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Tema 4

Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos

Tema 4: Introducción a la Síntesis de Filtros Analógicos T4.2

4.1. IntroducciónAnálisis de Filtros Analógicos

Filtro paso bajo

Filtro paso alto

Filtro paso banda

Filtro paso banda eliminada

1/Cs

Ls R1

Vg(s) V0(s)R2 )()()()( 0 ωjH

sVsVsH

g

→=→

)( ωjH

ω


4.1. IntroducciónSíntesis de Filtros Analógicos

circuitosH →→ )(

)( ωjH

ωSimetría

par

Normalización

Transformación de frecuencias

Teoría de la aproximación (filtros paso bajo)


4.2. Atenuación y Plantillas de Especificación de Filtros

H(s): función de transferencia de un filtro.

{ }

{ }⎩⎨⎧

→∠

→→⋅= ∠

fase en respuesta)(amplitud en respuesta)(

)()( )(

ω

ωωω ω

jHjH

ejHjH jHj

(dB) alogarítmic escala a )( pasar atenuación)( ωωα jH→→

(dB))(log20)(

1log10)( 2 ωω

ωα jHjH

⋅−=⋅=


Filtro paso bajo ideal. Especificaciones

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

c

cjHωω

ωωω

,0

,1)(

)( ωjH

ωcω

)(ωα

ωcω

⎪⎩

⎪⎨⎧

>∞

≤=

c

c

ωω

ωωωα

,

,0)(



Filtro paso bajo real. Especificaciones

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

<>=

aa

pp

A

AjH

ωω

ωωω

,

,)(

⎪⎩

⎪⎨⎧

>>

<<=

aa

pp

ωωα

ωωαωα

,

,)(

)( ωjH

ωpω aω

aApA

)(ωα

ωpω aω

pαaα

transición de bandaatenuada banda la de límite

atenuada banda

paso de banda la de límitepaso de banda

⇒<<

⇒

⇒>

⇒

⇒<

ap

a

a

p

p

ωωω

ω

ωω

ω

ωω

atenuada de banda la en mínima atenuaciónpaso de banda la en máxima atenuación

≡

≡

a

p

α

α



Frecuencia de corte a 3 dBωc : frecuencia de corte a 3 dB. Se cumple que:

)(log20)(2

)( max ωωαω jHH

jH c ⋅−=⇒=

( ) ( ) )(3log202log20log20

2log20)(log20)(

maxmax

max

dBHH

HjH cc

+⋅−=⋅+⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=⋅−= ωωα

)()( dBωα

ωcω

( ) 3log20 max +⋅− H

dB3( )maxlog20 H⋅−


)( ωjH

ωcω

maxH

2maxH


Objetivoa) Evitar el manejo de potencias negativas de 10

b) Aprovechar el diseño de un filtro para distintas bandas de frecuencia o para diferentes cargas.

Parámetros de normalizacióna) R0 : resistencia de normalización

b) ω0 : frecuencia de normalización

Proceso de normalización

4.3. Normalización

)(1)( 00

ωsHR

sHN =escala de cambio)(

amplitud de cambio1

0

0

⇒

⇒

ωsHR


De esta forma, los valores normalizados de los elementos circuitales básicos resultan ser:

4.3. Normalización

R

Ls

Cs1

0RRRN =

0

00

0 RLLsLs

RL

NNωω =⇒=⋅

0000

1111 ωω

CRCsCRCs N

N

=⇒=⋅⋅


La transformación de frecuencias permite aprovechar diseños de filtros paso bajo para convertirlos en otro tipo de filtros.

4.4.1. Transformación paso bajo – paso alto

Especificaciones del filtro paso alto

4.4. Transformación de Frecuencias

ωωω

λω

′−

=⇒=20

20s

Plano complejoPaso bajo

Plano complejoPaso alto

)(ωα ′

ω′

pαaα

pω′aω′


Al hacer filtros de respuesta al impulso real, la atenuación y el módulo de la función de transferencia son simétricas, mientras que la respuesta en fase es antisimétrica. Por tanto, es suficiente con realizar especificaciones en el semiplano positivo de frecuencias.

Para bajas frecuencias, la atenuación debe ser muy elevada (la zona rayada es una zona prohibida para el filtro paso alto).

Para altas frecuencias, la atenuación debe ser baja.

