universidad autónoma de san luis potosí facultad de...

Universidad Autónoma de San Luis Potosí

Facultad de Ingeniería

Centro de Investigación y Estudios de Posgrado

Doctorado en Ingeniería Eléctrica

Tema:

Diseño y desarrollo de un sistema para rehabilitación

de extremidades superiores

basado en mecanismos flexibles

Presenta:

M.I. Ubaldo Martínez Delgado

Asesor:

Dr. Emilio Jorge González Galván

San Luis Potosí, S.L.P., Agosto de 2017

________________________ __________ __________ __Tercer avance de Tesis Doctoral.

2

1. Introducción.

En las últimas décadas conforme la tecnología y la ciencia avanzan han sido

desarrollados una serie de nuevos dispositivos para colaborar con programas de

rehabilitación en pacientes que presenten alguna discapacidad motriz, lo que

podría reducir los costos de las terapias. Dichos dispositivos pretenden mejorar la

terapia física que reciben pacientes con discapacidad, con la finalidad también de

contribuir en la notable labor que tienen los terapistas en que los pacientes se

reincorporen a su vida habitual de forma independiente y simplificar su trabajo [1].

Se ha comprobado que la terapia con elementos innovadores ayuda a mejorar y

hacer más eficiente la rehabilitación a través de la aplicación de dispositivos

diseñados para ayudar a las diferentes funciones sensorio motoras (brazos,

manos, piernas etc.), así mismo, se han realizado algunos estudios y se ha

demostrado que la terapia con dichos dispositivos es generalmente bien tolerada

por los pacientes y han demostrado ser un complemento eficaz en las sesiones de

terapia en personas que sufren deficiencias motoras [2].

2. Mecanismos Flexibles.

Los mecanismos flexibles (CM por las siglas en inglés de Compliant Mechanisms),

son una clase de mecanismos que logran movilidad, debido a la flexión y a la

deformación elástica de uno o más de sus segmentos constituyentes, en lugar de

exclusivamente a través del movimiento relativo en las articulaciones como en el

caso de los mecanismos tradicionales de enlace rígidos [3].

Las estructuras que son capaces de transformar su forma debido a cargas

aplicadas, se pueden definir como estructuras que son capaces de cambiar de

forma o de transformarse para satisfacer cambios en los requisitos de rendimiento;

dichas estructuras con tales características son de gran interés para un gran

número de aplicaciones.

La síntesis de dichas estructuras representa una desafiante tarea, así como el

accionamiento del mecanismo aunado al diseño de una estructura flexible capaz

de soportar cargas establecidas, pero también que sea capaz de cambiar su forma

sin dificultad [4].


3

3. Objetivo general.

El objetivo general de este tema de tesis se basa en diseñar, modelar y desarrollar

esquemas para la síntesis y control de mecanismos flexibles, económicos y

eficientes para rehabilitación de miembros superiores, que involucren los

movimientos de hombro, codo, muñeca y dedos.

Para ello se busca la incorporación de mecanismos del tipo flexible mediante su

estudio, síntesis, diseño y fabricación. Posteriormente el mecanismo deberá

realizar el seguimiento de una familia de trayectorias específica en terapia de

rehabilitación por medio de actuadores y leyes de control que le permitan un

comportamiento viable dentro de la interacción humano-robot en el área de

rehabilitación asistida.

Figura 1. Mapa del objetivo general de la tesis.

Anteriormente se llevó a cabo el análisis de una barra de acero empotrada y con la

aplicación de una carga puntual en su extremo como se muestra en la figura 2.

Mecanismos flexibles

Sintetizarlos para su estudio, Diseño y

fabricación

Seguimiento de familia de trayectorias

Actuadores y leyes de control

Interacción Humano en

rehabilitación


4

Figura 2. Viga empotrada con la aplicación de una carga en el extremo.

Las dimensiones y nomenclatura de la barra de acero se muestran en la tabla 1.

Dimensiones de la viga de acero

Longitud L=1 m

Espesor t=0.01 m

Ancho b=0.05 m

Módulo de elasticidad 𝐸 = 200𝑋109 Pa

Momento de inercia I=

1

12𝑏𝑡3

Tabla 1. Dimensiones y parámetros de la barra de acero.

