabilidad de que salgan 2

caras sería 3

, ya que hay 8 re- 8

sultados posibles y tres favora- bles.

Otros resultados del experimento:

La probabilidad de que salgan 3 caras sería 1

8

Es más probable obtener dos caras (tres, de ocho casos) que tres caras (uno, de ocho casos).

Es igual de probable el suceso A=(C,C,C), que el B = (C,+,C), pues coinciden en

que solo hay un caso favorable en cada uno de ellos.

Hay la misma probabilidad en obtener dos caras, que en obtener una cruz, ya que en ambos casos hay tres casos favorables.

Si se lanzaran cuatro monedas, habría 16 casos favorables (2·2·2·2 = 24).

De igual modo, al lanzar cinco monedas, habría 32 casos posibles (2·2·2·2·2 = 25), ya la lanzar quince monedas, habría 32768 casos posibles (2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 215)

6.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Hemos visto que el experimento compuesto consistente en lanzar tres monedas, tiene 8 casos posibles, todos equiprobables. Por tanto la probabilidad de cada uno de ellos es de 1/8. Observa que esta probabilidad también se puede obtener multiplicando la de los re- sultados parciales que lo componen:

P(CCC ) 1

1

1

1 P(C) P(C) P(C)

2 2 2 8

Principio de multiplicación: La probabilidad de cada uno de los resultados posibles de

un experimento aleatorio compuesto es el producto de las probabilidades de los resulta-

dos parciales que lo componen. Este principio se puede aplicar aunque los resultados no

sean equiprobables, como ocurre en estos ejemplos:

Ejemplo 1: Al escoger un comité de tres alumnos al azar en una clase que consta de seis niñas y 10 niños las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos se pueden sa- car del diagrama adjunto:

a) Seleccionar tres niños:

P(ooo) 10

9

8

0,214

16 15 14

b) Seleccionar 2 niños y una niña:

P(2o 1a) P(ooa) P(oao) P(aoo)

10

9 6

10

6

9 6

10

9 0,482

16 15 14 16 15 14 16 15 14

c) Seleccionar 2 niñas y un niño:

P(2a 1o) P(aao) P(aoa) P(oaa)

6

5 10

6

10

5

10 6 5 0,268

16 15 14 16 15 14 16 15 14

Ejemplo 2: Imaginemos una urna que contiene 2 bolas rojas (R), 3 negras(N); al extraer dos bolas de forma consecutiva, las probabilidades de los distintos resultados son las si- guientes:

6.3. TABLAS DE CONTINGENCIA

Se reparte un formulario entre los alumnos de una clase a fin de que se apunten, si lo desean, a las actividades extraescolares programadas por la dirección del centro. El do- cumento incluye una casilla donde los alumnos apuntan su sexo. Si se elige al azar un alumno, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica la que quiera apuntarse a alguna de las actividades programadas?

Para calcular esta probabilidad, agrupamos los datos en la siguiente tabla de contingencia o de doble entrada. Esta forma de agrupar los datos sirve para mostrar las frecuencias correspondientes a más de una variable en una misma tabla:

Como todos los alumnos tienen la misma probabi- lidad de ser elegidos, los resultados del experi- mento son equiprobables. Por tanto, es posible aplicar la Regla de Laplace para calcular la proba- bilidad del suceso A = “ser chica y quiere apuntar- se a alguna actividad” Resultados favorables: 8 chicas desean inscribirse

Resultados posibles: 26 P( A) 8

0,31 26

Ejemplo 1: En un grupo de personas se dan las siguientes características:

Fuma No fuma Suma

Hombre 3 9 12

Mujer 5 12 17

Suma 8 21 29

Si se elige una persona al azar:

- Probabilidad de que fume:

P( A)

8

29

- Probabilidad de que sea mujer: P(B) 17

29

Si se elige una mujer al azar. Probabilidad de que no fume: P(C) 12

17

Si se elige al azar una persona que fuma. Probabilidad de que sea mujer: P(D) 5

8

Sí No Suma

Mujer 8 3 11

Varón 10 5 15

Suma 18 8 26