tema 2_principio de los trabajos virtuales

1

Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales

Área de Ingeniería Mecánica

http://www.upv.es/ingmec

Centro de Investigación de Tecnología de Vehículos

http://www.upv.es/citv

TEMA 2. EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Curso de Mecánica Computacional

TEMA 2: PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Curso de Mecánica Computacional 2

Objetivos

Concepto de Desplazamiento Virtual

Concepto de Trabajo Virtual

Principio de los Trabajos Virtuales ESTÁTICA

Extensión del PTV a problemas dinámicos Principio de D’Alembert

Formalizar el Problema Dinámico Inverso

Comparar la resolución mediante Newton-Euler y el PTV

o Coordenadas independientes

o Coordenadas dependientes

2



Índice

1. INTRODUCCIÓN

2. DESPLAMIENTOS VIRTUALES

3. EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

3.1 Trabajo Virtual

3.2 El Principio de los Trabajos Virtuales

3.3 El Trabajo Virtual de las Acciones Internas

3.4 El Principio de los Trabajos Virtuales mediante coordenadas generalizadas independientes

3.5 El Principio de los Trabajos Virtuales mediante coordenadas generalizadas dependientes

3.6 Fuerzas conservativas

4. EL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

5. EL PROBLEMA DINÁMICO INVERSO



1. Introducción

Diferencias entre las formulaciones de Newton-Euler y Trabajos Virtuales

Newton-Euler

Ecuaciones vectoriales

Aparecen acciones internas

Son ecuaciones del movimiento

2D 3 ec. por DSL

3D 6 ec. por DSL

Estática

Caso particular

Trabajos Virtuales

Ecuaciones escalares

Aparecen solo acciones externas

Caracterizan el problema Estático

2D/3D tantas ecuaciones como GDL

Dinámica

Principio de D’Alembert

1. INTRODUCCIÓN

3



Aquellos que relacionan fuerzas con

desplazamientos Muelles


velocidades Amortiguadores viscosos


aceleraciones Masas discretas

1. Introducción

Elementos constitutivos de un sistema mecánico:

12 xxkFe

1. INTRODUCCIÓN

xmFm

12 xxcFv



2. Desplazamientos Virtuales

Características de los desplazamientos virtuales

Es una magnitud infinitesimal, un diferencial

Los desplazamientos virtuales se suponen independientes del tiempo

Deben de ser consistentes con las restricciones geométricas que presente el

sistema mecánico considerado

2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

t,q,,q,qrrNOPOP

21

N

i

i

i

OP

OPq

q

rr

1

Variación de las coordenadas generalizadas

4




Interpretación de los desplazamientos virtuales

El movimiento de un sólido no restringido dependen de las fuerzas actuantes


dtt

rdq

q

rrd

dtt

rdq

q

rrd

OP

N

i

)(

i

i

OP)(

OP

OP

N

i

)(

i

i

OP)(

OP

1

22

1

11

N

i

)(

i

)(

i

i

OP)(

OP

)(

OPdqdq

q

rrdrd

1

1212

Dos trayectorias admisibles

N

i

i

i

OP)(

OP

)(

OPq

q

rrdrd

1

12

Aplicación de distintas fuerzas




Obtención de los desplazamientos virtuales


Dos procedimientos

Geométrico

Cinemático

N

i

i

i

OP

OPq

q

rr

1

Geométrico

jsenLicosLrOP

jcosLisenLjcosLisenL

d

jsenLicosLd

d

rdrr OPOP

OP

5




Obtención de los desplazamientos virtuales


Dos procedimientos

Geométrico

Cinemático

Cinemático

t

rq

q

r

dt

rdv OP

N

i

i

i

OPOP

P

1

dtt

rdq

q

r

t

rdt

dt

dq

q

rdt

t

rdtq

q

rdtvrd

OP

N

i

i

i

OP

OP

N

i

i

i

OPOP

N

i

i

i

OP

POP

1

11

N

i

i

i

OP

OPq

q

rr

1

Sistemas mecánicos

independientes del tiempo




Carácter virtual de los desplazamientos virtuales


Compatibles con las restricciones cinemáticas

No son necesariamente independientes

Esfera rodando y deslizando

sobre una superficie

Desplazamientos virtuales en mecanismos

6



3.1 El Trabajo Virtual

Trabajo Virtual


Propiedades del Trabajo Virtual:

El trabajo virtual es un diferencial

Las fuerzas y pares serán constantes durante el desplazamiento

virtual

Se considerarán únicamente sistemas mecánicos en los que el

trabajo neto efectuado por las fuerzas de restricción será nulo

.Tr.FW




Sistema compuesto por n partículas en equilibrio estático


Si el conjunto está en equilibrio, cada una

de las partículas que lo forma también lo

estará

n,,,i,Ri

210

0iOPii

rRW 0

1

n

i

OPi irRW

Desplazamiento virtual

Presencia de restricciones mecánicas:

iiifFR

7





Sustituyendo

01

n

i

OPi irRW

PTV solo en sistemas mecánicos en los que las fuerzas internas no generan

trabajo neto

n

i

OPi

n

i

OPi iirfrFW

11

iiifFR

01

n

i

OPi irFW

Para que un sistema mecánico se encuentre en equilibrio estático es condición

necesaria y suficiente que el trabajo virtual efectuado por las acciones exteriores al

mecanismo sea nulo para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales

considerado

Principio de los Trabajos Virtuales



3.3 Trabajo Virtual de las Fuerzas Internas


Fuerzas internas asociadas a enlaces mecánicos. Se consideran las siguientes:

Sólido rígido

Sistema mecánico

Sólido rígido

212121r.fr.f

Trabajo virtual correspondiente a las

fuerzas internas

Se comprueba que

0121212121212 urr.u.frr.f

n

i

OPi

n

i

OPi iirfrFW

11

8





Par de Revolución

Sistema mecánico. Se considera el caso plano y los pares cinemáticos más

habituales

Par Prismático





Par de Rodadura sin deslizamiento

Sistema mecánico. Se considera el caso plano y los pares cinemáticos más

habituales

Posible extensión a 3D y todo tipo

de pares

Problemas con las fuerzas

disipativas (Rozamiento)

9



3.4 El PTV mediante coordenadas generalizadas independientes


Empleo de coordenadas generalizadas

Coordenadas generalizadas independientes

Coordenadas generalizadas dependientes

Problemas a la hora de aplicar la expresión:

Puede ser complicada la obtención de los desplazamientos

virtuales

¿Cómo se implementa el … para todo desplazamiento virtual?

011

v

j

jj

u

i

OPiTrFW

i



3.4 El PTV mediante coordenadas generalizadas independientes


Sustituyendo en la expresión del trabajo virtual

Sea un sistema mecánico modelizado mediante un conjunto

de coordenadas independientes

Nq,,q,q

21

N

j

j

j

OP

OPq

q

rr

1

Desplazamiento

virtual generalizado

j

N

j

jj

N

j

n

i j

OP

i

n

i

N

j

j

j

OP

i

n

i

OPiqQq

q

rFq

q

rFrFW ii

i

11 11 11

Fuerza generalizadaFormulación del PTV

001

jj

N

j

jqqQW N,,,j,Q

j210

10



3.5 El PTV mediante coordenadas generalizadas dependientes


Multiplicadores indeterminados de Lagrange

Sea un sistema mecánico modelizado mediante un conjunto

de coordenadas dependientes

Nq,,q,q

21

001

jj

N

j

jqqQW N,,,j,Q

j210

M,,,i,t,qi

210 M,,,i,t,qii

210

M,,,i,qq

qq

qq

N

N

iii

i 210

2

2

1

1

Derivando respecto a las coordenadas generalizadas





En forma compacta se tendrá que

añadiendo (restando) a

01 1

N

j

M

i

j

j

i

iq

q

01

j

N

j

jqQW

se tendrá que 01 11

j

N

j

M

i j

i

i

N

i

jjq

qqQW

01 1

N

i

j

M

i j

i

ijq

qQW

N,,,j,q

QM

i j

i

ij210

1

Se podrán elegir los

multiplicadores de modo

que se cumpla:

11





Aspectos destacados en la expresión

Interpretación del término

Jacobiano de las restricciones

Número de incógnitas

Ecuaciones adicionales (depende del problema)

N,,,j,q

QM

i j

i

ij210

1



Fuerza conservativa: El trabajo que hace sobre una partícula que se

mueve entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida

Se puede obtener a partir de una función potencial tal que

Cada fuerza conservativa tiene su propia función potencial

3.6 Fuerzas Conservativas


2121VVW

t,q,,q,qVVN

21

N

i

i

i

NNN

qq

VV

t,qq,,qq,qqVt,q,,q,qVW

1

221121

i

con

iq

VQ

12



4. El Principio de D’Alembert

4. EL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

A partir de las ecuaciones de Newton se tendrá que:

GGG

G

IIM

amF

0

0

GGG

G

IIM

amF

Fuerzas y pares de inercia

Son ficticias

Sirven para imponer el equilibrio

dinámico

Útiles para Newton

Esenciales para el PTV



5. El PROBLEMA DINÁMICO INVERSO


Principales tipos de problemas dinámicos:

Problema Dinámico Inverso. Problema de Análisis de Fuerzas.