Se hizo la comparación del comportamiento que presentaba la deformación de la

viga al aplicársele una fuerza puntual en el extremo por medio de tres métodos

diferentes:

1. Integrales Elípticas: son una clase de funciones que se presentan en la

solución de las ecuaciones diferenciales para grandes deflexiones en vigas

[5]. Las soluciones integrales elípticas pueden proporcionar una

retroalimentación rápida para ayudar a la selección de un diseño apropiado

que posteriormente puede ser optimizado todavía más utilizando modelos

de elemento finito.

2. Elemento finito (Ansys): Software que ejecuta el análisis de piezas

sometidas a fenómenos físicos y aplicaciones específicas.

3. Enfoque propuesto en este tema Doctoral: Donde se plantea una nueva

propuesta para la síntesis de mecanismos flexibles que implican grandes

deformaciones partiendo de una curva que se considera elástica como se

muestra en la figura 3.


5

Figura 3. Análisis de una curva que se considera elástica.

Tras una serie de análisis matemáticos, se llega a la siguiente ecuación

diferencial no lineal:

1

𝜚=

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

[1 + (𝑑𝑦𝑑𝑥)

2

]

32⁄

=𝑀

𝐸𝐼

(1)

Donde 𝜚 es el radio de curvatura, 1

𝜚 representa la curvatura, 𝑀 es el momento

aplicado, 𝐸 es el módulo de elasticidad o módulo de Young e 𝐼 es el momento de

inercia.

El enfoque propuesto consiste en integrar numéricamente a partir de las

relaciones:

∆𝑆 = 𝜚Δ𝜃

(2)

Δ𝜃 =1

𝜚Δ𝑆 =

𝑀

𝐸𝐼Δ𝑆

(3)

Donde ∆𝑆 representa el paso de integración y Δ𝜃 es la variación del ángulo 𝜃.

Proponiendo:

Δ𝜃 = 𝜃𝑖+1 − 𝜃𝑖 (4)


6

Entonces:

𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 + Δ𝜃 (5)

Por lo tanto, para las coordenadas 𝑋, 𝑌 se tienen las siguientes expresiones:

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 + Δ𝑆𝐶𝑜𝑠𝜃𝑖

(6)

𝑌𝑖+1 = 𝑌𝑖 + Δ𝑆𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖

(7)

La ecuación (5) representa la solución para el ángulo 𝜃, mientras que las

ecuaciones (6) y (7) son las soluciones para las deflexiones horizontales y

verticales respectivamente.

Con la anterior comparativa se pudo llegar a la conclusión que el método de

integrales elípticas para grandes deformaciones comparado con el método

propuesto en este tema Doctoral llamado método de relajación [6], presentan

comportamiento similar en simulación ante la presencia de una fuerza externa,

prescindiendo del análisis por medio simulación de método de elemento finito

(ANSYS), ya que éste no arrojó resultados esperados en cuanto a elementos

sometidos a fuerzas que presenten grandes deformaciones.

4. Viga empotrada sometida a dos fuerzas puntuales.

Ahora se propone el análisis estructural de una barra de acero con la diferencia

que dicha estructura posee dos cargas en el extremo como se muestra en la figura

4.

Carga en sentido vertical 𝑃1.

Carga en sentido horizontal 𝑄1.

Figura 4. Viga empotrada con la aplicación de dos cargas en el extremo.


7

En la figura 5, se muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga de acero para dos

fuerzas puntuales 𝑃1 Y 𝑄1, así como sus respectivas reacciones.

Figura 5. Diagrama de cuerpo libre.

Obteniendo la suma de momentos alrededor de 𝑀𝑂 se llega a la siguiente

expresión:

𝑀𝑂 = 𝑃1𝑥1 − 𝑄1𝑦1 (8)

Utilizando el método de las secciones se hace un corte en la sección transversal

de la viga como se muestra en la figura 6.

Figura 6. Corte de la sección transversal.

Tras un análisis matemático finalmente se obtiene que el momento flector a lo

largo de cualquier punto de la sección transversal de la viga representado por la

siguiente expresión:

𝑀 = 𝑃1(𝑥 − 𝑥1) − 𝑄(𝑣 − 𝑦1) (9)


8

La nomenclatura de la fórmula (9) se describe en la tabla 2.

