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ca Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
Tema 4.
Análisis de la Respuesta Temporal de
Sistemas LTI
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
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Introducción
Señales de prueba:
– En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario
tener una base para comparar los sistemas de control. Esto
se hace especificando señales de entrada de prueba y
comparando las respuestas de varios sistemas a estas
señales de entrada.
– Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.
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Introducción
Respuesta transitoria y respuesta estacionaria
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de
dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
La respuesta estacionaria se
refiere a la manera en la
cual se comporta la salida
del sistema conforme el
tiempo tiende a infinito.
La respuesta transitoria se
refiere a la que va del
estado inicial al estado final.
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Introducción
Estabilidad absoluta y error estacionario:
– Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado.
– Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición
inicial.
– Si la salida de un sistema en estado estable no coincide
exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene
un error en régimen permanente (erp) o error estacionario. El
erp indica la precisión del sistema.
– Al analizar un sistema de control se debe examinar el
comportamiento de la respuesta transitoria y el
comportamiento del error estacionario.
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
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Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural:
– Sistema continuo representado por la ecuación diferencial
con salida y(t) y entrada u(t)
con un conjunto de condiciones iniciales
siendo n el orden del sistema.
– La obtención de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t)se realiza por aplicación de la transformada de Laplace.
ubububyayayaya mm
nn
nn 01
)
01
)1
1
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y y yn( ), '( ), , ( ))0 0 01
a s Y s s y s y a s Y s s y a Y sb s U s s u b s U s s u b U s
nn n n
nn n
mm m
mm m
( ( ) ( ) ' ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )
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1
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1
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0 0 0
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No nulas !!!
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Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Reagrupando términos:
con P(s) polinomio que depende de las condiciones iniciales.
– La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo
se puede expresar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a s a s a s a Y s b s b s b U s P snn
nn
mm
1
1
1 0 1 0
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asasasasPsU
asasasabsbsbsY n
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nn
nn
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Respuesta forzada Respuesta natural
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Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para
sistemas de orden 1º, 2º y superior.
– Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo
respuesta natural nula.
U(s) Y(s) )(sG
)()()( sUsGsY
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden:
– Un sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una
ecuación diferencial de la forma
con función de transferencia
– La respuesta escalón de amplitud A será:
)()()( 00 tubtyaty
0
0)(asbsG
Y sb A
s s a( )
( )
0
0
Forma normalizada
de la F.T. de un SPO
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
– Descomponiendo en fracciones simples:
– Aplicando la transformada inversa:
respuesta de tipo exponencial.
Y sKs
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b Aa s a
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
– Se definen la ganancia , la constante de tiempo
como parámetros específicos de un SPO.
– Forma estándar del SPO:
0
0
abK
0
1
aT
11
1)(
0
0
0
TsK
asa
bsGForma paramétrica
de la F.T. de un
SPO
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
Respuesta ante una entrada escalón unitario:
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
Respuesta ante una entrada impulso unitario:
Dep
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
Respuesta ante una entrada rampa pendiente unitaria:
Error en régimen
permanente (erp)
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Sistemas de segundo orden:
– Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una
ecuación diferencial:
con función de transferencia:
– La respuesta escalón de amplitud A será:
Análisis de la respuesta transitoria
012
0)(asas
bsG
)()(
012
0
asassAbsY
ubyayay 001
Forma normalizada
de la F.T. de un SSO
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
– La respuesta depende de las raíces del denominador
– Casos particulares:
1. Raíces reales distintas.
2. Raíces reales repetidas.
3. Raíces complejas conjugadas.
))(()( 2101
2 ssssasas
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 1: Raíces reales distintas.
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
Se denominan sistemas sobreamortiguados.
Y sKs
Ks s
Ks s
( )
1 2
1
3
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)(1)()( 21
321 teKeKKty tsts
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de S
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 1: Raíces reales distintas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos.
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 2: Raíces reales repetidas.
Aplicando la transformada inversa:
Se denominan sistemas crítico-amortiguados.
2
1
22
1
211
)()(
ssK
ssK
sKsY
)(1)()( 11
22211 tteKeKKty tsts
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 2: Raíces reales repetidas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble.
