51 sistemas dinamicos formas canonicas de sistemas lti 1

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Sistemas dinamicos

Formas canonicas de sistemas LTI

1

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Contenido

1. La forma canonica diagonal

2. Transformacion de coordenadas y controlabilidad

3. Transformacion de coordenadas y observabilidad

4. Descomposicion canonica controlable

5. Descomposicion canonica observable

6. Descomposicion canonica

2

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LA FORMA CANONICA DIAGONAL

3

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La forma canonica diagonal

Sean 1, 2, + j, y j los valores propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores propios

correspondientes. Definiendo . Entonces

tenemos

4

1 2 3 4V v v v v

1

2 1

0 0 0

0 0 0:

0 0 0

0 0 0

J V AVj

j

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La forma canonica diagonal

Aplicando la siguiente transformacion de similaridad a la matriz diagonal J

5

1A T JT1

1 0 0 0

0 1 0 0:

0 0 1 1

0 0

T

j j

1

2

0 0 0

0 0 0:

0 0

0 0

A

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TRANSFORMACION DE COORDENADAS Y CONTROLABILIDAD

6

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Cambio de coordenadas y controlabilidad

Sea el par (A,B) controlable

7

2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆnQ B AB A B A B

1 2 1 1 1nTB TAT TB TA T TB TA T TB

2 1nT B AB A B A B

Q TQ

La controlabilidad es una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

Rango completo

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La clase de los los sistemas controlables

Se sabe que para todo par (A,B) controlable entonces la matriz de controlabilidad Q es de rango completo.

8

2 1, nQ A B B AB A B A B

La respuesta es SI

¿Existe una forma simple unica que represente a todos los sistemas controlables?

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Forma canonica del controlador

Si el par (A,B) es controlable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad

9

0 1 2 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1C

n

A

0

0

0

1

CB

1CA TAT

CB TB

1CC CT

CD D

como se demuestra a continuacion

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En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal

10

1, , , nQ B AB A B 0, ,0,1hQ

0ihA B 20 ni

1 1nhA B

10, ,0,1h Q

,

1, , , nhB hAB hA B

0, ,0,1

1, , , nhQ h B AB A B

con

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Definiendo la matriz no singular

11

1n

h

hAT

hA

Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz nn

1

1

, , , n

n

h

hAN TQ B AB A B

hA

2 1

2 1

2 1 2 4 2 3

1 2 3 2 2

n n

n n

n n n n

n n n n

hB hAB hA B hA B

hAB hA B hA B hA B

hA B hA B hA B hA B

hA B hA B hA B hA B

0 0 0 1

0 0 1 *

0 1 * *

1 * * *

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Ya que por suposicion Q es no singular, entonces T es tambien no singular y z = Tx es una transformacion de coordenadas lineal

12

1T NQ1n

hx

hAxz

hA x

Txz

1 2z h x hAx hBu hAx z

2 1 2 11

n n n nn nz hA x hA x hA Bu hA x z

1n n nnz hA x hA Bu hA x u

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13

11 0det n n

nsI A s s

11 1 0

n nnA A A I

Por el teorema de Caley-Hamilton

Sea el polinomio caracteristico de la matriz A:

11 1 0

n nnhA x hA x hAx hx

zz

n

1210

1000

0100

0010

u

1

0

0

0

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¿Pero que nos dice realmente esta estructura?–Bien, definamos una variable escalar x = x1 y con,

–Entonces, notamos que,


14

1 2x x x

x Ax bu

1 2 3x x x x

10 1 1

n nn nx x x x x u

La ecuacion matricial se reduce a la ecuacion escalar

11 1 0

n nnx t x t x t x t u t

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ESTO ES IMPORTANTE

Entonces, cuando estudiamos el sistema lineal SISO controlable podemos hacer siempre un cambio de coordenadas que convierta al sistema en uno de orden n cuya variable de estado es un escalar

Tambien es claro que si, en forma inversa, uno comienza con un sistema escalar de orden n uno puede llevarlo a la forma (A,B,C,D) con el par (A,B) en la forma canonica del controlador.

15

sistema escalar de orden n (A,B,C,D)

sistema escalar de orden n (A,B,C,D)

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Otras formas canonicas controlables

Existen otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).

» La forma canonica de controlabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky:

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0

1

2

1

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 1

C

n

n

A

1

0

0

0

CB

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Otras formas canonicas controlables

Investigar otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).

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TRANSFORMACION DE COORDENADAS Y OBSERVABILIDAD

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Cambio de coordenadas y observabilidad

Sea el par (A,C) observable

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1O OT

La observabilidad una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

Rango completo

1 1

1 1 1

11 2 1 2 1

1 1 1 1 1

ˆ

n n

CT CT

CT TAT CAT

O OTCT TA T CA T

CT TA T CA T

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Forma canonica del observador

Si el par (A,C) es observable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad

20

0

1

2

1

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 1

O

n

n

A

0 0 0 1OC

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Manipulando las ecuaciones del sistema en la forma canonica del observador es posible llegar a la siguiente expresion:

Asi, un sistema observable puede ser llevado a la forma de una ecuacion diferencial para la salida en terminos de la entrada y sus derivadas.

Forma canonica del observador

21

1 1 1 11 1 0 1 1 0

n n n nn n ny y y y b u b u b u b u

donde bn esta definido por D = [bn].

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Otras formas canonicas observables

» Una forma alterna de la forma canonica del par observable (A,C) es la forma canonica de observabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky.