𝑥 Longitud de la columna

𝑣 Deformación de la columna

𝑃1 Carga vertical

𝑄1 Carga horizontal

Tabla 2. Nomenclatura de los parámetros.

El ángulo 𝜃, así como las deflexiones horizontales 𝑥 y verticales 𝑣 se encuentran

representados en las ecuaciones (5), (6) y (7) respectivamente.

Caso 1. Posteriormente surge la inquietud de observar el comportamiento de la

deformación de la viga con dos fuerzas por medio de simulación en el programa

Matlab, con el enfoque propuesto en este tema doctoral para observar el

comportamiento ante cargas dadas cuyos valores se muestran en la tabla 3, para

posteriormente realizar una comparativa.

Fuerza vertical 𝑃1 = 500 N (Newtons)

Fuerza horizontal 𝑄1 = 0 N (Newtons) Tabla 3. Valores de fuerza experimental caso 1.

En la figura 7, se muestra el comportamiento de la barra de acero ante la

presencia de la carga establecida en el extremo de la columna en sentido vertical.

Figura 7. Comportamiento de la viga para una carga de 𝑷𝟏 de 500 N.

500 N


9

Caso 2. Ahora se aplica la misma magnitud de fuerza en sentido vertical y horizontal como

se muestra en la tabla 4, para observar si existe alguna diferencia y analizar si

esta fuerza en sentido horizontal realmente está contribuyendo al resultado final

del comportamiento de dicho elemento.


Fuerza horizontal 𝑄1 = 500 N (Newtons) Tabla 4. Valores de fuerza experimental caso 2.

Los resultados obtenidos ante la presencia de dichas cargas en el extremo de la

viga se muestran en la figura 8.

Figura 8. Comportamiento de la viga para cargas 𝑷𝟏 y 𝑸𝟏 de 500 N.

En la tabla 5 se muestra la comparativa de las deformaciones ejercidas en ambos

casos.

Desplazamientos Programa Viga (500 N)

Caso 1

Desplazamientos Programa viga 2 fuerzas

(500 N) Caso 2

% CAMBIO

X= 0.9774 m X= 0.985 m 0.7775%

Y= 0.1923 m Y= 0.1575 m 18.096% Tabla 5. Comparación de los desplazamientos obtenidos, caso 1 y 2.

500 N

500 N


10

Como se puede observar en la tabla comparativa, existe un cambio significativo en

los desplazamientos horizontales y verticales de la viga, así como el porcentaje de

cambio debido a la presencia de la fuerza horizontal que actúa sobre la ella.

Caso 3. Se realiza otro análisis y se eligen los siguientes parámetros de fuerza aplicada

como se muestran en la tabla 6.


Fuerza horizontal 𝑄1 = 1,000 N (Newtons) Tabla 6. Valores de fuerza experimental caso 3.

Los resultados del comportamiento por medio de simulación en Matlab ante la

presencia de dichas cargas se muestran en la figura 9.

Figura 9. Comportamiento de la viga para 𝑷𝟏 de 500 N y 𝑸𝟏 de 1,000 N.

En la tabla 7 se observa la comparativa del caso 1 y 3, de los desplazamientos

horizontales y verticales, así como el porcentaje de cambio debido a la presencia

de la fuerza vertical y horizontal que actúa sobre la barra de acero.

Desplazamientos Programa Viga (500 N)

Caso 1

Desplazamientos Programa viga 2 fuerzas

(500 y 1,000 N) Caso 3

% CAMBIO

X= 0.9774 m X= 0.9893 m 1.2175%

Y= 0.1923 m Y= 0.1332 m 44.36 % Tabla 7. Comparación de los desplazamientos obtenidos, caso 1 y 3.

500 N

1,000 N


11

Como se puede observar a medida que la fuerza horizontal va en aumento el

porcentaje de cambio en las deflexiones de la barra de acero también va en

aumento, lo cual podemos concluir que existe un cambio en el comportamiento de

la viga ante la presencia de la carga horizontal aplicada.