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de S
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
Reagrupando las dos fracciones complejas:
con y .
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
Se denominan sistemas subamortiguados.
)()()( 321
dd jsK
jsK
sKsY
22
3
22
21
)(
'
)(
)(')(
d
d
d sK
ssK
sKsY
)Re(2' 22 KK )Im(2' 33 KK
)(1) sin' cos'()( 321 tteKteKKty dt
dt
*23 KK
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de S
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mas y
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
La forma de la respuesta depende de la colocación de los polos .),( d
Dep
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de S
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
– La respuesta de SSO admite otra representación alternativa
en función de los parámetros:
• Ganancia, K• Relación de amortiguamiento, x
• Frecuencia natural NO amortiguada, n
– Las raíces de la ecuación característica son:
dnn jjss xx 221 1,
22
2
2)(
nn
n
ssKsG
x
Forma paramétrica de
la F.T. de un SSO
Frecuencia natural
amortiguadaConstante de
tiempo inversa
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de S
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Sistemas de segundo orden (cont.):
– Interpretación geométrica de los parámetros de la F.T. de un
SSO subamortiguado:
– Los SSO se pueden clasificar atendiendo al valor de la
constante de amortiguamiento y la ubicación de sus polos.
Análisis de la respuesta transitoria
x cos
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):– x >1 (s1 y s2 reales distintos, parte real -)
SOBREAMORTIGUADO
– x =1 (s1 y s2 reales iguales, parte real -)
CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
– 0<x<1 (s1 y s2 conj. complejos, parte real -)
SUBAMORTIGUADO
– x=0 (s1 y s2 sobre el eje imaginario)
CRÍTICAMENTE ESTABLE
LÍMITE DE ESTABILIDAD
– -1<x<0 (s1 y s2 conj. complejos, parte real +)
INESTABLE OSCILANTE
– x<-1 (s1 y s2 reales distintos, parte real +)
INESTABLE NO OSCILANTE
OJO: Inestable!
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de S
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
En base a la relación de amortiguamiento x constante y la
frecuencia natural no amortiguada, n , constante se establecen
los correspondientes lugares geométricos en el plano s.
Dep
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de S
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de S
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de S
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón
de SSO para valores de .),( nx
)()(
012
0
asassAbsY
Oscilación
mantenida
Dep
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de S
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mas y
Au
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta impulso
de SSO para valores de .),( nx
22
2
2)(
nn
n
ssKsY
x
Dep
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to d
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a
de S
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Dep
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a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior:
– Sistema de orden superior (SOS) queda descrito por la
función de transferencia
con zi y pj ceros y polos en general complejos.
– La respuesta escalón de amplitud A será:
)())((
)())(()(
21
21
n
m
pspspszszszsKsG
n
i i
i
psK
sK
sAsGsY
1
0)()(
Dep
art
am
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to d
e I
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ierí
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mas y
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mas y
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áti
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Sistemas de orden superior (cont.):Caso 1: Polos en general distintos.
Aplicando la transformada inversa
• La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
• La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoriadepende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa:
1. si Ki es bajo su contribución es despreciable, y
2. si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto su contribución es despreciable.
3. Y si Re(pi)>0 que pasaría ??
Análisis de la respuesta transitoria
)(1)()(1
0 teKKty tpn
ii
i
Dep
art
am
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to d
e I
ng
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ierí
a
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de S
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áti
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Análisis de la respuesta transitoria
Ejemplo:
Representación gráfica de diversas exponenciales…
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
e-100t
e-10t
e-1t
quién es quién?
Dep
art
am
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de S
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a
de S
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mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):Caso 1: Polos en general distintos.
Forma de la respuesta no estandarizada
Dep
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am
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e I
ng
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Au
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ca
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e I
ng
en
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a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):Caso 2: Polos en general múltiples.
La respuesta escalón de amplitud A será:
y aplicando transformada inversa:
Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismorazonamiento que el caso anterior.
jr
j
j
psK
psK
psK
sK
sAsGsY
)()()(
2
2
1
10
)(1))!1(
()()1(
21021 tet
rK
eKeKKty tpr
j
jtptp jj
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mas y
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ca
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):– Concepto de dominancia:
• Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se
denominan polos dominantes.
