sistemas lineales estabilidad de sistemas lineales...

CONTENIDO

CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN TÉRMINOS DE LADESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

ESTABILIDAD DE ECUACIONES DINÁMICAS LINEALES

ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LYAPUNOV

SISTEMAS LINEALES ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

DR. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ 1

TEMA 8. ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN TÉRMINOS DE LA DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA



Controlabilidad

ObservabilidadImportantes

Estabilidad

Si es estable, se hace esfuerzo para controlar.

Si no es estable, no se intenta controlar.

CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Definición

Un sistema en reposo es BIBO estable (limitado en entrada-limitado

en salida, Bounded-Input Bounded-Output) si y sólo si para cualquier

entrada acotada genera una salida limitada




Considere un sistema SISO Lineal Invariante en el Tiempo (LTI)

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

y t g t u d g u t d

Donde g es la respuesta del sistema al impulso. Se asume que el sistema está

en reposo en t = 0.

Una entrada u(t) se dice que es acotada si u(t) no crece al infinito positivo o

negativo o, equivalentemente, existe una constante um tal que

( ) para todo 0mu t u t




Teorema

Un sistema SISO Lineal Invariante en el Tiempo (LTI) es BIBO estable si

y sólo si

0

( )g t dt K

Para alguna constante K.




Ejemplo

u(t)

L

Cy(t)

21 1T

s LCZ sL

sC sC

2 2

1

( )( ) ( )

1 1

U ssCY s U ss LC s LC

sC

2

( )( )

1

u jy j

LC

1Si ( )y j

LC

Para esta frecuencia el sistema no es BIBO estable, para las demás

frecuencias si lo es.




Algunas consecuencias importantes

Sea

0

( )g t dt K

1) Si u(t) (entrada) es periódica con período T, entonces y(t) es

periódica, con período T.

2) Si u(t) es limitada y tiende a una constante, entonces y(t) también

tiende a una constante.

3) Si u(t) es de energía finita, es decir

1/ 2

2

1

0

( )u t dt K




Entonces la salida también es de energía finita

1/ 2

2

2

0

( )y t dt K

Colorario de la consecuencia 1

Sea un sistema en reposo de una variable

( )u t ( )y t( )g t

0

( ) ( ) ( )

t

y t g t u d




Si se cumple

0

( )g t dt K

Y u(t) = sen (ωt) para t ≥ 0

( ) ( ) ( ), y t g j sen t t

1 Im ( )tan y ( ) es g(t)

Re ( )

g jg s

g j

£

Entonces en un sistema BIBO estable una entrada sinusoidal produce

una salida sinusoidal.

Los sistemas LTI (Lineales Invariantes en el Tiempo) se describen en

funciones de transferencia g(s).




Ejemplo

1( ) ( ) ( )g s g t u t

s

( )g t

t

1

0

( )g t dt K

0

1dt

En todo el lado izquierdo del plano complejo

0

( )g t dt K

Es por eso que es estable

Y del lado derecho

0

( )g t dt




Teorema

Un sistema de una variable descrito por una función racional propia ĝ(s)

es BIBO estable si y sólo si todos los polos de ĝ(s) están en el lado

izquierdo del plano s, o en forma equivalente tiene parte real negativa.

Si la entrada en el ejemplo anterior es acotada, la salida no lo es, por el

hecho de no ser BIBO estable.

( )u t ( )y t( )g t

u(t) = escalón unitario

2

( ) ( ) ( )

1 1 1

( )

Y s G s U s

s s s

y t t




Ejemplo

V

θ vs V no es BIBO estable

Pero en cambio

t

ω vs V si es BIBO estable

Lv(t)+

-

i(t)( ) 1

( )

I s

V s sL Un polo en el origen




GENERALIZACIÓN A MULTIVARIABLE

a) Un sistema en reposo

0

( ) ( ) ( )

t

t t d y g u

Es BIBO estable si y sólo si, hay un número K tal que, para cada

elemento de g se cumple

0

( )ijg t dt K




b) Un sistema multivariable en reposo

( ) ( ) ( )s s sY G U

Es BIBO estable si todos los polos de cada elemento de G(s)

tienen parte real negativa.

Regresar




ceros( )

polosg s

polos s

Polinomio de Hurwitz

Polinomio donde todas las raíces tienen parte real negativa.