La banda de transición, , sigue siendo necesaria, pues –como sabemos- no existen filtros reales de pendientes abruptas.


ap ωωω ′<′<′


4.4. Transformación de Frecuenciasω

pω−

'pωpω

'pω− 'ωPA

PB

aa

aa

a

ωωωωω

ωω

ωωω

ωω

αωα

=′

≥⇒′≤−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=′

′≤′

>′20

20

20

)(

pp

pp

p

ωωωωω

ωω

ωωω

ωω

αωα

=′

≤⇒′≥−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=′

′≥′

<′20

20

20

)(

)(ωα

ωpαaα

'

20

pωω

pω='

20

aωω

aω=



Ls

Cs1

20

20

1ωλ

λω ⋅

=⋅

CC

Transformación en circuitos

λω2

0=s 20

1ωC

L =C

L 20

1ωL

C =

λω2

0⋅L

20

20

1

1

ω

ω

LCL

CLC

=→

=→En resumen:


4.4.2. Transformación paso bajo – paso banda

Especificaciones del filtro paso banda


21'';

'' 2

0

20

220

2

ppBBs ωωω

ωωωω

λωλ

⋅=−

=⇒+

=

Paso bajo Paso banda

)'(ωα

'ω

pα

1aα

'1pω'

1aω '2pω '

2aω

2aα


4.4. Transformación de Frecuenciasω

pω−

pω

'1pω−

'ω'

2pω− '2pω+'

1pω+

aaa

a Bω

ωωωωω =

−≥⇒≤ 12

1

''''

ppp

pp Bω

ωωωωωω =

−≤⇒≤≤ 12

21

'''''

aaa

a Bω

ωωωωω =

−≥⇒≥ 12

2

''''

2121''''2

0 aapp ωωωωω ⋅=⋅=

Suponemos que se cumple la condición de

simetría:

En caso de no cumplirse, se ajusta

1'aω

)(ωα

ω

pαaα

pω aω

Se toma el peor caso:( )

21,max aaa ααα =



Ls

Cs1 λ

ωλλω

λλ

BC

BC

BC

BC 2

020

211

+=

+


λωλ

Bs

20

2 +=C

L

20

1 ωCBL =

BCC =1

λωλ

λω

λλ

BL

BL

BL

BL

20

20

2

+=+BLL =1 2

01 ωL

BC =



Ls

Cs1

En resumen

C

L

20

1 ωCBL =

BCC =1

BLL =1 2

01 ωL

BC =


4.4.2. Transformación paso bajo – banda eliminada

Especificaciones del filtro de banda eliminada


21'';

'' 2

0220

20

2 aaBBs ωωω

ωωωω

ωλλ

⋅=−

=⇒+

=

Paso bajoBanda eliminada

)'(ωα

'ω1pα

aα

'1pω '

1aω '2pω'

2aω

2pα



ppp

pB ωωω

ωωω =−

≤⇒≤12

1 ''''

aaa

aaB ωωω

ωωωω =−

≥⇒≤≤12

21 '''''

ppp

pB ωωω

ωωω =−

≤⇒≥12

2 ''''

2121''''2

0 ppaa ωωωωω ⋅=⋅=

Suponemos que se cumple la condición de

simetría:

En caso de no cumplirse, se ajusta

1'pω

)(ωα

ω

pαaα

pω aω

Se toma el peor caso:( )

21,min ppp ααα =

ω

pω−

pω

'1pω−

'ω'

2pω− '2pω+'

1pω+0ω− 0ω



λωλ

λω

λλωλ

λ

LBLBBLBL

BL20

20

220

211

+=

+=

+⋅


20

2 ωλλ+

=Bs

Cs1

C

Ls

L20

1 ωLBL =

LBC 1

1 =

λωλ

λωλ

ωλλ CBCBBCBC

20

20

2

20

2

1+=

+=

+⋅

CBL 1

1 = 20

1 ωCBC =


4.4. Transformación de FrecuenciasEn resumen

Cs1

C

Ls

L20

1 ωLBL =

LBC 1

1 =

CBL 1

1 = 20

1 ωCBC =


4.5. Teoría de la AproximaciónSe aplicará al prototipo paso bajo. Si deseamos diseñar otro tipo de filtro, debemos realizar el siguiente proceso:

Filtros PA, PB, BE

Convertir especificaciones para prototipo paso bajo.