• Transformamos un SOS en un SPO (un único polo dominante) o
en un SSO (un par de polos dominantes).
– Criterio de dominancia:
Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en
cercanía de pd (efecto cancelación).
Dep
art
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e I
ng
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de S
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mas y
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de S
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mas y
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tom
áti
ca
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo:
Dada la siguiente función de transferencia:
y la representamos los polos y ceros en el plano complejo:
)542.12)(1.10)(2)(1(
)1.2()2.5412)(4()(
2
2
ssssssssssG
Análisis de la respuesta transitoria
-10 -8 -6 -4 -2 0-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Cancelación
(no afecta Ks)Polo no dominante
(afecta Ks)
Dep
art
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e I
ng
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a
de S
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mas y
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
OriginalAproximado
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
Al eliminar el polo no
dominante (s+10.1) se
modifica la ganancia
estática del sistema.
Dep
art
am
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to d
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de S
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mas y
Au
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e I
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta transitoria
0 1 2 3 4 5 60
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
OriginalAproximado
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
0.1 × G(s)*
Dep
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de S
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mas y
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de S
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de S
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mas y
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):Efecto de añadir un polo/cero al sistema:
• Los polos de G(s) afectan a los exponentes en los términos
exponenciales (pi complejo en general) de la respuesta
transitoria.
• Los ceros de G(s) no afectan a los exponentes en los términos
exponenciales, pero afectan las magnitudes y los signos de los
residuos.
• Por ejemplo:
– Si añadimos un polo real negativo Influye con una nueva
exponencial hace el sistema más lento y más estable
(relativamente).
– Si añadimos un cero Influye con un residuo hace el sistema
más rápido y más inestable (relativamente).
tpie
Dep
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a
de S
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mas y
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tom
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mas y
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e I
ng
en
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a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Dep
art
am
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to d
e I
ng
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a
de S
iste
mas y
Au
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de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Identificación:
– Proceso de determinación de un modelo a partir del
conocimiento previo sobre el sistema y experiencias
prácticas realizadas sobre él.
– Durante el proceso de identificación el sistema es
considerado como una “caja negra”, realizándose
experimentos que proporcionan pares E/S.
– Gran variedad de métodos de identificación, particularmente
los métodos de identificación paramétricos, a través de la
obtención de coeficientes de G(s).
SISTEMA
DINAMICO
u1
um
y1
yn
Dep
art
am
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to d
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mas y
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a
de S
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mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Método de análisis del transitorio:
– Consiste en la aplicación de una señal de prueba (escalón,
rampa o impulso) analizando la forma de la respuesta
transitoria para determinar los parámetros del modelo del
sistema.
– Asume comportamiento lineal o linealizado en torno a un
punto.
– Se considerará la identificación de sistemas de primer orden,
segundo orden y orden superior ante señal de entrada
escalón.
u t( ) y t( )SISTEMA
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
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ierí
a
de S
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mas y
Au
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Sistemas de primer orden:
1. Determinación de K por relación de amplitud salida-entrada
en régimen estacionario.
2. Determinación de T por inspección sobre el 63.2% de y(t) en
régimen estacionario.
3. Efecto posible de retardo .
1)(
TsKsG
sTre
)()(
uyK
)(lim)(
)(lim)(
0ssYy
tyy
s
t
Dep
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mas y
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e I
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ierí
a
de S
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mas y
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áti
ca
Identificación de sistemas
Circuito RC:
– Ejercicio.
¿¿ vi(∞) y vo(∞) ??
0.4 × 250E-6 s. = 100E-6 s.¿¿ T ??
5.8 × 0.2V= 1.15V
1)(
TsKsG
6-E100
115,1
15,1
TvvKi
o63% de 1.15 = 0.72V
Dep
art
am
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to d
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ng
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ierí
a
de S
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mas y
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Circuito RC (cont.):
– Ejercicio.
0 1 2 3 4 5 6
x 10-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
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de S
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Sistemas de segundo orden:
1. Determinación de K por relación de amplitud entrada-salida
en régimen estacionario.