5. Columnas. Una vez realizado el análisis de vigas que presenta grandes deformaciones, se

ahonda en el análisis de las columnas también con grandes deflexiones, en la

figura 10, se puede apreciar el mecanismo flexible propuesto de Ácido Poliláctico

debido a sus propiedades [7], constituido básicamente por vigas y columnas

sometido a fuerzas externas. Es por ello la importancia de estudiar dichos

elementos sometidos a compresión.

Figura 10. Mecanismo flexible propuesto de PLA.

Una columna es un elemento largo de forma vertical sujeto a una fuerza de

compresión axial como se muestra en la figura 11. El análisis y diseño de

elementos sometidos a compresión difieren de manera significativa de los

aplicados a elementos sometidos a tensión o a torsión [8, 9].

Figura 11. Columna con extremos pivotados.

Viga

Columna

Fuerza 1

Fuerza 2


12

En algunas columnas, si son muy largas o esbeltas la carga puede ser

suficientemente grande para provocar que se deflexionen lateralmente, a esta

deflexión comúnmente se le llama pandeo como se observa en la figura 12, el cual

es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos

comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos

importantes transversales a la dirección principal de compresión [10, 11].

Figura 12. Fenómeno de pandeo ante una carga P.

Si se tiene una longitud muy pequeña y se realizara el mismo experimento, se

observaría que la falla se presenta a sí misma como el aplastamiento de la pieza,

a este fenómeno se le denomina falla por compresión, figura 13.

Figura 13. Falla por compresión en longitudes pequeñas.

Por estas razones los elementos a compresión se clasifican de acuerdo a su

longitud y si la carga es centrada o excéntrica. El término columna se aplica a

todos los elementos, excepto a aquellos en los que la falla sería por compresión

simple o pura [12].

Tipos de columnas:

1. Largas: Son elementos esbeltos y fallan por pandeo.


13

2. Intermedias: Son aquellos elementos que fallan por la combinación entre el

pandeo y el aplastamiento.

3. Cortas: aquellas elementos que fallan por aplastamiento.

En el análisis de las columnas para este tema doctoral nos enfocaremos en las

columnas largas con carga centrada debido a las características ya mencionadas.

6. Columnas largas con carga centrada. Son columnas largas con diferentes condiciones en el extremo (frontera). En la

figura 14, se muestran este tipo de columnas largas donde se tiene: a) Columna

con extremos articulados, b) con ambos extremos empotrados, c) con un extremo

libre y otro empotrado, d) Un extremo articulado y dirigido y otro empotrado.

Figura 14. Tipos de columnas largas con carga centrada.

Si la carga axial “𝑃” actúa a lo largo del eje centroidal de la columna ocurre

compresión simple del miembro para valores bajo de fuerza. Cuando “𝑃” alcanza

un valor específico la columna adquiere inestabilidad y desarrolla rápidamente

una flexión. Esta fuerza se determina al escribir la ecuación de deformación por

flexión de la columna, lo que resulta una ecuación diferencial. Al aplicar las

condiciones de frontera se obtiene la carga crítica de la flexión inestable dada por

la ecuación (10). Denominada fórmula de Euler para fuerza o carga crítica [13, 14].

𝑃𝑐𝑟 =𝑐𝜋𝐸𝐼

𝐿2 (10)

La nomenclatura de la fórmula de Euler para carga crítica

(𝑃𝑐𝑟) se describe en la taba 8.


14

𝑷𝒄𝒓 Es la máxima fuerza o fuerza crítica que puede soportar la columna antes de presentar el fenómeno de pandeo.

c Valor del factor según las condiciones de frontera que presente la columna.

E Módulo de elasticidad del material.

I Momento de inercia

L Longitud de la columna. Tabla 8. Nomenclatura de la fórmula de Euler.

7. Análisis de una columna pivotada en los extremos. En la figura 15, se analiza una columna ideal con apoyos de pasador utilizando el

método de las secciones.

Figura 15. Método de las secciones para análisis de columna.

Donde la nomenclatura de dichas variables se presentan en la tabla 9.

P Carga aplicada

N Fuerza normal

V Fuerza cortante

M Momento flector

Y Desplazamiento

Tabla 9. Nomenclatura para el análisis de columna.