Sea un polinomio

1 2

0 1 2 1( ) n n n

n nD s a s a s a s a s a

0 0, ia a




2

0 0 2( ) n nD s a s a s

1 3

1 1 3( ) n nD s a s a s

( )D s

Renombrando

0 0 2 0 0

0 0 1 ' 1 '( ) n n

n nD s a s a s a s a

1 1 1 3 1

1 0 1 ' 1( ) n n

nD s a s a s a s

Donde

' ( par)2

nn n

1' ( impar)

2

nn n




Con los coeficientes aik se construye la tabla de Routh-Hurwitz y se definen:

2 1

1 1 1

01 1

0

k k k

i i k i

k

k k

a a a

a

a

0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 ' 1 '

1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 ' 1

2 2 2 2 2 2

0 1 2 3 ' 2

3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 ' 2

2 2 2

0 1

1 1

0

0

0

n

n n

n

n

n

n

n

n

n n

n

n

s a a a a a a

s a a a a a

s a a a a a

s a a a a a

s a a

s a

s a




TEOREMA DEL CRITERIO ROUTH-HURWITZ

Sea un sistema con una función de transferencia ĝ(s), de la forma

racional irreductible. El sistema es BIBO estable si todos los polos de

ĝ(s) tienen parte real negativa, o de forma equivalente si y sólo si los

términos a0i son todos positivos , y todos los ai

k son distintos de cero.

Ejemplo

Sea7 6 5 4 3 2( ) 3 2 2 3 1.5 1D s s s s s s s s

7 5 3

0

6 4 2

1

( ) 3 2 3 1.5

( ) 2 1

D s s s s s

D s s s s




7

6

5

4

3

2

1

0

3 2 3 1.5

6 1 1 1

0.5 1.5 0

s

s

s

s

s

s

s

s

2

0

2 0 1

0 1 1 1

0

01 1

0

2

0

0, 0

31.5

2

2 (1.5)(1) 0.5

a i k

a a a

a

a

a

No es un polinomio de Hurwitz y el

sistema con este denominador no

sería BIBO estable.




4 3 2( ) 2 2 3 2D s s s s s

4

3

2

1

0

2 1 2

2 3

2

s

s

s

s

s

No es polinomio de Hurwitz

4 3 2( ) 2 5 5 2 1D s s s s s

4

3

2

1

0

2 5 1

5 2

21 5 1

17 21

1

s

s

s

s

s

Si es polinomio de Hurwitz

Regresar




Sea un sistema LIT

1

( )s s

x Ax Bu

y = Cx

G C I A B

El sistema es BIBO estable si los polos para todos los elementos de Ĝ(s)

tienen parte real negativa

Si la entrada es cero

0( ) tt e

A

x Ax

x = x




Definición

Un estado xe de una ecuación dinámica es un estado de equilibrio en t0 si

y sólo si xe es una solución de Ax = 0, para todo t > t0, es decir,

0

0 es un estado de equilibrio

e

e

x

x =

Regresar




Teorema

Cada estado de equilibrio de es estable en el sentido de Lyapunov

si y sólo si todos los eigenvalores de A tienen parte real no positiva y

aquellos con parte real cero son raíces distintas en el polinomio mínimo de

A.

x Ax

Ejemplo

0 0 0

0 0 0

0 0 1

x x

El sistema

¿es estable?




1

2

3 3

0

0

x

x

x x

1 1

2 2

3

0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

e

e

x x

x x

x

x1 y x2 pueden ser cualquier valor para ser estado de equilibrio.

Para x3 sólo el valor 0 lo hace estado de equilibrio.

Los eigenvalores de A son 0, 0, -1. Si el sistema tiene

0

5

3

0

x

x0 es un estado de equilibrio.




Teorema

El estado cero de es asintóticamente estable si y sólo si los

eigenvalores de A tiene parte real negativa

x Ax

Ejemplo

1 0 0

1 1 1

1 1

u

y

x x

x

Sea el sistema

1 1 0 0 1

1 11 1 1 1

ss

s s

G C I A B El polo es -1

y es estable




Los eigenvalores del sistema son

1 21, 1

La ecuación dinámica no es controlable pero la salida del sistema si lo es.

Si se diagonaliza la matriz de evolución

1 0 0ˆ ˆˆ, , 3 10 1 1

A B C

No es controlable, pero si es observable.




IMPLICACIONES DEL TEOREMA ANTERIOR

a) Si la ecuación dinámica en estado cero (sin entrada) es asintóticamente

estable , entonces Ĝ(s) es BIBO estable.

b) Si Ĝ(s) es BIBO estable, no implica que la ecuación dinámica lo sea.

Ĝ(s) sólo describe lo controlable y observable.

Teorema

Sea una ecuación dinámica controlable y observable. Los siguientes

enunciados son equivalentes

a) La ecuación dinámica es totalmente estable

b) La respuesta de estado cero es BIBO estable Ĝ(s)

c) El estado cero es asintóticamente estable (u = 0)

d) Todos los polos de Ĝ(s) tienen parte real negativa

e) Todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa

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