2. Determinación de a través de los parámetros
característicos de la respuesta transitoria de segundo orden.
3. Efecto posible de retardo .
Identificación de sistemas
nx y
sTre
22
2
2)(
nn
n
ssK
sGx
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
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a
de S
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mas y
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Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Sistemas de segundo orden (cont.):
1. tiempo de subida, de 0% al 100% del valor final y(∞)
2. tiempo de pico, en el valor máximo de y(t)
3. sobreoscilación, definida por
Identificación de sistemas
drt
d1tan
dpt
)()()(
yyty
SO p x
tan
eeeeSO pnpd tt
%100 %100
OJO: No confundir con el máximo
sobreimpulso )()( ytyM pp
d
1tan
Dep
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de S
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mas y
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to d
e I
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden (cont.):
Relación sobreoscilación y coeficiente de amortiguamiento
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
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a
de S
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mas y
Au
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to d
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ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
%)2(4
st %)5(3
st
Sistemas de segundo orden (cont.):
4. tiempo de establecimiento, para alcanzar el régimen
permanente.
Dos criterios: y
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
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de S
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mas y
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Dep
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden (cont.):
A partir de un par de valores de parámetros característicos sedeterminan y d y de ahí x y n según:
nx 2-1 x nd x sincos
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ierí
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de S
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mas y
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e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Identificación de sistemas
Circuito RLC:
– Ejercicio.
22
2
2)(
nn
n
ssK
sGx
¿¿ vi(∞) y vo(∞) ??
1.9 × 0.5V= 0.95V
¿¿ ??pt
0.15×100E-6 s.=15E-6 s.
¿¿ vo (tp) ??
3.2 × 0.5V= 1.6V
12.0cos x5102.11
x
x nn
45.1tan
102.57ln
68.0)(
)()(
1021.0
1
4
6
d
p
t
p
pd
dp
tSOeSO
vvtv
SO
tt
p
195,095,0
i
o
vvK
Dep
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de S
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mas y
Au
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en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Identificación de sistemas
Circuito RLC:
– Ejercicio.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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Au
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art
am
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to d
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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ca
Identificación de sistemas
Otros sistemas:
– Segundo orden sobreamortiguados / crític. amortiguados:• Para estos sistemas sólo será posible computar la función de
transferencia en caso de que haya dominancia de primer orden, ya quelas expresiones anteriores sólo son válidas para el casosubamortiguado.
– Orden superior a dos:
• Para sistemas de orden superior no hay un método de validez general, sibien hay métodos para el caso de sistemas con polos en situaciónespecífica (i.e. dominancia de primer o segundo orden).
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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ca
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
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de S
iste
mas y
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ca
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad:
– La estabilidad es una característica del sistema que asegura
que ante cualquier entrada acotada el sistema responde con
unas salida acotada.
– La estabilidad de un sistema LTI (lineal e invariante en el
tiempo) queda asegurada si todas las raíces del polinomio
característico se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano complejo s.
– En efecto, para un sistema definido por
las raíces (polos) son la solución de
011
1
)()(asasasa
sPsG nn
nn
nn
nn
n sssasasasa ,,,0 21011
1
Dep
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de S
iste
mas y
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Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad (cont.):
– Si se encuentra alguna raíz con el término
correspondiente de la respuesta crecería con el
tiempo, resultando por tanto el sistema inestable.
– La estabilidad no depende de la función de entrada, es una
característica del sistema. Las raíces de la entrada
contribuyen solamente en los términos de la respuesta
estacionaria.
0)Re( iis t
iieK
j
0
x
x
x
s1
s1*
s2
Dep
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ierí
a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Dep
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am
en
to d
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ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad (cont.):
– El problema más importante de los sistemas de control lineal
tiene que ver con la estabilidad, sobre todo con la estabilidad
del sistema en bucle cerrado.
– De hecho, sistemas que son inestables en bucle abierto,
pueden ser estabilizados al cerrar el bucle de control
(K variable).