Haciendo sumatoria de fuerzas horizontales y verticales se tiene:

𝑁 = −𝑃 (11) 𝑉 = 0 (12)


15

Posteriormente se realiza la sumatoria de momentos alrededor del punto A

∑ 𝑀𝐴 = 𝑀 + 𝑃𝑌 = 0 (13)

De la ecuación (13) se despeja M para finalmente plantear la expresión para

determinar el momento flector en cualquier sección transversal de la columna

expresado por:

𝑀 = −𝑃𝑌 (14)

El ángulo 𝜃, así como las deflexiones horizontales 𝑥 y verticales 𝑣 se encuentran

representados en las ecuaciones (5), (6) y (7) respectivamente.

Una vez realizado el análisis matemático de la columna, se estudia el

comportamiento de la columna por medio de simulación en el programa Matlab

con ambos extremos articulados en la frontera, en este caso se considera una

larga y esbelta columna de longitud 𝑳, sometida a una carga de compresión 𝑷

centralmente aplicada en un extremo, se supone que la columna perfectamente

recta y de sección transversal uniforme, se supone que el material también es

homogéneo y que se comporta elásticamente.

Caso de estudio 1 columna. Se tiene una columna de acero con las características mencionadas

anteriormente, las dimensiones así como la nomenclatura de los elementos se

encuentran descritos en la tabla 10.

Dimensiones de la columna de acero

Longitud L=1 m

Espesor t=2e-3 m

Ancho b=0.01 m

Módulo de elasticidad 𝐸 = 200𝑋109 Pa

Momento de inercia I=

1

12𝑏𝑡3

Carga crítica de Euler 𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

𝐿2= 13.1595 𝑁

Tabla 10. Dimensiones y parámetros de la columna caso de estudio 1.


16

Al simular la columna con dichas características por medio de Matlab se puede

observar que la carga crítica es de 13.1595 N, es decir, si le aplicamos una fuerza

𝑷 por debajo de la carga de Euler el sistema no debe presentar el fenómeno de

pandeo como se muestra en la figura 16, en este caso se le aplica una fuerza de

13 N.

Figura 16. Comportamiento de la columna para una carga por debajo de 𝐏𝐜𝐫.

Por otro lado, al aplicar una fuerza superior de la carga crítica, en este caso se le

aplican 16 N, como es de esperarse, la columna presentará una deformación

como se muestra en la figura 17, denominada fenómeno de pandeo.

Figura 17. Comportamiento de la columna rebasando la carga crítica 𝑷𝒄𝒓.

d

13 N

16 N


17

En la figura 17 se muestra el comportamiento de la columna donde se presenta la

deflexión debido a la presencia de la fuerza de 16 N, donde el parámetro

denominado “𝑑” representa la distancia que separa los extremos de dicho

elemento.

Caso de estudio 2, columna. Ahora se tiene otra columna de acero con las características y medidas ya

mencionadas en la tabla 10, la diferencia es que a ésta se le cambia el espesor a

𝟖𝒆−𝟑 m, es decir es más delgada. De lo anterior se tiene que la carga crítica de

Euler con dichos valores se muestran en la tabla 11.

Carga crítica de Euler 𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

𝐿2= 842.2062 𝑁

Tabla 11. Carga crítica (𝑷𝒄𝒓) para el caso de estudio 2 .

Por lo tanto se simula la columna en Matlab por el método propuesto ante la

presencia de una carga externa de 800 N, que es una fuerza menor a la carga

crítica, esperando que con dicha magnitud la columna no debe presentar el

fenómeno de pandeo como se muestra en la figura 18.

Figura 18. Comportamiento de la columna para una carga por debajo de 𝑷𝒄𝒓.

800 N


18

Nuevamente se somete a la columna a una fuerza mayor por arriba de la carga

crítica (𝑃𝑐𝑟) para observar su comportamiento, en este caso la fuerza aplicada al

elemento es de 2,000 N (Newtons). En la figura 19 se puede observar el

comportamiento de la columna ante la presencia de dicha fuerza.

Figura 19. Comportamiento de la columna superior a 𝑷𝒄𝒓

Es evidente la gran deformación que presenta el elemento debido a que la carga

que se le aplica es de una magnitud alta, en este caso es 237.47% mayor a la

carca crítica de Euler (𝑃𝑐𝑟).