22

0 1 2 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1O

n

A

1 0 0 0OC

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Otras formas canonicas observables

Investigar otras formas canonicas alternativas para el par observable (A,C).

23

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DESCOMPOSICION CANONICA CONTROLABLE

24

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Descomposicion canonica controlable

Si el par (A,B) no es controlable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

25

11p pA R

12p n pA R

22n p n pA R 1

p mB R

11 12 1

220 0c c

c c

x xA A Bu

x xA

1 2c

c

xy C C Du

x

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Sea rank[Q] = p < n, y sean:

» U1 una matriz de nxp cuyas columnas formen una base para el espacio columna de Q , y

» U2 una matriz nx(n-p) cuyas columnas con las de U1 formen

una base para Rn, es decir el espacio columna de [U1 U2] = Rn.

Sea la transformacion de estado [U1 U2]z = x,

26

1 2[ ]U U A B z x x u

1 2[ ]A U U B z u

1 2[ ]AU AU B z u Demostracion

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Por construccion, U1 es A-invariante, y [U1 U2] es una base en Rn, entonces, existen matrices , tal que

Por lo tanto,

27

12

~A 22

~A

1 1 11AU U A 122 1 2 1 12 2 22

22

AAU U U U A U A

A

uzz BUUA

AA 121

22

1211~

0

~~

Demostracion

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Por construccion, U1 contiene a B, entonces, existe una matriz B1 pxm tal que B = U1B1 o,

Por lo tanto,

28

11 11 2 1 20 0

B BB U U U U B

111 12

2200

BA A

A

z z u

LQQD

Forma controlable de Kalman

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El subsistema controlable

El subsistema:

es controlable. Es decir,

29

11 11 1 11 1[ ]prank B A B A B p

11 1c cx A x B u t

1 cy C x Du

11p pA R

Esto resulta de la forma como se construyeron las matrices A11 y B1

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La funcion de transferencia

La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable

30

1 11 11 1H s C sI A B D C sI A B D

Esto implica que solo el subsistema controlable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

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31

Demostracion: La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable

11

1111 12

122 22

0 0

sI A MsI A A

sI A sI A

1 111 12 22( ) ( )s s M I A A I A

1

11 12 11 2

220 0

sI A A BC C D

sI A

1

11 11 2 1

2200

sI A M BC D

sI A

C

11 11 1( )C sI A B D

Demostracion

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Ejemplo

32

1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 , 1 1 1

0 1 1 0 1

x x u y x

0 1 1 1

1 0 1 0 2 3

0 1 1 1

Q

1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

T

2Q B AB A B

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Ejemplo

33

111 1

11

1 0 0 1 0

1 1 0 , 0 1

0 0 1 0 0

1 2 1

A T T B TB

C CT

A

1 0 1 0, 1 2

1 1 0 1C C Cx x u y x

Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia

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DESCOMPOSICION CANONICA OBSERVABLE

34

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Descomposicion canonica observable

Si el par (A,C) no es observable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

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11p pA R

12p n pA R

22n p n pA R 1

p mB R

11 1

21 22 2

0o o

o o

x xA Bu

x xA A B

1 0 o

o

xy C Du

x

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El subsistema observable

El subsistema:

es observable. Es decir,

36

11 1 11 1 11[ ]p Trank C C A C A p

11 1o ox A x B u

1 oy C x Du

11p pA R

Esto se puede deducir de la dualidad Demostracion

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La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema observable

37

1 11 11 1H s C sI A B D C sI A B D

Esto implica que solo el subsistema observable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

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DESCOMPOSICION CANONICA

38

/51

Descomposicion canonica

Idea:

» Aplicar la descomposición controlable

» Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable

» Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable

Sistema:

39

uxy

uxx

DC

BA

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Primer paso

Aplicar la descomposición controlable

40

11 12 1

220 0c c

c c

x xA A Bu

x xA

1 2c

c

xy C C Du

x

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Paso 2

Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable

41

121

21 122

0

0 0 0

co co co co

co c co co co

c c c

x A A x B

x A A A x B u

x A x

0co

co c co

c

x

y t C C x Du

x

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Paso 3

Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable

42

121

21 123 124

21

0 0

0 0 0 0

0 0 0

co co co co

co c co co co

co co co

co c co co

x A A x B

x A A A A x Bu

x A x

x A A x

0 0

co

coco co

co

co

x

xy C C Du

x

x

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La descomposicion canonica

Propiedades de la descomposicion canonica:

» El sistema es controlable y observable

»

» Las dimensiones de los bloques no cambian

» Las propiedades de los modos no cambian

43

, ,co co coA B C

1co co coH s C sI A B D

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44

CO

CO

C O

C O

u t

y t

121

21 123 124

21

0 0

0 0 0 0

0 0 0

co co co co

co c co co co

co co co

co c co co

x A A x B

x A A A A x Bu

x A x

x A A x

0 0

co

coco co

co

co

x

xy C C Du

x

x

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45

uxy

uxx

DC

BA

G(s) es invariante bajo la transformacion de estado del subsistema controlable y obserbable

1

1co co co

s s

s

G C I A B D

C I A B D

2)

1)

Resumen

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46

Los subsistemas controlable y observable son la esencia de la dinamica del sistema

3)

4)

Resumen

es el descriptor de orden minimo de la funcion de transferencia , , ,co co coA B C D

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Fuentes

A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

47

http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

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FIN

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