Transformación de frecuencias

Diseñar prototipo paso bajo

Especificar componentes del PB

Transformar al circuito definitivo: PA, PB, BE


4.5. Teoría de la Aproximacióna) Concepto de función aproximante

Nuestro objetivo es hallar una función racional que se aproxime a la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo ideal. Para simplificar los cálculos, se normaliza a la frecuencia de corte a 3 dB (ωc)

2)( ωjH

c

c

ss

ωωω

ω

=

=

2)( ωjHI

ωcω

1

Filtro paso bajo ideal

2)( ωjHI

ω

1

1

2)( ωjH

Filtro paso bajo ideal normalizado (ωc=1)


4.5. Teoría de la AproximaciónDe esta forma, buscaremos que se cumpla:

al menos en las zonas de interés.

Esta función, siempre tendrá la forma:

Siendo así la función aproximante buscada, que será de tipo polinómico o cociente de polinomios.

Deberá cumplir que:

Según sea tendremos un tipo de aproximación u otro.

22 )()( ωω jHjH I≈

)(11)( 2

2

ωω

DjH

+=

)(2 ωD

1)0(acotado) (ó0)(0

2 ≈⇒=→

jHDω

ω

)(2 ωD


4.5. Teoría de la Aproximaciónb) Filtros de Butterworth

La aproximación de Butterworth es la más simple de las posibles; es una aproximación de máxima planicidad, o máximamente plana.

Esto significa, desde un punto de vista matemático, que la mayor cantidad posible de derivadas de la función aproximada sean iguales (en el límite cuando ), a las de la función que se desea aproximar, (filtro paso bajo ideal).

2)( ωjH0→ω

2)( ωjHI

2)( ωjH

ω

1 2)( ωjHI

cω

Mejor aproximación en ω=0

Mejor aproximación en ω>>0


4.5. Teoría de la Aproximación

En este caso, , con:

Respuesta en frecuencia de Butterworth normalizada (se normaliza respecto a la frecuencia de corte a 3 dB, ωc)

nD 22 )( ωω =filtro del ordenpolinomio del grado2

≡≡

nn

njH 22

11)(ω

ω+

=


4.5. Teoría de la AproximaciónPolos de (normalizados)

Es decir, se encuentran en una circunferencia de radio unidad, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)

Existen tablas con los polos ya calculados para diferentes órdenes.

2)( ωjH

nkes nnkj

k , ... 2, 1,2)12(

== ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+ π

n=2

σ

ωj

n=3

σ

ωj


4.5. Teoría de la AproximaciónFunción de transferencia (normalizada)

También existen tablas con los coeficientes del polinomio de Butterworth normalizados.

DesnormalizaciónSe aplica el cambio de variable:

)(sH

1...1

)(...)()(1)(

11

121 ++++=

−⋅⋅−⋅−= −

− sasassssssssH n

nn

n

1...

1)(

1

1

1 +++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−c

n

cn

n

c

sasassH

ωωω

n

c

jH 22

1

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω


4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro

A medida que ‘n’ aumenta, es más abrupta la transición de la banda de paso a la banda atenuada.

n

c

jH 22

1

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω )(1log10)(2

dBn

c ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

ωωωα

cω

)()( dBωα

ω

pαaα

pω aω


4.5. Teoría de la AproximaciónDespejamos ωc :

Según la figura, debe cumplirse que:

ncn

c

nn

c 21

10)(

10)(

2

22

10)(

110

110110

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⇒−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ωα

ωαωα ωωωω

ωω

n

pcpp

p 21

10 110

)()1(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=⇒=⇒=α

ωωαωαωω

n

acaa

a 21

10 110

)()2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⇒=⇒=α

ωωαωαωω


4.5. Teoría de la AproximaciónIgualando (1) y (2) obtenemos el orden del filtro requerido, ‘n’:

⇒−

=

−

⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⇒≡110110110110

)2()1(10

2

10

2

21

102

1

10

apap

na

np

n

a

n

pαα

αα

ωωωω

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⇒

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

110

110loglog2110

110

10

10

10

102

a

p

a

p

a

pn

a

p n α

α

α

α

ωω

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

a

p

a

p

n

ωω

α

α

log2

110

110log10

10

Donde el orden del filtro de Butterworth será la parte

entera de n más 1h



c) Filtros de Chebyshev

El principal problema de la aproximación de Butterworth es que el error respecto a la curva ideal es mínimo en las cercanías del origen, pero se incrementa considerablemente en la zona de la frecuencia de corte a 3 dB.