De los resultados anteriores podemos hablar de lo siguiente:

Método directo: consiste en que a partir de una fuerza ejercida en una

columna pivotada en ambos extremos se obtenga la deformación en la

misma debido a la fuerza ejercida, como se muestra en la figura 20.

-d

2,000 N


19

Figura 20. Método directo.

En la gráfica se muestra el diagrama fuerza- “d” (distancia entre extremos) de una

columna de longitud 𝐿 = 1 𝑚, cuya carga crítica es 𝑃𝑐𝑟 = 13.1595 N, donde se

hace un barrido de fuerzas que va de 0-60 Newtons para analizar el

comportamiento del elemento. Como se puede observar para una fuerza por

debajo de la carga crítica el elemento no presenta ninguna deformación entre

extremos, conforme la fuerza va aumentando y rebasa la carga crítica la distancia

entre los extremos como es de esperarse va disminuyendo siendo “𝑑” positiva, es

decir, la columna va presentando el fenómeno de pandeo ya mencionado. Un dato

importante es cuando la fuerza aplicada es arriba de los 28.5672 N (Newtons) la

distancia entre extremos denominada “𝑑” intersecta en el eje “𝑦” al cero, es decir

la distancia entre extremos cambia a “𝑑” negativa, quiere decir que la columna a

cruzado sus límites entre extremos para posteriormente ir aumentando conforme

aumenta la fuerza aplicada 𝑃.

+d

-d


20

Método inverso: consiste en que a partir de la distancia entre extremos

denominada “𝑑” que presenta una columna pivotada en los extremos se

obtiene la fuerza que se le aplica a la columna para obtener dicho

desplazamiento como se muestra en la figura 21.

Figura 21. Método inverso.

En la gráfica se muestra el diagrama (distancia entre extremos) “d”-fuerza de una

columna de longitud 𝐿 = 1 𝑚, cuya carga crítica es 𝑃𝑐𝑟 = 13.1595 N, que es el caso

contrario del método directo, en donde a partir de la distancia entre los extremos

de la columna se puede llegar a predecir que fuerza es la que se necesita para

obtener tal deformación. Nótese que para que la distancia entre extremos haya

rebasado los límites de la columna es necesario aplicar fuerzas mayores a

28.5672 N (Newtons), en este caso tal distancia es “𝑑” negativa, conforme la

deformación avanza tal distancia denominada “𝑑” se hace positiva hasta llegar a

tener la longitud de la viga con 𝑑 = 1 para fuerzas por debajo de la carga crítica

𝑃𝑐𝑟.

-d

Distancia d (entre extremos de columna)

-d

+d


21

8. Números adimensionales. Con lo anterior se puede abordar a un gráfico generalizado del comportamiento de

los sistemas del tipo flexible en estudio con números adimensionales, que son

números que no tienen unidades físicas que los definan y por lo tanto es un

número puro. Dependiendo de su valor estos números tienen un significado físico

que caracteriza unas determinadas propiedades para algunos sistemas [15].

Para obtener un gráfico de números adimensionales se propone trabajar con los

siguientes parámetros expresados en la tabla 11.

Parámetros propuestos para números adimensionales

Propuesta 1 𝜂1 =𝑃

𝑃𝑐𝑟

Propuesta 2 𝜂2 =𝛿

𝐿

Propuesta 3 𝜂3 =

𝛿

√𝐸𝐼𝑃

Tabla 11. Parámetros propuestos para números adimensionales.

En la tabla 12 se menciona la nomenclatura de dichos parámetros propuestos.

𝑃 Carga a la que se somete el elemento

𝑃𝑐𝑟 Carga crítica de Euler

𝛿 Deformación debido al pandeo

𝐿 Longitud final de la columna

𝐸 Módulo de elasticidad

𝐼 Momento de Inercia.

Tabla 12. Nomenclatura de los parámetros para números adimensionales.

Se propone realizar 4 pruebas variándole a cada una el valor de un parámetro

como se muestra a continuación, el parámetro a variar se encuentra resaltado en

color rojo de la tabla 13.