Problema Cinetoestático

Problema Dinámico Directo. Problema de Análisis del Movimiento

Problema Dinámico Inverso. Como abordarlo:

Formulación de Newton-Euler Fuerzas externas e internas

Principio de los Trabajos Virtuales Fuerzas externas

13



6. EJEMPLO


Dado el mecanismo de manivela-deslizadera de la figura, situado en un plano

horizontal, se pide:

Determinar las ecuaciones que rigen el equilibrio estático del mecanismo

Para una configuración q= 60º, determinar el valor del par T1 que garantiza

dicho equilibrio estático.

Para un par T1= 9 N.m (a). Determinar las posibles configuraciones de

equilibrio

º

NF

m,r

m,r

C

25

500

60

20

2

1



6. EJEMPLO


Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:

o F=1 se elige q como única coordenada generalizada

o Al aplicar el PTV, solo las acciones externas generan trabajo

o Donde

o Luego

icosrqcosrrAC

21

ACC rFTW 11

iqsenrrqcosrrAC

22

1

2

21

iq

qsenrr

qcosqsenrqsenrq

dq

rdr AC

AC

22

1

2

2

2

11 kq

1

14



6. EJEMPLO


1.- Ecuación de equilibrio estático

o Sustituyendo en la expresión del PTV

o Imponiendo la condición de equilibrio estático

qcosF

qsenrr

qcosqsenrcosFqsenrTW CC

22

1

2

2

2

111

qqcosF

qsenrr

qcosqsenrcosFqsenrTW CC

0

22

1

2

2

2

111

0

22

1

2

2

2

111

cosF

qsenrr

qcosqsenrcosFqsenrT CC

Equilibrio Estático



6. EJEMPLO


2.- Para la posición dada por q= 60º,

0

22

1

2

2

2

111

cosF

qsenrr

qcosqsenrcosFqsenrT CC

0215291 ,T

º;NF;m,r;m,r C 255006020 21

m.N,T 215291

CFcos

qsenrr

qcosqsenrcosqsenrT

22

1

2

2

2

111

Relación de transferenciaº.qMax 175273

15



6. EJEMPLO


Determinación de desplazamientos virtuales a partir de relaciones

cinemáticas

o Suponiendo

o Se tendrá que

o Siendo

o Operando

kq

1

BCABC rrv

21

jsenicosrr

jqseniqcosrr

BC

AB

2

1

qcos

senqcosrqsenrv;q

cosr

qcosrC

1

1

2

12



6. EJEMPLO


o No hace falta la relación explícita entre y q

o Luego

o Por lo tanto

o Sustituyendo y operando en la expresión del PTV se llega al mismo

valor del par a aplicar para mantener el Equilibrio Estático

q,vC 02030

senrqsenr 21º,778716

dt

dq,

dt

dxC 02030 q,xC 02030

iq,rAC

02030

16



6. EJEMPLO


3.- Posición/es de equilibrio para T1= 9 N.m

o La ecuación de equilibrio quedará como sigue

o Las soluciones reales son

0

9

03639063199

2

qsen

qcosqsen,qsen,

º,rad,

º,rad,q

098491601

42515698480

Para estas configuraciones se alcanza el Equilibrio Estático, cuando

el mecanismo está sometido a la fuerza y par indicados



6. EJEMPLO


4.- Resolución mediante ecuaciones de Newton

o Diagramas de Sólido Libre

o De la barra 3

0

0

23

03

cosFf

t

C

x cosFf C

x 23 cosFff C

xx 2332

17



6. EJEMPLO



o Considerando el equilibrio de la barra 2

o De donde se obtiene

000

0

0

232232

3212

12

cosFsenrfcosrfrM

ff

cosFf

C

y

BCB

yy

C

x

cosFf C

x 32

N,f

N,f

N,f

y

y

x

6310136

6310136

1539453

32

12

12



6. EJEMPLO



o Volviendo a la barra 3

o Equilibrio de la barra 1

N,f

N,ff

x

yy

1540453

6310136

23

3223

N,ff

N,ff

yy

xx

6310136

1539453

1221

1221

0

0

0

121

0123

0123

Tfr

ff

ff

AB

yy

xx

m.N,T

N,f

N,f

y

x

21519

6310136

1539453

1

01

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tema 2_principio de los trabajos virtuales

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