Otro criterio de aproximación es el de Chebyshev, que considera que todas las frecuencias de la banda de paso son igualmente importantes. Así, se admite cierta atenuación y ondulación (rizado) en la banda de paso, pero se consigue una mejor aproximación para ωc .



En este caso, , con:

2)( ωjH

ω

1

2)( ωjHI

cω

Esta aproximación también es denominada aproximación de

rizado de amplitud constante en la banda de paso

)()( 222 ωεω nCD =

)(11)( 22

2

ωεω

nCjH

+=

Respuesta en frecuencia de Chebyshev normalizada

(respecto a ωp)

≡≡≡

)(ω

ε

nCn

constante que determina el rizado en la banda de paso (real)

orden del filtro

polinomio de Chebyshev normalizado de orden ‘n’


4.5. Teoría de la AproximaciónPolinomios de Chebyshev (normalizados)

En la práctica, se calcula de forma recurrente:

)coscos()( 1ωω −⋅= nCn

)()(2)( 11 ωωωω −+ −= nnn CCC

Es una función pseudotranscendente, que varía entre ±1

...34)12(2)(

12)()(

1)(

323

22

1

0

ωωωωωω

ωω

ωωω

−=−−⋅=

−=

=

=

C

C

CC


4.5. Teoría de la AproximaciónPROPIEDADES

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤→<=

1

1)(1)(

ω

ωωω n

n

CC

Oscilante

Crece monótonamente

[ ][ ])(coshcosh)(1

)(coscos)(11

1

ωωω

ωωω−

−

⋅=⇒>

⋅=⇒<

nC

nC

n

n

2)( ωjH

ωpω

p

aa ω

ωω =

[ ][ ])(coshcosh)(

)(coscos)(1

1

ωω

ωω−

−

⋅=⇒

⋅=⇒

nCnC

n

nBanda de paso

Banda atenuada


4.5. Teoría de la AproximaciónPolos de (normalizados)

Los polos se encuentran situados sobre una elipse, en el semiplano complejo izquierdo (estabilidad del filtro)

2)( ωjH

nkn

kajn

kask

, ... 2, 1,2

)12(cos)cosh(2

)12(sen)(senh

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅−=ππ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅= −

ε1senh1 1

na Existen tablas para calcularlos

n=3

σ

ωj


4.5. Teoría de la AproximaciónFunción de transferencia (normalizada)Se realiza como anteriormente.

DesnormalizaciónSe realiza como anteriormente.

Determinación de .

)(sH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

pnC

jH

ωωε

ω22

2

1

1)(

ε

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅=

pnC

jH ωωε

ωωα 22

2 1log10)(

1log10


4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación de (cont.)ε

( ) { } { }222 1log10)1(1log10 εεαωαωω +⋅=+⋅=== nppp C

1)0(cos2 =⋅n110110 10102 −=⇒−=

pp αα

εε

)(ωα

ω

pαaα

pω aωdBΔ

{ }21log10 εα +⋅=p

El parámetro se elige según el valor requerido para (también

llamado “error en la banda de paso”, en dB = Δ dB), que resultará ser la

amplitud de rizado máxima permitida.

εpα


4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro

Banda de paso:

Banda atenuada:

)1(110)1log(10)()(

1022 −=⇒+⋅==⎪⎭

⎪⎬⎫

=

= p

ppp

ppα

εεαωαωω

αωα

)2(1log10)()( 22

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅==

⎭⎬⎫

=

=

p

anaa

a

aa Cωωεαωα

ωωαωα

110coshcosh110 101221022 −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⇒−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒ −

aa

p

a

p

an nC

αα

ωωε

ωωε


4.5. Teoría de la AproximaciónDeterminación del orden del filtro (cont.)

2

101 110coshcosh

εωω

α

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⇒ −

a

p

an

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=⇒−

−

p

a

a

n

ωω

ε

α

1

101

cosh

110cosh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=⇒−

−

p

a

p

a

n

ωω

α

α

1

10

101

cosh

110

110cosh

( )1ln)(cosh2

)cosh(

21 −+=

+=

−

−

xxx

eexxx

NOTA:

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