Parámetros Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Prueba 4

Longitud columna (m)

L 1 1 2 2

Ancho (m) b 0.01 0.01 0.01 0.01

Espesor (m) t 0.002 0.002 0.002 0.005

Momento de inercia I

I=1

12𝑏𝑡3

I=1

12𝑏𝑡3

I=1

12𝑏𝑡3

I=1

12𝑏𝑡3

Módulo de eslasticidad (Pa)

E 200𝑋109 7𝑋106 7𝑋106 7𝑋106

Tabla 13. Valores de los Parámetros para números adimensionales.


22

Se realiza la gráfica fuerza contra deformación por medio de Matlab para las

cuatro pruebas, los resultados se muestran en la figura 22.

Figura 22. Diagrama fuerza-Deformación números adimensionales.

Como se puede apreciar los valores asignados para las pruebas 1-3 presentan un

comportamiento similar, sin embargo, para los valores de los parámetros de la

prueba 4 no cumple el seguimiento de la demás trayectorias.

Igualmente se traza la gráfica con los parámetros de las 4 pruebas propuestas, en

este caso se grafica 𝜂1 contra 𝜂2 ya mencionadas, los resultados obtenidos se

muestran en la figura 23.

Figura 23. Diagrama 𝜼𝟏-𝜼𝟐 números adimensionales.


23

Del gráfico anterior podemos observar que la prueba 1 y 2 y la 3 y 4 presentan un

comportamiento similar respectivamente con los parámetros asignados, sin

embargo se espera que las cuatro pruebas presenten la misma similitud.

Finalmente se realiza la gráfica 𝜂1 contra 𝜂3 con los parámetros de las 4 pruebas,

los resultados obtenidos se muestran en la figura 24.

Figura 24. Diagrama 𝜼𝟏- 𝜼𝟑 números adimensionales.

Claramente se puede observar del gráfico anterior que el comportamiento de las 4

pruebas con los parámetros asignados es muy similar, es decir sería posible

utilizar esta gráfica para poder predecir el comportamiento de las columnas ante

ciertos parámetros establecidos. Hasta ahora esta forma de graficar es la que más

se acerca para el uso de números adimensionales.

Se resalta el hecho de que el uso de números adimensionales permite que los

resultados para unas condiciones físicas dadas puedan extrapolarse a otros casos

o condiciones distintas, usando la misma gráfica.


24

9. Trabajo actual. Actualmente nos encontramos en el análisis de otra propuesta topológica que es

la combinación de una viga empotrada en un extremo unida a una columna

pivotada es decir un pórtico por medio de mecanismos flexibles para grandes

deformaciones como se muestra en la figura 25, El diseño de las conexiones viga-

columna es considerado el aspecto más crítico dentro del diseño. Cabe resaltar

que el estudio de esta topología representa el primer análisis de un mecanismo

flexible compuesto por distintos elementos.

Figura 26. Análisis de pórtico para grandes deformaciones.

El análisis se basa en que se tiene una viga de longitud 𝐿 a la cual se le aplica una

carga 𝑃1, por medio del método directo que ya conocemos es posible saber las

coordenadas a las cuales llegarán las deflexiones horizontales y verticales (𝑥2, 𝑦2)

como se muestra en la figura 27.

Figura 27. Método directo viga para obtener (𝒙𝟐, 𝒚𝟐).


25

Posteriormente por medio del método inverso es posible predecir ante que carga

𝑃∗ la columna podrá alcanzar dichas deflexiones horizontales y verticales (𝑥2, 𝑦2)

en las que se encuentra la viga para que se ajuste a ella, como se muestra en la

figura 28.

Figura 28. Método inverso columna para obtener 𝑃∗.

Una vez obteniendo el valor de la carga 𝑃∗ que actúa sobre la columna es posible

obtener la fuerza de reacción que se presenta en la misma (figura 29), por medio

de la ecuación (15), así como su componente horizontal (16) y vertical (17) y el

ángulo 𝜃 (18).