K
)(sH
)(sG-
+)(sG
)()(1)()(
sHsKGsKGsGbc
OJO: no confundir con la ganancia estática del
sistema para R(s)=1/s
Dep
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am
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to d
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ng
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ierí
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de S
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mas y
Au
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áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad (cont.):
– El problema más importante de los sistemas de control lineal
tiene que ver con la estabilidad, sobre todo con la estabilidad
del sistema en bucle cerrado.
Dep
art
am
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to d
e I
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ierí
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mas y
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to d
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de S
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mas y
Au
tom
áti
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Estabilidad de sistemas continuos
Criterio de Routh-Hurwitz:
– Es un método para determinar la estabilidad de un sistema
sin tener que factorizar el polinomio característico del
sistema.
– Este procedimiento no especifica la posición concreta de las
raíces, sino el número de raíces existentes en el semiplano
derecho (inestabilidad) y en el eje imaginario (estabilidad
critica).Límite de la estabilidad
Dep
art
am
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to d
e I
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mas y
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áti
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de S
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mas y
Au
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áti
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Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz:
1. Escribir el polinomio característico (suponiendo ).
2. Si cualquier ai ≤ 0 en presencia de, al menos, un aj > 0,
entonces hay una raíz o raíces que son imaginarias o con
una parte real positiva, siendo el sistema crítico-estable o
inestable.
00 a
0011
1
asasasa nn
nn
Límite de la estabilidad
Dep
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mas y
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Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
3. Si todos los coeficientes , agrupar los coeficientes en
el siguiente arreglo:
0
1
02
3
02
131
02
0
1
2
3
2
1 ......
gf
ee
cbb
aaaaaa
sss
ssss
n
n
nn
nn
n
n
n
n
ai 0
1
3212
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nnnnn a
aaaab
bi
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a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
3. Si todos los coeficientes , agrupar los coeficientes en
el siguiente arreglo:
De la misma forma se evalúan continuando el
proceso hasta completar la última fila.
0
1
02
3
02
131
02
0
1
2
3
2
1
0
...
...
gf
ee
cbb
aaaaaa
sss
ssss
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n
nn
nn
n
n
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c d ei i i, , ,
1
1010
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Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
4. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz establece que el
número de raíces del polinomio característico con parte real
positiva es igual al número de cambios de signo de los
coeficientes de la primera columna del arreglo.
Hay casos especiales de ceros en la primera columna o ceros en
una fila que producen sistemas crítico-estables o inestables.
Límite de la estabilidad
Dep
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a
de S
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mas y
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áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz:
a) Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero,
pero los términos restantes no lo son, o no hay términos
restantes.
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es
opuesto al del que está abajo entonces hay un cambio de
signo.
Primer cambio
Segundo cambio
dos raíces en el
semiplano derecho
Dep
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de S
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mas y
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz:
a) Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero,
pero los términos restantes no lo son, o no hay términos
restantes.
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es
igual al signo que está por debajo de él, entonces hay un par
de raíces imaginarias.
0Sustituimos el cero con
un número positivo muy
pequeño e y se evalúa
normalmente.
Dep
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mas y
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a
de S
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mas y
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Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
b) Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero.
raíces de igual magnitud que se
encuentran radialmente opuestas en el
plano s, es decir, dos raíces con
magnitudes iguales y signos opuestos
y/o dos raíces imaginarias conjugadas.
La evaluación del resto de la tabla
continúa mediante la formación
de un polinomio auxiliar, P(s), con
los coeficientes de la fila s4 y
sustituyendo la fila s3 con los
coeficientes de la derivada de P(s)con respecto a s.
hay dos pares de raíces de igual
magnitud y signo opuesto. Estos pares
se obtienen resolviendo la ecuación
del polinomio auxiliar P(s)=0.
Dep
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a
de S
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a
de S
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mas y
Au
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ng
en
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a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
b) Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero.
Despejando las raíces de la ecuación del polinomio auxiliar
se obtiene:
Cambio de signo
Dep
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de S
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a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Ejemplo 1:
Aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz al polinomio de
tercer orden:
Se construye el arreglo:
Entonces, la condición de estabilidad viene dada por:
Estabilidad de sistemas continuos
Todos los coeficientes > 0
Dep
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Dep
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to d
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ng
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a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Ejemplo 2:
Aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz al polinomio de
tercer orden:
Se construye el arreglo:
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera
columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales
positivas.