𝐹𝑅𝐶 = √𝑓𝑥𝑐2 + 𝑓𝑦𝑐

2 (15)

𝑓𝑥𝑐 = 𝐹𝑅𝐶𝑆𝐸𝑁𝜃 (16)

𝑓𝑌𝑐 = 𝐹𝑅𝐶𝐶𝑂𝑆𝜃 (17)

𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1𝑓𝑦𝑐

𝑓𝑥𝑐 (18)


26

Figura 29. Fuerzas de reacción en la columna debido a 𝑃∗.

Teniendo el valor de la componente horizontal y vertical de la columna se le restan

a la carga 𝑃1 que actúa sobre la viga, para obtener un nuevo desplazamiento de la

viga (𝑥3, 𝑦3), como se muestra en la figura 30, utilizando el método propuesto, la

convergencia se dará cuando ambos puntos de la viga y de la columna (𝑥, 𝑦)

coincidan.

Figura 30. Viga y columna (pórtico) con ajuste.


27

10. Trabajo a futuro.

Por ahora se cuenta con un sujeto de control de 18 meses de edad, (figura 31) el

cual presenta una mal formación en la muñeca del lado izquierdo actualmente

recibe terapia en el Centro de Rehabilitación y Educación Especial (CREE) de San

Luis Potosí, será sometido a una cirugía para alargar los ligamentos de dicha

extremidad, se pretende que una vez que sea sometido a dicho proceso quirúrgico

brindarle terapia de rehabilitación por medio de un mecanismo del tipo flexible

como se muestra en la figura 32.

Figura 31. Sujeto de control.

Figura 32. Prototipo para rehabilitación de material flexible.


28

Primeramente se tomarán una familia de curvas según el desplazamiento que el

sujeto de control pueda tener en ese momento por medio del sensor de posición

3D Guidance TrackStar, posteriormente se le incorporará el mecanismo mostrado

anteriormente accionado por un pequeño actuador, se piensa que debido a la

topología de dicha propuesta, el mecanismo sea capaz de brindarle terapia de

rehabilitación en la extremidad lesionada, se espera en un futuro incorporarle al

sistema un control de interacción. Una vez teniendo esto. el sistema se enfocará

en duplicar movimientos prescritos por un terapeuta o bien modular la fuerza

ejercida por el dispositivo sobre la persona utilizando la plataforma experimental

que ya se presentó.

11. Actividades realizadas.

Se prosigue con la revisión del estado del arte.

Se realizó el estudio para una viga empotrada sometida a dos cargas en

sentido horizontal y vertical y se comprueba por medio de simulación en

Matlab que los resultados sean los esperados y se analizan varios casos de

estudio. .

Se ahonda en el análisis de columnas sometidas a grandes deformaciones

por medio del método propuesto y se comprueba por medio de simulación

que los resultados sean los esperados y se analizan varios casos de

estudio.

Se proponen métodos directo e inverso para el análisis de mecanismos que

presentan grandes deformaciones.

Se propone la obtención de gráficos para tratar de generalizar el

comportamiento de dichos mecanismos por medio de números

adimensionales.

Actualmente se está llevando a cabo el análisis de la topología tipo pórtico

para poder extenderlo a mecanismos con grandes deformaciones


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12. Cronograma de actividades.

1. Revisión del estado del arte.

2. Cubrir cursos académicos en el Posgrado de la Facultad de Ingeniería, los

cuales se encuentran destinados a reforzar áreas de conocimientos

particulares para llevar a cabo la investigación.

3. Estudiar el funcionamiento de los mecanismos flexibles.

4. Propuesta y estudio de diferentes diseños y geometrías de mecanismos

para rehabilitación.

5. Simulación del funcionamiento de los mecanismos propuestos por medio

de Matlab.

6. Desarrollo de la plataforma experimental: Elegir un tipo de material flexible

para la fabricación del mecanismo final, destinado a la rehabilitación de

miembros superiores, ensamble del mecanismo y análisis.

7. Implementación de un par de actuadores eléctricos al mecanismo flexible

final, añadiendo un esquema de control de interacción.

8. Pruebas y correcciones.

9. Validación de forma experimental con personas sanas y con algún grado de

discapacidad en miembros superiores.

10. Análisis de resultados.

11. Publicación de resultados.

12. Redacción de la tesis.

13. Examen de grado.

Semestre Número de actividad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°


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Bibliografía

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