Estabilidad de sistemas continuos
Todos los coeficientes > 0
Dep
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a
de S
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mas y
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to d
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a
de S
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mas y
Au
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Criterio de Routh-Hurwitz:
– El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz tiene una utilidad
limitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre
todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni
cómo estabilizar un sistema inestable.
– Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar
uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los
valores que producen inestabilidad.
Estabilidad de sistemas continuos
Dep
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de S
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to d
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a
de S
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mas y
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Ejemplo:
Hallar K para que el sistema en bucle cerrado sea estable.
1. La función de transferencia en bucle cerrado es:
2. Siendo la ecuación característica la siguiente:
Estabilidad de sistemas continuos
Dep
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a
de S
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mas y
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de S
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mas y
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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áti
ca
Ejemplo (cont.):
Hallar K para que el sistema en bucle cerrado sea estable.
3. Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz:
4. Para garantizar la estabilidad del sistema todos los
elementos de la primera columna deben ser positivos.
Estabilidad de sistemas continuos
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
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ierí
a
de S
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mas y
Au
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a
de S
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áti
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
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áti
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a
de S
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mas y
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áti
ca
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente:
Se considerarán sistemas en bucle cerrado donde la salida del
sistema C(s) tiene que seguir una consigna o referencia R(s).
– Se define el error en régimen permanente como:
)(sH
)(sR
)(sG
)(sB
)(sC+
-
)(sE
)()(lim)(lim tbtrteett
Señal medida
Señal referencia
Error estacionario
OJO: El erp es igual a la diferencia entre R(s) y
C(s) sí y sólo sí la ganancia estática de H(s) es 1.
Dep
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Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
– Aplicando la transformada de Laplace:
– El erp depende de la señal de referencia, R(s), y del “tipo” Nde la planta-sensor G(s)H(s), definido por:
– Aplicando teorema del valor final:
)()(1)()(1)()(
sHsGsGsHsRsE )(
)()(11)( sR
sHsGsE
)1)...(1()1)...(1()()(
1
1
sssssKsHsG
nppN
mcc
)()()(1
lim)(lim)(lim00
sRsHsG
sssEteesst
)()()(1
)()()()()()()()()( sRsHsG
sGsHsRsCsHsRsBsRsE
OJO: Sólo si e(t) está acotado sistema estable
Bucle abierto
Dep
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am
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de S
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mas y
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mas y
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to d
e I
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
1. erp ante señal de entrada escalón:
Definiendo la constante de error escalón Kp
El erp ante una entrada escalón será nulo cuando Kp∞ lo cual
se produce cuando G(s)H(s) es de tipo N ≥ 1.
)()(lim11
0sHsG
es
)()(lim0
sHsGKsp
pKe
1
1
ssHsGse
s
1)()(1
lim0
Número de
integradores ≥1
Cte. estática de error
de posición
Error de posición
X
X
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
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a
de S
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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áti
ca
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
1. erp ante señal de entrada rampa:
Definiendo la constante de error rampa Kv
El erp ante una entrada rampa será nulo cuando Kv∞ lo cual
se produce cuando G(s)H(s) es de tipo N ≥ 2.
)()(lim1
)()(1lim
00 sHssGsHssGs
es
s
20
1)()(1
limssHsG
ses
Número de
integradores ≥2
)()(lim0
sHssGKsv
vKe 1
Cte. estática de
error de velocidad
Error de velocidad
Xx
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
1. erp ante señal de entrada parábola:
Definiendo la constante de error parábola Ka
El erp ante una entrada parábola será nulo cuando Ka∞ lo cual
se produce cuando G(s)H(s) es de tipo N ≥ 3.
)()(lim1
)()(1lim 2
0
220 sHsGssHsGsse
ss
30
1)()(1
limssHsG
ses
Número de
integradores ≥3
)()(lim 2
0sHsGsK
sa
aKe 1
Cte. estática de error
de aceleración
Error de aceleración
XX2
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
Tabla resumen de errores en régimen permanente de sistemas
continuos:
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
FIN